Plane Questions in Gujarati

(D) સમતલનું સમીકરણ $3x + 4y + 12z - 52 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $p$ શોધવાનું સૂત્ર $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $p = \frac{|3(0) + 4(0) + 12(0) - 52|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}}$.
$p = \frac{|-52|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{52}{\sqrt{169}} = \frac{52}{13} = 4$.
આમ,$4$ એ વિકલ્પો $A, B, C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ $(2, 6, 3)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે.
સદિશ $\vec{OP}$ એ સમતલ માટે અભિલંબ સદિશ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $\vec{n} = \vec{OP} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો $a=2, b=6, c=3$ અને $(x_1, y_1, z_1) = (2, 6, 3)$ મૂકતા:
$2(x - 2) + 6(y - 6) + 3(z - 3) = 0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x - 4 + 6y - 36 + 3z - 9 = 0$
$2x + 6y + 3z - 49 = 0$
$2x + 6y + 3z = 49$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સમતલના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં ફેરવીએ.
આપેલ સમીકરણ: $5x - 3y + 6z = 60$.
આખા સમીકરણને $60$ વડે ભાગતા:
$\frac{5x}{60} - \frac{3y}{60} + \frac{6z}{60} = \frac{60}{60}$
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{12} - \frac{y}{20} + \frac{z}{10} = 1$
આને પ્રમાણિત અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{x}{12} + \frac{y}{-20} + \frac{z}{10} = 1$
આને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને અંતઃખંડો $a = 12$,$b = -20$,અને $c = 10$ મળે છે.
આમ,અંતઃખંડો $(12, -20, 10)$ છે.

(C) સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $ax + by + cz + d = 0$ છે,જ્યાં $(a, b, c)$ એ સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તરો છે.
જો કોઈ સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો અભિલંબ $x$-અક્ષને લંબ હોવો જોઈએ.
$x$-અક્ષના દિક-ગુણોત્તરો $(1, 0, 0)$ છે.
અભિલંબ $(a, b, c)$ એ $x$-અક્ષ $(1, 0, 0)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$a(1) + b(0) + c(0) = 0 \implies a = 0$.
સામાન્ય સમીકરણમાં $a = 0$ મૂકતા,આપણને $0x + by + cz + d = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $by + cz + d = 0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $A(-1, 3, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x + 1) + B(y - 3) + C(z - 0) = 0$ છે ... $(i)$.
સમતલ બિંદુઓ $B(2, 2, 1)$ અને $C(1, 1, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$3A - B + C = 0$ ... $(ii)$.
$2A - 2B + 3C = 0$ ... $(iii)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ ને ઉકેલતા:
$\frac{A}{-3 + 2} = \frac{B}{2 - 9} = \frac{C}{-6 + 2} \implies \frac{A}{-1} = \frac{B}{-7} = \frac{C}{-4}$.
તેથી,દિશા ગુણોત્તર $(1, 7, 4)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા: $1(x + 1) + 7(y - 3) + 4(z) = 0 \implies x + 7y + 4z - 20 = 0$.
બિંદુ $D(5, 7, 8)$ થી સમતલ $x + 7y + 4z - 20 = 0$ નું અંતર:
$d = \frac{|1(5) + 7(7) + 4(8) - 20|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + 4^2}} = \frac{|5 + 49 + 32 - 20|}{\sqrt{66}} = \frac{66}{\sqrt{66}} = \sqrt{66}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 5x + 6 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 2)(x - 3) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 2$ અથવા $x = 3$.
ત્રિ-પરિમાણીય $xyz$ યામ પદ્ધતિમાં,સમીકરણ $x = k$ (જ્યાં $k$ અચળ છે) એ $yz$-સમતલને સમાંતર સમતલ દર્શાવે છે.
તેથી,$x = 2$ અને $x = 3$ એ $yz$-સમતલને સમાંતર બે અલગ-અલગ સમતલો દર્શાવે છે.
આમ,આ સમીકરણ સમતલોની જોડી દર્શાવે છે.

