Functional Equations Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $u = x + y$ અને $v = x - y$.
તેથી $x = \frac{u + v}{2}$ અને $y = \frac{u - v}{2}$.
આમ,$f(u, v) = \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{u - v}{2} \right) = \frac{u^2 - v^2}{4}$.
તેથી,$f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4}$ અને $f(y, x) = \frac{y^2 - x^2}{4}$.
$f(x, y)$ અને $f(y, x)$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{f(x, y) + f(y, x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2 - y^2}{4} + \frac{y^2 - x^2}{4} \right) = \frac{1}{2} (0) = 0$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x)f(y)$ તમામ $x, y \in N$ માટે.
$x = 1$ માટે,$f(2) = f(1+1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = f(2+1) = f(2)f(1) = 3^2 \times 3 = 3^3 = 27$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$f(x) = 3^x$.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$.
$f(x) = 3^x$ મૂકતા,આપણને $\sum_{x=1}^n 3^x = 120$ મળે છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને $n$ પદો છે.
સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$ થાય.
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$.
$3(3^n - 1) = 240$.
$3^n - 1 = 80$.
$3^n = 81$.
કારણ કે $81 = 3^4$,તેથી $n = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = bx^2 + cx + d$.
આપણને નિત્યસમ $f(x + 1) - f(x) = 8x + 3$ આપેલ છે.
$f(x)$ ની કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$[b(x + 1)^2 + c(x + 1) + d] - [bx^2 + cx + d] = 8x + 3$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$[b(x^2 + 2x + 1) + cx + c + d] - bx^2 - cx - d = 8x + 3$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$bx^2 + 2bx + b + cx + c + d - bx^2 - cx - d = 8x + 3$
$2bx + b + c = 8x + 3$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$2b = 8 \Rightarrow b = 4$
$b + c = 3 \Rightarrow 4 + c = 3 \Rightarrow c = -1$
આમ,$b = 4$ અને $c = -1$ મળે છે.

(A) આપણને $f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$ આપેલ છે.
પદ $f(x + y) + f(x - y)$ ધ્યાનમાં લો:
$f(x + y) + f(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
$= \frac{1}{2} [a^{x+y} + a^{-x-y} + a^{x-y} + a^{-x+y}]$
$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$
$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$
કારણ કે $f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$,તેથી $(a^x + a^{-x}) = 2f(x)$ અને $(a^y + a^{-y}) = 2f(y)$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{1}{2} [2f(x)] [2f(y)]$
$= 2f(x)f(y)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x - 1}$.
આપણે $\frac{f(a)}{f(a + 1)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$f(a) = \frac{a}{a - 1}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$f(a + 1) = \frac{a + 1}{(a + 1) - 1} = \frac{a + 1}{a}$ મેળવો.
હવે,બંને પદોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{f(a)}{f(a + 1)} = \frac{\frac{a}{a - 1}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{a}{a - 1} \times \frac{a}{a + 1} = \frac{a^2}{a^2 - 1}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા,$f(a^2) = \frac{a^2}{a^2 - 1}$ થાય છે.
આમ,$\frac{f(a)}{f(a + 1)} = f(a^2)$.

(A) આપેલ છે કે $\phi (x) = a^x$.
$x = p$ મૂકતા,આપણને $\phi (p) = a^p$ મળે છે.
હવે,આપણે $\{ \phi (p) \} ^3$ શોધવાનું છે.
$\phi (p)^3 = (a^p)^3$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(a^p)^3 = a^{3p}$ મળે છે.
કારણ કે $\phi (x) = a^x$,તેથી $\phi (3p) = a^{3p}$.
આમ,$\{ \phi (p) \} ^3 = \phi (3p)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x + ay, x - ay) = axy$ ..... $(i)$
ધારો કે $u = x + ay$ અને $v = x - ay$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $u + v = 2x \implies x = \frac{u + v}{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $u - v = 2ay \implies y = \frac{u - v}{2a}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$f(u, v) = a \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{u - v}{2a} \right)$
$f(u, v) = a \left( \frac{u^2 - v^2}{4a} \right)$
$f(u, v) = \frac{u^2 - v^2}{4}$
તેથી,$u$ ને $x$ અને $v$ ને $y$ વડે બદલતા,આપણને $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{y}$.
સમીકરણ $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{y}$ પરથી,બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા આપણને $\frac{x - 1}{x} = y$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - \frac{1}{x} = y$ અથવા $\frac{1}{x} = 1 - y$ મળે છે.
તેથી,$x = \frac{1}{1 - y}$.
હવે,આપણે $f(y)$ શોધવાનું છે. $f(x) = \frac{x}{x - 1}$ હોવાથી,વિધેયની વ્યાખ્યામાં $x$ ની જગ્યાએ $y$ મૂકતા:
$f(y) = \frac{y}{y - 1}$.
$f(y)$ ના પદમાં $y = \frac{x - 1}{x}$ મૂકતા:
$f(y) = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x - 1}{x} - 1} = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x - 1 - x}{x}} = \frac{x - 1}{-1} = 1 - x$.
આમ,$f(y) = 1 - x$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f(x - y) = f(x)f(y) - f(a - x)f(a + y)$.
