Mix Examples-Co-ordinate Geometry of Three Dimensions Questions in Gujarati

(C) ધારો કે આપેલ સમતલ $\pi: x + y + z - 3 = 0$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
ધારો કે $P'$ અને $Q'$ એ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સમતલ $\pi$ પરના પ્રક્ષેપો છે. સમતલ પર $PQ$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ એ અંતર $P'Q'$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાખંડ $PQ$ અને સમતલ $\pi$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. પ્રક્ષેપની લંબાઈ $L = |PQ| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{PQ} = Q - P = (0 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1)$.
લંબાઈ $|PQ| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
રેખા $PQ$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $\cos \phi = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{PQ}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{PQ} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 0 - 1 + 1 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,રેખા $PQ$ એ સમતલ $\pi$ ને સમાંતર છે (એટલે કે,$\phi = 90^\circ$,તેથી $\theta = 0^\circ$).
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|PQ| \cos(0^\circ) = |PQ| = \sqrt{2}$ થાય.

(B) ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. આપણે ઘનને યામ પદ્ધતિમાં એવી રીતે મૂકીએ છીએ કે જેથી એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ પર હોય. શિરોબિંદુઓના યામ $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$B(0, a, 0)$,$C(0, 0, a)$,$D(a, a, a)$ વગેરે છે.
ઘનના બે વિકર્ણો ધ્યાનમાં લો,ઉદાહરણ તરીકે,$(0, 0, 0)$ થી $(a, a, a)$ સુધીનો વિકર્ણ અને $(a, 0, 0)$ થી $(0, a, a)$ સુધીનો વિકર્ણ.
આ વિકર્ણોના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (a, a, a)$ અને $\vec{v_2} = (-a, a, a)$ છે.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ અને $|\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}(1/3)$.

(B) ધારો કે રેખા $AB$ એ $A(4, 7, 1)$ અને $B(3, 5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = k$ છે.
રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D = (-k+4, -2k+7, 2k+1)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય.
$PD$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$PD$ ના દિકગુણોત્તર $((-k+4)-1, (-2k+7)-0, (2k+1)-3) = (-k+3, -2k+7, 2k-2)$ થાય.
$PD \perp AB$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(-1)(-k+3) + (-2)(-2k+7) + (2)(2k-2) = 0$
$k-3 + 4k-14 + 4k-4 = 0$
$9k - 21 = 0 \implies k = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$k = \frac{7}{3}$ ને $D$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = -\frac{7}{3} + 4 = \frac{5}{3}$
$y = -2(\frac{7}{3}) + 7 = -\frac{14}{3} + \frac{21}{3} = \frac{7}{3}$
$z = 2(\frac{7}{3}) + 1 = \frac{14}{3} + \frac{3}{3} = \frac{17}{3}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ છે.