(A) સમીકરણો $|x| = p$,$|y| = p$,અને $|z| = p$ એ યામ સમતલોને સમાંતર સમતલો દર્શાવે છે.
ચોક્કસ રીતે,$|x| = p$ એ $x = p$ અને $x = -p$ એમ બે સમતલો દર્શાવે છે.
તે જ રીતે,$|y| = p$ એ $y = p$ અને $y = -p$ દર્શાવે છે,અને $|z| = p$ એ $z = p$ અને $z = -p$ દર્શાવે છે.
આ છ સમતલો ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $2p$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમઘનની સીમાઓ નક્કી કરે છે,જેના ફલકો યામ સમતલોને સમાંતર હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $by + cz + d = 0$ છે.
આને $0 \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (0, b, c)$ છે.
$YOZ$ સમતલ (અથવા $yz$-સમતલ) નું સમીકરણ $x = 0$ છે,જેને $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$YOZ$ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (1, 0, 0)$ છે.
બે સમતલો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0 \times 1) + (b \times 0) + (c \times 0) = 0 + 0 + 0 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સમતલ $by + cz + d = 0$ એ $YOZ$ સમતલને લંબ છે.

(A) $ax + by + cz + d = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + k = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલ $x + 2y + 5z = 0$ છે,તેથી તેને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સ્વરૂપ $x + 2y + 5z + k = 0$ હશે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1) + 2(2) + 5(3) + k = 0$
$1 + 4 + 15 + k = 0$
$20 + k = 0$
$k = -20$
$k = -20$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x + 2y + 5z - 20 = 0$ મળે છે,અથવા $x + 2y + 5z = 20$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સમીકરણ $(x - 1) + 2(y - 2) + 5(z - 3) = 0$ નું સાદું રૂપ $x - 1 + 2y - 4 + 5z - 15 = 0$ થાય છે,જે $x + 2y + 5z - 20 = 0$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) $5x - 6y + 7z = 3$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $5x - 6y + 7z = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સમતલ $(2, 3, 4)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$5(2) - 6(3) + 7(4) = k$
$10 - 18 + 28 = k$
$20 = k$
$k$ ની કિંમત સમીકરણમાં પાછી મૂકતા,આપણને $5x - 6y + 7z = 20$ મળે છે,જેને $5x - 6y + 7z - 20 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર:
અંતર $= \frac{|d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
અહીં,સમતલનું સમીકરણ $6x - 3y + 2z - 14 = 0$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$,$b = -3$,$c = 2$,અને $d = -14$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
અંતર $= \frac{|-14|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}}$
$= \frac{14}{\sqrt{36 + 9 + 4}}$
$= \frac{14}{\sqrt{49}}$
$= \frac{14}{7} = 2$.
આમ,સમતલનું ઉગમબિંદુથી અંતર $2$ એકમ છે.

(A) બે સમતલો $P_1: ax + by + cz + d = 0$ અને $P_2: a'x + b'y + c'z + d' = 0$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ લઘુકોણમાં ત્યારે આવેલું હોય જો $P_1(0,0,0)$ અને $P_2(0,0,0)$ ના ચિહ્નો $aa' + bb' + cc'$ ના ચિહ્નો જેવા જ હોય અને અચળ પદોનો ગુણાકાર $dd' > 0$ હોય.
ચોક્કસપણે,જો $aa' + bb' + cc' < 0$ હોય,તો ઉગમબિંદુ લઘુકોણમાં આવેલું હોય જો $d$ અને $d'$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,જેનો અર્થ છે કે $dd' > 0$.

(C) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $2x + y + 2z - 8 = 0$ અને $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $x, y, z$ ના સહગુણકો સમાન બનાવીએ.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $4x + 2y + 4z - 16 = 0$.
હવે,સમતલો $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ અને $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ છે.
અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં,$A = 4, B = 2, C = 4, D_1 = -16, D_2 = 5$.
$d = \frac{|-16 - 5|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|-21|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{21}{\sqrt{36}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.

