Functional Equations Questions in Hindi

(NONE) दिया गया समीकरण: $3 f(x) + 4 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2-x}{x} \quad \dots (1)$
समीकरण $(1)$ में $x = 3$ रखने पर:
$3 f(3) + 4 f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} \quad \dots (2)$
अब,समीकरण $(1)$ में $x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$3 f\left(\frac{1}{3}\right) + 4 f(3) = \frac{2 - 1/3}{1/3} = \frac{5/3}{1/3} = 5 \quad \dots (3)$
समीकरण $(2)$ से,$4 f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3} - 3 f(3)$,इसलिए $f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)$।
इसे समीकरण $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \left(-\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)\right) + 4 f(3) = 5$
$-\frac{1}{4} - \frac{9}{4} f(3) + 4 f(3) = 5$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$-1 - 9 f(3) + 16 f(3) = 20$
$7 f(3) = 21$
$f(3) = 3$.

(B) दिया गया है कि $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = 9x^2 + \frac{1}{4x^2}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = (3x)^2 + \left(\frac{1}{2x}\right)^2 + 2(3x)\left(\frac{1}{2x}\right) - 3$.
यह सरल होकर $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = \left(3x + \frac{1}{2x}\right)^2 - 3$ हो जाता है।
अतः,फलन का सामान्य रूप $f(t) = t^2 - 3$ है।
दिया गया है कि $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1$,इसलिए $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3 = 1$ रखने पर।
इससे $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $x + \frac{1}{x} = \pm 2$.
स्थिति $1$: $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
स्थिति $2$: $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$.
अतः,$x = \pm 1$.

(D) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$ और $f(1)=7$ है।
गणितीय आगमन द्वारा,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $r$ के लिए,$f(r) = r \cdot f(1)$ होता है।
चूँकि $f(1)=7$ है,इसलिए $f(r) = 7r$ होगा।
अब,हमें योग $\sum_{r=1}^n f(r)$ की गणना करनी है।
$\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 7r = 7 \sum_{r=1}^n r$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
अतः,$\sum_{r=1}^n f(r) = 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n(n+1)}{2}$।

(A) दिया गया है,$f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$.
हमारे पास $f(x+y) = \frac{3^{x+y} + 3^{-(x+y)}}{2}$ और $f(x-y) = \frac{3^{x-y} + 3^{-(x-y)}}{2}$ है।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x \cdot 3^y + 3^{-x} \cdot 3^{-y} + 3^x \cdot 3^{-y} + 3^{-x} \cdot 3^y]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x(3^y + 3^{-y}) + 3^{-x}(3^y + 3^{-y})]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} (3^x + 3^{-x})(3^y + 3^{-y})$.
चूंकि $f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$,इसलिए $(3^x + 3^{-x}) = 2f(x)$ और $(3^y + 3^{-y}) = 2f(y)$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [2f(x) \cdot 2f(y)] = 2f(x)f(y)$.
इसे $f(x+y) + f(x-y) = a f(x) f(y)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए।
यह कॉची का कार्यात्मक समीकरण है,और $f: R \rightarrow R$ के लिए,हल $f(x)=cx$ है।
दिया गया है $f(1)=10$,इसलिए $c(1)=10$,जिसका अर्थ है $c=10$।
अतः,$f(x)=10x$।
हमें $\sum_{r=1}^n(f(r))^2 = \sum_{r=1}^n(10r)^2$ ज्ञात करना है।
$= 100 \sum_{r=1}^n r^2$।
सूत्र $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$= 100 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
$= \frac{50}{3} n(n+1)(2n+1)$।

(B) दिया गया है कि $f(1)=0$ और $f(n+1)-f(n)=5n$ सभी $n \in N$ के लिए।
हम पुनरावृत्ति संबंध को $f(k+1)-f(k)=5k$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस संबंध का $k=1$ से $n-1$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k)) = \sum_{k=1}^{n-1} 5k$.
बाईं ओर एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:
$(f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + \ldots + (f(n)-f(n-1)) = 5 \sum_{k=1}^{n-1} k$.
$f(n)-f(1) = 5 \times \frac{(n-1)n}{2}$.
चूंकि $f(1)=0$,इसलिए $f(n) = \frac{5}{2}(n^2-n)$.