પગલું $1$: $f(a)$ શોધો.
સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$f(0 - 0) = f(0)f(0) - f(a - 0)f(a + 0)$
$f(0) = (f(0))^2 - (f(a))^2$
$f(0) = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$1 = 1^2 - (f(a))^2$
$(f(a))^2 = 0 \Rightarrow f(a) = 0$.
પગલું $2$: $f(2a - x)$ શોધો.
મૂળ સમીકરણમાં $x = a$ અને $y = x - a$ મૂકતા:
$f(a - (x - a)) = f(a)f(x - a) - f(a - a)f(a + x - a)$
$f(2a - x) = 0 \cdot f(x - a) - f(0)f(x)$
$f(0) = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$f(2a - x) = -f(x)$.

(C) વિધેય $f(x) = x - [x]$ ને અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેને $\{x\}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,આપણી પાસે $[x + n] = [x] + n$ છે.
તેથી,$f(x + 1) = (x + 1) - [x + 1] = x + 1 - ([x] + 1) = x - [x] = f(x)$.
કારણ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x + 1) = f(x)$ થાય છે,તેથી આ વિધેય $1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.

(C) $g(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોવા માટે,તેણે $g(-x) = -g(x)$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $g(x) + g(-x) = 0$.
આપેલ છે કે $g(x) = x^3 + \tan x + \left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right]$.
તેથી $g(-x) = (-x)^3 + \tan(-x) + \left[ \frac{(-x)^2 + 1}{P} \right] = -x^3 - \tan x + \left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right]$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$g(x) + g(-x) = 2 \left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક $x \in [-2, 2]$ માટે $\left[ \frac{x^2 + 1}{P} \right] = 0$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય શૂન્ય થાય તે માટે,આપણી પાસે $0 \le \frac{x^2 + 1}{P} < 1$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $x \in [-2, 2]$,$x^2 + 1$ ની મહત્તમ કિંમત $2^2 + 1 = 5$ છે.
તેથી,આપણે $\frac{5}{P} < 1$ ની જરૂર છે,જે સૂચવે છે કે $P > 5$.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x_1) - f(x_2) = f\left( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \right)$ છે.
ધારો કે $x_1 = \tan \theta_1$ અને $x_2 = \tan \theta_2$. તો પદ $f(\tan \theta_1) - f(\tan \theta_2) = f(\tan(\theta_1 - \theta_2))$ બને છે.
આ લઘુગણકીય અને પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$1$. જો $f(x) = \log \frac{1 - x}{1 + x}$ હોય,તો $f(x_1) - f(x_2) = \log \frac{1 - x_1}{1 + x_1} - \log \frac{1 - x_2}{1 + x_2} = \log \left( \frac{1 - x_1}{1 + x_1} \cdot \frac{1 + x_2}{1 - x_2} \right)$.
$2$. જો $f(x) = \tan^{-1} \frac{1 - x}{1 + x} = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x)$ હોય,તો $f(x_1) - f(x_2) = (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x_1) - (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x_2) = \tan^{-1} x_2 - \tan^{-1} x_1 = -\tan^{-1} \left( \frac{x_1 - x_2}{1 + x_1 x_2} \right)$.
વિધેય સમીકરણના બંધારણને જોતા,આપેલા તમામ વિકલ્પો ચોક્કસ શરતો હેઠળ આ સંબંધનું પાલન કરે છે,તેથી સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(B) આપેલ વિધેયાત્મક સમીકરણ: $3f(x) + 2f\left( \frac{x + 59}{x - 1} \right) = 10x + 30$
ધારો કે $g(x) = \frac{x + 59}{x - 1}$.
$x = 7$ માટે,$g(7) = \frac{7 + 59}{7 - 1} = \frac{66}{6} = 11$.
સમીકરણમાં $x = 7$ મૂકતા: $3f(7) + 2f(11) = 10(7) + 30 = 100$ (સમીકરણ $1$).
$x = 11$ માટે,$g(11) = \frac{11 + 59}{11 - 1} = \frac{70}{10} = 7$.
સમીકરણમાં $x = 11$ મૂકતા: $3f(11) + 2f(7) = 10(11) + 30 = 140$ (સમીકરણ $2$).
આપણી પાસે બે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$3f(7) + 2f(11) = 100$
$2f(7) + 3f(11) = 140$
સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9f(7) + 6f(11) = 300$
$4f(7) + 6f(11) = 280$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$(9 - 4)f(7) = 300 - 280$
$5f(7) = 20$
$f(7) = 4$.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x) = cx$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
$f(1) = 7$ હોવાથી,આપણને $c(1) = 7$ મળે છે,તેથી $c = 7$.
આમ,$f(x) = 7x$.
હવે,આપણે સરવાળો $\sum_{r = 1}^n f(r) = \sum_{r = 1}^n 7r$ શોધવાની જરૂર છે.
આ $7 \sum_{r = 1}^n r$ તરીકે સરળ બને છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r = 1}^n r = \frac{n(n + 1)}{2}$.
તેથી,$\sum_{r = 1}^n f(r) = 7 \times \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{7n(n + 1)}{2}$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ છે.
