Electric potential Questions in Gujarati

(C) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$KE = q \times V$
અહીં,પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $q = +e$ છે.
પ્રવેગિત વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 1 \ kV$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = 1e \times 1 \ kV$
$KE = 1 \ keV$
કણનું દળ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતી વખતે પ્રાપ્ત થતી ગતિ ઉર્જાને અસર કરતું નથી,કારણ કે ઉર્જા માત્ર વિદ્યુતભાર અને વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે.

(C) વિદ્યુતભારિત વાહક ગોળા માટે,ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $R = 10 \, cm$ છે.
ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (કેન્દ્ર સહિત) સ્થિતિમાન સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે: $V_{surface} = \frac{KQ}{R} = \frac{KQ}{10} = V$.
તેથી,$KQ = 10V$.
ગોળાની બહાર $r = 15 \, cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V_{outside} = \frac{KQ}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_{outside} = \frac{10V}{15} = \frac{2}{3}V$.

(D) સળિયાની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{L}$ છે.
$O$ બિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો.
આ ખંડનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$ છે.
આ ખંડને કારણે $O$ બિંદુએ સ્થિતિમાન $dV = \frac{k dq}{x} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dx}{x}$ થાય.
કુલ સ્થિતિમાન $V$ મેળવવા માટે $x = L$ થી $x = 2L$ સુધી સંકલન કરતા:
$V = \int_{L}^{2L} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dx}{x} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} [\ln x]_{L}^{2L}$.
$V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} (\ln 2L - \ln L) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \ln\left(\frac{2L}{L}\right) = \frac{Q \ln 2}{4\pi \epsilon_0 L}$.

(B) $Q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે મળતી ગતિઊર્જા $K = QV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી,$K = \frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{2}mv^2 = QV$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2QV}{m}}$.
અહીં $m$ અને $V$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,ઝડપ $v$ એ વિદ્યુતભારના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે: $v \propto \sqrt{Q}$.
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{Q_A}{Q_B}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો $Q_A = q$ અને $Q_B = 4q$ મૂકતા,આપણને $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$V_A / V_B$ નો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) પોલા વાહક ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગોળાની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ રહે છે.
ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
અહીં $r = R/3$ એ ગોળાની અંદરનું બિંદુ હોવાથી,ત્યાં વિદ્યુતસ્થિતિમાન $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ થશે.

(B) $100$ ઇલેક્ટ્રોનનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \ C) = -1.6 \times 10^{-17} \ C$ થાય.
$q$ વિદ્યુતભારને બિંદુ $P$ થી $Q$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_Q - V_P)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-4 \ V - 10 \ V)$
$W = (-1.6 \times 10^{-17}) \times (-14)$
$W = 22.4 \times 10^{-17} \ J$
$W = 2.24 \times 10^{-16} \ J$.

(C) $P$ બિંદુએ કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ કવચ પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને લીધે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ને લીધે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
સુવાહક કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,કવચને લીધે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,જે $V_{shell} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
$r = R/2$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને લીધે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન $V_{point} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R/2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2Q}{R}$ થાય.
તેથી,કુલ સ્થિતિમાન $V = V_{shell} + V_{point} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{2Q}{4\pi \epsilon_0 R} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (q + 2Q)$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $V$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિ ઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$CGS$ પદ્ધતિમાં, સ્થિર વિદ્યુત અચળાંક $k = 1$ છે.
અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે $10 \, \text{esu}$ વિદ્યુતભારના સ્થાન પર સ્થિતિમાન $V_A$ છે:
$V_A = \frac{q_B}{r_1} + \frac{q_C}{r_2}$
અહીં $q_B = 40 \, \text{esu}$, $r_1 = 2 \, \text{cm}$, $q_C = -20 \, \text{esu}$, અને $r_2 = 4 \, \text{cm}$ આપેલ છે.
$V_A = \frac{40}{2} + \frac{-20}{4} = 20 - 5 = 15 \, \text{statvolts}$.
$10 \, \text{esu}$ વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઊર્જા $U_A$ છે:
$U_A = q_A \times V_A = 10 \times 15 = 150 \, \text{ergs}$.

