Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(A) સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B$ નું સૂત્ર $B = \mu n I$ છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$ છે.
આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 1000 \, m^{-1} = 10^3 \, m^{-1}$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 500$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \, A$.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, H/m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 500 \times 1000 \times 5$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 500 \times 10^3 \times 5$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^6$
$B = 10 \pi \times 10^{-1} = \pi \, T$.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $\pi \, T$ છે.

(D) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
સોલેનોઇડ સમાન હોવાથી,બધા માટે $n$ સમાન છે.
તેથી,$B \propto i$.
ધારો કે સર્કિટમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે. આ પ્રવાહ $I$ સોલેનોઇડ $A$ માંથી વહે છે.
જંકશન પર,પ્રવાહ $I$ ત્રણ સમાન સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે જેમાં સોલેનોઇડ $B, C$ અને $D$ છે.
સોલેનોઇડ સમાન હોવાથી,તેમનો અવરોધ સમાન છે અને પ્રવાહ $I$ ત્રણેય શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,સોલેનોઇડ $C$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_C = \frac{I}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = 3\, T$ છે,તેથી $B_A \propto I$,એટલે કે $3\, T \propto I$.
$C$ ના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C \propto i_C = \frac{I}{3}$ છે.
તેથી,$B_C = \frac{B_A}{3} = \frac{3\, T}{3} = 1\, T$.

(A) બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે સીધા તારના ભાગો અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. દરેક અર્ધ-અનંત સીધા તાર માટે,$r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{straight}} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}$ છે. બંને તારમાં પ્રવાહ એવી દિશામાં વહે છે કે જે બિંદુ $P$ પર સમાન દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી બંને સીધા તારને કારણે કુલ ક્ષેત્ર $B_{1} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$ થશે.
$2$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{arc}} = \frac{1}{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{4 r}$ છે.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{1} + B_{\text{arc}} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} + \frac{\mu_{0} I}{4 r}$ છે.
$4$. $\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (2 + \pi)$ મળે છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
અહીં $x_1 = 0.05\, m$ અને $x_2 = 0.2\, m$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $B_1/B_2 = 8/1$ આપેલ છે.
$B \propto (R^2 + x^2)^{-3/2}$ હોવાથી:
$\frac{B_1}{B_2} = \left[ \frac{R^2 + x_2^2}{R^2 + x_1^2} \right]^{3/2} = 8$
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા:
$\frac{R^2 + (0.2)^2}{R^2 + (0.05)^2} = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$
$R^2 + 0.04 = 4(R^2 + 0.0025)$
$R^2 + 0.04 = 4R^2 + 0.01$
$3R^2 = 0.03$
$R^2 = 0.01$
$R = 0.1\, m$.

(D) ત્રિજ્યા ધરાવતી પ્રવાહધારિત કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_{0} i a^{2}}{2(a^{2} + r^{2})^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_{0} i}{2a}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{B_{\text{centre}} - B_{\text{axis}}}{B_{\text{centre}}} = 1 - \frac{B_{\text{axis}}}{B_{\text{centre}}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પદો મૂકતા: $1 - \frac{\frac{\mu_{0} i a^{2}}{2(a^{2} + r^{2})^{3/2}}}{\frac{\mu_{0} i}{2a}} = 1 - \frac{a^{3}}{(a^{2} + r^{2})^{3/2}} = 1 - \left(1 + \frac{r^{2}}{a^{2}}\right)^{-3/2}$.
દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = \frac{r^{2}}{a^{2}}$ અને $n = -3/2$:
$1 - (1 - \frac{3}{2} \frac{r^{2}}{a^{2}}) = \frac{3}{2} \frac{r^{2}}{a^{2}}$.

(A) એકમ ત્રિજ્યા દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{b-a}$ છે.
$x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ પહોળાઈ ધરાવતી એક નાની તત્વરૂપ રીંગ ધ્યાનમાં લો. આ તત્વમાં આંટાની સંખ્યા $dN = n \cdot dx = \frac{N}{b-a} dx$ છે.
આ તત્વરૂપ રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_{0} (dN) I}{2x} = \frac{\mu_{0} I}{2x} \left( \frac{N}{b-a} \right) dx$ છે.
$x = a$ થી $x = b$ સુધી સંકલન કરતા:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \frac{dx}{x} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} [\ln x]_{a}^{b} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $r = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ છે,જ્યાં $L = 9 \, cm = 0.09 \, m$.
$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} = \frac{0.045}{\sqrt{3}} \, m$.
દરેક બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sqrt{3})$ છે.
ત્રણ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} \sqrt{3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$i = 1.5 \, A$,$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} \, m$.
$B = 3 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.5}{4 \pi \times (0.09 / 2 \sqrt{3})} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \sqrt{3}}{0.09} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \times 3}{0.09} = 3 \times \frac{9 \times 10^{-7}}{0.09} = 3 \times 10^{-5} \, T$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતો હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ત્રિકોણના સમતલની અંદરની તરફ હશે.