$y = 1$ લેતા,આપણને $f(x) = f(x) - f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.
કોઈપણ $x, y > 0$ માટે,સમીકરણ $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ એ લઘુગણકીય વિધેય (logarithmic function) ની લાક્ષણિકતા છે.
ધારો કે $f(x) = c \ln x$.
શરત $f(e) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$c \ln e = 1$,જે આપે છે $c(1) = 1$,તેથી $c = 1$.
આમ,$f(x) = \ln x$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $f(x) = \ln x$ સાચું છે.
$(B)$ $f(x) = \ln x$ એ $(0, \infty)$ પર સીમિત નથી.
$(C)$ જ્યારે $x \to 0$ થાય,ત્યારે $f\left( \frac{1}{x} \right) = \ln\left( \frac{1}{x} \right) = -\ln x \to \infty$.
$(D)$ જ્યારે $x \to 0$ થાય,ત્યારે $x f(x) = x \ln x$. $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} (-x) = 0 \neq 1$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x)f(y)$ છે.
$y = 0$ લેતા,આપણને $f(x + 0) = f(x)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = f(x)f(0)$. કારણ કે $f(5) = 2$,તેથી $f(x)$ શૂન્ય નથી,માટે $f(0) = 1$.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
$f(x + h) = f(x)f(h)$ મૂકતા,આપણને $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$ મળે છે.
કારણ કે $f(0) = 1$,આ $f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f(x)f'(0)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $f(5) = 2$ અને $f'(0) = 3$,તેથી $f'(5) = f(5)f'(0) = 2 \times 3 = 6$.

(A) આપેલ છે કે દરેક $x, y \in N$ માટે $f(x + y) = f(x) f(y)$ છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$f(x) = [f(1)]^x$.
અહીં $f(1) = 3$ હોવાથી,$f(x) = 3^x$ મળે.
હવે,આપણને $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$ આપેલ છે.
$f(x) = 3^x$ મૂકતા,$\sum_{x=1}^n 3^x = 120$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને $n$ પદો છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$.
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$.
$3(3^n - 1) = 240$.
$3^n - 1 = 80$.
$3^n = 81$.
$3^n = 3^4$.
તેથી,$n = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(x) + 2f(1/x) = 3x$ ........$(1)$
$x$ ને $1/x$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે: $f(1/x) + 2f(x) = 3/x$ ........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$f(1/x) = 3/x - 2f(x)$.
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$f(x) + 2(3/x - 2f(x)) = 3x$
$f(x) + 6/x - 4f(x) = 3x$
$-3f(x) = 3x - 6/x$
$f(x) = 2/x - x$
હવે,ગણ $S$ માટે,આપણે $f(x) = f(-x)$ ઉકેલીએ:
$2/x - x = 2/(-x) - (-x)$
$2/x - x = -2/x + x$
$4/x = 2x$
$2/x = x$
$x^2 = 2$
$x = \pm \sqrt{2}$
આમ,$S = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$.
તેથી,$S$ બરાબર બે ઘટકો ધરાવે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(a + x) = b + [b^3 + 1 - 3b^2f(x) + 3b\{f(x)\}^2 - \{f(x)\}^3]^{1/3}$.
ઘનમૂળની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય: $1 - (f(x) - b)^3$.
તેથી,$f(a + x) = b + [1 - (f(x) - b)^3]^{1/3}$.
ધારો કે $\phi(x) = f(x) - b$. તો સમીકરણ $\phi(a + x) = [1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3}$ બને છે.
હવે,$\phi(x + 2a)$ શોધો:
$\phi(x + 2a) = \phi(a + (x + a)) = [1 - \{\phi(x + a)\}^3]^{1/3}$.
$\phi(x + a) = [1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\phi(x + 2a) = [1 - ([1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3})^3]^{1/3}$.
$\phi(x + 2a) = [1 - (1 - \{\phi(x)\}^3)]^{1/3} = [\{\phi(x)\}^3]^{1/3} = \phi(x)$.
કારણ કે $\phi(x + 2a) = \phi(x)$,તેથી $f(x + 2a) - b = f(x) - b$,જેનો અર્થ છે કે $f(x + 2a) = f(x)$.
તેથી,$f(x)$ એ $2a$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.
$x=1, y=1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
ગુણધર્મ $f(xy) = f(x) + f(y)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $f(x+h) = f(x(1 + \frac{h}{x})) = f(x) + f(1 + \frac{h}{x})$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) + f(1 + \frac{h}{x}) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + \frac{h}{x})}{h}$
કારણ કે $f(1) = 0$,આપણે $f(1 + \frac{h}{x}) = f(1 + \frac{h}{x}) - f(1)$ લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $t = \frac{h}{x}$. જેમ $h \to 0$,તેમ $t \to 0$.
$f'(x) = \lim_{t \to 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{xt} = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t}$
$x=1$ આગળ વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{t \to 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t} = f'(1)$.
તેથી,$f'(x) = \frac{f'(1)}{x}$.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) \cdot f(1/x) = f(x) + f(1/x)$ છે.
ધારો કે $f(x) = 1 + g(x)$,તો $(1 + g(x))(1 + g(1/x)) = 1 + g(x) + 1 + g(1/x)$.