(C) दिया गया है,$2f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ --- $(i)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{4}{x}$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 8x$ --- (iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) को घटाने पर:
$(4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) - (f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) = 8x - \frac{4}{x}$
$3f(x) = 8x - \frac{4}{x} = \frac{8x^2 - 4}{x}$
$f(x) = \frac{4(2x^2 - 1)}{3x}$
अब,$S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$ के लिए:
$f(-x) = \frac{4(2(-x)^2 - 1)}{3(-x)} = -\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = -f(x)$
$f(x) = f(-x)$ रखने पर,$f(x) = -f(x)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(x) = 0$,अतः $f(x) = 0$.
$\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = 0 \implies 2x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$S = \left\{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$.
$S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया है,$f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$। यह एक फलन समीकरण है जिसका हल $f(x)=a^x$ के रूप में होता है।
दिया है $f(1)=2$,इसलिए $a^1=2 \Rightarrow a=2$। अतः,$f(x)=2^x$।
अब,$2|x|+5|y| \leq 4$ द्वारा घिरे क्षेत्र पर विचार करें। यह एक समचतुर्भुज (rhombus) है जिसके शीर्ष $(\pm 2, 0)$ और $(0, \pm 4/5)$ पर हैं।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $4 \times \text{प्रथम चतुर्थांश में एक त्रिभुज का क्षेत्रफल}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= 4 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{4}{5}) = 4 \times \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$।
हमें $\frac{16}{5}$ को $f(1)=2^1=2$,$f(2)=2^2=4$,और $f(4)=2^4=16$ के पदों में व्यक्त करना है।
ध्यान दें कि $1+f(2) = 1+4 = 5$।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{16}{5} = \frac{f(4)}{1+f(2)}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x - \frac{1}{x}$.
हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ जानते हैं।
$f(x)$ के लिए इसका उपयोग करने पर:
$[f(x)]^3 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$.
चूंकि $f(x^3) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ और $f(x) = x - \frac{1}{x}$,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$[f(x)]^3 = f(x^3) - 3(1)f(x)$.
$3f(x)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3f(x) = f(x^3) - [f(x)]^3$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$ है।
यह $f(x) = a^x$ के रूप का एक फलन है।
चूंकि $f(2) = 9$ है,इसलिए $a^2 = 9$,जिसका अर्थ है $a = 3$ (क्योंकि $f$ शून्येतर है)।
अतः,$f(x) = 3^x$।
इसलिए,$f(6) = 3^6$।

