Plane Questions in Hindi

(A) दिए गए बिंदु $A(-1, 2, 3)$,$B(1, 1, 1)$ और $C(2, -1, 3)$ हैं।
सबसे पहले,हम समतल पर स्थित दो सदिश ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (1 - (-1))i + (1 - 2)j + (1 - 3)k = 2i - j - 2k$
$\overrightarrow{AC} = (2 - (-1))i + (-1 - 2)j + (3 - 3)k = 3i - 3j + 0k$
समतल के लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - 6) - j(0 - (-6)) + k(-6 - (-3)) = -6i - 6j - 3k$
माना $\vec{n} = -6i - 6j - 3k$ है। इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$ है।
इकाई लंबवत सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{-6i - 6j - 3k}{9} = \pm \left( \frac{-2i - 2j - k}{3} \right) = \pm \left( \frac{2i + 2j + k}{3} \right)$ होगा।

(B) मूल बिंदु से $d$ दूरी पर और सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण $r \cdot \hat{n} = d$ होता है,जहाँ $\hat{n}$ इकाई लंबवत सदिश है।
यहाँ $d = 8$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\vec{n}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अब,इकाई लंबवत सदिश $\hat{n}$ ज्ञात करें:
$\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{3}$.
समतल का समीकरण $r \cdot \hat{n} = d$ है:
$r \cdot \left( \frac{2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{3} \right) = 8$.
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 24$.

(C) दिए गए बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = 3i + j + 2k$ और $\vec{q} = i - 2j - 4k$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (i - 2j - 4k) - (3i + j + 2k) = -2i - 3j - 6k$ है।
समतल $Q$ से गुजरता है और $\overrightarrow{PQ}$ के लंबवत है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \overrightarrow{PQ} = -2i - 3j - 6k$ है।
समतल का समीकरण $(r - \vec{q}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $r \cdot \vec{n} = \vec{q} \cdot \vec{n}$ है।
$\vec{q} \cdot \vec{n} = (i - 2j - 4k) \cdot (-2i - 3j - 6k) = (1)(-2) + (-2)(-3) + (-4)(-6) = -2 + 6 + 24 = 28$ है।
अतः,$r \cdot (-2i - 3j - 6k) = 28$,जिसे $r \cdot (2i + 3j + 6k) = -28$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) समतलों $r \cdot a = \lambda$ और $r \cdot b = \mu$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(r \cdot a - \lambda) + k(r \cdot b - \mu) = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r \cdot (a + kb) = \lambda + k\mu$ .....$(i)$
चूंकि यह समतल मूलबिंदु से गुजरता है,इसलिए स्थिति सदिश $r = 0$ समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$0 \cdot (a + kb) = \lambda + k\mu$
$0 = \lambda + k\mu$
$k = -\frac{\lambda}{\mu}$
$k$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$r \cdot (a - \frac{\lambda}{\mu} b) = \lambda + (-\frac{\lambda}{\mu})\mu$
$r \cdot (\frac{\mu a - \lambda b}{\mu}) = 0$
$\mu$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r \cdot (\mu a - \lambda b) = 0$
जो $r \cdot (\lambda b - \mu a) = 0$ के समतुल्य है।

(B) समतल $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) - 7 = 0$ के समांतर समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$ से गुजरता है,इसलिए हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:
$(2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda = 0$
अदिश गुणन (dot product) की गणना करने पर:
$(2)(4) + (-1)(-12) + (-4)(-3) + \lambda = 0$
$8 + 12 + 12 + \lambda = 0$
$32 + \lambda = 0$
$\lambda = -32$
$\lambda = -32$ को मूल समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) - 32 = 0$
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = 32$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) अभीष्ट समतल $a_1$ स्थिति सदिश वाले बिंदु से होकर गुजरता है और $a_1$ तथा $a_2$ सदिशों के समानांतर है।
यदि $r$ समतल पर किसी बिंदु का स्थिति सदिश है,तो सदिश $(r - a_1)$,$a_1$ और $a_2$ समतलीय हैं।
इसलिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $(r - a_1) \cdot (a_1 \times a_2) = 0$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $r \cdot (a_1 \times a_2) - a_1 \cdot (a_1 \times a_2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[r, a_1, a_2] = r \cdot (a_1 \times a_2)$ और $[a_1, a_1, a_2] = 0$ (क्योंकि दो सदिश समान हैं),इसलिए $[r, a_1, a_2] = 0$ है।
अतः,समतल का समीकरण $[r, a_1, a_2] = 0$ है।

