Plane Questions in Gujarati

(D) પ્રથમ સમતલનું સમીકરણ $ax + by + 0z + d = 0$ છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (a, b, 0)$ છે.
બીજા સમતલનું સમીકરણ $0x + 0y + 1z = 0$ છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (0, 0, 1)$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (a)(0) + (b)(0) + (0)(1) = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે ગતિ કરતું બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$P$ નું $A(3, 4, -2)$ થી અંતર અને $P$ નું $B(2, 3, -3)$ થી અંતર સમાન છે.
તેથી,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 4z + 4) = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 6z + 9)$
બંને બાજુથી $x^2, y^2, z^2$ દૂર કરતા:
$-6x - 8y + 4z + 29 = -4x - 6y + 6z + 22$
પદોને ગોઠવતા:
$2x + 2y + 2z = 7$
આ એક સમતલનું સમીકરણ છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, 2, 2)$ છે.
અભિલંબની દિક-કોસાઇન $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે,જેનો અર્થ છે કે અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.

(C) સમતલના અંત:ખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b$ અને $c$ એ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ અક્ષ પરના અંત:ખંડો છે.
અહીં આપેલ અંત:ખંડો $a = -4, b = 2$ અને $c = 3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x}{-4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$
સાદું રૂપ આપવા માટે,છેદ $4, 2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા:
$12 \times (\frac{x}{-4}) + 12 \times (\frac{y}{2}) + 12 \times (\frac{z}{3}) = 12 \times 1$
$-3x + 6y + 4z = 12$
આમ,સમતલનું સમીકરણ $-3x + 6y + 4z = 12$ છે.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ $(2, 6, 3)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0, 0)$ છે.
સદિશ $\vec{OP} = (2 - 0)\hat{i} + (6 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$ થાય.
સમતલ $OP$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OP} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$2(x - 2) + 6(y - 6) + 3(z - 3) = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$2x - 4 + 6y - 36 + 3z - 9 = 0$.
$2x + 6y + 3z - 49 = 0$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x + 6y + 3z = 49$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + by + cz = 0$ છે,જે $ax + by + cz = a$ તરીકે લખી શકાય. તે $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(0) + b(1) + c(0) = a$,એટલે કે $b = a$. સમીકરણ $ax + ay + cz = a$ અથવા $x + y + (c/a)z = 1$ બને છે. ધારો કે $k = c/a$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ છે. સમતલ $x + y = 3$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ છે. સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi/4$ છે,તેથી $\cos(\pi/4) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$1/\sqrt{2} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1/2 = \frac{4}{2(2+k^2)} = \frac{2}{2+k^2}$.
$2+k^2 = 4 \implies k^2 = 2 \implies k = \pm \sqrt{2}$.
$k = \sqrt{2}$ લેતા,અભિલંબ $(1, 1, \sqrt{2})$ મળે છે. આમ,દિકગુણોત્તર $1, 1, \sqrt{2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) સમતલોના અભિલંબ સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{n}_P = (1, 1, -2)$
$\vec{n}_Q = (1, 1, 2)$
$\vec{n}_R = (3, 3, -6)$
જો બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોય તો તે સમતલો સમાંતર હોય છે.
$P$ અને $R$ માટે,આપણે ઘટકોનો ગુણોત્તર તપાસીએ:
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_P$ અને $\vec{n}_R$ પ્રમાણસર હોવાથી,સમતલો $P$ અને $R$ સમાંતર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ રેખા $\vec{r} = (2, 3, 4) + k(3, 4, 5)$ છે.
આ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, 4, 5)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,રેખાનો દિશા સદિશ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ બનશે.
તેથી,$\vec{n} = (3, 4, 5)$.
સમતલ બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3(x - 1) + 4(y - 1) + 5(z - 0) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $3x - 3 + 4y - 4 + 5z = 0$.
સાદું રૂપ આપતા: $3x + 4y + 5z = 7$.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે $(i)$.
સમતલ યામ અક્ષોને $A, B$ અને $C$ માં મળે છે,તેથી બિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ છે,તેથી $\frac{a}{3} = 1$,$\frac{b}{3} = 2$ અને $\frac{c}{3} = 3$.
આથી $a = 3$,$b = 6$ અને $c = 9$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ સમતલ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a=2, b=3, c=3$ છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓના યામ $A(2, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ અને $C(0, 0, 3)$ છે.
બાજુઓ બનાવતા સદિશો $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ અને $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 3)$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9 - 0) - \hat{j}(-6 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 9\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36 + 36} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{17} = \frac{3\sqrt{17}}{2}$ ચો.એકમ થાય.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલ $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = 7$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = d_1$ છે.
આ સમતલ બિંદુ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $\vec{r} = \vec{a}$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$d_1 = (2\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k})$
$d_1 = (2)(4) + (1)(-12) + (-4)(-3)$
$d_1 = 8 - 12 + 12 = 8$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = 8$ છે.

