Functional Equations Questions in Hindi

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।
हम जानते हैं कि $f(8) = f(2 \cdot 2 \cdot 2) = f(2) + f(2) + f(2) = 3f(2)$ है।
दिया गया है कि $f(8) = 15$,इसलिए $3f(2) = 15$,जिसका अर्थ है कि $f(2) = 5$ है।
अब,हमें $f(48)$ ज्ञात करना है।
हम $48 = 12 \cdot 4 = 12 \cdot 2 \cdot 2$ लिख सकते हैं।
गुणधर्म $f(xy) = f(x) + f(y)$ का उपयोग करने पर:
$f(48) = f(12 \cdot 2 \cdot 2) = f(12) + f(2) + f(2)$ प्राप्त होता है।
ज्ञात मानों $f(12) = 24$ और $f(2) = 5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(48) = 24 + 5 + 5 = 34$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया समीकरण $f(x) + (x + \frac{1}{2}) f(1 - x) = 1$ है $(i)$
$(i)$ में $x$ को $1 - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(1 - x) + (1 - x + \frac{1}{2}) f(x) = 1$
$f(1 - x) + (\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$ $(ii)$
$(ii)$ से,$f(1 - x) = 1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)$.
इस मान को $(i)$ में रखने पर:
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) [1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)] = 1$
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) - (x + \frac{1}{2})(\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$
$f(x) [1 - (\frac{3}{2}x - x^2 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x)] = 1 - (x + \frac{1}{2})$
$f(x) [1 - (-x^2 + x + \frac{3}{4})] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) [x^2 - x + \frac{1}{4}] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) (x - \frac{1}{2})^2 = - (x - \frac{1}{2})$
$x \neq \frac{1}{2}$ के लिए,$f(x) = \frac{-(x - \frac{1}{2})}{(x - \frac{1}{2})^2} = \frac{-1}{x - \frac{1}{2}} = \frac{2}{1 - 2x}$.
अब,$f(0) = \frac{2}{1 - 0} = 2$ और $f(1) = \frac{2}{1 - 2} = -2$.
अतः,$2 f(0) + 3 f(1) = 2(2) + 3(-2) = 4 - 6 = -2$.

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x) + f(2x) = 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है।
$x = 0$ रखने पर,हमें $f(0) + f(0) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(0) = 0$,अतः $f(0) = 0$।
दिए गए समीकरण से,$f(x) = -f(x/2)$।
इस संबंध को दोहराने पर,हमें $f(x) = -f(x/2) = f(x/4) = -f(x/8) = \dots = (-1)^n f(x/2^n)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{n \to \infty} f(x/2^n) = f(\lim_{n \to \infty} x/2^n) = f(0) = 0$।
अतः,$f(x) = \lim_{n \to \infty} (-1)^n f(x/2^n) = 0$।
इसलिए,शर्त को पूरा करने वाला एकमात्र सतत फलन शून्य फलन $f(x) = 0$ है।
अतः,ऐसे केवल $1$ फलन संभव हैं।

(D) संबंध $f(n) + \frac{1}{n} f(n+1) = 1$ दिया गया है,जिसे हम $f(n+1) = n(1 - f(n))$ लिख सकते हैं।
$n=3$ के लिए: $f(4) = 3(1 - f(3))$। चूंकि $f(4) \in \mathbb{Z}$ और $|f(4)| \leq 8$,इसलिए $f(4)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। $f(4)$ के संभावित मान $\{-6, -3, 0, 3, 6\}$ हैं।
$n=2$ के लिए: $f(3) = 2(1 - f(2))$। अतः $f(3)$ एक सम पूर्णांक होना चाहिए ताकि $|f(3)| \leq 8$ हो। $f(3)$ के संभावित मान $\{-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\}$ हैं।
$n=1$ के लिए: $f(2) = 1(1 - f(1)) = 1 - f(1)$। अतः $f(2)$ कोई भी पूर्णांक हो सकता है ताकि $|f(2)| \leq 8$ हो।
शर्तों की जाँच करने पर:
$1$. $f(4) = 3(1 - f(3)) \implies f(3) = 1 - \frac{f(4)}{3}$। $f(3)$ को सम पूर्णांक होने के लिए,$\frac{f(4)}{3}$ को विषम पूर्णांक होना चाहिए। अतः $f(4) \in \{-3, 3\}$।
$2$. यदि $f(4) = -3$,तो $f(3) = 1 - (-1) = 2$। तब $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 1 = 0$। तब $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 0 = 1$। सभी मान $[-8, 8]$ की सीमा में हैं।
$3$. यदि $f(4) = 3$,तो $f(3) = 1 - 1 = 0$। तब $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 0 = 1$। तब $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 1 = 0$। सभी मान $[-8, 8]$ की सीमा में हैं।
अतः,ऐसे $2$ फलन संभव हैं।

