Functional Equations Questions in Gujarati

(NONE) આપેલ સમીકરણ: $3 f(x) + 4 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2-x}{x} \quad \dots (1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 3$ મૂકતા:
$3 f(3) + 4 f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} \quad \dots (2)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ માં $x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$3 f\left(\frac{1}{3}\right) + 4 f(3) = \frac{2 - 1/3}{1/3} = \frac{5/3}{1/3} = 5 \quad \dots (3)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$4 f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3} - 3 f(3)$,તેથી $f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3 \left(-\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)\right) + 4 f(3) = 5$
$-\frac{1}{4} - \frac{9}{4} f(3) + 4 f(3) = 5$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$-1 - 9 f(3) + 16 f(3) = 20$
$7 f(3) = 21$
$f(3) = 3$.

(B) આપેલ છે કે $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = 9x^2 + \frac{1}{4x^2}$.
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ: $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = (3x)^2 + \left(\frac{1}{2x}\right)^2 + 2(3x)\left(\frac{1}{2x}\right) - 3$.
આનું સાદું રૂપ $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = \left(3x + \frac{1}{2x}\right)^2 - 3$ થાય છે.
તેથી,વિધેયનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(t) = t^2 - 3$ છે.
આપેલ છે કે $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1$,તેથી $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3 = 1$.
આનાથી $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 4$ મળે,તેથી $x + \frac{1}{x} = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$.
આમ,$x = \pm 1$.

(D) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)+f(y)$ અને $f(1)=7$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $r$ માટે,$f(r) = r \cdot f(1)$ થાય.
અહીં $f(1)=7$ હોવાથી,$f(r) = 7r$ મળે.
હવે,આપણે સરવાળો $\sum_{r=1}^n f(r)$ શોધવાનો છે.
$\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 7r = 7 \sum_{r=1}^n r$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી,$\sum_{r=1}^n f(r) = 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n(n+1)}{2}$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x+y) = \frac{3^{x+y} + 3^{-(x+y)}}{2}$ અને $f(x-y) = \frac{3^{x-y} + 3^{-(x-y)}}{2}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x \cdot 3^y + 3^{-x} \cdot 3^{-y} + 3^x \cdot 3^{-y} + 3^{-x} \cdot 3^y]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x(3^y + 3^{-y}) + 3^{-x}(3^y + 3^{-y})]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} (3^x + 3^{-x})(3^y + 3^{-y})$.
કારણ કે $f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$,તેથી $(3^x + 3^{-x}) = 2f(x)$ અને $(3^y + 3^{-y}) = 2f(y)$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [2f(x) \cdot 2f(y)] = 2f(x)f(y)$.
આને $f(x+y) + f(x-y) = a f(x) f(y)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x+y)=f(x)+f(y)$ તમામ $x, y \in R$ માટે.
આ કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,અને $f: R \rightarrow R$ માટે,ઉકેલ $f(x)=cx$ છે.
આપેલ છે કે $f(1)=10$,તેથી $c(1)=10$,એટલે કે $c=10$.
આમ,$f(x)=10x$.
આપણે $\sum_{r=1}^n(f(r))^2 = \sum_{r=1}^n(10r)^2$ શોધવાનું છે.
$= 100 \sum_{r=1}^n r^2$.
સૂત્ર $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 100 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$= \frac{50}{3} n(n+1)(2n+1)$.

(B) આપેલ છે કે $f(1)=0$ અને $f(n+1)-f(n)=5n$ તમામ $n \in N$ માટે.
આપણે પુનરાવર્તિત સંબંધને $f(k+1)-f(k)=5k$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ સંબંધનો $k=1$ થી $n-1$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k)) = \sum_{k=1}^{n-1} 5k$.
ડાબી બાજુએ ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો મળે છે:
$(f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + \ldots + (f(n)-f(n-1)) = 5 \sum_{k=1}^{n-1} k$.
$f(n)-f(1) = 5 \times \frac{(n-1)n}{2}$.
કારણ કે $f(1)=0$,તેથી $f(n) = \frac{5}{2}(n^2-n)$.