(B) સમતલો $P_1: x + 2y + 3z - 4 = 0$ અને $P_2: 4x + 3y + 2z + 1 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + 2y + 3z - 4) + \lambda (4x + 3y + 2z + 1) = 0$.
આ સમતલ ઊગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=0, y=0, z=0$ મૂકીએ:
$(0 + 0 + 0 - 4) + \lambda (0 + 0 + 0 + 1) = 0$.
$-4 + \lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
હવે $\lambda = 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + 2y + 3z - 4) + 4(4x + 3y + 2z + 1) = 0$.
$x + 2y + 3z - 4 + 16x + 12y + 8z + 4 = 0$.
$17x + 14y + 11z = 0$.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $f(x, y, z) = 3x + 4y - 12z + 13 = 0$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુએ ત્યારે જ હોય જો $f(x_1, y_1, z_1)$ અને $f(x_2, y_2, z_2)$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોય,એટલે કે $f(x_1, y_1, z_1) \times f(x_2, y_2, z_2) < 0$.
બિંદુ $P_1 = (1, a, 1)$ માટે,$f(1, a, 1) = 3(1) + 4(a) - 12(1) + 13 = 3 + 4a - 12 + 13 = 4a + 4$.
બિંદુ $P_2 = (-3, 0, a)$ માટે,$f(-3, 0, a) = 3(-3) + 4(0) - 12(a) + 13 = -9 - 12a + 13 = 4 - 12a$.
આપણે $(4a + 4)(4 - 12a) < 0$ ની જરૂર છે.
$16$ વડે ભાગતા,આપણને $(a + 1)(1 - 3a) < 0$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $(a + 1)(3a - 1) > 0$.
બીજ $a = -1$ અને $a = 1/3$ છે.
અસમતા $(a + 1)(3a - 1) > 0$ ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $a < -1$ અથવા $a > 1/3$ હોય.

(A) આપેલ સમીકરણ $3y + 4z = 0$ છે.
આ $x, y, z$ ચલોમાં $Ax + By + Cz + D = 0$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં $A=0, B=3, C=4$ અને $D=0$ છે.
અહીં $D=0$ હોવાથી,આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
કોઈપણ સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ માં $x$-અક્ષ ત્યારે જ હોય જો તે સમીકરણ $x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, 0, 0)$ માટે સંતોષાય.
$3y + 4z = 0$ માં $(x, 0, 0)$ મૂકતા,આપણને $3(0) + 4(0) = 0$ મળે છે,એટલે કે $0 = 0$.
આ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું છે.
તેથી,આ સમતલ $x$-અક્ષને સમાવે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે $PA^2 - PB^2 = 6c$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2$ અને $PB^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 4)^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2] - [(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 4)^2] = 6c$.
$(y - 3)^2$ પદો ઉડી જશે:
$(x - 1)^2 - (x + 2)^2 + (z - 5)^2 - (z + 4)^2 = 6c$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x + 4) + (z^2 - 10z + 25) - (z^2 + 8z + 16) = 6c$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-6x - 3 - 18z + 9 = 6c$.
$-6x - 18z + 6 = 6c$.
$-6$ વડે ભાગતા:
$x + 3z - 1 = -c$,જેનું સાદું રૂપ $x + 3z - 1 + c = 0$ થાય છે.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$,$\vec{n_2} = (1, 1, -1)$,અને $\vec{n_3} = (1, -3, 3)$ છે.
છેદરેખાઓની દિશાઓ અભિલંબના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v_1} = \vec{n_2} \times \vec{n_3} = (0, -4, -4) \parallel (0, 1, 1)$.
$\vec{v_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_1} = (0, 2, 2) \parallel (0, 1, 1)$.
$\vec{v_3} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (0, 2, 2) \parallel (0, 1, 1)$.
બધી દિશાઓ $(0, 1, 1)$ ને સમાંતર હોવાથી,રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ એકબીજાને સમાંતર છે. તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ માટે,નિશ્ચાયક $D = 0$ મળે છે,તેથી સામાન્ય બિંદુ નથી. સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસતા,કોઈ સામાન્ય બિંદુ મળતું નથી. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.

