Functional Equations Questions in Hindi

(C) माना $u = x + y$ और $v = x - y$ है।
तब $x = \frac{u + v}{2}$ और $y = \frac{u - v}{2}$ है।
अतः,$f(u, v) = \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{u - v}{2} \right) = \frac{u^2 - v^2}{4}$ है।
इसलिए,$f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4}$ और $f(y, x) = \frac{y^2 - x^2}{4}$ है।
$f(x, y)$ और $f(y, x)$ का समांतर माध्य $\frac{f(x, y) + f(y, x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2 - y^2}{4} + \frac{y^2 - x^2}{4} \right) = \frac{1}{2} (0) = 0$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x)f(y)$ सभी $x, y \in N$ के लिए।
$x = 1$ के लिए,$f(2) = f(1+1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$।
$x = 3$ के लिए,$f(3) = f(2+1) = f(2)f(1) = 3^2 \times 3 = 3^3 = 27$।
गणितीय आगमन द्वारा,$f(x) = 3^x$।
हमें दिया गया है कि $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$।
$f(x) = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{x=1}^n 3^x = 120$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 3$,सार्व अनुपात $r = 3$ और $n$ पद हैं।
योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$ है।
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$।
$3(3^n - 1) = 240$।
$3^n - 1 = 80$।
$3^n = 81$।
चूंकि $81 = 3^4$,इसलिए $n = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = bx^2 + cx + d$।
हमें सर्वसमिका $f(x + 1) - f(x) = 8x + 3$ दी गई है।
सर्वसमिका में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$[b(x + 1)^2 + c(x + 1) + d] - [bx^2 + cx + d] = 8x + 3$
पदों का विस्तार करने पर:
$[b(x^2 + 2x + 1) + cx + c + d] - bx^2 - cx - d = 8x + 3$
व्यंजक को सरल करने पर:
$bx^2 + 2bx + b + cx + c + d - bx^2 - cx - d = 8x + 3$
$2bx + b + c = 8x + 3$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$2b = 8 \Rightarrow b = 4$
$b + c = 3 \Rightarrow 4 + c = 3 \Rightarrow c = -1$
अतः,$b = 4$ और $c = -1$ प्राप्त होता है।

(A) हमें $f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$ दिया गया है।
व्यंजक $f(x + y) + f(x - y)$ पर विचार करें:
$f(x + y) + f(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
$= \frac{1}{2} [a^{x+y} + a^{-x-y} + a^{x-y} + a^{-x+y}]$
$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$
$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$
चूँकि $f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$,इसलिए $(a^x + a^{-x}) = 2f(x)$ और $(a^y + a^{-y}) = 2f(y)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{2} [2f(x)] [2f(y)]$
$= 2f(x)f(y)$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x - 1}$.
हमें $\frac{f(a)}{f(a + 1)}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$f(a) = \frac{a}{a - 1}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$f(a + 1) = \frac{a + 1}{(a + 1) - 1} = \frac{a + 1}{a}$ ज्ञात करें।
अब,दोनों व्यंजकों को विभाजित करें:
$\frac{f(a)}{f(a + 1)} = \frac{\frac{a}{a - 1}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{a}{a - 1} \times \frac{a}{a + 1} = \frac{a^2}{a^2 - 1}$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर,$f(a^2) = \frac{a^2}{a^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{f(a)}{f(a + 1)} = f(a^2)$।

(A) दिया गया है कि $\phi (x) = a^x$ है।
$x = p$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi (p) = a^p$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\{ \phi (p) \} ^3$ का मान ज्ञात करना है।
$\phi (p)^3 = (a^p)^3$ है।
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{mn}$ का उपयोग करने पर,हमें $(a^p)^3 = a^{3p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\phi (x) = a^x$ है,इसलिए $\phi (3p) = a^{3p}$ होगा।
अतः,$\{ \phi (p) \} ^3 = \phi (3p)$।

(C) दिया गया है कि $f(x + ay, x - ay) = axy$ ..... $(i)$
मान लीजिए $u = x + ay$ और $v = x - ay$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $u + v = 2x \implies x = \frac{u + v}{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $u - v = 2ay \implies y = \frac{u - v}{2a}$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(u, v) = a \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{u - v}{2a} \right)$
$f(u, v) = a \left( \frac{u^2 - v^2}{4a} \right)$
$f(u, v) = \frac{u^2 - v^2}{4}$
अतः,$u$ को $x$ और $v$ को $y$ से बदलने पर,हमें $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{y}$.
समीकरण $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{y}$ से,दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर हमें $\frac{x - 1}{x} = y$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $1 - \frac{1}{x} = y$ या $\frac{1}{x} = 1 - y$ मिलता है।
अतः,$x = \frac{1}{1 - y}$.
अब,हमें $f(y)$ ज्ञात करना है। चूंकि $f(x) = \frac{x}{x - 1}$,फलन की परिभाषा में $x$ के स्थान पर $y$ रखने पर:
$f(y) = \frac{y}{y - 1}$.
$f(y)$ के व्यंजक में $y = \frac{x - 1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(y) = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x - 1}{x} - 1} = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x - 1 - x}{x}} = \frac{x - 1}{-1} = 1 - x$.
इस प्रकार,$f(y) = 1 - x$.