$1 + g(x) + g(1/x) + g(x)g(1/x) = 2 + g(x) + g(1/x)$.
$g(x)g(1/x) = 1$,જે સૂચવે છે કે $g(x) = x^n$ અથવા $g(x) = -x^n$.
આમ,$f(x) = 1 + x^n$ અથવા $f(x) = 1 - x^n$.
આપેલ છે કે $f(2) = 9$,તેથી $1 + 2^n = 9 \Rightarrow 2^n = 8 \Rightarrow n = 3$.
તેથી,$f(x) = x^3 + 1$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$f(1) = 1^3 + 1 = 2$,$f(3) = 3^3 + 1 = 28$. $14 \times f(1) = 14 \times 2 = 28 = f(3)$. તેથી $(B)$ સાચું છે.
$f(5) = 5^3 + 1 = 126$. $9 \times f(3) = 9 \times 28 = 252$. $2 \times f(5) = 2 \times 126 = 252$. તેથી $(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ સમીકરણ કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y)$ છે.
જો $f$ કોઈ એક બિંદુએ સતત હોય,તો $f(x) = cx$ થાય,જે દરેક જગ્યાએ સતત છે.
જો કે,જો આપણે સાતત્યની ધારણા ન કરીએ,તો અરેખીય ઉકેલો (Hamel basis નો ઉપયોગ કરીને) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે દરેક જગ્યાએ અસતત હોય છે.
આમ,$f(x)$ સતત હોઈ શકે છે (દા.ત.,$f(x) = cx$) અથવા $f(x)$ અસતત હોઈ શકે છે (અરેખીય ઉકેલો).
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને શક્ય છે.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f\left( \frac{x + 8y}{9} \right) = \frac{f(x) + 8f(y)}{9}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y$ ને અચળ ગણતા:
$f'\left( \frac{x + 8y}{9} \right) \cdot \frac{1}{9} = \frac{f'(x)}{9}$.
આનું સાદું રૂપ: $f'\left( \frac{x + 8y}{9} \right) = f'(x)$.
ઉપરના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f'\left( \frac{8y}{9} \right) = f'(0)$.
આપેલ છે કે $f'(0) = 2$,તેથી $f'\left( \frac{8y}{9} \right) = 2$.
ધારો કે $t = \frac{8y}{9}$,તો $y = \frac{9t}{8}$. $y$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$t$ પણ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આમ,તમામ $t$ માટે $f'(t) = 2$.
$f'(t) = 2$ નું સંકલન કરતા $f(t) = 2t + C$ મળે.
આપેલ શરત $f(0) = -5$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = 2(0) + C = -5 \implies C = -5$.
તેથી,વિધેય $f(x) = 2x - 5$ છે.
$f(7)$ શોધવા માટે:
$f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ છે.
પ્રથમ,$x=1$ અને $y=1$ મૂકીને $f(1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(1) = \frac{f(1)}{1} \implies f(1) = f(1)$.
મૂળ સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા આપણને $f(y) = \frac{f(1)}{y}$ મળે છે.
ધારો કે $f(1) = c$,તો $f(y) = \frac{c}{y}$ થાય.
આપણને $f(30) = 20$ આપેલ છે,તેથી:
$20 = \frac{c}{30} \implies c = 600$.
આમ,વિધેય $f(x) = \frac{600}{x}$ છે.
હવે,$f(40)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(40) = \frac{600}{40} = 15$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3f(2x^2 - 3x + 5) + 2f(3x^2 - 2x + 4) = x^2 - 7x + 9$ $\dots(1)$
$f(5)$ શોધવા માટે,આપણે $f$ ના ચલ તપાસીએ.
કિસ્સો $1$: $(1)$ માં $x = 0$ મૂકતા:
$3f(5) + 2f(4) = 9$ $\dots(2)$
કિસ્સો $2$: $(1)$ માં $x = 1$ મૂકતા:
$3f(2(1)^2 - 3(1) + 5) + 2f(3(1)^2 - 2(1) + 4) = 1^2 - 7(1) + 9$
$3f(4) + 2f(5) = 3$ $\dots(3)$
હવે આપણી પાસે $f(5)$ અને $f(4)$ માં બે સુરેખ સમીકરણો છે:
$3f(5) + 2f(4) = 9$
$2f(5) + 3f(4) = 3$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે અને $(3)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9f(5) + 6f(4) = 27$ $\dots(4)$
$4f(5) + 6f(4) = 6$ $\dots(5)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા:
$(9f(5) - 4f(5)) = 27 - 6$
$5f(5) = 21$
$f(5) = \frac{21}{5}$

(A) ધારો કે $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$. આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{m}$,તેથી $L = \sqrt{m}$.
સમીકરણ $f(x) = \frac{1}{3}\left[ f(x + 6) + \frac{6}{f(x + 7)} \right]$ માં $x \to \infty$ લેતા:
$L = \frac{1}{3}\left[ L + \frac{6}{L} \right]$
$3L = L + \frac{6}{L}$
$2L = \frac{6}{L}$
$2L^2 = 6$
$L^2 = 3$
$L = \sqrt{m}$ હોવાથી,$(\sqrt{m})^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $m = 3$.

