Composition of Functions Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $R: A \to B$ અને $S: B \to C$.
બે સંબંધોના સંયોજનની વ્યાખ્યા મુજબ,સંયુક્ત સંબંધ $S \circ R$ ને એવા તમામ ક્રમયુક્ત જોડ $(a, c)$ ના ગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેથી $B$ માં એક ઘટક $b$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યાં $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in S$ હોય.
તેથી,$S \circ R$ નો પ્રદેશ $A$ નો ઉપગણ છે અને સહ-પ્રદેશ $C$ છે.
આમ,$S \circ R$ એ $A$ થી $C$ પરનો સંબંધ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $B = \{1, 3, 5\}$.
$R = \{(a, b) : a \in A, b \in B, a < b\} = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)\}$.
વ્યસ્ત સંબંધ $R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\} = \{(3, 1), (5, 1), (3, 2), (5, 2), (5, 3), (5, 4)\}$.
$R \circ R^{-1}$ ને $\{(x, z) : \exists y \text{ જેથી } (x, y) \in R^{-1} \text{ અને } (y, z) \in R\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$(3, 1) \in R^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $y=1$ શોધીએ છીએ: $(1, 3) \in R, (1, 5) \in R \implies (3, 3), (3, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 1) \in R^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $y=1$ શોધીએ છીએ: $(1, 3) \in R, (1, 5) \in R \implies (5, 3), (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(3, 2) \in R^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $y=2$ શોધીએ છીએ: $(2, 3) \in R, (2, 5) \in R \implies (3, 3), (3, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 2) \in R^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $y=2$ શોધીએ છીએ: $(2, 3) \in R, (2, 5) \in R \implies (5, 3), (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 3) \in R^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $y=3$ શોધીએ છીએ: $(3, 5) \in R \implies (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 4) \in R^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $y=4$ શોધીએ છીએ: $(4, 5) \in R \implies (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
આ બધાને જોડતા,$R \circ R^{-1} = \{(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $R$ માંની ક્રમયુક્ત જોડીઓને ઉલટાવીને ${R^{ - 1}}$ શોધીએ છીએ:
${R^{ - 1}} = \{(5, 4), (4, 1), (6, 4), (6, 7), (7, 3)\}$.
હવે,આપણે ${R^{ - 1}}oR$ નું સંયોજન શોધીએ છીએ,જેમાં તમામ જોડીઓ $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in {R^{ - 1}}$ તપાસીએ છીએ જેથી $(x, z) \in {R^{ - 1}}oR$ મળે:
$1$. $(4, 5) \in R$ અને $(5, 4) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (4, 4) \in {R^{ - 1}}oR$.
$2$. $(1, 4) \in R$ અને $(4, 1) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (1, 1) \in {R^{ - 1}}oR$.
$3$. $(4, 6) \in R$ અને $(6, 4) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (4, 4) \in {R^{ - 1}}oR$.
$4$. $(4, 6) \in R$ અને $(6, 7) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (4, 7) \in {R^{ - 1}}oR$.
$5$. $(7, 6) \in R$ અને $(6, 4) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (7, 4) \in {R^{ - 1}}oR$.
$6$. $(7, 6) \in R$ અને $(6, 7) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (7, 7) \in {R^{ - 1}}oR$.
$7$. $(3, 7) \in R$ અને $(7, 3) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (3, 3) \in {R^{ - 1}}oR$.
આ બધાને જોડતા,આપણને ${R^{ - 1}}oR = \{(1, 1), (4, 4), (4, 7), (7, 4), (7, 7), (3, 3)\}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$.
પ્રથમ,$f(\cos 2\theta)$ ની ગણતરી કરો:
$f(\cos 2\theta) = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$.
હવે,$f[f(\cos 2\theta)] = f(\tan^2 \theta)$ ની ગણતરી કરો:
$f(\tan^2 \theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f[f(\cos 2\theta)] = \cos 2\theta$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x - 3}{x + 1}$.
પ્રથમ,$f[f(x)]$ ની ગણતરી કરો:
$f[f(x)] = \frac{f(x) - 3}{f(x) + 1} = \frac{\frac{x - 3}{x + 1} - 3}{\frac{x - 3}{x + 1} + 1}$
$= \frac{(x - 3) - 3(x + 1)}{(x - 3) + (x + 1)} = \frac{x - 3 - 3x - 3}{2x - 2} = \frac{-2x - 6}{2x - 2} = \frac{-(x + 3)}{x - 1} = \frac{x + 3}{1 - x}$.
હવે,$f[f\{f(x)\}] = f\left(\frac{x + 3}{1 - x}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$f\left(\frac{x + 3}{1 - x}\right) = \frac{\frac{x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{x + 3}{1 - x} + 1}$
$= \frac{(x + 3) - 3(1 - x)}{(x + 3) + (1 - x)} = \frac{x + 3 - 3 + 3x}{x + 3 + 1 - x} = \frac{4x}{4} = x$.
આમ,$f[f\{f(x)\}] = x$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $g \circ f: A \to C$ એ બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત) છે.