(D) माना $f(x) = ax + b$.
दिया गया समीकरण $f(f(x)) = x + f(x)$ है।
समीकरण में $f(x)$ का मान रखने पर:
$a(ax + b) + b = x + (ax + b)$
$a^2x + ab + b = x + ax + b$
$a^2x + ab = x + ax$
$x(a^2 - a - 1) + ab = 0$.
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$a^2 - a - 1 = 0$ और $ab = 0$.
चूंकि $a^2 - a - 1 = 0$,इसलिए $a$ शून्य नहीं हो सकता,अतः $b = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $a^2 - a - 1 = 0$ को हल करने पर:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
अतः,फलन $f(x) = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)x$ और $f(x) = \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)x$ हैं।
ऐसे $2$ वास्तविक रैखिक फलन हैं।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ है।
यह जेन्सेन का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि $f(x)$ एक रैखिक फलन है जिसका रूप $f(x) = ax + b$ है।
हमें $f(0) = 1$ दिया गया है।
$f(x) = ax + b$ में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(0) = a(0) + b = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 1$ है।
अब,$f(x) = ax + 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = a$ प्राप्त होता है।
हमें $f^{\prime}(0) = -1$ दिया गया है।
चूंकि $f^{\prime}(x) = a$ एक स्थिरांक है,इसलिए $f^{\prime}(0) = a = -1$ है।
अतः,फलन $f(x) = -x + 1$ है।
$f(2)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = 2$ रखें:
$f(2) = -(2) + 1 = -1$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x)f(y) = f(x+y)$ है।
चूंकि $f$ एकैकी है,इस कौशी फलन समीकरण का हल $f(x) = a^{kx}$ के रूप में है,जहाँ $a > 0, a \neq 1$ और $k \neq 0$ स्थिरांक हैं।
दिया गया है कि $f(x), f(y),$ और $f(z)$ $GP$ में हैं,इसलिए $(f(y))^2 = f(x)f(z)$ होगा।
$f(x) = a^{kx}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a^{ky})^2 = a^{kx} \cdot a^{kz}$ प्राप्त होता है।
यह $a^{2ky} = a^{k(x+z)}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $a \neq 1$ और $k \neq 0$,हम घातांकों की तुलना करते हैं: $2ky = k(x+z)$।
$k$ से विभाजित करने पर,हमें $2y = x+z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y,$ और $z$ $AP$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ एक एकैकी फलन है जो $\forall x, y \in R$ के लिए $f(x) f(y) = f(x+y)$ को संतुष्ट करता है।
यह कार्यात्मक समीकरण घातांकीय फलन $f(x) = a^x$ द्वारा संतुष्ट होता है,जहाँ $a > 0, a \neq 1$ है।
चूंकि $f(x), f(y), f(z)$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $(f(y))^2 = f(x) \cdot f(z)$ होगा।
$f(x) = a^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a^y)^2 = a^x \cdot a^z$ प्राप्त होता है।
यह $a^{2y} = a^{x+z}$ में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $2y = x+z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y, z$ $A$.$P$. में हैं।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$ प्राप्त होता है,जो हमेशा सत्य है।
मान लीजिए $f(0) = c$ है। तब $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+c}{3}$ होगा।
$y=0$ रखने पर,हमें $f\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{f(x)+f(0)+c}{3} = \frac{f(x)+2c}{3}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $f(x) = 3f\left(\frac{x}{3}\right) - 2c$ है।
चूंकि $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है,मान लीजिए $f'(0) = a$ है।
अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ है।
फलन समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हम पाते हैं कि $f(x)$ को $f(x) = ax+c$ के रूप का एक रैखिक फलन होना चाहिए।
$f(x) = ax+c$ को मूल समीकरण में रखने पर: $a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c = \frac{(ax+c)+(ay+c)+c}{3} = \frac{a(x+y)+3c}{3} = a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c$ प्राप्त होता है।
यह सभी $x, y$ के लिए सत्य है। अतः,$f(x)$ एक रैखिक फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = u x^2 + v x + w$.
चूंकि $f(x+y) = f(x) + f(y) + x y$,हम $f$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं:
$u(x+y)^2 + v(x+y) + w = (u x^2 + v x + w) + (u y^2 + v y + w) + x y$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$u(x^2 + 2 x y + y^2) + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
$u x^2 + 2 u x y + u y^2 + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
दोनों पक्षों में $x y$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $2 u = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $u = \frac{1}{2}$.
अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $w = 2 w$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $w = 0$.
दिया गया है $u + v + w = 3$,इसलिए $u = \frac{1}{2}$ और $w = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{2} + v + 0 = 3 \implies v = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} x$.
$f(1)$ की गणना करने पर:
$f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(C) माना $u = x+2y$ और $v = x-2y$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $u+v = (x+2y) + (x-2y) = 2x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{u+v}{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $u-v = (x+2y) - (x-2y) = 4y$,जिसका अर्थ है $y = \frac{u-v}{4}$।
दिया गया है कि $f(x+2y, x-2y) = xy$,इसलिए $u$ और $v$ का मान रखने पर $f(u, v) = \left(\frac{u+v}{2}\right) \left(\frac{u-v}{4}\right)$।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $f(u, v) = \frac{u^2-v^2}{8}$।
अब $u$ को $x$ और $v$ को $y$ से बदलने पर,हमें $f(x, y) = \frac{x^2-y^2}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $2f(x) + 3f(-x) = 15 - 4x$ ...$(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$2f(-x) + 3f(x) = 15 + 4x$ ...$(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4f(x) + 6f(-x) = 30 - 8x$ ...$(3)$
$6f(x) + 9f(-x) = 45 + 12x$ ...$(4)$
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$5f(x) = 15 + 20x$
$f(x) = 3 + 4x$
अतः,$f(2) = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11$.

