Electric potential Questions in Gujarati

(A) અનંત અંતરેથી $q_0$ વિદ્યુતભારને કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ત્યાં રહેલા વિદ્યુતભારોને કારણે તે બિંદુ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
$d$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણમાં,દરેક ખૂણાનું કેન્દ્રથી અંતર $d$ હોય છે.
છ વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{+q}{d} + \frac{-q}{d} + \frac{+q}{d} + \frac{-q}{d} + \frac{+q}{d} + \frac{-q}{d} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 d} (q - q + q - q + q - q)$
$V = 0$
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 \times 0 = 0$ થાય.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત પાતળા ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,એટલે કે $V_{\text{inside}} = \frac{kQ}{R}$.
$2$. કવચની બહાર $(r \ge R)$,કવચ તેના કેન્દ્ર પર મૂકાયેલા બિંદુવત વિદ્યુતભારની જેમ વર્તે છે,તેથી સ્થિતિમાન વ્યસ્ત સંબંધ $V_{\text{outside}} = \frac{kQ}{r}$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે.
$3$. આમ,$V$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $r \le R$ માટે આડી રેખા અને $r > R$ માટે લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ છે.
આપેલ છે: $V = 50 \; V$,$Q = 5 \times 10^{-9} \; C$,અને $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N m^2 C^{-2}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $50 = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-9}}{r}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $50 = \frac{45}{r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{45}{50} = 0.9 \; m$.
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $r = 0.9 \times 100 \; cm = 90 \; cm$.

(D) કવચ પરના વિદ્યુતભારો:
$q_x = \sigma(4\pi a^2)$
$q_y = -\sigma(4\pi b^2)$
$q_z = \sigma(4\pi c^2)$
કવચ $X$ અને $Z$ સમાન સ્થિતિમાન પર હોવાથી $(V_x = V_z)$:
$V_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{a} + \frac{q_y}{b} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{c} + \frac{q_y}{c} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_x$ અને $V_z$ ને સરખાવતા:
$\frac{\sigma 4\pi a^2}{a} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{b} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c} = \frac{\sigma 4\pi a^2}{c} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{c} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) = a^2 - b^2$
$c(a - b) = (a - b)(a + b)$
$c = a + b$
અહીં $a = 2\,cm$ અને $b = 3\,cm$ આપેલ છે:
$c = 2 + 3 = 5\,cm$.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાનો વીજભાર $q$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
દરેક નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Kq}{r} = 10 \, mV$ છે.
જ્યારે $n = 64$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વીજભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$64 r^3 = R^3 \implies R = 4r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 64q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{KQ}{R} = \frac{K(64q)}{4r} = 16 \times (\frac{Kq}{r})$ થશે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V' = 16 \times 10 \, mV = 160 \, mV$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત પોટેન્શિયલ $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા પોટેન્શિયલનો બેઝિક સરવાળો છે.
આકૃતિ પરથી,$+q$ વિદ્યુતભારથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r_1 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ છે.
$-q$ વિદ્યુતભારથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r_2 = 3 \ cm + 3 \ cm + 2 \ cm = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$ છે.
બિંદુ $P$ પરનું પોટેન્શિયલ નીચે મુજબ મળે:
$V = V_{+q} + V_{-q} = \frac{Kq}{r_1} + \frac{K(-q)}{r_2}$
$V = Kq \left( \frac{1}{2 \times 10^{-2}} - \frac{1}{8 \times 10^{-2}} \right)$
$V = Kq \left( \frac{4 - 1}{8 \times 10^{-2}} \right) = Kq \left( \frac{3}{8 \times 10^{-2}} \right)$
$V = Kq \left( \frac{3}{8} \right) \times 10^2 \ V$.
આમ,$10^2 \ V$ ના એકમમાં પોટેન્શિયલ $\left( \frac{3}{8} \right) qK$ થાય.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $P(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ નું અંતર $r_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} \text{ m}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $Q(\sqrt{6}, 0)$ નું અંતર $r_2 = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{6} \text{ m}$ છે.
અહીં $r_1 = r_2 = \sqrt{6} \text{ m}$ હોવાથી,બિંદુ $P$ પરનું સ્થિતિમાન $V_P = \frac{kQ}{r_1}$ અને બિંદુ $Q$ પરનું સ્થિતિમાન $V_Q = \frac{kQ}{r_2}$ સમાન થશે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_P - V_Q = \frac{kQ}{r_1} - \frac{kQ}{r_2} = 0 \text{ V}$ થાય.