(B) ધારો કે વિકર્ણ $AC$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને ઉગમબિંદુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. યામ $A(-a, 0, 0)$ અને $C(a, 0, 0)$ છે.
જ્યારે સમતલો $DAC$ અને $BAC$ કાટખૂણે રહે તે રીતે વાળવામાં આવે, ત્યારે બિંદુઓના યામ $A(-a, 0, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $D(0, a/\sqrt{2}, a/\sqrt{2})$ અને $B(0, -a/\sqrt{2}, a/\sqrt{2})$ મળે છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ શોધવા માટેના સૂત્ર $|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| / |\vec{v_1} \times \vec{v_2}|$ નો ઉપયોગ કરતા, $DC$ અને $AB$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: x = y + a = z = \lambda$ અને $L_2: x + a = 2y = 2z = 2\mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (\lambda, \lambda - a, \lambda)$ છે.
$L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (2\mu - a, \mu, \mu)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(2\mu - a - \lambda, \mu - \lambda + a, \mu - \lambda)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $2, 1, 2$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી:
$\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2} = k$.
$\mu - \lambda = 2k$ લેતા,બીજા ગુણોત્તરમાં મૂકતા $2k + a = k \implies k = -a$.
તેથી $\mu - \lambda = -2a$ અને $2\mu - \lambda = -a$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $\mu = a$ અને $\lambda = 3a$ મળે છે.
તેથી,$P = (3a, 2a, 3a)$ અને $Q = (a, a, a)$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમઘનના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(0,a,0)$,$C(0,0,a)$,$E(a,a,0)$,$F(0,a,a)$,$G(a,0,a)$ અને $D(a,a,a)$ છે.
$(0,0,0)$ અને $(a,a,a)$ ને જોડતા વિકર્ણ $OD$ નો વિચાર કરો. રેખા $OD$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ છે.
તેની સાથે ત્રાંસી ધારનો વિચાર કરો,ઉદાહરણ તરીકે,$(a,0,0)$ અને $(a,a,0)$ ને જોડતી ધાર $AE$. રેખા $AE$ નું સમીકરણ $x=a, z=0$ છે.
બે ત્રાંસી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ દરેક રેખા પરના બિંદુને જોડતા સદિશનો સામાન્ય લંબ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકર્ણ $OD$ ના મધ્યબિંદુ $K$ ના યામ $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ અને ધાર $AE$ ના મધ્યબિંદુ $L$ ના યામ $(a, \frac{a}{2}, 0)$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતર $KL$ નીચે મુજબ મળે:
$KL = \sqrt{(a - \frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2} - \frac{a}{2})^2 + (0 - \frac{a}{2})^2}$
$KL = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (-\frac{a}{2})^2}$
$KL = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(A) રેખા $BC$ બિંદુઓ $B(0, -11, 3)$ અને $C(2, -3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. $BC$ ના દિક્ ગુણોત્તરો $(2-0, -3-(-11), -1-3) = (2, 8, -4)$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$ છે.
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D$ ને $(2\lambda, 8\lambda-11, -4\lambda+3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$AD \perp BC$ હોવાથી, $AD$ ના દિક્ ગુણોત્તરો $(2\lambda-1, 8\lambda-11-8, -4\lambda+3-4) = (2\lambda-1, 8\lambda-19, -4\lambda-1)$ થશે.
$AD \perp BC$ હોવાથી, તેમના દિક્ ગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda-1) + 8(8\lambda-19) - 4(-4\lambda-1) = 0$
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 16\lambda + 4 = 0$
$84\lambda - 150 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{25}{14}$.
$\lambda = \frac{25}{14}$ ને $D$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(\frac{25}{14}) = \frac{25}{7}$
$y = 8(\frac{25}{14}) - 11 = \frac{100}{7} - \frac{77}{7} = \frac{23}{7}$
$z = -4(\frac{25}{14}) + 3 = -\frac{50}{7} + \frac{21}{7} = -\frac{29}{7}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ, વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(-1, 3, 4)$ છે અને સમતલ $x - 2y = 0$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -2, 0)$ છે.
ધારો કે $Q(x_1, y_1, z_1)$ એ સમતલમાં $P$ નું પ્રતિબિંબ છે. રેખા $PQ$ એ $P$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\lambda - 1, -2\lambda + 3, 4)$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ એ $\left( \frac{\lambda - 1 - 1}{2}, \frac{-2\lambda + 3 + 3}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 2}{2}, 3 - \lambda, 4 \right)$ છે.
કારણ કે $R$ એ સમતલ $x - 2y = 0$ પર આવેલું છે,તેથી $\left( \frac{\lambda - 2}{2} \right) - 2(3 - \lambda) = 0$.
$\frac{\lambda - 2}{2} - 6 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda - 2 - 12 + 4\lambda = 0 \Rightarrow 5\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = \frac{14}{5}$.
પ્રતિબિંબ $Q$ એ $x_1 = \lambda - 1 = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$,$y_1 = -2\lambda + 3 = -2(\frac{14}{5}) + 3 = \frac{-28 + 15}{5} = -\frac{13}{5}$,અને $z_1 = 4$ દ્વારા મળે છે.
આમ,પ્રતિબિંબ $\left( \frac{9}{5}, -\frac{13}{5}, 4 \right)$ છે. જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(-1, -2, -1)$,$C(2, 3, 2)$ અને $D(x, y, z)$ છે.
સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{1+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{3+2}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{5}{2})$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{-1+x}{2}, \frac{-2+y}{2}, \frac{-1+z}{2})$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{-1+x}{2} = \frac{3}{2} \implies -1+x = 3 \implies x = 4$.
$\frac{-2+y}{2} = \frac{5}{2} \implies -2+y = 5 \implies y = 7$.
$\frac{-1+z}{2} = \frac{5}{2} \implies -1+z = 5 \implies z = 6$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D$ એ $(4, 7, 6)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ એ $(2, 3, -4)$ છે અને બિંદુ $P$ એ $( -1, 2, 6)$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AP}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (10)^2} = \sqrt{9 + 1 + 100} = \sqrt{110}$ છે.
રેખા સદિશ $\vec{v} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2}} = \frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{36 + 9 + 16}} = \frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{61}}$ છે.
રેખા પર $\vec{AP}$ નો પ્રક્ષેપ $AN = |\vec{AP} \cdot \hat{u}| = \left| \frac{(-3)(6) + (-1)(3) + (10)(-4)}{\sqrt{61}} \right| = \left| \frac{-18 - 3 - 40}{\sqrt{61}} \right| = \frac{61}{\sqrt{61}} = \sqrt{61}$ છે.
બિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર $PN = \sqrt{|\vec{AP}|^2 - AN^2}$ દ્વારા મળે છે.
$PN = \sqrt{110 - 61} = \sqrt{49} = 7$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. આપેલા બિંદુઓ $A(4, 0, 0)$ અને $B(-4, 0, 0)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PA + PB = 10$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} = 10$.
પદ ગોઠવતા,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} = 10 - \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-4)^2 + y^2 + z^2 = 100 + (x+4)^2 + y^2 + z^2 - 20\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
$x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 = 100 + x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2 - 20\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
$-16x - 100 = -20\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
$-4$ વડે ભાગતા: $4x + 25 = 5\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $16x^2 + 200x + 625 = 25(x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2)$.
$16x^2 + 200x + 625 = 25x^2 + 200x + 400 + 25y^2 + 25z^2$.
$9x^2 + 25y^2 + 25z^2 - 225 = 0$.

