Electric potential Questions in Gujarati

(B) અનંત અંતરેથી ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતભાર $Q$ લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = V \cdot Q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ચાર વિદ્યુતભારોને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી ચાર વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$r_1 = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
$r_2 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$r_3 = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$r_4 = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$
ઉગમબિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r_1} + \frac{Q}{r_2} + \frac{Q}{r_3} + \frac{Q}{r_4} \right)$
$V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \right)$
$V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{2}{2\sqrt{5}} \right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $W = V \cdot Q = \frac{Q^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ છે.

(B) $r_0$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < r_0)$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r_0}$ જેટલું હોય છે.
$2$. કવચની બહાર $(r > r_0)$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ $V = \frac{kq}{r}$ મુજબ ઘટે છે,જે હાયપરબોલિક ફેરફાર છે.
$3$. આલેખ $r < r_0$ માટે અચળ મૂલ્ય અને $r > r_0$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે,જે સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના વર્તનને અનુરૂપ છે.

(D) ધારો કે નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને પોલા કવચની ત્રિજ્યા $r_2$ છે。
પ્રથમ સ્થિતિમાં, નક્કર ગોળા પર $Q$ વિદ્યુતભાર છે અને કવચ વિદ્યુતભારરહિત છે。
નક્કર ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_{in} = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(0)}{r_2} = \frac{kQ}{r_1}$ છે。
પોલા કવચનું સ્થિતિમાન $V_{out} = \frac{kQ}{r_2} + \frac{k(0)}{r_2} = \frac{kQ}{r_2}$ છે。
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{in} - V_{out} = kQ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે。
બીજી સ્થિતિમાં, કવચને $-4Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે。
નક્કર ગોળાનું સ્થિતિમાન $V'_{in} = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(-4Q)}{r_2} = \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2}$ છે。
પોલા કવચનું સ્થિતિમાન $V'_{out} = \frac{kQ}{r_2} + \frac{k(-4Q)}{r_2} = -\frac{3kQ}{r_2}$ છે。
નવો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = V'_{in} - V'_{out} = \left( \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2} \right) - \left( -\frac{3kQ}{r_2} \right)$ છે。
$V' = \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2} + \frac{3kQ}{r_2} = \frac{kQ}{r_1} - \frac{kQ}{r_2} = kQ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = V$ છે。
આમ, સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જ રહે છે。

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર $z$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + z^2}}$ છે.
અહીં,$R = 3a$. $z = 4a$ આગળ,સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = qV = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2}} = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (5a)}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(z = 0)$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = qV = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (3a)}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$. કણ ઉગમબિંદુને પાર કરે તે માટે $K_f = 0$ લેતા,
$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (5a)} = 0 + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (3a)}$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} (\frac{2}{15})$.
$v^2 = \frac{2}{m} \cdot \frac{2}{15} \cdot \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a}$.
$v = \sqrt{\frac{2}{m}} \left( \frac{2}{15} \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} \right)^{1/2}$.

(C) $Q$ વીજભાર ધરાવતો કણ જ્યારે $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાંથી પ્રવેગિત થાય ત્યારે તેને મળતી ગતિઊર્જા $K = QV$ છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,તેની અંતિમ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જ્યાં $v$ એ વેગ છે.
વેગમાન $p$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mK}$ છે.
આ સમીકરણમાં $K = QV$ મૂકતા,આપણને $p = \sqrt{2mQV}$ મળે છે.

(A) બે બિંદુઓ વચ્ચે $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = q(V_2 - V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતભાર ઇલેક્ટ્રોન છે,તેથી $q = -e$.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = -60\, V$ અને અંતિમ સ્થિતિમાન $V_2 = -20\, V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = -e(-20\, V - (-60\, V))$
$W = -e(-20\, V + 60\, V)$
$W = -e(40\, V)$
$W = -40\, eV$.
નોંધ: પ્રશ્ન બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્ય વિશે પૂછે છે. ઇલેક્ટ્રોનને ઓછા સ્થિતિમાનથી વધુ સ્થિતિમાન તરફ લઈ જવામાં આવે છે,તેથી બાહ્ય કાર્ય ધન હોય છે જો આપણે સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફારને ધ્યાનમાં લઈએ. જોકે,પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યા $W = q\Delta V$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-40\, eV$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,મૂલ્ય $40\, eV$ છે.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = q \Delta V$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $\Delta V$ એ સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારને ઓછા સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારમાંથી વધુ સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારમાં ખસેડવામાં આવે,ત્યારે સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_{final} - V_{initial}$ ધન હોય છે.
જો વિદ્યુતભાર $q$ ધન હોય,તો $\Delta U = (+q)(+\Delta V) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિઊર્જા વધે છે.
જો વિદ્યુતભાર $q$ ઋણ હોય,તો $\Delta U = (-q)(+\Delta V) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિઊર્જા ઘટે છે.
તેથી,વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ વિદ્યુતભાર $q$ ની સંજ્ઞા પર આધાર રાખે છે.

(B) સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે. સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં કોઈપણ બંધ માર્ગ માટે,કરવામાં આવતું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવામાં થતું કાર્ય $W_{AB} = 2 \, J$ છે.
વિદ્યુતભારને $B$ થી $C$ સુધી લઈ જવામાં થતું કાર્ય $W_{BC} = -3 \, J$ છે.
સંરક્ષી બળના ગુણધર્મ મુજબ,બંધ માર્ગ $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ પર થતા કાર્યનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2 + (-3) + W_{CA} = 0$
$-1 + W_{CA} = 0$
$W_{CA} = 1 \, J$
તેથી,વિદ્યુતભારને $C$ થી $A$ સુધી લાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $1 \, J$ છે.