$1$. $g \circ f$ એક-એક હોવા માટે,$f$ એક-એક હોવું જરૂરી છે. જો $f(x_1) = f(x_2)$ હોય,તો $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x_1 = x_2$ કારણ કે $g \circ f$ એક-એક છે.
$2$. $g \circ f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$g$ વ્યાપ્ત હોવું જરૂરી છે. દરેક $z \in C$ માટે,એવો $x \in A$ મળે કે જેથી $g(f(x)) = z$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે દરેક $z \in C$ માટે,એવો $y = f(x) \in B$ મળે કે જેથી $g(y) = z$ થાય,જે $g$ ના વ્યાપ્ત હોવાની વ્યાખ્યા છે.
તેથી,$f$ એક-એક હોવું જોઈએ અને $g$ વ્યાપ્ત હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = ax + b$ અને $g(x) = cx + d$.
આપણને શરત $f(g(x)) = g(f(x))$ આપેલી છે.
પ્રથમ,$f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = acx + ad + b$ શોધો.
ત્યારબાદ,$g(f(x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = cax + cb + d$ શોધો.
બંને પદોને સરખાવતા: $acx + ad + b = cax + cb + d$.
અહીં $acx = cax$ હોવાથી,બંને બાજુથી આ પદો દૂર કરી શકાય છે:
$ad + b = cb + d$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $ad + b = cb + d$ મળે છે.
નોંધો કે $f(d) = ad + b$ અને $g(b) = cb + d$ થાય છે.
તેથી,શરત $f(g(x)) = g(f(x))$ એ $f(d) = g(b)$ ને સમતુલ્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = [x]$ (મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય) અને $g(x) = |x|$ (માનાંક વિધેય).
આપણે $(gof)\left( -\frac{5}{3} \right) - (fog)\left( -\frac{5}{3} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$(gof)\left( -\frac{5}{3} \right) = g\left( f\left( -\frac{5}{3} \right) \right)$ ની ગણતરી કરીએ.
$f(x) = [x]$ હોવાથી,$f\left( -\frac{5}{3} \right) = [-1.666...] = -2$.
તેથી $g(-2) = |-2| = 2$.
ત્યારબાદ,$(fog)\left( -\frac{5}{3} \right) = f\left( g\left( -\frac{5}{3} \right) \right)$ ની ગણતરી કરીએ.
$g(x) = |x|$ હોવાથી,$g\left( -\frac{5}{3} \right) = \left| -\frac{5}{3} \right| = \frac{5}{3}$.
તેથી $f\left( \frac{5}{3} \right) = [1.666...] = 1$.
અંતે,$(gof)\left( -\frac{5}{3} \right) - (fog)\left( -\frac{5}{3} \right) = 2 - 1 = 1$.

(C) વિધેયોનું સંયોજન $(gof)(x)$ ને $g(f(x))$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f(x) = x^2 - 1$ અને $g(x) = 3x + 1$.
$g(x)$ માં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(gof)(x) = g(x^2 - 1)$
$= 3(x^2 - 1) + 1$
$= 3x^2 - 3 + 1$
$= 3x^2 - 2$.

(B) ધારો કે ઘાતાંકીય વિધેય $f(x) = e^x$ છે અને લઘુગણકીય વિધેય $g(x) = \log_e x$ છે.
વિધેયોના સંયોજનની વ્યાખ્યા મુજબ,$(fog)(x) = f(g(x))$.
આપણે $(fog)(1) = f(g(1))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $g(x) = \log_e x$,તેથી $g(1) = \log_e 1 = 0$.
હવે,$f(g(1)) = f(0) = e^0 = 1$.
કારણ કે $\log_e e = 1$,તેથી જવાબ $\log_e e$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = e^{2x}$ અને $g(x) = \log \sqrt{x}$.
$fog(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(g(x))$ ની ગણતરી કરીશું.
$fog(x) = f(g(x)) = e^{2g(x)}$.
$g(x) = \log \sqrt{x}$ ને પદમાં મૂકતા:
$fog(x) = e^{2 \log \sqrt{x}}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $a \log b = \log(b^a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$fog(x) = e^{\log(\sqrt{x})^2}$.
કારણ કે $x > 0$ માટે $(\sqrt{x})^2 = x$ થાય છે:
$fog(x) = e^{\log x}$.
$e^{\log_e x} = x$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$fog(x) = x$.

(C) વિધેયોનું સંયોજન $gof(x)$ એ $g(f(x))$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $f(x) = |\cos x|$ અને $g(x) = [x]$.
$f(x)$ ને $g(x)$ માં મૂકતા,આપણને $g(f(x)) = g(|\cos x|)$ મળે છે.
કારણ કે $g(x) = [x]$,આપણે $x$ ની જગ્યાએ $|\cos x|$ મૂકીએ તો $[|\cos x|]$ મળે છે.
તેથી,$gof(x) = [|\cos x|]$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 + 1$ છે.
