Line Questions in Gujarati

(C) બે બિંદુઓ જેમના સ્થાન સદિશ $a$ અને $b$ છે તેમાંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $r = a + t(b - a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ અદિશ પ્રાચલ છે.
અહીં,$a = i - 2j + k$ અને $b = -2j + 3k$ છે.
દિશા સદિશ $(b - a)$ ની ગણતરી કરતા:
$b - a = (-2j + 3k) - (i - 2j + k) = -i + 0j + 2k = 2k - i$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = (i - 2j + k) + t(2k - i)$.

(A) ધારો કે $A$ એ બિંદુ $(-1, 2, 6)$ છે અને $P$ એ રેખા પરનું બિંદુ $(2, 3, -4)$ છે. સદિશ $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{P} = (-1-2)i + (2-3)j + (6-(-4))k = -3i - j + 10k$ છે.
રેખા સદિશ $\vec{v} = 6i + 3j - 4k$ ને સમાંતર છે. $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ છે.
રેખા પર $\overrightarrow{PA}$ નો પ્રક્ષેપ $PN = \left| \frac{\overrightarrow{PA} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \right| = \left| \frac{(-3)(6) + (-1)(3) + (10)(-4)}{\sqrt{61}} \right| = \left| \frac{-18 - 3 - 40}{\sqrt{61}} \right| = \left| \frac{-61}{\sqrt{61}} \right| = \sqrt{61}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle APN$ માં,બિંદુ $A$ થી રેખાનું અંતર $AN = \sqrt{|\overrightarrow{PA}|^2 - PN^2}$ છે.
અહીં $|\overrightarrow{PA}|^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 10^2 = 9 + 1 + 100 = 110$ છે.
તેથી,$AN = \sqrt{110 - 61} = \sqrt{49} = 7$.

(C) આપેલ રેખાઓ $r = a_1 + t b_1$ અને $r = a_2 + s b_2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$a_1 = 3i - 2j - 2k$,$b_1 = i$
$a_2 = i - j + 2k$,$b_2 = j$
પ્રથમ,દિશા સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર શોધો:
$b_1 \times b_2 = i \times j = k$
$|b_1 \times b_2| = |k| = 1$
ત્યારબાદ,સદિશ $(a_2 - a_1)$ શોધો:
$a_2 - a_1 = (i - j + 2k) - (3i - 2j - 2k) = -2i + j + 4k$
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર:
$d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|(-2i + j + 4k) \cdot k|}{1} = \frac{|4|}{1} = 4$
આમ,લઘુત્તમ અંતર $4$ છે.

(C) બે બિંદુઓ જેના સ્થાન સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ છે તેમાંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ છે,જ્યાં $t$ એ અદિશ પ્રાચલ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b} - t\vec{a} = (1 - t)\vec{a} + t\vec{b}$.
$\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = (1 - t)(a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) + t(b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$
$\vec{r} = a_1(1 - t)\hat{i} + a_2(1 - t)\hat{j} + a_3(1 - t)\hat{k} + t(b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ રેખાઓ ${r_1} = {a_1} + \lambda {b_1}$ અને ${r_2} = {a_2} + \mu {b_2}$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,${a_1} = 4i - 3j - k$,${b_1} = i - 4j + 7k$,${a_2} = i - j - 10k$,અને ${b_2} = 2i - 3j + 8k$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર ${b_1} \times {b_2}$ શોધીએ:
${b_1} \times {b_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -4 & 7 \\ 2 & -3 & 8 \end{vmatrix} = i(-32 + 21) - j(8 - 14) + k(-3 + 8) = -11i + 6j + 5k$.
ત્યારબાદ,સદિશ ${a_2} - {a_1} = (1-4)i + (-1 - (-3))j + (-10 - (-1))k = -3i + 2j - 9k$ શોધીએ.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|({a_2} - {a_1}) \cdot ({b_1} \times {b_2})|}{|{b_1} \times {b_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $({a_2} - {a_1}) \cdot ({b_1} \times {b_2}) = (-3)(-11) + (2)(6) + (-9)(5) = 33 + 12 - 45 = 0$.
અહીં અદિશ ત્રિગુણક $0$ હોવાથી,રેખાઓ એક જ સમતલમાં છે અને છેદે છે,તેથી લઘુત્તમ અંતર $0$ છે.