(A) બિંદુ $P$ એ $XY$-સમતલમાં આવેલું હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ છે. ધારો કે બિંદુ $P(x, y, 0)$ છે.
આપેલ છે કે $P$ એ $A(2, 0, 3)$,$B(0, 3, 2)$ અને $C(0, 0, 1)$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી $PA = PB = PC$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$ અને $PB^2 = PC^2$.
પ્રથમ,$PA^2 = PB^2$:
$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 3)^2 = (x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4$
$-4x + 13 = -6y + 13$
$4x = 6y \implies 2x = 3y \quad (i)$
હવે,$PB^2 = PC^2$:
$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 1)^2$
$x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 + 1$
$-6y + 13 = 1$
$6y = 12 \implies y = 2$
સમીકરણ $(i)$ માં $y = 2$ મૂકતા:
$2x = 3(2) \implies 2x = 6 \implies x = 3$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(3, 2, 0)$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(1, 2, 3)$ છે અને $Q(x_1, y_1, z_1)$ એ રેખામાં તેનું પ્રતિબિંબ છે. ધારો કે $L$ એ $P$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $L = (6 + 3\lambda, 7 + 2\lambda, 7 - 2\lambda)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{PL} = (6 + 3\lambda - 1)\hat{i} + (7 + 2\lambda - 2)\hat{j} + (7 - 2\lambda - 3)\hat{k} = (3\lambda + 5)\hat{i} + (2\lambda + 5)\hat{j} + (4 - 2\lambda)\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{PL}$ એ રેખાના સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(3\lambda + 5)(3) + (2\lambda + 5)(2) + (4 - 2\lambda)(-2) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 - 8 + 4\lambda = 0$
$17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $L = (6 - 3, 7 - 2, 7 + 2) = (3, 5, 9)$ મળે છે.
$L$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{1 + x_1}{2} = 3 \implies x_1 = 5$
$\frac{2 + y_1}{2} = 5 \implies y_1 = 8$
$\frac{3 + z_1}{2} = 9 \implies z_1 = 15$.
આમ,બિંદુ $P(1, 2, 3)$ નું પ્રતિબિંબ $(5, 8, 15)$ છે.

(B) ધારો કે $OA$ અને $OB$ એ $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ દિક્કોસાઈનો ધરાવતી બે રેખાઓ છે. $OA = OB = 1$ લેતા,$A$ અને $B$ ના યામ $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ થાય.
ધારો કે $OC$ એ $\angle AOB$ નો આંતરિક દ્વિભાજક છે. $OA = OB$ હોવાથી,$OC$ એ $\triangle OAB$ ની મધ્યગા છે અને $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$C$ ના યામ $\left( \frac{l_1 + l_2}{2}, \frac{m_1 + m_2}{2}, \frac{n_1 + n_2}{2} \right)$ થાય.
$OC$ ના દિક્ગુણોત્તર $\left( \frac{l_1 + l_2}{2}, \frac{m_1 + m_2}{2}, \frac{n_1 + n_2}{2} \right)$ છે.
હવે,લંબાઈ $OC = \sqrt{\left( \frac{l_1 + l_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{m_1 + m_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{n_1 + n_2}{2} \right)^2}$.
$OC = \frac{1}{2} \sqrt{(l_1^2 + m_1^2 + n_1^2) + (l_2^2 + m_2^2 + n_2^2) + 2(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2)}$.
$l_i^2 + m_i^2 + n_i^2 = 1$ અને $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \cos \theta$ હોવાથી:
$OC = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 1 + 2 \cos \theta} = \frac{1}{2} \sqrt{2(1 + \cos \theta)} = \frac{1}{2} \sqrt{2(2 \cos^2(\theta/2))} = \cos(\theta/2)$.
$OC$ ના દિક્કોસાઈનો મેળવવા માટે દિક્ગુણોત્તરને લંબાઈ $OC$ વડે ભાગતા:
$\frac{l_1 + l_2}{2 \cos(\theta/2)}, \frac{m_1 + m_2}{2 \cos(\theta/2)}, \frac{n_1 + n_2}{2 \cos(\theta/2)}$.

(B) ધારો કે વાળ્યા પછીના શિરોબિંદુઓ $D(0, 0, a)$,$C(a, 0, 0)$,$A(-a, 0, 0)$,અને $B(0, -a, 0)$ છે.
રેખા $DC$ એ $(0, 0, a)$ અને $(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનો દિશા સદિશ $(a, 0, -a)$ છે,તેથી સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z-a}{-1}$ થાય.
રેખા $AB$ એ $(-a, 0, 0)$ અને $(0, -a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનો દિશા સદિશ $(a, -a, 0)$ છે,તેથી સમીકરણ $\frac{x+a}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{0}$ થાય.
બે વિષમતલીય રેખાઓ $\frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ અને $\frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \cdot (l_1 \times l_2)|}{|l_1 \times l_2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, a)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-a, 0, 0)$.
સદિશ $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (-a, 0, -a)$.
દિશા સદિશો $v_1 = (1, 0, -1)$ અને $v_2 = (1, -1, 0)$ છે.
$v_1 \times v_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = i(-1) - j(1) + k(-1) = (-1, -1, -1)$.
$|v_1 \times v_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
$d = \frac{|(-a, 0, -a) \cdot (-1, -1, -1)|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + 0 + a|}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે $P(2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k})$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $L$ એ $P$ માંથી રેખા $\vec{r} = (11\hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k}) + \lambda(10\hat{i} - 4\hat{j} - 11\hat{k})$ પર દોરેલા લંબનો લંબાપાદ છે.
રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $L$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{L} = (11 + 10\lambda)\hat{i} + (-2 - 4\lambda)\hat{j} + (-8 - 11\lambda)\hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ $\vec{PL} = \vec{L} - \vec{P} = [(11 + 10\lambda) - 2]\hat{i} + [(-2 - 4\lambda) - (-1)]\hat{j} + [(-8 - 11\lambda) - 5]\hat{k}$.
$\vec{PL} = (9 + 10\lambda)\hat{i} + (-1 - 4\lambda)\hat{j} + (-13 - 11\lambda)\hat{k}$.
કારણ કે $PL$ એ રેખાને લંબ છે,તે રેખાના દિશા સદિશ $\vec{b} = 10\hat{i} - 4\hat{j} - 11\hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{PL} \cdot \vec{b} = 0$.
$10(9 + 10\lambda) - 4(-1 - 4\lambda) - 11(-13 - 11\lambda) = 0$.
$90 + 100\lambda + 4 + 16\lambda + 143 + 121\lambda = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $\vec{L}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને લંબાપાદ $L$ ના યામ $(1, 2, 3)$ મળે છે,એટલે કે $\vec{L} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,$\vec{PL} = (1 - 2)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (3 - 5)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
લંબની લંબાઈ $|\vec{PL}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