(B) આપેલ અસમતા: $f\left( x - \frac{4}{9} \right) + 2x \le \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9} \le f\left( x + \frac{4}{9} \right) - 2x$.
ધારો કે $g(x) = \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9}$.
અસમતાને આ રીતે લખી શકાય: $f\left( x - \frac{4}{9} \right) \le g(x) - 2x$ અને $g(x) + 2x \le f\left( x + \frac{4}{9} \right)$.
ધારો કે $x - \frac{4}{9} = t$,તેથી $x = t + \frac{4}{9}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $f(t) \le \frac{9}{4}(t + \frac{4}{9})^2 + \frac{8}{9} - 2(t + \frac{4}{9}) = \frac{9}{4}t^2 + 2t + \frac{4}{9} + \frac{8}{9} - 2t - \frac{8}{9} = \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$.
તે જ રીતે,બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $x + \frac{4}{9} = t$,તેથી $x = t - \frac{4}{9}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $f(t) \ge \frac{9}{4}(t - \frac{4}{9})^2 + \frac{8}{9} + 2(t - \frac{4}{9}) = \frac{9}{4}t^2 - 2t + \frac{4}{9} + \frac{8}{9} + 2t - \frac{8}{9} = \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$.
આમ,$f(t) \le \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$ અને $f(t) \ge \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$ હોવાથી,$f(x) = \frac{9}{4}x^2 + \frac{4}{9}$ થાય.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{9}{4}x^2 + \frac{4}{9} \right) = \frac{9}{2}x$.
$f''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{9}{2}x \right) = \frac{9}{2}$.
તેથી,$f''(2) = \frac{9}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $f(a) = a^2 + a + 1$.
આપણે $f(a^2) = 3f(a)$ ઉકેલવાનું છે.
વિધેયમાં $a^2$ મૂકતા,આપણને $f(a^2) = (a^2)^2 + a^2 + 1 = a^4 + a^2 + 1$ મળે છે.
સમીકરણ $a^4 + a^2 + 1 = 3(a^2 + a + 1)$ બને છે.
$a^4 + a^2 + 1 = 3a^2 + 3a + 3$.
$a^4 - 2a^2 - 3a - 2 = 0$.
જો $a = -1$ લઈએ,તો $(-1)^4 - 2(-1)^2 - 3(-1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$. તેથી $(a+1)$ એક અવયવ છે.
$a^4 - 2a^2 - 3a - 2$ ને $(a+1)$ વડે ભાગતા $(a+1)(a^3 - a^2 - a - 2) = 0$ મળે છે.
$a^3 - a^2 - a - 2$ માં $a=2$ મૂકતા: $8 - 4 - 2 - 2 = 0$. તેથી $(a-2)$ એક અવયવ છે.
$a^3 - a^2 - a - 2$ ને $(a-2)$ વડે ભાગતા $(a-2)(a^2 + a + 1) = 0$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $(a+1)(a-2)(a^2 + a + 1) = 0$ છે.
ઉકેલો $a = -1$,$a = 2$ અને $a^2 + a + 1 = 0$ ના બીજ છે.
$a^2 + a + 1$ નો વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ છે,તેથી આ ભાગમાંથી કોઈ વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
તેથી,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) શરત $f(7 - x) = f(7 + x)$ સૂચવે છે કે વિધેય $f(x)$ એ રેખા $x = 7$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ધારો કે $f(x) = 0$ ના $5$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે.
વિધેય $x = 7$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,જો $x_i$ એ બીજ હોય,તો $14 - x_i$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.
$5$ ભિન્ન બીજ માટે,એક બીજ સંમિતિની ધરી પર હોવું જોઈએ,તેથી $x_3 = 7$.
બાકીના બીજ $7$ ની આસપાસ સંમિત જોડી બનાવશે,જેથી $\frac{x_1 + x_5}{2} = 7$ અને $\frac{x_2 + x_4}{2} = 7$ થાય.
આનાથી $x_1 + x_5 = 14$ અને $x_2 + x_4 = 14$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = (x_1 + x_5) + (x_2 + x_4) + x_3 = 14 + 14 + 7 = 35$ થાય.
તેથી,$S/7 = 35/7 = 5$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left( \frac{5x - 3y}{5 - 3} \right) = \frac{5f(x) - 3f(y)}{5 - 3}$ છે.
આ કોશીના વિધેય સમીકરણનું એક સ્વરૂપ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x)$ એ $f(x) = ax + b$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય છે.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$f(x) = ax + b$ માં $x = 0$ મૂકતા $b = 1$ મળે છે.
$f'(0) = 2$ આપેલ હોવાથી,$f(x) = ax + 1$ નું વિકલન કરતા $f'(x) = a$ મળે,તેથી $a = 2$.
આમ,વિધેય $f(x) = 2x + 1$ છે.
આપણે $\sin(f(x)) = \sin(2x + 1)$ નું આવર્તમાન શોધવાનું છે.
$\sin(kx + c)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|k|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 2$ હોવાથી,આવર્તમાન $\frac{2\pi}{2} = \pi$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x) + f(y)$,જે કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x) = cx$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$.