(B) બિંદુ $(2, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 2) + b(y - 2) + c(z - 1) = 0$ છે.
આ સમતલ $(9, 3, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(9 - 2) + b(3 - 2) + c(6 - 1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $7a + b + 5c = 0$ થાય છે.
આ સમતલ $2x + 6y + 6z - 1 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $2a + 6b + 6c = 0$,જેનું સાદું રૂપ $a + 3b + 3c = 0$ થાય છે.
અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ શોધવા માટે દિશા સદિશો $(7, 1, 5)$ અને $(1, 3, 3)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$a = (1 \times 3) - (5 \times 3) = 3 - 15 = -12$
$b = (5 \times 1) - (7 \times 3) = 5 - 21 = -16$
$c = (7 \times 3) - (1 \times 1) = 21 - 1 = 20$
$-4$ વડે ભાગતા,આપણને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (3, 4, -5)$ મળે છે.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $3(x - 2) + 4(y - 2) - 5(z - 1) = 0$.
$3x - 6 + 4y - 8 - 5z + 5 = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 5z = 9$.

(B) સમતલ $x - 2y + 2z - 5 = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + 2z + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી આ સમતલનું અંતર $1$ એકમ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$1 = \frac{|1(0) - 2(0) + 2(0) + k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$.
$1 = \frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|k|}{\sqrt{9}} = \frac{|k|}{3}$.
તેથી,$|k| = 3$,જેનો અર્થ છે કે $k = 3$ અથવા $k = -3$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x - 2y + 2z + 3 = 0$ અથવા $x - 2y + 2z - 3 = 0$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x - 2y + 2z - 3 = 0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
આપેલ સમતલો $x + y + 2z = 9$ અને $2x - y + z = 15$ માટે,આપણી પાસે છે:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 2$
$a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 1$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1 + 1 + 4} \sqrt{4 + 1 + 1}}$
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) આપેલા સમતલો $P_1: 2x - y + z - 2 = 0$ અને $P_2: x + 2y - z - 3 = 0$ છે.
દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{2x - y + z - 2}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \pm \frac{x + 2y - z - 3}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
છેદ સમાન હોવાથી,$2x - y + z - 2 = \pm (x + 2y - z - 3)$.
કિસ્સો $1$ (ધન ચિહ્ન): $2x - y + z - 2 = x + 2y - z - 3 \implies x - 3y + 2z + 1 = 0$.
કિસ્સો $2$ (ઋણ ચિહ્ન): $2x - y + z - 2 = -x - 2y + z + 3 \implies 3x + y - 5 = 0$.
લઘુકોણ દ્વિભાજક નક્કી કરવા માટે,$a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2$ ની કિંમત તપાસો. અહીં $(2)(1) + (-1)(2) + (1)(-1) = -1 < 0$ છે.
જ્યારે ગુણાકાર ઋણ હોય,ત્યારે ઋણ ચિહ્ન વાળું સમીકરણ લઘુકોણ દ્વિભાજક દર્શાવે છે.
તેથી,લઘુકોણ દ્વિભાજક $3x + y - 5 = 0$ છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $x, y, z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે.
ઊગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી આ સમતલનું અંતર $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{p^2}$.
બિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ માંથી યામાક્ષોને સમાંતર સમતલો દોરતા,તેમનું છેદબિંદુ $(a, b, c)$ મળે છે.
$(a, b, c)$ ને $(x, y, z)$ વડે બદલતા,બિંદુગણ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{1}{p^2}$ મળે છે.

(D) સમતલ $3x - 5y + 2z = 11$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $3x - 5y + 2z = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(1) - 5(2) + 2(-3) = k$
$3 - 10 - 6 = k$
$k = -13$
$k = -13$ ને સમીકરણમાં પાછા મૂકતા,આપણને $3x - 5y + 2z = -13$ મળે છે,જેને $3x - 5y + 2z + 13 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) સમતલનું અંત:ખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પરના અંત:ખંડો છે.
આપેલ છે કે સમતલ એકમ લંબાઈના સમાન અંત:ખંડો કાપે છે,તેથી $a = 1, b = 1, c = 1$ થાય.
આ કિંમતોને અંત:ખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x + y + z = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot (2, -3, 4) = 12$ છે.
$\bar{r} = (x, y, z)$ લેતા,આપણને $2x - 3y + 4z = 12$ મળે છે.
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ મેળવવા માટે,સમીકરણ $2x - 3y + 4z = 12$ ને $12$ વડે ભાગતા,
$\frac{2x}{12} - \frac{3y}{12} + \frac{4z}{12} = 1$ મળે.
આથી,$\frac{x}{6} + \frac{y}{-4} + \frac{z}{3} = 1$ થાય.
આમ,યામક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = 6$,$b = -4$ અને $c = 3$ છે.