(D) બિંદુ $P$ થી બિંદુ $Q$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_Q - V_P)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતભાર $q$ એ $100$ ઇલેક્ટ્રોનનો કુલ વિદ્યુતભાર છે,તેથી $q = 100 \times (-e) = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \, C) = -1.6 \times 10^{-17} \, C$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_Q - V_P = -4 \, V - 10 \, V = -14 \, V$ છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = (-1.6 \times 10^{-17} \, C) \times (-14 \, V) = 22.4 \times 10^{-17} \, J = 2.24 \times 10^{-16} \, J$ થાય.

(A) સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$\sigma = \frac{q}{4 \pi R^2}$.
બંને ગોળાઓ માટે સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ મળે.
તેથી,ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = \sigma (4 \pi R_1^2)$ અને $q_2 = \sigma (4 \pi R_2^2)$ થાય.
વિદ્યુતભારીત ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{k (\sigma 4 \pi R^2)}{R} = k \sigma 4 \pi R$ મળે છે.
અહીં $k$,$\sigma$ અને $4 \pi$ અચળાંક હોવાથી,સ્થિતિમાન એ ત્રિજ્યાના સમપ્રમાણમાં છે: $V \propto R$.
તેથી,તેમના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_2}$ થાય.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$.
$a$ બાજુવાળા ચોરસ $ABCD$ માં:
$1$. $A$ થી $D$ નું અંતર $r_A = a$ છે.
$2$. $B$ થી $D$ નું અંતર ચોરસનો વિકર્ણ છે,$r_B = a\sqrt{2}$.
$3$. $C$ થી $D$ નું અંતર $r_C = a$ છે.
$D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_D = \frac{kq_A}{r_A} + \frac{kq_B}{r_B} + \frac{kq_C}{r_C}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_D = \frac{kq}{a} + \frac{k(\sqrt{2}q)}{a\sqrt{2}} + \frac{k(2q)}{a}$.
$V_D = \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a} + \frac{2kq}{a} = \frac{kq}{a}(1 + 1 + 2) = \frac{4kq}{a}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત મુજબ,સપાટી પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે:
$\frac{kq_1}{r_1^2} = \frac{kq_2}{r_2^2}$
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \quad -(1)$
વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{R}$ છે.
તેમના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{kq_1 / r_1}{kq_2 / r_2} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{r_2}{r_1}$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{q_1}{q_2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1^2}{r_2^2} \right) \cdot \left( \frac{r_2}{r_1} \right) = \frac{r_1}{r_2}$
આમ,તેમના વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $(r_1 / r_2)$ છે.

(B) પ્રથમ ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_1 = K \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{a} \right)$ અને બીજા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_2 = K \left( \frac{q_2}{r} + \frac{q_1}{a} \right)$ છે,જ્યાં $K$ એ સ્થિત-વિદ્યુત અચળાંક છે.
આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$V_1 = K \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{a} \right) \implies \frac{V_1}{K} = \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{a} \quad (1)$
$V_2 = K \left( \frac{q_2}{r} + \frac{q_1}{a} \right) \implies \frac{V_2}{K} = \frac{q_2}{r} + \frac{q_1}{a} \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $a$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $r$ વડે ગુણતા:
$a \frac{V_1}{K} = \frac{aq_1}{r} + q_2$
$r \frac{V_2}{K} = q_2 + \frac{rq_1}{a}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{rV_2 - aV_1}{K} = q_1 \left( \frac{r}{a} - \frac{a}{r} \right) = q_1 \left( \frac{r^2 - a^2}{ar} \right)$
$q_1$ માટે ઉકેલતા:
$q_1 = \frac{1}{K} \left( \frac{rV_2 - aV_1}{r^2 - a^2} \right) ra$
તે જ રીતે,$q_2$ માટે ઉકેલતા:
$q_2 = \frac{1}{K} \left( \frac{rV_1 - aV_2}{r^2 - a^2} \right) ra$

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $E$ માટે,જે બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,અંતર $AE = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$,$BE = a$,$CE = a$,અને $DE = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$ છે.
$E$ પરનું સ્થિતિમાન $V_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q}{a\sqrt{5}} + \frac{q}{a} - \frac{q}{a} - \frac{q}{a\sqrt{5}} \right) = 0$ થાય છે.
તેથી,$E$ પરના સ્થિતિમાનનો $F$ પરના સ્થિતિમાન સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{V_E}{V_F} = \frac{0}{V_F} = 0$ થાય છે (ધારો કે $V_F \neq 0$).

(A) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના શેલ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1$ છે અને $2r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના શેલ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2$ છે.
અંદરના શેલની સપાટી પરનું પોટેન્શિયલ:
$V_{in} = \frac{kQ_1}{r} + \frac{kQ_2}{2r} = 10\,V$ --- $(1)$
બહારના શેલની સપાટી પરનું પોટેન્શિયલ:
$V_{out} = \frac{kQ_1}{2r} + \frac{kQ_2}{2r} = 5\,V$ --- $(2)$
શેલના કેન્દ્ર પરનું પોટેન્શિયલ બંને શેલને કારણે ઉદ્ભવતા પોટેન્શિયલનો સરવાળો છે:
$V_{centre} = \frac{kQ_1}{r} + \frac{kQ_2}{2r}$
આ સમીકરણની સમીકરણ $(1)$ સાથે સરખામણી કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કેન્દ્ર પરનું પોટેન્શિયલ અંદરના શેલની સપાટી પરના પોટેન્શિયલ જેટલું જ છે.
તેથી, $V_{centre} = 10\,V$.