(A) રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{kQq}{R}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર અનંત અંતરે હોય,ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = 0$ થાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા એ વિદ્યુતભારની અંતિમ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$U_i + K_i = U_f + K_f$
$\frac{kQq}{R} + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{R}$
$v^2 = \frac{2kQq}{mR}$
$v = \sqrt{\frac{2kQq}{mR}}$

(A) બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ એ તે બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવા પડતા કાર્ય $W$ અને વિદ્યુતભાર $q$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર: $\Delta V = \frac{W}{q}$
આપેલ છે:
કાર્ય $W = 2 \, J$
વિદ્યુતભાર $q = 20 \, C$
ગણતરી:
$\Delta V = \frac{2 \, J}{20 \, C} = 0.1 \, V$
આમ,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $0.1 \, V$ છે.

(D) બાજુ ધરાવતા સમઘનના મુખ્ય વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{3}b$ છે.
તેથી,કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ થાય.
સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ છે.
અહીં $8$ ખૂણાઓ પર $(-q)$ વિદ્યુતભાર છે અને કેન્દ્ર પર $(+q)$ વિદ્યુતભાર છે,તેથી કુલ સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = 8 \times \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{(-q)(q)}{\frac{\sqrt{3}b}{2}} \right]$
$U = 8 \times \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-2q^2}{\sqrt{3}b} \right]$
$U = \frac{-16q^2}{4\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 b} = \frac{-4q^2}{\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 b}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા $q$ વિદ્યુતભાર પર $V$ સ્થિતિમાન તફાવત હેઠળ કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$W = qV = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં દળ $m$ અને સ્થિતિમાન તફાવત $V$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$v^2 \propto q$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \sqrt{q}$.
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q_A}{q_B}} = \sqrt{\frac{q}{9q}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
આમ,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $1 : 3$ છે.

(B) બિંદુ $P$ થી $Q$ સુધી $q$ જેટલો વિદ્યુતભાર લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_Q - V_P)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતભાર $q$ એ $100$ ઈલેક્ટ્રોનનો કુલ વિદ્યુતભાર છે,તેથી $q = -100e = -100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = -1.6 \times 10^{-17} \ C$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_Q - V_P = (-4 \ V) - (10 \ V) = -14 \ V$ છે.
આ કિંમતોને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-14 \ V) = 22.4 \times 10^{-17} \ J = 2.24 \times 10^{-16} \ J$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{V}{E} = \frac{kq/r}{kq/r^2} = r$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{600}{200} = 3 \, m$.
હવે,$V = \frac{kq}{r}$ નો ઉપયોગ કરીને,$q$ માટે ઉકેલતા: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
અહીં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$V = 600 \, V$,અને $r = 3 \, m$ છે:
$q = \frac{600 \times 3}{9 \times 10^9} = \frac{1800}{9 \times 10^9} = 200 \times 10^{-9} \, C = 0.2 \times 10^{-6} \, C = 0.2 \, \mu C$.

(A) વિદ્યુતભાર $Q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે થતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = Q(V_B - V_A)$.
આપેલ છે: $Q = 0.01 \ C$ અને $W = 15 \ J$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $15 = 0.01 \times (V_B - V_A)$.
સ્થિતિમાનના તફાવત માટે ઉકેલતા: $(V_B - V_A) = \frac{15}{0.01} = 1500 \ V$.

(A) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ જે $r$ અંતરે આવેલા હોય,તેમની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ છે.
આપેલ છે:
$q_1 = 7\ \mu C = 7 \times 10^{-6}\ C$
$q_2 = -2\ \mu C = -2 \times 10^{-6}\ C$
$(-9\ cm, 0, 0)$ અને $(9\ cm, 0, 0)$ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $r = 9\ cm - (-9\ cm) = 18\ cm = 0.18\ m$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$U = (9 \times 10^9) \times \frac{(7 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{0.18}$
$U = (9 \times 10^9) \times \frac{-14 \times 10^{-12}}{0.18}$
$U = \frac{-126 \times 10^{-3}}{0.18} = -0.7\ J$.