(C) समतल का दिया गया सदिश समीकरण: $r = (1 + \lambda - \mu )i + (2 - \lambda )j + (3 - 2\lambda + 2\mu )k$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $r = (i + 2j + 3k) + \lambda (i - j - 2k) + \mu (-i + 2k)$
यह एक समतल को दर्शाता है जो बिंदु $a = i + 2j + 3k$ से गुजरता है और सदिशों $b = i - j - 2k$ और $c = -i + 2k$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $n = b \times c$ द्वारा प्राप्त होता है:
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = i(-2 - 0) - j(2 - 2) + k(0 - 1) = -2i - k$
समतल का सदिश समीकरण $(r - a) \cdot n = 0$ है, जिसका अर्थ है $r \cdot n = a \cdot n$.
$a \cdot n$ की गणना करने पर: $(i + 2j + 3k) \cdot (-2i - k) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
अतः, $r \cdot (-2i - k) = -5$, या $r \cdot (2i + k) = 5$.
$r = xi + yj + zk$ रखने पर, हमें $(xi + yj + zk) \cdot (2i + k) = 5$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $2x + z = 5$ हो जाता है।

(A) $a, b, c$ स्थिति सदिशों वाले तीन असंरेख बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $r \cdot (a \times b + b \times c + c \times a) = [a, b, c]$ है।
यह समीकरण $r \cdot n = p$ के रूप में है,जहाँ $n = a \times b + b \times c + c \times a$ समतल का अभिलंब सदिश है और $p = [a, b, c]$ है।
मूल बिंदु से समतल $r \cdot n = d$ पर डाले गए लंब की लंबाई $\frac{|d|}{|n|}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,लंब की लंबाई $\frac{|[a, b, c]|}{|a \times b + b \times c + c \times a|}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{[a, b, c]}{|a \times b + b \times c + c \times a|}$ है।

(C) समतल बिंदु $a$ से गुजरता है और रेखा $r = b + \lambda c$ को समाहित करता है। इसलिए,समतल सदिश $c$ और सदिश $(b - a)$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $n$ इन दो सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:
$n = (b - a) \times c = b \times c - a \times c = b \times c + c \times a$.
समतल का समीकरण $(r - a) \cdot n = 0$ है,जिसे $r \cdot n = a \cdot n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n = b \times c + c \times a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r \cdot (b \times c + c \times a) = a \cdot (b \times c + c \times a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \cdot (b \times c + c \times a) = a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) = [a, b, c] + 0 = [a, b, c]$,इसलिए समतल का समीकरण $r \cdot (b \times c + c \times a) = [a, b, c]$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $r \cdot n = d$ पर डाले गए लंब की लंबाई $\frac{|d|}{|n|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = [a, b, c]$ और $n = b \times c + c \times a$ है।
अतः,लंब की लंबाई $\frac{[a, b, c]}{|b \times c + c \times a|}$ है।

(B) दो समांतर समतलों के समीकरण $r \cdot n + d_1 = 0$ और $r \cdot n + d_2 = 0$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$n = i + 2j - 2k$,$d_1 = 5$,और $d_2 = -8$ है।
दो समांतर समतलों $r \cdot n + d_1 = 0$ और $r \cdot n + d_2 = 0$ के बीच की दूरी $D$ का सूत्र $D = \frac{|d_1 - d_2|}{|n|}$ है।
सबसे पहले,अभिलंब सदिश $n$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|n| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अब,मानों को दूरी के सूत्र में रखें:
$D = \frac{|5 - (-8)|}{3} = \frac{|5 + 8|}{3} = \frac{13}{3} \text{ इकाई}$.

