Binary Operation Questions in Gujarati

(N/A) ગણ $S$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $*$ એ એક વિધેય $*: S \times S \rightarrow S$ છે।
$1$. સરવાળા $(+)$ માટે: કોઈપણ $a, b \in R$ માટે, $a+b$ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે। તેથી, $+: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ-ક્રિયા છે।
$2$. બાદબાકી $(-)$ માટે: કોઈપણ $a, b \in R$ માટે, $a-b$ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે। તેથી, $-: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ-ક્રિયા છે।
$3$. ગુણાકાર $(\times)$ માટે: કોઈપણ $a, b \in R$ માટે, $a \times b$ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે। તેથી, $\times: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ-ક્રિયા છે।
$4$. ભાગાકાર $(div)$ માટે: $a, b \in R$ માટે, જ્યારે $b=0$ હોય ત્યારે ક્રિયા $a \div b = \frac{a}{b}$ વ્યાખ્યાયિત નથી। કારણ કે $0 \in R$, ભાગાકારની ક્રિયા એ $R \times R$ થી $R$ પરનું વિધેય નથી। તેથી, તે $R$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી।
$5$. $R_*$ (શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) માટે: કોઈપણ $a, b \in R_*$ માટે, $a \neq 0$ અને $b \neq 0$। ભાગફળ $\frac{a}{b}$ હંમેશા એક વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને $a, b \neq 0$ હોવાથી, $\frac{a}{b} \neq 0$। તેથી, $\frac{a}{b} \in R_*$। આમ, ભાગાકાર એ $R_*$ પર દ્વિ-ક્રિયા છે।

ગણ $S$ પરની દ્વિક્રિયા $*$ એ એક વિધેય $*: S \times S \rightarrow S$ છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક જોડી $(a, b) \in S \times S$ માટે,પરિણામ $a * b$ પણ $S$ માં હોવું જોઈએ.
$1$. $N$ પર બાદબાકી $(-)$ માટે:
ધારો કે ઘટકો $a = 3$ અને $b = 5$ છે,જ્યાં $3, 5 \in N$.
ક્રિયા $a - b$ કરતા $3 - 5 = -2$ મળે છે.
અહીં $-2 \notin N$ હોવાથી,બાદબાકી એ $N$ પર દ્વિક્રિયા નથી.
$2$. $N$ પર ભાગાકાર $(\div)$ માટે:
ધારો કે ઘટકો $a = 3$ અને $b = 5$ છે,જ્યાં $3, 5 \in N$.
ક્રિયા $a \div b$ કરતા $3 \div 5 = \frac{3}{5}$ મળે છે.
અહીં $\frac{3}{5} \notin N$ હોવાથી,ભાગાકાર એ $N$ પર દ્વિક્રિયા નથી.

(N/A) ગણ $R$ પરની દ્વિ ક્રિયા $*$ એ વિધેય $*: R \times R \rightarrow R$ છે.
કોઈપણ જોડ $(a, b) \in R \times R$ માટે,પદાવલિ $a + 4b^{2}$ એ એક સુનિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા છે કારણ કે $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $R$ એ સરવાળા અને ગુણાકાર માટે સંવૃત છે.
દરેક જોડ $(a, b) \in R \times R$ માટે,એક અનન્ય ઘટક $a + 4b^{2} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $*$ એ $R$ પરની દ્વિ ક્રિયા છે.

(N/A) ગણ $S$ પરની દ્વિક્રિયા $*$ એ વિધેય $*: S \times S \rightarrow S$ છે.
યોગગણની ક્રિયા $\cup: P \times P \rightarrow P$ માટે,કોઈપણ બે ઉપગણો $A, B \in P$ માટે,તેમનો યોગગણ $A \cup B$ પણ $X$ નો ઉપગણ છે,જેનો અર્થ છે કે $A \cup B \in P$. દરેક જોડ $(A, B)$ એ $P$ માં એક અનન્ય ઘટક $A \cup B$ સાથે સંકળાયેલ હોવાથી,$\cup$ એ $P$ પરની દ્વિક્રિયા છે.
તે જ રીતે,છેદગણની ક્રિયા $\cap: P \times P \rightarrow P$ માટે,કોઈપણ બે ઉપગણો $A, B \in P$ માટે,તેમનો છેદગણ $A \cap B$ પણ $X$ નો ઉપગણ છે,જેનો અર્થ છે કે $A \cap B \in P$. દરેક જોડ $(A, B)$ એ $P$ માં એક અનન્ય ઘટક $A \cap B$ સાથે સંકળાયેલ હોવાથી,$\cap$ એ $P$ પરની દ્વિક્રિયા છે.

(N/A) ગણ $S$ પરની દ્રીકૃત ક્રિયા $\ast$ એ વિધેય $\ast: S \times S \rightarrow S$ છે.
$(a, b) \rightarrow \max\{a, b\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા $\vee: R \times R \rightarrow R$ માટે,કોઈપણ જોડ $(a, b) \in R \times R$ માટે,$\max\{a, b\}$ નું મૂલ્ય એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે $R$ માં આવેલી છે.
દરેક જોડ $(a, b)$ એક અનન્ય ઘટક પર મેપ થતી હોવાથી,$\vee$ એ દ્રીકૃત ક્રિયા છે.
તે જ રીતે,$(a, b) \rightarrow \min\{a, b\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા $\wedge: R \times R \rightarrow R$ માટે,કોઈપણ જોડ $(a, b) \in R \times R$ માટે,$\min\{a, b\}$ નું મૂલ્ય એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે $R$ માં આવેલી છે.
દરેક જોડ $(a, b)$ એક અનન્ય ઘટક પર મેપ થતી હોવાથી,$\wedge$ પણ એક દ્રીકૃત ક્રિયા છે.