(B) વિદ્યુતભારિત ગોલીય વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $q$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{R^{2}}$ થાય.
જ્યારે ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે $(R' = R/2)$,ત્યારે નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(R/2)^{2}} = 4 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R^{2}} \right) = 4E$ થાય.
વાહકનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $q$ અચળ હોવાથી,$V \propto \frac{1}{R}$ થાય.
જ્યારે ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે $(R' = R/2)$,ત્યારે નવું સ્થિતિમાન $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(R/2)} = 2 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R} \right) = 2V$ થાય.
આમ,નવા મૂલ્યો $4E$ અને $2V$ થશે.

(B) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એટલે કે એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય,જેમાં ગતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
સૂત્ર: $V = \frac{W_{ext}}{q}$
આપેલ છે:
કાર્ય $W_{ext} = 20\,\mu J = 20 \times 10^{-6}\,J$
વિદ્યુતભાર $q = 2\,\mu C = 2 \times 10^{-6}\,C$
ગણતરી:
$V = \frac{20 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-6}} = 10\,V$
તેથી,તે બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $10\,V$ થશે.

(B) $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
વાહકની અંદર,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય છે કારણ કે વિદ્યુતભારો સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં હોય છે.
જો કે,વાહકની અંદર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગોળાના કેન્દ્ર પર,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ છે અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $0$ છે.

(C) પોલા ધાતુના ગોળા માટે,તેની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે $(E = 0)$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) જેટલું હોવાથી $(E = -dV/dr)$,જો $E = 0$ હોય,તો સ્થિતિમાન $V$ અંદરના ભાગમાં અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,કેન્દ્ર સહિત,સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $80 \; V$ છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન પણ $80 \; V$ થશે.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ છે. દરેક શિરોબિંદુ પર $Q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે. ધારો કે $P$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$P$ થી શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ નું અંતર $r_1 = r_2 = d/2$ છે.
$P$ થી શિરોબિંદુ $A$ નું અંતર એ ત્રિકોણનો વેધ છે,$h = \frac{\sqrt{3}}{2}d$.
$P$ પર કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ ત્રણેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V_P = V_A + V_B + V_C$.
$V_P = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{Q}{h} + \frac{Q}{d/2} + \frac{Q}{d/2} \right) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}d} + \frac{2}{d} + \frac{2}{d} \right)$.
$V_P = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 d} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 4 \right) = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 d} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \right)$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની દિશા ઊંચા પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ હોય છે.
ઈલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભાર $q = -e$ ધરાવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વીજભાર ઋણ હોવાથી,ઈલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,ઈલેક્ટ્રોન નીચા પોટેન્શિયલથી ઊંચા પોટેન્શિયલ તરફ ગતિ કરે છે.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું સ્થિતિમાન છે.
આપેલ છે કે,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{max} = 10^7\,V/m$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.10\,m$ છે.
મહત્તમ સ્થિતિમાન $V_{max}$ શોધવા માટે,આપણે $V_{max} = E_{max} \times r$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $V_{max} = 10^7\,V/m \times 0.10\,m$.
$V_{max} = 10^7 \times 10^{-1} = 10^6\,V$.
આમ,ગોળાને $10^6\,V$ ના મહત્તમ સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરી શકાય છે.

(A) ધારો કે $+q$ વિદ્યુતભારથી જે અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તે અંતર $x$ (મીટરમાં) છે.
આ બિંદુએ કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{x} + \frac{-3q}{1-x} \right) = 0$
અહીં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \neq 0$ હોવાથી:
$\frac{q}{x} - \frac{3q}{1-x} = 0$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{1-x}$
$1 - x = 3x$
$1 = 4x$
$x = \frac{1}{4} \, m = 0.25 \, m = 25 \, cm$.
આમ,જરૂરી અંતર $25 \, cm$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તંત્ર માટે,$+q$ વિદ્યુતભારો $x = x_0, 3x_0, 5x_0, \dots$ પર અને $-q$ વિદ્યુતભારો $x = 2x_0, 4x_0, 6x_0, \dots$ પર છે.
ઉગમબિંદુ પરનું સ્થિતિમાન:
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{x_0} - \frac{1}{2x_0} + \frac{1}{3x_0} - \frac{1}{4x_0} + \dots \right)$
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x_0} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right)$
$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ માટે,આપણને $\log_e(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ મળે છે.
આ કિંમત $V$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x_0} \log_e 2$.

(A) ધારો કે આંતરિક કવચ $B$ ની ત્રિજ્યા $R_1$ અને વિદ્યુતભાર $Q_1$ છે,અને બહારના કવચ $A$ ની ત્રિજ્યા $R_2$ અને વિદ્યુતભાર $Q_2$ છે.
બહારના કવચ $A$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{R_2}$ છે.
આંતરિક કવચ $B$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} \right)$ છે.
કવચો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} - \frac{Q_1 + Q_2}{R_2} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} Q_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આ દર્શાવે છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ફક્ત આંતરિક કવચના વિદ્યુતભાર $Q_1$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
બહારના કવચના વિદ્યુતભાર $Q_2$ ને કારણે તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (આંતરિક કવચની સપાટી સહિત) વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_2}{R_2}$ જેટલું હોય છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે સમજાવે છે કે શા માટે વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતની ગણતરીમાં $Q_2$ પદ રદ થાય છે.