(A) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ અને $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
અહીં,અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ અને $\vec{n_2} = (-5, 3, 4)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(-5) + (2)(3) + (2)(4)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 4^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-5 + 6 + 8|}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{25 + 9 + 16}}$
$\cos \theta = \frac{9}{\sqrt{9} \sqrt{50}}$
$\cos \theta = \frac{9}{3 \times 5\sqrt{2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\cos \theta = \frac{3 \times \sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}}{10} \right)$.

(B) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ માટે,બિંદુ $P(1, 1, k)$ નું અંતર $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(k) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12k|}{13}$ થાય.
બિંદુ $Q(-3, 0, 1)$ નું અંતર $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ થાય.
બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી,$d_1 = d_2$,તેથી $\frac{|20 - 12k|}{13} = \frac{8}{13}$.
આથી $|20 - 12k| = 8$,જેના બે કિસ્સા મળે:
કિસ્સો $1$: $20 - 12k = 8 \Rightarrow 12k = 12 \Rightarrow k = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12k = -8 \Rightarrow 12k = 28 \Rightarrow k = \frac{7}{3}$.
વિકલ્પોમાં $k=1$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $1$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે અને બિંદુ $P$ એ $(1, 2, -3)$ છે.
સમતલ $OP$ ને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{OP}$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$\vec{n} = \vec{OP} = (1 - 0)\hat{i} + (2 - 0)\hat{j} + (-3 - 0)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો $a=1, b=2, c=-3$ અને $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, -3)$ મૂકતા:
$1(x - 1) + 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 - 3z - 9 = 0$
$x + 2y - 3z - 14 = 0$.

(B) $(1, 2, 0)$ અને $(4, 13, 5)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(4 - 1, 13 - 2, 5 - 0) = (3, 11, 5)$ મળે છે.
રેખા સમતલને લંબ હોવાથી,રેખાના દિક-ગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + d = 0$ છે.
તેથી,સમતલના સમીકરણમાં $x, y$ અને $z$ ના સહગુણકો એ અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર છે,જે $3, 11, 5$ છે.

(D) બિંદુ $(1, 1, 1)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ નું સમતલ $x + y + z + k = 0$ થી અંતર $\frac{|1 + 1 + 1 + k|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|k + 3|}{\sqrt{3}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઉગમબિંદુથી અંતર એ સમતલથી અંતર કરતા અડધું છે:
$\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \frac{|k + 3|}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ $2\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$2 \times 3 = |k + 3|$
$|k + 3| = 6$.
આથી $k + 3 = 6$ અથવા $k + 3 = -6$.
આમ,$k = 3$ અથવા $k = -9$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમતલના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a, b$ અને $c$ છે. તેથી,બિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ થશે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 4)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \implies b = 6$
$\frac{c}{3} = 4 \implies c = 12$
સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1$ મળે છે.
આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા,આપણને $4x + 2y + z = 12$ મળે છે.

(A) સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ અંતઃખંડો $a = 8, b = 4, c = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{8} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$ મળે છે.
$8$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 2y + 2z = 8$ અથવા $x + 2y + 2z - 8 = 0$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 1, B = 2, C = 2, D = -8$ છે.
તેથી,$d = \frac{|-8|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{8}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$ અને $B(3, -5, 6)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{AB} = (3 - (-1), -5 - 2, 6 - 3) = (4, -7, 3)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left( \frac{-1+3}{2}, \frac{2-5}{2}, \frac{3+6}{2} \right) = \left( 1, -\frac{3}{2}, \frac{9}{2} \right)$ છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4(x - 1) - 7(y + \frac{3}{2}) + 3(z - \frac{9}{2}) = 0$.
$4x - 4 - 7y - \frac{21}{2} + 3z - \frac{27}{2} = 0$.
$4x - 7y + 3z - 4 - \frac{48}{2} = 0$.
$4x - 7y + 3z - 4 - 24 = 0$.
$4x - 7y + 3z = 28$.