(C) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,यह $\mathbb{N}$ पर कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(n) = cn$ है।
चूंकि $f(1) = \frac{1}{5}$,इसलिए $c(1) = \frac{1}{5}$,अतः $f(n) = \frac{n}{5}$ है।
अब,योग में $f(n) = \frac{n}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{n=1}^m \frac{n/5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$.
अतः,योग $\frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$ हो जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:
$\frac{1}{5} \left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}) \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{m+2} \right)$.
चूंकि योग $\frac{1}{12}$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{1}{5} \left( \frac{m+2-2}{2(m+2)} \right) = \frac{1}{12} \implies \frac{m}{10(m+2)} = \frac{1}{12}$ है।
$12m = 10m + 20 \implies 2m = 20 \implies m = 10$.

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y) - 1$ है।
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ और $y = 0$ रखें:
$f(0 + 0) = f(0) + f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 2f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 1$.
अब,अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
दिए गए संबंध $f(x + h) = f(x) + f(h) - 1$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) - 1 - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - 1}{h}$.
चूंकि $f(0) = 1$,हम $1 = f(0)$ लिख सकते हैं:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0)$.
दिया गया है कि $f'(0) = 2$,इसलिए $f'(x) = 2$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = 2x + C$.
$f(0) = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 = 2(0) + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = 2x + 1$.
अब,$f(-2)$ की गणना करें:
$f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
इसलिए,$|f(-2)| = |-3| = 3$.

(C) दिया गया फलन समीकरण $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ है।
$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$5f(0) = f(0)^2$ प्राप्त होता है। चूँकि सह-प्रांत $(0, \infty)$ है,इसलिए $f(0) \neq 0$,अतः $f(0) = 5$ है।
$y = 1$ रखने पर,$5f(x + 1) = f(x) \cdot f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{f(x + 1)}{f(x)} = \frac{f(1)}{5}$।
यह दर्शाता है कि $f(n)$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r = \frac{f(1)}{5}$ है।
हम जानते हैं कि $f(3) = f(0) \cdot r^3 = 5 \cdot r^3 = 320$ है।
अतः,$r^3 = 64$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(n) = f(0) \cdot r^n = 5 \cdot 4^n$ है।
योगफल $\sum_{n=0}^5 f(n) = \sum_{n=0}^5 5 \cdot 4^n = 5(1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5)$ होगा।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करने पर,$5 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1} = 5 \cdot \frac{4096 - 1}{3} = 5 \cdot \frac{4095}{3} = 5 \cdot 1365 = 6825$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन समीकरण: $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1 + x$ $(1)$
$(1)$ में $x = 2$ रखने पर:
$f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = 1 + 2$
$f(2) + f(-1) = 3$ $(2)$
$(1)$ में $x = -1$ रखने पर:
$f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = 1 + (-1)$
$f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ $(3)$
$(1)$ में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-1/2}\right) = 1 + \frac{1}{2}$
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = \frac{3}{2}$ $(4)$
अब,$(2) + (4) - (3)$ करने पर:
$(f(2) + f(-1)) + (f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2)) - (f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right)) = 3 + \frac{3}{2} - 0$
$2f(2) = \frac{9}{2}$
$f(2) = \frac{9}{4}$

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ है।
$x=y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}$.
समीकरण में $y=x$ रखने पर:
$f^{\prime}(1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
चूँकि $f^{\prime}(1) = 2024$ है,हमें प्राप्त होता है:
$2024 \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:
$x f^{\prime}(x) = 2024 f(x)$,
जिसका अर्थ है कि $x f^{\prime}(x) - 2024 f(x) = 0$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(m+n) = f(m) + f(n)$ है।
यह कौशी का फलन समीकरण है,जो दर्शाता है कि $f(x) = cx$ है।
$f(1) = 1$ होने के कारण,$c = 1$ प्राप्त होता है,अतः $f(x) = x$ है।
अब,$\sum_{k=1}^{2022} f(\lambda+k) \leq (2022)^2$ में मान रखने पर:
$\sum_{k=1}^{2022} (\lambda+k) \leq (2022)^2$.
$2022\lambda + \frac{2022 \times 2023}{2} \leq (2022)^2$.
$2022$ से भाग देने पर: $\lambda + 1011.5 \leq 2022$.
$\lambda \leq 1010.5$.
अतः,सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या $\lambda = 1010$ है।

