Plane Questions in Gujarati

(A) આપેલ બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$,$B(1, 1, 1)$ અને $C(2, -1, 3)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સમતલ પરના બે સદિશો શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = (1 - (-1))i + (1 - 2)j + (1 - 3)k = 2i - j - 2k$
$\overrightarrow{AC} = (2 - (-1))i + (-1 - 2)j + (3 - 3)k = 3i - 3j + 0k$
સમતલને લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - 6) - j(0 - (-6)) + k(-6 - (-3)) = -6i - 6j - 3k$
ધારો કે $\vec{n} = -6i - 6j - 3k$. તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$ છે.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{-6i - 6j - 3k}{9} = \pm \left( \frac{-2i - 2j - k}{3} \right) = \pm \left( \frac{2i + 2j + k}{3} \right)$ થાય.

(B) ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે અને સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r \cdot \hat{n} = d$ છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ એકમ લંબ સદિશ છે.
અહીં $d = 8$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$\vec{n}$ નું માન શોધો:
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
હવે,એકમ લંબ સદિશ $\hat{n}$ શોધો:
$\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{3}$.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot \hat{n} = d$ છે:
$r \cdot \left( \frac{2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{3} \right) = 8$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$r \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 24$.

(C) આપેલ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = 3i + j + 2k$ અને $\vec{q} = i - 2j - 4k$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (i - 2j - 4k) - (3i + j + 2k) = -2i - 3j - 6k$.
સમતલ $Q$ માંથી પસાર થાય છે અને $\overrightarrow{PQ}$ ને લંબ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \overrightarrow{PQ} = -2i - 3j - 6k$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(r - \vec{q}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $r \cdot \vec{n} = \vec{q} \cdot \vec{n}$ થાય છે.
$\vec{q} \cdot \vec{n} = (i - 2j - 4k) \cdot (-2i - 3j - 6k) = (1)(-2) + (-2)(-3) + (-4)(-6) = -2 + 6 + 24 = 28$.
આમ,$r \cdot (-2i - 3j - 6k) = 28$,જેને $r \cdot (2i + 3j + 6k) = -28$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) સમતલો $r \cdot a = \lambda$ અને $r \cdot b = \mu$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(r \cdot a - \lambda) + k(r \cdot b - \mu) = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$r \cdot (a + kb) = \lambda + k\mu$ .....$(i)$
આ સમતલ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી સ્થાન સદિશ $r = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$0 \cdot (a + kb) = \lambda + k\mu$
$0 = \lambda + k\mu$
$k = -\frac{\lambda}{\mu}$
$k$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$r \cdot (a - \frac{\lambda}{\mu} b) = \lambda + (-\frac{\lambda}{\mu})\mu$
$r \cdot (\frac{\mu a - \lambda b}{\mu}) = 0$
$\mu$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$r \cdot (\mu a - \lambda b) = 0$
જે $r \cdot (\lambda b - \mu a) = 0$ ને સમાન છે.

(B) સમતલ $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) - 7 = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમતલ બિંદુ $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda = 0$
અદિશ ગુણાકાર (dot product) ગણતા:
$(2)(4) + (-1)(-12) + (-4)(-3) + \lambda = 0$
$8 + 12 + 12 + \lambda = 0$
$32 + \lambda = 0$
$\lambda = -32$
$\lambda = -32$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) - 32 = 0$
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = 32$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) જરૂરી સમતલ $a_1$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $a_1$ તથા $a_2$ સદિશોને સમાંતર છે.
જો $r$ એ સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુનો સ્થાન સદિશ હોય,તો સદિશો $(r - a_1)$,$a_1$ અને $a_2$ સમતલીય છે.
તેથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ: $(r - a_1) \cdot (a_1 \times a_2) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $r \cdot (a_1 \times a_2) - a_1 \cdot (a_1 \times a_2) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $[r, a_1, a_2] = r \cdot (a_1 \times a_2)$ અને $[a_1, a_1, a_2] = 0$ (કારણ કે બે સદિશો સમાન છે),તેથી $[r, a_1, a_2] = 0$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $[r, a_1, a_2] = 0$ છે.