(C) दिया गया फलन समीकरण: $f(x - y) = f(x)f(y) - f(a - x)f(a + y)$.
चरण $1$: $f(a)$ ज्ञात करें।
समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0 - 0) = f(0)f(0) - f(a - 0)f(a + 0)$
$f(0) = (f(0))^2 - (f(a))^2$
चूँकि $f(0) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = 1^2 - (f(a))^2$
$(f(a))^2 = 0 \Rightarrow f(a) = 0$.
चरण $2$: $f(2a - x)$ ज्ञात करें।
मूल समीकरण में $x = a$ और $y = x - a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(a - (x - a)) = f(a)f(x - a) - f(a - a)f(a + x - a)$
$f(2a - x) = 0 \cdot f(x - a) - f(0)f(x)$
चूँकि $f(0) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$f(2a - x) = -f(x)$.

(C) फलन $f(x) = x - [x]$ को भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) के रूप में जाना जाता है,जिसे $\{x\}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,हमारे पास $[x + n] = [x] + n$ होता है।
इसलिए,$f(x + 1) = (x + 1) - [x + 1] = x + 1 - ([x] + 1) = x - [x] = f(x)$।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x + 1) = f(x)$ है,इसलिए यह फलन $1$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है।

(C) $g(x)$ को एक विषम फलन होने के लिए,इसे $g(-x) = -g(x)$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $g(x) + g(-x) = 0$.
दिया गया है $g(x) = x^3 + \tan x + \left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right]$.
तब $g(-x) = (-x)^3 + \tan(-x) + \left[ \frac{(-x)^2 + 1}{P} \right] = -x^3 - \tan x + \left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right]$.
इनका योग करने पर,$g(x) + g(-x) = 2 \left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right] = 0$.
इसका अर्थ है कि सभी $x \in [-2, 2]$ के लिए $\left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right] = 0$ होना चाहिए।
महत्तम पूर्णांक फलन के शून्य होने के लिए,हमारे पास $0 \le \frac{x^2 + 1}{P} < 1$ होना चाहिए।
चूंकि $x \in [-2, 2]$,$x^2 + 1$ का अधिकतम मान $2^2 + 1 = 5$ है।
अतः,हमें $\frac{5}{P} < 1$ की आवश्यकता है,जो दर्शाता है कि $P > 5$।

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x_1) - f(x_2) = f\left( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \right)$ है।
मान लीजिए $x_1 = \tan \theta_1$ और $x_2 = \tan \theta_2$। तब व्यंजक $f(\tan \theta_1) - f(\tan \theta_2) = f(\tan(\theta_1 - \theta_2))$ बन जाता है।
यह लघुगणकीय और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का एक विशिष्ट गुण है।
$1$. यदि $f(x) = \log \frac{1 - x}{1 + x}$ है,तो $f(x_1) - f(x_2) = \log \frac{1 - x_1}{1 + x_1} - \log \frac{1 - x_2}{1 + x_2} = \log \left( \frac{1 - x_1}{1 + x_1} \cdot \frac{1 + x_2}{1 - x_2} \right)$।
$2$. यदि $f(x) = \tan^{-1} \frac{1 - x}{1 + x} = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x)$ है,तो $f(x_1) - f(x_2) = (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x_1) - (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x_2) = \tan^{-1} x_2 - \tan^{-1} x_1 = -\tan^{-1} \left( \frac{x_1 - x_2}{1 + x_1 x_2} \right)$।
फलन समीकरण की संरचना को देखते हुए,सभी दिए गए विकल्प विशिष्ट स्थितियों के तहत इस संबंध को संतुष्ट करते हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(B) दिया गया फलन समीकरण: $3f(x) + 2f\left( \frac{x + 59}{x - 1} \right) = 10x + 30$
मान लीजिए $g(x) = \frac{x + 59}{x - 1}$ है।
$x = 7$ के लिए,$g(7) = \frac{7 + 59}{7 - 1} = \frac{66}{6} = 11$।
समीकरण में $x = 7$ रखने पर: $3f(7) + 2f(11) = 10(7) + 30 = 100$ (समीकरण $1$)।
$x = 11$ के लिए,$g(11) = \frac{11 + 59}{11 - 1} = \frac{70}{10} = 7$।
समीकरण में $x = 11$ रखने पर: $3f(11) + 2f(7) = 10(11) + 30 = 140$ (समीकरण $2$)।
हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली है:
$3f(7) + 2f(11) = 100$
$2f(7) + 3f(11) = 140$
समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9f(7) + 6f(11) = 300$
$4f(7) + 6f(11) = 280$
पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर:
$(9 - 4)f(7) = 300 - 280$
$5f(7) = 20$
$f(7) = 4$।