(C) ધારો કે સમતલ $\pi: x + y + z - 3 = 0$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
ધારો કે $P'$ અને $Q'$ એ બિંદુઓ $P(0, 1, 0)$ અને $Q(0, 0, 1)$ ના સમતલ પરના પ્રક્ષેપો છે.
સદિશ $\vec{PQ} = Q - P = (0, -1, 1)$ છે.
સમતલ પર રેખાખંડ $PQ$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $L' = \sqrt{|PQ|^2 - |PQ \cdot \hat{n}|^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ સમતલનો એકમ અભિલંબ સદિશ છે.
પ્રથમ,લંબાઈ $|PQ| = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$ ગણો.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ છે.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{PQ} \cdot \hat{n} = (0, -1, 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{3}}(0 - 1 + 1) = 0$ ગણો.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,રેખાખંડ $PQ$ સમતલને સમાંતર છે.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $L'$ એ મૂળ રેખાખંડ $|PQ|$ ની લંબાઈ જેટલી જ થાય.
$L' = \sqrt{|PQ|^2 - 0^2} = |PQ| = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
સમઘનના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0), (a,0,0), (a,a,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,0,a), (a,a,a), (0,a,a)$ છે.
ધારો કે બે વિકર્ણો $OD$ અને $BG$ છે. યામ બિંદુઓ $O(0,0,0), D(a,a,a)$ અને $B(0,a,0), G(a,0,a)$ છે.
આ વિકર્ણોના દિશા સદિશો $\vec{d_1} = (a-0, a-0, a-0) = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = (a-0, 0-a, a-0) = a\hat{i} - a\hat{j} + a\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ થાય.
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(a) + (a)(-a) + (a)(a) = a^2 - a^2 + a^2 = a^2$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ અને $|\vec{d_2}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/3)$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\angle B$ શોધવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો પડશે.
$\vec{BA} = (a - 0, 0 - b, 0 - 0) = (a, -b, 0)$.
$\vec{BC} = (0 - 0, 0 - b, c - 0) = (0, -b, c)$.
શિરોબિંદુ $B$ પરના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (a)(0) + (-b)(-b) + (0)(c) = b^2$.
$|\vec{BA}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + c^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$.
તેથી,$\cos B = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{b^2 + c^2}}$.
આમ,$B = \cos^{-1} \left( \frac{b^2}{\sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)}} \right)$.

(B) ધારો કે ઘનના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0)$ અને $(a,a,a)$ છે. ચાર વિકર્ણોની દિશાઓ નીચે મુજબ છે: $\vec{d_1} = (a,a,a)$,$\vec{d_2} = (a,a,-a)$,$\vec{d_3} = (a,-a,a)$,અને $\vec{d_4} = (-a,a,a)$.
ધારો કે રેખાની દિશા $\vec{l} = (x,y,z)$ છે,જ્યાં $x^2+y^2+z^2=1$.
રેખા અને વિકર્ણ $\vec{d}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $|\vec{l} \cdot \hat{d}|$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{|x+y+z|}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{|x+y-z|}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{|x-y+z|}{\sqrt{3}}$,અને $\cos \delta = \frac{|-x+y+z|}{\sqrt{3}}$.
કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(x+y+z)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y+z)^2 + (-x+y+z)^2]$
$= \frac{1}{3} [4(x^2+y^2+z^2)] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$,તેથી:
$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

(A) ધારો કે બે આપેલી રેખાઓ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y+a}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x+a}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} = \mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (\lambda, \lambda - a, \lambda)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (2\mu - a, \mu, \mu)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(2\mu - a - \lambda, \mu - (\lambda - a), \mu - \lambda)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2\mu - a - \lambda, \mu - \lambda + a, \mu - \lambda)$ થાય છે.
રેખા $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $2, 1, 2$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2}$.
$\frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2}$ પરથી,$2\mu - 2\lambda + 2a = \mu - \lambda$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\mu - \lambda = -2a$.
આ કિંમતને $\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda}{2}$ માં મૂકતા,$2\mu - a - \lambda = \mu - \lambda$ મળે,તેથી $\mu = a$.
પછી,$a - \lambda = -2a$,જે $\lambda = 3a$ આપે છે.
$P$ માં $\lambda = 3a$ મૂકતા,$P = (3a, 3a - a, 3a) = (3a, 2a, 3a) \text{મળે}$.
$Q$ માં $\mu = a$ મૂકતા,$Q = (2a - a, a, a) = (a, a, a) \text{મળે}$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(3a, 2a, 3a)$ અને $(a, a, a)$ છે.