(A) माना बिंदु $A(-1, -2, 0)$ और $B(2, 3, 5)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (2 - (-1))i + (3 - (-2))j + (5 - 0)k = 3i + 5j + 5k$ है।
समतल उस रेखा के समांतर है जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = 2i + 5j - k$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB}$ और $\vec{v}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 5 & 5 \\ 2 & 5 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(-5 - 25) - j(-3 - 10) + k(15 - 10) = -30i + 13j + 5k$.
$(-1, -2, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
$-30(x + 1) + 13(y + 2) + 5(z - 0) = 0$
$-30x - 30 + 13y + 26 + 5z = 0$
$-30x + 13y + 5z = 4$.
सदिश रूप में,यह $r \cdot (-30i + 13j + 5k) = 4$ है।

(A) माना समतल के $x, y$ और $z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a, b$ और $c$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $P(a, 0, 0), Q(0, b, 0)$ और $R(0, 0, c)$ हैं।
$\Delta PQR$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $2i - 5j + 8k$ है,इसलिए $\frac{a}{3} = 2, \frac{b}{3} = -5, \frac{c}{3} = 8$ है।
अतः,$a = 6, b = -15, c = 24$ है।
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{6} + \frac{y}{-15} + \frac{z}{24} = 1$ प्राप्त होता है।
$6, 15$ और $24$ के लघुत्तम समापवर्त्य $120$ से गुणा करने पर,हमें $20x - 8y + 5z = 120$ मिलता है।
सदिश रूप में,यह $r \cdot (20i - 8j + 5k) = 120$ है।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत होता है।
अतः,$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(6 - 3) + \hat{k}(6 - 0) = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$.
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (A, B, C)$ वाले समतल का समीकरण $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $A(2, -1, 3)$ और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -3, 6)$ का मान रखने पर:
$2(x - 2) - 3(y + 1) + 6(z - 3) = 0$
$2x - 4 - 3y - 3 + 6z - 18 = 0$
$2x - 3y + 6z - 25 = 0$.

(D) माना बिंदु $A(0, 1, 1)$,$B(1, 1, 2)$ और $C(-1, 2, -2)$ हैं।
समतल में स्थित दो सदिश $\vec{AB} = (1-0)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{AC} = (-1-0)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB} \times \vec{AC}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(-3 - (-1)) + \hat{k}(1 - 0) = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
दिक-अनुपात $(-1, 2, 1)$ प्राप्त होते हैं,जो $(1, -2, -1)$ के समानुपाती हैं।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) तीन चरों $x, y, z$ में प्रथम घात वाले समीकरण का सामान्य रूप $Ax + By + Cz + D = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A, B, C$ सभी शून्य नहीं हैं।
यह समीकरण हमेशा त्रिविमीय आकाश (three-dimensional space) में एक समतल को दर्शाता है।

(A) समतल का समीकरण $x + 2y - 3z + 4 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $Ax + By + Cz + D = 0$ से तुलना करने पर,अभिलंब के दिक्-अनुपात $(A, B, C) = (1, 2, -3)$ प्राप्त होते हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
दिक्कोज्याएँ $(l, m, n)$ सूत्र $\pm \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \pm \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \pm \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती हैं।
ऋणात्मक चिह्न लेने पर,हमें $l = -\frac{1}{\sqrt{14}}$,$m = -\frac{2}{\sqrt{14}}$,और $n = -\frac{-3}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिक्कोज्याएँ $(-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}})$ हैं,जो विकल्प $A$ से मेल खाती हैं।