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।
$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (जहाँ $k$ एक अचर है)।
अब,किसी भी $x \in R$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:
$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = k$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ एक अचर फलन है।
$f^{\prime}(x) = k$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = kx + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(0)=0$,इसलिए $C=0$,अतः $f(x) = kx$।
एक रैखिक फलन $f(x) = kx$ सभी $x \in R$ के लिए सतत और अवकलनीय होता है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(C) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$। यह कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि सभी $x \in Q$ के लिए $f(x)=ax$ है।
दिया गया है कि $f\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,इसलिए $a\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,जिसका अर्थ है कि $a=-20$। अतः,$f(x)=-20x$ है।
इसलिए $f\left(\frac{1}{4}\right)=-20\left(\frac{1}{4}\right)=-5$ है।
दिया गया है कि $g(x+y)=g(x)g(y)$,जो दर्शाता है कि किसी $b>0$ के लिए $g(x)=b^x$ है।
दिया गया है कि $g\left(\frac{-1}{3}\right)=2$,इसलिए $b^{-1/3}=2$,जिसका अर्थ है कि $b^{-1}=2^3=8$,इसलिए $b=\frac{1}{8}$ है।
अतः,$g(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^x=8^{-x}=2^{-3x}$ है।
इसलिए $g(-2)=2^{-3(-2)}=2^6=64$ है।
साथ ही,$g(0)=b^0=1$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\left(f\left(\frac{1}{4}\right)+g(-2)-8\right)g(0) = (-5+64-8)(1) = 51$।

(NONE) दिया गया है $f(x) = (3a+2)x^2 + \left(\frac{a+2}{a-1}\right)x + b$.
$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$ में $x=y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = 2f(0) + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = -1$.
चूँकि $f(0) = b$,इसलिए $b = -1$.
अब,$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$.
$f(x+y) = A(x+y)^2 + B(x+y) + C$ के विस्तार में $xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2A = -\frac{2}{7}$,इसलिए $A = -\frac{1}{7}$.
चूँकि $A = 3a+2$,इसलिए $3a+2 = -\frac{1}{7} \Rightarrow 3a = -\frac{15}{7} \Rightarrow a = -\frac{5}{7}$.
अब,$B = \frac{a+2}{a-1} = \frac{-5/7 + 2}{-5/7 - 1} = -\frac{3}{4}$.
अतः,$f(x) = -\frac{1}{7}x^2 - \frac{3}{4}x - 1$.
हमें $28 \sum_{i=1}^3 |f(i)|$ की गणना करनी है।
$f(1) = -\frac{53}{28}$,$f(2) = -\frac{86}{28}$,$f(3) = -\frac{127}{28}$.
$28 \sum_{i=1}^3 |f(i)| = 28 \left( \frac{53}{28} + \frac{86}{28} + \frac{127}{28} \right) = 53 + 86 + 127 = 266$.

(B) दिया गया है $f(x)f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$.
मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूँकि $f(x)$ घात $2$ का बहुपद है,$a \neq 0$ है।
समीकरण में $f(x)$ का मान रखने पर: $(ax^2 + bx + c)(a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c) = ax^2 + bx + c + a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $c = 1$ और $a = -1$ प्राप्त होता है (क्योंकि परिसर $(-\infty, 1)$ है)।
अतः,$f(x) = 1 - x^2$.
दिया गया है $f(K) = -2K$,इसलिए $1 - K^2 = -2K$,जो सरल होकर $K^2 - 2K - 1 = 0$ हो जाता है।
मान लीजिए मूल $K_1$ और $K_2$ हैं। वर्गों का योग $K_1^2 + K_2^2 = (K_1 + K_2)^2 - 2K_1K_2$ है।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करने पर,$K_1 + K_2 = 2$ और $K_1K_2 = -1$.
इसलिए,$K_1^2 + K_2^2 = (2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$.

(B) दिया गया समीकरण: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f(2x+2y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = f(2x-2y)(\sin x \cos y + \cos x \sin y)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $f(2x+2y)\sin(x-y) = f(2x-2y)\sin(x+y)$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{f(2x+2y)}{\sin(x+y)} = \frac{f(2x-2y)}{\sin(x-y)}$.
मान लीजिए $2x+2y = m$ और $2x-2y = n$. तब $x+y = m/2$ और $x-y = n/2$.
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{f(m)}{\sin(m/2)} = \frac{f(n)}{\sin(n/2)} = K$ (एक स्थिरांक).
अतः,$f(x) = K \sin(x/2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{K}{2} \cos(x/2)$.
दिया गया है कि $f'(0) = 1/2$,इसलिए $\frac{K}{2} \cos(0) = 1/2$,जिसका अर्थ है $K = 1$.
अतः,$f(x) = \sin(x/2)$.
अब $f'(x) = \frac{1}{2} \cos(x/2)$ और $f''(x) = -\frac{1}{4} \sin(x/2)$.
हमें $24f''\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 24 \left(-\frac{1}{4} \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $\sin(5\pi/6) = 1/2$,इसलिए मान $24 \left(-\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\right) = 24 \left(-\frac{1}{8}\right) = -3$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $f(x) + 3f\left(\frac{24}{x}\right) = 4x$
चरण $1$: $x = 3$ रखने पर:
$f(3) + 3f(8) = 12$ --- (समीकरण $1$)
चरण $2$: $x = 8$ रखने पर:
$f(8) + 3f(3) = 32$ --- (समीकरण $2$)
चरण $3$: समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$4(f(3) + f(8)) = 44$
चरण $4$: $4$ से भाग देने पर:
$f(3) + f(8) = 11$

