Inverse Function Questions in Gujarati

(C) વ્યસ્ત સંબંધ ${R^{-1}}$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(y, x)$ નો સમૂહ છે જે માટે $(x, y) \in R$ થાય.
આપેલ છે કે $R = \{(1, 3), (1, 5), (2, 1)\}$.
$R$ માંની દરેક ક્રમયુક્ત જોડીના ઘટકોની અદલાબદલી કરતા આપણને મળે છે:
$(1, 3) \to (3, 1)$
$(1, 5) \to (5, 1)$
$(2, 1) \to (1, 2)$
તેથી,${R^{-1}} = \{(3, 1), (5, 1), (1, 2)\}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ છે.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$y(cx - a) = ax + b$
$cxy - ay = ax + b$
$cxy - ax = ay + b$
$x(cy - a) = ay + b$
$x = \frac{ay + b}{cy - a}$
કારણ કે $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$,તેથી $x$ ને $y$ દ્વારા બદલતા આપણને $f(y) = \frac{ay + b}{cy - a}$ મળે છે.
તેથી,$x = f(y)$.

(A) વિધેય $f: A \to B$ વ્યસ્ત સંપન્ન ત્યારે જ કહેવાય જો તે એક-એક (one-one) અને વ્યાપ્ત (onto) હોય,એટલે કે તે બાયજેક્શન (bijection) હોય.
$1$. $f(x) = 2^x$ માટે,જો આપણે પ્રદેશ $\mathbb{R}$ અને સહપ્રદેશ $(0, \infty)$ લઈએ,તો વિધેય સતત વધતું વિધેય છે (એક-એક) અને તમામ ધન વાસ્તવિક કિંમતોને આવરી લે છે (વ્યાપ્ત). તેથી,તે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
$2$. $f(x) = x^3 - x$ માટે,વિકલન $f'(x) = 3x^2 - 1$ એ $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી તે $\mathbb{R}$ પર એક-એક નથી.
$3$. $f(x) = x^2$ માટે,$f(1) = f(-1) = 1$ થાય છે,તેથી તે એક-એક નથી.
તેથી,$f(x) = 2^x$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ છે.
$y$ ના પદમાં $x$ શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$y(x - 1) = x + 2$
$yx - y = x + 2$
$yx - x = y + 2$
$x(y - 1) = y + 2$
$x = \frac{y + 2}{y - 1}$
કારણ કે $f(y) = \frac{y + 2}{y - 1}$ છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $x = f(y)$.

(A) વિધેય $f$ એ પોતાનું પ્રતિવિધેય છે જો તેના પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(f(x)) = x$ થાય.
વિકલ્પ $A$ માટે,ધારો કે $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$.
તેથી $f(f(x)) = f\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) = \frac{1 - \left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)}{1 + \left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)}$.
અંશ અને છેદને $(1 + x)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$f(f(x)) = \frac{(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x) + (1 - x)} = \frac{1 + x - 1 + x}{1 + x + 1 - x} = \frac{2x}{2} = x$.
કારણ કે $f(f(x)) = x$,તેથી વિધેય $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ એ પોતાનું પ્રતિવિધેય છે.