(C) આપેલ સમતલનું સદિશ સમીકરણ: $r = (1 + \lambda - \mu )i + (2 - \lambda )j + (3 - 2\lambda + 2\mu )k$
આને આ રીતે લખી શકાય: $r = (i + 2j + 3k) + \lambda (i - j - 2k) + \mu (-i + 2k)$
આ એક સમતલ દર્શાવે છે જે બિંદુ $a = i + 2j + 3k$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $b = i - j - 2k$ અને $c = -i + 2k$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n = b \times c$ દ્વારા મળે છે:
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = i(-2 - 0) - j(2 - 2) + k(0 - 1) = -2i - k$
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(r - a) \cdot n = 0$ છે, જેનો અર્થ છે કે $r \cdot n = a \cdot n$.
$a \cdot n$ ની ગણતરી કરતા: $(i + 2j + 3k) \cdot (-2i - k) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
તેથી, $r \cdot (-2i - k) = -5$, અથવા $r \cdot (2i + k) = 5$.
$r = xi + yj + zk$ મૂકતા, આપણને $(xi + yj + zk) \cdot (2i + k) = 5$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $2x + z = 5$ થાય છે.

(A) $a, b, c$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r \cdot (a \times b + b \times c + c \times a) = [a, b, c]$ છે.
આ સમીકરણ $r \cdot n = p$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n = a \times b + b \times c + c \times a$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ છે અને $p = [a, b, c]$ છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $r \cdot n = d$ પરના લંબની લંબાઈ $\frac{|d|}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,લંબની લંબાઈ $\frac{|[a, b, c]|}{|a \times b + b \times c + c \times a|}$ મળે છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $\frac{[a, b, c]}{|a \times b + b \times c + c \times a|}$ છે.

(C) સમતલ બિંદુ $a$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $r = b + \lambda c$ ને સમાવે છે. તેથી,સમતલ સદિશ $c$ અને સદિશ $(b - a)$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n$ આ બે સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$n = (b - a) \times c = b \times c - a \times c = b \times c + c \times a$.
સમતલનું સમીકરણ $(r - a) \cdot n = 0$ છે,જે $r \cdot n = a \cdot n$ તરીકે લખી શકાય.
$n = b \times c + c \times a$ મૂકતા,આપણને $r \cdot (b \times c + c \times a) = a \cdot (b \times c + c \times a)$ મળે છે.
કારણ કે $a \cdot (b \times c + c \times a) = a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) = [a, b, c] + 0 = [a, b, c]$,તેથી સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (b \times c + c \times a) = [a, b, c]$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $r \cdot n = d$ પરના લંબની લંબાઈ $\frac{|d|}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$d = [a, b, c]$ અને $n = b \times c + c \times a$ છે.
આમ,લંબની લંબાઈ $\frac{[a, b, c]}{|b \times c + c \times a|}$ છે.

(B) બે સમાંતર સમતલોના સમીકરણો $r \cdot n + d_1 = 0$ અને $r \cdot n + d_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = i + 2j - 2k$,$d_1 = 5$,અને $d_2 = -8$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $r \cdot n + d_1 = 0$ અને $r \cdot n + d_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = \frac{|d_1 - d_2|}{|n|}$ છે.
પ્રથમ,અભિલંબ સદિશ $n$ નું માન શોધો:
$|n| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
હવે,કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકો:
$D = \frac{|5 - (-8)|}{3} = \frac{|5 + 8|}{3} = \frac{13}{3} \text{ એકમ}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, -2, 0)$ અને $B(2, 3, 5)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (2 - (-1))i + (3 - (-2))j + (5 - 0)k = 3i + 5j + 5k$ છે.
સમતલ એ $\vec{v} = 2i + 5j - k$ દિશા સદિશ ધરાવતી રેખાને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{v}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 5 & 5 \\ 2 & 5 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(-5 - 25) - j(-3 - 10) + k(15 - 10) = -30i + 13j + 5k$.
$(-1, -2, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$-30(x + 1) + 13(y + 2) + 5(z - 0) = 0$
$-30x - 30 + 13y + 26 + 5z = 0$
$-30x + 13y + 5z = 4$.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $r \cdot (-30i + 13j + 5k) = 4$ છે.