(D) સોલેનોઇડમાં રહેલા કોર મટીરીયલની મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $M = I_{m} V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_{m}$ એ મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા છે અને $V$ એ કદ છે。
$I_{m} = \chi H$, જ્યાં $\chi$ એ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી છે અને $H$ એ મેગ્નેટિક ફિલ્ડની તીવ્રતા છે。
$\chi = \mu_{r} - 1$ હોવાથી, આપણને $M = (\mu_{r} - 1) H V$ મળે છે。
લાંબા સોલેનોઇડ માટે, $H = nI$ અચળ રહે છે。
તેથી, $M \propto (\mu_{r} - 1)$。
મેગ્નેટિક મોમેન્ટમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta M}{M} = \frac{(\mu_{r2} - 1) - (\mu_{r1} - 1)}{\mu_{r1} - 1} = \frac{\mu_{r2} - \mu_{r1}}{\mu_{r1} - 1}$ છે。
અહીં $\mu_{r1} = 500$ અને $\mu_{r2} = 750$ આપેલ છે, તેથી $\frac{\Delta M}{M} = \frac{750 - 500}{500 - 1} = \frac{250}{499}$ મળે છે。
આને $\frac{x}{499}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 250$ મળે છે。

(A) અર્ધ-અનંત વાયરને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયર $(1)$ ($x$-અક્ષ પર) માટે, $P$ થી અંતર $y$ છે. એક છેડો ઉગમબિંદુ પર છે $(\theta_1 = 90^{\circ})$ અને બીજો અનંત પર છે $(\theta_2 = 90^{\circ})$, પરંતુ તે ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો અર્ધ-અનંત વાયર હોવાથી, સૂત્ર $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} (1 + \sin \theta_1)$ બને છે, જ્યાં $\sin \theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
આમ, $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
તે જ રીતે, વાયર $(2)$ ($y$-અક્ષ પર) માટે, $P$ થી અંતર $x$ છે, તેથી $B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi x} \left(1 + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
બંને ક્ષેત્રો બિંદુ $P$ પર પાનાની અંદરની તરફ છે. તેમનો સરવાળો કરતા:
$B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{1}{y} + \frac{x}{y\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{1}{x} + \frac{y}{x\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{x+y}{xy} + \frac{x^2+y^2}{xy\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi xy} \left[ (x+y) + \sqrt{x^2+y^2} \right]$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લાંબા સીધા તાર માટે જેમાં $I$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન રીતે વહે છે,અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
તારની અંદર $(r < R)$: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$,જે સૂચવે છે કે $B \propto r$.
તારની બહાર $(r \ge R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$,જે સૂચવે છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સપાટી પર $(r = R)$ મળે છે અને તેનું મૂલ્ય $B_{max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ છે.
$a < b$ હોવાથી,તાર $a$ માટે મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{max, a} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$ અને તાર $b$ માટે $B_{max, b} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi b}$ છે.
$a < b$ હોવાથી,$B_{max, a} > B_{max, b}$ થાય.
આમ,તાર $a$ માટેનો આલેખ નાના ત્રિજ્યા $r = a$ પર ઊંચું શિખર મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરવો જોઈએ,અને તાર $b$ માટેનો આલેખ મોટા ત્રિજ્યા $r = b$ પર નીચું શિખર મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરવો જોઈએ. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જેમાં વક્ર $a$ એ વક્ર $b$ કરતા ઊંચું અને વહેલું શિખર ધરાવે છે.

(B) બાયો-સાવર્ટનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$.
વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે આ નિયમ ખાસ કરીને અત્યંત સૂક્ષ્મ પ્રવાહ ખંડ $Id\vec{l}$ દ્વારા મળતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું યોગદાન દર્શાવે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં સ્ત્રોતોની પ્રકૃતિ ઉલટાવી દેવામાં આવી છે. બાયો-સાવર્ટના નિયમમાં સદિશ સ્ત્રોત $(Id\vec{l})$ હોય છે,જ્યારે કુલંબના નિયમમાં અદિશ સ્ત્રોત (વિદ્યુતભાર $q$) હોય છે. વિધાનમાં આનાથી ઉલટું કહેવામાં આવ્યું છે,તેથી તે ખોટું છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{C} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = \frac{r}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2((\frac{r}{2})^{2} + r^{2})^{3/2}}$
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(\frac{r^{2}}{4} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(\frac{5r^{2}}{4})^{3/2}}$
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2 \cdot r^{3} \cdot (\frac{5}{4})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I}{2 r} \cdot (\frac{4}{5})^{3/2}$
કારણ કે $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,તેથી:
$B_{a} = B \cdot (\frac{2}{\sqrt{5}})^{3}$.