(N/A) ગણ $S$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $\ast$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તેમ કહેવાય જો તમામ $a, b \in S$ માટે $a \ast b = b \ast a$ થાય.
$R$ પર સરવાળા $(+)$ માટે: તમામ $a, b \in R$ માટે $a + b = b + a$ હોવાથી,$+$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
$R$ પર ગુણાકાર $(\times)$ માટે: તમામ $a, b \in R$ માટે $a \times b = b \times a$ હોવાથી,$\times$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
$R$ પર બાદબાકી $(-)$ માટે: સામાન્ય રીતે $a - b \neq b - a$ થાય છે (દા.ત.,$3 - 4 = -1$ અને $4 - 3 = 1$),તેથી $-$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
$R_*$ પર ભાગાકાર $(\div)$ માટે: સામાન્ય રીતે $a \div b \neq b \div a$ થાય છે (દા.ત.,$3 \div 4 = 0.75$ અને $4 \div 3 = 1.33$),તેથી $\div$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.

(N/A) ક્રિયા $*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે એ જોવું પડે કે શું તમામ $a, b \in \mathbb{R}$ માટે $a * b = b * a$ થાય છે.
આપેલ છે કે $a * b = a + 2b$.
ચાલો આપણે બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a = 3$ અને $b = 4$ લઈએ.
તો,$a * b = 3 * 4 = 3 + 2(4) = 3 + 8 = 11$.
હવે,$b * a = 4 * 3 = 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10$ ગણીએ.
અહીં $a * b \neq b * a$ હોવાથી $(11 \neq 10)$,તેથી ક્રિયા $*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.

કોઈપણ $a, b, c \in R$ માટે,સરવાળો સહચારી છે કારણ કે $(a + b) + c = a + (b + c)$.
ગુણાકાર સહચારી છે કારણ કે $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
બાદબાકી સહચારી નથી કારણ કે $(8 - 5) - 3 = 3 - 3 = 0$,જ્યારે $8 - (5 - 3) = 8 - 2 = 6$. અહીં $0 \neq 6$ હોવાથી,બાદબાકી સહચારી નથી.
ભાગાકાર $R_*$ (જ્યાં $R_* = R \setminus \{0\}$) પર સહચારી નથી કારણ કે $(8 \div 5) \div 3 = \frac{8}{5} \div 3 = \frac{8}{15}$,જ્યારે $8 \div (5 \div 3) = 8 \div \frac{5}{3} = \frac{24}{5}$. અહીં $\frac{8}{15} \neq \frac{24}{5}$ હોવાથી,ભાગાકાર સહચારી નથી.

(N/A) કોઈ ક્રિયા $*$ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે તેમ ત્યારે કહેવાય જો તમામ $a, b, c \in R$ માટે $(a * b) * c = a * (b * c)$ થાય.
પ્રથમ,$(a * b) * c$ ની ગણતરી કરીએ:
$(a * b) * c = (a + 2b) * c = (a + 2b) + 2c = a + 2b + 2c$.
ત્યારબાદ,$a * (b * c)$ ની ગણતરી કરીએ:
$a * (b * c) = a * (b + 2c) = a + 2(b + 2c) = a + 2b + 4c$.
અહીં $a + 2b + 2c \neq a + 2b + 4c$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથના નિયમનું પાલન કરતી નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $a = 8, b = 5, c = 3$ લઈએ:
$(8 * 5) * 3 = (8 + 2(5)) * 3 = 18 * 3 = 18 + 2(3) = 18 + 6 = 24$.
$8 * (5 * 3) = 8 * (5 + 2(3)) = 8 * (5 + 6) = 8 * 11 = 8 + 2(11) = 8 + 22 = 30$.
અહીં $24 \neq 30$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથના નિયમનું પાલન કરતી નથી.

(N/A) સરવાળા માટે,તમામ $a \in R$ માટે $a+0 = 0+a = a$ થાય છે. તેથી,$0$ એ સરવાળા માટેનો તટસ્થ ઘટક છે.
ગુણાકાર માટે,તમામ $a \in R$ માટે $a \times 1 = 1 \times a = a$ થાય છે. તેથી,$1$ એ ગુણાકાર માટેનો તટસ્થ ઘટક છે.
બાદબાકી માટે,તટસ્થ ઘટક $e$ એ તમામ $a \in R$ માટે $a-e = a$ અને $e-a = a$ નું પાલન કરવું જોઈએ. પ્રથમ સમીકરણ પરથી $e=0$ મળે છે,પરંતુ બીજું સમીકરણ $e=2a$ સૂચવે છે,જે તમામ $a$ માટે અચળ નથી. તેથી,કોઈ તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.
ભાગાકાર માટે,તટસ્થ ઘટક $e$ એ તમામ $a \in R_*$ માટે $a \div e = a$ અને $e \div a = a$ નું પાલન કરવું જોઈએ. પ્રથમ સમીકરણ પરથી $e=1$ મળે છે,પરંતુ બીજું સમીકરણ $e=a^2$ સૂચવે છે,જે તમામ $a$ માટે અચળ નથી. તેથી,કોઈ તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(N/A) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર સરવાળાની ક્રિયા '$+$' માટે,તટસ્થ ઘટક $0$ છે.
કારણ કે $a + (-a) = 0$ અને $(-a) + a = 0$ થાય છે,તેથી $-a$ એ $a$ નો સરવાળા માટેનો વ્યસ્ત છે.
શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R \setminus \{0\}$ પર ગુણાકારની ક્રિયા '$\times$' માટે,તટસ્થ ઘટક $1$ છે.
કારણ કે $a \neq 0$ માટે $a \times \frac{1}{a} = 1$ અને $\frac{1}{a} \times a = 1$ થાય છે,તેથી $\frac{1}{a}$ એ $a$ નો ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત છે.