(B) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \left| \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$.
यहाँ,अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 2\hat{i} - 1\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \theta = \left| \frac{(3)(2) + (-4)(-1) + (5)(-2)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} \right|$.
$\cos \theta = \left| \frac{6 + 4 - 10}{\sqrt{9 + 16 + 25} \sqrt{4 + 1 + 4}} \right| = \left| \frac{0}{\sqrt{50} \sqrt{9}} \right| = 0$.
चूँकि $\cos \theta = 0$,इसलिए $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
चूंकि समतल $y$-अक्ष के समांतर है,यह $y$-अक्ष को नहीं काटता है,जिसका अर्थ है कि $y$-अक्ष पर अंतःखंड अनंत है,इसलिए $y$ वाला पद लुप्त हो जाता है।
$x$-अक्ष और $z$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $2$ और $3$ दिए गए हैं।
अतः,समतल का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{z}{3} = 1$ है।
पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 2z = 6$ प्राप्त होता है।

(C) समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिए गए अंतःखंड $a = -6, b = 3, c = 4$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x}{-6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$।
सरल करने के लिए,$6, 3, 4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $12$ से गुणा करने पर:
$-2x + 4y + 3z = 12$,या $-2x + 4y + 3z - 12 = 0$।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,$A = -2, B = 4, C = 3, D = -12$ है।
$d = \frac{|-12|}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{12}{\sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{12}{\sqrt{29}}$।

(C) $xy$-समतल के समांतर समतल का सामान्य समीकरण $z = k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि समतल $z$-अक्ष पर $3$ लंबाई का अंतःखंड काटता है,इसलिए $k$ का मान $3$ होगा।
अतः,समतल का समीकरण $z = 3$ है।

(D) समतलों के समीकरण $P_1: 3x - 6y + 2z + 5 = 0$ और $P_2: 4x - 12y + 3z - 3 = 0$ हैं।
मूलबिंदु को समाहित करने वाले समद्विभाजक को खोजने के लिए,हम पहले अचर पदों को धनात्मक बनाते हैं।
$P_1$ के लिए,अचर $5 > 0$ है,इसलिए हम इसे $3x - 6y + 2z + 5 = 0$ के रूप में रखते हैं।
$P_2$ के लिए,अचर $-3 < 0$ है,इसलिए हम इसे $-1$ से गुणा करके $-4x + 12y - 3z + 3 = 0$ प्राप्त करते हैं।
मूलबिंदु को समाहित करने वाले समद्विभाजक का समीकरण $\frac{3x - 6y + 2z + 5}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}} = \frac{-4x + 12y - 3z + 3}{\sqrt{(-4)^2 + 12^2 + (-3)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह $\frac{3x - 6y + 2z + 5}{7} = \frac{-4x + 12y - 3z + 3}{13}$ में सरल हो जाता है।
वज्र-गुणन करने पर $13(3x - 6y + 2z + 5) = 7(-4x + 12y - 3z + 3)$ प्राप्त होता है।
$39x - 78y + 26z + 65 = -28x + 84y - 21z + 21$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $67x - 162y + 47z + 44 = 0$।
चूंकि यह परिणाम विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) दो समतल $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ और $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ लंबवत होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ और $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$ लंबवत हों,अर्थात $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ हो।
यहाँ,अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (3, -6, -2)$ और $\vec{n_2} = (2, 1, -k)$ हैं।
समतलों के लंबवत होने के लिए,उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(3)(2) + (-6)(1) + (-2)(-k) = 0$
$6 - 6 + 2k = 0$
$0 + 2k = 0$
$2k = 0$
$k = 0$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(-1, 3, 2)$ रखने पर,हमें $A(x + 1) + B(y - 3) + C(z - 2) = 0$ प्राप्त होता है ..... $(i)$.
चूंकि समतल $(i)$ समतलों $x + 2y + 3z = 5$ और $3x + 3y + z = 0$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (A, B, C)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, 3)$ और $\vec{n_2} = (3, 3, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(3 - 6) = -7\hat{i} + 8\hat{j} - 3\hat{k}$.
इस प्रकार,$A = -7, B = 8, C = -3$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$-7(x + 1) + 8(y - 3) - 3(z - 2) = 0$.
$-7x - 7 + 8y - 24 - 3z + 6 = 0$.
$-7x + 8y - 3z - 25 = 0$,जो $7x - 8y + 3z + 25 = 0$ के बराबर है।