(A) ધારો કે સમતલના $x, y$ અને $z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $P(a, 0, 0), Q(0, b, 0)$ અને $R(0, 0, c)$ થશે.
$\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $2i - 5j + 8k$ છે,તેથી $\frac{a}{3} = 2, \frac{b}{3} = -5, \frac{c}{3} = 8$.
આમ,$a = 6, b = -15, c = 24$.
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x}{6} + \frac{y}{-15} + \frac{z}{24} = 1$ મળે.
$6, 15$ અને $24$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $120$ વડે ગુણતા,$20x - 8y + 5z = 120$ મળે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $r \cdot (20i - 8j + 5k) = 120$ થાય.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(6 - 3) + \hat{k}(6 - 0) = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (A, B, C)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $A(2, -1, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -3, 6)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$2(x - 2) - 3(y + 1) + 6(z - 3) = 0$
$2x - 4 - 3y - 3 + 6z - 18 = 0$
$2x - 3y + 6z - 25 = 0$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 1, 1)$,$B(1, 1, 2)$ અને $C(-1, 2, -2)$ છે.
સમતલમાં આવેલા બે સદિશો $\vec{AB} = (1-0)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{AC} = (-1-0)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(-3 - (-1)) + \hat{k}(1 - 0) = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
દિકગુણોત્તરો $(-1, 2, 1)$ મળે છે,જે $(1, -2, -1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) ત્રણ ચલ $x, y, z$ માં પ્રથમ ઘાતવાળા સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $Ax + By + Cz + D = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A, B, C$ બધા શૂન્ય નથી.
આ સમીકરણ હંમેશા ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક સમતલ દર્શાવે છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 3z + 4 = 0$ છે.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $Ax + By + Cz + D = 0$ સાથે સરખાવતા,અભિલંબના દિક્ગુણોત્તર $(A, B, C) = (1, 2, -3)$ મળે છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\pm \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \pm \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \pm \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
ઋણ ચિહ્ન લેતા,આપણને $l = -\frac{1}{\sqrt{14}}$,$m = -\frac{2}{\sqrt{14}}$,અને $n = -\frac{-3}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$ મળે છે.
આમ,દિક્કોસાઇન $(-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}})$ છે,જે વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(B) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \left| \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$.
અહીં,અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 2\hat{i} - 1\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\cos \theta = \left| \frac{(3)(2) + (-4)(-1) + (5)(-2)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} \right|$.
$\cos \theta = \left| \frac{6 + 4 - 10}{\sqrt{9 + 16 + 25} \sqrt{4 + 1 + 4}} \right| = \left| \frac{0}{\sqrt{50} \sqrt{9}} \right| = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તે $y$-અક્ષને છેદતું નથી,જેનો અર્થ છે કે $y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ અનંત છે,તેથી $y$ વાળું પદ શૂન્ય થઈ જશે.
$x$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $2$ અને $3$ આપેલા છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{z}{3} = 1$ થશે.
આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 2z = 6$ મળે છે.

(C) સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ અંતઃખંડો $a = -6, b = 3, c = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{x}{-6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$.
સાદું રૂપ આપવા માટે,$6, 3, 4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $12$ વડે ગુણતા:
$-2x + 4y + 3z = 12$,અથવા $-2x + 4y + 3z - 12 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = -2, B = 4, C = 3, D = -12$.
$d = \frac{|-12|}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{12}{\sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{12}{\sqrt{29}}$.

(C) $xy$-સમતલને સમાંતર સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $z = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે સમતલ $z$-અક્ષ પર $3$ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી $k$ ની કિંમત $3$ થશે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $z = 3$ છે.