(A) $N$ પર સરવાળાની ક્રિયા $+$ માટે,તટસ્થ ઘટક $0$ છે. જોકે,$0 \notin N$. ભલે આપણે $a + (-a) = 0$ શરતને ધ્યાનમાં લઈએ,તો પણ વ્યસ્ત હોવા માટે $-a$ એ ગણ $N$ માં હોવો જોઈએ. કોઈપણ $a \in N$ માટે,$-a$ એ ઋણ પૂર્ણાંક હોવાથી,$-a \notin N$. તેથી,$-a$ એ $N$ માં $a$ નો વ્યસ્ત નથી.
$N$ પર ગુણાકારની ક્રિયા $\times$ માટે,તટસ્થ ઘટક $1$ છે. $a \in N$ ના ઘટક માટે વ્યસ્ત $b \in N$ હોવા માટે,$a \times b = 1$ થવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $b = \frac{1}{a}$. કોઈપણ $a \in N$ જ્યાં $a \neq 1$ હોય,ત્યારે $\frac{1}{a}$ એ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $\frac{1}{a} \notin N$. આમ,$a = 1$ સિવાય $N$ ના કોઈ પણ ઘટક $a$ નો $N$ માં ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(B) ધન પૂર્ણાંકોના ગણ $Z^{+}$ પર,ક્રિયા $*$ ને $a * b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ગણ $S$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $*$ એ એક વિધેય $*: S \times S \to S$ છે.
ક્રિયા દ્વિ-ક્રિયા હોવા માટે,દરેક જોડ $(a, b) \in Z^{+} \times Z^{+}$ માટે,પરિણામ $a * b$ એ $Z^{+}$ માં હોવું જોઈએ.
ધારો કે $a = 1$ અને $b = 2$,જ્યાં $1, 2 \in Z^{+}$.
તો $a * b = 1 * 2 = 1 - 2 = -1$.
અહીં $-1 \notin Z^{+}$ હોવાથી,ક્રિયા $*$ એ $Z^{+}$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી.

(A) $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = ab$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે કોઈપણ બે ઘટકો $a, b \in Z^{+}$ માટે,તેમનો ગુણાકાર $ab$ પણ એક ધન પૂર્ણાંક છે,એટલે કે $ab \in Z^{+}$.
બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા એક અનન્ય ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,આ ક્રિયા $*$ દરેક જોડ $(a, b)$ ને $Z^{+}$ માં એક અનન્ય ઘટક $a * b = ab$ સાથે જોડે છે.
તેથી,$*$ એ $Z^{+}$ પર એક દ્રીક ક્રિયા છે.

(A) $R$ પર,$*$ ક્રિયા $a * b = ab^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b \in R$ માટે,તેમનો ગુણાકાર $ab^2$ પણ એક વાસ્તવિક સંખ્યા જ મળે છે કારણ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $R$ ગુણાકારની ક્રિયા માટે સંવૃત (closed) છે.
દરેક જોડ $(a, b) \in R \times R$ માટે,$R$ માં એક અનન્ય ઘટક $ab^2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $*$ એ દ્વિ-ક્રિયાની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
આમ,$*$ એ $R$ પર એક દ્વિ-ક્રિયા છે.

(B) $Z^+$ પર,ક્રિયા $*$ ને $a * b = |a - b|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
કોઈપણ બે ઘટકો $a, b \in Z^+$ માટે,$*$ દ્રીક ક્રિયા હોવા માટે પરિણામ $|a - b|$ એ $Z^+$ નો ઘટક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $a = 1$ અને $b = 1$. બંને $1, 1 \in Z^+$.
તો $a * b = |1 - 1| = 0$.
અહીં $0 \notin Z^+$ છે (કારણ કે $Z^+$ એ ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ ${1, 2, 3, ...}$ છે),તેથી ક્રિયા $*$ દરેક જોડી $(a, b)$ ને $Z^+$ ના ઘટક પર લઈ જતી નથી.
તેથી,$*$ એ $Z^+$ પર દ્રીક ક્રિયા નથી.

(A) $Z^{+}$ પર,ક્રિયા $*$ ને $a * b = a$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
કોઈપણ બે ઘટકો $a, b \in Z^{+}$ માટે,ક્રિયા $a * b$ નું પરિણામ $a$ મળે છે.
કારણ કે $a$ એ $Z^{+}$ નો ઘટક છે,તેથી દરેક જોડી $(a, b) \in Z^{+} \times Z^{+}$ માટે,$Z^{+}$ માં એક અનન્ય ઘટક $a * b$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $S$ પરની દ્રીક ક્રિયા એ $S \times S$ થી $S$ પરનું વિધેય છે.
દરેક $a, b \in Z^{+}$ માટે $a * b = a \in Z^{+}$ હોવાથી,ક્રિયા $*$ એ દ્રીક ક્રિયા હોવાની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$*$ એ $Z^{+}$ પરની એક દ્રીક ક્રિયા છે.

$Z$ પર,$^*$ એ $a ^* b = a - b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $1 ^* 2 = 1 - 2 = -1$ અને $2 ^* 1 = 2 - 1 = 1$.
$\therefore 1 ^* 2 \neq 2 ^* 1$,જ્યાં $1, 2 \in Z$.
તેથી,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.
વધુમાં,આપણી પાસે છે:
$(1 ^* 2) ^* 3 = (1 - 2) ^* 3 = -1 ^* 3 = -1 - 3 = -4$.
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2 - 3) = 1 ^* (-1) = 1 - (-1) = 2$.
$\therefore (1 ^* 2) ^* 3 \neq 1 ^* (2 ^* 3)$,જ્યાં $1, 2, 3 \in Z$.
તેથી,ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

(A) $Q$ પર,ક્રિયા $^*$ એ $a ^* b = ab + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે:
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $a, b \in Q$ માટે $ab = ba$ થાય છે.
તેથી,તમામ $a, b \in Q$ માટે $ab + 1 = ba + 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે તમામ $a, b \in Q$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થાય છે.
આમ,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે:
આપણે ચકાસીએ કે શું તમામ $a, b, c \in Q$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ થાય છે.
$(1 ^* 2) ^* 3 = (1 \times 2 + 1) ^* 3 = 3 ^* 3 = 3 \times 3 + 1 = 10$ લો.
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2 \times 3 + 1) = 1 ^* 7 = 1 \times 7 + 1 = 8$ લો.
કારણ કે $(1 ^* 2) ^* 3 \neq 1 ^* (2 ^* 3)$,તેથી ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો નિયમ પાળતું નથી.