(B) ધારો કે $YOZ$ સમતલ રેખાખંડ $PQ$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
બિંદુ $P$ ના યામ $(9, -1, 5)$ છે અને બિંદુ $Q$ ના યામ $(1, 3, 5)$ છે.
$YOZ$ સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PQ$ ને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુ $R$ નો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{k(x_2) + 1(x_1)}{k+1} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{k(1) + 1(9)}{k+1} = 0$
$k + 9 = 0$
$k = -9$
આમ,$PR : RQ$ નો ગુણોત્તર $-9 : 1$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $A(4, 2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે $\vec{c} = 2i + 3j + 6k$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $M$ એ $B(1, 2, 3)$ થી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (1-4)i + (2-2)j + (3-2)k = -3i + 0j + k$.
લંબાઈ $AM$ એ $\vec{c}$ સદિશ પર $\vec{AB}$ નો પ્રક્ષેપ છે.
$AM = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{c}|}{|\vec{c}|} = \frac{|(-3)(2) + (0)(3) + (1)(6)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{|-6 + 0 + 6|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{0}{7} = 0$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABM$ માં,$BM^2 = AB^2 - AM^2$.
$AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (-3)^2 + 0^2 + 1^2 = 9 + 0 + 1 = 10$.
$BM^2 = 10 - 0^2 = 10$.
તેથી,$BM = \sqrt{10}$.

(B) ધારો કે $xy$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 4, 5)$ અને $B(-4, 3, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $P$ આગળ વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $P$ એ $xy$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{k(z_2) + 1(z_1)}{k+1} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{k(-2) + 1(5)}{k+1} = 0$
$-2k + 5 = 0$
$2k = 5$
$k = \frac{5}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $5:2$ છે.

(B) $(3, 4, 1)$ અને $(5, 1, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $\left( \frac{5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{1\lambda + 4}{\lambda + 1}, \frac{6\lambda + 1}{\lambda + 1} \right)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ બિંદુ $xy$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{6\lambda + 1}{\lambda + 1} = 0 \Rightarrow 6\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{6}$.
હવે $\lambda = -\frac{1}{6}$ કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{5(-\frac{1}{6}) + 3}{-\frac{1}{6} + 1} = \frac{13}{5}$.
$y = \frac{1(-\frac{1}{6}) + 4}{-\frac{1}{6} + 1} = \frac{23}{5}$.
આમ,છેદબિંદુ $\left( \frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0 \right)$ છે.

(A) બિંદુઓ $P(-2, 1, -8)$ અને $Q(a, b, c)$ ને જોડતી રેખાના દિશાના ગુણોત્તર $(a - (-2), b - 1, c - (-8))$ એટલે કે $(a + 2, b - 1, c + 8)$ થાય.
આ રેખા $6, 2, 3$ દિશાના ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના દિશાના ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{a + 2}{6} = \frac{b - 1}{2} = \frac{c + 8}{3} = k$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
જો આપણે $k = 1$ લઈએ,તો $a + 2 = 6 \Rightarrow a = 4$,$b - 1 = 2 \Rightarrow b = 3$,અને $c + 8 = 3 \Rightarrow c = -5$ મળે.
આમ,$a = 4, b = 3, c = -5$ એ માંગેલી કિંમતો છે.