(B) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યબિંદુ $O$ પર,દરેક તારથી અંતર $r = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $300 \, \mu T = 3 \times 10^{-4} \, T$ છે,અને પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),મધ્યબિંદુ પર બંને તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોય છે.
તેથી,$B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-4} = 2 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times I}{2 \pi \times 4 \times 10^{-2}}$.
$3 \times 10^{-4} = \frac{2 \times 10^{-7} \times I}{2 \times 10^{-2}} = 10^{-5} \times I$.
$I = \frac{3 \times 10^{-4}}{10^{-5}} = 30 \, A$.
મધ્યબિંદુ પર ક્ષેત્રોનો સરવાળો શૂન્યતર હોવાથી,પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.

(B) $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર $i$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{N \mu_{0} i}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે: $B_{1} = \frac{N_{1} \mu_{0} i}{2 R_{1}}$,જ્યાં $N_{1} = 2$.
જ્યારે તારને ખોલીને ફરીથી વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે તારની કુલ લંબાઈ $L = N_{1} (2 \pi R_{1}) = N_{2} (2 \pi R_{2})$ અચળ રહે છે.
તેથી,$R_{2} = R_{1} \frac{N_{1}}{N_{2}} = R_{1} \frac{2}{5}$.
બીજી કોઈલ માટે: $B_{2} = \frac{N_{2} \mu_{0} i}{2 R_{2}}$,જ્યાં $N_{2} = 5$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_{2}}{B_{1}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} \times \frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} \times \frac{N_{2}}{N_{1}} = \left( \frac{N_{2}}{N_{1}} \right)^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_{2}}{B_{1}} = \left( \frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{25}{4}$.

(B) $N$ આંટા,$R$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B = N \left( \frac{\mu_{0} i}{2R} \right)$ છે.
ગૂંચળા $X$ માટે: $N_{X} = 200$,$R_{X} = 20 \ cm$,વિદ્યુતપ્રવાહ $= i$. તેથી,$B_{X} = 200 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)$.
ગૂંચળા $Y$ માટે: $N_{Y} = 400$,$R_{Y} = 20 \ cm$,વિદ્યુતપ્રવાહ $= i$. તેથી,$B_{Y} = 400 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)$.
$B_{X}$ અને $B_{Y}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_{X}}{B_{Y}} = \frac{200 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)}{400 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)} = \frac{200}{400} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) $I$ પ્રવાહ ધરાવતી $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$
લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$
અહીં $x = \sqrt{3}R$ આપેલ છે,તેથી $B_{2}$ માટે:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + (\sqrt{3}R)^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + 3R^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(4R^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(8R^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{16R}$
હવે,ગુણોત્તર $B_{1} / B_{2}$ શોધતા:
$\frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2 R}}{\frac{\mu_{0} I}{16 R}} = \frac{16}{2} = \frac{8}{1}$
આમ,$B_{1} / B_{2}$ નો ગુણોત્તર $8: 1$ છે.

(A) $N$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{N \mu_{0} I}{2 R}$
આપેલ કિંમતો:
$N = 100$
$R = 5\,cm = 0.05\,m = 5 \times 10^{-2}\,m$
$B = 37.68 \times 10^{-4}\,T$
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7}\,T \cdot m/A$
$\pi = 3.14$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$37.68 \times 10^{-4} = \frac{100 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times I}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$37.68 \times 10^{-4} = \frac{400 \times 3.14 \times 10^{-7} \times I}{10 \times 10^{-2}}$
$37.68 \times 10^{-4} = \frac{1256 \times 10^{-7} \times I}{10^{-1}}$
$37.68 \times 10^{-4} = 1256 \times 10^{-6} \times I$
$37.68 \times 10^{-4} = 1.256 \times 10^{-3} \times I$
$I = \frac{37.68 \times 10^{-4}}{1.256 \times 10^{-3}} = \frac{3.768 \times 10^{-3}}{1.256 \times 10^{-3}} = 3\,A$
આમ,કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ $3\,A$ છે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 1 \, m$,અસમાનતા $\Delta r = 0.01 \, m$,ઝડપ $v = 54 \, m/s$,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 9.67 \times 10^{-27} \, J/T$,અને દળ $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ન્યુટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ $F = M \frac{\Delta B}{\Delta r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુટ્રોન વર્તુળાકાર ગતિ કરતું હોવાથી,આ ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F = \frac{m v^2}{r}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $M \frac{\Delta B}{\Delta r} = \frac{m v^2}{r}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર $\Delta B$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta B = \frac{m v^2 \Delta r}{M r}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta B = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times (54)^2 \times 0.01}{9.67 \times 10^{-27} \times 1}$.
$\Delta B = \frac{1.67 \times 2916 \times 0.01}{9.67} \approx \frac{48.6972}{9.67} \approx 5.04 \, T$.