(B) ભારિત રિંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{dq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધ-રિંગ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \lambda \times (\pi R)$ થાય.
અર્ધ-રિંગ પરનું દરેક બિંદુ કેન્દ્રથી સમાન અંતર $R$ પર હોવાથી,સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ થશે.
$Q = \lambda \pi R$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R}{R} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ મળે.
અહીં $\lambda = 4 \times 10^{-9} \ C/m$ અને $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ આપેલ છે.
$V = k \lambda \pi = (9 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-9}) \times \pi$.
$V = 36 \pi \ V$.
આને $x \pi \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 36$ મળે છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત પાતળા ગોળાકાર કવચ માટે,કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (કેન્દ્ર સહિત) વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$r \leq R$ માટે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $C$ એ કેન્દ્ર પર $(r = 0)$ છે અને બિંદુ $P$ એ સપાટી પર $(r = R)$ હોવાથી,બંને બિંદુઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર છે.
તેથી,$V_C = V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$.
બિંદુઓ $C$ અને $P$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C - V_P = 0$ થાય છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા વિદ્યુતભારીત વાહક નળાકાર માટે,$r > R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આંતરિક નળાકારને વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે બંને નળાકારો વચ્ચેના વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જેના પરિણામે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \int_{R_1}^{R_2} E \, dr$ મળે છે.
જો બાહ્ય નળાકારને વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે,તો પોલા વાહકના ગુણધર્મો (ગોસનો નિયમ) ને કારણે બાહ્ય નળાકારની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,નળાકારો વચ્ચે કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોતો નથી.
જો બંનેને સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ આપવામાં આવે,તો આંતરિક નળાકાર ક્ષેત્ર બનાવે છે,પરંતુ બાહ્ય નળાકાર તેમની વચ્ચેના વિસ્તારમાં ક્ષેત્રમાં ફાળો આપતું નથી. તેથી,આંતરિક નળાકારને કારણે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અસ્તિત્વમાં રહેશે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે આંતરિક નળાકારને ચાર્જ કરવાથી નળાકારો વચ્ચે ત્રિજ્યાવર્તી વિદ્યુતક્ષેત્ર બને છે,જે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પેદા કરે છે.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે,કવચની અંદરનું સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે: સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_{surface} = 120 \ V$ અને ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm$.
$1$. કેન્દ્ર પર $(r = 0 \ cm)$: કારણ કે $r < R$,તેથી સ્થિતિમાન સપાટીના સ્થિતિમાન જેટલું જ રહે,એટલે કે $V_{centre} = 120 \ V$.
$2$. કેન્દ્રથી $r = 5 \ cm$ અંતરે: કારણ કે $r < R$,તેથી અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન અચળ રહે છે,એટલે કે $V_{r=5cm} = 120 \ V$.
$3$. કેન્દ્રથી $r = 15 \ cm$ અંતરે: કારણ કે $r > R$,તેથી કવચ બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V = \frac{kQ}{r}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{surface} = \frac{kQ}{R} = 120 \ V$,તેથી $kQ = 120 \times 10 = 1200 \ V \cdot cm$.
આમ,$V_{r=15cm} = \frac{1200}{15} = 80 \ V$.
તેથી,સ્થિતિમાન $120 \ V, 120 \ V, 80 \ V$ થશે.

(A) વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે બિંદુ $C$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AC} + \frac{q_2}{BC} \right)$
અહીં $AC = 40\ cm = 0.4\ m$ આપેલ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = 0.5\ m$.
તેથી,$V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right)$.
બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{AD} + \frac{q_2}{BD} \right)$
અહીં $AD = 40\ cm = 0.4\ m$ અને $BD = AD - AB = 40\ cm - 30\ cm = 10\ cm = 0.1\ m$.
તેથી,$V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right)$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$:
$\Delta U = q_3 (V_D - V_C) = q_3 \left[ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1} \right) - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5} \right) \right]$
$\Delta U = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_2}{0.1} - \frac{q_2}{0.5} \right) = \frac{q_3}{4 \pi \epsilon_0} (10 q_2 - 2 q_2) = \frac{8 q_2 q_3}{4 \pi \epsilon_0}$.
આમ,$K = 8 q_2$ મળે છે.

