मान लीजिए f(x + y) = f(x) + f(y) सभी x, y in | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण कौशी का फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ है।यदि $f$ किसी एक बिंदु पर सतत है,तो $f(x) = cx$ होता है,जो हर जगह सतत है।हालाँकि,यदि

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$(B)$ या $(C)$ दोनों

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(D) दिया गया समीकरण कौशी का फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ है।यदि $f$ किसी एक बिंदु पर सतत है,तो $f(x) = cx$ होता है,जो हर जगह सतत है।हालाँकि,यदि हम सांतत्य की धारणा नहीं करते हैं,तो ऐसे गैर-रेखीय समाधान (Hamel basis का उपयोग करके) मौजूद हैं जो हर जगह असतत हैं।इस प्रकार,$f(x)$ सतत हो सकता है (जैसे,$f(x) = cx$) या $f(x)$ असतत हो सकता है (गैर-रेखीय समाधान)।इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों संभव हैं।

मान लीजिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए है। तो:

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यदि $\phi (x) = a^x$ है,तो $\{ \phi (p) \} ^3$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $f: R-\{0\} \rightarrow R$ एक फलन है जो सभी $x, y$ के लिए $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(y) \neq 0$ है। यदि $f^{\prime}(1)=2024$ है,तो:

$f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)=f(x)+12y, \forall x, y \in R$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)=6$ है,तो $\sum_{r=1}^n f(r)=$

यदि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ और $x=3, 4, 5, \ldots$ के लिए $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ है,तो $f(9)$ का मान ज्ञात कीजिए।

वास्तव में ऐसे कितने फलन $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ मौजूद हैं कि सभी $x, y \in \mathbb{Q}$ के लिए $f(x+y) = f(x) + f(y)$ और $f(xy) = f(x)f(y)$ हो?

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