(A) ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બિંદુ $P$ પર ન્યૂનતમ છે,જે પ્રથમ તારથી $x$ અંતરે છે.
પ્રથમ તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x}$ છે.
બીજા તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (d-x)}$ છે,જ્યાં $d = 4 \, cm$ છે.
તારની વચ્ચે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્યતર ન્યૂનતમ હોવા માટે,ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર હોવા જોઈએ.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0}{2 \pi} |\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}|$ છે.
$B$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,વિકલન $\frac{dB}{dx} = 0$ થાય.
$\frac{d}{dx} (\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}) = 0 \Rightarrow -\frac{I_1}{x^2} - \frac{I_2}{(d-x)^2} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{I_1}{x^2} = -\frac{I_2}{(d-x)^2}$. $I_1, I_2 > 0$ હોવાથી,આ સાબિત કરે છે કે પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર છે.
મૂલ્યો લેતા: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{(d-x)^2}{x^2}$.
$d = 4 \, cm$ અને $x = 1 \, cm$ આપેલ હોવાથી,$\frac{I_2}{I_1} = \frac{(4-1)^2}{1^2} = \frac{3^2}{1^2} = 9$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = 9$ છે અને પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર છે.

(A) જ્યારે પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે લૂપના કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.
આપેલ છે: $Q = 3 \times 10^{-12} \, C$,$R = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,$B_H = 30 \, \mu T = 30 \times 10^{-6} \, T$.
વર્તુળના કેન્દ્ર પર પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_q = \frac{\mu_0 i}{2R}$ છે.
$i = \frac{Q}{T}$ અને $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$i = \frac{Q\omega}{2\pi}$ મળે.
$B_q$ ના સૂત્રમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_q = \frac{\mu_0 (Q\omega / 2\pi)}{2R} = \frac{\mu_0 Q \omega}{4\pi R}$.
$B_q$ ને $B_H$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{\mu_0 Q \omega}{4\pi R} = B_H$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10^{-7} \times \frac{3 \times 10^{-12} \times \omega}{10^{-3}} = 30 \times 10^{-6}$
$3 \times 10^{-16} \times \omega = 30 \times 10^{-9}$
$\omega = \frac{30 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-19}} = 10^{11} \, rad/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $n$-બાજુવાળા બહુકોણ માટે,બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને લૂપના કેન્દ્ર પર એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi l} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
અહીં $n$ બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર એક બાજુ દ્વારા બનતો ખૂણો $\alpha = \frac{2 \pi}{n}$ છે.
તેથી,$\theta_1 = \theta_2 = \frac{1}{2} \times \frac{2 \pi}{n} = \frac{\pi}{n}$.
આ કિંમત $B_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi l} (\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{\pi}{n}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi l} \sin \frac{\pi}{n}$.
બધી $n$ બાજુઓને કારણે કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ દરેક વિભાગના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B = n \times B_1 = \frac{n \mu_0 I}{2 \pi l} \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)$.

(B) કેન્દ્ર $C$ આગળનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ $r$ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે ક્વાર્ટર વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનું પરિણામી છે。
$I$ પ્રવાહ ધરાવતા $a$ ત્રિજ્યાના સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ છે。
ક્વાર્ટર વર્તુળાકાર ચાપ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{1}{4} \left(\frac{\mu_0 I}{2a}\right) = \frac{\mu_0 I}{8a}$ થાય。
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $r$ ત્રિજ્યાની અંદરની ચાપ માટે, પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહે છે, તેથી $C$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ $(\odot)$ છે。
$2$. $R$ ત્રિજ્યાની બહારની ચાપ માટે, પ્રવાહ સમઘડી દિશામાં વહે છે, તેથી $C$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે。
$C$ આગળનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_r - B_R = \frac{\mu_0 I}{8r} - \frac{\mu_0 I}{8R} = \frac{\mu_0 I}{8} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$ છે。
અહીં $r < R$ હોવાથી, $\frac{1}{r} > \frac{1}{R}$, તેથી પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ હશે.