(A) $yz$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ બિંદુઓ $A(3, 5, -7)$ અને $B(-2, 1, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$P$ ના યામ $\left(\frac{-2k + 3}{k+1}, \frac{k + 5}{k+1}, \frac{8k - 7}{k+1}\right)$ થશે.
બિંદુ $P$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે:
$\frac{-2k + 3}{k+1} = 0 \implies -2k + 3 = 0 \implies k = \frac{3}{2}$.
$k = \frac{3}{2}$ ની કિંમત $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$y = \frac{\frac{3}{2} + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{13}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{8(\frac{3}{2}) - 7}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{12 - 7}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{\frac{5}{2}} = 2$.
આમ,યામ $\left(0, \frac{13}{5}, 2\right)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P = ({x_1}, {y_1}, {z_1})$ એ બિંદુ છે અને $A = ({x_2}, {y_2}, {z_2})$ એ રેખા પરનું બિંદુ છે. સદિશ $\vec{AP} = ({x_1} - {x_2})\hat{i} + ({y_1} - {y_2})\hat{j} + ({z_1} - {z_2})\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{u} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ એ રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
રેખા પર $\vec{AP}$ નો પ્રક્ષેપ $p = |\vec{AP} \cdot \vec{u}| = |l({x_1} - {x_2}) + m({y_1} - {y_2}) + n({z_1} - {z_2})|$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,લંબ અંતર $d$ એ $d^2 = |\vec{AP}|^2 - p^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\vec{AP}|^2 = ({x_1} - {x_2})^2 + ({y_1} - {y_2})^2 + ({z_1} - {z_2})^2$.
આમ,$d = \sqrt{({x_1} - {x_2})^2 + ({y_1} - {y_2})^2 + ({z_1} - {z_2})^2 - [l({x_1} - {x_2}) + m({y_1} - {y_2}) + n({z_1} - {z_2})]^2}$.

(D) રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ છે.
રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તર $(2-(-4), 9-3, 2-(-6)) = (6, 6, 8)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અહીં,$a_1=3, b_1=3, c_1=4$ અને $a_2=6, b_2=6, c_2=8$ છે.
નોંધો કે $(a_2, b_2, c_2) = 2(a_1, b_1, c_1)$,જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{|(3)(6) + (3)(6) + (4)(8)|}{\sqrt{3^2+3^2+4^2} \sqrt{6^2+6^2+8^2}} = \frac{|18+18+32|}{\sqrt{34} \sqrt{136}} = \frac{68}{\sqrt{34} \cdot 2\sqrt{34}} = \frac{68}{2 \cdot 34} = 1$.
કારણ કે $\cos \theta = 1$,તેથી ખૂણો $\theta = 0^\circ$ અથવા $0$ રેડિયન થાય.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(A) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, 0, -1)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{b} = (3, 4, 5)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(3) + (0)(4) + (-1)(5)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}}$
$\cos \theta = \frac{|3 + 0 - 5|}{\sqrt{1 + 0 + 1} \sqrt{9 + 16 + 25}}$
$\cos \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{50}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{2}{5 \cdot 2} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ એ $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(1, 2, -1)$ અને $(-1, 0, 1)$ છે.
તફાવતની ગણતરી કરતા:
$l = -1 - 1 = -2$
$m = 0 - 2 = -2$
$n = 1 - (-1) = 2$
આમ,દિકગુણોત્તર $(-2, -2, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $(1, 1, -1)$ મળે છે.
તેથી,$(l, m, n) = (1, 1, -1)$.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1} = k_1$ છે. તેથી $x = 5k_1 + 4, y = 2k_1 + 1, z = k_1$.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} = k_2$ છે. તેથી $x = 2k_2 + 1, y = 3k_2 + 2, z = 4k_2 + 3$.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ છીએ:
$5k_1 + 4 = 2k_2 + 1 \implies 5k_1 - 2k_2 = -3$ (સમીકરણ $1$)
$2k_1 + 1 = 3k_2 + 2 \implies 2k_1 - 3k_2 = 1$ (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણો ઉકેલતા: સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$15k_1 - 6k_2 = -9$
$4k_1 - 6k_2 = 2$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $11k_1 = -11 \implies k_1 = -1$.
$k_1 = -1$ ને પ્રથમ રેખાના યામોમાં મૂકતા: $x = 5(-1) + 4 = -1, y = 2(-1) + 1 = -1, z = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(-1, -1, -1)$ છે.

(A) આપેલ રેખાના સમીકરણો $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ છે.
આ સમીકરણોને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$x - ay = b$
$-cy + z = -d$
દિકગુણોત્તરો $(l, m, n)$ શોધવા માટે,ચલને પ્રાચલ $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ. ધારો કે $y = t$.
તેથી:
$x = at + b$
$y = t$
$z = ct + d$
આ રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ છે: $\frac{x - b}{a} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - d}{c} = t$.
છેદમાં રહેલી કિંમતો રેખાના દિકગુણોત્તરો દર્શાવે છે.
તેથી,દિકગુણોત્તરો $(a, 1, c)$ છે.