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $x + 2y + 3z + 7 = 0$ और $2x + 4y + 6z + 7 = 0$ हैं।
सबसे पहले,दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: $x + 2y + 3z + \frac{7}{2} = 0$।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,$A = 1, B = 2, C = 3, D_1 = 7$,और $D_2 = \frac{7}{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|7 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|\frac{14 - 7}{2}|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{14}}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$d = \frac{7}{2\sqrt{14}} = \frac{7}{2\sqrt{2} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AB} = (-a, b, 0)$ और $\vec{AC} = (-a, 0, c)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc) - \hat{j}(-ac) + \hat{k}(ab) = (bc, ac, ab)$।
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2} = \sqrt{b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \sqrt{b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2}$ है।

(C) समतल $x - 2y + 2z = 5$ के समांतर समतल का समीकरण $x - 2y + 2z + k = 0$ के रूप का होता है ... $(i)$।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु $(1, 2, 3)$ और दूरी $d = 1$ दी गई है,अतः:
$\frac{|1 - 2(2) + 2(3) + k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$
$\frac{|1 - 4 + 6 + k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$
$\frac{|k + 3|}{\sqrt{9}} = 1$
$|k + 3| = 3$
इससे $k + 3 = 3$ या $k + 3 = -3$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $k = 0$. समीकरण $(i)$ में मान रखने पर,$x - 2y + 2z = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $k = -6$. समीकरण $(i)$ में मान रखने पर,$x - 2y + 2z - 6 = 0$ अर्थात $x - 2y + 2z = 6$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x - 2y + 2z = 6$ सही समीकरण है।

(D) $ax + by + cz + d = 0$ के समांतर समतल का समीकरण $ax + by + cz + k = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$2x + 3y - 4z = 0$ के समांतर समतल $2x + 3y - 4z + k = 0$ है.....$(i)$
चूंकि समतल $(i)$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1) + 3(2) - 4(3) + k = 0$
$2 + 6 - 12 + k = 0$
$8 - 12 + k = 0$
$-4 + k = 0$
$k = 4$
$k$ का मान समीकरण $(i)$ में वापस रखने पर,हमें अभीष्ट समतल का समीकरण प्राप्त होता है:
$2x + 3y - 4z + 4 = 0$.

(B) माना गतिमान बिंदु $P(x, y, z)$ है।
दिया गया है कि $P$ से $A(3, 4, -2)$ की दूरी और $P$ से $B(2, 3, -3)$ की दूरी समान है।
अतः,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 4z + 4) = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 6z + 9)$
दोनों पक्षों से $x^2, y^2, z^2$ को हटाने पर:
$-6x - 8y + 4z + 29 = -4x - 6y + 6z + 22$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x + 2y + 2z = 7$
यह एक समतल का समीकरण है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
चूंकि अभिलंब सदिश के घटक समान हैं,इसलिए अभिलंब अक्षों के साथ समान झुकाव पर है।

(A) त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,$yz$-समतल पर स्थित किसी भी बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होता है।
अतः,$yz$-समतल को निरूपित करने वाला समीकरण $x = 0$ है।

(D) प्रथम समतल का समीकरण $2x - y + z = 6$ है,अतः इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
दूसरे समतल का समीकरण $x + y + 2z = 7$ है,अतः इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$।
अतः,$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$।

(A) माना मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $P(2, 4, -3)$ है।
चूंकि $OP$ समतल का अभिलंब है,इसलिए अभिलंब के दिक अनुपात $(2 - 0, 4 - 0, -3 - 0) = (2, 4, -3)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $P(2, 4, -3)$ और अभिलंब $(2, 4, -3)$ का मान रखने पर:
$2(x - 2) + 4(y - 4) - 3(z - (-3)) = 0$
$2(x - 2) + 4(y - 4) - 3(z + 3) = 0$
$2x - 4 + 4y - 16 - 3z - 9 = 0$
$2x + 4y - 3z - 29 = 0$
$2x + 4y - 3z = 29$.