(C) આપેલ છે,$2f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ --- $(i)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$2f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{4}{x}$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 8x$ --- (iii)
સમીકરણ (iii) માંથી સમીકરણ (ii) બાદ કરતા:
$(4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) - (f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) = 8x - \frac{4}{x}$
$3f(x) = 8x - \frac{4}{x} = \frac{8x^2 - 4}{x}$
$f(x) = \frac{4(2x^2 - 1)}{3x}$
હવે,$S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$ માટે:
$f(-x) = \frac{4(2(-x)^2 - 1)}{3(-x)} = -\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = -f(x)$
$f(x) = f(-x)$ મૂકતા,$f(x) = -f(x)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2f(x) = 0$,તેથી $f(x) = 0$.
$\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = 0 \implies 2x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$S = \left\{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$.
$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$. આ એક વિધેયાત્મક સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x)=a^x$ સ્વરૂપમાં છે.
આપેલ છે કે $f(1)=2$,તેથી $a^1=2 \Rightarrow a=2$. આમ,$f(x)=2^x$.
હવે,$2|x|+5|y| \leq 4$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લો. આ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus) છે જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, 0)$ અને $(0, \pm 4/5)$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $4 \times \text{પ્રથમ ચરણમાં એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{4}{5}) = 4 \times \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$.
આપણે $\frac{16}{5}$ ને $f(1)=2^1=2$,$f(2)=2^2=4$,અને $f(4)=2^4=16$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવાનું છે.
નોંધો કે $1+f(2) = 1+4 = 5$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{16}{5} = \frac{f(4)}{1+f(2)}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x - \frac{1}{x}$.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ જાણીએ છીએ.
$f(x)$ માટે આનો ઉપયોગ કરતા:
$[f(x)]^3 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$.
કારણ કે $f(x^3) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ અને $f(x) = x - \frac{1}{x}$,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$[f(x)]^3 = f(x^3) - 3(1)f(x)$.
$3f(x)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$3f(x) = f(x^3) - [f(x)]^3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$.
આ $f(x) = a^x$ પ્રકારનું વિધેય છે.
$f(2) = 9$ આપેલ હોવાથી,$a^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$ (કારણ કે $f$ શૂન્યતર છે).
તેથી,$f(x) = 3^x$.
આમ,$f(6) = 3^6$.