(B) અક્ષો સાથે સમાન નમેલી રેખા માટે દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એવા હોય છે કે જેથી $|l| = |m| = |n|$ થાય.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,આપણને $3l^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ને $(1, 1, 1)$ અથવા $(1, -1, 1)$ વગેરે તરીકે લઈ શકાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(-3, 2, -4)$ અને દિકગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - (-4)}{1}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 4}{1}$ મળે,જે $x + 3 = y - 2 = z + 4$ ને સમાન છે.

(D) ધારો કે $A(0, 0, 0)$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $B(-9, 4, 5)$ તથા $C(10, 0, -1)$ આપેલા બિંદુઓ છે. ધારો કે $D$ એ $A$ માંથી $BC$ રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. ધારો કે $D$ એ $BC$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ $D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1}, \frac{0\lambda + 4}{\lambda + 1}, \frac{-1\lambda + 5}{\lambda + 1} \right) = \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1}, \frac{4}{\lambda + 1}, \frac{5 - \lambda}{\lambda + 1} \right)$.
રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(10 - (-9), 0 - 4, -1 - 5) = (19, -4, -6)$ છે.
$AD \perp BC$ હોવાથી,સદિશ $\vec{AD}$ અને $BC$ ના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\vec{AD} = \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1}, \frac{4}{\lambda + 1}, \frac{5 - \lambda}{\lambda + 1} \right)$.
$19 \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 4 \left( \frac{4}{\lambda + 1} \right) - 6 \left( \frac{5 - \lambda}{\lambda + 1} \right) = 0$.
$19(10\lambda - 9) - 16 - 6(5 - \lambda) = 0$.
$190\lambda - 171 - 16 - 30 + 6\lambda = 0$.
$196\lambda - 217 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{217}{196} = \frac{31}{28}$.
$\lambda = \frac{31}{28}$ ની કિંમત $D$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = \frac{10(\frac{31}{28}) - 9}{\frac{31}{28} + 1} = \frac{58}{59}$.
$y = \frac{4}{\frac{31}{28} + 1} = \frac{112}{59}$.
$z = \frac{5 - \frac{31}{28}}{\frac{31}{28} + 1} = \frac{109}{59}$.
આમ,લંબપાદના યામ $(\frac{58}{59}, \frac{112}{59}, \frac{109}{59})$ મળે છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી. તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(a, b, c)$ અને $(a - b, b - c, c - a)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x - a}{(a - b) - a} = \frac{y - b}{(b - c) - b} = \frac{z - c}{(c - a) - c}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x - a}{-b} = \frac{y - b}{-c} = \frac{z - c}{-a}$
બધી બાજુ $-1$ વડે ગુણતા:
$\frac{x - a}{b} = \frac{y - b}{c} = \frac{z - c}{a}$.

(D) $(a, b, c)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $(l, m, n)$ દિશા-ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - a}{l} = \frac{y - b}{m} = \frac{z - c}{n}$ છે.
રેખા $z$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેના દિશા-ગુણોત્તર $z$-અક્ષના દિશા-ગુણોત્તર $(0, 0, 1)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$l = 0, m = 0$ અને $n = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x - a}{0} = \frac{y - b}{0} = \frac{z - c}{1}$ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખા $L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{9} = \frac{z}{5} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(2\lambda + 1, 9\lambda, 5\lambda)$ સ્વરૂપમાં છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(2\lambda + 1 - 5, 9\lambda - 4, 5\lambda + 1) = (2\lambda - 4, 9\lambda - 4, 5\lambda + 1)$ છે.
$PQ$ એ રેખા $L$ ને લંબ હોવાથી,તેમના દિક્-ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda - 4) + 9(9\lambda - 4) + 5(5\lambda + 1) = 0$.
$4\lambda - 8 + 81\lambda - 36 + 25\lambda + 5 = 0$.
$110\lambda - 39 = 0 \implies \lambda = \frac{39}{110}$.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(2(\frac{39}{110}) + 1, 9(\frac{39}{110}), 5(\frac{39}{110})) = (\frac{188}{110}, \frac{351}{110}, \frac{195}{110})$ મળે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(2\lambda - 4)^2 + (9\lambda - 4)^2 + (5\lambda + 1)^2}$.
$\lambda = \frac{39}{110}$ મુકતા,આપણને $PQ = \sqrt{\frac{2109}{110}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $A = (1, 2, 3)$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, 2, -2)$ છે.
કારણ કે $AP$ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{AP} \cdot \vec{v} = 0$.
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) - 2(-2\lambda + 4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$.
$17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $P$ માં મૂકતા,આપણને $P = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$ મળે છે.
લંબની લંબાઈ એ અંતર $AP = \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (9 - 3)^2}$ છે.
$AP = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