(C) दिया गया है कि $h(x) = f(x+1) - g(x+2)$.
$h(x)$ में $x^3$ वाले पदों का विस्तार करने पर:
$f(x+1) = a_1 + 10(x+1) + a_2(x+1)^2 + a_3(x+1)^3 + (x+1)^4$
$f(x+1)$ में $x^3$ का गुणांक $a_3 + 4(1) = a_3 + 4$ है।
$g(x+2) = b_1 + 3(x+2) + b_2(x+2)^2 + b_3(x+2)^3 + (x+2)^4$
$g(x+2)$ में $x^3$ का गुणांक $b_3 + 4(2) = b_3 + 8$ है।
अतः,$h(x)$ में $x^3$ का गुणांक $(a_3 + 4) - (b_3 + 8) = a_3 - b_3 - 4$ है।
चूंकि प्रत्येक $x \in R$ के लिए $f(x) - g(x) \neq 0$ है,इसलिए व्यंजक $f(x) - g(x) = (a_3 - b_3)x^3 + (a_2 - b_2)x^2 + 7x + (a_1 - b_1)$ का कोई वास्तविक मूल नहीं होना चाहिए।
त्रिघात बहुपद का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए $x^3$ का गुणांक $0$ होना चाहिए (अन्यथा,यह एक त्रिघात समीकरण होगा जिसका हमेशा कम से कम एक वास्तविक मूल होता है)।
इसलिए,$a_3 - b_3 = 0$ है।
इस मान को $h(x)$ में $x^3$ के गुणांक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 - 4 = -4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $3 f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = 8 \log_2 x^3 = 24 \log_2 x$ $(i)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर: $3 f\left(\frac{1}{x}\right) - f(x) = 24 \log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = -24 \log_2 x$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9 f(x) - 3 f\left(\frac{1}{x}\right) = 72 \log_2 x$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $(9 f(x) - f(x)) + (3 f\left(\frac{1}{x}\right) - 3 f\left(\frac{1}{x}\right)) = 72 \log_2 x - 24 \log_2 x$
$8 f(x) = 48 \log_2 x \Rightarrow f(x) = 6 \log_2 x$
अब,मान ज्ञात करते हैं:
$f(2) = 6 \log_2 2 = 6(1) = 6$
$f(4) = 6 \log_2 4 = 6(2) = 12$
$f(8) = 6 \log_2 8 = 6(3) = 18$
चूंकि $12 - 6 = 6$ और $18 - 12 = 6$,सार्व अंतर समान है।
अतः,$f(2), f(4), f(8)$ $A$.$P$. में हैं।

(D) हमें फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ दिया गया है।
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$.
दिए गए समीकरण का उपयोग करते हुए,$f(3+h)=f(3) \cdot f(h)$.
इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3) \cdot f(h)-f(3)}{h} = f(3) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
चूंकि $f(0+0)=f(0) \cdot f(0)$,इसलिए $f(0)=f(0)^2$,जिसका अर्थ है $f(0)=1$.
अतः,$f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$.
$f(3)=3$ और $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$ के मानों को $f^{\prime}(3)$ के समीकरण में रखने पर:
$f^{\prime}(3) = 3 \times 11 = 33$.

(A) दिया गया है $f(x) = x^{2} - 3x + 4$।
सबसे पहले,हम $f(2x + 1)$ ज्ञात करते हैं:
$f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= (4x^{2} + 4x + 1) - 6x - 3 + 4$
$= 4x^{2} - 2x + 2$।
चूंकि $f(x) = f(2x + 1)$,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
अतः,$x = -1$ या $x = \frac{2}{3}$।

(B) दिया गया है कि $f(10-x) = 3x^2 + 4x - 5$ और $f(x) = px^2 + qx + r$ है।
हमें $p+q+r$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $p+q+r = f(1)$ होता है।
$f(1)$ ज्ञात करने के लिए,हम $10-x = 1$ रखते हैं,जिससे $x = 9$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण में $x = 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(10-9) = 3(9)^2 + 4(9) - 5$
$f(1) = 3(81) + 36 - 5$
$f(1) = 243 + 36 - 5$
$f(1) = 279 - 5 = 274$।
अतः,$p+q+r = 274$।