(B) $1$. $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર કવચ માટે,કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
$2$. અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,સ્થિતિમાન $V$ સમગ્ર આંતરિક ભાગમાં અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે,જે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. કવચની અંદર બે બિંદુઓ $1$ અને $2$ વચ્ચે પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ $W = q(V_2 - V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. કવચની અંદર કોઈપણ બે બિંદુઓ પર $V_1 = V_2$ હોવાથી,$W = q(0) = 0$ થાય છે.
$5$. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે સ્થિતિમાન અચળ છે,અને કારણ $R$ સાચું છે અને તે કાર્ય શૂન્ય હોવાનું સાચું કારણ આપે છે.

(A) ગોળાકાર કવચને કારણે કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. કવચની અંદર $(r < \text{ત્રિજ્યા})$: $V = \frac{KQ}{\text{ત્રિજ્યા}}$
$2$. કવચની બહાર $(r > \text{ત્રિજ્યા})$: $V = \frac{KQ}{r}$
$r = \frac{3R}{2}$ પરના બિંદુ માટે:
- આ બિંદુ આંતરિક કવચ (ત્રિજ્યા $R$) ની બહાર છે, તેથી આંતરિક કવચને કારણે સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{KQ}{3R/2} = \frac{2KQ}{3R}$ છે.
- આ બિંદુ બાહ્ય કવચ (ત્રિજ્યા $2R$) ની અંદર છે, તેથી બાહ્ય કવચને કારણે સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{K(-Q)}{2R} = -\frac{KQ}{2R}$ છે.
કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ બંને કવચને કારણે સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2 = \frac{2KQ}{3R} - \frac{KQ}{2R}$
$V = \frac{4KQ - 3KQ}{6R} = \frac{KQ}{6R}$

(D) વિદ્યુતભાર $q_0$ ને બિંદુ $I$ થી $F$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 (V_F - V_I)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,જે વિદ્યુતભારને ખસેડવામાં આવે છે તે $q_0 = -q$ છે.
અનંત પર સ્થિતિમાન $V_F = 0$ છે.
$a$ બાજુવાળા ઘનના કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
$8$ વિદ્યુતભારો $q$ ને કારણે કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_I = 8 \times \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r} = 8 \times \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{(\sqrt{3} a / 2)} = \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \epsilon_0 a}$ થાય.
તેથી,$W = -q (0 - V_I) = q V_I = q \left( \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \epsilon_0 a} \right) = \frac{4 q^2}{\sqrt{3} \pi \epsilon_0 a}$.

(D) કવચની અંદર બિંદુ $P$ પરનું સ્થિતિમાન એ કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને કવચ પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
વાહક કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,કવચના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,જે $V_{shell} = \frac{kq}{R}$ છે.
$R/2$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન $V_{point} = \frac{kQ}{R/2} = \frac{2kQ}{R}$ છે.
તેથી,બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V_P = V_{point} + V_{shell} = \frac{2kQ}{R} + \frac{kq}{R}$ થાય.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $V_P = \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} + \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.

(C) ચોરસના ખૂણાઓ પર રહેલા ચાર વિદ્યુતભારો $Q$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V = 4 \times \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે. $a$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,વિકર્ણ $a\sqrt{2}$ છે,તેથી $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
આમ,$V = 4 \times \frac{kQ}{a/\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}kQ}{a}$.
કેન્દ્ર પર રહેલા $-Q$ વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા $U_i = (-Q)V = -\frac{4\sqrt{2}kQ^2}{a}$ છે.
અનંત પર સ્થિતિઊર્જા $U_f = 0$ છે.
કરવામાં આવતું કાર્ય $W = U_f - U_i = 0 - (-\frac{4\sqrt{2}kQ^2}{a}) = \frac{4\sqrt{2}kQ^2}{a}$.
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $W = \frac{4\sqrt{2}Q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2}Q^2}{\pi\varepsilon_0 a}$ મળે છે.