(C) ત્રણ બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}} + \frac{q_3q_1}{r_{31}} \right)$
આપેલ છે: $q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C = 10^{-5} \ C$,અને બાજુ $a = 10 \ cm = 0.1 \ m = 10^{-1} \ m$.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$r_{12} = r_{23} = r_{31} = a = 10^{-1} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = 3 \times \left( \frac{k \cdot q^2}{a} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{9 \times 10^9 \times (10^{-5})^2}{10^{-1}} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{10^{-1}} \right)$
$U = 3 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-10} \times 10^1$
$U = 27 \times 10^0 = 27 \ J$.

(B) અનંત અંતરેથી વિદ્યુતભાર $q_3$ ને કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તંત્રની સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = q_3 \times V$ છે,જ્યાં $V$ એ $x = 2 \ m$ બિંદુ આગળ વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
$x = 2 \ m$ આગળ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$
અહીં,$r_1$ એ $q_1$ થી $x = 2 \ m$ સુધીનું અંતર છે,તેથી $r_1 = 2 \ m$. $r_2$ એ $q_2$ થી $x = 2 \ m$ સુધીનું અંતર છે,તેથી $r_2 = 1 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = q_3 \times \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{-1 \times 10^{-6}}{2} + \frac{1 \times 10^{-6}}{1} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times \left( -0.5 \times 10^{-6} + 1 \times 10^{-6} \right)$
$W = 9 \times 10^3 \times (0.5 \times 10^{-6})$
$W = 4.5 \times 10^{-3} \ J$

(D) બિંદુ $A$ આગળ $+1\ \mu C$ અને $-1\ \mu C$ વિદ્યુતભારોને લીધે સ્થિતિમાન:
$V_A = \frac{k(1 \times 10^{-6})}{2} + \frac{k(-1 \times 10^{-6})}{3} = k \times 10^{-6} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = k \times 10^{-6} \left( \frac{1}{6} \right)$
$V_A = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{6} = 1.5 \times 10^3 \ V$
બિંદુ $B$ આગળ $+1\ \mu C$ અને $-1\ \mu C$ વિદ્યુતભારોને લીધે સ્થિતિમાન:
$V_B = \frac{k(1 \times 10^{-6})}{3} + \frac{k(-1 \times 10^{-6})}{2} = k \times 10^{-6} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = k \times 10^{-6} \left( -\frac{1}{6} \right)$
$V_B = -\frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{6} = -1.5 \times 10^3 \ V$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_A - V_B = 1.5 \times 10^3 - (-1.5 \times 10^3) = 3.0 \times 10^3 \ V = 3000 \ V$

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ છે.
બિંદુ $B$ $(2, 0)$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$ છે.
અહીં અંતર $r_A$ અને $r_B$ સમાન હોવાથી,બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન થશે:
$V_A = \frac{kq}{r_A} = \frac{kq}{2}$
$V_B = \frac{kq}{r_B} = \frac{kq}{2}$
તેથી,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_A - V_B = \frac{kq}{2} - \frac{kq}{2} = 0 \ V$.

(A) બાહ્ય ગોલીય કવચ (ત્રિજ્યા $R_2 = 30 \, cm = 0.3 \, m$) ની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ આંતરિક કવચ (વિદ્યુતભાર $q_1 = 0.5 \, \mu C$) અને બાહ્ય કવચ (વિદ્યુતભાર $q_2 = 3 \, \mu C$) બંનેને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
આંતરિક કવચને કારણે તેની બહારની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{k q_1}{R_2}$ છે.
બાહ્ય કવચને કારણે તેની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{k q_2}{R_2}$ છે.
કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = \frac{k}{R_2} (q_1 + q_2)$.
કિંમતો મૂકતા: $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = 0.5 \times 10^{-6} \, C$,$q_2 = 3 \times 10^{-6} \, C$,અને $R_2 = 0.3 \, m$.
$V = \frac{9 \times 10^9}{0.3} (0.5 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6})$
$V = (30 \times 10^9) \times (3.5 \times 10^{-6})$
$V = 105 \times 10^3 \, V = 1.05 \times 10^5 \, V = 10.5 \times 10^4 \, V$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_{tiny} = \frac{kq}{r} = 10 \ V$ છે.
જ્યારે $8$ નાના ટીપા ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3 \Rightarrow R = 2r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 8q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_{big} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r}$ થશે.
$V_{big} = 4 \times (\frac{kq}{r}) = 4 \times 10 \ V = 40 \ V$.