(N/A) $Q$ પર,$^*$ ક્રિયા $a ^* b = \frac{ab}{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રમનો નિયમ:
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $a, b \in Q$ માટે $ab = ba$ થાય છે.
તેથી,$\frac{ab}{2} = \frac{ba}{2}$,જેનો અર્થ છે કે તમામ $a, b \in Q$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થાય છે.
આમ,$^*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથનો નિયમ:
તમામ $a, b, c \in Q$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(a ^* b) ^* c = (\frac{ab}{2}) ^* c = \frac{(\frac{ab}{2})c}{2} = \frac{abc}{4}$.
તે જ રીતે,$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{bc}{2}) = \frac{a(\frac{bc}{2})}{2} = \frac{abc}{4}$.
તમામ $a, b, c \in Q$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ હોવાથી,$^*$ ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળે છે.

(A) $Z^+$ પર,$^*$ ક્રિયા $a ^* b = 2^{ab}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે:
આપણે ચકાસીએ કે શું તમામ $a, b \in Z^+$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થાય છે.
$a ^* b = 2^{ab}$
$b ^* a = 2^{ba}$
કારણ કે તમામ $a, b \in Z^+$ માટે $ab = ba$ થાય છે,તેથી $2^{ab} = 2^{ba}$ થાય.
આમ,$a ^* b = b ^* a$.
તેથી,$^*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે:
આપણે ચકાસીએ કે શું તમામ $a, b, c \in Z^+$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ થાય છે.
ધારો કે $a=1, b=2, c=3$:
$(1 ^* 2) ^* 3 = (2^{1 \times 2}) ^* 3 = 4 ^* 3 = 2^{4 \times 3} = 2^{12} = 4096$.
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2^{2 \times 3}) = 1 ^* 2^6 = 1 ^* 64 = 2^{1 \times 64} = 2^{64}$.
કારણ કે $2^{12} \neq 2^{64}$,તેથી આ ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.

(NONE) $Z^+$ પર,ક્રિયા $^*$ એ $a ^* b = a^b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો ગુણધર્મ:
આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b \in Z^+$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થાય છે.
$a = 1$ અને $b = 2$ લો.
$1 ^* 2 = 1^2 = 1$
$2 ^* 1 = 2^1 = 2$
$1 \neq 2$ હોવાથી,$1 ^* 2 \neq 2 ^* 1$.
તેથી,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.
$2$. જૂથનો ગુણધર્મ:
આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b, c \in Z^+$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ થાય છે.
$a = 2, b = 3, c = 4$ લો.
$(2 ^* 3) ^* 4 = (2^3) ^* 4 = 8 ^* 4 = 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$.
$2 ^* (3 ^* 4) = 2 ^* (3^4) = 2 ^* 81 = 2^{81}$.
$2^{12} \neq 2^{81}$ હોવાથી,$(2 ^* 3) ^* 4 \neq 2 ^* (3 ^* 4)$.
તેથી,ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

દ્રીક્રીયા $a, b \in R - \{-1\}$ માટે $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો નિયમ (Commutativity):
$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $a ^* b$ અને $b ^* a$ ની સરખામણી કરીએ.
$a ^* b = \frac{a}{b+1}$
$b ^* a = \frac{b}{a+1}$
સામાન્ય રીતે $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ હોવાથી (દા.ત.,$a=1, b=2$ લેતા,$1 ^* 2 = \frac{1}{3}$ અને $2 ^* 1 = \frac{2}{2} = 1$),તેથી $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળતું નથી.
$2$. જૂથનો નિયમ (Associativity):
$^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $(a ^* b) ^* c$ અને $a ^* (b ^* c)$ ની સરખામણી કરીએ.
$(a ^* b) ^* c = (\frac{a}{b+1}) ^* c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{b}{c+1}) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a}{\frac{b+c+1}{c+1}} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
સામાન્ય રીતે $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$ હોવાથી (દા.ત.,$a=1, b=2, c=3$ લેતા,$(1 ^* 2) ^* 3 = \frac{1}{(3)(4)} = \frac{1}{12}$ અને $1 ^* (2 ^* 3) = \frac{1(4)}{2+3+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$),તેથી $^*$ જૂથનો નિયમ પાળતું નથી.

(N/A) ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિ ક્રિયા $\wedge$ ને $a \wedge b = \min\{a, b\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે,જ્યાં $a, b \in S$ છે.
ક્રિયા કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે દરેક જોડી $(a, b)$ માટે $a \wedge b$ ની ગણતરી કરીએ છીએ,જ્યાં $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે. દરેક ખાનામાં રહેલી કિંમત તે હાર અને સ્તંભના હેડરોની ન્યૂનતમ કિંમત છે.

$\wedge$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$2$	$2$	$2$
$3$	$1$	$2$	$3$	$3$	$3$
$4$	$1$	$2$	$3$	$4$	$4$
$5$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

(N/A) $(2 \,^* \,3) \,^* \,4$ ની ગણતરી કરવા માટે:
કોષ્ટક પરથી,$2 \,^* \,3 = 2$ મળે છે.
તેથી,$(2 \,^* \,3) \,^* \,4 = 2 \,^* \,4 = 2$ થાય.
$2 \,^* \,(3 \,^* \,4)$ ની ગણતરી કરવા માટે:
કોષ્ટક પરથી,$3 \,^* \,4 = 3$ મળે છે.
તેથી,$2 \,^* \,(3 \,^* \,4) = 2 \,^* \,3 = 2$ થાય.