(D) ધારો કે $P(1, 6, 3)$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $L$ એ $P$ માંથી આપેલ રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
આપેલ રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3} = \lambda$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$L$ ના યામ $(\lambda, 2\lambda + 1, 3\lambda + 2)$ છે.
$PL$ ના દિકગુણોત્તરો $(\lambda - 1, 2\lambda + 1 - 6, 3\lambda + 2 - 3)$ એટલે કે $(\lambda - 1, 2\lambda - 5, 3\lambda - 1)$ છે.
$PL$ એ $(1, 2, 3)$ દિકગુણોત્તરો ધરાવતી રેખાને લંબ હોવાથી:
$1(\lambda - 1) + 2(2\lambda - 5) + 3(3\lambda - 1) = 0$
$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0$
$14\lambda - 14 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $L$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $L(1, 3, 5)$ મળે છે.
ધારો કે $Q(x_1, y_1, z_1)$ એ રેખામાં $P(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ છે. તો $L$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\frac{x_1 + 1}{2} = 1 \implies x_1 = 1$
$\frac{y_1 + 6}{2} = 3 \implies y_1 = 0$
$\frac{z_1 + 3}{2} = 5 \implies z_1 = 7$
આમ,આપેલ રેખામાં $P(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ $(1, 0, 7)$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(2, -1, 3)$ છે અને સમતલ $3x - 2y - z = 9$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, -2, -1)$ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 3}{-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(3\lambda + 2, -2\lambda - 1, -\lambda + 3)$ છે.
$M$ સમતલ પર હોવાથી,$3(3\lambda + 2) - 2(-2\lambda - 1) - (-\lambda + 3) = 9$.
$9\lambda + 6 + 4\lambda + 2 + \lambda - 3 = 9$.
$14\lambda + 5 = 9 \implies 14\lambda = 4 \implies \lambda = \frac{2}{7}$.
$M$ ના યામ $M\left(3(\frac{2}{7}) + 2, -2(\frac{2}{7}) - 1, -(\frac{2}{7}) + 3\right) = M\left(\frac{20}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{19}{7}\right)$ મળે.
ધારો કે $P$ નું પ્રતિબિંબ $P'(x', y', z')$ છે. $M$ એ $PP'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x' + 2}{2} = \frac{20}{7} \implies x' = \frac{40}{7} - 2 = \frac{26}{7}$.
$\frac{y' - 1}{2} = -\frac{11}{7} \implies y' = -\frac{22}{7} + 1 = -\frac{15}{7}$.
$\frac{z' + 3}{2} = \frac{19}{7} \implies z' = \frac{38}{7} - 3 = \frac{17}{7}$.
આમ,પ્રતિબિંબ $\left( \frac{26}{7}, -\frac{15}{7}, \frac{17}{7} \right)$ છે.

(D) ધારો કે રેખા પરનું બિંદુ $Q = (2\lambda + 1, 4\lambda + 3, 3\lambda + 2)$ છે.
રેખા $PQ$ એ સમતલ $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ ને સમાંતર હોવાથી,સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, 2, -2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{PQ} = (2\lambda + 1 - 3, 4\lambda + 3 - 8, 3\lambda + 2 - 2) = (2\lambda - 2, 4\lambda - 5, 3\lambda)$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ હોવાથી:
$3(2\lambda - 2) + 2(4\lambda - 5) - 2(3\lambda) = 0$
$6\lambda - 6 + 8\lambda - 10 - 6\lambda = 0$
$8\lambda - 16 = 0 \implies \lambda = 2$.
$Q$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા,$Q = (2(2) + 1, 4(2) + 3, 3(2) + 2) = (5, 11, 8)$ મળે.
અંતર $PQ = \sqrt{(5-3)^2 + (11-8)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

(C) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. શિરોબિંદુઓના યામ $O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), L(a,a,a), M(a,0,a), N(0,a,a), P(a,a,0)$ છે.
ચાર વિકર્ણો $OP, AN, BM, CL$ છે. આ વિકર્ણોના દિશા સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{d_1} = (a, a, a) \implies \hat{u_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$
$\vec{d_2} = (-a, a, a) \implies \hat{u_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$
$\vec{d_3} = (a, -a, a) \implies \hat{u_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$
$\vec{d_4} = (a, a, -a) \implies \hat{u_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$
ધારો કે રેખાના દિકકોસાઈન $(l, m, n)$ છે,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
રેખા અને વિકર્ણ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે,$|\cos \theta| = |l u_x + m u_y + n u_z|$.
તેથી,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,$\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2]$
$= \frac{1}{3} [4(l^2+m^2+n^2)] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$.

(A) ધારો કે $Q$ એ આપેલ સમતલમાં બિંદુ $P(5, 4, 6)$ નું પ્રતિબિંબ છે. તો $PQ$ એ સમતલને લંબ છે. સમતલ $x + y + 2z - 15 = 0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $1, 1, 2$ છે.
$PQ$ એ $P(5, 4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $1, 1, 2$ છે,તેથી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 6}{2} = r$
આમ,રેખા $PQ$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r + 5, r + 4, 2r + 6)$ છે.
ધારો કે $Q = (r + 5, r + 4, 2r + 6)$. $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$:
$R = \left( \frac{r + 5 + 5}{2}, \frac{r + 4 + 4}{2}, \frac{2r + 6 + 6}{2} \right) = \left( \frac{r + 10}{2}, \frac{r + 8}{2}, r + 6 \right)$
$R$ એ સમતલ $x + y + 2z - 15 = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$\frac{r + 10}{2} + \frac{r + 8}{2} + 2(r + 6) - 15 = 0$
$r + 10 + r + 8 + 4r + 24 - 30 = 0$
$6r + 12 = 0 \Rightarrow r = -2$
$Q$ ના યામમાં $r = -2$ મૂકતા:
$Q = (-2 + 5, -2 + 4, 2(-2) + 6) = (3, 2, 2)$
તેથી,પ્રતિબિંબ બિંદુ $(3, 2, 2)$ છે.

(B) ધારો કે ઘનની બાજુ $a$ છે. શિરોબિંદુઓના યામ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ છે.
ઘનના ચાર વિકર્ણો એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ છે. ધારો કે તે $d_1, d_2, d_3, d_4$ છે.
આ વિકર્ણોના દિક્-ગુણોત્તરો $(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1)$ છે.
ધારો કે આપેલી રેખાના દિક્-કોસાઇન $(l, m, n)$ છે,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
દિક્-કોસાઇન $(l, m, n)$ વાળી રેખા અને દિક્-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ વાળી રેખા વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|l a_1 + m b_1 + n c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$ દ્વારા મળે છે.
ચાર વિકર્ણો માટે,ખૂણા $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \alpha = \frac{l+m+n}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{l+m-n}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{l-m+n}{\sqrt{3}}$,$\cos \delta = \frac{-l+m+n}{\sqrt{3}}$.
તેમનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (l+m-n)^2 + (l-m+n)^2 + (-l+m+n)^2]$
$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ]$
કારણ કે $l^2+m^2+n^2 = 1$,તેથી સરવાળો $\frac{4}{3} \times 1 = \frac{4}{3}$ થાય.