(A) લંબ અંતર $d$ પર રહેલા $L$ લંબાઈના સીધા તારના ટુકડાને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ માટે,કેન્દ્ર પર દરેક બાજુ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $2\pi/n$ છે. તેથી,દરેક બાજુ માટે કેન્દ્ર પરના ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ એ $\pi/n$ છે.
કેન્દ્રથી બાજુ સુધીનું લંબ અંતર $d = R \cos(\pi/n)$ છે,જ્યાં $R$ એ શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (R \cos(\pi/n))} (\sin(\pi/n) + \sin(\pi/n)) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R \cos(\pi/n)} \cdot 2 \sin(\pi/n) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} \tan(\pi/n)$ છે.
આવી $n$ બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = n \cdot B_1 = n \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} \tan \frac{\pi}{n}$ થશે.

(A) $1$. ગતિશીલ વીજભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રવાહ $I$ ની દિશા એ ધન વીજભારના વહેવાની દિશા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$2$. અવલોકનકાર તરફ આવતો ઋણ વીજભાર એ અવલોકનકારથી દૂર જતા ધન પ્રવાહની સમકક્ષ છે.
$3$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને પરંપરાગત પ્રવાહની દિશામાં (અવલોકનકારથી દૂર) રાખો,તો તમારી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વળે છે.
$4$. અવલોકનકારના દ્રષ્ટિકોણથી,જે વીજભાર તેમની તરફ આવી રહ્યો છે,તેના માટે પરંપરાગત પ્રવાહ દૂર જઈ રહ્યો છે. તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (Clockwise) ફરતી દેખાશે.

(D) $r$ લંબ અંતરે રહેલા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ છે.
બાજુ પરના લંબ બિંદુએ ખૂણાઓ $\theta_1 = 60^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a / 2 \sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{2 \pi a} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a}$ છે.
ત્રણ બાજુઓ હોવાથી અને દરેક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (અંદરની તરફ) હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{total}} = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{9 \mu_0 i}{2 \pi a}$ થશે.

(C) $n$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને ગૂંચળાઓ માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ સમાન છે,તેથી $B_1 = B_2$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\mu_0 n_1 i}{2 r_1} = \frac{\mu_0 n_2 i}{2 r_2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{n_1}{r_1} = \frac{n_2}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
આંટાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{8}{15}$ આપેલ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{15}$ થશે.

(A) ભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i$ એ $i = qf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = e$ અને $f = n$,તેથી $i = en$.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $B = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$i$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 (en)}{2 R}$ મળે છે.

(A) $l$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ ફ્રેમ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $d = \frac{l}{2}$ છે.
કેન્દ્ર પર એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (l/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi l} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi l}$ છે.
ચોરસમાં $4$ બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi l} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi l}$ થાય.
વર્તુળાકાર કોઈલ માટે,પરિમિતિ ચોરસની પરિમિતિ જેટલી છે,તેથી $2 \pi r = 4l$,જે આપણને $r = \frac{2l}{\pi}$ આપે છે.
વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^{\prime} = \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0 i}{2(2l/\pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{4l}$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{B}{B^{\prime}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i / \pi l}{\mu_0 i \pi / 4l} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \times \frac{4}{\pi} = \frac{8 \sqrt{2}}{\pi^2}$ થાય.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ છે.
કોઈલની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{axis} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} B_{centre}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\mu_0 i}{2 R}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2} R}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 2 \sqrt{2} R^3 = (\sqrt{2})^3 R^3 = (\sqrt{2} R)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $(R^2 + x^2)^{1/2} = \sqrt{2} R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $R^2 + x^2 = 2 R^2$.
$x^2 = R^2 \Rightarrow x = R$.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા બે વાયરને એકબીજા સાથે વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે એક વાયરમાંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,બીજા વાયરમાંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
આને કારણે,ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે,પરિણામે ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગભગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ તકનીકનો ઉપયોગ ઇલેક્ટ્રિક ઉપકરણોમાં વાયર દ્વારા થતી ચુંબકીય દખલગીરીને ઘટાડવા માટે કરવામાં આવે છે.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળાની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{r^2}{(r^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8r}$.
$(r^2 + x^2)^{3/2} = 8r^3$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા: $r^2 + x^2 = (8r^3)^{2/3} = 4r^2$.
$x^2 = 3r^2$.
$x = \sqrt{3} r$.