(D) ધારો કે $f(x) = ax + b$.
આપેલ સમીકરણ $f(f(x)) = x + f(x)$ છે.
સમીકરણમાં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$a(ax + b) + b = x + (ax + b)$
$a^2x + ab + b = x + ax + b$
$a^2x + ab = x + ax$
$x(a^2 - a - 1) + ab = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$a^2 - a - 1 = 0$ અને $ab = 0$.
કારણ કે $a^2 - a - 1 = 0$,તેથી $a$ શૂન્ય ન હોઈ શકે,એટલે $b = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $a^2 - a - 1 = 0$ ઉકેલતા:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
આમ,વિધેયો $f(x) = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)x$ અને $f(x) = \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)x$ છે.
આવા $2$ વાસ્તવિક સુરેખ વિધેયો મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ છે.
આ જેન્સનનું વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x)$ એ $f(x) = ax + b$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય છે.
આપણને $f(0) = 1$ આપેલ છે.
$f(x) = ax + b$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = a(0) + b = 1$ મળે છે,તેથી $b = 1$.
હવે,$f(x) = ax + 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = a$ મળે છે.
આપણને $f^{\prime}(0) = -1$ આપેલ છે.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = a$ એ અચળ છે,તેથી $f^{\prime}(0) = a = -1$.
આમ,વિધેય $f(x) = -x + 1$ છે.
$f(2)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $x = 2$ મૂકો:
$f(2) = -(2) + 1 = -1$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x)f(y) = f(x+y)$ છે.
$f$ એક-એક હોવાથી,આ કોશી વિધેય સમીકરણનો ઉકેલ $f(x) = a^{kx}$ સ્વરૂપનો છે,જ્યાં $a > 0, a \neq 1$ અને $k \neq 0$ અચળાંકો છે.
આપેલ છે કે $f(x), f(y),$ અને $f(z)$ એ $GP$ માં છે,તેથી $(f(y))^2 = f(x)f(z)$.
$f(x) = a^{kx}$ મૂકતા,આપણને $(a^{ky})^2 = a^{kx} \cdot a^{kz}$ મળે છે.
આનું સાદુરૂપ $a^{2ky} = a^{k(x+z)}$ થાય છે.
$a \neq 1$ અને $k \neq 0$ હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2ky = k(x+z)$.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $2y = x+z$ મળે છે.
આ શરત સૂચવે છે કે $x, y,$ અને $z$ એ $AP$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ એ એક-એક વિધેય છે જે $\forall x, y \in R$ માટે $f(x) f(y) = f(x+y)$ નું પાલન કરે છે.
આ વિધેય સમીકરણ ઘાતાંકીય વિધેય $f(x) = a^x$ દ્વારા સંતોષાય છે,જ્યાં $a > 0, a \neq 1$.
કારણ કે $f(x), f(y), f(z)$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $(f(y))^2 = f(x) \cdot f(z)$.
$f(x) = a^x$ મુકતા,આપણને $(a^y)^2 = a^x \cdot a^z$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $a^{2y} = a^{x+z}$ થાય છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $2y = x+z$ મળે છે.
આ શરત દર્શાવે છે કે $x, y, z$ એ $A$.$P$. માં છે.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ છે.
$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$ મળે છે,જે હંમેશા સત્ય છે.
ધારો કે $f(0) = c$. તો $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+c}{3}$.
$y=0$ મૂકતા,આપણને $f\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{f(x)+f(0)+c}{3} = \frac{f(x)+2c}{3}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x) = 3f\left(\frac{x}{3}\right) - 2c$.
કારણ કે $f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે,ધારો કે $f'(0) = a$.
વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
વિધેય સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f(x)$ એ $f(x) = ax+c$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય હોવું જોઈએ.
$f(x) = ax+c$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c = \frac{(ax+c)+(ay+c)+c}{3} = \frac{a(x+y)+3c}{3} = a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c$.
આ બધા $x, y$ માટે સાચું છે. તેથી,$f(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = u x^2 + v x + w$.
$f(x+y) = f(x) + f(y) + x y$ હોવાથી,આપણે $f$ માટેનું પદ મૂકીએ:
$u(x+y)^2 + v(x+y) + w = (u x^2 + v x + w) + (u y^2 + v y + w) + x y$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$u(x^2 + 2 x y + y^2) + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
$u x^2 + 2 u x y + u y^2 + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
બંને બાજુ $x y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $2 u = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $u = \frac{1}{2}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $w = 2 w$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $w = 0$.
આપેલ છે કે $u + v + w = 3$,તેથી $u = \frac{1}{2}$ અને $w = 0$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} + v + 0 = 3 \implies v = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} x$.
$f(1)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(C) ધારો કે $u = x+2y$ અને $v = x-2y$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $u+v = (x+2y) + (x-2y) = 2x$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{u+v}{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $u-v = (x+2y) - (x-2y) = 4y$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{u-v}{4}$.
આપેલ છે કે $f(x+2y, x-2y) = xy$,તેથી $u$ અને $v$ ની કિંમતો મૂકતા $f(u, v) = \left(\frac{u+v}{2}\right) \left(\frac{u-v}{4}\right)$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $f(u, v) = \frac{u^2-v^2}{8}$.
હવે $u$ ને $x$ અને $v$ ને $y$ વડે બદલતા,આપણને $f(x, y) = \frac{x^2-y^2}{8}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $2f(x) + 3f(-x) = 15 - 4x$ ...$(1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ ની જગ્યાએ $-x$ મૂકતા:
$2f(-x) + 3f(x) = 15 + 4x$ ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4f(x) + 6f(-x) = 30 - 8x$ ...$(3)$
$6f(x) + 9f(-x) = 45 + 12x$ ...$(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$5f(x) = 15 + 20x$
$f(x) = 3 + 4x$
તેથી,$f(2) = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11$.