(B) આપેલ સંબંધો $l + m + n = 0$ અને $2lm + 2nl - mn = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n = -(l + m)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2lm + 2l(-(l + m)) - m(-(l + m)) = 0$.
$2lm - 2l^2 - 2lm + ml + m^2 = 0$.
$-2l^2 + lm + m^2 = 0$,અથવા $2l^2 - lm - m^2 = 0$.
અવયવ પાડતા $(2l + m)(l - m) = 0$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $2l + m = 0 \Rightarrow m = -2l$. તેથી $n = -(l - 2l) = l$.
દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ એ $(1, -2, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $l - m = 0 \Rightarrow m = l$. તેથી $n = -(l + l) = -2l$.
દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ એ $(1, 1, -2)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \pi/3$ અથવા $\theta = 2\pi/3$.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(2, 4, -1)$ છે અને રેખા $L: \frac{x + 5}{1} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{-9} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\lambda - 5, 4\lambda - 3, -9\lambda + 6)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda - 5 - 2, 4\lambda - 3 - 4, -9\lambda + 6 - (-1)) = (\lambda - 7, 4\lambda - 7, -9\lambda + 7)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 4, -9)$ છે.
કારણ કે $PQ$ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$.
$1(\lambda - 7) + 4(4\lambda - 7) - 9(-9\lambda + 7) = 0$.
$\lambda - 7 + 16\lambda - 28 + 81\lambda - 63 = 0$.
$98\lambda - 98 = 0 \implies \lambda = 1$.
$Q$ માં $\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને $Q(-4, 1, -3)$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.

(D) પ્રથમ રેખાના દિક-ગુણોત્તર $\vec{a_1} = (2, 2, -1)$ છે.
બીજી રેખાના દિક-ગુણોત્તર $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિક-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(2) + (-1)(2)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 + 4 - 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$.

(D) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $\vec{b_1} = (1, 2, 3)$ છે.
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $\vec{b_2} = (2, 2, -2)$ છે.
બંને રેખાઓ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેઓ આ બિંદુએ છેદે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો ચકાસવા માટે,આપણે દિશા સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શોધીએ છીએ:
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(2) + (2)(2) + (3)(-2) = 2 + 4 - 6 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ કાટખૂણે છેદે છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 2, 4)$ અને $(4, 5, 2)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x - 3}{4 - 3} = \frac{y - 2}{5 - 2} = \frac{z - 4}{2 - 4}$
$\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{-2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (1, 2, 3)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (3, -2, 1)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(3) + (2)(-2) + (3)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|3 - 4 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 9} \sqrt{9 + 4 + 1}}$
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(A) બિંદુઓ $(2, 1, -3)$ અને $(-3, 1, 7)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (-3 - 2, 1 - 1, 7 - (-3)) = (-5, 0, 10)$ છે.
રેખા $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z + 3}{5}$ ને સમાંતર રેખાના દિકગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{|(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)|}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|-15 + 0 + 50|}{\sqrt{25 + 0 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}}$.
$\cos \theta = \frac{35}{5\sqrt{5} \times 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{5\sqrt{10}}\right)$.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 4$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = -3$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (5)(2) + (4)(-3)|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 + 10 - 12|}{\sqrt{4 + 25 + 16} \sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|0|}{\sqrt{45} \sqrt{14}} = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,$\theta = 90^o$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$3lm - 4ln + mn = 0$ --- $(1)$
$l + 2m + 3n = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$l = -2m - 3n$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0$
$m^2 = 2n^2 \implies m = \pm \sqrt{2}n$
કિસ્સો $1$: જો $m = \sqrt{2}n$,તો $l = -2(\sqrt{2}n) - 3n = -(2\sqrt{2} + 3)n$. દિકગુણોત્તરો $(-(2\sqrt{2} + 3), \sqrt{2}, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $m = -\sqrt{2}n$,તો $l = -2(-\sqrt{2}n) - 3n = (2\sqrt{2} - 3)n$. દિકગુણોત્તરો $((2\sqrt{2} - 3), -\sqrt{2}, 1)$ છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (-(2\sqrt{2} + 3))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$
$= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$.
દિક સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi /2$ છે.