(C) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} = (1 + \lambda - \mu)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (3 - 2\lambda + 2\mu)\hat{k}$ છે.
આપણે તેને $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ સમતલ બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
તેથી,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,અથવા $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ મૂકતા,આપણને $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + z = 5$ થાય છે.

(A) રેખા ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તરો $(1, 1, 1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $(a, a, a)$ છે.
સમતલ $P(a, a, a)$ માંથી પસાર થાય છે અને $OP$ ને લંબ છે. સમતલના અભિલંબના દિશા ગુણોત્તરો રેખા $OP$ ના દિશા ગુણોત્તરો સમાન એટલે કે $(1, 1, 1)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - a) + 1(y - a) + 1(z - a) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x + y + z = 3a$ મળે છે.
$3a$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{3a} + \frac{y}{3a} + \frac{z}{3a} = 1$ મળે છે.
અક્ષો પરના અંત:ખંડો $3a, 3a, 3a$ છે.
અંત:ખંડોના વ્યસ્તોનો સરવાળો $\frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} = \frac{3}{3a} = \frac{1}{a}$ થાય છે.

(D) ધારો કે ચલિત સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આ સમતલ યામાક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ માં મળે છે.
ધારો કે $\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. તો,
$\alpha = \frac{a}{3}, \beta = \frac{b}{3}, \gamma = \frac{c}{3} \implies a = 3\alpha, b = 3\beta, c = 3\gamma \dots (i)$
સમતલનું ઉગમબિંદુથી અંતર $k$ છે.
$\therefore \left| \frac{\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} \right| = k$
$\implies \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{k^2}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{(3\alpha)^2} + \frac{1}{(3\beta)^2} + \frac{1}{(3\gamma)^2} = \frac{1}{k^2}$
$\frac{1}{9\alpha^2} + \frac{1}{9\beta^2} + \frac{1}{9\gamma^2} = \frac{1}{k^2}$
$\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = 9k^{-2}$
આમ,$(\alpha, \beta, \gamma)$ નો બિંદુપથ $x^{-2} + y^{-2} + z^{-2} = 9k^{-2}$ છે.

(D) સમતલ $3x - 4y + 5z - 6 = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $3x - 4y + 5z + \lambda = 0$ છે.
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(0) - 4(0) + 5(0) + \lambda = 0$
આનાથી આપણને $\lambda = 0$ મળે છે.
$\lambda = 0$ ને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને માંગેલ સમતલનું સમીકરણ મળે છે: $3x - 4y + 5z = 0$.

(D) આપેલા સમતલો $P_1: 2x - y + 2z + 3 = 0$ અને $P_2: 3x - 2y + 6z + 8 = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{2x - y + 2z + 3}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \pm \frac{3x - 2y + 6z + 8}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2}}$
છેદની ગણતરી કરતા:
$\sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{2x - y + 2z + 3}{3} = \pm \frac{3x - 2y + 6z + 8}{7}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$7(2x - y + 2z + 3) = \pm 3(3x - 2y + 6z + 8)$
કિસ્સો $1$ (ધન ચિહ્ન):
$14x - 7y + 14z + 21 = 9x - 6y + 18z + 24$
$5x - y - 4z - 3 = 0$
કિસ્સો $2$ (ઋણ ચિહ્ન):
$14x - 7y + 14z + 21 = -(9x - 6y + 18z + 24)$
$14x - 7y + 14z + 21 = -9x + 6y - 18z - 24$
$23x - 13y + 32z + 45 = 0$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સમીકરણ $23x - 13y + 32z + 45 = 0$ છે.

(B) ત્રણ સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z = 0$,$a_2x + b_2y + c_2z = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3z = 0$ એક જ રેખામાં છેદે જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $\begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 4 & k & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$k(k(1) - 2(2)) - 4(4(1) - 2(2)) + 1(4(2) - 2(k)) = 0$
$k(k - 4) - 4(4 - 4) + 1(8 - 2k) = 0$
$k^2 - 4k - 0 + 8 - 2k = 0$
$k^2 - 6k + 8 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(k - 2)(k - 4) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = 4$.
વિકલ્પો તપાસતા,$k = 2$ એ વિકલ્પ $B$ માં આપેલ છે.