(D) $R$ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $Q_1$ અને $Q_2$ છે,જેથી $Q_1 + Q_2 = Q$.
આપેલ છે કે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન છે,$\sigma = \frac{Q_1}{4\pi R^2} = \frac{Q_2}{4\pi r^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{Q_1}{R^2} = \frac{Q_2}{r^2} = k'$,જ્યાં $k'$ અચળાંક છે.
તેથી,$Q_1 = k' R^2$ અને $Q_2 = k' r^2$.
$Q_1 + Q_2 = Q$ હોવાથી,$k'(R^2 + r^2) = Q$,તેથી $k' = \frac{Q}{R^2 + r^2}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{r} \right)$ છે.
$Q_1$ અને $Q_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{k' R^2}{R} + \frac{k' r^2}{r} \right) = \frac{k'}{4\pi\varepsilon_0} (R + r)$.
$k' = \frac{Q}{R^2 + r^2}$ મૂકતા:
$V = \frac{Q(R+r)}{4\pi\varepsilon_0(R^2+r^2)}$.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત '$V$' માં પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી,ગતિઊર્જા એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
કણ '$A$' માટે: $\frac{1}{2}mv_A^2 = qV \implies v_A = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
કણ '$B$' માટે: $\frac{1}{2}mv_B^2 = (4q)V \implies v_B = \sqrt{\frac{8qV}{m}}$.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $(v_A : v_B)$ લેતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2qV/m}}{\sqrt{8qV/m}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(A) કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે મળતું સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$+q$ વિદ્યુતભારો $A, B$ અને $C$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સંમિતિને કારણે,$D$ નું $A$ થી અંતર $a$ છે,$B$ થી અંતર $a$ છે અને $C$ થી અંતર $\sqrt{AC^2 + AD^2 - 2(AC)(AD) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ છે.
તે જ રીતે,$E$ નું $A$ થી અંતર $a$ છે,$C$ થી અંતર $a$ છે અને $B$ થી અંતર $\sqrt{AB^2 + AE^2 - 2(AB)(AE) \cos A} = \sqrt{(2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a) \cos A}$ છે.
કોણ $A$ ની સાપેક્ષમાં રચના સંમિત હોવાથી,$D$ પરનું સ્થિતિમાન $(V_D)$ અને $E$ પરનું સ્થિતિમાન $(V_E)$ સમાન છે.
$V_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AD} + \frac{q}{BD} + \frac{q}{CD} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{CD} \right)$.
$V_E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AE} + \frac{q}{CE} + \frac{q}{BE} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{a} + \frac{q}{a} + \frac{q}{BE} \right)$.
સંમિતિને કારણે $CD = BE$ હોવાથી,$V_D = V_E$.
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_E - V_D) = Q(0) = 0$.

(A) વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,વાહક ગોળાની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોવાથી $(q_{enclosed} = 0)$,તેની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય છે.
ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ અંદરના ભાગમાં અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
સપાટી પરનું (અને તેથી કેન્દ્ર પરનું) સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ છે અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}$ છે.

(D) $q$ કુલંબના વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરેલું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = q(V_B - V_A)$
અહીં,બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = -5 \ V$ છે અને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = q(V - (-5))$
$W = q(V + 5)$
હવે,$V$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{W}{q} = V + 5$
$V = \frac{W}{q} - 5$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = k \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કોઈપણ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $a$ છે.
આપેલ વિદ્યુતભારો $q_1 = Q$,$q_2 = 2Q$ અને $q_3 = q$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k}{a} (Q \cdot 2Q + 2Q \cdot q + q \cdot Q)$ થાય.
તંત્રની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય કરવા માટે $U = 0$ લેતા:
$2Q^2 + 2Qq + qQ = 0$.
$2Q^2 + 3Qq = 0$.
$Q(2Q + 3q) = 0$.
અહીં $Q \neq 0$ હોવાથી,$2Q + 3q = 0$ મળે.
તેથી,$q = -\frac{2}{3} Q$ થાય.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_A = +\sigma$,$\sigma_B = -\sigma$,અને $\sigma_C = +\sigma$ છે. કવચો પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A = 4\pi a^2 \sigma$,$Q_B = -4\pi b^2 \sigma$,અને $Q_C = 4\pi c^2 \sigma$ છે.
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન ત્રણેય કવચોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V_A = V_{A,A} + V_{A,B} + V_{A,C}$.
$A$ એ $B$ અને $C$ ની અંદર હોવાથી,$B$ અને $C$ ને કારણે $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન તેમની પોતાની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_A}{a} + \frac{Q_B}{b} + \frac{Q_C}{c} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{4\pi a^2 \sigma}{a} + \frac{-4\pi b^2 \sigma}{b} + \frac{4\pi c^2 \sigma}{c} \right)$.
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (4\pi a \sigma - 4\pi b \sigma + 4\pi c \sigma)$.
$V_A = \frac{\sigma}{\epsilon_0} (a - b + c)$.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બિંદુ $A$ એ $+2q$ અને $+2q$ વિદ્યુતભારો ધરાવતી બાજુનું મધ્યબિંદુ છે। આ દરેક વિદ્યુતભારથી $A$ નું અંતર $L$ છે।
સામેના ખૂણાઓ પર રહેલા $-2q$ વિદ્યુતભારોથી $A$ નું અંતર પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા શોધી શકાય છે। આડું અંતર $2L$ અને ઊભું અંતર $L$ હોવાથી, અંતર $r = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$ થાય।
$A$ પર કુલ સ્થિતિમાન એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2q}{L} + \frac{2q}{L} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} + \frac{-2q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{4q}{L} - \frac{4q}{L\sqrt{5}} \right]$
$V_A = \frac{4q}{4\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right] = \frac{q}{\pi\epsilon_0 L} \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$.