(C) $x$-અક્ષ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ છે કારણ કે તે $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ અને $(a, b, c) = (1, 0, 0)$ મૂકતા,આપણને $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 0}{0} = \frac{z - 0}{0}$ મળે છે.
આથી,$x$-અક્ષનું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ થાય છે.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{0}$ છે.
આ રેખાના દિશા ગુણોત્તરો છેદ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{v} = (3, 1, 0)$ છે.
$z$-અક્ષના દિશા ગુણોત્તરો $\vec{k} = (0, 0, 1)$ છે.
રેખા $z$-અક્ષને લંબ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\vec{v} \cdot \vec{k} = (3)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
અહીં ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા $z$-અક્ષને લંબ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (2, 2, 1)$ છે.
બીજી રેખા બિંદુઓ $P(3, 1, 4)$ અને $Q(7, 2, 12)$ ને જોડે છે.
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b} = (7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}}$
$\cos \theta = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(2/3)$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1) = (4, -5, -2)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-1, 5, 3)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x - 4}{-1 - 4} = \frac{y - (-5)}{5 - (-5)} = \frac{z - (-2)}{3 - (-2)}$
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{x - 4}{-5} = \frac{y + 5}{10} = \frac{z + 2}{5}$
છેદને $-5$ વડે ભાગતા:
$\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 5}{-2} = \frac{z + 2}{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખાઓ:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 7}{-1} = \frac{z + 2}{1} = r_1$
$\frac{x + 3}{-36} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 6}{4} = r_2$
પ્રથમ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3r_1 + 5, -r_1 + 7, r_1 - 2)$ છે.
બીજી રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-36r_2 - 3, 2r_2 + 3, 4r_2 + 6)$ છે.
યામોને સરખાવતા:
$3r_1 + 5 = -36r_2 - 3 \implies 3r_1 + 36r_2 = -8$ (સમી. $1$)
$-r_1 + 7 = 2r_2 + 3 \implies r_1 + 2r_2 = 4 \implies r_1 = 4 - 2r_2$ (સમી. $2$)
$r_1$ ની કિંમત સમી. $1$ માં મૂકતા:
$3(4 - 2r_2) + 36r_2 = -8$
$12 - 6r_2 + 36r_2 = -8$
$30r_2 = -20 \implies r_2 = -2/3$
હવે,$r_1 = 4 - 2(-2/3) = 4 + 4/3 = 16/3$.
પ્રથમ રેખાના યામોમાં $r_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = 3(16/3) + 5 = 16 + 5 = 21$
$y = -(16/3) + 7 = (-16 + 21)/3 = 5/3$
$z = (16/3) - 2 = (16 - 6)/3 = 10/3$
આમ,છેદબિંદુ $(21, 5/3, 10/3)$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $2x = 3y = -z$ અને $6x = -y = -4z$ છે.
પ્રથમ,આપણે રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા માટે: $2x = 3y = -z \Rightarrow \frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/3} = \frac{z}{-1}$. $6$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ મળે છે. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $6x = -y = -4z \Rightarrow \frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$. $12$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ મળે છે. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ છે.
જો બે રેખાઓના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય તો તે પરસ્પર લંબ હોય છે: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(C) બે રેખાઓ જેના દિક-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ માટે,દિક-ગુણોત્તર $(-3, 2k, 2)$ અને $(3k, 1, -5)$ છે.
લંબ હોવાની શરત લાગુ પાડતા:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$.