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x) = cx$ है।
चूंकि $f(1) = 7$,हमें $c(1) = 7$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 7$ है।
अतः,$f(x) = 7x$ है।
अब,हमें योग $\sum_{r = 1}^n f(r) = \sum_{r = 1}^n 7r$ की गणना करनी है।
यह $7 \sum_{r = 1}^n r$ के रूप में सरल हो जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{r = 1}^n r = \frac{n(n + 1)}{2}$ है।
इसलिए,$\sum_{r = 1}^n f(r) = 7 \times \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{7n(n + 1)}{2}$।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ है।
$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x) = f(x) - f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f(1) = 0$.
किसी भी $x, y > 0$ के लिए,समीकरण $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ लघुगणकीय फलन (logarithmic function) की विशेषता है।
मान लीजिए $f(x) = c \ln x$.
शर्त $f(e) = 1$ का उपयोग करने पर,$c \ln e = 1$,जिससे $c(1) = 1$,अतः $c = 1$.
इस प्रकार,$f(x) = \ln x$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $f(x) = \ln x$ सही है।
$(B)$ $f(x) = \ln x$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिबद्ध नहीं है।
$(C)$ जैसे $x \to 0$,$f\left( \frac{1}{x} \right) = \ln\left( \frac{1}{x} \right) = -\ln x \to \infty$.
$(D)$ जैसे $x \to 0$,$x f(x) = x \ln x$. $L$'Hopital के नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} (-x) = 0 \neq 1$.

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ है।
$y = 0$ रखने पर,हमें $f(x + 0) = f(x)f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = f(x)f(0)$। चूंकि $f(5) = 2$,$f(x)$ शून्य नहीं है,इसलिए $f(0) = 1$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$।
$f(x + h) = f(x)f(h)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 1$,यह $f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f(x)f'(0)$ हो जाता है।
दिया गया है कि $f(5) = 2$ और $f'(0) = 3$,इसलिए $f'(5) = f(5)f'(0) = 2 \times 3 = 6$।

(A) दिया गया है कि सभी $x, y \in N$ के लिए $f(x + y) = f(x) f(y)$ है।
गणितीय आगमन द्वारा,$f(x) = [f(1)]^x$ होता है।
चूँकि $f(1) = 3$,इसलिए $f(x) = 3^x$ है।
अब,हमें $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$ दिया गया है।
$f(x) = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sum_{x=1}^n 3^x = 120$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 3$,सार्व अनुपात $r = 3$ और $n$ पद हैं।
योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$.
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$.
$3(3^n - 1) = 240$.
$3^n - 1 = 80$.
$3^n = 81$.
$3^n = 3^4$.
अतः,$n = 4$।

(B) दिया गया समीकरण: $f(x) + 2f(1/x) = 3x$ ........$(1)$
$x$ को $1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f(1/x) + 2f(x) = 3/x$ ........$(2)$
समीकरण $(2)$ से,$f(1/x) = 3/x - 2f(x)$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$f(x) + 2(3/x - 2f(x)) = 3x$
$f(x) + 6/x - 4f(x) = 3x$
$-3f(x) = 3x - 6/x$
$f(x) = 2/x - x$
अब,समुच्चय $S$ के लिए,हम $f(x) = f(-x)$ को हल करते हैं:
$2/x - x = 2/(-x) - (-x)$
$2/x - x = -2/x + x$
$4/x = 2x$
$2/x = x$
$x^2 = 2$
$x = \pm \sqrt{2}$
अतः,$S = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$.
इसलिए,$S$ में ठीक दो अवयव हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $f(a + x) = b + [b^3 + 1 - 3b^2f(x) + 3b\{f(x)\}^2 - \{f(x)\}^3]^{1/3}$.
घनमूल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1 - (f(x) - b)^3$.
अतः,$f(a + x) = b + [1 - (f(x) - b)^3]^{1/3}$.
मान लीजिए $\phi(x) = f(x) - b$. तब समीकरण $\phi(a + x) = [1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3}$ बन जाता है।
अब,$\phi(x + 2a)$ ज्ञात कीजिए:
$\phi(x + 2a) = \phi(a + (x + a)) = [1 - \{\phi(x + a)\}^3]^{1/3}$.
$\phi(x + a) = [1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\phi(x + 2a) = [1 - ([1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3})^3]^{1/3}$.
$\phi(x + 2a) = [1 - (1 - \{\phi(x)\}^3)]^{1/3} = [\{\phi(x)\}^3]^{1/3} = \phi(x)$.
चूंकि $\phi(x + 2a) = \phi(x)$,इसलिए $f(x + 2a) - b = f(x) - b$,जिसका अर्थ है $f(x + 2a) = f(x)$.
अतः,$f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $2a$ है।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।
$x=1, y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = f(1) + f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$.
अवकलज की परिभाषा के अनुसार:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
गुणधर्म $f(xy) = f(x) + f(y)$ का उपयोग करके,हम $f(x+h) = f(x(1 + \frac{h}{x})) = f(x) + f(1 + \frac{h}{x})$ लिख सकते हैं।
इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) + f(1 + \frac{h}{x}) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + \frac{h}{x})}{h}$
चूंकि $f(1) = 0$,हम $f(1 + \frac{h}{x}) = f(1 + \frac{h}{x}) - f(1)$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = \frac{h}{x}$। जैसे $h \to 0$,वैसे ही $t \to 0$।
$f'(x) = \lim_{t \to 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{xt} = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t}$
$x=1$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{t \to 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t} = f'(1)$।
अतः,$f'(x) = \frac{f'(1)}{x}$।