(B) પોલા ધાતુના ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર તેની બહારની સપાટી પર જ રહે છે.
પોલા ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય છે.
ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,અંદરના ભાગમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
સપાટી પરનું સ્થિતિમાન (અને તેથી અંદરના કોઈપણ બિંદુએ) $V = \frac{kQ}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$Q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$,અને $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 3.2 \times 10^{-19}}{0.1}$.
$V = \frac{28.8 \times 10^{-10}}{0.1} = 28.8 \times 10^{-9} \ V$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ $V$ જેટલા સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગીત થાય ત્યારે તેને મળતી ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$KE = q \times V$
જ્યાં:
$q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
$V$ એ સ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = e$ (પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર) છે.
આપેલ છે કે,$V = 1 \,V$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE = e \times 1 \,V = 1 \,eV$.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $1 \,eV$ થશે.

(B) ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તે બિંદુ $A$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ સ્થિતિમાન એ $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
$V_{total} = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{50 - x} = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4 \times 10^{-8}}{x} + \frac{-6 \times 10^{-8}}{50 - x} = 0$.
$\frac{4}{x} = \frac{6}{50 - x}$.
$4(50 - x) = 6x$.
$200 - 4x = 6x$.
$10x = 200$.
$x = 20 \ cm$.
આમ,બિંદુ $A$ થી $20 \ cm$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય થશે.

(B) વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે,કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $E = -dV/dr$ છે. જો $E = 0$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે કવચની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
અહીં સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $10 \ V$ આપેલું છે,તેથી કવચના કેન્દ્ર પર પણ સ્થિતિમાન $10 \ V$ જ રહેશે.

(B) ચેતાતંતુના પટલનું સ્થિર સ્થિતિમાન (Resting membrane potential) એ કોષના પટલની આરપાર રહેલો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત છે જ્યારે ચેતાકોષ આરામની સ્થિતિમાં હોય.
આ સ્થિતિમાન પટલની બંને બાજુએ આયનોના (મુખ્યત્વે $Na^+$,$K^+$,અને $Cl^-$) અસમાન વિતરણ દ્વારા જળવાય છે.
ચેતાકોષમાં સ્થિર સ્થિતિમાનનું લાક્ષણિક મૂલ્ય આશરે $-70 \ mV$ હોય છે.
આને વોલ્ટમાં ફેરવતા,આપણને $-70 \times 10^{-3} \ V = -0.07 \ V$ મળે છે.
આ મૂલ્યની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$0.1 \ V$ એ સૌથી નજીકનો ક્રમ છે.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ હેઠળ પ્રવેગિત થતા $q$ વિદ્યુતભાર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,આ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $qV = \frac{1}{2}mv^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
અહીં બંને કણોના દળ $m$ સમાન છે અને તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ હેઠળ પ્રવેગિત થાય છે,તેથી વેગ $v$ એ વિદ્યુતભારના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto \sqrt{q}$.
તેથી,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q_A}{q_B}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો $q_A = q$ અને $q_B = 4q$ મૂકતા,આપણને $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $v_A/v_B = 1:2$ થાય છે.