(D) આપેલ રેખા $1 - x = \frac{y}{2} = \frac{1}{3}(1 + z)$ છે.
રેખાને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - (-1)}{3}$.
ધારો કે બિંદુ $P = (2, 3, 4)$ છે અને રેખા $A = (1, 0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,જેની દિશા સદિશ $\vec{v} = (-1, 2, 3)$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (2-1, 3-0, 4-(-1)) = (1, 3, 5)$.
બિંદુ $P$ નું રેખાથી અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9 - 10) - \hat{j}(3 + 5) + \hat{k}(2 + 3) = -\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k}$.
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 64 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
$d = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{35}}{7} = \frac{3}{7}\sqrt{35}$.

(B) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_1} = (2, 5, -3)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_2} = (-1, 8, 4)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
$\cos \theta = \frac{|2(-1) + 5(8) + (-3)(4)|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 40 - 12|}{\sqrt{4 + 25 + 9} \sqrt{1 + 64 + 16}}$
$\cos \theta = \frac{|26|}{\sqrt{38} \sqrt{81}} = \frac{26}{9\sqrt{38}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{9\sqrt{38}}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2 + z^2 = 0$ છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ અને $z$ માટે $y^2 \ge 0$ અને $z^2 \ge 0$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $y^2 + z^2$ ત્યારે જ શૂન્ય થાય જો $y = 0$ અને $z = 0$ બંને એકસાથે હોય.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં,$y = 0$ અને $z = 0$ નું પાલન કરતા બિંદુઓ $(x, y, z)$ નો સમૂહ એવા તમામ બિંદુઓ દર્શાવે છે જ્યાં $y$-યામ અને $z$-યામ શૂન્ય હોય,$x$ ની કિંમત ગમે તે હોય.
આ બિંદુઓનો સમૂહ $x$-અક્ષ બનાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $P(3, 4, 1)$ અને $Q(5, 1, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1} = k$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ મળે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+3, -3k+4, 5k+1)$ સ્વરૂપનું હોય.
બિંદુ $xy$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$5k+1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = -\frac{1}{5}$.
$k = -\frac{1}{5}$ ને યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$.
$y = -3(-\frac{1}{5}) + 4 = \frac{3}{5} + \frac{20}{5} = \frac{23}{5}$.
$z = 0$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0)$ છે.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1) = (3, 5, -7)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - 3}{-2 - 3} = \frac{y - 5}{1 - 5} = \frac{z - (-7)}{8 - (-7)}$
$\frac{x - 3}{-5} = \frac{y - 5}{-4} = \frac{z + 7}{15} = K$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (-5K + 3, -4K + 5, 15K - 7)$ દ્વારા મળે છે.
રેખા $yz$-સમતલને મળે છે,તેથી $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$-5K + 3 = 0 \Rightarrow K = \frac{3}{5}$.
$K = \frac{3}{5}$ ની કિંમત યામોમાં મૂકતા:
$x = -5(\frac{3}{5}) + 3 = 0$
$y = -4(\frac{3}{5}) + 5 = -\frac{12}{5} + \frac{25}{5} = \frac{13}{5}$
$z = 15(\frac{3}{5}) - 7 = 9 - 7 = 2$
આમ,છેદબિંદુ $\left( 0, \frac{13}{5}, 2 \right)$ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ છે.
રેખા $(3, -16, 7)$ અને $(3, 8, -5)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$3l - 16m + 7n = 0$ $(i)$
$3l + 8m - 5n = 0$ (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $-24m + 12n = 0 \implies 24m = 12n \implies n = 2m$.
$(i)$ માં $n = 2m$ મૂકતા: $3l - 16m + 7(2m) = 0 \implies 3l - 16m + 14m = 0 \implies 3l = 2m \implies l = \frac{2}{3}m$.
જો $m = 3$ લઈએ,તો $l = 2$ અને $n = 6$ મળે.
આમ,દિકગુણોત્તર $(2, 3, 6)$ છે.
બિંદુ $(1, 2, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, 3, 6)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 4}{6}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $al + bm + cn = 0$ અને $fmn + gnl + hlm = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n = -\frac{al + bm}{c}$.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $fm(-\frac{al + bm}{c}) + gl(-\frac{al + bm}{c}) + hlm = 0$.
$-c$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $fm(al + bm) + gl(al + bm) - chlm = 0$.
$aflm + bfm^2 + agl^2 + bglm - chlm = 0$.
$agl^2 + (af + bg - ch)lm + bfm^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા,$ag(\frac{l}{m})^2 + (af + bg - ch)(\frac{l}{m}) + bf = 0$.
ધારો કે બીજ $\frac{l_1}{m_1}$ અને $\frac{l_2}{m_2}$ છે. તો $\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{bf}{ag}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b}$.
તે જ રીતે,$l$ નો લોપ કરતા,આપણને $\frac{m_1 m_2}{g/b} = \frac{n_1 n_2}{h/c}$ મળે છે.
આમ,$\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b} = \frac{n_1 n_2}{h/c} = k$.
પરસ્પર લંબ રેખાઓ માટે,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા,$k(\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c}) = 0$.
$k \neq 0$ હોવાથી,$\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda + 1, 3\lambda - 1, 4\lambda + 1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1} = \mu$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\mu + 3, 2\mu + k, \mu)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ એવા મળે કે જેથી યામ સમાન થાય:
$2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$
$3\lambda - 1 = 2\mu + k \implies 3\lambda - 2\mu = k + 1$ (ii)
$4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)
(iii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$
$2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ ને (iii) માં મૂકતા:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને (ii) માં મૂકતા:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k + 1$
$-\frac{9}{2} + 10 = k + 1$
$k = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણોમાંથી $t$ નો લોપ કરતા,આપણને માર્ગનું સમીકરણ મળે છે:
$\frac{x}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z}{4}$ અથવા $\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{2}$.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$t = 10 \text{ s}$ માટે,યામ નીચે મુજબ છે:
$x = 2(10) = 20 \text{ km}$,
$y = -4(10) = -40 \text{ km}$,
$z = 4(10) = 40 \text{ km}$.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી અંતર નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{20^2 + (-40)^2 + 40^2}$
$d = \sqrt{400 + 1600 + 1600} = \sqrt{3600} = 60 \text{ km}$.