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x) \cdot f(1/x) = f(x) + f(1/x)$ है।
माना $f(x) = 1 + g(x)$,तो $(1 + g(x))(1 + g(1/x)) = 1 + g(x) + 1 + g(1/x)$.
$1 + g(x) + g(1/x) + g(x)g(1/x) = 2 + g(x) + g(1/x)$.
$g(x)g(1/x) = 1$,जिसका अर्थ है $g(x) = x^n$ या $g(x) = -x^n$.
अतः,$f(x) = 1 + x^n$ या $f(x) = 1 - x^n$.
दिया है $f(2) = 9$,तो $1 + 2^n = 9 \Rightarrow 2^n = 8 \Rightarrow n = 3$.
इसलिए,$f(x) = x^3 + 1$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$f(1) = 1^3 + 1 = 2$,$f(3) = 3^3 + 1 = 28$. $14 \times f(1) = 14 \times 2 = 28 = f(3)$. अतः $(B)$ सही है।
$f(5) = 5^3 + 1 = 126$. $9 \times f(3) = 9 \times 28 = 252$. $2 \times f(5) = 2 \times 126 = 252$. अतः $(C)$ सही है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया समीकरण कौशी का फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ है।
यदि $f$ किसी एक बिंदु पर सतत है,तो $f(x) = cx$ होता है,जो हर जगह सतत है।
हालाँकि,यदि हम सांतत्य की धारणा नहीं करते हैं,तो ऐसे गैर-रेखीय समाधान (Hamel basis का उपयोग करके) मौजूद हैं जो हर जगह असतत हैं।
इस प्रकार,$f(x)$ सतत हो सकता है (जैसे,$f(x) = cx$) या $f(x)$ असतत हो सकता है (गैर-रेखीय समाधान)।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों संभव हैं।

(D) दिया गया फलन समीकरण: $f\left( \frac{x + 8y}{9} \right) = \frac{f(x) + 8f(y)}{9}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y$ को अचर मानते हुए:
$f'\left( \frac{x + 8y}{9} \right) \cdot \frac{1}{9} = \frac{f'(x)}{9}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $f'\left( \frac{x + 8y}{9} \right) = f'(x)$ हो जाता है।
उपरोक्त समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$f'\left( \frac{8y}{9} \right) = f'(0)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f'(0) = 2$ दिया गया है,इसलिए $f'\left( \frac{8y}{9} \right) = 2$ है।
मान लीजिए $t = \frac{8y}{9}$,तो $y = \frac{9t}{8}$। चूंकि $y$ कोई भी वास्तविक संख्या है,इसलिए $t$ भी कोई भी वास्तविक संख्या है। अतः,सभी $t$ के लिए $f'(t) = 2$ है।
$f'(t) = 2$ का समाकलन करने पर $f(t) = 2t + C$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त $f(0) = -5$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = 2(0) + C = -5 \implies C = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $f(x) = 2x - 5$ है।
$f(7)$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ है।
सबसे पहले,$x=1$ और $y=1$ रखकर $f(1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = \frac{f(1)}{1} \implies f(1) = f(1)$.
मूल समीकरण में $x=1$ रखने पर हमें $f(y) = \frac{f(1)}{y}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(1) = c$,तो $f(y) = \frac{c}{y}$ होगा।
हमें $f(30) = 20$ दिया गया है,इसलिए:
$20 = \frac{c}{30} \implies c = 600$.
अतः,फलन $f(x) = \frac{600}{x}$ है।
अब,$f(40)$ की गणना करते हैं:
$f(40) = \frac{600}{40} = 15$.

(A) दिया गया समीकरण: $3f(2x^2 - 3x + 5) + 2f(3x^2 - 2x + 4) = x^2 - 7x + 9$ $\dots(1)$
$f(5)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $f$ के तर्कों को देखते हैं।
स्थिति $1$: $(1)$ में $x = 0$ रखने पर:
$3f(5) + 2f(4) = 9$ $\dots(2)$
स्थिति $2$: $(1)$ में $x = 1$ रखने पर:
$3f(2(1)^2 - 3(1) + 5) + 2f(3(1)^2 - 2(1) + 4) = 1^2 - 7(1) + 9$
$3f(4) + 2f(5) = 3$ $\dots(3)$
अब हमारे पास $f(5)$ और $f(4)$ में दो रैखिक समीकरण हैं:
$3f(5) + 2f(4) = 9$
$2f(5) + 3f(4) = 3$
समीकरण $(2)$ को $3$ से और $(3)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9f(5) + 6f(4) = 27$ $\dots(4)$
$4f(5) + 6f(4) = 6$ $\dots(5)$
समीकरण $(4)$ में से $(5)$ को घटाने पर:
$(9f(5) - 4f(5)) = 27 - 6$
$5f(5) = 21$
$f(5) = \frac{21}{5}$

(A) माना $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$. दिया गया है कि $f(x) = \sqrt{m}$,इसलिए $L = \sqrt{m}$।
समीकरण $f(x) = \frac{1}{3}\left[ f(x + 6) + \frac{6}{f(x + 7)} \right]$ में $x \to \infty$ लेने पर:
$L = \frac{1}{3}\left[ L + \frac{6}{L} \right]$
$3L = L + \frac{6}{L}$
$2L = \frac{6}{L}$
$2L^2 = 6$
$L^2 = 3$
चूंकि $L = \sqrt{m}$,इसलिए $(\sqrt{m})^2 = 3$,जिसका अर्थ है कि $m = 3$।