(B) નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે. આપેલ બાજુ $a = 6 \ cm = 0.06 \ m$ છે.
અહીં $6$ શિરોબિંદુઓ છે,દરેક પર $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$ વિદ્યુતભાર છે,તેથી કેન્દ્ર પર કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{a} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{0.06}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-2}}$
$V = 54 \times 10^9 \times \frac{1}{3} \times 10^{-4}$
$V = 18 \times 10^5 \ V = 1.8 \times 10^6 \ V$.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તે બિંદુ $A$ $(2 \mu C)$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$V_A + V_B = 0$
$\frac{k(2 \times 10^{-6})}{x} + \frac{k(-3 \times 10^{-6})}{1 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{3}{1 - x}$
$2(1 - x) = 3x$
$2 - 2x = 3x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
આમ,$A$ થી અંતર $0.4 \ m$ છે.

(D) $q$ વીજભાર ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વાહક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને ગોળાઓ પર સમાન વીજભાર છે,તેથી $q_1 = q_2 = q$ લો.
પ્રથમ ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}$ છે.
બીજા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}$ છે.
તેમના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_1}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_2}} = \frac{r_2}{r_1}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = q(V_B - V_A)$.
આપેલ છે:
કાર્ય $W = 90 \ J$
વિદ્યુતભાર $q = 3 \ C$
$A$ પાસે સ્થિતિમાન $V_A = -10 \ V$
$B$ પાસે સ્થિતિમાન $V_B = V_1$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$90 = 3 \times (V_1 - (-10))$
$90 = 3 \times (V_1 + 10)$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$30 = V_1 + 10$
$V_1 = 30 - 10$
$V_1 = 20 \ V$.

(B) વિદ્યુતભારો $2d$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળના પરિઘ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \text{વ્યાસ} / 2 = (2d) / 2 = d$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,દરેક વિદ્યુતભાર કેન્દ્રથી $r = d$ અંતરે છે.
એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
અહીં ચાર સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V_{total}$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} \right)$
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{4q}{d} \right) = \frac{q}{\pi \varepsilon_0 d}$.
આમ,કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $q/d$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) ષટ્કોણના દરેક શિરોબિંદુ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન એ દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ જેટલું હોય છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે:
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r} \right)$
અહીં $q = 1 \mu\text{C} = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$,$r = 0.1 \text{ m}$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ છે:
$V = 6 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.1} \right)$
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-5}$
$V = 54 \times 10^4 = 5.4 \times 10^5 \text{ volt}$.

(B) વિદ્યુતભારિત ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ ચાપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધ-રિંગ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \lambda \times (\pi R)$ થાય.
તેથી,પ્રથમ અર્ધ-રિંગને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_1)}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ છે.
તે જ રીતે,બીજી અર્ધ-રિંગને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_2)}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ છે.
કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V_{net} = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \varepsilon_0}$ થાય.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kQ}{r}$ છે.
ચોરસના કેન્દ્રમાં $10 \mu C$ નો વિદ્યુતભાર હોવાથી,ચારેય ખૂણાઓ $(A, B, C, D)$ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે $r$ આવેલા છે.
તેથી,ખૂણા $A$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V_A)$ અને ખૂણા $B$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V_B)$ સમાન છે,એટલે કે $V_A = V_B$.
વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = q(V_B - V_A)$ છે.
$V_A = V_B$ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_B - V_A) = 0$ થાય.
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $W = 2 \mu C \times 0 = 0$ થાય.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $2L$ છે. વિદ્યુતભારો આ મુજબ મૂકવામાં આવ્યા છે: $A(+q), B(+q), C(-q), D(-q)$. બિંદુ $P$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ $P$ થી વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$AP = L$
$BP = L$
$DP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
$CP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = V_A + V_B + V_C + V_D$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L\sqrt{5}} - \frac{q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(A) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક એકમ ધન વિદ્યુતભાર $(q = 1)$ ને ઓછા સ્થિતિમાન $(V_L)$ વાળા વિસ્તારમાંથી વધુ સ્થિતિમાન $(V_H)$ વાળા વિસ્તારમાં ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = q(V_H - V_L)$ છે.
અહીં $V_H > V_L$ હોવાથી,પદ $(V_H - V_L)$ ધન છે.
તેથી,$\Delta U > 0$,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિઊર્જા વધે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ધન વિદ્યુતભારને ઓછા સ્થિતિમાનથી વધુ સ્થિતિમાન તરફ લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે,અને આ કાર્ય તંત્રમાં સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.