આપેલ છે કે $f(x) = (2x^2 + 3x)g(x)$,તેથી $f(h) = (2h^2 + 3h)g(h)$.
આ કિંમત વિકલનના સૂત્રમાં મૂકતા: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(2h^2 + 3h)g(h)}{h} = \lim_{h \to 0} (2h + 3)g(h)$.
કારણ કે $g(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{h \to 0} g(h) = g(0) = 3$.
આમ,$f'(x) = (2(0) + 3) \times 3 = 3 \times 3 = 9$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y) = f(x)f(y)$ છે.
$f'(x)$ શોધવા માટે,આપણે વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
આપેલ સમીકરણ $f(x+h) = f(x)f(h)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$
કારણ કે $f(0+0) = f(0)f(0)$,તેથી $f(0) = f(0)^2$. આપેલ છે કે $f(0) \neq 0$,તેથી $f(0) = 1$.
આમ,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = 3$.
આ કિંમતને $f'(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f'(x) = f(x) \cdot f'(0) = 3f(x)$.
$x = 5$ માટે:
$f'(5) = 3f(5) = 3 \times 2 = 6$.

(A) આપેલ કોશી વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y)$ માટે,ઉકેલ $f(x) = cx$ સ્વરૂપમાં છે.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$c(1) = 1$,તેથી $c = 1$. આમ,$f(x) = x$.
પદાવલી $\lim_{x \to 0} \frac{2^{\tan x} - 2^{\sin x}}{\tan x - \sin x}$ બને છે.
$u = \tan x$ અને $v = \sin x$ લેતા,જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $u \to 0$ અને $v \to 0$.
પદાવલી $\lim_{x \to 0} \frac{2^{\tan x} - 2^{\sin x}}{\tan x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2^{\sin x}(2^{\tan x - \sin x} - 1)}{\tan x - \sin x}$ થાય છે.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln a$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = \tan x - \sin x$:
$= \lim_{x \to 0} 2^{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2^{\tan x - \sin x} - 1}{\tan x - \sin x} = 2^0 \cdot \ln 2 = \ln 2 = \log_e 2$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.
$x = 1$ અને $y = 1$ લેતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.
હવે,આપેલ સમીકરણનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($x$ ને અચળ રાખીને):
$\frac{d}{dy} f(xy) = \frac{d}{dy} (f(x) + f(y))$
$f'(xy) \cdot x = f'(y)$.
$y = 1$ લેતા,આપણને $x \cdot f'(x) = f'(1)$ મળે છે.
ધારો કે $f'(1) = k$,તો $f'(x) = \frac{k}{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = k \ln(x) + C$ મળે છે.
$f(1) = 0$ હોવાથી,$k \ln(1) + C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
આમ,$f(x) = k \ln(x)$.
હવે,$f(e) + f(1/e)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(e) = k \ln(e) = k(1) = k$.
$f(1/e) = k \ln(1/e) = k \ln(e^{-1}) = -k \ln(e) = -k$.
તેથી,$f(e) + f(1/e) = k + (-k) = 0$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$ છે.
ધારો કે $f(x) = 1 + x^n$ અથવા $f(x) = 1 - x^n$.
આપેલ છે કે $f(4) = 65$.
જો $f(x) = 1 + x^n$ લઈએ,તો $1 + 4^n = 65 \implies 4^n = 64 \implies 4^n = 4^3 \implies n = 3$.
આમ,$f(x) = x^3 + 1$.
હવે,$f(6) = 6^3 + 1 = 216 + 1 = 217$.
તેથી,$f(6)$ ની કિંમત $217$ છે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ છે.
$xy$ વડે ભાગતા: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$.
ધારો કે $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. તો $g(xy) = g(x) + g(y) - 2$.
ધારો કે $h(x) = g(x) - 2$. તો $h(xy) + 2 = h(x) + 2 + h(y) + 2 - 2$,જે $h(xy) = h(x) + h(y)$ માં પરિણમે છે.
આ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,તેથી $h(x) = c \ln x$.
આમ,$\frac{f(x)}{x} - 2 = c \ln x$,અથવા $f(x) = cx \ln x + 2x$.
આપેલ છે કે $f'(x) = c \ln x + c + 2$.
$x = 1$ આગળ,$f'(1) = c(0) + c + 2 = 3$,તેથી $c = 1$.
તેથી,$f(x) = x \ln x + 2x$.
વિકલ્પો તપાસતા,$f(x) = x \ln x + 2x$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે તમામ $x \in \mathbb{N}$ માટે $f(x) = 2^x$ થાય.
આપેલ સરવાળો $\sum\limits_{k = 1}^{10} {f(a + k)} = 16(2^{10} - 1)$ છે.
$f(x) = 2^x$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\sum\limits_{k = 1}^{10} {2^{a + k}} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a(2^1 + 2^2 + ... + 2^{10}) = 16(2^{10} - 1)$
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે:
$2^a \cdot \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a \cdot 2(2^{10} - 1) = 16(2^{10} - 1)$
બંને બાજુ $2(2^{10} - 1)$ વડે ભાગતા:
$2^a = \frac{16}{2} = 8$
$2^a = 2^3$
તેથી,$a = 3$.