(B) दी गई असमिका: $f\left( x - \frac{4}{9} \right) + 2x \le \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9} \le f\left( x + \frac{4}{9} \right) - 2x$.
माना $g(x) = \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9}$.
असमिका को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $f\left( x - \frac{4}{9} \right) \le g(x) - 2x$ और $g(x) + 2x \le f\left( x + \frac{4}{9} \right)$.
माना $x - \frac{4}{9} = t$,तो $x = t + \frac{4}{9}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $f(t) \le \frac{9}{4}(t + \frac{4}{9})^2 + \frac{8}{9} - 2(t + \frac{4}{9}) = \frac{9}{4}t^2 + 2t + \frac{4}{9} + \frac{8}{9} - 2t - \frac{8}{9} = \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$.
इसी प्रकार,दूसरे भाग के लिए,माना $x + \frac{4}{9} = t$,तो $x = t - \frac{4}{9}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $f(t) \ge \frac{9}{4}(t - \frac{4}{9})^2 + \frac{8}{9} + 2(t - \frac{4}{9}) = \frac{9}{4}t^2 - 2t + \frac{4}{9} + \frac{8}{9} + 2t - \frac{8}{9} = \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$.
चूंकि $f(t) \le \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$ और $f(t) \ge \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$,इसलिए $f(x) = \frac{9}{4}x^2 + \frac{4}{9}$ होना चाहिए।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{9}{4}x^2 + \frac{4}{9} \right) = \frac{9}{2}x$.
$f''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{9}{2}x \right) = \frac{9}{2}$.
अतः,$f''(2) = \frac{9}{2}$.

(C) दिया गया है $f(a) = a^2 + a + 1$.
हमें $f(a^2) = 3f(a)$ को हल करना है।
फलन में $a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(a^2) = (a^2)^2 + a^2 + 1 = a^4 + a^2 + 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $a^4 + a^2 + 1 = 3(a^2 + a + 1)$ बन जाता है।
$a^4 + a^2 + 1 = 3a^2 + 3a + 3$.
$a^4 - 2a^2 - 3a - 2 = 0$.
यदि $a = -1$ रखें,तो $(-1)^4 - 2(-1)^2 - 3(-1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$ प्राप्त होता है। अतः $(a+1)$ एक गुणनखंड है।
$a^4 - 2a^2 - 3a - 2$ को $(a+1)$ से विभाजित करने पर $(a+1)(a^3 - a^2 - a - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$a^3 - a^2 - a - 2$ में $a=2$ रखने पर: $8 - 4 - 2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है। अतः $(a-2)$ एक गुणनखंड है।
$a^3 - a^2 - a - 2$ को $(a-2)$ से विभाजित करने पर $(a-2)(a^2 + a + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,समीकरण $(a+1)(a-2)(a^2 + a + 1) = 0$ है।
हल $a = -1$,$a = 2$ और $a^2 + a + 1 = 0$ के मूल हैं।
$a^2 + a + 1$ का विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ है,इसलिए इस भाग से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता है।
अतः,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(C) प्रतिबंध $f(7 - x) = f(7 + x)$ यह दर्शाता है कि फलन $f(x)$ रेखा $x = 7$ के परितः सममित है।
मान लीजिए कि $f(x) = 0$ के $5$ भिन्न वास्तविक मूल $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं।
चूंकि फलन $x = 7$ के परितः सममित है,यदि $x_i$ एक मूल है,तो $14 - x_i$ भी एक मूल होना चाहिए।
$5$ भिन्न मूलों के लिए,एक मूल को सममिति की धुरी पर होना चाहिए,अतः $x_3 = 7$ है।
शेष मूलों को $7$ के परितः सममित जोड़े बनाने चाहिए,जिससे $\frac{x_1 + x_5}{2} = 7$ और $\frac{x_2 + x_4}{2} = 7$ प्राप्त होता है।
इससे $x_1 + x_5 = 14$ और $x_2 + x_4 = 14$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = (x_1 + x_5) + (x_2 + x_4) + x_3 = 14 + 14 + 7 = 35$ है।
अतः,$S/7 = 35/7 = 5$।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f\left( \frac{5x - 3y}{5 - 3} \right) = \frac{5f(x) - 3f(y)}{5 - 3}$ है।
यह कौशी (Cauchy) फलन समीकरण का एक रूप है,जो यह दर्शाता है कि $f(x)$ एक रैखिक फलन $f(x) = ax + b$ के रूप में है।
$f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $f(x) = ax + b$ में $x = 0$ रखने पर $b = 1$ प्राप्त होता है।
$f'(0) = 2$ दिया गया है,$f(x) = ax + 1$ का अवकलन करने पर $f'(x) = a$ मिलता है,अतः $a = 2$ है।
इस प्रकार,फलन $f(x) = 2x + 1$ है।
हमें $\sin(f(x)) = \sin(2x + 1)$ का आवर्तकाल ज्ञात करना है।
$\sin(kx + c)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए आवर्तकाल $\frac{2\pi}{2} = \pi$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,यह कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x) = cx$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$.
दिया गया है कि $f(x) = (2x^2 + 3x)g(x)$,इसलिए $f(h) = (2h^2 + 3h)g(h)$.
इस मान को अवकलन के सूत्र में रखने पर: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(2h^2 + 3h)g(h)}{h} = \lim_{h \to 0} (2h + 3)g(h)$.
चूंकि $g(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{h \to 0} g(h) = g(0) = 3$.
अतः,$f'(x) = (2(0) + 3) \times 3 = 3 \times 3 = 9$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x)f(y)$ है।
$f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
दिए गए समीकरण $f(x+h) = f(x)f(h)$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$
चूंकि $f(0+0) = f(0)f(0)$,इसलिए $f(0) = f(0)^2$। दिया गया है कि $f(0) \neq 0$,अतः $f(0) = 1$।
इस प्रकार,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = 3$।
इस मान को $f'(x)$ के समीकरण में रखने पर:
$f'(x) = f(x) \cdot f'(0) = 3f(x)$।
$x = 5$ पर:
$f'(5) = 3f(5) = 3 \times 2 = 6$।