(C) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ એટલે એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય,જે $V = W/q$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $(U)$ એ વિદ્યુતભારોના તંત્રને રચવા માટે કરવું પડતું કુલ કાર્ય છે,જે $U = qV$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$U$ અને $V$ ના પારિમાણિક સૂત્રો અલગ હોવાથી ($V$ માટે $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ અને $U$ માટે $[ML^2T^{-2}A^{-1}]$),તે અલગ ભૌતિક રાશિઓ છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે $U = V$,જે પારિમાણિક રીતે અસંગત અને ભૌતિક રીતે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(N/A) $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $Q = 4 \times 10^{-7} \; C$ અને $r = 9 \; cm = 0.09 \; m$ છે.
$V = (9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}) \times \frac{4 \times 10^{-7} \; C}{0.09 \; m} = 4 \times 10^{4} \; V$.
$(b)$ $q$ વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી બિંદુ $P$ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = qV$ છે.
અહીં $q = 2 \times 10^{-9} \; C$ છે.
$W = (2 \times 10^{-9} \; C) \times (4 \times 10^{4} \; V) = 8 \times 10^{-5} \; J$.
ના,કરવું પડતું કાર્ય માર્ગ પર આધારિત નથી કારણ કે સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે. કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખે છે.

(N/A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ એ ધન વિદ્યુતભારના સ્થાન પર છે. બંને વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને $x$-અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે; ઋણ વિદ્યુતભાર ઉગમબિંદુની જમણી બાજુએ છે.
ધારો કે $P$ એ $x$-અક્ષ પરનું જરૂરી બિંદુ છે જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
જો $x$ એ $P$ નો $x$-યામ હોય,તો સ્પષ્ટપણે $x$ ધન હોવો જોઈએ. જો $x$ એ $O$ અને $A$ ની વચ્ચે હોય,તો આપણને મળે:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{3 \times 10^{-8}}{x \times 10^{-2}} - \frac{2 \times 10^{-8}}{(15-x) \times 10^{-2}} \right] = 0$
જ્યાં $x$ એ $cm$ માં છે. એટલે કે,
$\frac{3}{x} - \frac{2}{15-x} = 0$
જેનાથી $x = 9 \; cm$ મળે છે.
જો $x$ એ $OA$ રેખાના વિસ્તૃત ભાગ પર હોય,તો જરૂરી શરત છે:
$\frac{3}{x} - \frac{2}{x-15} = 0$
જેનાથી $x = 45 \; cm$ મળે છે.
આમ,ધન વિદ્યુતભારથી $9 \; cm$ અને $45 \; cm$ અંતરે ઋણ વિદ્યુતભારની બાજુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે.

(A-D) $V \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,ધન વિદ્યુતભારની નજીક સ્થિતિમાન વધારે હોય છે. તેથી,$V_{P} > V_{Q}$,એટલે કે $(V_{P}-V_{Q})$ ધન છે. ઋણ વિદ્યુતભાર માટે,તેની નજીક સ્થિતિમાન વધુ ઋણ હોય છે. તેથી,$V_{B} > V_{A}$ (કારણ કે $V_{A}$ વધુ ઋણ છે),એટલે કે $(V_{B}-V_{A})$ ધન છે.
$(b)$ સ્થિતિઊર્જા $U = qV$. ઋણ વિદ્યુતભાર $q < 0$ માટે,જો $V_{P} > V_{Q}$ હોય,તો $U_{P} < U_{Q}$ થાય. તેથી તફાવત $(U_{P}-U_{Q})$ ઋણ છે. તેવી જ રીતે,ઋણ વિદ્યુતભાર માટે,$V_{B} > V_{A}$ હોવાથી,$U_{B} > U_{A}$ થાય,તેથી $(U_{A}-U_{B})$ ઋણ છે.
$(c)$ ધન વિદ્યુતભાર ધન સ્ત્રોત વિદ્યુતભાર દ્વારા અપાકર્ષણ બળ અનુભવે છે. તેને $Q$ થી $P$ (નજીક) લઈ જવા માટે ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. તેથી,ક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ છે.
$(d)$ ઋણ વિદ્યુતભારને $B$ થી $A$ (ઋણ સ્ત્રોતની નજીક) લઈ જવા માટે અપાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. તેથી,બાહ્ય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે.
$(e)$ જેમ ઋણ વિદ્યુતભાર $B$ થી $A$ તરફ જાય છે,તેમ તે ઋણ સ્ત્રોત વિદ્યુતભારની નજીક જાય છે અને વધુ અપાકર્ષણ બળ અનુભવે છે. આ બળ ઋણ કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ગતિઊર્જા ઘટે છે.