(A) ધારો કે માંગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
સમતલ એ $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ ના સદિશ ગુણાકાર $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ ને સમાંતર હશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
તેથી,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 0)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + 1 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(1, 2, 2)$ થી સમતલ $x + y + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|1(1) + 1(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $f(x, y, z) = 2x + 2y - 2z - 1 = 0$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $f(x_1, y_1, z_1)$ અને $f(x_2, y_2, z_2)$ ની કિંમત શોધીએ છીએ. જો પરિણામો વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોય,તો બિંદુઓ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે.
બિંદુ $(2, 1, 5)$ માટે: $f(2, 1, 5) = 2(2) + 2(1) - 2(5) - 1 = 4 + 2 - 10 - 1 = -5$.
બિંદુ $(3, 4, 3)$ માટે: $f(3, 4, 3) = 2(3) + 2(4) - 2(3) - 1 = 6 + 8 - 6 - 1 = 7$.
ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવાથી,બિંદુઓ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે.
બૈજિક લંબ અંતર $\frac{f(x, y, z)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. છેદ હંમેશા ધન હોવાથી,અંતરનું ચિહ્ન ફક્ત $f(x, y, z)$ ના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(B) સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 5$ અને $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 3$ ના છેદમાંથી પસાર થતાં સમતલનું સમીકરણ:
$[\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 5] + \lambda [\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - 3] = 0$
$\Rightarrow \vec{r} \cdot [(1 + 2\lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} + (-1 + \lambda)\hat{k}] = 5 + 3\lambda \quad (i)$
આ સમતલ બિંદુ $(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ લેતા:
$(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot [(1 + 2\lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} + (-1 + \lambda)\hat{k}] = 5 + 3\lambda$
$2(1 + 2\lambda) + 1(3 - \lambda) - 2(-1 + \lambda) = 5 + 3\lambda$
$2 + 4\lambda + 3 - \lambda + 2 - 2\lambda = 5 + 3\lambda$
$7 + \lambda = 5 + 3\lambda$
$2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 1$
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$\vec{r} \cdot [(1 + 2(1))\hat{i} + (3 - 1)\hat{j} + (-1 + 1)\hat{k}] = 5 + 3(1)$
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}) = 8$.

(D) સમતલોના સમીકરણો $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19 = 0$ અને $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ છે.
ખૂણાને દ્વિભાજતા સમતલોનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \pm \frac{\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2}}$
$\frac{\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19}{3} = \pm \frac{\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3}{13}$
કિસ્સો $1$ (ધન ચિહ્ન):
$13(\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19) = 3(\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3)$
$\vec{r} \cdot (13\hat{i} + 26\hat{j} + 26\hat{k} - 12\hat{i} + 9\hat{j} - 36\hat{k}) = 9 + 247$
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + 35\hat{j} - 10\hat{k}) = 256$
કિસ્સો $2$ (ઋણ ચિહ્ન):
$13(\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19) = -3(\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3)$
$\vec{r} \cdot (13\hat{i} + 26\hat{j} + 26\hat{k} + 12\hat{i} - 9\hat{j} + 36\hat{k}) = -9 + 247$
$\vec{r} \cdot (25\hat{i} + 17\hat{j} + 62\hat{k}) = 238$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (25\hat{i} + 17\hat{j} + 62\hat{k}) = 238$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$,$B(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ અને $C(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ છે.
સમતલમાં આવેલા સદિશો:
$\vec{AB} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 0\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 3) - \hat{j}(3 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = -9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$.
બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = -9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = -9 - 3 - 2 = -14$.
તેથી,$\vec{r} \cdot (-9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = -14$,અથવા $\vec{r} \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 14$.