(A) दिए गए कौशी फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ के लिए,हल $f(x) = cx$ के रूप में है।
चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $c(1) = 1$,अतः $c = 1$। इस प्रकार,$f(x) = x$ है।
व्यंजक $\lim_{x \to 0} \frac{2^{\tan x} - 2^{\sin x}}{\tan x - \sin x}$ बन जाता है।
$u = \tan x$ और $v = \sin x$ लेने पर,जैसे ही $x \to 0$,$u \to 0$ और $v \to 0$ होता है।
व्यंजक $\lim_{x \to 0} \frac{2^{\tan x} - 2^{\sin x}}{\tan x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2^{\sin x}(2^{\tan x - \sin x} - 1)}{\tan x - \sin x}$ है।
मानक सीमा $\lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln a$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = \tan x - \sin x$:
$= \lim_{x \to 0} 2^{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2^{\tan x - \sin x} - 1}{\tan x - \sin x} = 2^0 \cdot \ln 2 = \ln 2 = \log_e 2$।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।
$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर,हमें $f(1) = f(1) + f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$।
अब,$x$ को स्थिर रखते हुए $y$ के सापेक्ष दिए गए समीकरण का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dy} f(xy) = \frac{d}{dy} (f(x) + f(y))$
$f'(xy) \cdot x = f'(y)$।
$y = 1$ रखने पर,हमें $x \cdot f'(x) = f'(1)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f'(1) = k$,तो $f'(x) = \frac{k}{x}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = k \ln(x) + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(1) = 0$,इसलिए $k \ln(1) + C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
अतः,$f(x) = k \ln(x)$।
अब,$f(e) + f(1/e)$ की गणना करें:
$f(e) = k \ln(e) = k(1) = k$।
$f(1/e) = k \ln(1/e) = k \ln(e^{-1}) = -k \ln(e) = -k$।
इसलिए,$f(e) + f(1/e) = k + (-k) = 0$।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$ है।
माना $f(x) = 1 + x^n$ या $f(x) = 1 - x^n$ है।
दिया है कि $f(4) = 65$ है।
यदि $f(x) = 1 + x^n$ है,तो $1 + 4^n = 65 \implies 4^n = 64 \implies 4^n = 4^3 \implies n = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = x^3 + 1$ है।
अब,$f(6) = 6^3 + 1 = 216 + 1 = 217$ है।
इसलिए,$f(6)$ का मान $217$ है।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ है।
$xy$ से विभाजित करने पर: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$.
मान लीजिए $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. तब $g(xy) = g(x) + g(y) - 2$.
मान लीजिए $h(x) = g(x) - 2$. तब $h(xy) + 2 = h(x) + 2 + h(y) + 2 - 2$,जो $h(xy) = h(x) + h(y)$ में सरल हो जाता है।
यह कौशी का फलन समीकरण है,इसलिए $h(x) = c \ln x$.
अतः,$\frac{f(x)}{x} - 2 = c \ln x$,या $f(x) = cx \ln x + 2x$.
दिया है कि $f'(x) = c \ln x + c + 2$.
$x = 1$ पर,$f'(1) = c(0) + c + 2 = 3$,इसलिए $c = 1$.
अतः,$f(x) = x \ln x + 2x$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$f(x) = x \ln x + 2x$ विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(D) दिए गए फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ और $f(1) = 2$ से,हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी $x \in \mathbb{N}$ के लिए $f(x) = 2^x$ है।
दिया गया योग $\sum\limits_{k = 1}^{10} {f(a + k)} = 16(2^{10} - 1)$ है।
$f(x) = 2^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum\limits_{k = 1}^{10} {2^{a + k}} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a(2^1 + 2^2 + ... + 2^{10}) = 16(2^{10} - 1)$
कोष्ठक के अंदर का योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $2$ और सार्व अनुपात $2$ है:
$2^a \cdot \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a \cdot 2(2^{10} - 1) = 16(2^{10} - 1)$
दोनों पक्षों को $2(2^{10} - 1)$ से विभाजित करने पर:
$2^a = \frac{16}{2} = 8$
$2^a = 2^3$
अतः,$a = 3$.