(N/A) કાર્ય એ વિદ્યુતભારોની અંતિમ ગોઠવણી પર આધાર રાખે છે,તે કેવી રીતે ગોઠવવામાં આવ્યા છે તેના પર નહીં,તેથી આપણે $A, B, C$ અને $D$ પર વિદ્યુતભારો મૂકવા માટે જરૂરી કાર્યની ગણતરી કરીએ છીએ. ધારો કે,પ્રથમ $+q$ વિદ્યુતભારને $A$ પર લાવવામાં આવે છે,અને ત્યારબાદ $-q, +q,$ અને $-q$ વિદ્યુતભારોને અનુક્રમે $B, C$ અને $D$ પર લાવવામાં આવે છે. કુલ જરૂરી કાર્ય નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$(i)$ જ્યારે અન્ય કોઈ વિદ્યુતભાર હાજર ન હોય ત્યારે $+q$ ને $A$ પર લાવવા માટે જરૂરી કાર્ય: આ $0$ છે.
$(ii)$ જ્યારે $+q$ એ $A$ પર હોય ત્યારે $-q$ ને $B$ પર લાવવા માટે જરૂરી કાર્ય: આ ($B$ પરનો વિદ્યુતભાર) $\times$ ($A$ પરના $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે $B$ પરનું સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W_2 = -q \times \left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} d}\right) = -\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} d}$
$(iii)$ જ્યારે $+q$ એ $A$ પર અને $-q$ એ $B$ પર હોય ત્યારે $+q$ ને $C$ પર લાવવા માટે જરૂરી કાર્ય: આ ($C$ પરનો વિદ્યુતભાર) $\times$ ($A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $C$ પરનું સ્થિતિમાન) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W_3 = +q \left(\frac{+q}{4 \pi \varepsilon_{0} d \sqrt{2}} + \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_{0} d}\right) = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} d} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1\right)$
$(iv)$ જ્યારે $+q$ એ $A$ પર,$-q$ એ $B$ પર અને $+q$ એ $C$ પર હોય ત્યારે $-q$ ને $D$ પર લાવવા માટે જરૂરી કાર્ય: આ ($D$ પરનો વિદ્યુતભાર) $\times$ ($A, B$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $D$ પરનું સ્થિતિમાન) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W_4 = -q \left(\frac{+q}{4 \pi \varepsilon_{0} d} + \frac{-q}{4 \pi \varepsilon_{0} d \sqrt{2}} + \frac{+q}{4 \pi \varepsilon_{0} d}\right) = -\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} d} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
પગલાં $(i), (ii), (iii)$ અને $(iv)$ માં કરેલા કાર્યનો સરવાળો કરતા,કુલ જરૂરી કાર્ય:
$W = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = \frac{-q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} d} (4 - \sqrt{2})$
$(b)$ જ્યારે ચાર વિદ્યુતભારો $A, B, C$ અને $D$ પર હોય ત્યારે $q_{0}$ વિદ્યુતભારને બિંદુ $E$ પર લાવવા માટે જરૂરી વધારાનું કાર્ય $q_{0} \times$ ($A, B, C$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $E$ પરનું સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન) છે. $E$ પરનું સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે કારણ કે $A$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન $B$ અને $D$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાન દ્વારા રદ થાય છે. તેથી,બિંદુ $E$ પર કોઈપણ વિદ્યુતભાર લાવવા માટે કોઈ કાર્યની જરૂર નથી.

(N/A) આપેલ વિદ્યુતભારો $q_{1} = 5 \times 10^{-8} \; C$ અને $q_{2} = -3 \times 10^{-8} \; C$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 16 \; cm = 0.16 \; m$ છે.
કિસ્સો $1$: બિંદુ $P$ એ વિદ્યુતભારોની વચ્ચે $q_{1}$ થી $r$ અંતરે છે.
બિંદુ $P$ પાસે સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r} + \frac{q_{2}}{d-r} \right)$ થાય.
$V = 0$ લેતા,$\frac{q_{1}}{r} = -\frac{q_{2}}{d-r}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5 \times 10^{-8}}{r} = -\frac{-3 \times 10^{-8}}{0.16-r}$.
$5(0.16 - r) = 3r \Rightarrow 0.8 - 5r = 3r \Rightarrow 8r = 0.8 \Rightarrow r = 0.1 \; m = 10 \; cm$.
કિસ્સો $2$: બિંદુ $P$ એ વિદ્યુતભારોની બહાર $q_{1}$ થી $s$ અંતરે છે.
બિંદુ $P$ પાસે સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{s} + \frac{q_{2}}{s-d} \right)$ થાય.
$V = 0$ લેતા,$\frac{q_{1}}{s} = -\frac{q_{2}}{s-d}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5 \times 10^{-8}}{s} = -\frac{-3 \times 10^{-8}}{s-0.16}$.
$5(s - 0.16) = 3s \Rightarrow 5s - 0.8 = 3s \Rightarrow 2s = 0.8 \Rightarrow s = 0.4 \; m = 40 \; cm$.
આમ,સ્થિતિમાન ધન વિદ્યુતભારની વચ્ચે $10 \; cm$ અંતરે અને તંત્રની બહાર $40 \; cm$ અંતરે શૂન્ય થાય છે.

(D) આપેલ આકૃતિ નિયમિત ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર છ સમાન વિદ્યુતભારો $q$ દર્શાવે છે.
વિદ્યુતભાર,$q = 5 \; \mu C = 5 \times 10^{-6} \; C$
ષટ્કોણની બાજુ,$l = 10 \; cm = 0.1 \; m$
નિયમિત ષટ્કોણમાં,દરેક શિરોબિંદુનું કેન્દ્ર $O$ થી અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે. તેથી,અંતર $d = 10 \; cm = 0.1 \; m$.
$d$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શિરોબિંદુઓ પર છ સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો થશે:
$V_{total} = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{d} \right)$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_{total} = 6 \times \frac{9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1}$
$V_{total} = \frac{270 \times 10^{3}}{0.1} = 2700 \times 10^{3} = 2.7 \times 10^{6} \; V$
તેથી,ષટ્કોણના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $2.7 \times 10^{6} \; V$ છે.