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$,जिसका हल $f(x)=cx$ के रूप में होता है।
$f(1)=7$ दिया गया है,इसलिए $c(1)=7$,जिससे $c=7$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)=7x$.
हमें $\sum_{t=1}^{39} f(t) = \sum_{t=1}^{39} 7t$ की गणना करनी है।
यह $7 \times \sum_{t=1}^{39} t$ के बराबर है।
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{t=1}^{39} t = \frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.
इसलिए,$\sum_{t=1}^{39} f(t) = 7 \times 780 = 5460$.

(C) दिया गया संबंध $f(x f(y)) = f(x y) + x$ है।
चूंकि $f(x) - x = \lambda$,इसलिए $f(x) = x + \lambda$ है।
इसे फलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x(y + \lambda)) = (xy + \lambda) + x$
$x(y + \lambda) + \lambda = xy + \lambda + x$
$xy + x\lambda + \lambda = xy + \lambda + x$
पदों की तुलना करने पर,हमें $x\lambda = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 1$।
अतः,$f(x) = x + 1$।
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + 1)^{\frac{1}{3}} - 1}{(x + 1)^{\frac{1}{2}} - 1}$
मानक सीमा सूत्र $\lim _{u \rightarrow 1} \frac{u^n - 1}{u - 1} = n$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{(1 + x) - 1} \cdot \frac{(1 + x) - 1}{(1 + x)^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$।

(A) दिया गया है: $f(x) = \frac{2x+1}{3}$ ...$(i)$
साथ ही,$f(\alpha) = \frac{1}{\alpha}$।
फलन की परिभाषा में $\alpha$ रखने पर:
$\frac{2\alpha+1}{3} = \frac{1}{\alpha}$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha = 3$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2\alpha^2 + 3\alpha - 2\alpha - 3 = 0$
$\Rightarrow \alpha(2\alpha + 3) - 1(2\alpha + 3) = 0$
$\Rightarrow (\alpha - 1)(2\alpha + 3) = 0$
अतः,$\alpha$ के संभावित मान $\alpha = 1$ और $\alpha = -\frac{3}{2}$ हैं।
$\alpha$ के सभी संभावित मानों का योग $1 + (-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ है।

(D) दिया गया है $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$ ... $(i)$
मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है। तब समीकरण $h(x+y) = h(x) + h(y)$ बन जाता है,जो कौशी का कार्यात्मक समीकरण है।
इसका हल $h(x) = cx$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
दिया गया है $g(1) = 2$ और $f(2) = 1$,इसलिए $h(1) = f(g(1)) = f(2) = 1$ है।
चूंकि $h(1) = c(1) = 1$,इसलिए $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$h(x) = f(g(x)) = x$ है।
चूंकि $f(g(x)) = x$ है,इसलिए $f$ और $g$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं।
इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $g(f(x)) = x$ है।
फलन $g(f(x)) = x$ एक बहुपद फलन है,जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर हर जगह सतत है।
अतः,वह समुच्चय जहाँ $g(f(x))$ असंतत है,रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ है,जहाँ $x, y \in Z$ है।
यह पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर कॉची का फलन समीकरण है।
इसका सामान्य हल $f(x) = kx$ है,जहाँ $k \in Z$ एक स्थिरांक है।
$f$ के बाइजेक्शन होने के लिए,इसे एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों होना चाहिए।
यदि $f(x) = kx$ है,तो $f$ एकैकी है यदि $kx_1 = kx_2 \implies x_1 = x_2$ हो,जो $k \neq 0$ के लिए सत्य है।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in Z$ के लिए एक ऐसा $x \in Z$ होना चाहिए कि $f(x) = y$,अर्थात $kx = y$ हो।
इसका अर्थ है $x = y/k$। प्रत्येक $y \in Z$ के लिए $x$ का पूर्णांक होने हेतु $k$ को $1$ का विभाजक होना चाहिए।
अतः,$k = 1$ या $k = -1$ है।
इसलिए,संभावित फलन $f(x) = x$ और $f(x) = -x$ हैं।
इस प्रकार,कुल $2$ बाइजेक्शन संभव हैं।

(B) दिया गया है,$f(x) = x^{9} - 11 x^{8} - 2 x^{7} + 22 x^{6} + x^{4} - 12 x^{3} + 11 x^{2} + x - 3$.
$f(11)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 11$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(11) = 11^{9} - 11(11)^{8} - 2(11)^{7} + 22(11)^{6} + 11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} + 11 - 3$.
पदों का अवलोकन करने पर:
$11^{9} - 11(11)^{8} = 11^{9} - 11^{9} = 0$.
$-2(11)^{7} + 22(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)^{7} = 0$.
$11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} = 11^{4} - 12(11)^{3} + 11^{3} = 11^{4} - 11(11)^{3} = 11^{4} - 11^{4} = 0$.
अतः,व्यंजक का सरलीकरण:
$f(11) = 0 + 0 + 0 + 11 - 3 = 8$.