(A) રેખા $P(4, -1, 2)$ અને $Q(-3, 2, 3)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
આ રેખાના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-3 - 4, 2 - (-1), 3 - 2) = (-7, 3, -1)$ છે.
રેખા સમતલને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર રેખાના દિકગુણોત્તર સમાન એટલે કે $(-7, 3, -1)$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (7, -3, 1)$ લઈ શકીએ છીએ.
સમતલ $(-10, 5, 4)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$7(x - (-10)) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$.
$7(x + 10) - 3(y - 5) - (z - 4) = 0$.
$7x + 70 - 3y + 15 - z + 4 = 0$.
$7x - 3y - z + 89 = 0$.

(A) બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને દુભાગતું સમતલ તે રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થવું જોઈએ.
ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$ અને $B(6, 7, 8)$ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા,આપણને $M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 7}{2}, \frac{4 + 8}{2} \right) = (4, 5, 6)$ મળે છે.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયો વિકલ્પ બિંદુ $(4, 5, 6)$ દ્વારા સંતોષાય છે:
વિકલ્પ $A$ માટે: $x + y + z - 15 = 0 \implies 4 + 5 + 6 - 15 = 15 - 15 = 0$. આ સમીકરણ સંતોષાય છે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $x + y + z - 15 = 0$ છે.

(C) રેખાના દિકગુણોત્તર $(3, 0, 4)$ છે. સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,આ દિકગુણોત્તર સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ બનશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(A, B, C)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3(x - 1) + 0(y - 1) + 4(z - 1) = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$3x - 3 + 4z - 4 = 0$,એટલે કે $3x + 4z - 7 = 0$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3, B = 0, C = 4, D = -7$.
$d = \frac{|-7|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} = \frac{7}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{7}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, -1, -3)$ મૂકતા,આપણને $A(x - 2) + B(y + 1) + C(z + 3) = 0$ મળે છે.
સમતલ રેખાઓ $(3, 2, -4)$ અને $(2, -3, 2)$ ની દિશામાં સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$3A + 2B - 4C = 0$ અને $2A - 3B + 2C = 0$.
અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$A = (2)(2) - (-3)(-4) = 4 - 12 = -8$
$B = -((3)(2) - (2)(-4)) = -(6 + 8) = -14$
$C = (3)(-3) - (2)(2) = -9 - 4 = -13$
તેથી,અભિલંબ સદિશ $(-8, -14, -13)$ છે.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $-8(x - 2) - 14(y + 1) - 13(z + 3) = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ મળે છે.
વિસ્તરણ કરતા: $8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$.
સરળ બનાવતા,$8x + 14y + 13z + 37 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે $PA^2 - PB^2 = k$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2$ અને $PB^2 = (x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 4)^2$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2] - [(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 4)^2] = k$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 8z + 16) - (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 + z^2 + 8z + 16) = k$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 8z + 29) - (x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 10y + 8z + 45) = k$
$-8x + 4y - 16z - 16 = k$
આ $x, y, z$ માં $ax + by + cz + d = 0$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જે એક સમતલ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ છે.
સમતલ $x + 2y + 2z = 5$ અને $3x + 3y + 2z = 8$ ને લંબ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (1, 2, 2)$ અને $\vec{n}_2 = (3, 3, 2)$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
બિંદુ $(1, -3, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(-2, 4, -3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-2(x - 1) + 4(y + 3) - 3(z + 2) = 0$
$-2x + 2 + 4y + 12 - 3z - 6 = 0$
$-2x + 4y - 3z + 8 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $2x - 4y + 3z - 8 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી આ સમતલનું અંતર $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ મળે છે.
અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી યામ સમતલોને સમાંતર દોરેલા સમતલો $P(x, y, z) = (a, b, c)$ બિંદુએ છેદે છે.
અંતરના સમીકરણમાં $a=x, b=y, c=z$ મૂકતા,છેદબિંદુનો બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{1}{p^2}$ થાય છે.