(A) આપેલ વિધેય $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ છે.
$t(28)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $C = 28$ મૂકતા:
$t(28) = \frac{9 \times 28}{5} + 32$
$t(28) = \frac{252}{5} + 32$
$t(28) = 50.4 + 32$
$t(28) = 82.4$

(A) આપેલ વિધેય $f = \{(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)\}$ છે જે $f(x) = ax + b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
બિંદુ $(0, -1) \in f$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(0) = -1$ મળે છે.
$f(x) = ax + b$ માં $x = 0$ મૂકતા,$a(0) + b = -1$,જેનો અર્થ છે કે $b = -1$.
બિંદુ $(1, 1) \in f$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(1) = 1$ મળે છે.
$f(x) = ax + b$ માં $x = 1$ અને $b = -1$ મૂકતા,$a(1) + (-1) = 1$.
$a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x) f(y)$ તમામ $x, y \in N$ માટે .....$(1)$.
$f(1)=3$ આપેલ છે.
$(1)$ માં $x=y=1$ લેતા,આપણને $f(2)=f(1) f(1)=3 \times 3=9$ મળે છે.
તે જ રીતે,$f(3)=f(1+2)=f(1) f(2)=3 \times 9=27$.
$f(4)=f(1+3)=f(1) f(3)=3 \times 27=81$.
આમ,$f(1), f(2), f(3), \ldots$ એ પ્રથમ પદ $a=3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=3$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$,તેથી $120 = \frac{3(3^n-1)}{3-1}$.
$120 = \frac{3}{2}(3^n-1)$.
$80 = 3^n-1$.
$3^n = 81 = 3^4$.
તેથી,$n=4$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x)=cx$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
$f(1)=2$ હોવાથી,આપણને $c(1)=2$ મળે છે,તેથી $c=2$. આમ,$f(x)=2x$.
હવે,આપણે $g(n) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) = \sum_{k=1}^{n-1} 2k$ ની ગણતરી કરીએ.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $g(n) = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$ મળે છે.
આપણને $g(n)=20$ આપેલ છે,તેથી $n(n-1)=20$.
$n^2 - n - 20 = 0$.
$(n-5)(n+4) = 0$.
$n \in N$ હોવાથી,$n=5$ મળે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)f(y)$ છે.
$x=y=1$ લેતા,આપણને મળે $f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1))^2=3^2=9$.
$x=2, y=1$ લેતા,આપણને મળે $f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=3^2 \times 3=3^3=27$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,તમામ $n \in N$ માટે $f(n)=3^n$ થાય છે.
આપણને સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} f(i)=363$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{n} 3^i=363$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=3$ અને $n$ પદો છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{3(3^n-1)}{3-1}=363$.
$\frac{3(3^n-1)}{2}=363$.
$3(3^n-1)=726$.
$3^n-1=242$.
$3^n=243$.
કારણ કે $243=3^5$,તેથી $n=5$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x)f(y)$ છે.
$x = 1, y = 1$ માટે,$f(2) = f(1)^2$ મળે.
$x = 2, y = 1$ માટે,$f(3) = f(2)f(1) = f(1)^3$ મળે.
સામાન્ય રીતે,$f(x) = f(1)^x$ થાય.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $\sum_{x=1}^{\infty} f(x) = 2$ આપેલ છે,તેથી $f(1) + f(1)^2 + f(1)^3 + \dots = 2$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = f(1)$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = f(1)$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{a}{1 - r} = 2$ સૂત્ર મુજબ,$\frac{f(1)}{1 - f(1)} = 2$ થાય.
$f(1) = 2 - 2f(1) \implies 3f(1) = 2 \implies f(1) = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $\frac{f(4)}{f(2)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(x) = f(1)^x$ હોવાથી,$\frac{f(4)}{f(2)} = \frac{f(1)^4}{f(1)^2} = f(1)^2$ થાય.
$f(1) = \frac{2}{3}$ મુકતા,$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ મળે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(m+n) = f(m) + f(n)$ છે,જ્યાં $m, n \in N$ છે.
આ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પરનું કોશી (Cauchy) વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(n) = cn$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
આપેલ છે કે $f(6) = 18$,તેથી $f(n) = cn$ માં $n=6$ મૂકતા:
$c \cdot 6 = 18 \Rightarrow c = 3$.
આમ,વિધેય $f(n) = 3n$ છે.
હવે,$f(2)$ અને $f(3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(2) = 3 \cdot 2 = 6$.
$f(3) = 3 \cdot 3 = 9$.
અંતે,ગુણાકાર $f(2) \cdot f(3) = 6 \cdot 9 = 54$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(k) = -\frac{2}{k}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $k f(k) + 2 = 0$ જ્યાં $k = 2, 3, 4, 5$.
ધારો કે $g(x) = x f(x) + 2$. કારણ કે $f(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી છે,તેથી $g(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી થશે.
$g(k) = 0$ હોવાથી $k = 2, 3, 4, 5$ માટે,આપણે $g(x) = \lambda(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ અચળાંક છે.
$\lambda$ શોધવા માટે,$x=0$ મૂકતા: $g(0) = 0 \cdot f(0) + 2 = 2$.