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ है।
मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a(x+y)^2 + b(x+y) + c = (ax^2 + bx + c) + (ay^2 + by + c) + xy$.
$a(x^2 + 2xy + y^2) + bx + by + c = ax^2 + ay^2 + bx + by + 2c + xy$.
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2a = 1$,अतः $a = 1/2$.
अचर पदों की तुलना करने पर,$c = 2c$,अतः $c = 0$.
चूंकि $f(1) = 2$ दिया गया है,हमारे पास $a(1)^2 + b(1) = 2$ है,इसलिए $1/2 + b = 2$,जिससे $b = 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x = \frac{x(x+3)}{2}$.
हमें $\sum_{k=1}^{10} f(k) = \sum_{k=1}^{10} (\frac{1}{2}k^2 + \frac{3}{2}k) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{10} k$ की गणना करनी है।
योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$n=10$ के लिए: $\sum k^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = 385$ और $\sum k = \frac{10(11)}{2} = 55$.
योग $= \frac{1}{2}(385) + \frac{3}{2}(55) = 192.5 + 82.5 = 275$.

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+12y$ है।
$x=0$ रखने पर,हमें $f(y)=f(0)+12y$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(1)=6$,हमारे पास $6=f(0)+12(1)$ है,जिसका अर्थ है $f(0)=-6$।
अतः,$f(x)=12x-6$।
अब,हम योग $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n (12r-6)$ की गणना करते हैं।
$= 12 \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n 6$।
$= 12 \frac{n(n+1)}{2} - 6n$।
$= 6n(n+1) - 6n = 6n^2+6n-6n = 6n^2$।

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए है,जो कौशी का फलन समीकरण है,जिसका अर्थ है कि $f(x)=ax$ किसी स्थिरांक $a \in R$ के लिए।
दिया गया है कि $f(1)=7$,इसलिए $f(x)=ax$ में $x=1$ रखने पर $7=a(1)$ प्राप्त होता है,अर्थात $a=7$।
अतः,फलन $f(x)=7x$ है।
हमें योग $\sum_{r=1}^{n} f(r) = \sum_{r=1}^{n} 7r$ ज्ञात करना है।
स्थिरांक $7$ को बाहर लेने पर,हमें $7 \sum_{r=1}^{n} r$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$।
इसलिए,$\sum_{r=1}^{n} f(r) = 7 \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n(n+1)}{2}$।

(A) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$,इसलिए $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$ है।
फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ दिया गया है।
$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x + 1) = f(x) + f(1) + x$ प्राप्त होता है।
$f(1) = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$f(x + 1) - f(x) = x + 3$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ से $n - 1$ तक योग करने पर:
$\sum_{x=1}^{n-1} (f(x+1) - f(x)) = \sum_{x=1}^{n-1} (x + 3)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $f(n) - f(1) = \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$।
चूंकि $f(1) = 3$,इसलिए $f(n) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n}{2}$।
अब,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{2} + \frac{5n}{2})$ की गणना करते हैं।
योग सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)$।
$= 192.5 + 137.5 = 330$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2 + ax + b$ है।
सबसे पहले,$f(0)$ का मान ज्ञात करें:
$f(0) = (0)^2 + a(0) + b = b$.
अब,इस मान को दी गई शर्त $f(f(0)) = 0$ में रखें:
$f(b) = 0$.
फलन $f(x)$ में $x = b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b^2 + ab + b = 0$.
चूंकि $b \neq 0$ है,इसलिए हम पूरे समीकरण को $b$ से विभाजित कर सकते हैं:
$b + a + 1 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a + b = -1$.

(B) दिया गया फलन $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ है,जहाँ $x, y > 0$ है।
हमें $f(30) = 20$ दिया गया है।
$f(40)$ ज्ञात करने के लिए,हम $40$ को $30 \times \frac{4}{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए फलन समीकरण में $x = 30$ और $y = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$f(30 \times \frac{4}{3}) = \frac{f(30)}{\frac{4}{3}}$.
$f(40) = f(30) \times \frac{3}{4}$.
$f(30) = 20$ का मान रखने पर:
$f(40) = 20 \times \frac{3}{4} = 5 \times 3 = 15$.