(D) રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તરો $(1, 1, 1)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $(a, a, a)$ છે. સદિશ $\vec{OP}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે,તેથી અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ છે,જે $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$(a, a, a)$ માંથી પસાર થતા અને $(1, 1, 1)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$1(x - a) + 1(y - a) + 1(z - a) = 0$
$x + y + z = 3a$
અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{X} + \frac{y}{Y} + \frac{z}{Z} = 1$ માં લખીએ:
$\frac{x}{3a} + \frac{y}{3a} + \frac{z}{3a} = 1$
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $X = 3a$,$Y = 3a$,અને $Z = 3a$ છે.
અંતઃખંડોના વ્યસ્તોનો સરવાળો:
$\frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} = \frac{3}{3a} = \frac{1}{a}$.

(B) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમતલો $x + 2y + 3z - 4 = 0$ અને $4x + 3y + 2z + 1 = 0$ છે.
તેથી,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $(x + 2y + 3z - 4) + \lambda(4x + 3y + 2z + 1) = 0$ છે.
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=0, y=0, z=0$ મૂકીએ:
$(0 + 0 + 0 - 4) + \lambda(0 + 0 + 0 + 1) = 0$
$-4 + \lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
હવે $\lambda = 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + 2y + 3z - 4) + 4(4x + 3y + 2z + 1) = 0$
$x + 2y + 3z - 4 + 16x + 12y + 8z + 4 = 0$
$17x + 14y + 11z = 0$.

(B) $(1, 0, 0)$ અને $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{c} = 1$ લખી શકાય,જ્યાં $c$ એ $z$-અંતઃખંડ છે.
આ સમીકરણ $x + y + \frac{z}{c} = 1$ થાય છે.
આ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(1, 1, \frac{1}{c})$ છે.
આપેલ સમતલ $x + y = 3$ છે,અને તેના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(1, 1, 0)$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1(1) + 1(1) + \frac{1}{c}(0)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (\frac{1}{c})^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} \cdot \sqrt{2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$1 = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 + \frac{1}{c^2} = 4$.
$\frac{1}{c^2} = 2 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી દિકગુણોત્તરો $(1, 1, \frac{1}{c}) = (1, 1, \sqrt{2})$ મળે છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસ અક્ષોની પ્રથમ સિસ્ટમમાં સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી આ સમતલનું લંબ અંતર $p$ એ $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$.
તે જ રીતે,લંબચોરસ અક્ષોની બીજી સિસ્ટમ માટે,તે જ સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} + \frac{z}{c'} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુથી આ સમતલનું લંબ અંતર $p$ સમાન છે,તેથી $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$.
$\frac{1}{p^2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$.
તેથી,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} - \frac{1}{a'^2} - \frac{1}{b'^2} - \frac{1}{c'^2} = 0$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $P = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલ $3x - 6y + 2z + 11 = 0$ માટે,છેદ $\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
બિંદુ $(2, 3, 4)$ માટે,${P_1} = \frac{|3(2) - 6(3) + 2(4) + 11|}{7} = \frac{|6 - 18 + 8 + 11|}{7} = \frac{|7|}{7} = 1$.
બિંદુ $(1, 1, 4)$ માટે,${P_2} = \frac{|3(1) - 6(1) + 2(4) + 11|}{7} = \frac{|3 - 6 + 8 + 11|}{7} = \frac{|16|}{7} = \frac{16}{7}$.
${P_1}$ અને ${P_2}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(P - P_1)(P - P_2) = 0$ છે,જે $P^2 - (P_1 + P_2)P + P_1P_2 = 0$ થાય.
બીજનો સરવાળો: $P_1 + P_2 = 1 + \frac{16}{7} = \frac{23}{7}$.
બીજનો ગુણાકાર: $P_1P_2 = 1 \times \frac{16}{7} = \frac{16}{7}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $P^2 - \frac{23}{7}P + \frac{16}{7} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $7P^2 - 23P + 16 = 0$ મળે છે.