$fof(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$fof(x) = f(f(x)) = f(x^2 + 1)$.
વિધેય $f(x)$ માં $(x^2 + 1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^2 + 1$.
નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 + 1)^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) + 1$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^4 + 2x^2 + 2$.
આમ,$fof(x) = x^4 + 2x^2 + 2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
પ્રથમ,$(fof)(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)$ ની ગણતરી કરો.
$= \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)^2}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{1 + x^2}}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{\sqrt{\frac{1 + x^2 + x^2}{1 + x^2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}$.
હવે,$(fofof)(x) = f((fof)(x)) = f\left(\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}\right)$ ની ગણતરી કરો.
$= \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}}{\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}\right)^2}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{1 + 2x^2}}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}}{\sqrt{\frac{1 + 2x^2 + x^2}{1 + 2x^2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 + 3x^2}}$.

(C) આપેલ વિધેયો $\phi(x) = x^2 + 1$ અને $\psi(x) = 3^x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંયોજન $\phi \{ \psi(x) \}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\phi \{ \psi(x) \} = \phi(3^x) = (3^x)^2 + 1 = 3^{2x} + 1$.
ત્યારબાદ,આપણે સંયોજન $\psi \{ \phi(x) \}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\psi \{ \phi(x) \} = \psi(x^2 + 1) = 3^{x^2 + 1}$.
આમ,જરૂરી મૂલ્યો $3^{2x} + 1$ અને $3^{x^2 + 1}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{2}g(f(x)) = 2x^2 - 5x + 2$,તેથી $g(f(x)) = 4x^2 - 10x + 4$ થાય.
કારણ કે $g(x) = x^2 + x - 2$,તેથી $f(x)$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:
$(f(x))^2 + f(x) - 2 = 4x^2 - 10x + 4$.
પદોને ગોઠવતા,$(f(x))^2 + f(x) - (4x^2 - 10x + 6) = 0$ મળે.
આ $f(x)$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે. દ્વિઘાત સૂત્ર $f(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-(4x^2 - 10x + 6))}}{2(1)}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16x^2 - 40x + 24}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{16x^2 - 40x + 25}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{(4x - 5)^2}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm (4x - 5)}{2}$.
ધન ઉકેલ લેતા,$f(x) = \frac{-1 + 4x - 5}{2} = \frac{4x - 6}{2} = 2x - 3$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \log_a x$ અને $F(x) = a^x$.
$F[f(x)]$ શોધવા માટે,આપણે $F(x)$ માં $f(x)$ ની કિંમત મૂકીશું.
$F[f(x)] = F(\log_a x) = a^{\log_a x}$.
લઘુગણકના નિયમ $a^{\log_a x} = x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $F[f(x)] = x$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = \frac{x}{x + 1}$ અને $g(x) = \frac{x}{1 - x}$ છે.
$(fog)(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(g(x))$ ની ગણતરી કરીએ.
$(fog)(x) = f\left( \frac{x}{1 - x} \right)$
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x}{1 - x} + 1}$
$= \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x + (1 - x)}{1 - x}}$
$= \frac{x}{x + 1 - x}$
$= \frac{x}{1} = x$.
આમ,$(fog)(x) = x$ થાય છે.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = (x + 1)^2$ અને $g(x) = x^2 + 1$ છે.
આપણે $(fog)(-3)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેયોના સંયોજનની વ્યાખ્યા મુજબ,$(fog)(x) = f(g(x))$.
સૌ પ્રથમ,$g(-3)$ ની ગણતરી કરો:
$g(-3) = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.
હવે,આ કિંમતને $f(x)$ માં મૂકો:
$(fog)(-3) = f(g(-3)) = f(10)$.
કારણ કે $f(x) = (x + 1)^2$,તેથી:
$f(10) = (10 + 1)^2 = 11^2 = 121$.
આમ,$(fog)(-3) = 121$.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = 1 + \sqrt{x}$ અને $f(g(x)) = 3 + 2\sqrt{x} + x$.
આપણે $f(g(x))$ ના પદને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકીએ:
$f(g(x)) = 1 + 2 + 2\sqrt{x} + x = 2 + (1 + 2\sqrt{x} + x) = 2 + (1 + \sqrt{x})^2$.
કારણ કે $g(x) = 1 + \sqrt{x}$,આપણે $g(x)$ ને પદમાં મૂકીએ:
$f(g(x)) = 2 + (g(x))^2$.
તેથી,$g(x)$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f(x) = 2 + x^2$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેયો $f:R \to R$ જ્યાં $f(x) = \sin x$ અને $g:R \to R$ જ્યાં $g(x) = x^2$ છે.
સંયોજિત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$(fog)(x) = f(g(x))$ થાય.
$g(x)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(fog)(x) = f(x^2)$ મળે છે.
કારણ કે $f(x) = \sin x$ છે,તેથી $f$ માં $x^2$ મૂકતા $f(x^2) = \sin(x^2)$ મળે.