(D) दिया गया है,$f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2} f(x)$ ---$(i)$
$(i)$ में $x$ को $x+1$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x+2)+f(x)=\sqrt{2} f(x+1)$ ---(ii)
$(i)$ में $x$ को $x-1$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x)+f(x-2)=\sqrt{2} f(x-1)$ ---(iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}[f(x+1)+f(x-1)]$
दाहिनी ओर $(i)$ से मान रखने पर:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}(\sqrt{2} f(x))$
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=2f(x)$
$f(x+2)+f(x-2)=0$

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}, (a > 2) . . . . (i)$
हमें $f(x + y) + f(x - y)$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x + y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2}$
$f(x - y) = \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
अब,$f(x + y) + f(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-x-y}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-x+y}}{2}$
$= \frac{a^x \cdot a^y + a^{-x} \cdot a^{-y} + a^x \cdot a^{-y} + a^{-x} \cdot a^y}{2}$
$= \frac{a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})}{2}$
$= \frac{(a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})}{2}$
$= 2 \cdot \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \cdot \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 \cdot f(x) \cdot f(y)$

(A) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ फलन $f(x+y)=f(x)+f(y)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $\forall x, y \in R$ और $f(1)=5$ है।
चूँकि $f(x+y)=f(x)+f(y)$,इसलिए किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $f(n)=n \cdot f(1)$ होता है।
$f(1)=5$ दिया गया है,अतः $f(n)=5n$ प्राप्त होता है।
हमें $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 5r$ का योग ज्ञात करना है।
यह $5 \sum_{r=1}^n r$ के बराबर है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
अतः,$\sum_{r=1}^n f(r) = 5 \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n(n+1)}{2}$.

(A) दिया गया फलन संबंध: $(f(x))^2 = f(x^2) + f(1)$ है।
हम समीकरण में $f(x) = x + \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करके विकल्पों की जाँच करते हैं।
दाएँ पक्ष $(RHS)$ के लिए: $f(x^2) + f(1) = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + (1 + \frac{1}{1}) = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$ है।
इसे $(x + \frac{1}{x})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $(f(x))^2 = (x + \frac{1}{x})^2$,इसलिए बायाँ पक्ष $(LHS)$ दाएँ पक्ष $(RHS)$ के बराबर है।
अतः,$f(x) = x + \frac{1}{x}$ सही उत्तर है।

(D) दिए गए फलन $f: N \times N \rightarrow N$ के लिए शर्तें:
$f(1,1) = 2$
$f(m+1, n) = f(m, n) + 2(m+n)$
$f(m, n+1) = f(m, n) + 2(m+n-1)$
$f(2,2)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करेंगे:
सबसे पहले,$m=1, n=1$ लेकर पहले संबंध का उपयोग करके $f(2,1)$ ज्ञात करें:
$f(2,1) = f(1,1) + 2(1+1) = 2 + 2(2) = 2 + 4 = 6$
इसके बाद,$m=2, n=1$ लेकर दूसरे संबंध का उपयोग करके $f(2,2)$ ज्ञात करें:
$f(2,2) = f(2,1) + 2(2+1-1) = 6 + 2(2) = 6 + 4 = 10$
वैकल्पिक रूप से,दूसरे मार्ग का उपयोग करते हुए:
$f(1,2) = f(1,1) + 2(1+1-1) = 2 + 2(1) = 4$
$f(2,2) = f(1,2) + 2(1+2) = 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10$
अतः,$f(2,2) = 10$.

(C) माना $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_n$ है।
दिया गया फलन समीकरण $f(x) \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ है।
यह समीकरण $f(x) = 1 \pm x^n$ द्वारा संतुष्ट होता है।
दिया गया है कि $f(4) = 257$,इसलिए $1 \pm 4^n = 257$ है।
इसका अर्थ है कि $4^n = 256$,अतः $n = 4$ है।
इस प्रकार,$f(x) = 1 + x^4$ है।
अंत में,$f(3) = 1 + 3^4 = 1 + 81 = 82$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए,यह कॉची का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि $f(x) = cx$ किसी स्थिरांक $c$ के लिए।
चूंकि $f(1) = 7$,हमें $c(1) = 7$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 7$।
अतः,$f(x) = 7x$।
अब,हमें $\sum_{r=1}^{n} f(r) = 14112$ दिया गया है।
$f(r) = 7r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=1}^{n} 7r = 14112$ प्राप्त होता है।
$7 \sum_{r=1}^{n} r = 14112$।
$7 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 14112$।
$\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{14112}{7} = 2016$।
$n(n + 1) = 4032$।
चूंकि $63 \times 64 = 4032$,इसलिए $n = 63$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ और पुनरावृत्ति संबंध $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ जहाँ $x \ge 3$ है।
हम चरण-दर-चरण मानों की गणना करते हैं:
$f(3) = f(1) + f(0) = 1 + 0 = 1$
$f(4) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3$
$f(5) = f(3) + f(2) = 1 + 2 = 3$
$f(6) = f(4) + f(3) = 3 + 1 = 4$
$f(7) = f(5) + f(4) = 3 + 3 = 6$
$f(8) = f(6) + f(5) = 4 + 3 = 7$
$f(9) = f(7) + f(6) = 6 + 4 = 10$
अतः,$f(9) = 10$।