(A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા મર્યાદિત લંબાઈના તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
આકૃતિમાં,બિંદુ $P$ થી તારનું લંબ અંતર $r = x \cos 30^{\circ} = x \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
તારના છેડાઓ દ્વારા બિંદુ $P$ આગળ આંતરેલા ખૂણા $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 30^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (x \frac{\sqrt{3}}{2})} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ})$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi x} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi x}$

(C) કેન્દ્ર $O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ વર્તુળાકાર ચાપ અને બે સીધા તારના ટુકડાઓને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપ માટે જે કેન્દ્ર પર $\theta = \frac{3\pi}{2}$ ખૂણો આંતરે છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \cdot \theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 I}{8R}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,તેની દિશા પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
$2$. બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર માટે,દરેક તારથી $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. એક અર્ધ-અનંત તારને કારણે ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$ છે. આવા બે તાર હોવાથી,તેમનું કુલ ક્ષેત્ર $B_{straight} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi R} = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$ થાય. બંને તાર પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$B = B_1 + B_{straight} = \frac{3\mu_0 I}{8R} + \frac{\mu_0 I}{2\pi R} = \frac{\mu_0 I}{4R} \left[ \frac{3}{2} + \frac{1}{\pi} \right]$.
તેની દિશા પાનાની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.

(C) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં કોઈ બિંદુ $(x, y)$ માટે,$x$-અક્ષ પરના તારને કારણે ($I_1$ પ્રવાહ વહન કરતો) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y}$ છે (સમતલની બહારની દિશામાં).
$y$-અક્ષ પરના તારને કારણે ($I_2$ પ્રવાહ વહન કરતો) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$ છે (સમતલની અંદરની દિશામાં).
ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $B_1 = B_2$.
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $\frac{I_1}{y} = \frac{I_2}{x}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \left(\frac{I_1}{I_2}\right) x$.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે.
રીંગ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા,પરિઘ અને પહોળાઈના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$q = \sigma (2 \pi a) d$
રીંગના $f$ આવૃત્તિ સાથેના પરિભ્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $i$ છે:
$i = \frac{q}{T} = qf = \sigma (2 \pi a) d f$
વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2a}$
સૂત્રમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 (\sigma 2 \pi a d f)}{2a}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$B = \pi \mu_0 \sigma d f$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ગતિ કરતા પ્રોટોન $B$ ને કારણે પ્રોટોન $A$ ના સ્થાન પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટેના બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e v \sin 90^{\circ}}{d^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e v}{d^2}$
પ્રોટોન $A$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_B$ છે:
$F_B = e v B = e v \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e v}{d^2} \right) = \frac{\mu_0 e^2 v^2}{4\pi d^2}$
પ્રોટોન $B$ ને કારણે પ્રોટોન $A$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e$ એ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F_e = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{d^2}$
ચુંબકીય બળ અને વિદ્યુત બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_B}{F_e} = \frac{\frac{\mu_0 e^2 v^2}{4\pi d^2}}{\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 d^2}} = \mu_0 \varepsilon_0 v^2$
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ હોવાથી,$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ અથવા $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{F_B}{F_e} = \frac{v^2}{c^2}$

(A) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $i$ છે। વાયરને બે ભાગ $ABC$ અને $ADC$ માં વહેંચવામાં આવ્યો છે જે સમાંતર જોડાયેલા છે。
વાયરનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R \propto l)$. ધારો કે $ABC$ અને $ADC$ ભાગના અવરોધ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે。
$r_1 = \rho \frac{l_1}{A}$ અને $r_2 = \rho \frac{l_2}{A}$, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
$ABC$ ભાગમાં પ્રવાહ $i_1$ કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$i_1 = i \left( \frac{r_2}{r_1 + r_2} \right) = i \left( \frac{l_2}{l_1 + l_2} \right)$.
$i_1$ પ્રવાહ ધરાવતા $l_1$ લંબાઈના ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \frac{\mu_0 i_1 \theta}{4\pi R}$, જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે。
પરિઘ $L = l_1 + l_2 = 2\pi R$ હોવાથી, ખૂણો $\theta = \frac{l_1}{R}$ થાય。
$i_1$ અને $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0}{2R} \left( i \frac{l_2}{l_1+l_2} \right) \frac{l_1}{l_1+l_2} = \frac{\mu_0 i l_1 l_2}{2R(l_1+l_2)^2}$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ સમતુલ્ય પ્રવાહ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$. $v = \omega r$ હોવાથી,આપણને $mr^2\omega = \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ત્રિજ્યા $r \propto n^2$. આને કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $m(n^2)^2\omega \propto n$,જેનો અર્થ છે કે $\omega \propto \frac{n}{n^4} = n^{-3}$.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{e\omega}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $I \propto \omega \propto n^{-3}$.
હવે,$I \propto n^{-3}$ અને $r \propto n^2$ ને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{n^{-3}}{n^2} = n^{-5}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રેરણ $n^{-5}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{\ell}$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3}$ છે.
અહીં,$d\vec{\ell} = d\ell \hat{k}$ અને ખંડનું સ્થાન $\vec{r}_0 = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માટે,ખંડની સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = -\hat{i} - \hat{j}$ છે. અંતર $r_1 = \sqrt{2}$ છે.
$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi} \frac{\hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j})}{(\sqrt{2})^3} = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi (2\sqrt{2})} (-\hat{j} + \hat{i})$.
બિંદુ $(2, 2, 0)$ માટે,ખંડની સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = \hat{i} + \hat{j}$ છે. અંતર $r_2 = \sqrt{2}$ છે.
$\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi} \frac{\hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j})}{(\sqrt{2})^3} = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi (2\sqrt{2})} (\hat{j} - \hat{i})$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec{B}_1 = -\vec{B}_2$.