(D) સમતલોના સમીકરણો $P_1: 3x - 6y + 2z + 5 = 0$ અને $P_2: 4x - 12y + 3z - 3 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુને સમાવતા દ્વિભાજક શોધવા માટે,આપણે પહેલા અચળ પદોને ધન બનાવીએ છીએ.
$P_1$ માટે,અચળ $5 > 0$ છે,તેથી આપણે તેને $3x - 6y + 2z + 5 = 0$ તરીકે રાખીશું.
$P_2$ માટે,અચળ $-3 < 0$ છે,તેથી આપણે તેને $-1$ વડે ગુણીને $-4x + 12y - 3z + 3 = 0$ મેળવીશું.
ઉગમબિંદુને સમાવતા દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{3x - 6y + 2z + 5}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}} = \frac{-4x + 12y - 3z + 3}{\sqrt{(-4)^2 + 12^2 + (-3)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{3x - 6y + 2z + 5}{7} = \frac{-4x + 12y - 3z + 3}{13}$ થાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $13(3x - 6y + 2z + 5) = 7(-4x + 12y - 3z + 3)$ મળે છે.
$39x - 78y + 26z + 65 = -28x + 84y - 21z + 21$.
પદોને ગોઠવતા: $67x - 162y + 47z + 44 = 0$.
આ પરિણામ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ અને $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ લંબ હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$ લંબ હોય,એટલે કે $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
અહીં,અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (3, -6, -2)$ અને $\vec{n_2} = (2, 1, -k)$ છે.
સમતલો લંબ હોવા માટે,તેમના અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(3)(2) + (-6)(1) + (-2)(-k) = 0$
$6 - 6 + 2k = 0$
$0 + 2k = 0$
$2k = 0$
$k = 0$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(-1, 3, 2)$ મૂકતા,આપણને $A(x + 1) + B(y - 3) + C(z - 2) = 0$ મળે ..... $(i)$.
સમતલ $(i)$ એ $x + 2y + 3z = 5$ અને $3x + 3y + z = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (A, B, C)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, 3)$ અને $\vec{n_2} = (3, 3, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(3 - 6) = -7\hat{i} + 8\hat{j} - 3\hat{k}$.
આમ,$A = -7, B = 8, C = -3$ મળે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$-7(x + 1) + 8(y - 3) - 3(z - 2) = 0$.
$-7x - 7 + 8y - 24 - 3z + 6 = 0$.
$-7x + 8y - 3z - 25 = 0$,જે $7x - 8y + 3z + 25 = 0$ ને સમાન છે.

(A) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $x + 2y + 3z + 7 = 0$ અને $2x + 4y + 6z + 7 = 0$ છે.
પ્રથમ,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા આપણને મળે છે: $x + 2y + 3z + \frac{7}{2} = 0$.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 1, B = 2, C = 3, D_1 = 7$,અને $D_2 = \frac{7}{2}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|7 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|\frac{14 - 7}{2}|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{14}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$d = \frac{7}{2\sqrt{14}} = \frac{7}{2\sqrt{2} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AB} = (-a, b, 0)$ અને $\vec{AC} = (-a, 0, c)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc) - \hat{j}(-ac) + \hat{k}(ab) = (bc, ac, ab)$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2} = \sqrt{b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \sqrt{b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2}$ થાય.

(C) સમતલ $x - 2y + 2z = 5$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + 2z + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે ... $(i)$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં બિંદુ $(1, 2, 3)$ અને અંતર $d = 1$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{|1 - 2(2) + 2(3) + k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$
$\frac{|1 - 4 + 6 + k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$
$\frac{|k + 3|}{\sqrt{9}} = 1$
$|k + 3| = 3$
આથી $k + 3 = 3$ અથવા $k + 3 = -3$ મળે.
કિસ્સો $1$: $k = 0$. સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા,$x - 2y + 2z = 0$ મળે.
કિસ્સો $2$: $k = -6$. સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા,$x - 2y + 2z - 6 = 0$ એટલે કે $x - 2y + 2z = 6$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$x - 2y + 2z = 6$ એ સાચું સમીકરણ છે.

(D) $ax + by + cz + d = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + k = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$2x + 3y - 4z = 0$ ને સમાંતર સમતલ $2x + 3y - 4z + k = 0$ છે.....$(i)$
સમતલ $(i)$ એ $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$2(1) + 3(2) - 4(3) + k = 0$
$2 + 6 - 12 + k = 0$
$8 - 12 + k = 0$
$-4 + k = 0$
$k = 4$
$k$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને જરૂરી સમતલનું સમીકરણ મળે છે:
$2x + 3y - 4z + 4 = 0$.

(B) ધારો કે ગતિ કરતું બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે $P$ થી $A(3, 4, -2)$ નું અંતર અને $P$ થી $B(2, 3, -3)$ નું અંતર સમાન છે.
તેથી,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 4z + 4) = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 6z + 9)$
બંને બાજુથી $x^2, y^2, z^2$ ને દૂર કરતા:
$-6x - 8y + 4z + 29 = -4x - 6y + 6z + 22$
પદોને ગોઠવતા:
$2x + 2y + 2z = 7$
આ એક સમતલનું સમીકરણ છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશના ઘટકો સમાન હોવાથી,અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો છે.