(A) વર્તુળના કેન્દ્ર પર અનેક બિંદુવત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
$V = \sum \frac{k q_i}{r}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ અને $r = 0.4 \ m$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = (+5 - 5 + 7 - 5 + 11 + 7 + 15 - 7) \ \mu C = 28 \ \mu C = 28 \times 10^{-6} \ C$.
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 28 \times 10^{-6}}{0.4} = \frac{9 \times 28 \times 10^3}{0.4} = \frac{252 \times 10^3}{0.4} = 630 \times 10^3 \ V = 63 \times 10^4 \ V$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,$+q$ (બિંદુ $B$ પર) અને $-q$ (બિંદુ $C$ પર) બંને વિદ્યુતભારોથી બિંદુ $A$ નું અંતર $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
બિંદુ $A$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_A = V_B + V_C$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(-q)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q - q}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) = 0$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી ગોળીય કવચ માટે:
$1$. સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુ $(B)$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
$2$. કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (કેન્દ્ર $A$ અને $R/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $C$ સહિત) વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$3$. તેથી,$V_A = V_B = V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ચોરસના ચાર ખૂણાઓ પર રહેલા સમાન વિદ્યુતભારો $Q$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
દરેક વિદ્યુતભાર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે છે,જ્યાં $r$ એ ચોરસના વિકર્ણનું અડધું માપ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $= a\sqrt{2}$.
તેથી,$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V = 4 \times \frac{kQ}{r} = 4 \times \frac{kQ}{a/\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}kQ}{a}$ થાય.
અહીં $Q = \frac{10}{3} \times 10^{-9} \ C$,$a = 8 \times 10^{-2} \ m$,અને $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ આપેલ છે.
$V = \frac{4 \times \sqrt{2} \times 9 \times 10^9 \times (\frac{10}{3} \times 10^{-9})}{8 \times 10^{-2}}$.
$V = \frac{4 \times \sqrt{2} \times 3 \times 10}{8 \times 10^{-2}} = \frac{120\sqrt{2}}{8 \times 10^{-2}} = 15 \times 10^2 \sqrt{2} = 1500\sqrt{2} \ V$.

(B) પોલા વાહક ગોળા (અથવા વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચ) માટે,ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ ઢાળ $(E = -dV/dr)$ જેટલું હોવાથી,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,કેન્દ્ર સહિત,સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $10 \ V$ છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન પણ $10 \ V$ થશે.

(D) ધારો કે આંતરિક અને બાહ્ય કવચ પરના વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે. આપેલ છે કે $Q = q_1 + q_2$ ... $(i)$
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2$,તેથી $\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{q_2} = \frac{r^2}{R^2}$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ અને $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$ મળે છે.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન બંને કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right]$.
$q_1$ અને $q_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right] = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Qr}{R^2 + r^2} + \frac{QR}{R^2 + r^2} \right]$.
આમ,$V = \frac{Q(R + r)}{4\pi \varepsilon_0(R^2 + r^2)}$.

(D) ધારો કે અંદરના ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ અને બહારના કવચની ત્રિજ્યા $b$ છે.
શરૂઆતમાં,ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{a}$ અને કવચનું સ્થિતિમાન $V_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{b}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{\text{sphere}} - V_{\text{shell}} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ છે.
હવે,કવચને $-3Q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે.
ગોળાનું નવું સ્થિતિમાન $V'_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} \right)$ થશે.
કવચનું નવું સ્થિતિમાન $V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{b} - \frac{3Q}{b} \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( -\frac{2Q}{b} \right)$ થશે.
નવો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = V'_{\text{sphere}} - V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} - (-\frac{2Q}{b}) \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} + \frac{2Q}{b} \right) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = V$.
આમ,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જ રહેશે.

(A) કવચ પરના વિદ્યુતભારો $q = \sigma \times 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$q_a = \sigma(4\pi a^2)$,$q_b = -\sigma(4\pi b^2)$,અને $q_c = \sigma(4\pi c^2)$.
કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન એ બધા કવચોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
કવચ $A$ માટે ($a$ ત્રિજ્યા પર):
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{a} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{a} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (a - b + c)$.
કવચ $B$ માટે ($b$ ત્રિજ્યા પર):
$V_B = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{b} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{a^2}{b} - b + c \right)$.

(C) બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ એ એકમ વિદ્યુતભાર $Q$ ને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે કરવા પડતા કાર્ય $W$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $W = Q \cdot \Delta V$
આપેલ છે: $Q = 20 \ C$,$W = 2 \ J$
કિંમતો મૂકતા: $2 = 20 \cdot \Delta V$
$\Delta V = \frac{2}{20} = 0.1 \ V$
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.1 \ V$ છે.