(C) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે $r$ અંતરે રહેલી સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{K q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ અંતરે પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{K q_1 q_2}{d}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_2$ ને $q_1$ તરફ $x$ અંતરે ખસેડવામાં આવે,ત્યારે નવું અંતર $r' = d - x$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{K q_1 q_2}{d - x}$ થાય છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2}{d - x} - \frac{K q_1 q_2}{d}$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{1}{d - x} - \frac{1}{d} \right)$
$\Delta U = K q_1 q_2 \left( \frac{d - (d - x)}{d(d - x)} \right)$
$\Delta U = \frac{K q_1 q_2 x}{d(d - x)}$.

(C) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $A, B, C, D$ છે,જ્યાં $A$ અને $B$ પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ અને $D$ પર $-q$ વિદ્યુતભાર છે. ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2r$ છે. બિંદુ $P$ એ બાજુ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,અંતર: $DP = PC = r$.
$A$ અને $B$ થી $P$ સુધીનું અંતર: $AP = BP = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_P$ એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{r\sqrt{5}} + \frac{q}{r\sqrt{5}} - \frac{q}{r} - \frac{q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2q}{r\sqrt{5}} - \frac{2q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{r} \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right]$

(B) ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_s = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
કેન્દ્રથી $5R$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_p = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{5R}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{R} - \frac{1}{5R}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{4}{5R}) = \frac{q}{5\pi\epsilon_0 R}$ થાય.
આના પરથી,વિદ્યુતભાર $q = \frac{5\pi\epsilon_0 RV}{1}$ મળે.
$r = 5R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(5R)^2} = \frac{q}{100\pi\epsilon_0 R^2}$ થાય.
$q$ ની કિંમત $V$ ના પદમાં મૂકતા: $E = \frac{1}{100\pi\epsilon_0 R^2} \cdot (5\pi\epsilon_0 RV) = \frac{5}{100} \frac{V}{R} = \frac{V}{20R}$.

(D) રિંગના કેન્દ્ર પર નાના વિદ્યુતભાર ઘટક $dq$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધ-રિંગ હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને અર્ધ-રિંગની લંબાઈ $(L = \pi R)$ નો ગુણાકાર છે.
તેથી,$q = \sigma \cdot \pi R$.
કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ સમગ્ર અર્ધ-રિંગ પર $dV$ નું સંકલન છે:
$V = \int dV = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \int dq$.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = \sigma \pi R$ મૂકતા:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \cdot (\sigma \pi R) = \frac{\sigma}{4 \epsilon_0}$.

(A) આપેલ છે કે બંને ગોલીય વાહકો સમાન સ્થિતિમાન $V$ પર છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોલીય વાહક માટે,સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી $V_1 = V_2$ હોવાથી,$\frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ની વ્યાખ્યા $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^2}$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1 / (4 \pi r_1^2)}{q_2 / (4 \pi r_2^2)} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2}$ થાય.
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1}$ મળે છે.
અહીં $r_1 = 4 \ cm$ અને $r_2 = 5 \ cm$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{5}{4}$ થાય.