(A) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$yz$-સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ $0$ હોય છે.
તેથી,$yz$-સમતલ દર્શાવતું સમીકરણ $x = 0$ છે.

(D) પ્રથમ સમતલનું સમીકરણ $2x - y + z = 6$ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
બીજા સમતલનું સમીકરણ $x + y + 2z = 7$ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $P(2, 4, -3)$ છે.
અહીં $OP$ એ સમતલનો અભિલંબ છે,તેથી અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(2 - 0, 4 - 0, -3 - 0) = (2, 4, -3)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $P(2, 4, -3)$ અને અભિલંબ $(2, 4, -3)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$2(x - 2) + 4(y - 4) - 3(z - (-3)) = 0$
$2(x - 2) + 4(y - 4) - 3(z + 3) = 0$
$2x - 4 + 4y - 16 - 3z - 9 = 0$
$2x + 4y - 3z - 29 = 0$
$2x + 4y - 3z = 29$.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $(3, 4, -1)$ અને $(2, -1, 5)$ બિંદુઓને જોડતો સદિશ છે.
$\vec{n} = (2 - 3)\hat{i} + (-1 - 4)\hat{j} + (5 - (-1))\hat{k} = -1\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$ અથવા $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ લેવાય.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
$(x_0, y_0, z_0) = (2, -3, 1)$ અને $(a, b, c) = (1, 5, -6)$ મૂકતા:
$1(x - 2) + 5(y - (-3)) - 6(z - 1) = 0$
$x - 2 + 5y + 15 - 6z + 6 = 0$
$x + 5y - 6z + 19 = 0$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ છે.
સમતલ $(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(1 - 1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $-2b = 0$,એટલે કે $b = 0$.
હવે સમીકરણ $a(x - 1) + c(z - 1) = 0$ બને છે.
તે $(-7, -3, -5)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $a(-7 - 1) + c(-5 - 1) = 0$,જે $-8a - 6c = 0$ આપે છે,અથવા $8a = -6c$,જેનું સાદું રૂપ $a = -\frac{3}{4}c$ થાય છે.
$a = -\frac{3}{4}c$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-\frac{3}{4}c(x - 1) + c(z - 1) = 0$ મળે છે.
$c$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $c \neq 0$) અને $-4$ વડે ગુણતા,આપણને $3(x - 1) - 4(z - 1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 3 - 4z + 4 = 0$,એટલે કે $3x - 4z + 1 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $Q$ એ આપેલ સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ માં બિંદુ $P(1, 3, 4)$ નું પ્રતિબિંબ છે. રેખા $PQ$ એ સમતલને લંબ છે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $2, -1, 1$ છે.
રેખા $PQ$ એ $P(1, 3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબને સમાંતર હોવાથી,રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = r$ થાય.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r + 1, -r + 3, r + 4)$ સ્વરૂપમાં મળે. ધારો કે આ બિંદુ $Q$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ એ $\left( \frac{2r + 1 + 1}{2}, \frac{-r + 3 + 3}{2}, \frac{r + 4 + 4}{2} \right) = \left( r + 1, \frac{-r + 6}{2}, \frac{r + 8}{2} \right)$ થશે.
બિંદુ $R$ એ સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$R$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(r + 1) - \left( \frac{-r + 6}{2} \right) + \left( \frac{r + 8}{2} \right) + 3 = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$4(r + 1) - (-r + 6) + (r + 8) + 6 = 0$
$4r + 4 + r - 6 + r + 8 + 6 = 0$
$6r + 12 = 0 \implies r = -2$.
$r = -2$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-2) + 1 = -3$
$y = -(-2) + 3 = 5$
$z = -2 + 4 = 2$
આમ,પ્રતિબિંબ બિંદુ $(-3, 5, 2)$ છે.

(C) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $2x - 2y + z + 3 = 0$ અને $4x - 4y + 2z + 5 = 0$ છે.
પ્રથમ,આપણે બીજા સમીકરણને એવી રીતે સામાન્ય બનાવીએ કે જેથી $x, y, z$ ના સહગુણકો પ્રથમ સમીકરણ જેવા જ રહે. બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x - 2y + z + \frac{5}{2} = 0$ મળે છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં,$A = 2, B = -2, C = 1, D_1 = 3$,અને $D_2 = \frac{5}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $d = \frac{|3 - \frac{5}{2}|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|\frac{6-5}{2}|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{6}$ મળે છે.