(A) दिया गया फलन $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ है।
$t(28)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $C = 28$ प्रतिस्थापित करें:
$t(28) = \frac{9 \times 28}{5} + 32$
$t(28) = \frac{252}{5} + 32$
$t(28) = 50.4 + 32$
$t(28) = 82.4$

(A) दिया गया फलन $f = \{(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)\}$ है जो $f(x) = ax + b$ द्वारा परिभाषित है।
बिंदु $(0, -1) \in f$ का उपयोग करने पर,हमें $f(0) = -1$ प्राप्त होता है।
$f(x) = ax + b$ में $x = 0$ रखने पर,$a(0) + b = -1$,जिसका अर्थ है $b = -1$ है।
बिंदु $(1, 1) \in f$ का उपयोग करने पर,हमें $f(1) = 1$ प्राप्त होता है।
$f(x) = ax + b$ में $x = 1$ और $b = -1$ रखने पर,$a(1) + (-1) = 1$ प्राप्त होता है।
$a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$ है।
अतः,$a = 2$ और $b = -1$ है।

(A) यह दिया गया है कि $f(x+y)=f(x) f(y)$ सभी $x, y \in N$ के लिए .....$(1)$.
$f(1)=3$ दिया गया है।
$(1)$ में $x=y=1$ रखने पर,हमें $f(2)=f(1) f(1)=3 \times 3=9$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$f(3)=f(1+2)=f(1) f(2)=3 \times 9=27$.
$f(4)=f(1+3)=f(1) f(3)=3 \times 27=81$.
अतः,$f(1), f(2), f(3), \ldots$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाती है जिसका प्रथम पद $a=3$ और सार्व अनुपात $r=3$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$,इसलिए $120 = \frac{3(3^n-1)}{3-1}$.
$120 = \frac{3}{2}(3^n-1)$.
$80 = 3^n-1$.
$3^n = 81 = 3^4$.
अतः,$n=4$।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x)=cx$ है।
चूंकि $f(1)=2$,हमें $c(1)=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $c=2$ है। अतः,$f(x)=2x$ है।
अब,हम $g(n) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) = \sum_{k=1}^{n-1} 2k$ की गणना करते हैं।
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $g(n) = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$ प्राप्त होता है।
हमें $g(n)=20$ दिया गया है,इसलिए $n(n-1)=20$ है।
$n^2 - n - 20 = 0$.
$(n-5)(n+4) = 0$.
चूंकि $n \in N$,इसलिए $n=5$ होगा।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)f(y)$ है।
$x=y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1))^2=3^2=9$.
$x=2, y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=3^2 \times 3=3^3=27$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी $n \in N$ के लिए $f(n)=3^n$ है।
हमें योग $\sum_{i=1}^{n} f(i)=363$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\sum_{i=1}^{n} 3^i=363$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a=3$,सार्व अनुपात $r=3$ और $n$ पद हैं।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{3(3^n-1)}{3-1}=363$.
$\frac{3(3^n-1)}{2}=363$.
$3(3^n-1)=726$.
$3^n-1=242$.
$3^n=243$.
चूंकि $243=3^5$,इसलिए $n=5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ है।
$x = 1, y = 1$ के लिए,$f(2) = f(1)^2$ प्राप्त होता है।
$x = 2, y = 1$ के लिए,$f(3) = f(2)f(1) = f(1)^3$ प्राप्त होता है।
सामान्यतः,$f(x) = f(1)^x$ होता है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी $\sum_{x=1}^{\infty} f(x) = 2$ दी गई है,अतः $f(1) + f(1)^2 + f(1)^3 + \dots = 2$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = f(1)$ और सार्व अनुपात $r = f(1)$ है।
श्रेणी का योग $\frac{a}{1 - r} = 2$ सूत्र के अनुसार,$\frac{f(1)}{1 - f(1)} = 2$ होगा।
$f(1) = 2 - 2f(1) \implies 3f(1) = 2 \implies f(1) = \frac{2}{3}$।
अब,हमें $\frac{f(4)}{f(2)}$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $f(x) = f(1)^x$,इसलिए $\frac{f(4)}{f(2)} = \frac{f(1)^4}{f(1)^2} = f(1)^2$ होगा।
$f(1) = \frac{2}{3}$ रखने पर,$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(m+n) = f(m) + f(n)$ है,जहाँ $m, n \in N$ है।
यह प्राकृतिक संख्याओं पर कौशी (Cauchy) फलन समीकरण है,जो दर्शाता है कि $f(n) = cn$ किसी स्थिरांक $c$ के लिए है।
दिया गया है कि $f(6) = 18$,इसलिए $f(n) = cn$ में $n=6$ रखने पर:
$c \cdot 6 = 18 \Rightarrow c = 3$.
अतः,फलन $f(n) = 3n$ है।
अब,$f(2)$ और $f(3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(2) = 3 \cdot 2 = 6$.
$f(3) = 3 \cdot 3 = 9$.
अंत में,गुणनफल $f(2) \cdot f(3) = 6 \cdot 9 = 54$ है।