(C) ધારો કે ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(0, \beta, 0)$ છે કારણ કે તે $y$-અક્ષ પર છે.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\det(\vec{A}-\vec{D}, \vec{B}-\vec{D}, \vec{C}-\vec{D})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{A}-\vec{D} = (2, 1-\beta, -1)$,$\vec{B}-\vec{D} = (3, -\beta, 1)$,$\vec{C}-\vec{D} = (2, -1-\beta, 3)$.
ઘનફળ $= \frac{1}{6} |\det \begin{bmatrix} 2 & 1-\beta & -1 \\ 3 & -\beta & 1 \\ 2 & -1-\beta & 3 \end{bmatrix}| = 5$.
$|\det \begin{bmatrix} 2 & 1-\beta & -1 \\ 3 & -\beta & 1 \\ 2 & -1-\beta & 3 \end{bmatrix}| = 30$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(-3\beta - (-1-\beta)) - (1-\beta)(9-2) + (-1)(-3(1+\beta) - (-2\beta)) = 30$.
$-4\beta + 2 - 7 + 7\beta + 3 + \beta = 30$.
$4\beta - 2 = 30$ અથવા $4\beta - 2 = -30$.
$4\beta = 32 \Rightarrow \beta = 8$.
$4\beta = -28 \Rightarrow \beta = -7$.
યામ $\beta$ ની શક્ય કિંમતો $8$ અને $-7$ છે.
યામોનો સરવાળો $8 + (-7) = 1$ થાય છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસ પેટીના પરિમાણો $x, y, z$ અક્ષો પર અનુક્રમે $2a, 2b, 2c$ છે. કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર છે.
શિરોબિંદુઓને $A(-a, b, c)$,$B(a, b, -c)$,અને $C(-a, -b, -c)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ઉગમબિંદુથી સદિશો $\vec{OB} = a\hat{i} + b\hat{j} - c\hat{k}$,$\vec{OC} = -a\hat{i} - b\hat{j} - c\hat{k}$,અને $\vec{OA} = -a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
તેમના માન $|OB| = |OC| = |OA| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\cos \alpha = \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC}}{|OB||OC|}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \alpha = \frac{(a)(-a) + (b)(-b) + (-c)(-c)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{-a^2 - b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$.
તે જ રીતે,$\cos \beta = \frac{\vec{OC} \cdot \vec{OA}}{|OC||OA|} = \frac{(-a)(-a) + (-b)(b) + (-c)(c)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{a^2 - b^2 - c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$.
અને $\cos \gamma = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|OA||OB|} = \frac{(-a)(a) + (b)(b) + (c)(-c)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{-a^2 + b^2 - c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{(-a^2 - b^2 + c^2) + (a^2 - b^2 - c^2) + (-a^2 + b^2 - c^2)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{-a^2 - b^2 - c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1$.

(B) સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$BC = \sqrt{(4-3)^2 + (2-4)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$CA = \sqrt{(2-4)^2 + (3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
અહીં $AB = BC = CA = \sqrt{6}$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ એ $\sqrt{6}$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
બિંદુ $D$ એ $A, B,$ અને $C$ થી $\sqrt{6}$ અંતરે છે,એટલે કે $DA = DB = DC = \sqrt{6}$.
આમ,$ABCD$ એ એક નિયમિત ચતુષ્ફલક છે જેની તમામ ધાર $\sqrt{6}$ છે.
નિયમિત ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
$a = \sqrt{6}$ મૂકતા:
$V = \frac{(\sqrt{6})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$ ઘન એકમ.

(A) ધારો કે દરેક દડાની ત્રિજ્યા $r = 2 \, cm$ છે. નીચેના ત્રણ દડાઓના કેન્દ્રો $4 \, cm$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે.
ધારો કે $G$ એ $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. શિરોબિંદુથી મધ્યકેન્દ્રનું અંતર $AG = \frac{2}{3} \times (2r \sin 60^{\circ}) = \frac{2r}{\sqrt{3}}$ છે.
ચોથા દડાનું કેન્દ્ર $D$ એ $A, B, C$ કેન્દ્રો સાથે નિયમિત ચતુષ્ફલક બનાવે છે. $ABC$ ના સમતલથી $D$ ની ઊભી ઊંચાઈ $h$ એ $h^2 + AG^2 = (2r)^2$ દ્વારા મળે છે.
$h = 2r \sqrt{\frac{2}{3}}$.
ટેબલથી ચોથા દડાના સૌથી ઊંચા બિંદુની કુલ ઊંચાઈ $H = h + 2r$ છે.
$H = 2r \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 1 \right) = 4 \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 1 \right)$.

(B) બે વિરુદ્ધ ધાર ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} abd \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ ધારની લંબાઈ છે,$d$ તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે અને $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $AB = 12$,$CD = 12$,$d = EF = 10$ અને $\theta = 90^\circ$ છે.
તેથી,$V = \frac{1}{6} \times 12 \times 12 \times 10 \times \sin(90^\circ)$.
$V = \frac{1}{6} \times 144 \times 10 \times 1$.
$V = 24 \times 10 = 240$.