આમ,સંયોજિત વિધેય $(fog)(x) = \sin(x^2)$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = ax + b$ અને $g(x) = cx + d$.
અહીં $a = 1$ અને $b = 2$ આપેલ છે,તેથી $f(x) = x + 2$.
હવે,સંયોજન $(fog)(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = (cx + d) + 2 = cx + d + 2$ શોધો.
ત્યારબાદ,સંયોજન $(gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = c(x + 2) + d = cx + 2c + d$ શોધો.
તમામ $x$ માટે $(fog)(x) = (gof)(x)$ હોવાથી,આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$cx + d + 2 = cx + 2c + d$.
બંને બાજુથી $cx$ અને $d$ બાદ કરતા,આપણને $2 = 2c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 1$.
અહીં $d$ બંને બાજુથી નીકળી જાય છે,તેથી $d$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે (સ્વૈચ્છિક).
આમ,$c = 1$ અને $d$ સ્વૈચ્છિક છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$.
આપણે $\alpha$ ની કિંમત શોધવાની છે જેથી $f(f(x)) = x$ થાય.
પ્રથમ,$f(f(x)) = \frac{\alpha f(x)}{f(x) + 1}$ ની ગણતરી કરીએ.
$f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(f(x)) = \frac{\alpha \left( \frac{\alpha x}{x + 1} \right)}{\frac{\alpha x}{x + 1} + 1} = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x + 1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x + 1}} = \frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1}$.
આપણને આપેલ છે કે $f(f(x)) = x$,તેથી:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$.
જો $x \neq 0$ હોય,તો $\frac{\alpha^2}{(\alpha + 1)x + 1} = 1$.
$\alpha^2 = (\alpha + 1)x + 1$.
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને અચળ પદ સમાન હોવા જોઈએ:
$\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1$.
અચળ પદ તપાસતા: $\alpha^2 = 1$. જો $\alpha = -1$ હોય,તો $(-1)^2 = 1$,જે સાચું છે.
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $-1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 2}$.
સૌ પ્રથમ,$f(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2) = \frac{2(2) + 1}{3(2) - 2} = \frac{4 + 1}{6 - 2} = \frac{5}{4}$.
હવે,$(fof)(2) = f(f(2)) = f\left(\frac{5}{4}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$f\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{2\left(\frac{5}{4}\right) + 1}{3\left(\frac{5}{4}\right) - 2} = \frac{\frac{5}{2} + 1}{\frac{15}{4} - 2} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{15 - 8}{4}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{4}} = \frac{7}{2} \times \frac{4}{7} = 2$.
આમ,$(fof)(2) = 2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^2 x$ અને સંયોજિત વિધેય $g(f(x)) = |\sin x|$.
સંયોજિત વિધેયના પદમાં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$g(\sin^2 x) = |\sin x|$.
ધારો કે $t = \sin^2 x$. કારણ કે $\sin^2 x \ge 0$,તેથી $t \ge 0$ મળે.
ત્યારબાદ $|\sin x| = \sqrt{\sin^2 x} = \sqrt{t}$.
તેથી,$t$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $g(x) = \sqrt{x}$ મળે છે,જ્યાં $x \ge 0$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (a - x^n)^{1/n}$.
$f[f(x)]$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ને વિધેય $f$ માં મૂકીશું:
$f[f(x)] = (a - [f(x)]^n)^{1/n}$
$f(x)$ માટેનું પદ મૂકતા:
$f[f(x)] = (a - [(a - x^n)^{1/n}]^n)^{1/n}$
અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$f[f(x)] = (a - (a - x^n))^{1/n}$
$f[f(x)] = (a - a + x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = (x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = x$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$.
આપણે $f(f(x))$ શોધવાની જરૂર છે:
$f(f(x)) = f\left( \frac{\alpha x}{x + 1} \right) = \frac{\alpha \left( \frac{\alpha x}{x + 1} \right)}{\frac{\alpha x}{x + 1} + 1}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$f(f(x)) = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x + 1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x + 1}} = \frac{\alpha^2 x}{\alpha x + x + 1}$
આપેલ છે કે $f(f(x)) = x$,તેથી:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$
આ સમીકરણ માટે,જો આપણે $\alpha = -1$ લઈએ તો:
$f(f(x)) = \frac{(-1)^2 x}{(-1 + 1)x + 1} = \frac{x}{0 \cdot x + 1} = x$
આમ,$\alpha = -1$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = 1 + x - [x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\} = x - [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$g(x) = 1 + \{x\}$.
કારણ કે $0 \le \{x\} < 1$,તેથી $1 \le 1 + \{x\} < 2$ થાય.
આમ,$1 \le g(x) < 2$.
હવે,આપણે $f(g(x))$ ની કિંમત શોધીએ. કારણ કે $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $g(x) > 0$ છે,તેથી આપણે $x > 0$ માટે $f(x)$ ની વ્યાખ્યા જોઈએ.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x > 0$ માટે $f(x) = 1$ છે.