(C) ઘન નેટવર્ક $12$ સમાન તારનું બનેલું છે,જે દરેકનો અવરોધ $R$ અને લંબાઈ $d$ છે.
ઘનની સમપ્રમાણતા અને પ્રવાહના વહેણની ગોઠવણીને કારણે,દરેક પ્રવાહ ધરાવતા તારના ભાગ માટે,કેન્દ્ર $P$ ની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન પ્રવાહ વહન કરતો વ્યાસાભિમુખ વિરુદ્ધ તારનો ભાગ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,આ સમપ્રમાણ ભાગો દ્વારા કેન્દ્ર $P$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
તેથી,ઘન નેટવર્કના કેન્દ્ર $P$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ છે.

(C) તાર ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: $x$-અક્ષ પરનો અર્ધ-અનંત ભાગ,$xz$-સમતલમાં એક ભાગ,અને $y$-અક્ષને સમાંતર અર્ધ-અનંત ભાગ.
$1$. $x$-અક્ષ પરના અર્ધ-અનંત તાર માટે,ઉગમબિંદુ તારની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0$ છે.
$2$. $y$-અક્ષને સમાંતર અર્ધ-અનંત તાર માટે,ઉગમબિંદુ તારની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 0$ છે.
$3$. $xz$-સમતલમાં $(a, 0, 0)$ અને $(0, 0, a)$ ને જોડતા ભાગ માટે,ઉગમબિંદુથી તારનું અંતર $d = a/\sqrt{2}$ છે. સીમિત તાર માટેના સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ નો ઉપયોગ કરીને અને જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્ર $(-\hat{i} + \hat{k})$ ની દિશામાં મળે છે.
મૂલ્યની ગણતરી કરતા: $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/\sqrt{2})} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{8 \pi a}(-\hat{i} + \hat{k})$.

(A) ગતિમાન બિંદુવત વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{r})}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ બિંદુ પર તે જ વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\overrightarrow{r}}{r^3}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાંથી $\frac{q\overrightarrow{r}}{r^3}$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{B} = \epsilon_0 \mu_0 (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E})$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$,તેથી $\overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E}}{c^2}$ થાય.
અહીં $\overrightarrow{v} = \hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\overrightarrow{E} = 2\hat{k}$ આપેલ છે,તેથી સદિશ ગુણાકાર:
$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E} = (\hat{i} + 3\hat{j}) \times 2\hat{k} = 2(\hat{i} \times \hat{k}) + 6(\hat{j} \times \hat{k}) = 2(-\hat{j}) + 6(\hat{i}) = 6\hat{i} - 2\hat{j}$.
તેથી,$\overrightarrow{B} = \frac{6\hat{i} - 2\hat{j}}{c^2}$ મળે છે.

(B) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ તારના ચાર ભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$1$. $O$ તરફ અથવા $O$ થી દૂર જતા બે સીધા ભાગો $O$ પર શૂન્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે કારણ કે પ્રવાહ ઘટક અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ છે.
$2$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો આંતરિક વર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્ર પર $270^\circ$ (અથવા $\frac{3\pi}{2}$ રેડિયન) નો ખૂણો આંતરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \theta = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ (નીચેની તરફ) છે.
$3$. $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો બાહ્ય વર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્ર પર $90^\circ$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન) નો ખૂણો આંતરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (2R)} \theta = \frac{\mu_0 i}{8\pi R} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ (નીચેની તરફ) છે.
$4$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{24R} = \frac{5\mu_0 i}{12R}$ (નીચેની તરફ) થાય છે.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\mu_0 = \frac{2\pi r F}{l I_1 I_2}$ મળે છે.
પરિમાણો આ મુજબ છે: $[r] = [L]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[l] = [L]$,અને $[I] = [QT^{-1}]$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $[\mu_0] = \frac{[L][MLT^{-2}]}{[L][QT^{-1}]^2}$.
$[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}]}{[Q^2T^{-2}]} = [MLQ^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
કેન્દ્ર પર,$x = 0$ લેતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + 0)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2r^3} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
અક્ષ પર $x = r$ અંતરે:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$
કેન્દ્ર પરના અને $r$ અંતરે આવેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2r}}{\frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.