(D) $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = (2, 1, 0)$ છે.
જેમ કે $G$ એ $BM$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left( \frac{3+2+1}{3}, \frac{0+10+2}{3}, \frac{-1+6+1}{3} \right) = (2, 4, 2)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{OG} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{OA} = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA} = (2)(3) + (4)(0) + (2)(-1) = 6 - 2 = 4$ છે.
માન $|\overrightarrow{OG}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.
માન $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ છે.
આમ,$\cos(\angle GOA) = \frac{\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OG}| |\overrightarrow{OA}|} = \frac{4}{(2\sqrt{6})(\sqrt{10})} = \frac{4}{2\sqrt{60}} = \frac{2}{2\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$.

(A) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(4, 0, 0)$ અને $(-4, 0, 0)$ છે.
આપેલ છે કે $PA + PB = 10$.
$\Rightarrow \sqrt{(x-4)^{2} + y^{2} + z^{2}} + \sqrt{(x+4)^{2} + y^{2} + z^{2}} = 10$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$9x^{2} + 25y^{2} + 25z^{2} - 225 = 0$.

(C) ધારો કે નિયમિત ચતુષ્ફલકની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ધારો કે $G$ એ નિયમિત ચતુષ્ફલકનું કેન્દ્ર (મધ્યકેન્દ્ર) છે અને $A, B, C$ શિરોબિંદુઓ છે.
$a$ બાજુવાળા નિયમિત ચતુષ્ફલકના કેન્દ્ર $G$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $G$ અને $a$ લંબાઈની ધારના બે શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle GAB$ માં,બાજુઓ $GA = GB = R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ અને $AB = a$ છે.
ખૂણા $\theta = \angle AGB$ માટે $\triangle GAB$ માં કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$\cos \theta = \frac{GA^2 + GB^2 - AB^2}{2 \cdot GA \cdot GB}$
$\cos \theta = \frac{(\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 + (\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 - a^2}{2 \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a) \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a)}$
$\cos \theta = \frac{\frac{6}{16}a^2 + \frac{6}{16}a^2 - a^2}{2 \cdot \frac{6}{16}a^2}$
$\cos \theta = \frac{\frac{12}{16}a^2 - a^2}{\frac{12}{16}a^2} = \frac{\frac{3}{4}a^2 - a^2}{\frac{3}{4}a^2}$
$\cos \theta = \frac{-\frac{1}{4}a^2}{\frac{3}{4}a^2} = -\frac{1}{3}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$.

(A) ધારો કે લંબઘનની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે $l, b$ અને $h$ છે.
આપેલ છે કે ફલકના વિકર્ણોની લંબાઈ $39, 40$ અને $41$ છે:
$l^2 + b^2 = 39^2$
$b^2 + h^2 = 40^2$
$h^2 + l^2 = 41^2$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 39^2 + 40^2 + 41^2$
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 1521 + 1600 + 1681$
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 4802$
$l^2 + b^2 + h^2 = 2401$
લંબઘનના મુખ્ય વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ દ્વારા મળે છે.
લંબાઈ $= \sqrt{2401} = 49$.

(D) બિંદુ $P(1,3,2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda+1, 2\lambda+3, \lambda+2)$ છે.
આ રેખા સમતલ $L_1: x-y+3z=6$ ને $Q$ માં છેદે છે,તેથી:
$(\lambda+1) - (2\lambda+3) + 3(\lambda+2) = 6$
$\lambda+1-2\lambda-3+3\lambda+6 = 6$
$2\lambda + 4 = 6 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$Q = (1+1, 2(1)+3, 1+2) = (2,5,3)$.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (5-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$Q(2,5,3)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1: x-y+3z=6$ ને લંબ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, -1, 3)$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-3}{3} = t$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(t+2, 5-t, 3t+3)$ છે.
આ રેખા $L_2: 2x-y+z=-4$ ને $R$ માં છેદે છે:
$2(t+2) - (5-t) + (3t+3) = -4$
$2t+4-5+t+3t+3 = -4$
$6t + 2 = -4 \Rightarrow 6t = -6 \Rightarrow t = -1$.
આમ,$R = (-1+2, 5-(-1), 3(-1)+3) = (1,6,0)$. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.
$\triangle PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{1+2+1}{3}, \frac{3+5+6}{3}, \frac{2+3+0}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે. તેથી,$(C)$ $TRUE$ છે.
પરિમિતિ $PQ + QR + RP = \sqrt{6} + \sqrt{(1-2)^2 + (6-5)^2 + (0-3)^2} + \sqrt{(1-1)^2 + (6-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{6} + \sqrt{1+1+9} + \sqrt{0+9+4} = \sqrt{6} + \sqrt{11} + \sqrt{13}$. તેથી,$(D)$ $TRUE$ છે.

(C) ધારો કે ધાર $AB, AC$ અને $AD$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $c, b$ અને $d$ છે. ધાર પરસ્પર લંબ હોવાથી,ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$Ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} bc = 5 \implies bc = 10$
$Ar(\triangle ACD) = \frac{1}{2} bd = 6 \implies bd = 12$
$Ar(\triangle ADB) = \frac{1}{2} cd = 7 \implies cd = 14$
કાટખૂણો ધરાવતા ચતુષ્ફલક માટે,સામેની બાજુનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{(Ar(\triangle ABC))^2 + (Ar(\triangle ACD))^2 + (Ar(\triangle ADB))^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{5^2 + 6^2 + 7^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{25 + 36 + 49}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{110}$