(D) સમતલો $ax + by + cz + d = 0$ અને $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n_1} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = a'\hat{i} + b'\hat{j} + c'\hat{k}$ છે.
બે સમતલો પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ હોય.
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) \cdot (a'\hat{i} + b'\hat{j} + c'\hat{k}) = aa' + bb' + cc' = 0$.
તેથી,સાચી શરત $aa' + bb' + cc' = 0$ છે.

(B) બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો તેમના અભિલંબ (normals) વચ્ચેના ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો બે સમતલોના સમીકરણો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ હોય,તો તેમના અભિલંબ $\vec{n_1} = a_1\hat{i} + b_1\hat{j} + c_1\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = a_2\hat{i} + b_2\hat{j} + c_2\hat{k}$ છે. સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3y + 4z = 0$ છે.
આ $Ax + By + Cz + D = 0$ સ્વરૂપનું $x, y, z$ માં સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં $A=0, B=3, C=4, D=0$ છે.
સમીકરણ $By + Cz = 0$ સ્વરૂપનું હોવાથી,તે એક સમતલ દર્શાવે છે.
કોઈ સમતલ $x$-અક્ષને સમાવે તે માટે,$x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ (જે $(k, 0, 0)$ સ્વરૂપના હોય છે) સમીકરણનું સમાધાન કરવા જોઈએ.
$3y + 4z = 0$ માં $(k, 0, 0)$ મૂકતા,આપણને $3(0) + 4(0) = 0$ મળે છે,જે $0 = 0$ છે.
આમ,$k$ ની તમામ કિંમતો માટે સમીકરણનું સમાધાન થતું હોવાથી,આ સમતલ $x$-અક્ષને સમાવે છે.

(A) ધારો કે સમતલ અક્ષોને જે બિંદુઓમાં છેદે છે તે $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}) = (\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે,તેથી $\frac{a}{3} = \alpha$,$\frac{b}{3} = \beta$,અને $\frac{c}{3} = \gamma$ થાય.
આમ,$a = 3\alpha$,$b = 3\beta$,અને $c = 3\gamma$ મળે.
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{3\alpha} + \frac{y}{3\beta} + \frac{z}{3\gamma} = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} + \frac{z}{\gamma} = 3$ મળે છે.

(A) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને માત્ર જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ થાય.
આપેલ સમતલોના સમીકરણો $3x - 2y + 2z + 17 = 0$ અને $4x + 3y - kz - 25 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 2$ અને $a_2 = 4, b_2 = 3, c_2 = -k$ છે.
આ કિંમતોને લંબ હોવાની શરતમાં મૂકતા:
$(3)(4) + (-2)(3) + (2)(-k) = 0$
$12 - 6 - 2k = 0$
$6 - 2k = 0$
$2k = 6$
$k = 3$.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{OA}$ છે.
અહીં $O = (0, 0, 0)$ અને $A = (a, b, c)$ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{OA}$ ના દિકગુણોત્તરો $(a - 0, b - 0, c - 0)$ એટલે કે $a, b, c$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(A, B, C)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $A(a, b, c)$ અને અભિલંબ $(a, b, c)$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a(x - a) + b(y - b) + c(z - c) = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $p$ જેટલા અચળ અંતરે હોવાથી,$p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{p^2}$ ..... $(i)$.
$A, B, C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a}{4}, y = \frac{b}{4}, z = \frac{c}{4}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 4x, b = 4y, c = 4z$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{1}{(4x)^2} + \frac{1}{(4y)^2} + \frac{1}{(4z)^2} = \frac{1}{p^2}$ મળે.
$\frac{1}{16x^2} + \frac{1}{16y^2} + \frac{1}{16z^2} = \frac{1}{p^2}$.
બંને બાજુ $16$ વડે ગુણતા,$x^{-2} + y^{-2} + z^{-2} = 16p^{-2}$ મળે છે.