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$(3, 4, -1)$ और $(2, -1, 5)$ बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश है।
$\vec{n} = (2 - 3)\hat{i} + (-1 - 4)\hat{j} + (5 - (-1))\hat{k} = -1\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$.
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$ या $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ होगा।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
$(x_0, y_0, z_0) = (2, -3, 1)$ और $(a, b, c) = (1, 5, -6)$ रखने पर:
$1(x - 2) + 5(y - (-3)) - 6(z - 1) = 0$
$x - 2 + 5y + 15 - 6z + 6 = 0$
$x + 5y - 6z + 19 = 0$.

(A) माना समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ है।
चूंकि समतल $(1, -1, 1)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(1 - 1) = 0$ है,जिसका अर्थ है $-2b = 0$,इसलिए $b = 0$।
अब समीकरण $a(x - 1) + c(z - 1) = 0$ हो जाता है।
चूंकि यह $(-7, -3, -5)$ से भी गुजरता है,हमारे पास $a(-7 - 1) + c(-5 - 1) = 0$ है,जो $-8a - 6c = 0$ देता है,या $8a = -6c$,जिसे सरल करने पर $a = -\frac{3}{4}c$ प्राप्त होता है।
$a = -\frac{3}{4}c$ को समीकरण में रखने पर,हमें $-\frac{3}{4}c(x - 1) + c(z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$c$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $c \neq 0$) और $-4$ से गुणा करने पर,हमें $3(x - 1) - 4(z - 1) = 0$ मिलता है,जो सरल होकर $3x - 3 - 4z + 4 = 0$,यानी $3x - 4z + 1 = 0$ हो जाता है।

(A) माना $Q$ दिए गए समतल $2x - y + z + 3 = 0$ में बिंदु $P(1, 3, 4)$ का प्रतिबिंब है। रेखा $PQ$ समतल के अभिलंब है।
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $2, -1, 1$ हैं।
चूंकि रेखा $PQ$,$P(1, 3, 4)$ से गुजरती है और अभिलंब के समानांतर है,इसलिए रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r + 1, -r + 3, r + 4)$ के रूप में होता है। माना यह बिंदु $Q$ है।
$PQ$ का मध्य बिंदु $R$,$\left( \frac{2r + 1 + 1}{2}, \frac{-r + 3 + 3}{2}, \frac{r + 4 + 4}{2} \right) = \left( r + 1, \frac{-r + 6}{2}, \frac{r + 8}{2} \right)$ होगा।
चूंकि $R$ समतल $2x - y + z + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $R$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(r + 1) - \left( \frac{-r + 6}{2} \right) + \left( \frac{r + 8}{2} \right) + 3 = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$4(r + 1) - (-r + 6) + (r + 8) + 6 = 0$
$4r + 4 + r - 6 + r + 8 + 6 = 0$
$6r + 12 = 0 \implies r = -2$.
$r = -2$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-2) + 1 = -3$
$y = -(-2) + 3 = 5$
$z = -2 + 4 = 2$
अतः,प्रतिबिंब बिंदु $(-3, 5, 2)$ है।

(C) दिए गए समतलों के समीकरण $2x - 2y + z + 3 = 0$ और $4x - 4y + 2z + 5 = 0$ हैं।
सबसे पहले,हम दूसरे समीकरण को सामान्यीकृत करते हैं ताकि $x, y, z$ के गुणांक पहले समीकरण के समान हो जाएं। दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x - 2y + z + \frac{5}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,$A = 2, B = -2, C = 1, D_1 = 3$,और $D_2 = \frac{5}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = \frac{|3 - \frac{5}{2}|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|\frac{6-5}{2}|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।

(D) समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ और $\vec{n_2} = a'\hat{i} + b'\hat{j} + c'\hat{k}$ हैं।
दो समतल परस्पर लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हों।
दो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) \cdot (a'\hat{i} + b'\hat{j} + c'\hat{k}) = aa' + bb' + cc' = 0$।
अतः,सही शर्त $aa' + bb' + cc' = 0$ है।