(C) ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $P(5, -7, 0)$,$Q(a, 5, 3)$,$R(4, -6, b)$ અને $S(6, c, 2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{5+a+4+6}{4}, \frac{-7+5-6+c}{4}, \frac{0+3+b+2}{4}\right) = \left(\frac{15+a}{4}, \frac{-8+c}{4}, \frac{b+5}{4}\right)$ થાય.
આને $(4, -3, 2)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{15+a}{4} = 4 \Rightarrow a = 1$.
$\frac{-8+c}{4} = -3 \Rightarrow c = -4$.
$\frac{b+5}{4} = 2 \Rightarrow b = 3$.
તેથી,$2a + 3b + c = 2(1) + 3(3) - 4 = 2 + 9 - 4 = 7$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P(0,3,0)$,$Q(0,0,4)$ અને $R(0,3,4)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = 5$
$QR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = 3$
$PR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = 4$
અંતઃકેન્દ્ર $I(x,y,z)$ નું સૂત્ર:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$
અહીં $a=3$,$b=4$,$c=5$.
$I = \left( \frac{3(0)+4(0)+5(0)}{12}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{12}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{12} \right)$
$I = (0, 2, 3)$

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ અને $C(-2,0,2)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = 2$
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = 3$
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = 3$
અંતઃકેન્દ્ર $I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{2(0,2,1) + 3(-2,0,0) + 3(-2,0,2)}{2 + 3 + 3}$
$I = \frac{(-12, 4, 8)}{8} = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ અને $C(-2,0,2)$ છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2$.
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
અંતઃકેન્દ્ર $I$ ના યામ $\left(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$I = \left(\frac{2(0) + 3(-2) + 3(-2)}{2+3+3}, \frac{2(2) + 3(0) + 3(0)}{2+3+3}, \frac{2(1) + 3(0) + 3(2)}{2+3+3}\right)$.
$I = \left(\frac{0 - 6 - 6}{8}, \frac{4 + 0 + 0}{8}, \frac{2 + 0 + 6}{8}\right)$.
$I = \left(-\frac{12}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(D) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{a}-\vec{d}) \cdot ((\vec{b}-\vec{d}) \times (\vec{c}-\vec{d})))|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બીજી રીતે,$V = \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle ABC) \times h$,જ્યાં $h$ એ $D$ માંથી દોરેલો વેધ છે.
પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB} = (2, -2, -3)$ અને $\vec{AC} = (4, 0, 6)$ મેળવો.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-12, -24, 8)$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{n}| = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576 + 64} = 14$ ચોરસ એકમ.
ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{AD}) \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})|$. $\vec{AD} = (-7, -7, 7)$.
$V = \frac{1}{6} |(-7, -7, 7) \cdot (-12, -24, 8)| = \frac{308}{6} = \frac{154}{3}$.
$V = \frac{1}{3} \times 14 \times h = \frac{154}{3}$ લેતા,$14h = 154$,તેથી $h = 11$ એકમ.

(C) ધારો કે $P = (x, y, z)$. આપેલ છે કે $A = (2, 3, 4)$ અને $B = (-2, 3, 4)$.
$PA + PB = 4$. અંતર $AB = \sqrt{(-2-2)^2 + (3-3)^2 + (4-4)^2} = 4$ હોવાથી,$PA + PB = AB$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
રેખાખંડ $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,$y=3$ અને $z=4$ થાય.
આમ,બિંદુપથ $(y-3)^2 + (z-4)^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે $y^2+z^2-6y-8z+25=0$ છે.

(A) આપેલ મૂળ સમીકરણ: $2x^2 + 3y^2 - z^2 - 8x + 18y + 2z + 9 = 0$. \\ અક્ષોનું બિંદુ $(h, k, l) = (2, -3, 1)$ પર સ્થળાંતર કરવામાં આવે છે. \\ રૂપાંતર સમીકરણો $x = X + 2$,$y = Y - 3$,અને $z = Z + 1$ છે. \\ આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: \\ $2(X + 2)^2 + 3(Y - 3)^2 - (Z + 1)^2 - 8(X + 2) + 18(Y - 3) + 2(Z + 1) + 9 = 0$ \\ પદોનું વિસ્તરણ કરતા: \\ $2(X^2 + 4X + 4) + 3(Y^2 - 6Y + 9) - (Z^2 + 2Z + 1) - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ $2X^2 + 8X + 8 + 3Y^2 - 18Y + 27 - Z^2 - 2Z - 1 - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ સમાન પદોને ભેગા કરતા: \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 + (8X - 8X) + (-18Y + 18Y) + (-2Z + 2Z) + (8 + 27 - 1 - 16 - 54 + 2 + 9) = 0$ \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 - 25 = 0$ \\ તેથી,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 = 25$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 1)$ અને $C(3, 1, 2)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{6}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{6}$.
આમ,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $(H)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$,પરિકેન્દ્ર $(S)$ અને અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ એક જ બિંદુ પર હોય છે.
તેથી,$H = G = S = I = \left(\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}\right) = (2, 2, 2)$.
તેથી,$H+G+S+I = (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) = (8, 8, 8)$.

(A) આપેલ છે કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2,3,5), B(\alpha, 3,3)$ અને $C(7,5, \beta)$ છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left(\frac{\alpha+7}{2}, 4, \frac{3+\beta}{2}\right)$ છે.
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તર $\left(\frac{\alpha+3}{2}, 1, \frac{\beta-7}{2}\right)$ છે.
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{\alpha+3}{2} = 1$ અને $\frac{\beta-7}{2} = 1$.
આ ઉકેલતા,$\alpha = -1$ અને $\beta = 9$ મળે છે.
તેથી,$\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{9}\right)$.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$ અને $B(-2, 3, 4)$ છે.
અંતર $AB = 4$ છે.
$PA + PB = 4$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
તેથી,$y = 3$ અને $z = 4$ થાય.
આથી,$(y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $y^2 + z^2 - 6y - 8z + 25 = 0$ મળે છે.