(D) સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = 1$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ અને $z = 0$ લેતા,$ax = 1$ મળે,તેથી $x = \frac{1}{a}$. આમ,બિંદુ $A = (\frac{1}{a}, 0, 0)$.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $x = 0$ અને $z = 0$ લેતા,$by = 1$ મળે,તેથી $y = \frac{1}{b}$. આમ,બિંદુ $B = (0, \frac{1}{b}, 0)$.
$z$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$cz = 1$ મળે,તેથી $z = \frac{1}{c}$. આમ,બિંદુ $C = (0, 0, \frac{1}{c})$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ થાય.
$A, B$ અને $C$ ના યામ મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= (\frac{\frac{1}{a} + 0 + 0}{3}, \frac{0 + \frac{1}{b} + 0}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{1}{c}}{3}) = (\frac{1}{3a}, \frac{1}{3b}, \frac{1}{3c})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ છે કે સમતલ અક્ષો પર એકમ લંબાઈના સમાન અંતઃખંડો કાપે છે,તેથી $a = 1, b = 1, c = 1$ મળે.
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$ મળે છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x + y + z = 1$ છે.

(D) સમતલ $Ax + By + Cz = D$ ને સમાંતર સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax + By + Cz = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલ $x + 2y + 4z = 5$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x + 2y + 4z = k$ સ્વરૂપમાં હશે.
આ સમતલ બિંદુ $(2, 3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $k$ ની કિંમત શોધવા માટે આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીશું:
$2 + 2(3) + 4(4) = k$
$2 + 6 + 16 = k$
$k = 24$
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x + 2y + 4z = 24$ છે.

(D) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y=0$ અને $z=0$ લેતા: $\frac{x}{a} = 3 \implies x = 3a$. તેથી,$A = (3a, 0, 0)$.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x=0$ અને $z=0$ લેતા: $\frac{y}{b} = 3 \implies y = 3b$. તેથી,$B = (0, 3b, 0)$.
$z$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x=0$ અને $y=0$ લેતા: $\frac{z}{c} = 3 \implies z = 3c$. તેથી,$C = (0, 0, 3c)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2),$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$ દ્વારા મળે છે.
$A, B$ અને $C$ ના યામો મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left( \frac{3a+0+0}{3}, \frac{0+3b+0}{3}, \frac{0+0+3c}{3} \right) = (a, b, c)$.

(B) જ્યારે અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ અને ઉગમબિંદુથી લંબની લંબાઈ $p$ આપેલ હોય,ત્યારે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = p \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ થાય.
અહીં,$(a, b, c) = (-3, 2, 6)$ અને $p = 7$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$-3x + 2y + 6z = 7 \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2}$
$-3x + 2y + 6z = 7 \sqrt{9 + 4 + 36}$
$-3x + 2y + 6z = 7 \sqrt{49}$
$-3x + 2y + 6z = 7 \times 7$
$-3x + 2y + 6z = 49$
આમ,સમતલનું સમીકરણ $-3x + 2y + 6z - 49 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $x - 3y + 5z = d$ છે.
સમતલ બિંદુ $(1, 2, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$1 - 3(2) + 5(4) = d$
$1 - 6 + 20 = d$
$d = 15$
આમ,સમતલનું સમીકરણ $x - 3y + 5z = 15$ છે.
અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે આખા સમીકરણને $15$ વડે ભાગીએ:
$\frac{x}{15} + \frac{-3y}{15} + \frac{5z}{15} = \frac{15}{15}$
$\frac{x}{15} + \frac{y}{-5} + \frac{z}{3} = 1$
આને સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,$x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $15, -5, 3$ મળે છે.

(D) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ થાય.
અહીં,સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, k)$ અને $\vec{n_2} = (2, 1, -2)$ છે.
સમતલો કાટખૂણે હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(1)(2) + (2)(1) + (k)(-2) = 0$.
$2 + 2 - 2k = 0$.
$4 - 2k = 0$.
$2k = 4$.
$k = 2$.

(B) જ્યારે બે સમતલો એકબીજાને છેદે છે,ત્યારે તેઓ એક સામાન્ય છેદરેખા ધરાવે છે.
આ છેદરેખા પરના તમામ બિંદુઓ બંને સમતલો પર આવેલા હોય છે.
તેથી,બે છેદતા સમતલો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ થાય છે.
આમ,$\cos {90^o} = 0$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.