(B) दो समतलों के बीच का कोण उनके अभिलंबों (normals) के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि दो समतलों के समीकरण $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ हैं,तो उनके अभिलंब $\vec{n_1} = a_1\hat{i} + b_1\hat{j} + c_1\hat{k}$ और $\vec{n_2} = a_2\hat{i} + b_2\hat{j} + c_2\hat{k}$ हैं। समतलों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।

(A) दिया गया समीकरण $3y + 4z = 0$ है।
यह $Ax + By + Cz + D = 0$ के रूप में $x, y, z$ में एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $A=0, B=3, C=4, D=0$ है।
चूंकि समीकरण $By + Cz = 0$ के रूप में है,इसलिए यह एक समतल को दर्शाता है।
किसी समतल के $x$-अक्ष को समाहित करने के लिए,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक (जो $(k, 0, 0)$ के रूप में होते हैं) को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
$3y + 4z = 0$ में $(k, 0, 0)$ रखने पर,हमें $3(0) + 4(0) = 0$ प्राप्त होता है,जो $0 = 0$ है।
चूंकि $k$ के सभी मानों के लिए समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए यह समतल $x$-अक्ष को समाहित करता है।

(A) मान लीजिए कि जिन बिंदुओं पर समतल अक्षों को काटता है,वे $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}) = (\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि केंद्रक $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,इसलिए $\frac{a}{3} = \alpha$,$\frac{b}{3} = \beta$,और $\frac{c}{3} = \gamma$ है।
अतः,$a = 3\alpha$,$b = 3\beta$,और $c = 3\gamma$ प्राप्त होता है।
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
$a, b, c$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{3\alpha} + \frac{y}{3\beta} + \frac{z}{3\gamma} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} + \frac{z}{\gamma} = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दो समतल $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ परस्पर लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो।
दिए गए समतलों के समीकरण $3x - 2y + 2z + 17 = 0$ और $4x + 3y - kz - 25 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 2$ और $a_2 = 4, b_2 = 3, c_2 = -k$ है।
इन मानों को लंबवतता की शर्त में रखने पर:
$(3)(4) + (-2)(3) + (2)(-k) = 0$
$12 - 6 - 2k = 0$
$6 - 2k = 0$
$2k = 6$
$k = 3$.

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{OA}$ है।
चूंकि $O = (0, 0, 0)$ और $A = (a, b, c)$ है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{OA}$ के दिक अनुपात $(a - 0, b - 0, c - 0)$ अर्थात $a, b, c$ होंगे।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(A, B, C)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $A(a, b, c)$ और अभिलंब $(a, b, c)$ के मानों को सूत्र में रखने पर:
$a(x - a) + b(y - b) + c(z - c) = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $p$ की स्थिर दूरी पर है,इसलिए $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{p^2}$ ..... $(i)$।
$A, B, C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a}{4}, y = \frac{b}{4}, z = \frac{c}{4}$।
अतः,$a = 4x, b = 4y, c = 4z$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\frac{1}{(4x)^2} + \frac{1}{(4y)^2} + \frac{1}{(4z)^2} = \frac{1}{p^2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{16x^2} + \frac{1}{16y^2} + \frac{1}{16z^2} = \frac{1}{p^2}$।
$16$ से गुणा करने पर,$x^{-2} + y^{-2} + z^{-2} = 16p^{-2}$ प्राप्त होता है।

(D) समतल का समीकरण $ax + by + cz = 1$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ और $z = 0$ रखने पर,$ax = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{1}{a}$। अतः,बिंदु $A = (\frac{1}{a}, 0, 0)$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $x = 0$ और $z = 0$ रखने पर,$by = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \frac{1}{b}$। अतः,बिंदु $B = (0, \frac{1}{b}, 0)$ है।
$z$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$cz = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $z = \frac{1}{c}$। अतः,बिंदु $C = (0, 0, \frac{1}{c})$ है।
त्रिभुज जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ हैं,उसका केंद्रक $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ होता है।
$A, B$ और $C$ के निर्देशांक रखने पर:
केंद्रक $= (\frac{\frac{1}{a} + 0 + 0}{3}, \frac{0 + \frac{1}{b} + 0}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{1}{c}}{3}) = (\frac{1}{3a}, \frac{1}{3b}, \frac{1}{3c})$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
यह दिया गया है कि समतल अक्षों पर इकाई लंबाई के समान अंतःखंड काटता है,इसलिए $a = 1, b = 1, c = 1$ है।
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $x + y + z = 1$ है।