(C) રૂપરેખાંકન $A$ માટે: $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર વર્તુળાકાર લૂપ અને બે સીધા તારને કારણે છે. સીધા તાર કેન્દ્ર પર $0$ ફાળો આપે છે. લૂપ $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ ફાળો આપે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો અલગ અર્થઘટન સૂચવે છે. આ વિશિષ્ટ ભૂમિતિઓ માટે બાયો-સાવર્ટના નિયમના પ્રમાણભૂત ઉપયોગો પર આધારિત:
$A$ એ $III$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} [\pi - 1]$
$B$ એ $I$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 2]$
$C$ એ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 1]$
$D$ એ $II$ સાથે મેળ ખાય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$
આમ,સાચી જોડી $A-III, B-I, C-IV, D-II$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ થી દરેક તારનું અંતર $d$ છે. બિંદુ $P$ ને તાર સાથે જોડતી રેખાઓ લંબ હોવાથી,બે તાર વચ્ચેનું અંતર એ $d$ અને $d$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે. તેથી,$d^2 + d^2 = (7\,cm)^2$,જે $2d^2 = 49$ આપે છે,તેથી $d = \frac{7}{\sqrt{2}}\,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2}\,m = 5 \times 10^{-2}\,m$.
લાંબા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi d}$ છે.
તાર $1$ $(i_1 = 8\,A)$ માટે,$B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2\pi d}$.
તાર $2$ $(i_2 = 15\,A)$ માટે,$B_2 = \frac{\mu_0 \times 15}{2\pi d}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi d} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{net}} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{64 + 225} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \times 17 = 68 \times 10^{-6}\,T$.

(C) $xy$ સમતલમાં રહેલા પ્રવાહ લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ $z$-અક્ષની સાથે લૂપના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$xy$ સમતલમાં (કોઇલના સમતલમાં) કોઈપણ બિંદુએ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ સમતલને લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો માત્ર $z$-ઘટક છે. તેથી,$z = 0$ પર $B_y = 0$ થાય છે.
જેમ આપણે $z$-અક્ષથી $a$ જેટલા નિશ્ચિત અંતરે ($yz$ સમતલમાં) $z$-અક્ષની સાથે આગળ વધીએ છીએ,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વળાંક લે છે. $z > 0$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $y$-ઘટક $(B_y)$ ધન છે,અને $z < 0$ માટે,લૂપની સમપ્રમાણતા અને પ્રવાહની દિશાને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $y$-ઘટક $(B_y)$ ઋણ છે.
તેથી,$B_y$ વિરુદ્ધ $z$ નો આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ અને અસમપ્રમાણ (antisymmetric) વર્તણૂક દર્શાવવો જોઈએ,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) પ્રવાહની ગોઠવણી બે વળેલા તારની બનેલી છે. બિંદુ $O$ એ વિભાગ $BC$ અને $ET$ થી $a$ જેટલા લંબ અંતરે છે.
અર્ધ-અનંત તાર માટે,છેડાથી $r$ જેટલા લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિભાગ $AB$ અને $ED$ અનુક્રમે ખૂણા $B$ અને $E$ તરફ નિર્દેશિત છે,અને $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેમનું યોગદાન શૂન્ય છે કારણ કે બિંદુ $O$ આ વિભાગોની રેખા પર આવેલું છે.
વિભાગ $BC$ અને $ET$ બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $O$ પર $BC$ માં પ્રવાહને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બહારની તરફ (સપાટીને લંબ) નિર્દેશિત છે.
બિંદુ $O$ પર $ET$ માં પ્રવાહને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ બહારની તરફ નિર્દેશિત છે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ નીચે મુજબ છે:
$B_0 = B_{BC} + B_{ET} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.

(C) $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે,$N_1 = 4$ અને $B_1 = 32 \ T$. તેથી,$32 = \frac{\mu_0 \cdot 4 \cdot i}{2R_1} \implies 32 = \frac{2 \mu_0 i}{R_1}$.
જ્યારે $L$ લંબાઈના તારને ખોલીને ફરીથી એક આંટા $(N_2 = 1)$ માં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પરિઘ સમાન રહે છે: $L = 2\pi R_1 \cdot N_1 = 2\pi R_2 \cdot N_2$.
$N_1 = 4$ અને $N_2 = 1$ હોવાથી,$4(2\pi R_1) = 1(2\pi R_2)$,જે $R_2 = 4R_1$ આપે છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 i}{2R_2} = \frac{\mu_0 \cdot 1 \cdot i}{2(4R_1)} = \frac{\mu_0 i}{8R_1}$ છે.
$B_1$ અને $B_2$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 i / 8R_1}{2 \mu_0 i / R_1} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$B_2 = \frac{B_1}{16} = \frac{32}{16} = 2 \ T$.