(D) વિધાન $-1$ ચકાસવા માટે,આપણે સમતલ $x-y+z-5=0$ માં બિંદુ $B(1,3,4)$ નું પ્રતિબિંબ શોધીએ.
સૂત્ર $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = -2 \frac{1-3+4-5}{1^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2.$
આમ,$x-1=2 \Rightarrow x=3$,$y-3=-2 \Rightarrow y=1$,$z-4=2 \Rightarrow z=6$.
પ્રતિબિંબ $(3,1,6)$ મળે છે,જે બિંદુ $A$ છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{3+1}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{6+4}{2}) = (2,2,5)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ પર છે કે નહીં તે તપાસતા: $2-2+5 = 5$. તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને દુભાગે છે. તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.
પ્રતિબિંબની વ્યાખ્યા મુજબ રેખાખંડ $AB$ સમતલને લંબ હોવો જોઈએ અને મધ્યબિંદુ સમતલ પર હોવું જોઈએ. વિધાન $-2$ એ મધ્યબિંદુની શરત પૂરી કરે છે,જે પ્રતિબિંબ હોવા માટેની આવશ્યક શરત છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે સમતલ $x - 2y + 2z - 5 = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + 2z + k = 0 \dots (i)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $(i)$ નું લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|k|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
અહીં અંતર $1$ આપેલું છે,તેથી:
$\frac{|k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{9}} = 1$
$\frac{|k|}{3} = 1$
$|k| = 3$
તેથી,$k = 3$ અથવા $k = -3$.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને સમતલના શક્ય સમીકરણો $x - 2y + 2z + 3 = 0$ અથવા $x - 2y + 2z - 3 = 0$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સમીકરણ $x - 2y + 2z - 3 = 0$ છે.

(A) સમતલ $AOB$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશો $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{OA} = (1, -2, -1)$ અને $\vec{OB} = (3, -2, 3)$.
$\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 2) - \hat{j}(3 + 3) + \hat{k}(-2 + 6) = -8\hat{i} - 6\hat{j} + 4\hat{k}$.
સરળ બનાવવા માટે $-2$ વડે ભાગતા,અભિલંબ સદિશ $(4, 3, -2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
સદિશ $(4, 3, -2)$ નું માન $\sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$ છે.
તેથી દિકકોસાઇન $\left( \frac{4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}} \right)$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x + y + z + 2 = 0$ અને $x + y + z + 3 = 0$ છે.
આ સમીકરણો $3D$ અવકાશમાં બે સમતલો દર્શાવે છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશો સમાન હોવાથી,સમતલો એકબીજાને સમાંતર છે.
બે ભિન્ન સમાંતર સમતલો અવકાશમાં ક્યાંય પણ છેદતા નથી.
તેથી,આ બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ખાલી ગણ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અવકાશમાં કંઈપણ દર્શાવતા નથી.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી એકમ અંતરે હોવાથી,લંબ અંતર $d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1$ મળે ... $(i)$.
બિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a+0+0}{3} = \frac{a}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3} = \frac{b}{3}$,અને $z = \frac{0+0+c}{3} = \frac{c}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 9$.
આપેલ બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = k$ સાથે સરખાવતા,$k = 9$ મળે છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b$ અને $c$ એ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2, b = 3$ અને $c = 4$ મળે છે.
સમતલ અક્ષોને જે બિંદુઓમાં છેદે છે તેના યામ $A(2, 0, 0), B(0, 3, 0)$ અને $C(0, 0, 4)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો $a=2, b=3, c=4$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(2^2 \times 3^2) + (3^2 \times 4^2) + (4^2 \times 2^2)}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(4 \times 9) + (9 \times 16) + (16 \times 4)}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 144 + 64}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{244}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{61} = \sqrt{61}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x, y, z) = xy + xz = 0$ છે.
પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $x(y + z) = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણ ત્યારે સંતોષાય છે જો $x = 0$ અથવા $y + z = 0$ હોય.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં,$x = 0$ એ $yz$-સમતલ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $y + z = 0$ એ $x$-અક્ષમાંથી પસાર થતું સમતલ દર્શાવે છે.
સમતલ $x = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 0, 0)$ છે.
સમતલ $y + z = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (0, 1, 1)$ છે.
અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(1) = 0$ થાય છે.
અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,બંને સમતલો એકબીજાને લંબ છે.

(B) ધારો કે $\gamma$ એ $n$ દ્વારા $z$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. $n$ ના દિકકોસાઇન $l = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$m = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,અને $n = \cos \gamma$ છે.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$ મળે.
$\Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow n^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\gamma$ લઘુકોણ હોવાથી,$n = \cos \gamma = \frac{1}{2}$ મળે.
$|n| = 8$ આપેલ હોવાથી,સદિશ $n = |n|(l i + m j + n k) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}} i + \frac{1}{2} j + \frac{1}{2} k) = 4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k$ થાય.
સમતલ બિંદુ $A$ (સ્થાન સદિશ $a = \sqrt{2} i - j + k$) માંથી પસાર થાય છે અને $n$ ને લંબ છે.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r \cdot n = a \cdot n$ છે.
$r \cdot (4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k) = (\sqrt{2} i - j + k) \cdot (4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k)$.
$r \cdot (4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k) = (\sqrt{2})(4\sqrt{2}) + (-1)(4) + (1)(4) = 8 - 4 + 4 = 8$.
$4$ વડે ભાગતા,$r \cdot (\sqrt{2} i + j + k) = 2$ મળે.