કારણ કે $g(x)$ હંમેશા $[1, 2)$ અંતરાલમાં છે,જે $0$ કરતા મોટું છે,તેથી તમામ $x$ માટે $f(g(x)) = 1$ થાય.

(A) $\lim_{x \to 0} g(f(x))$ શોધવા માટે,આપણે $x \to 0$ થાય ત્યારે $f(x)$ નું વર્તન તપાસીએ.
જ્યારે $x \to 0$ અને $x \neq 0$,ત્યારે $f(x) = \sin x$.
જેમ $x \to 0$,તેમ $f(x) = \sin x \to 0$.
ધારો કે $u = f(x)$. જેમ $x \to 0$,તેમ $u \to 0$.
સીમા $\lim_{u \to 0} g(u)$ માં,આપણે $0$ ની નજીકની કિંમતો લઈએ છીએ પરંતુ $u \neq 0$.
જ્યારે $u \neq 0$ અને $u \neq 2$,ત્યારે $g(u) = u^2 + 1$.
તેથી,$\lim_{u \to 0} g(u) = \lim_{u \to 0} (u^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$.
આમ,$\lim_{x \to 0} g(f(x)) = 1$.

(D) $\lim_{x \to 0} g(f(x))$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુના લક્ષની તપાસ કરીએ.
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $x \ne 0$ હોવાથી $f(x) = \sin x$ થાય.
જેમ $x \to 0$,તેમ $f(x) = \sin x \to 0$ થાય.
ધારો કે $u = f(x)$. જેમ $x \to 0$,તેમ $u \to 0$ થાય છે,પરંતુ $u \ne 0$ (કારણ કે $x$ ની $0$ ની નજીકની કિંમતો માટે $\sin x \ne 0$ છે).
તેથી,$\lim_{x \to 0} g(f(x)) = \lim_{u \to 0} g(u)$.
અહીં $u \to 0$ છે પણ $u \ne 0$ હોવાથી,આપણે $g(u) = u^2 + 1$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\lim_{u \to 0} (u^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |x|$ અને $g(x) = |x|$ દરેક $x \in R$ માટે.
આપણે $x$ નો એવો ગણ શોધવાનો છે કે જેના માટે $g(f(x)) \le f(g(x))$ થાય.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા: $g(|x|) \le f(|x|)$.
$g(x) = |x|$ હોવાથી,$g(|x|) = ||x|| = |x|$.
$f(x) = |x|$ હોવાથી,$f(|x|) = ||x|| = |x|$.
અસમતા આ મુજબ બને છે: $|x| \le |x|$.
આ અસમતા તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in R$ માટે સાચી છે કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા પોતાની જાત કરતા નાની અથવા સમાન હોય છે.
તેથી,માંગેલ ગણ $R$ છે.

(B) $(g \circ f)(x)$ નો પ્રદેશ એવા તમામ $x$ નો ગણ છે જે $f$ ના પ્રદેશમાં હોય અને $f(x)$ એ $g$ ના પ્રદેશમાં હોય.
પ્રથમ,$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ નો પ્રદેશ શોધો.
$g(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$3 + 4x - 4x^2 \ge 0$,જેનો અર્થ છે $4x^2 - 4x - 3 \le 0$.
અવયવ પાડતા: $(2x - 3)(2x + 1) \le 0$.
આ અસમતા $x \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ માટે સાચી છે.
હવે,આપણે $f(x) \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ ની જરૂર છે,તેથી $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le \frac{3}{2}$.
બધા પદોમાંથી $\frac{1}{2}$ બાદ કરતા: $-1 \le -\tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$.
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતા બદલાશે): $-1 \le \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$.
ટેન્જન્ટનું પ્રતિવિધેય લેતા: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi x}{2} \le \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{2}$ વડે ભાગતા: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
આ અંતરાલ $f$ ના આપેલા પ્રદેશ $(-1 < x < 1)$ માં હોવાથી,$(g \circ f)$ નો પ્રદેશ $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^2 x + \sin^2(x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [2 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \cos(-\frac{\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} [\cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos(-\frac{\pi}{3})]$
$f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
બધા $x \in R$ માટે $f(x) = \frac{5}{4}$ હોવાથી,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\frac{5}{4})$.
આપેલ છે કે $g(\frac{5}{4}) = 1$,તેથી $(g \circ f)(x) = 1$.

(A) આપેલ છે: $g(f(x)) = |\sin x|$ અને $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
ચાલો વિકલ્પ $A$ ચકાસીએ: $f(x) = \sin^2 x$ અને $g(x) = \sqrt{x}$.
પગલું $1$: $g(f(x))$ ની ગણતરી કરો.
$g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$. આ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
પગલું $2$: $f(g(x))$ ની ગણતરી કરો.
$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$. આ પણ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + 10$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(fog)(x) = f(g(x))$ શોધો.
$(fog)(x) = 3(g(x)) + 10 = 3(x^2 - 1) + 10 = 3x^2 - 3 + 10 = 3x^2 + 7$.
ધારો કે $y = (fog)(x) = 3x^2 + 7$.