(A) दिया गया है कि $f(k) = -\frac{2}{k}$,जिसे हम $k f(k) + 2 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $k = 2, 3, 4, 5$ है।
मान लीजिए $g(x) = x f(x) + 2$ है। चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,इसलिए $g(x)$ घात $4$ का बहुपद होगा।
चूंकि $k = 2, 3, 4, 5$ के लिए $g(k) = 0$ है,हम $g(x) = \lambda(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
$\lambda$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखने पर: $g(0) = 0 \cdot f(0) + 2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 = \lambda(0-2)(0-3)(0-4)(0-5) = \lambda(120)$,जिससे $\lambda = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$ प्राप्त होता है।
अब,$10 f(10) + 2 = g(10) = \frac{1}{60}(10-2)(10-3)(10-4)(10-5) = \frac{1}{60}(8)(7)(6)(5) = \frac{1680}{60} = 28$ है।
इस प्रकार,$10 f(10) = 28 - 2 = 26$ है।
अंत में,$52 - 10 f(10) = 52 - 26 = 26$ है।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ है।
यह एक प्रसिद्ध कोशी-प्रकार का फलन समीकरण है जिसका हल $f(x) = \cos(ax)$ है।
दिया गया है $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$,इसलिए $\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -1$,जिसका अर्थ है $\frac{a}{2} = (2n+1)\pi$,अर्थात $a = 2(2n+1)\pi$।
किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए,$f(k) = \cos(2(2n+1)\pi k) = \cos(2m\pi) = 1$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,व्यंजक $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)}$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)} = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\sin((k+1)-k)}{\sin(k) \sin(k+1)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} (\cot(k) - \cot(k+1))$ का उपयोग करते हुए।
$k=1$ से $20$ तक योग करने पर,हमें $\frac{1}{\sin(1)} (\cot(1) - \cot(21))$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)}{\sin(1)} - \frac{\cos(21)}{\sin(21)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)\sin(21) - \sin(1)\cos(21)}{\sin(1)\sin(21)} \right)$.
$= \frac{\sin(21-1)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \frac{\sin(20)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \operatorname{cosec}^2(1) \operatorname{cosec}(21) \sin(20)$.

(C) दिया गया है $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ और $f(1) = 2$.
माना $g(x) = 2f(x)$ है। तब $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$ होगा।
चूंकि $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$,इसलिए $g(x) = 2^{2x}$ होगा।
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 2^{2x-1}$ होगा।
अब,$\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \sum_{k=1}^{10} 2^{2(\alpha+k)-1} = 2^{2\alpha-1} \sum_{k=1}^{10} 2^{2k} = 2^{2\alpha-1} \cdot 4 \cdot \frac{4^{10}-1}{4-1} = 2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3}$ होगा।
हमें दिया गया है कि $\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \frac{512}{3}(2^{20}-1) = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3} = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$ होगा।
$2^{2\alpha+1} = 2^9 \implies 2\alpha+1 = 9 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$।

(C) दिया गया है $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$.
$y=2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x+2)=2^{x} f(2)+4^{2} f(x) = 3 \cdot 2^{x} + 16 f(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x+2) = 3 \cdot 2^{x} \ln 2 + 16 f^{\prime}(x)$.
$x=2$ के लिए,$f^{\prime}(4) = 3 \cdot 2^{2} \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2)$ ... $(i)$.
वैकल्पिक रूप से,मूल समीकरण में $x=2$ रखने पर,$f(2+y)=2^{2} f(y)+4^{y} f(2) = 4 f(y) + 3 \cdot 4^{y}$.
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(2+y) = 4 f^{\prime}(y) + 3 \cdot 4^{y} \ln 4 = 4 f^{\prime}(y) + 6 \cdot 4^{y} \ln 2$.
$y=2$ के लिए,$f^{\prime}(4) = 4 f^{\prime}(2) + 6 \cdot 4^{2} \ln 2 = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$.
$12 f^{\prime}(2) = 84 \ln 2 \implies f^{\prime}(2) = 7 \ln 2$.
$(ii)$ में मान रखने पर,$f^{\prime}(4) = 4(7 \ln 2) + 96 \ln 2 = 28 \ln 2 + 96 \ln 2 = 124 \ln 2$.
अंत में,$14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)} = 14 \cdot \frac{124 \ln 2}{7 \ln 2} = 2 \cdot 124 = 248$.

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(3x) - f(x) = x$ है।
$x$ को $x/3$ से बदलने पर,हमें $f(x) - f(x/3) = x/3$ प्राप्त होता है।
$x$ को $x/3^2$ से बदलने पर,हमें $f(x/3) - f(x/3^2) = x/3^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें $f(x/3^{n-1}) - f(x/3^n) = x/3^n$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों का $n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर,हमें $f(x) - \lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = x \sum_{n=1}^{\infty} (1/3)^n$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ सतत है,इसलिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = f(0)$ होगा।
अतः,$f(x) - f(0) = x \cdot \frac{1/3}{1 - 1/3} = x \cdot \frac{1/3}{2/3} = x/2$।
इस प्रकार,$f(x) = x/2 + f(0)$।
दिया गया है कि $f(8) = 7$,इसलिए $7 = 8/2 + f(0) \implies 7 = 4 + f(0) \implies f(0) = 3$।
इसलिए,$f(x) = x/2 + 3$।
अंत में,$f(14) = 14/2 + 3 = 7 + 3 = 10$।