(C) $q$ વીજભારને $V_0$ સ્થિતિમાન ધરાવતા બિંદુથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય $W = q(V_{\infty} - V_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $V_{\infty} = 0$ હોવાથી,જરૂરી કાર્ય $W = -qV_0$ થાય. અહીં $q = -Q$ હોવાથી,$W = -(-Q)V_0 = QV_0$ થાય.
ચોરસના ચાર ખૂણાઓ પર રહેલા $Q$ વીજભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_0$ એ દરેક વીજભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
$V_0 = 4 \times \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{a/\sqrt{2}} \right) = \frac{4\sqrt{2} Q}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a}$.
તેથી,જરૂરી કાર્ય $W = (-Q) \times (-V_0) = Q \times \left( \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a} \right) = \frac{\sqrt{2} Q^2}{\pi \varepsilon_0 a}$ થાય.

(B) પ્રથમ રીંગના કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ રીંગ $1$ અને રીંગ $2$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_A = \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
બીજી રીંગના કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન:
$V_B = \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$
$q$ વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે:
$V_B - V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} - Q_1 - \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$
$V_B - V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - Q_1(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)$
$V_B - V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} (Q_2 - Q_1) \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right)$
તેથી,$W = q(V_B - V_A)$ મુજબ:
$W = \frac{q(Q_2 - Q_1)(\sqrt{2} - 1)}{4\pi \varepsilon_0 R\sqrt{2}}$
નોંધ: કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{q(Q_1 - Q_2)(\sqrt{2} - 1)}{4\pi \varepsilon_0 R\sqrt{2}}$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = -\Delta U = -q\Delta V = q(V_i - V_f)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = +2e$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_f - V_i = 50\ V - 70\ V = -20\ V$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = -q\Delta V = -(2e) \times (-20\ V) = 40\ eV$ થાય.
કણ ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,તેની ગતિઊર્જામાં $40\ eV$ નો વધારો થાય છે.

(C) આકૃતિ પરથી,$AC = L$,$BC = L$. $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $CD$ એ વ્યાસ ધરાવતું અર્ધવર્તુળ હોવાથી,અંતર $BD = L$ થાય ($C, B, D$ એક રેખસ્થ છે અને $CD$ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $CB = BD = L$).
$C$ આગળ સ્થિતિમાન:
$V_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{L} - \frac{q}{L} \right] = 0$
$D$ આગળ સ્થિતિમાન:
$AD = AB + BD = 2L + L = 3L$
$V_D = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{3L} - \frac{q}{L} \right]$
$V_D = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L} \left[ \frac{1}{3} - 1 \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{q}{6\pi\varepsilon_0 L}$
$+Q$ વિદ્યુતભારને $C$ થી $D$ સુધી ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય:
$W = Q(V_D - V_C) = Q \left( -\frac{q}{6\pi\varepsilon_0 L} - 0 \right) = -\frac{qQ}{6\pi\varepsilon_0 L}$

(D) કોઈપણ કવચ પરના બિંદુએ સ્થિતિમાન એ બધા કવચોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે. $r$ ત્રિજ્યા અને $\sigma$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 4\pi r^2 \sigma$ છે.
તેથી,$q_A = 4\pi a^2 \sigma$,$q_B = -4\pi b^2 \sigma$,અને $q_C = 4\pi c^2 \sigma$.
સ્થિતિમાન નીચે મુજબ છે:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$
$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{b} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2}{b} - b + c]$
$V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2 - b^2}{c} + c]$
આપેલ છે કે $c = a + b$,તેથી $c - b = a$ અને $c - a = b$. વળી $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = (a - b)c$.
$V_A$ માં $c = a + b$ મૂકતા: $V_A = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + (a + b)] = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$.
$V_C$ માં $c = a + b$ મૂકતા: $V_C = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{(a - b)c}{c} + c] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + a + b] = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$.
આમ,$V_A = V_C = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$ અને $V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2}{b} + a]$,તેથી સ્પષ્ટ છે કે $V_A = V_C \neq V_B$.