(B) ધારો કે $A = (1, 0, 3)$,$B = (4, 7, 1)$,અને $C = (3, 5, 3)$ છે. ધારો કે $P$ એ $A$ માંથી $BC$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
$B$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{b} + \lambda(\vec{c} - \vec{b})$ છે.
$BC$ ના દિકગુણોતરો $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ છે.
તેથી,રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = k$ છે.
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (4-k, 7-2k, 1+2k)$ સ્વરૂપમાં મળે.
સદિશ $\vec{AP} = (4-k-1, 7-2k-0, 1+2k-3) = (3-k, 7-2k, 2k-2)$ છે.
$AP \perp BC$ હોવાથી,$\vec{AP}$ અને $BC$ ના દિકગુણોતરો $(-1, -2, 2)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$(3-k)(-1) + (7-2k)(-2) + (2k-2)(2) = 0$
$-3 + k - 14 + 4k + 4k - 4 = 0$
$9k - 21 = 0 \Rightarrow 9k = 21 \Rightarrow k = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$k = \frac{7}{3}$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$
$y = 7 - 2(\frac{7}{3}) = \frac{7}{3}$
$z = 1 + 2(\frac{7}{3}) = \frac{17}{3}$
આમ,લંબનો લંબપાદ $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $3lm - 4ln + mn = 0$ અને $l + 2m + 3n = 0$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$l = -2m - 3n$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$.
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$.
$-6m^2 + 12n^2 = 0$,જેનો અર્થ છે $m^2 = 2n^2$,તેથી $m = \pm \sqrt{2}n$.
કિસ્સો $1$: $m = \sqrt{2}n$. તો $l = -2(\sqrt{2}n) - 3n = -(2\sqrt{2} + 3)n$. દિકગુણોત્તર $(-(2\sqrt{2} + 3), \sqrt{2}, 1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m = -\sqrt{2}n$. તો $l = -2(-\sqrt{2}n) - 3n = (2\sqrt{2} - 3)n$. દિકગુણોત્તર $((2\sqrt{2} - 3), -\sqrt{2}, 1)$ મળે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (-(2\sqrt{2} + 3))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$.
$= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$.
દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\pi /2$ છે.