(A) કોઈ ગણ $S$ પરની દ્વિ ક્રિયા $*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે જો તમામ $a, b \in S$ માટે $a \,^*\, b = b \,^*\, a$ થાય.
ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે કોષ્ટક મુખ્ય વિકર્ણની સાપેક્ષમાં સંમિત (symmetric) છે કે નહીં.
કોષ્ટક જોતા:
- $1 \,^*\, 2 = 1$ અને $2 \,^*\, 1 = 1$. તેથી,$1 \,^*\, 2 = 2 \,^*\, 1$.
- $1 \,^*\, 3 = 1$ અને $3 \,^*\, 1 = 1$. તેથી,$1 \,^*\, 3 = 3 \,^*\, 1$.
- $2 \,^*\, 3 = 2$ અને $3 \,^*\, 2 = 2$. તેથી,$2 \,^*\, 3 = 3 \,^*\, 2$.
- $2 \,^*\, 4 = 2$ અને $4 \,^*\, 2 = 2$. તેથી,$2 \,^*\, 4 = 4 \,^*\, 2$.
- $3 \,^*\, 4 = 3$ અને $4 \,^*\, 3 = 3$. તેથી,$3 \,^*\, 4 = 4 \,^*\, 3$.
- $1 \,^*\, 5 = 1$ અને $5 \,^*\, 1 = 1$. તેથી,$1 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 1$.
- $2 \,^*\, 5 = 2$ અને $5 \,^*\, 2 = 2$. તેથી,$2 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 2$.
- $3 \,^*\, 5 = 3$ અને $5 \,^*\, 3 = 3$. તેથી,$3 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 3$.
- $4 \,^*\, 5 = 4$ અને $5 \,^*\, 4 = 4$. તેથી,$4 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 4$.
તમામ $a, b \in \{1,2,3,4,5\}$ માટે $a \,^*\, b = b \,^*\, a$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.

(B) આપેલા કોષ્ટક પરથી:
$1$. $(2 \,^* \,3)$ નું મૂલ્ય શોધો. $2$ ની હાર અને $3$ ના સ્તંભને જોતા,આપણને $(2 \,^* \,3) = 2$ મળે છે.
$2$. $(4 \,^* \,5)$ નું મૂલ્ય શોધો. $4$ ની હાર અને $5$ ના સ્તંભને જોતા,આપણને $(4 \,^* \,5) = 4$ મળે છે.
$3$. હવે,અંતિમ પદાવલિની ગણતરી કરો: $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5) = 2 \,^* \,4$.
$4$. કોષ્ટકમાં $2$ ની હાર અને $4$ ના સ્તંભને જોતા,આપણને $2 \,^* \,4 = 2$ મળે છે.
આમ,અંતિમ પરિણામ $2$ છે.

(B) ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પરની દ્રીકક્રિયા $*^{\prime}$ ને $a *^{\prime} b = a$ અને $b$ નો ગુ.સા.અ. તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ક્રિયા $*^{\prime}$ માટેનું ક્રિયા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$*^{\prime}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$1$	$3$	$1$	$1$
$4$	$1$	$2$	$1$	$4$	$1$
$5$	$1$	$1$	$1$	$1$	$5$

સ્વાધ્યાય $4$ માં,ક્રિયા $*$ ને $a * b = \min\{a, b\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
કોષ્ટકોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે ક્રિયાઓ $*$ અને $*^{\prime}$ માટેના ક્રિયા કોષ્ટકો અલગ છે.
આમ,ક્રિયા $*^{\prime}$ એ ક્રિયા $*$ જેવી જ નથી.

(A) $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $^*$ એ $a \,^* \,b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$5 \,^* \,7$ માટે:
$5 \,^* \,7 = 5 \text{ અને } 7 \text{ નો લ.સા.અ.} = 35$.
$20 \,^* \,16$ માટે:
$20 \,^* \,16 = 20 \text{ અને } 16 \text{ નો લ.સા.અ.}$.
કારણ કે $20 = 2^2 \times 5$ અને $16 = 2^4$ છે,તેથી લ.સા.અ. $2^4 \times 5 = 16 \times 5 = 80$ થાય.
આમ,$5 \,^* \,7 = 35$ અને $20 \,^* \,16 = 80$ છે.

(A) દ્વિ-ક્રિયા $^*$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $a \, ^* \, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ $a, b \in N$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $a$ અને $b$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(L.C.M.)$ એ $b$ અને $a$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$a \, ^* \, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.} = b \text{ અને } a \text{ નો લ.સા.અ.} = b \, ^* \, a$.
આમ,તમામ $a, b \in N$ માટે $a \, ^* \, b = b \, ^* \, a$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે (ક્રમીય છે).

(A) $a, b, c \in N$ માટે,
$(a \,^*\, b) \,^*\, c = (a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}) \,^*\, c = a, b, \text{ અને } c \text{ નો લ.સા.અ.}$
$a \,^*\, (b \,^*\, c) = a \,^*\, (b \text{ અને } c \text{ નો લ.સા.અ.}) = a, b, \text{ અને } c \text{ નો લ.સા.અ.}$
$\therefore (a \,^*\, b) \,^*\, c = a \,^*\, (b \,^*\, c)$
આમ,ક્રિયા $^*$ એ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે.

(A) ગણ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક $e$ એવો ઘટક છે કે જેથી તમામ $a \in N$ માટે $a \, ^* \, e = a = e \, ^* \, a$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે $a \, ^* \, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $a$ અને $1$ નો લ.સા.અ. $a$ થાય છે,એટલે કે $\text{L.C.M.}(a, 1) = a$ અને $\text{L.C.M.}(1, a) = a$.
તેથી,તમામ $a \in N$ માટે $a \, ^* \, 1 = a = 1 \, ^* \, a$ થાય છે.
આમ,$1$ એ $N$ માં $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે.