(C) આપેલ છે $f(1)=1$ અને $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ જ્યાં $n \geq 2$.
ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$. તેથી $S_n = n(n+1) f(n)$.
$n \geq 2$ માટે,$S_n = S_{n-1} + n f(n) = n(n+1) f(n)$.
$S_{n-1} = (n-1)n f(n-1)$ મૂકતા,આપણને મળે $(n-1)n f(n-1) + n f(n) = n(n+1) f(n)$.
$n$ વડે ભાગતા $(n \geq 2)$,આપણને મળે $(n-1) f(n-1) + f(n) = (n+1) f(n)$.
$(n-1) f(n-1) = n f(n) \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n} f(n-1)$.
$n=2$ માટે,$f(2) = \frac{1}{2} f(1) = \frac{1}{2}$.
$n=3$ માટે,$f(3) = \frac{2}{3} f(2) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
સામાન્ય રીતે,$f(n) = \frac{1}{n}$.
તેથી,$f(500) = \frac{1}{500}$.

(C) આપેલ છે કે $m = \sum_{i=1}^9 i^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
તેથી $\frac{m}{19x} = \frac{285}{19x} = \frac{15}{x}$.
સમીકરણ $3f(x) + 2f\left(\frac{15}{x}\right) = 5x$ માં $x$ ને $\frac{15}{x}$ વડે બદલતા,
$3f\left(\frac{15}{x}\right) + 2f(x) = \frac{75}{x}$ મળે.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા $f(x) = 3x - \frac{30}{x}$ મળે છે.
$f(5) = 3(5) - \frac{30}{5} = 9$ અને $f(2) = 3(2) - \frac{30}{2} = -9$.
તેથી $f(5) - f(2) = 9 - (-9) = 18$.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f(y)$ અને $f(1)=7$. આ $f(x)=a^x$ પ્રકારનું વિધેય છે. $f(1)=7$ હોવાથી,$a^1=7$,તેથી $f(x)=7^x$.
આપેલ છે કે $g(x+y)=g(xy)$ અને $g(1)=1$. $y=1$ મૂકતા,આપણને $g(x+1)=g(x)$ મળે છે. $g(1)=1$ હોવાથી,બધા $x \in \mathbb{N}$ માટે $g(x)=1$ થશે.
આપેલ સરવાળો $\sum_{x=1}^{n} \frac{f(x)}{g(x)} = 19607$ છે.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,$\sum_{x=1}^{n} \frac{7^x}{1} = 19607$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $7 + 7^2 + \dots + 7^n = 19607$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = a\frac{r^n-1}{r-1}$ છે. અહીં $a=7$ અને $r=7$.
$7 \left(\frac{7^n-1}{7-1}\right) = 19607$.
$7 \left(\frac{7^n-1}{6}\right) = 19607$.
$7^n-1 = \frac{19607 \times 6}{7} = 2801 \times 6 = 16806$.
$7^n = 16807$.
$7^5 = 16807$ હોવાથી,$n=5$ મળે છે.

(C) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $S = 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \dots = \frac{2}{1 - 1/3} = \frac{2}{2/3} = 3$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\log_2(f(x)) = 3 \log_3(1 + \frac{f(x)}{f(1/x)})$.
ધારો કે $f(x) = x^2 + 1$. આપેલ છે કે $f(6) = 6^2 + 1 = 37$,જે શરતનું પાલન કરે છે.
વિધેયના સમીકરણની ચકાસણી કરતા: $f(1/x) = \frac{1}{x^2} + 1 = \frac{1+x^2}{x^2}$.
તેથી $1 + \frac{f(x)}{f(1/x)} = 1 + \frac{x^2+1}{(1+x^2)/x^2} = 1 + x^2$.
સમીકરણ $\log_2(x^2+1) = 3 \log_3(1+x^2)$ બને છે. જો $f(x) = x^2+1$ એ ઇચ્છિત બહુપદી હોય,તો સરવાળો $\sum_{n=1}^{10} (n^2+1) = \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} 1 = \frac{10(11)(21)}{6} + 10 = 385 + 10 = 395$ થાય.