(C) दिया है $f(1)=1$ और $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ जहाँ $n \geq 2$ है।
मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$ है। तब $S_n = n(n+1) f(n)$ है।
$n \geq 2$ के लिए,$S_n = S_{n-1} + n f(n) = n(n+1) f(n)$ है।
$S_{n-1} = (n-1)n f(n-1)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(n-1)n f(n-1) + n f(n) = n(n+1) f(n)$ प्राप्त होता है।
$n$ से विभाजित करने पर $(n \geq 2)$,हमें $(n-1) f(n-1) + f(n) = (n+1) f(n)$ प्राप्त होता है।
$(n-1) f(n-1) = n f(n) \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n} f(n-1)$ है।
$n=2$ के लिए,$f(2) = \frac{1}{2} f(1) = \frac{1}{2}$ है।
$n=3$ के लिए,$f(3) = \frac{2}{3} f(2) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ है।
सामान्यतः,$f(n) = \frac{1}{n}$ है।
अतः,$f(500) = \frac{1}{500}$ है।

(C) दिया गया है $m = \sum_{i=1}^9 i^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
अतः $\frac{m}{19x} = \frac{285}{19x} = \frac{15}{x}$.
समीकरण $3f(x) + 2f\left(\frac{15}{x}\right) = 5x$ में $x$ को $\frac{15}{x}$ से बदलने पर,
$3f\left(\frac{15}{x}\right) + 2f(x) = \frac{75}{x}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर $f(x) = 3x - \frac{30}{x}$ प्राप्त होता है।
$f(5) = 3(5) - \frac{30}{5} = 9$ और $f(2) = 3(2) - \frac{30}{2} = -9$.
अतः $f(5) - f(2) = 9 - (-9) = 18$.

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f(y)$ और $f(1)=7$ है। यह $f(x)=a^x$ के रूप का फलन है। चूँकि $f(1)=7$ है,इसलिए $a^1=7$,अतः $f(x)=7^x$ है।
दिया गया है कि $g(x+y)=g(xy)$ और $g(1)=1$ है। $y=1$ रखने पर,हमें $g(x+1)=g(x)$ प्राप्त होता है। चूँकि $g(1)=1$ है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{N}$ के लिए $g(x)=1$ होगा।
दिया गया योग $\sum_{x=1}^{n} \frac{f(x)}{g(x)} = 19607$ है।
फलनों का मान रखने पर,$\sum_{x=1}^{n} \frac{7^x}{1} = 19607$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $7 + 7^2 + \dots + 7^n = 19607$।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = a\frac{r^n-1}{r-1}$ होता है। यहाँ $a=7$ और $r=7$ है।
$7 \left(\frac{7^n-1}{7-1}\right) = 19607$।
$7 \left(\frac{7^n-1}{6}\right) = 19607$।
$7^n-1 = \frac{19607 \times 6}{7} = 2801 \times 6 = 16806$।
$7^n = 16807$।
चूँकि $7^5 = 16807$ है,इसलिए $n=5$ प्राप्त होता है।

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी $S = 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \dots = \frac{2}{1 - 1/3} = \frac{2}{2/3} = 3$ है।
दिया गया समीकरण: $\log_2(f(x)) = 3 \log_3(1 + \frac{f(x)}{f(1/x)})$.
मान लीजिए $f(x) = x^2 + 1$ है। दिया गया है कि $f(6) = 6^2 + 1 = 37$,जो शर्त को संतुष्ट करता है।
फलन समीकरण की जाँच करने पर: $f(1/x) = \frac{1}{x^2} + 1 = \frac{1+x^2}{x^2}$.
अतः $1 + \frac{f(x)}{f(1/x)} = 1 + \frac{x^2+1}{(1+x^2)/x^2} = 1 + x^2$.
समीकरण $\log_2(x^2+1) = 3 \log_3(1+x^2)$ बन जाता है। यदि $f(x) = x^2+1$ अभीष्ट बहुपद है,तो योग $\sum_{n=1}^{10} (n^2+1) = \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} 1 = \frac{10(11)(21)}{6} + 10 = 385 + 10 = 395$ होगा।