(A) જો કોઈ ઘટક $b \in N$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય કે જેથી $a ^* b = e = b ^* a$ થાય,તો $N$ માંનો ઘટક $a$ એ $^*$ ક્રિયાને સાપેક્ષ વ્યસ્ત સંપન્ન કહેવાય,જ્યાં $e$ એ તટસ્થ ઘટક છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $L.C.M.$ ની ક્રિયા માટે,તટસ્થ ઘટક $e$ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી દરેક $a \in N$ માટે $L.C.M.(a, e) = a$ થાય. આ શરત $e = 1$ માટે સાચી છે.
આમ,આપણે એવો $b \in N$ શોધવો પડે કે જેથી $L.C.M.(a, b) = 1$ થાય.
દરેક $a, b \in N$ માટે $L.C.M.(a, b) \geq a$ અને $L.C.M.(a, b) \geq b$ હોવાથી,$L.C.M.(a, b) = 1$ શરત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a = 1$ અને $b = 1$ હોય.
તેથી,$1$ એ $^*$ ક્રિયાને સાપેક્ષ $N$ નો એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.

(D) ગણ $A$ પરની દ્રીક ક્રિયા $^*$ એ એક વિધેય $^*: A \times A \to A$ છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ $a, b \in A$ માટે,પરિણામ $a \,^*\, b$ પણ $A$ નો ઘટક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. ક્રિયા $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રિયા દ્રીક ક્રિયા બને તે માટે,તમામ $a, b \in A$ માટે $a \,^*\, b$ એ $A$ માં હોવો જોઈએ.
ચાલો આપણે ગણ $A$ ના કેટલાક ઘટકો સાથે આ તપાસીએ:
ધારો કે $a = 2$ અને $b = 3$. બંને $2, 3 \in A$ છે.
$2 \,^*\, 3 = 2 \text{ અને } 3 \text{ નો લ.સા.અ.} = 6$.
કારણ કે $6 \notin \{1, 2, 3, 4, 5\}$,ક્રિયાનું પરિણામ ગણ $A$ માં નથી.
તે જ રીતે,$2 \,^*\, 5 = 10 \notin A$,$3 \,^*\, 4 = 12 \notin A$,વગેરે.
કારણ કે એવા ઘટકો $a, b \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે $a \,^*\, b \notin A$,તેથી ક્રિયા $^*$ એ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્રીક ક્રિયા નથી.

(N/A) $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $^*$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}$
$1$. ક્રમનો નિયમ:
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $a, b \in N$ માટે $a$ અને $b$ નો $\text{ગુ.સા.અ.}$ એ $b$ અને $a$ ના $\text{ગુ.સા.અ.}$ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$a \,^*\, b = b \,^*\, a$.
આમ,ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
$2$. જૂથનો નિયમ:
$a, b, c \in N$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(a \,^*\, b) \,^*\, c = (a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}) \,^*\, c = a, b, c \text{ નો ગુ.સા.અ.}$
$a \,^*\, (b \,^*\, c) = a \,^*\, (b \text{ અને } c \text{ નો ગુ.સા.અ.}) = a, b, c \text{ નો ગુ.સા.અ.}$
કારણ કે $(a \,^*\, b) \,^*\, c = a \,^*\, (b \,^*\, c)$,તેથી ક્રિયા $^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે.
$3$. તટસ્થ ઘટક:
જો તમામ $a \in N$ માટે $a \,^*\, e = a = e \,^*\, a$ થાય,તો $e \in N$ ને $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક કહેવાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\text{ગુ.સા.અ.}(a, e) = a$,જેનો અર્થ છે કે દરેક $a \in N$ માટે $a$ એ $e$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $N$ માં એવો કોઈ નિશ્ચિત ઘટક $e$ નથી જે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ગુણક હોય,તેથી આ ક્રિયા માટે કોઈ તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

$Q$ પર,ક્રિયા $^*$ ને $a ^* b = a - b$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
$1$. ક્રમનો નિયમ (Commutativity):
ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે તે માટે,તમામ $a, b \in Q$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થવું જોઈએ.
$a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{3}$ લો.
$\frac{1}{2} ^* \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} ^* \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$
અહીં $\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{6}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
$2$. જૂથનો નિયમ (Associativity):
ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળે તે માટે,તમામ $a, b, c \in Q$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ થવું જોઈએ.
$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ લો.
$(a ^* b) ^* c = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}$
$a ^* (b ^* c) = \frac{1}{2} ^* (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} ^* \frac{1}{12} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{6 - 1}{12} = \frac{5}{12}$
અહીં $-\frac{1}{12} \neq \frac{5}{12}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.

(B) $Q$ પર,ક્રિયા $^*$ ને $a \,^* \,b = a^{2} + b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
$a, b \in Q$ માટે,આપણી પાસે છે:
$a \,^* \,b = a^{2} + b^{2} = b^{2} + a^{2} = b \,^* \,a$.
તેથી,$a \,^* \,b = b \,^* \,a$,જેનો અર્થ છે કે ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
હવે,જૂથના નિયમ માટે તપાસીએ:
$(1 \,^* \,2) \,^* \,3 = (1^{2} + 2^{2}) \,^* \,3 = (1 + 4) \,^* \,3 = 5 \,^* \,3 = 5^{2} + 3^{2} = 25 + 9 = 34$.
$1 \,^* \,(2 \,^* \,3) = 1 \,^* \,(2^{2} + 3^{2}) = 1 \,^* \,(4 + 9) = 1 \,^* \,13 = 1^{2} + 13^{2} = 1 + 169 = 170$.
કારણ કે $(1 \,^* \,2) \,^* \,3 \neq 1 \,^* \,(2 \,^* \,3)$,તેથી ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.
આમ,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે પરંતુ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.

(D) $Q$ પર,ક્રિયા $^*$ ને $a * b = a + ab$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે:
$1 * 2 = 1 + (1 \times 2) = 1 + 2 = 3$
$2 * 1 = 2 + (2 \times 1) = 2 + 2 = 4$
અહીં $1 * 2 \neq 2 * 1$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે:
$(1 * 2) * 3 = (1 + 1 \times 2) * 3 = 3 * 3 = 3 + (3 \times 3) = 3 + 9 = 12$
$1 * (2 * 3) = 1 * (2 + 2 \times 3) = 1 * 8 = 1 + (1 \times 8) = 1 + 8 = 9$
અહીં $(1 * 2) * 3 \neq 1 * (2 * 3)$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.
આમ,ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ કે જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.