(A) ચતુષ્ફલકની બે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો તેમના લંબ સદિશો $n_1$ અને $n_2$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો હોય છે.
બાજુ $OAB$ માટે,લંબ સદિશ $n_1$ એ સદિશો $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$n_1 = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
બાજુ $ABC$ માટે,લંબ સદિશ $n_2$ એ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$n_2 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ લંબ સદિશો $n_1$ અને $n_2$ વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1| |n_2|} = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{25+1+9} \sqrt{1+25+9}} = \frac{19}{35}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(C) સમતલ $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ છે અને સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \langle 1, 2, -1 \rangle$ છે.
માંગેલું સમતલ $P_1$ અને $P_2$ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ ને સમાંતર હશે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 2) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(4 + 1) = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\langle -1, 3, 5 \rangle$ છે.
બિંદુ $(-1, 3, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\langle -1, 3, 5 \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-1(x - (-1)) + 3(y - 3) + 5(z - 2) = 0$
$-1(x + 1) + 3(y - 3) + 5(z - 2) = 0$
$-x - 1 + 3y - 9 + 5z - 10 = 0$
$-x + 3y + 5z - 20 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x - 3y - 5z + 20 = 0$ મળે છે.

(D) સમતલોના સમીકરણો $P_1 : 2x - y + z - 2 = 0$ અને $P_2 : x + 2y - z - 3 = 0$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજક માટેનું સૂત્ર $\frac{a_1x + b_1y + c_1z + d_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2z + d_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2x - y + z - 2}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \pm \frac{x + 2y - z - 3}{\sqrt{1 + 4 + 1}}$.
$\sqrt{6} = \sqrt{6}$ હોવાથી,$2x - y + z - 2 = \pm (x + 2y - z - 3)$ મળે.
કિસ્સો $1$ (ધન ચિહ્ન): $2x - y + z - 2 = x + 2y - z - 3 \Rightarrow x - 3y + 2z + 1 = 0$.
કિસ્સો $2$ (ઋણ ચિહ્ન): $2x - y + z - 2 = -x - 2y + z + 3 \Rightarrow 3x + y - 5 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ ને સમાવતા ખૂણાના દ્વિભાજક માટે,$d_1$ અને $d_2$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ. અહીં $d_1 = -2$ અને $d_2 = -3$ છે,જે સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. તેથી,ધન ચિહ્ન વાળું સમીકરણ ઉગમબિંદુને સમાવતા ખૂણાનો દ્વિભાજક છે. આમ,ઋણ ચિહ્ન વાળું સમીકરણ ઉગમબિંદુને ન સમાવતા ખૂણાનો દ્વિભાજક છે: $3x + y - 5 = 0$.

(D) બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જેને $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2)(2) + (3)(-1) + (-4)(2)$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 4 - 3 - 8 = -7$.
કાર્તેંઝિયન સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરવા માટે,ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = -7$
$2x - y + 2z = -7$.
આમ,સમતલનું કાર્તેંઝિયન સમીકરણ $2x - y + 2z = -7$ છે.

(C) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ છે.
અહીં,$\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માન શોધતા: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(A) સમતલો $2x - y + z = 6$ અને $x + y + 2z = 3$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માનની ગણતરી: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi / 3$.

(C) આપેલ સમતલો $2x - y + z = 6$ અને $x + y + 2z = 3$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^o$ મળે છે.

(A) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં,$A = 2$,$B = -3$,$C = 6$,અને $D = 14$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|14|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$d = \frac{14}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$d = \frac{14}{\sqrt{49}}$
$d = \frac{14}{7} = 2$
આમ,અંતર $2$ એકમ છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 3z + 4 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $Ax + By + Cz + D = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, -3)$ મળે છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{A}{|\vec{n}|}, \frac{B}{|\vec{n}|}, \frac{C}{|\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,દિક્કોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,સમીકરણને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-x - 2y + 3z - 4 = 0$ મળે છે,જેની દિક્કોસાઇન $-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ રેખા સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ બનશે.
સમતલ બિંદુ $A(2, 3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\vec{r} - (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$.
$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2)(1) + (3)(-1) + (1)(2) = 2 - 3 + 2 = 1$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 1$ છે.