(D) આપેલ છે કે $AC = BC = 2a$. $D$ અને $E$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$AE = EC = a$ અને $BD = DC = a$.
$\Delta ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(AD)^2 = (AC)^2 - (DC)^2 = (2a)^2 - (a)^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$,તેથી $AD = a\sqrt{3}$.
તે જ રીતે,$\Delta BEC$ માં,$(BE)^2 = (BC)^2 - (EC)^2 = (2a)^2 - (a)^2 = 3a^2$,તેથી $BE = a\sqrt{3}$.
$A, B,$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે બિંદુ $D$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન:
$V_D = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{BD} + \frac{q}{DC} + \frac{q}{AD} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a\sqrt{3}} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} \left[ 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right]$.
$A, B,$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે બિંદુ $E$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન:
$V_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AE} + \frac{q}{EC} + \frac{q}{BE} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a\sqrt{3}} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} \left[ 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right]$.
અહીં $V_D = V_E$ હોવાથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_E - V_D) = 0$ થાય.

(C) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $P, Q, R, S$ છે. $P$ અને $S$ પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે,અને $Q$ અને $R$ પર $-q$ વિદ્યુતભાર છે. બિંદુ $A$ એ બાજુ $PS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2L$ હોવાથી,$A$ થી $P$ અને $A$ થી $S$ નું અંતર $L$ થાય.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $A$ થી $Q$ અને $A$ થી $R$ નું અંતર: $AQ = AR = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{4L^2 + L^2} = L\sqrt{5}$.
બિંદુ $A$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_A$ એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{q}{AP} + \frac{q}{AS} + \frac{-q}{AQ} + \frac{-q}{AR}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L\sqrt{5}} - \frac{q}{L\sqrt{5}}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{2q}{L} - \frac{2q}{L\sqrt{5}}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2q}{L} (1 - \frac{1}{\sqrt{5}})$

(A) ધારો કે ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q_i$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસના ચારેય ખૂણાઓ માટે અંતર $r$ સમાન હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{-Q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{2q}{r} + \frac{2Q}{r} \right)$
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r} (-Q - q + 2q + 2Q)$
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r} (Q + q)$
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે,$V_{total} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે:
$Q + q = 0$
$Q = -q$

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં બિંદુ $B$ સૌથી ડાબી બાજુએ છે,ત્યારબાદ બિંદુ $C$ આવે છે અને છેલ્લે બિંદુ $A$ આવે છે.
તેથી,આ બિંદુઓ પરનું સ્થિતિમાન $V_B > V_C > V_A$ સંબંધ ધરાવે છે.
આમ,વિદ્યુત સ્થિતિમાન બિંદુ $B$ પાસે મહત્તમ છે.

(B) સુવાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
સુવાહક ગોળાની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે વિદ્યુતભારો સપાટી પર એવી રીતે વહેંચાયેલા હોય છે કે તેઓ અંદરના દરેક બિંદુએ એકબીજાના ક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે.
સુવાહક ગોળાની અંદર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 0$ છે.

(C) ચાપની લંબાઈ $L = r\theta = r \times \frac{\pi}{3} = \frac{r\pi}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ હોવાથી,ચાપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda \times L = \lambda \times \frac{r\pi}{3}$ થાય.
ચાપ પરના તમામ બિંદુઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર છે.
$r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$q$ ની કિંમત મૂકતા,$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{(\lambda r\pi / 3)}{r}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$V = \frac{\lambda r\pi}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{12\varepsilon_0}$ થાય.

(B) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ ને વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં અનંત અંતરેથી કોઈ બિંદુ સુધી એકમ ધન વિદ્યુતભારને લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$V = W / Q$.
કાર્ય $W$ નો $SI$ એકમ $Joule$ $(J)$ છે અને વિદ્યુતભાર $Q$ નો $SI$ એકમ $coulomb$ $(C)$ છે.
તેથી,સ્થિતિમાન $V$ નો એકમ $Joule / coulomb$ $(J/C)$ છે,જે $1 \text{ volt}$ ની બરાબર છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_S = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા,આપણને $V_S = \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0}$ મળે છે.
ગોળાના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_C = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા,આપણને $V_C = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0}$ મળે છે.
કેન્દ્ર અને સપાટી વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_C - V_S$ છે.
$\Delta V = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0} = \frac{3 \rho R^2 - 2 \rho R^2}{6 \epsilon_0} = \frac{\rho R^2}{6 \epsilon_0}$.