તેથી,$2 = \lambda(0-2)(0-3)(0-4)(0-5) = \lambda(120)$,જે આપણને $\lambda = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$ આપે છે.
હવે,$10 f(10) + 2 = g(10) = \frac{1}{60}(10-2)(10-3)(10-4)(10-5) = \frac{1}{60}(8)(7)(6)(5) = \frac{1680}{60} = 28$.
આમ,$10 f(10) = 28 - 2 = 26$.
છેલ્લે,$52 - 10 f(10) = 52 - 26 = 26$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ છે.
આ એક જાણીતું કોશી-પ્રકારનું વિધેય સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x) = \cos(ax)$ છે.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$,તેથી $\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -1$,જે સૂચવે છે કે $\frac{a}{2} = (2n+1)\pi$,એટલે કે $a = 2(2n+1)\pi$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $k$ માટે,$f(k) = \cos(2(2n+1)\pi k) = \cos(2m\pi) = 1$ જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.
આમ,પદાવલિ $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)}$ બને છે.
નિત્યસમ $\frac{1}{\sin(k) \sin(k+1)} = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\sin((k+1)-k)}{\sin(k) \sin(k+1)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} (\cot(k) - \cot(k+1))$ નો ઉપયોગ કરતા.
$k=1$ થી $20$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{1}{\sin(1)} (\cot(1) - \cot(21))$ મળે છે.
$= \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)}{\sin(1)} - \frac{\cos(21)}{\sin(21)} \right) = \frac{1}{\sin(1)} \left( \frac{\cos(1)\sin(21) - \sin(1)\cos(21)}{\sin(1)\sin(21)} \right)$.
$= \frac{\sin(21-1)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \frac{\sin(20)}{\sin^2(1) \sin(21)} = \operatorname{cosec}^2(1) \operatorname{cosec}(21) \sin(20)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$.
ધારો કે $g(x) = 2f(x)$. તો $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$.
અહીં $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$ હોવાથી,$g(x) = 2^{2x}$ મળે.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 2^{2x-1}$.
હવે,$\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \sum_{k=1}^{10} 2^{2(\alpha+k)-1} = 2^{2\alpha-1} \sum_{k=1}^{10} 2^{2k} = 2^{2\alpha-1} \cdot 4 \cdot \frac{4^{10}-1}{4-1} = 2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3}$.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \frac{512}{3}(2^{20}-1) = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.
બંને પદોને સરખાવતા: $2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3} = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.
$2^{2\alpha+1} = 2^9 \implies 2\alpha+1 = 9 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$.

(C) આપેલ છે કે $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$.
$y=2$ મુકતા,આપણને મળે $f(x+2)=2^{x} f(2)+4^{2} f(x) = 3 \cdot 2^{x} + 16 f(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x+2) = 3 \cdot 2^{x} \ln 2 + 16 f^{\prime}(x)$.
$x=2$ માટે,$f^{\prime}(4) = 3 \cdot 2^{2} \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2)$ ... $(i)$.
વૈકલ્પિક રીતે,મૂળ સમીકરણમાં $x=2$ મુકતા,$f(2+y)=2^{2} f(y)+4^{y} f(2) = 4 f(y) + 3 \cdot 4^{y}$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f^{\prime}(2+y) = 4 f^{\prime}(y) + 3 \cdot 4^{y} \ln 4 = 4 f^{\prime}(y) + 6 \cdot 4^{y} \ln 2$.
$y=2$ માટે,$f^{\prime}(4) = 4 f^{\prime}(2) + 6 \cdot 4^{2} \ln 2 = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$.
$12 f^{\prime}(2) = 84 \ln 2 \implies f^{\prime}(2) = 7 \ln 2$.
$(ii)$ માં કિંમત મુકતા,$f^{\prime}(4) = 4(7 \ln 2) + 96 \ln 2 = 28 \ln 2 + 96 \ln 2 = 124 \ln 2$.
અંતે,$14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)} = 14 \cdot \frac{124 \ln 2}{7 \ln 2} = 2 \cdot 124 = 248$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(3x) - f(x) = x$ છે.
$x$ ને $x/3$ વડે બદલતા,આપણને $f(x) - f(x/3) = x/3$ મળે છે.
$x$ ને $x/3^2$ વડે બદલતા,આપણને $f(x/3) - f(x/3^2) = x/3^2$ મળે છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,આપણને $f(x/3^{n-1}) - f(x/3^n) = x/3^n$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો $n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને $f(x) - \lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = x \sum_{n=1}^{\infty} (1/3)^n$ મળે છે.
વિધેય $f$ સતત હોવાથી,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = f(0)$ થાય.
તેથી,$f(x) - f(0) = x \cdot \frac{1/3}{1 - 1/3} = x \cdot \frac{1/3}{2/3} = x/2$.
આમ,$f(x) = x/2 + f(0)$.
આપેલ છે કે $f(8) = 7$,તેથી $7 = 8/2 + f(0) \implies 7 = 4 + f(0) \implies f(0) = 3$.
તેથી,$f(x) = x/2 + 3$.
અંતે,$f(14) = 14/2 + 3 = 7 + 3 = 10$.