(A) બે સમાંતર સમતલો $ax + by + cz + d_1 = 0$ અને $ax + by + cz + d_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $D$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$D = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
અહીં આપેલ સમતલો $ax + by + cz + d = 0$ અને $ax + by + cz + d' = 0$ છે,તેથી $d_1 = d$ અને $d_2 = d'$ લેતા,
અંતર $\frac{|d - d'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $2x + y + 2z - 8 = 0$ અને $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ છે.
$x, y, z$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$4x + 2y + 4z - 16 = 0$
હવે,સમતલો $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ અને $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 4, B = 2, C = 4, D_1 = -16, D_2 = 5$.
$d = \frac{|-16 - 5|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|-21|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{21}{\sqrt{36}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.

(A) બિંદુ $\vec{a} = (2, 3, -1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x - 2)(3) + (y - 3)(-4) + (z + 1)(7) = 0$ મળે છે.
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$.
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3, B = -4, C = 7, D = 13$ છે.
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $\vec{n}$ ને અભિલંબ સમતલનું સદિશ સમીકરણ:
$(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ અથવા $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n} \dots (i)$
આપેલ છે કે સમતલ બિંદુ $(3, -3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\vec{a} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$.
સમતલ એ $A(3, 4, -1)$ અને $B(2, -1, 5)$ ને જોડતી રેખાને અભિલંબ છે. તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB}$:
$\vec{n} = \vec{AB} = (2 - 3)\hat{i} + (-1 - 4)\hat{j} + (5 - (-1))\hat{k} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $\vec{a}$ અને $\vec{n}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\vec{r} \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = (3\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = (3)(-1) + (-3)(-5) + (1)(6)$
$\vec{r} \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = -3 + 15 + 6 = 18$.
કાર્તઝિયન સમીકરણ મેળવવા માટે,$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ લેતા:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = 18$
$-x - 5y + 6z = 18$
$x + 5y - 6z + 18 = 0$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{X}{a} + \frac{Y}{b} + \frac{Z}{c} = 1$ છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી એકમ અંતરે હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1$.
બિંદુઓના યામ $P(a, 0, 0)$,$Q(0, b, 0)$ અને $R(0, 0, c)$ છે.
$\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,અને $z = \frac{c}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 3x$,$b = 3y$,અને $c = 3z$.
આ કિંમતોને સમતલની શરતમાં મૂકતા: $\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = 1$.
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = 1$.
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 9$.
તેથી,$k = 9$.

(B) સમતલ $x + y + z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x + y + z + \lambda = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે,જ્યાં $\lambda$ એક અચળાંક છે.
આ સમતલ બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\alpha + \beta + \gamma + \lambda = 0$
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = -(\alpha + \beta + \gamma)$ મળે છે.
$\lambda$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + y + z - (\alpha + \beta + \gamma) = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x + y + z = \alpha + \beta + \gamma$ મળે છે.

(C) બિંદુ $A(2, 2, -1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું વ્યાપક સમીકરણ:
$a(x - 2) + b(y - 2) + c(z + 1) = 0 \dots(i)$
સમતલ બિંદુઓ $B(3, 4, 2)$ અને $C(7, 0, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$B(3, 4, 2)$ માટે: $a(3 - 2) + b(4 - 2) + c(2 + 1) = 0 \implies a + 2b + 3c = 0 \dots(ii)$
$C(7, 0, 6)$ માટે: $a(7 - 2) + b(0 - 2) + c(6 + 1) = 0 \implies 5a - 2b + 7c = 0 \dots(iii)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $(ii)$ અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$\frac{a}{(2)(7) - (3)(-2)} = \frac{b}{(3)(5) - (1)(7)} = \frac{c}{(1)(-2) - (2)(5)}$
$\frac{a}{14 + 6} = \frac{b}{15 - 7} = \frac{c}{-2 - 10}$
$\frac{a}{20} = \frac{b}{8} = \frac{c}{-12} \implies \frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{-3} = k$
આમ,$a = 5k, b = 2k, c = -3k$. આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા:
$5k(x - 2) + 2k(y - 2) - 3k(z + 1) = 0$
$5(x - 2) + 2(y - 2) - 3(z + 1) = 0$
$5x - 10 + 2y - 4 - 3z - 3 = 0$
$5x + 2y - 3z = 17$.