(D) समतल $Ax + By + Cz = D$ के समांतर समतल का सामान्य समीकरण $Ax + By + Cz = k$ होता है।
चूंकि समतल $x + 2y + 4z = 5$ के समांतर है,इसलिए इसका समीकरण $x + 2y + 4z = k$ के रूप में होगा।
यह समतल बिंदु $(2, 3, 4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $k$ का मान ज्ञात करने के लिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:
$2 + 2(3) + 4(4) = k$
$2 + 6 + 16 = k$
$k = 24$
अतः,समतल का समीकरण $x + 2y + 4z = 24$ है।

(D) समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 3$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y=0$ और $z=0$ रखें: $\frac{x}{a} = 3 \implies x = 3a$. अतः,$A = (3a, 0, 0)$.
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x=0$ और $z=0$ रखें: $\frac{y}{b} = 3 \implies y = 3b$. अतः,$B = (0, 3b, 0)$.
$z$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x=0$ और $y=0$ रखें: $\frac{z}{c} = 3 \implies z = 3c$. अतः,$C = (0, 0, 3c)$.
शीर्षों $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2),$ और $(x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज का केंद्रक $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$A, B$ और $C$ के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
केंद्रक $= \left( \frac{3a+0+0}{3}, \frac{0+3b+0}{3}, \frac{0+0+3c}{3} \right) = (a, b, c)$.

(B) जब अभिलंब के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ और मूल बिंदु से लंब की लंबाई $p$ दी गई हो,तो समतल का समीकरण $ax + by + cz = p \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ होता है।
यहाँ,$(a, b, c) = (-3, 2, 6)$ और $p = 7$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$-3x + 2y + 6z = 7 \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2}$
$-3x + 2y + 6z = 7 \sqrt{9 + 4 + 36}$
$-3x + 2y + 6z = 7 \sqrt{49}$
$-3x + 2y + 6z = 7 \times 7$
$-3x + 2y + 6z = 49$
अतः,समतल का समीकरण $-3x + 2y + 6z - 49 = 0$ है।

(A) दिया गया समतल समीकरण $x - 3y + 5z = d$ है।
चूंकि समतल बिंदु $(1, 2, 4)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 - 3(2) + 5(4) = d$
$1 - 6 + 20 = d$
$d = 15$
अतः,समतल का समीकरण $x - 3y + 5z = 15$ है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम पूरे समीकरण को $15$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{x}{15} + \frac{-3y}{15} + \frac{5z}{15} = \frac{15}{15}$
$\frac{x}{15} + \frac{y}{-5} + \frac{z}{3} = 1$
इसे समतल के अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $15, -5, 3$ प्राप्त होते हैं।

(D) दो समतल $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ लंबवत होते हैं यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो।
यहाँ,समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 2, k)$ और $\vec{n_2} = (2, 1, -2)$ हैं।
चूँकि समतल समकोण पर हैं,इसलिए उनके अभिलंब सदिश लंबवत होने चाहिए,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(1)(2) + (2)(1) + (k)(-2) = 0$.
$2 + 2 - 2k = 0$.
$4 - 2k = 0$.
$2k = 4$.
$k = 2$.

(B) जब दो समतल एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं,तो उनमें एक उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रेखा होती है।
चूंकि प्रतिच्छेदन रेखा के सभी बिंदु दोनों समतलों पर स्थित होते हैं,इसलिए दो प्रतिच्छेदी समतलों के बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होती है।
चूंकि $\cos {90^o} = 0$,इसलिए सही विकल्प $(b)$ है।