(B) ગણ $Q$ પર,ક્રિયા $^*$ ને $a * b = (a - b)^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે શું તમામ $a, b \in Q$ માટે $a * b = b * a$ થાય છે:
$a * b = (a - b)^2$
$b * a = (b - a)^2 = [-(a - b)]^2 = (a - b)^2$
તેથી $a * b = b * a$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે શું તમામ $a, b, c \in Q$ માટે $(a * b) * c = a * (b * c)$ થાય છે:
ધારો કે $a = 1, b = 2, c = 3$:
$(1 * 2) * 3 = (1 - 2)^2 * 3 = (-1)^2 * 3 = 1 * 3 = (1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$
$1 * (2 * 3) = 1 * (2 - 3)^2 = 1 * (-1)^2 = 1 * 1 = (1 - 1)^2 = 0$
$(1 * 2) * 3 \neq 1 * (2 * 3)$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.

(C) ગણ $Q$ પર,ક્રિયા $*$ ને $a * b = \frac{ab}{4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે,$a, b \in Q$ લો:
$a * b = \frac{ab}{4} = \frac{ba}{4} = b * a$.
તેથી,$a * b = b * a$ હોવાથી,આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે,$a, b, c \in Q$ લો:
$(a * b) * c = (\frac{ab}{4}) * c = \frac{(\frac{ab}{4})c}{4} = \frac{abc}{16}$.
$a * (b * c) = a * (\frac{bc}{4}) = \frac{a(\frac{bc}{4})}{4} = \frac{abc}{16}$.
તેથી,$(a * b) * c = a * (b * c)$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળે છે.
આમ,આ ક્રિયા ક્રમનો અને જૂથનો બંને નિયમો પાળે છે.

ગણ $Q$ પર,ક્રિયા $^*$ ને $a \,^*\, b = a b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે $a \,^*\, b$ અને $b \,^*\, a$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
$Q$ માં $a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{3}$ લો.
$\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$.
$\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
$\frac{1}{18} \neq \frac{1}{12}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે $(a \,^*\, b) \,^*\, c$ અને $a \,^*\, (b \,^*\, c)$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
$Q$ માં $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ લો.
$(\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3}) \,^*\, \frac{1}{4} = (\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2}) \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \times (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{18 \times 16} = \frac{1}{288}$.
$\frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4})^{2}) = \frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{48} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{48})^{2} = \frac{1}{2 \times 2304} = \frac{1}{4608}$.
$\frac{1}{288} \neq \frac{1}{4608}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.

(N/A) કોઈ દ્વિતીય ક્રિયા $^*$ માટે $e \in Q$ એ તટસ્થ ઘટક ત્યારે જ કહેવાય જો તમામ $a \in Q$ માટે $a * e = a = e * a$ થાય.
સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત છ ક્રિયાઓ માટે,આપણે $a * e = a$ શરત ચકાસીએ છીએ.
દરેક ક્રિયા માટે $a * e = a$ ઉકેલતા,આપણને જણાય છે કે $e$ ની કિંમત $a$ પર આધાર રાખે છે અથવા તે તમામ $a$ માટે $Q$ માં અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
આમ,કોઈ પણ એવો એક ઘટક $e \in Q$ નથી જે આ તમામ ક્રિયાઓ માટે $a * e = a = e * a$ ની શરતનું પાલન કરે,તેથી આ છ ક્રિયાઓમાંથી કોઈ પણ પાસે તટસ્થ ઘટક નથી.