(B) ઉગમબિંદુ પર રહેલો વિદ્યુતભાર $q = 8 \; mC = 8 \times 10^{-3} \; C$ છે.
સ્થળાંતરિત થતો નાનો વિદ્યુતભાર $q_1 = -2 \times 10^{-9} \; C$ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી,થયેલ કાર્ય પથ પર આધારિત નથી,તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
બિંદુ $P$ પર સ્થિતિમાન ($d_1 = 3 \; cm = 0.03 \; m$ અંતરે): $V_P = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{d_1} = 9 \times 10^9 \times \frac{8 \times 10^{-3}}{0.03} = 24 \times 10^8 \; V$.
બિંદુ $Q$ પર સ્થિતિમાન ($d_2 = 4 \; cm = 0.04 \; m$ અંતરે): $V_Q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{d_2} = 9 \times 10^9 \times \frac{8 \times 10^{-3}}{0.04} = 18 \times 10^8 \; V$.
થયેલ કાર્ય $W = q_1 (V_Q - V_P) = (-2 \times 10^{-9}) \times (18 \times 10^8 - 24 \times 10^8)$.
$W = (-2 \times 10^{-9}) \times (-6 \times 10^8) = 12 \times 10^{-1} = 1.2 \; J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.27 \; J$ છે.

(C) સમઘનની બાજુની લંબાઈ $b$ છે.
તેના દરેક $8$ શિરોબિંદુઓ પર $q$ વિદ્યુતભાર છે.
સમઘનના કેન્દ્રથી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $r = \frac{1}{2} \times \text{સમઘનનો વિકર્ણ}$ થાય.
સમઘનનો વિકર્ણ $\sqrt{b^2 + b^2 + b^2} = b\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$r = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.
એક વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
અહીં $8$ વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = 8 \times V_1 = 8 \times \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(b\sqrt{3}/2)}$.
$V = \frac{8q}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{2}{b\sqrt{3}} = \frac{4q}{\sqrt{3}\pi\epsilon_0 b}$.
દરેક વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તે વિદ્યુતભારથી દૂર (જો $q>0$ હોય તો) સામેના શિરોબિંદુ તરફ હોય છે. વિદ્યુતભારો સંમિત રીતે ગોઠવાયેલા હોવાથી,સામસામેના શિરોબિંદુઓ દ્વારા ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ છે.

(N/A) આ તંત્રમાં ચાર વિદ્યુતભારો છે: $x = -a$ પર $+q$,$x = 0$ પર $-q$,$x = 0$ પર $-q$ અને $x = a$ પર $+q$. આ ગોઠવણી $x = -a$ પર $+q$,$x = 0$ પર $-2q$ અને $x = a$ પર $+q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા તંત્રને સમાન છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ ઉગમબિંદુ (જ્યાં $-2q$ વિદ્યુતભાર છે) થી $r$ અંતરે અક્ષ પર આવેલું છે.
બિંદુ $P$ થી વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$x = -a$ પરના $+q$ માટે: $d_1 = r + a$
$x = 0$ પરના $-2q$ માટે: $d_2 = r$
$x = a$ પરના $+q$ માટે: $d_3 = r - a$
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{q}{r + a} - \frac{2q}{r} + \frac{q}{r - a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{r(r - a) - 2(r^2 - a^2) + r(r + a)}{r(r^2 - a^2)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{r^2 - ra - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ra}{r(r^2 - a^2)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2 - a^2)} \right]$
જ્યારે $r >> a$ હોય,ત્યારે આપણે $r^2 - a^2 \approx r^2$ લઈ શકીએ:
$V \approx \frac{2qa^2}{4 \pi \epsilon_{0} r^3}$
આમ,વિદ્યુત ક્વાડ્રુપૉલ માટે,$V \propto \frac{1}{r^3}$.
અન્ય તંત્રો સાથે સરખામણી:
વિદ્યુત મોનોપોલ (એકલ વિદ્યુતભાર) માટે,$V \propto \frac{1}{r}$.
વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,$V \propto \frac{1}{r^2}$.

(A) $r_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આંતરિક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_{1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{q_{2}}{r_{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બાહ્ય કવચનું સ્થિતિમાન $V_{2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r_{2}} + \frac{q_{2}}{r_{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળા અને કવચ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{1} - V_{2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{q_{2}}{r_{2}} - \frac{q_{1}}{r_{2}} - \frac{q_{2}}{r_{2}} \right)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $V = \frac{q_{1}}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right)$ મળે છે.
જેમ કે $r_{2} > r_{1}$,પદ $\left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right)$ હંમેશા ધન હોય છે.
જો $q_{1} > 0$ હોય,તો $V > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $V_{1} > V_{2}$.
તેથી,જ્યારે વાયર દ્વારા જોડવામાં આવે ત્યારે વિદ્યુતભાર હંમેશા આંતરિક ગોળામાંથી બાહ્ય કવચ તરફ વહેશે,પછી ભલે $q_{2}$ નું મૂલ્ય ગમે તે હોય.