(B) ધારો કે $y = f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + 2$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} + 2$.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$y - 2 = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$.
ધારો કે $u = e^{2x}$. તો $y - 2 = \frac{u - 1}{u + 1}$.
$(y - 2)(u + 1) = u - 1$
$yu + y - 2u - 2 = u - 1$
$u(y - 2 - 1) = -1 - y + 2$
$u(y - 3) = 1 - y$
$u = \frac{1 - y}{y - 3} = \frac{y - 1}{3 - y}$.
કારણ કે $u = e^{2x}$,તેથી $e^{2x} = \frac{y - 1}{3 - y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2x = \log_e \left( \frac{y - 1}{3 - y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{y - 1}{3 - y} \right) = \log_e \left( \frac{y - 1}{3 - y} \right)^{1/2}$.
આમ,પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{x - 1}{3 - x} \right)^{1/2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
પ્રતિવિધેય શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
બંને બાજુ $\log_2$ લેતા,આપણને $\log_2 y = x(x - 1)$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - \log_2 y = 0$ માં ફેરવાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$ મળે છે.
વિધેય $f$ નો પ્રદેશ $[1, \infty)$ હોવાથી,$x \ge 1$ હોવું જોઈએ.
જો આપણે ઋણ ચિહ્ન લઈએ,તો $y \ge 1$ માટે $x = \frac{1 - \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2} < 1$ થાય.
તેથી,આપણે ધન ચિહ્ન પસંદ કરવું પડશે: $x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 + 4\log_2 x})$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = y$.
$f(x) = 3x - 5$ હોવાથી,આપણને $y = 3x - 5$ મળે છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવીએ:
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x = f^{-1}(y)$,તેથી $f^{-1}(y) = \frac{y + 5}{3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$ મળે છે.
$f(x) = 3x - 5$ એ સુરેખ વિધેય હોવાથી,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે,તેથી $f$ નું વ્યસ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x - 4$.
વ્યસ્ત વિધેય ${f^{ - 1}}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
તેથી $y = 3x - 4$.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવતા:
$y + 4 = 3x$
$x = \frac{y + 4}{3}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો $y = f(x)$ હોય,તો $x = {f^{ - 1}}(y)$ થાય.
તેથી,${f^{ - 1}}(y) = \frac{y + 4}{3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને ${f^{ - 1}}(x) = \frac{x + 4}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{1 + x}$.
ધારો કે $y = f(x)$,તેથી $x = {f^{-1}}(y)$.
$f(x)$ ની જગ્યાએ $y$ મૂકતા,આપણને મળે $y = \frac{x}{1 + x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $y(1 + x) = x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y + yx = x$ થાય છે.
$x$ માટે પદોને ગોઠવતા,$y = x - yx = x(1 - y)$ મળે છે.
આમ,$x = \frac{y}{1 - y}$.
કારણ કે $x = {f^{-1}}(y)$,તેથી ${f^{-1}}(y) = \frac{y}{1 - y}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને ${f^{-1}}(x) = \frac{x}{1 - x}$ મળે છે.

(A) કોઈપણ વિધેય વ્યસ્ત ત્યારે જ હોય જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) હોય.
$1$. $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ માટે,પ્રદેશ $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ છે અને વિસ્તાર $y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ છે. આ વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,તેથી તે વ્યસ્ત છે.
$2$. $f(x) = x^2$ માટે,જો તે બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો તે એક-એક નથી કારણ કે $f(1) = f(-1) = 1$. તેથી,તે વ્યસ્ત નથી.
$3$. $f(x) = x^2$ માટે,જો $x \ge 0$ અથવા $x \le 0$ શરત હોય,તો તે તેના મર્યાદિત પ્રદેશ પર એક-એક અને વ્યાપ્ત બને છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ એ વ્યસ્ત વિધેયનું પ્રમાણિત ઉદાહરણ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$.
પ્રતિવિધેય મેળવવા માટે,આપણે $y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત શોધીશું.
અંશ અને છેદને $10^x$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{10^{2x} - 1}{10^{2x} + 1}$.
$y(10^{2x} + 1) = 10^{2x} - 1$.
$y \cdot 10^{2x} + y = 10^{2x} - 1$.
$1 + y = 10^{2x}(1 - y)$.
$10^{2x} = \frac{1+y}{1-y}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$2x = \log_{10} \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$.
$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$.
પ્રતિવિધેય મેળવવા માટે $y$ ને $x$ વડે બદલતા:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.

(A) આપેલ વિધેય $y = 2x - 3$ છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવીશું:
$y + 3 = 2x$
$x = \frac{y + 3}{2}$
હવે,$f^{-1}(x)$ વ્યસ્ત વિધેય દર્શાવવા માટે $y$ ને $x$ વડે બદલો:
$f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{2x + 1}{1 - 3x}$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે $y = f(x)$ લઈએ.
$y = \frac{2x + 1}{1 - 3x}$
બંને બાજુ $(1 - 3x)$ વડે ગુણતા:
$y(1 - 3x) = 2x + 1$
$y - 3xy = 2x + 1$
$x$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$y - 1 = 2x + 3xy$
$y - 1 = x(2 + 3y)$
$x = \frac{y - 1}{3y + 2}$
આમ,$f^{-1}(y) = x$ હોવાથી,$f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{3y + 2}$ મળે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3x + 2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 + 1$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = x^2 + 1$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x^2 = y - 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \sqrt{y - 1}$.
આમ,$f^{-1}(y) = \pm \sqrt{y - 1}$.
$f^{-1}(17)$ માટે,આપણે $y = 17$ મૂકીએ: $f^{-1}(17) = \pm \sqrt{17 - 1} = \pm \sqrt{16} = \pm 4$.
$f^{-1}(-3)$ માટે,આપણે $y = -3$ મૂકીએ: $f^{-1}(-3) = \pm \sqrt{-3 - 1} = \pm \sqrt{-4}$.
કારણ કે $\sqrt{-4}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી,તેથી $f^{-1}(-3)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ (આમાંથી કોઈ નહીં) છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x + \cos x$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંયોજન $g(f(x))$ શોધીએ:
$g(f(x)) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$
$= (\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x) - 1$
$= (1 + \sin 2x) - 1 = \sin 2x$.
વિધેય વ્યસ્ત હોવા માટે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) હોવું જોઈએ.
વિધેય $h(x) = \sin 2x$ એ અંતરાલમાં વ્યસ્ત છે જ્યાં દલીલ $2x$ એ પ્રતિવિધેય સાઈન વિધેયની મુખ્ય શાખામાં હોય,એટલે કે $[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$.
આમ,આપણે જરૂર છે:
$-\frac{\pi}{2} \le 2x \le \frac{\pi}{2}$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$g(f(x))$ એ $x \in [ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ]$ માટે વ્યસ્ત છે.