(A) ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે. બિંદુ $A(2, 1, -3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-2) + b(y-1) + c(z+3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $ax + by + cz = 2a + b - 3c$ થાય છે.
આ સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $d = \frac{|2a + b - 3c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ દ્વારા મળે છે.
કોશી-શ્વાર્ઝ અસમતા મુજબ,કોઈપણ સદિશ $\vec{u} = (2, 1, -3)$ અને $\vec{n} = (a, b, c)$ માટે,$|\vec{u} \cdot \vec{n}| \leq |\vec{u}| |\vec{n}|$ થાય. તેથી,$d = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \leq |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}.$
જ્યારે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ ને સમાંતર હોય ત્યારે અંતર મહત્તમ થાય છે.
$\vec{n} = (2, 1, -3)$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $2(x-2) + 1(y-1) - 3(z+3) = 0$ મળે છે,
$2x - 4 + y - 1 - 3z - 9 = 0,$
$2x + y - 3z = 14.$

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $M$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર છે. ધારો કે ધાર $ML, MN, MO$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
$L(a, 0, 0), N(0, b, 0)$ અને $O(0, 0, c)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$O$ માંથી ફલક $MLN$ પરનો વેધ $c = 1$ છે. $L$ માંથી ફલક $MNO$ પરનો વેધ $a = 2$ છે. $N$ માંથી ફલક $MLO$ પરનો વેધ $b = 3$ છે.
આમ,ફલક $LNO$ નું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z - 1 = 0$ થાય.
$M(0, 0, 0)$ થી ફલક $LNO$ પરના વેધ $h$ ની લંબાઈ:
$h = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (1)^2}} = \frac{6}{7} \text{ એકમ}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A(2, 1, -3)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે.
નિશ્ચિત બિંદુ $A$ માંથી પસાર થતા સમતલ માટે ઉગમબિંદુ $O$ થી અંતર મહત્તમ હોય ત્યારે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{OA}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
તેથી,સમીકરણ $2x + y - 3z = (2)(2) + (1)(1) + (-3)(-3)$ થશે.
$2x + y - 3z = 4 + 1 + 9 = 14$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2x + y - 3z = 14$ છે.