(N/A) જો કોઈ બળ દ્વારા કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય તે કયા માર્ગે ગયું છે તેના પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવાય છે. સ્થિત-વિદ્યુત બળ માટે,$q$ વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = -(U_B - U_A)$ છે,જે ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખે છે. બંધ ગાળામાં કરવામાં આવતું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,સ્થિત-વિદ્યુત બળો સંરક્ષી છે.
સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાની વ્યાખ્યા: એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી વિદ્યુતક્ષેત્રના કોઈ ચોક્કસ બિંદુ સુધી અચળ ઝડપે (પ્રવેગિત કર્યા વગર) લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યને તે બિંદુએ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા કહેવામાં આવે છે.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્રના દરેક બિંદુએ,$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ ચોક્કસ સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા ધરાવે છે. આ વિદ્યુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય તેની સ્થિતિઊર્જામાં $R$ અને $P$ બિંદુઓ વચ્ચેના સ્થિતિઊર્જાના તફાવત જેટલો વધારો કરે છે.
આમ,સ્થિતિઊર્જાનો તફાવત:
$\Delta U = U_{P} - U_{R} = W_{RP}$
તેથી,આપણે બે બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાના તફાવતને કોઈપણ મનસ્વી વિદ્યુતભાર ગોઠવણીના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $q$ વિદ્યુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી (પ્રવેગિત કર્યા વિના) લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.
નીચે મુજબની ટિપ્પણીઓ કરી શકાય છે:
$(i)$ કાર્ય માત્ર વિદ્યુતભારના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવામાં સ્થિતવિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર છે. આ સંરક્ષી બળની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે.
$(ii)$ સ્થિતિઊર્જાનું વાસ્તવિક મૂલ્ય મહત્વનું નથી; માત્ર સ્થિતિઊર્જાનો તફાવત જ ભૌતિક રીતે મહત્વનો છે. જો આપણે દરેક બિંદુએ સ્થિતિઊર્જામાં કોઈ મનસ્વી અચળાંક $\alpha$ ઉમેરીએ,તો તફાવત બદલાતો નથી: $(U_{P} + \alpha) - (U_{R} + \alpha) = U_{P} - U_{R}$.
જો આપણે અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈએ,તો અનંતથી $P$ બિંદુ સુધી વિદ્યુતભાર લાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_{\infty P} = U_{P}$ થાય છે. આમ,કોઈ બિંદુએ $q$ વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જાને અનંતથી તે બિંદુ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લાવવા માટે બાહ્ય બળ (વિદ્યુતક્ષેત્રના બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ) દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(N/A) વોલ્ટેજ,જેને વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત પણ કહેવામાં આવે છે,તે વિદ્યુત પરિપથમાં બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે જરૂરી એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ ઉર્જાનું માપ છે.
તે તે 'દબાણ' અથવા 'બળ' દર્શાવે છે જે વાહકમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહને વહેવડાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $V = \frac{W}{Q}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
વોલ્ટેજનો $SI$ એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે.

(N/A) $1 \ eV$ (ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) એટલે કે જ્યારે કોઈ ઇલેક્ટ્રોનને $1 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેના દ્વારા મેળવેલી ગતિઉર્જાનું મૂલ્ય.
ગાણિતિક રીતે,$1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$.

(N/A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા એટલે અનંત અંતરેથી વિદ્યુતભારોને તેમની વર્તમાન સ્થિતિમાં લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કુલ કાર્ય,જેમાં વિદ્યુતભારોનો વેગ બદલાતો નથી (પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે).
ગાણિતિક રીતે,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્ર માટે સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી આપેલા બિંદુ સુધી લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવા પડતા કાર્યને તે બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન કહેવામાં આવે છે. તેને $V$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર એક સ્ત્રોત વિદ્યુતભાર $Q$ છે. $P$ એ $O$ થી અમુક અંતરે આવેલું બિંદુ છે અને $R$ એ અનંત અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી બિંદુ $P$ સુધી લાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ તે વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા છે.
જો $U_P$ એ બિંદુ $P$ પરની સ્થિતિઊર્જા હોય અને $U_R$ એ બિંદુ $R$ પરની સ્થિતિઊર્જા હોય,તો આ બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{U_P - U_R}{q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$V_P - V_R = \frac{U_P - U_R}{q}$,જ્યાં $V_P$ અને $V_R$ એ અનુક્રમે બિંદુ $P$ અને $R$ પરના સ્થિતિમાન છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ભૌતિક રીતે મહત્વનું નથી,માત્ર સ્થિતિમાનનો તફાવત જ મહત્વનો છે. પરંપરા મુજબ,આપણે અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય લઈએ છીએ $(V_R = 0)$.
તેથી,$V_P = \frac{U_P}{q}$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો $SI$ એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે,જ્યાં $1 \ V = 1 \ J/C$. અન્ય એકમોમાં $CGS$ પદ્ધતિમાં સ્ટેટવોલ્ટ $(statV)$ નો સમાવેશ થાય છે,જ્યાં $1 \ V = \frac{1}{300} \ statV$.

(A) કોઈ બિંદુએ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાનને અનંત અંતરેથી એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને વિદ્યુતક્ષેત્રમાં તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે,તેથી સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાન પણ એક અદિશ રાશિ છે.
તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા જોડાયેલી હોતી નથી.