(A) આપેલ છે કે $A = N \times N$ અને દ્વિ-ક્રિયા $^*$ જે $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો ગુણધર્મ (Commutativity):
કોઈપણ $(a, b), (c, d) \in A$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$
$(c, d) \,^*\, (a, b) = (c + a, d + b) = (a + c, b + d)$
કારણ કે $N$ માં સરવાળો ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,તેથી $(a, b) \,^*\, (c, d) = (c, d) \,^*\, (a, b)$. આમ,$^*$ એ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$2$. જૂથનો ગુણધર્મ (Associativity):
કોઈપણ $(a, b), (c, d), (e, f) \in A$ માટે,આપણી પાસે છે:
$[(a, b) \,^*\, (c, d)] \,^*\, (e, f) = (a + c, b + d) \,^*\, (e, f) = (a + c + e, b + d + f)$
$(a, b) \,^*\, [(c, d) \,^*\, (e, f)] = (a, b) \,^*\, (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)$
કારણ કે $N$ માં સરવાળો જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,તેથી ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$3$. તટસ્થ ઘટક (Identity Element):
ધારો કે $e = (e_1, e_2) \in A$ એ તટસ્થ ઘટક છે. તો $(a, b) \,^*\, (e_1, e_2) = (a, b)$,જેનો અર્થ છે કે $(a + e_1, b + e_2) = (a, b)$.
આ માટે $a + e_1 = a$ અને $b + e_2 = b$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $e_1 = 0$ અને $e_2 = 0$.
કારણ કે $0 \notin N$,તેથી $A$ માં કોઈ તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
આને સાબિત કરવા માટે,એક ઉદાહરણ (counterexample) ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પરની દ્વિતીય ક્રિયા $^*$ એ $a \,^* \,b = a + b$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a, b \in N$.
હવે,$a = 3 \in N$ ઘટક લો.
આપેલ શરત મુજબ,$3 \,^* \,3 = 3$ થવું જોઈએ.
પરંતુ,આપણી વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા મુજબ,$3 \,^* \,3 = 3 + 3 = 6$ મળે છે.
અહીં $6 \neq 3$ હોવાથી,$N$ પરની દરેક દ્વિતીય ક્રિયા માટે $a \,^* \,a = a$ શરત સાચી પડતી નથી.
તેથી,આ વિધાન અસત્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $^*$ એ $N$ પર ક્રમ-નિરપેક્ષ દ્વિ-આધારિત પ્રક્રિયા છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x, y \in N$ માટે $x ^* y = y ^* x$ થાય.
જમણી બાજુ $(RHS)$ ધ્યાનમાં લો:
$RHS = (c ^* b) ^* a$
$^*$ ક્રમ-નિરપેક્ષ હોવાથી,આપણે $(c ^* b) = (b ^* c)$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$RHS = (b ^* c) ^* a$.
હવે,ક્રમ-નિરપેક્ષ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રક્રિયા $^*$ ની આસપાસના ઘટકોની અદલાબદલી કરી શકીએ છીએ:
$(b ^* c) ^* a = a ^* (b ^* c)$.
આમ,$RHS = a ^* (b ^* c) = LHS$.
તેથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(C) $N$ પર,ક્રિયા $*$ ને $a * b = a^{3} + b^{3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
$a, b \in N$ માટે,આપણી પાસે છે:
$a * b = a^{3} + b^{3} = b^{3} + a^{3} = b * a$ (કારણ કે $N$ માં સરવાળો ક્રમનો નિયમ પાળે છે).
તેથી,ક્રિયા $*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
હવે,જૂથના નિયમ માટે તપાસીએ:
$(1 * 2) * 3 = (1^{3} + 2^{3}) * 3 = (1 + 8) * 3 = 9 * 3 = 9^{3} + 3^{3} = 729 + 27 = 756$.
$1 * (2 * 3) = 1 * (2^{3} + 3^{3}) = 1 * (8 + 27) = 1 * 35 = 1^{3} + 35^{3} = 1 + 42875 = 42876$.
અહીં $(1 * 2) * 3 \neq 1 * (2 * 3)$ હોવાથી,ક્રિયા $*$ એ જૂથના નિયમનું પાલન કરતી નથી.
આમ,ક્રિયા $*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે પણ જૂથના નિયમનું પાલન કરતી નથી. સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) $1$. ક્રમનો નિયમ: ગણ $N$ પરની દ્વિતીય ક્રિયા $\ast$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે જો દરેક $a, b \in N$ માટે $a \ast b = b \ast a$ થાય. અહીં,$a \ast b = 1$ અને $b \ast a = 1$ છે. તેથી $1 = 1$ હોવાથી,આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
$2$. જૂથનો નિયમ: ગણ $N$ પરની દ્વિતીય ક્રિયા $\ast$ જૂથનો નિયમ પાળે છે જો દરેક $a, b, c \in N$ માટે $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$ થાય. અહીં,$(a \ast b) \ast c = 1 \ast c = 1$ છે. તેમજ,$a \ast (b \ast c) = a \ast 1 = 1$ છે. તેથી $1 = 1$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળે છે.
આમ,આ ક્રિયા જૂથનો નિયમ અને ક્રમનો નિયમ બંનેનું પાલન કરે છે.

(N/A) ક્રમના નિયમ માટે,આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b \in N$ માટે $a * b = b * a$ થાય છે.
$a * b = \frac{a+b}{2} = \frac{b+a}{2} = b * a$.
આમ,$a * b = b * a$ હોવાથી,આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથના નિયમ માટે,આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b, c \in N$ માટે $(a * b) * c = a * (b * c)$ થાય છે.
$(a * b) * c = \left(\frac{a+b}{2}\right) * c = \frac{\frac{a+b}{2} + c}{2} = \frac{a+b+2c}{4}$.
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b+c}{2}\right) = \frac{a + \frac{b+c}{2}}{2} = \frac{2a+b+c}{4}$.
સામાન્ય રીતે $\frac{a+b+2c}{4} \neq \frac{2a+b+c}{4}$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથના નિયમનું પાલન કરતી નથી.

(A) $\{1, 2\}$ પરની દ્રીકક્રિયા $^*$ એ $\{1, 2\} \times \{1, 2\}$ થી $\{1, 2\}$ પરનું વિધેય છે,એટલે કે $\{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$ થી $\{1, 2\}$ પરનું વિધેય છે.
કારણ કે $1$ એ દ્રીકક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે,તેથી $1 * 1 = 1$,$1 * 2 = 2$ અને $2 * 1 = 2$ થવું જોઈએ.
આનાથી $(1, 1)$,$(1, 2)$ અને $(2, 1)$ જોડીઓ માટેની કિંમતો નક્કી થાય છે.
જોડી $(2, 2)$ માટે,આપણને આપેલ છે કે $2$ એ $2$ નો વ્યસ્ત છે. વ્યસ્તની વ્યાખ્યા મુજબ,$2 * 2$ એ તટસ્થ ઘટક એટલે કે $1$ બરાબર હોવું જોઈએ.
આમ,$2 * 2 = 1$.
જેથી વિધેય $^*$ ની તમામ કિંમતો અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે,તેથી આવી દ્રીકક્રિયાઓની સંખ્યા માત્ર એક જ છે.

(A) અહીં દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ એ $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ $A \in P(X)$ માટે,$A \cap X = A$ અને $X \cap A = A$ થાય છે.
આથી,$A \,^*\, X = A$ અને $X \,^*\, A = A$ દરેક $A \in P(X)$ માટે સાચું છે.
તેથી,$X$ એ આપેલી દ્વિ-ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે.
હવે,$A \in P(X)$ એ વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક ત્યારે જ કહેવાય જો કોઈ $B \in P(X)$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $A \,^*\, B = X$ અને $B \,^*\, A = X$ થાય (કારણ કે $X$ તટસ્થ ઘટક છે).
આનો અર્થ એ છે કે $A \cap B = X$ અને $B \cap A = X$.
કારણ કે $A \subseteq X$ અને $B \subseteq X$,તેથી છેદગણ $A \cap B$ ત્યારે જ $X$ બરાબર હોઈ શકે જો $A = X$ અને $B = X$ હોય.
તેથી,$X$ એ આપેલી ક્રિયા $^*$ માટે $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.