(B) दी गई शर्तें $f(x+y) = f(x) + f(y)$ और $f(xy) = f(x)f(y)$ हैं।
$x, y \in \mathbb{Q}$ के लिए,इन समीकरणों के केवल दो ही हल हैं: तत्समक फलन $f(x) = x$ और शून्य फलन $f(x) = 0$।
$1$. यदि $f(1) = 0$ है,तो $f(x) = 0$ प्राप्त होता है।
$2$. यदि $f(1) \neq 0$ है,तो $f(1) = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $f(x) = x$ सिद्ध होता है।
अतः,ऐसे कुल $2$ फलन हैं।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर परिभाषित कौशी का कार्यात्मक समीकरण है।
किसी भी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए,हम लिख सकते हैं $f(nx) = nf(x)$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
विशेष रूप से,$x = 1$ के लिए,हमें $f(n) = f(n \cdot 1) = n \cdot f(1)$ प्राप्त होता है।
माना $f(1) = c$,जहाँ $c$ कोई भी पूर्णांक स्थिरांक है क्योंकि सह-प्रांत $\mathbb{Z}$ है।
इस प्रकार,किसी भी $c \in \mathbb{Z}$ के लिए $f(n) = cn$ होता है।
चूँकि पूर्णांक $c$ के लिए अनंत विकल्प हैं,इसलिए ऐसे अनंत फलन संभव हैं।

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है।
$x=4$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(4+0)=f(4) \cdot f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(4)=f(4) \cdot f(0)$। चूंकि $f(x)$ अवकलनीय है,$f(x)$ शून्य नहीं है,इसलिए $f(0)=1$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$।
$f(x+h)=f(x) \cdot f(h)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0)=1$,यह $f^{\prime}(x) = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f(x) \cdot f^{\prime}(0)$ बन जाता है।
दिया गया है कि $f^{\prime}(4)=24$ और $f^{\prime}(0)=3$,इसलिए $f^{\prime}(4) = f(4) \cdot f^{\prime}(0)$ में मान रखने पर:
$24 = f(4) \cdot 3$।
अतः,$f(4) = \frac{24}{3} = 8$।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)(f(0)-1)=0$।
चूँकि $f(x) \neq 0$ सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f(0)=1$ होना चाहिए।
$x=0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 4$।
अब,किसी भी $x$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:
$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$।
सीमा का मान रखने पर,हमें $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 4 = 4f(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(6) = 4f(6) = 4 \times 3 = 12$।

(D) दिया गया फलन संबंध: $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ है।
समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$f(x(0)+1) = f(x)f(0) - f(0) - x + 2$
चूंकि $f(0)=1$,इसलिए:
$f(1) = f(x)(1) - 1 - x + 2$
$f(1) = f(x) - x + 1$
$f(x)$ को व्यवस्थित करने पर:
$f(x) = x + f(1) - 1$
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x + f(1) - 1)$
चूंकि $f(1)$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलन $0$ होगा:
$\frac{df}{dx} = 1 + 0 - 0 = 1$
अतः,$x=e$ पर $\frac{df}{dx}$ का मान $1$ है।

(C) दिया गया है $f(x) f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$.
माना $f(x) = x^2 + 1$ एक द्विघात फलन है।
मान ज्ञात करने पर:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} + 1 = \frac{13}{9}$.
$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$.
अब,$\sqrt{f\left(\frac{2}{3}\right) + f\left(\frac{3}{2}\right)} = \sqrt{\frac{13}{9} + \frac{13}{4}} = \sqrt{\frac{169}{36}} = \frac{13}{6}$.

(C) दिया गया है,$f(x)=x^2-2x+4$.
हमें $f(x-1)=f(x+1)$ को हल करना है।
फलन में $(x-1)$ और $(x+1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-1)^2-2(x-1)+4 = (x+1)^2-2(x+1)+4$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2-2x+1) - 2x + 2 + 4 = (x^2+2x+1) - 2x - 2 + 4$.
सरल करने पर:
$x^2-4x+7 = x^2+3$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$-4x+7 = 3$.
$-4x = -4$.
$x = 1$.
अतः,$x$ के मानों का समुच्चय $\{1\}$ है।