(B) ધારો કે $f(x) = y$,જેનો અર્થ છે કે $x = f^{-1}(y)$.
આપેલ છે $y = \frac{2x - 1}{x + 5}$,જ્યાં $x \ne -5$.
બંને બાજુ $(x + 5)$ વડે ગુણતા:
$y(x + 5) = 2x - 1$
$xy + 5y = 2x - 1$
$x$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$5y + 1 = 2x - xy$
$5y + 1 = x(2 - y)$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{5y + 1}{2 - y}$
તેથી $x = f^{-1}(y)$ હોવાથી:
$f^{-1}(y) = \frac{5y + 1}{2 - y}$
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$f^{-1}(x) = \frac{5x + 1}{2 - x}$,જ્યાં $x \ne 2$.

(C) વિધેય $f: A \to B$ માટે પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) હોવું જરૂરી છે,એટલે કે તે બાયજેક્શન હોવું જોઈએ.
જે વિધેય ચુસ્તપણે એકવિધ (કાં તો ચુસ્ત વધતું અથવા ચુસ્ત ઘટતું) હોય તે હંમેશા એક-એક હોય છે.
જો કોઈ વિધેય તેના પ્રદેશ પર સતત અને ચુસ્તપણે એકવિધ હોય,તો તે તેના પ્રદેશને તેના વિસ્તાર પર એક-એક રીતે મેપ કરે છે,જે પ્રતિવિધેય $f^{-1}$ ના અસ્તિત્વની ખાતરી આપે છે.

(B) આપેલ છે કે ${e^x} = y + \sqrt{1 + y^2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને ${e^x} - y = \sqrt{1 + y^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $({e^x} - y)^2 = 1 + y^2$ મળે છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,${e^{2x}} + y^2 - 2y{e^x} = 1 + y^2$.
બંને બાજુથી $y^2$ બાદ કરતા,${e^{2x}} - 2y{e^x} = 1$.
$y$ માટે ઉકેલવા માટે ફરીથી ગોઠવતા,$2y{e^x} = {e^{2x}} - 1$.
$2{e^x}$ વડે ભાગતા,$y = \frac{{e^{2x}} - 1}{2{e^x}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{1}{2} \left( \frac{e^{2x}}{e^x} - \frac{1}{e^x} \right) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.

(D) આપેલ વિધેય $f:(2, 3) \to (0, 1)$ છે જે $f(x) = x - [x]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$x \in (2, 3)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = 2$ થાય.
તેથી,$f(x) = x - 2$.
ધારો કે $y = f(x)$,તેથી $y = x - 2$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવો:
$x = y + 2$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને ${f^{ - 1}}(x) = x + 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ જ્યાં $x \ge -1$.
ગણ $S = \{ x : f(x) = f^{-1}(x) \}$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = f^{-1}(x)$ ના ઉકેલો એ $f(f(x)) = x$ ના ઉકેલો સમાન છે.
તેથી,$( (x + 1)^2 - 1 + 1 )^2 - 1 = x \Rightarrow ((x + 1)^2)^2 - 1 = x$.
$(x + 1)^4 - 1 = x \Rightarrow (x + 1)^4 - (x + 1) = 0$.
$(x + 1) [ (x + 1)^3 - 1 ] = 0$.
આનાથી આપણને $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ અથવા $(x + 1)^3 = 1$ મળે છે.
$(x + 1)^3 = 1$ ના બીજ $x + 1 = 1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
$x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
$x + 1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$.
$x + 1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}$.
આમ,ગણ $S = \{ 0, -1, \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2} \}$ છે.