(N/A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ રહેલો છે. $Q$ થી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન એટલે અનંત અંતરેથી એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને બિંદુ $P$ સુધી લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવું પડતું કાર્ય.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી,કાર્ય માર્ગ પર આધારિત નથી. આપણે અનંતથી $P$ સુધીનો ત્રિજ્યાવર્તી માર્ગ પસંદ કરીએ છીએ.
$O$ થી $r^{\prime}$ અંતરે આવેલા કોઈ મધ્યવર્તી બિંદુ $P^{\prime}$ પર,એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q \times 1}{(r^{\prime})^{2}} = \frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}}$
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ ની વિરુદ્ધમાં બાહ્ય બળ $F_{ext}$ દ્વારા વિદ્યુતભારની દિશામાં $dr^{\prime}$ જેટલા સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર માટે કરવું પડતું કાર્ય:
$dW = F_{ext} \cdot dr^{\prime} = -F \cdot dr^{\prime} = -\frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}} dr^{\prime}$
અનંતથી $r$ અંતર સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે,આપણે આ સમીકરણનું સંકલન કરીએ:
$W = \int_{\infty}^{r} -\frac{kQ}{(r^{\prime})^{2}} dr^{\prime}$
$W = -kQ \int_{\infty}^{r} (r^{\prime})^{-2} dr^{\prime}$
$W = -kQ \left[ -\frac{1}{r^{\prime}} \right]_{\infty}^{r}$
$W = kQ \left[ \frac{1}{r} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{kQ}{r}$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા મુજબ $V = \frac{W}{q_{0}}$ અને $q_{0} = 1 \text{ C}$ હોવાથી:
$V(r) = \frac{kQ}{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r}$

(N/A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $r$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kQ}{r}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ એ કુલંબનો અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V \propto \frac{1}{r}$.
જેમ જેમ અંતર $r$ વધે છે,તેમ સ્થિતિમાન $V$ હાયપરબોલિક રીતે ઘટે છે.
જો વિદ્યુતભાર $Q$ ધન હોય,તો તમામ $r > 0$ માટે સ્થિતિમાન $V$ ધન રહે છે. જો વિદ્યુતભાર $Q$ ઋણ હોય,તો તમામ $r > 0$ માટે સ્થિતિમાન $V$ ઋણ રહે છે.
$V$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ એક અતિવલય (hyperbola) છે જે $r \to \infty$ થાય ત્યારે $r$-અક્ષની નજીક પહોંચે છે અને $r \to 0$ થાય ત્યારે અનંત તરફ જાય છે.

(N/A)

વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$	વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $(U)$
$(1)$ એકમ ધન વિદ્યુતભારને વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ અનંત અંતરેથી કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરેલા કાર્યને વિદ્યુત સ્થિતિમાન કહે છે।	$(1)$ $q$ જેટલા વિદ્યુતભારને વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ અનંત અંતરેથી કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરેલા કાર્યને વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા કહે છે।
$(2)$ $SI$ એકમ: $J \cdot C^{-1}$ અથવા $\text{Volt} (V)$.	$(2)$ $SI$ એકમ: $J$ (જૂલ).
$(3)$ સૂત્ર: $V = \frac{W}{q}$, જ્યાં $q$ એ એકમ ધન વિદ્યુતભાર છે।	$(3)$ સૂત્ર: $U = qV$.
$(4)$ પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}]$.	$(4)$ પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^1 L^2 T^{-2}]$.

(N/A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે રહેલા બિંદુએ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$.
ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,આપણે $q = -|q|$ મૂકીએ છીએ.
તેથી,ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાનનું સમીકરણ: $V = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r}$ થાય,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થિતિમાન $V$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $V \propto \frac{1}{r}$.
જેમ $r$ વધે છે,તેમ $V$ લંબગોળ અતિવલય (rectangular hyperbola) વક્રને અનુસરીને ઘટે છે.
તેથી,$V$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ એક એવો વક્ર છે જેમાં $r$ વધવાની સાથે $V$ ઘટે છે,જે $V \propto \frac{1}{r}$ સંબંધને અનુરૂપ છે.

(N/A) ધારો કે $q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{N}$ વિદ્યુતભારોની એક સિસ્ટમ છે જે બિંદુ $P$ થી અનુક્રમે $r_{1P}, r_{2P}, r_{3P}, \ldots, r_{NP}$ અંતરે આવેલા છે.
કોઈ એક વિદ્યુતભાર $q_{i}$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{i}}{r_{iP}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ હોવાથી,$N$ વિદ્યુતભારોની સિસ્ટમને કારણે બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_{1} + V_{2} + V_{3} + \ldots + V_{N}$
દરેક સ્થિતિમાન માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{1P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{2P}} + \ldots + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{N}}{r_{NP}}$
સામાન્ય અવયવ $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$ ને બહાર કાઢતા:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{iP}}$
અહીં,$\epsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $r_{iP}$ એ $i$-મો વિદ્યુતભાર બિંદુ $P$ થી કેટલા અંતરે છે તે દર્શાવે છે.

(N/A) સતત વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ સૂક્ષ્મ વિદ્યુતભાર ઘટકો $dq$ થી મળતા સ્થિતિમાનના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. રેખીય વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે:
$V = k \int_{L} \frac{\lambda dl}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે,$dl$ એ લંબાઈનો ઘટક છે,અને $\vec{r}'$ એ વિદ્યુતભાર ઘટકનો સ્થાન સદિશ છે.
$2$. પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે:
$V = k \int_{S} \frac{\sigma dS}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $dS$ એ ક્ષેત્રફળનો ઘટક છે.
$3$. કદ વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે:
$V = k \int_{V} \frac{\rho dV}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
જ્યાં $\rho$ એ કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $dV$ એ કદનો ઘટક છે.
બધા સમીકરણોમાં,$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ એ કુલંબનો અચળાંક છે.