વ્યસ્ત વિધેય $(fog)^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવો:
$y = 3x^2 + 7$
$y - 7 = 3x^2$
$x^2 = \frac{y - 7}{3}$
$x = (\frac{y - 7}{3})^{1/2}$.
હવે $y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને વ્યસ્ત વિધેય મળે છે:
$(fog)^{-1}(x) = (\frac{x - 7}{3})^{1/2}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{1 - x}$.
પ્રથમ,$f\{ f(x)\} = f\left( \frac{1}{1 - x} \right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}} = \frac{1}{\frac{1 - x - 1}{1 - x}} = \frac{1 - x}{-x} = \frac{x - 1}{x}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$f[f\{ f(x)\} ] = f\left( \frac{x - 1}{x} \right) = \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}} = \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$ શોધો.
તેથી,$f[f\{ f(x)\} ]$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $\frac{d}{dx}(x) = 1$ થાય.

(A) ધારો કે $x_1, x_2$ એ પ્રદેશમાં છે જેથી $x_1 < x_2$ થાય.
$g$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,આપણને $g(x_1) < g(x_2)$ મળે છે.
$f$ એ વધતું વિધેય હોવાથી અને $g(x_1) < g(x_2)$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$.
આનો અર્થ એ છે કે $(fog)(x_1) < (fog)(x_2)$.
તેથી,$fog$ એ વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f$ એ વધતું વિધેય છે,તેથી $f'(x) \geq 0$.
આપેલ છે કે $g$ એ ઘટતું વિધેય છે,તેથી $g'(x) \leq 0$.
આપણને $h(x) = f(g(x))$ આપેલ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ મળે.
અહીં $f'(g(x)) \geq 0$ અને $g'(x) \leq 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $h'(x) \leq 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $h(x)$ એ $[0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.
$h(x)$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,$x \geq 0$ માટે $h(x) \leq h(0)$ થાય.
$h(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$h(x) \leq 0$ મળે.
પરંતુ $h$ નો સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક $x$ માટે $h(x) \geq 0$ થાય.
$h(x) \leq 0$ અને $h(x) \geq 0$ ને જોડતા,આપણે કહી શકીએ કે દરેક $x \in [0, \infty)$ માટે $h(x) = 0$ થાય.
તેથી,$h(x) - h(1) = 0 - 0 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $f'(x) > 0$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે,તેથી $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વધતું વિધેય છે.
આપેલ છે કે $g'(x) < 0$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે,તેથી $g(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર ઘટતું વિધેય છે.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,$x < x+1$ માટે $f(x) < f(x+1)$ થાય.
હવે,$g(x)$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,અસમતા બદલાશે: $g(f(x)) > g(f(x+1))$.
તે જ રીતે,$x-1 < x$ માટે $f(x-1) < f(x)$ થાય,તેથી $g(f(x-1)) > g(f(x))$,એટલે કે $g(f(x)) < g(f(x-1))$.
$f(g(x))$ માટે,$g(x)$ ઘટતું હોવાથી $x < x+1$ માટે $g(x) > g(x+1)$ થાય.
$f(x)$ વધતું હોવાથી,$f(g(x)) > f(g(x+1))$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $f$ એ વધતું વિધેય છે અને $g$ એ ઘટતું વિધેય છે।
સંયોજિત વિધેય $(fog)(x) = f(g(x))$ ધ્યાનમાં લો।
ધારો કે $x_1 < x_2$।
$g$ એ ઘટતું વિધેય હોવાથી, $g(x_1) > g(x_2)$ થાય।
ધારો કે $y_1 = g(x_1)$ અને $y_2 = g(x_2)$। તેથી $y_1 > y_2$।
$f$ એ વધતું વિધેય હોવાથી, $f(y_1) \geq f(y_2)$ થાય (જો $f$ ચુસ્ત વધતું હોય તો $f(y_1) > f(y_2)$)।
તેથી, $f(g(x_1)) \geq f(g(x_2))$।
આમ, $x_1 < x_2$ હોવાથી $(fog)(x_1) \geq (fog)(x_2)$ મળે છે, તેથી $fog$ એ ઘટતું વિધેય છે।

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x$ અને $g(x) = \ln |x|$.
$fog(x) = f(g(x)) = \sin(\ln |x|)$ માટે.
કારણ કે $\ln |x|$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,તેથી $\sin(\ln |x|)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ થશે. આમ,$R_1 = [-1, 1]$.
$gof(x) = g(f(x)) = \ln |\sin x|$ માટે.
કારણ કે $|\sin x|$ નો વિસ્તાર $(0, 1]$ છે,તેથી $\ln |\sin x|$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 0]$ થશે. આમ,$R_2 = (-\infty, 0]$.
તેથી,$R_1 = \{u: -1 \le u \le 1\}$ અને $R_2 = \{v: -\infty < v \le 0\}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $B = \{1, 3, 5\}$.
$R = \{(a, b) : a \in A, b \in B, a < b\} = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)\}$.