(C) આપેલ સમતલો છે:
$y + z = 0$ ... $(1)$
$z + x = 0$ ... $(2)$
$x + y = 0$ ... $(3)$
$x + y + z = 2$ ... $(4)$
ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે એકસાથે ત્રણ સમતલો લઈને સમીકરણો ઉકેલીએ છીએ:
- $(1), (2), (3)$ નું છેદબિંદુ: $x+y=0, y+z=0, z+x=0 \implies x=y=z=0$. શિરોબિંદુ $V_1 = (0, 0, 0)$.
- $(1), (2), (4)$ નું છેદબિંદુ: $y+z=0, z+x=0, x+y+z=2$. $(4)$ માં $y=-z$ અને $x=-z$ મૂકતા,આપણને $-z-z+z=2 \implies z=-2$ મળે છે. તેથી,$x=2, y=2$. શિરોબિંદુ $V_2 = (2, 2, -2)$.
- $(1), (3), (4)$ નું છેદબિંદુ: $y+z=0, x+y=0, x+y+z=2$. $(4)$ માં $z=-y$ અને $x=-y$ મૂકતા,આપણને $-y-y+y=2 \implies y=-2$ મળે છે. તેથી,$x=2, z=2$. શિરોબિંદુ $V_3 = (2, -2, 2)$.
- $(2), (3), (4)$ નું છેદબિંદુ: $z+x=0, x+y=0, x+y+z=2$. $(4)$ માં $z=-x$ અને $y=-x$ મૂકતા,આપણને $x-x-x=2 \implies x=-2$ મળે છે. તેથી,$y=2, z=2$. શિરોબિંદુ $V_4 = (-2, 2, 2)$.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $\frac{1}{6} |det(V_2-V_1, V_3-V_1, V_4-V_1)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઘનફળ $= \frac{1}{6} \left| \begin{matrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = \frac{1}{6} |2(-4-4) - 2(4+4) - 2(4-4)| = \frac{1}{6} |-16 - 16 - 0| = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા બે સમતલોનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 6y^2 - 12z^2 + 18yz + 2zx + xy = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2, b=-6, c=-12, f=9, g=1, h=0.5$ મળે છે.
આ સમતલોને $(x + 2y - 2z)(2x - 3y + 6z) = 0$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આમ,સમતલોના સમીકરણો $P_1: x + 2y - 2z = 0$ અને $P_2: 2x - 3y + 6z = 0$ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -3, 6)$ છે.
સમતલો વચ્ચેના ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન $\cos \alpha = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-3) + (-2)(6) = 2 - 6 - 12 = -16$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$.
તેથી,$\cos \alpha = \left| \frac{-16}{3 \times 7} \right| = \frac{16}{21}$.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ છે.
સમતલ રેખાને સમાવે છે,તેથી અભિલંબ સદિશ દિશા સદિશ $(-3, 2, 1)$ ને લંબ છે,તેથી $-3a + 2b + c = 0$.
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$,જે $a + 4b - 5c = 0$ આપે છે.
$-3a + 2b + c = 0$ અને $a + 4b - 5c = 0$ ને ઉકેલતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 2, -1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખા $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda+1, \lambda+2, \lambda-1)$ છે.
લંબપાદ માટે,આ બિંદુ સમતલ પર આવેલું છે: $(\lambda+1) + (\lambda+2) + (\lambda-1) = 0$,તેથી $3\lambda + 2 = 0$,જે $\lambda = \frac{-2}{3}$ આપે છે.
લંબપાદ $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{-5}{3})$ છે.
ધારો કે પ્રતિબિંબ $(x', y', z')$ છે. બિંદુ અને તેના પ્રતિબિંબનું મધ્યબિંદુ એ લંબપાદ છે: $\frac{x'+1}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x' = \frac{-1}{3}$,$\frac{y'+2}{2} = \frac{4}{3} \Rightarrow y' = \frac{2}{3}$,અને $\frac{z'-1}{2} = \frac{-5}{3} \Rightarrow z' = \frac{-7}{3}$.
આમ,પ્રતિબિંબ $\left( \frac{-1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-7}{3} \right)$ છે.

(B) બિંદુ $P$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
$PA$ એ $yz$-સમતલ પર લંબ હોવાથી,$A$ ના યામ $(0, b, c)$ થશે.
$PB$ એ $zx$-સમતલ પર લંબ હોવાથી,$B$ ના યામ $(a, 0, c)$ થશે.
ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $px + qy + rz = 0$ છે.
સમતલ $A(0, b, c)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$p(0) + q(b) + r(c) = 0$,એટલે કે $qb + rc = 0$.
સમતલ $B(a, 0, c)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$p(a) + q(0) + r(c) = 0$,એટલે કે $pa + rc = 0$.
આ સમીકરણો પરથી,$qb = -rc$ અને $pa = -rc$.
તેથી,$pa = qb = -rc = k$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
આથી $p = k/a$,$q = k/b$,અને $r = -k/c$.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(k/a)x + (k/b)y - (k/c)z = 0$.
$k$ વડે ભાગતા અને $abc$ વડે ગુણતા,આપણને $bcx + acy - abz = 0$ મળે છે.

(B) $P_1$ પરના બિંદુઓનો ગણ $S_1 = \{A, B, C\}$ અને $P_2$ પરના બિંદુઓનો ગણ $S_2 = \{D, E, F\}$ છે.
ચતુષ્ફલક $4$ અસમતલીય બિંદુઓ પસંદ કરીને બને છે.
$P_1$ પરના $3$ બિંદુઓ સમતલીય છે અને $P_2$ પરના $3$ બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,આપણે એક જ સમતલમાંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકતા નથી.
તેથી,આપણે બંને સમતલમાંથી બિંદુઓ પસંદ કરવા પડશે.
શક્ય સંયોજનો:
$1$. $P_1$ માંથી $3$ બિંદુઓ અને $P_2$ માંથી $1$ બિંદુ: ${}^3C_3 \times {}^3C_1 = 1 \times 3 = 3$.
$2$. $P_1$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $P_2$ માંથી $2$ બિંદુઓ: ${}^3C_2 \times {}^3C_2 = 3 \times 3 = 9$.
$3$. $P_1$ માંથી $1$ બિંદુ અને $P_2$ માંથી $3$ બિંદુઓ: ${}^3C_1 \times {}^3C_3 = 3 \times 1 = 3$.
ચતુષ્ફલકોની કુલ સંખ્યા $= 3 + 9 + 3 = 15$.