(A) $q$ વીજભાર અને $m$ દળ ધરાવતો કણ $V$ જેટલા વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવતમાંથી પસાર થાય ત્યારે પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q$ વીજભાર ધરાવતા કણ $A$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_A^2 = qV$ (સમીકરણ $1$)
$4q$ વીજભાર ધરાવતા કણ $B$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_B^2 = 4qV$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_A^2}{v_B^2} = \frac{qV}{4qV} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $v_A : v_B$ એ $1:2$ થશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ સંબંધ $dV = -\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ આપણે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં આગળ વધીએ છીએ તેમ વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ સૌથી ડાબી બાજુએ છે,જેનો અર્થ છે કે તે ત્રણેય બિંદુઓમાં સૌથી વધુ સ્થિતિમાન ધરાવે છે.
બિંદુ $A$ અને $C$ એ બિંદુ $B$ ની તુલનામાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં આગળ છે,તેથી તેમનું સ્થિતિમાન બિંદુ $B$ કરતા ઓછું હશે.
તેથી,વિદ્યુત સ્થિતિમાન બિંદુ $B$ પર મહત્તમ છે.

(D) વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_s = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ છે.
કેન્દ્રથી $3r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 r}$ થાય.
આથી,$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{3}{2} Vr$ મળે.
$3r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (9r^2)}$ છે.
$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}$ ની કિંમત મૂકતા,$E = \frac{3Vr}{2(9r^2)} = \frac{V}{6r}$ મળે.

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $2L$ છે. $+q$ વિદ્યુતભારો $A$ અને $B$ પર છે,અને $-q$ વિદ્યુતભારો $D$ અને $C$ પર છે. બિંદુ $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
અંતર $AP = PB = L$.
$P$ થી $D$ અને $C$ સુધીનું અંતર પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $\triangle ADP$ અને $\triangle BCP$ માં શોધી શકાય છે:
$PD = PC = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{4L^2 + L^2} = \sqrt{5}L$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{PD} + \frac{-q}{PC} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(A) ગોલીય વિદ્યુતભારિત કવચ માટે,કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે કવચની ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm$ છે અને સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_{surface} = 100 \ V$ છે.
અહીં $2 \ cm < 10 \ cm$ હોવાથી,આ બિંદુ કવચની અંદર આવેલું છે.
તેથી,કેન્દ્રથી $2 \ cm$ અંતરે સ્થિતિમાન સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ એટલે કે $100 \ V$ થશે.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા મેળવેલી ઉર્જાનું સૂત્ર $E = qV$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 2.5 \ V$ છે.
તેથી,મેળવેલી ઉર્જા $E = e \times 2.5 \ V = 2.5 \ eV$ થાય.
જેમ કે $1 \ eV$ એ $1 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઉર્જા છે,તેથી મેળવેલી ઉર્જા $2.5 \ eV$ છે.

(A) બાજુવાળા ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $a \sqrt{2}$ થાય છે.
આપેલ બાજુ $a = 2 \sqrt{2} \text{ m}$ હોવાથી,વિકર્ણની લંબાઈ $d = (2 \sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 4 \text{ m}$ થશે.
કેન્દ્ર (વિકર્ણોનું છેદબિંદુ) થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r$ એ વિકર્ણની લંબાઈ કરતા અડધું હોય છે:
$r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ m}$.
$r$ અંતરે રહેલા ચાર સમાન વિદ્યુતભારો $q = 1 \mu C = 10^{-6} \text{ C}$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = 4 \times \frac{k q}{r}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = 4 \times \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{2}$
$V = 2 \times 9 \times 10^3 = 18 \times 10^3 \text{ V}$.

(C) ભારિત ગોળાની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ ની ગણતરી અનંત અંતરેથી નાના વિદ્યુતભારના ઘટકો $dq$ ને ગોળાની સપાટી પર લાવવા માટે કરેલા કાર્ય દ્વારા કરી શકાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે સરેરાશ સ્થિતિમાનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
શરૂઆતમાં,જ્યારે ગોળા પર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી,ત્યારે સ્થિતિમાન $V_1 = 0$ છે.
જ્યારે ગોળા પર કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ હોય,ત્યારે સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{k Q}{R}$ છે.
ચાર્જિંગ પ્રક્રિયા દરમિયાન સરેરાશ સ્થિતિમાન $V = \frac{V_1 + V_2}{2} = \frac{0 + \frac{k Q}{R}}{2} = \frac{k Q}{2 R}$ થાય છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U$ એ ગોળાને ચાર્જ કરવા માટે કરેલું કાર્ય છે,જે $U = \int_0^Q V(q) dq = \int_0^Q \frac{k q}{R} dq = \frac{k}{R} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_0^Q = \frac{1}{2} \frac{k Q^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.