$R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\} = \{(3, 1), (5, 1), (3, 2), (5, 2), (5, 3), (5, 4)\}$.
હવે,$R \circ R^{-1}$ એ $B$ પરનો સંબંધ છે જે $R \circ R^{-1} = \{(x, z) : \exists y \in A \text{ જેથી } (x, y) \in R^{-1} \text{ અને } (y, z) \in R\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આ $\{(x, z) : \exists y \in A \text{ જેથી } (y, x) \in R \text{ અને } (y, z) \in R\}$ ને સમાન છે.
$x, z \in B$ માટે,આપણે $(y, x) \in R$ અને $(y, z) \in R$ ની જોડીઓ તપાસીએ છીએ:
જો $x=3, z=3$: $y=1$ કામ કરે છે કારણ કે $(1, 3) \in R$. તેથી $(3, 3) \in R \circ R^{-1}$.
જો $x=3, z=5$: $y=1$ કામ કરે છે કારણ કે $(1, 3) \in R$ અને $(1, 5) \in R$. તેથી $(3, 5) \in R \circ R^{-1}$.
જો $x=5, z=3$: $y=1$ કામ કરે છે કારણ કે $(1, 5) \in R$ અને $(1, 3) \in R$. તેથી $(5, 3) \in R \circ R^{-1}$.
જો $x=5, z=5$: $y=1$ કામ કરે છે કારણ કે $(1, 5) \in R$. તેથી $(5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
આમ,$R \circ R^{-1} = \{(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$.

(A) આપેલ છે $R = \{(4, 5), (1, 4), (4, 6), (7, 6), (3, 7)\}$.
તેથી $R^{-1} = \{(5, 4), (4, 1), (6, 4), (6, 7), (7, 3)\}$.
$R^{-1} o R$ શોધવા માટે,આપણે એવી જોડી $(x, z)$ શોધીએ છીએ કે જેના માટે કોઈ $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યાં $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R^{-1}$.
$1$. $(4, 5) \in R$ અને $(5, 4) \in R^{-1}$ માટે,આપણને $(4, 4) \in R^{-1} o R$ મળે છે.
$2$. $(1, 4) \in R$ અને $(4, 1) \in R^{-1}$ માટે,આપણને $(1, 1) \in R^{-1} o R$ મળે છે.
$3$. $(4, 6) \in R$ અને $(6, 4) \in R^{-1}$ માટે,આપણને $(4, 4) \in R^{-1} o R$ મળે છે.
$4$. $(4, 6) \in R$ અને $(6, 7) \in R^{-1}$ માટે,આપણને $(4, 7) \in R^{-1} o R$ મળે છે.
$5$. $(7, 6) \in R$ અને $(6, 4) \in R^{-1}$ માટે,આપણને $(7, 4) \in R^{-1} o R$ મળે છે.
$6$. $(7, 6) \in R$ અને $(6, 7) \in R^{-1}$ માટે,આપણને $(7, 7) \in R^{-1} o R$ મળે છે.
$7$. $(3, 7) \in R$ અને $(7, 3) \in R^{-1}$ માટે,આપણને $(3, 3) \in R^{-1} o R$ મળે છે.
આ બધાને ભેગા કરતા,$R^{-1} o R = \{(1, 1), (4, 4), (4, 7), (7, 4), (7, 7), (3, 3)\}$.

(C) સંબંધોનું સંયોજન $R \circ S$ એ એવી તમામ જોડીઓ $(x, z)$ નો ગણ છે કે જેના માટે $y \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યાં $(x, y) \in S$ અને $(y, z) \in R$ હોય.
આપેલ છે કે $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$ અને $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\}$.
આપણે $S$ ના દરેક ઘટક $(x, y)$ ને તપાસીએ:
$1$. $(2, 1) \in S$ માટે,આપણે $(1, z) \in R$ શોધીએ છીએ. આપણને $(1, 3) \in R$ મળે છે. તેથી,$(2, 3) \in R \circ S$.
$2$. $(3, 2) \in S$ માટે,આપણે $(2, z) \in R$ શોધીએ છીએ. આપણને $(2, 2) \in R$ મળે છે. તેથી,$(3, 2) \in R \circ S$.
$3$. $(2, 3) \in S$ માટે,આપણે $(3, z) \in R$ શોધીએ છીએ. આપણને $(3, 2) \in R$ મળે છે. તેથી,$(2, 2) \in R \circ S$.
આ બધાને જોડતા,$R \circ S = \{(2, 3), (3, 2), (2, 2)\}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} g(f(x))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $x \neq n\pi$ જ્યાં $n \neq 0$. તેથી,$f(x) = \sin x$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $f(x) = \sin x \rightarrow 0$.
કારણ કે $f(x) \rightarrow 0$ પરંતુ $0$ ના ડિલીટેડ નેબરહુડમાં $f(x) \neq 0$ છે,તેથી આપણે $u \rightarrow 0$ માટે $g(u)$ ની વ્યાખ્યા જોઈએ.
$u \neq 0, 2$ માટે,$g(u) = u^2 + 1$.
તેથી,$\lim_{u \rightarrow 0} g(u) = \lim_{u \rightarrow 0} (u^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$.
આમ,$\lim_{x \rightarrow 0} g(f(x)) = 1$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x$ અને $g(x) = \cos x$.
$1$. $f(g(x)) = \sin(\cos x)$ માટે:
કારણ કે $\cos(x + 2\pi) = \cos x$,તેથી તેનો આવર્તમાન $2\pi$ છે. આમ,વિધાન $A$ સત્ય છે.
$2$. $g(f(x)) = \cos(\sin x)$ માટે:
કારણ કે $\sin(x + \pi) = -\sin x$ અને $\cos(-\theta) = \cos \theta$,તેથી $\cos(\sin(x + \pi)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x)$. તેનો આવર્તમાન $\pi$ છે. આમ,વિધાન $B$ સત્ય છે.
$3$. $f(g(x))$ ની યુગ્મતા તપાસતા:
$f(g(-x)) = \sin(\cos(-x)) = \sin(\cos x) = f(g(x))$.
$f(g(-x)) = f(g(x))$ હોવાથી,$f(g(x))$ એ યુગ્મ વિધેય છે. તેથી,વિધાન $C$ અસત્ય છે.
$4$. $g(f(x))$ ની યુગ્મતા તપાસતા:
$g(f(-x)) = \cos(\sin(-x)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x) = g(f(x))$.
$g(f(-x)) = g(f(x))$ હોવાથી,$g(f(x))$ એ યુગ્મ વિધેય છે. તેથી,વિધાન $D$ સત્ય છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $C$ અસત્ય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(g(x)) = x^3 + 3x^2 + 3x + 4$.
આને આપણે $f(g(x)) = (x+1)^3 + 3$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = (\ln x)^3 + 3$.
$f(g(x)) = (\ln g(x))^3 + 3$ ની સરખામણી $f(g(x)) = (x+1)^3 + 3$ સાથે કરતા,આપણને $\ln g(x) = x+1$ મળે છે.
તેથી,$g(x) = e^{x+1}$.
$x = -1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $g'(x)$ શોધીએ.
$g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x+1}) = e^{x+1}$.
$x = -1$ આગળ,$g'(-1) = e^{-1+1} = e^0 = 1$.
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ 1 + x^2, & x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x) = 1 + x - [x]$.
કારણ કે $x - [x] = \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,તેથી $g(x) = 1 + \{x\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$0 \leq \{x\} < 1$.
તેથી,$1 \leq 1 + \{x\} < 2$,જેનો અર્થ છે કે $1 \leq g(x) < 2$.
કારણ કે દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $g(x) \geq 1$ છે,તેથી $f(g(x))$ ની ગણતરી કરવા માટે આપણે $x \geq 0$ માટે $f(x)$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીશું.
$f(g(x)) = 1 + (g(x))^2 = 1 + (1 + \{x\})^2$.
કારણ કે $0 \leq \{x\} < 1$,તેથી $1 \leq 1 + \{x\} < 2$.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને $1^2 \leq (1 + \{x\})^2 < 2^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1 \leq (1 + \{x\})^2 < 4$.
બધા ભાગોમાં $1$ ઉમેરતા,આપણને $1 + 1 \leq 1 + (1 + \{x\})^2 < 1 + 4$ મળે છે.
આમ,$2 \leq f(g(x)) < 5$.
$f(g(x))$ નો વિસ્તાર $[2, 5)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $g(x) = x - \frac{1}{x}$ અને $(f \circ g)(x) = x^3 - \frac{1}{x^3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x - \frac{1}{x})$.
તેથી,$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x})$.
$g(x) = t$ લેતા,આપણને $f(t) = t^3 + 3t$ મળે છે.
હવે,$f(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t) = 3t^2 + 3$.
$f'(1)$ શોધવા માટે,$t = 1$ મૂકતા:
$f'(1) = 3(1)^2 + 3 = 3 + 3 = 6$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{x}$ જ્યાં $x \neq 0$ અને $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ જ્યાં $x > 0$.
$1$. $f(g(x))$ શોધો:
$f(g(x)) = f\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \frac{1}{1/\sqrt{x}} = \sqrt{x}$.
$f(g(x))$ નો પ્રદેશ $x > 0$ છે કારણ કે $\sqrt{x}$ એ $x \geq 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને $g(x)$ માટે $x > 0$ જરૂરી છે.
$2$. $g(f(x))$ શોધો:
$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{1/x}} = \sqrt{x}$.
$g(f(x))$ નો પ્રદેશ $x > 0$ છે કારણ કે $f(x)$ માટે $x \neq 0$ જરૂરી છે અને $\sqrt{1/x}$ માટે $1/x > 0$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $x > 0$.
આમ,$f(g(x)) = \sqrt{x}$ અને $g(f(x)) = \sqrt{x}$ બંનેનો પ્રદેશ $(0, \infty)$ સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.