(B) કારણ કે $g(x)$ એ વિધેય $f(x)$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી આપણી પાસે તમામ $x$ માટે $g(f(x)) = x$ છે.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[g(f(x))] = \frac{d}{dx}(x)$
$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$
જો $f'(x) \neq 0$ હોય,તો આપણે લખી શકીએ:
$g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$
સમીકરણમાં $x = c$ મૂકતા:
$g'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$
તેથી,$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ મળે.
આપેલ છે કે $f'(x) = \frac{1}{1 + x^3}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા:
$f'(g(x)) = \frac{1}{1 + (g(x))^3}$.
આ કિંમત $g'(x)$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g'(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + (g(x))^3}} = 1 + (g(x))^3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વિધેય $f: A \to B$ વ્યસ્ત હોઈ શકે જો અને માત્ર જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
વાસ્તવિક વિધેય $f(x)$ માટે તેના પ્રદેશ પર બાયજેક્શન હોવા માટે,તે ચુસ્ત એકસૂત્રી (ચુસ્ત વધતું અથવા ચુસ્ત ઘટતું) અને સતત હોવું જરૂરી છે.
જો વિધેય ચુસ્ત એકસૂત્રી હોય,તો તે એક-એક હોવાની ખાતરી આપે છે.
જો તે તેના પ્રદેશ પર સતત પણ હોય,તો તે પ્રદેશને તેના વિસ્તાર પર વ્યાપ્ત કરે છે,જે વ્યાપ્ત હોવાની શરત સંતોષે છે.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે વિધેય તેના પ્રદેશમાં ચુસ્ત એકસૂત્રી અને સતત હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે $g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ મુજબ $f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ મળે.
તેથી,$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ થાય.
આપેલ છે કે $f'(x) = \frac{1}{1 + x^5}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા $f'(g(x)) = \frac{1}{1 + (g(x))^5}$ મળે.
આમ,$g'(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + (g(x))^5}} = 1 + (g(x))^5$ થાય.

(D) $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે એવું વિધેય $g: Y \to N$ શોધવું પડશે કે જેથી $g \circ f = I_N$ અને $f \circ g = I_Y$ થાય.
આપેલ છે કે $f(x) = 4x + 3$,ધારો કે $y = f(x) = 4x + 3$.
$y$ ના પદમાં $x$ શોધતા,આપણને $y - 3 = 4x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y - 3}{4}$.
વિધેય $g: Y \to N$ ને $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.
હવે,સંયોજન $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = \frac{(4x + 3) - 3}{4} = \frac{4x}{4} = x = I_N(x)$ તપાસો.
આગળ,સંયોજન $f \circ g(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y - 3}{4}\right) = 4\left(\frac{y - 3}{4}\right) + 3 = (y - 3) + 3 = y = I_Y(y)$ તપાસો.
કારણ કે $g \circ f = I_N$ અને $f \circ g = I_Y$ છે,તેથી વિધેય $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને તેનો વ્યસ્ત $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x+1)^2 - 1$ છે,જ્યાં $x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x+1)^2 - 1$ લો. $x \geq -1$ હોવાથી,$y \geq -1$ મળે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $(x+1)^2 = y+1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{y+1} \Rightarrow x = \sqrt{y+1} - 1$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$. $f$ એ $[-1, \infty)$ પર વધતું વિધેય હોવાથી,તે બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત) છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = x$ ઉકેલીએ છીએ કારણ કે $f$ વધતું વિધેય છે.
$(x+1)^2 - 1 = x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - 1 = x \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -1$. આમ,$S = \{0, -1\}$. વિધાન-$1$ સાચું છે.
વધતા વિધેયો માટે $f(x) = f^{-1}(x)$ એ $f(x) = x$ ને સમાન હોવાથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = (x - 1)^2 + 1$,જ્યાં $x \ge 1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x - 1)^2 + 1$ લો.
તેથી $y - 1 = (x - 1)^2$. $x \ge 1$ હોવાથી,$x - 1 = \sqrt{y - 1}$,એટલે કે $x = 1 + \sqrt{y - 1}$.
આમ,$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}$,જ્યાં $x \ge 1$. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = x$ ઉકેલીએ.
$(x - 1)^2 + 1 = x \implies x^2 - 2x + 1 + 1 = x \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.
$(x - 1)(x - 2) = 0$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = 2$.
બંને કિંમતો $x \ge 1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $S = \{1, 2\}$. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વધતા વિધેયો માટે $f(x) = f^{-1}(x)$ એ $f(x) = x$ ને સમાન હોવાથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) $f(x)$ નો આલેખ $x \ge -1$ માટે $y = (x + 1)^2$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f(x)$ ના આલેખનું રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરીએ છીએ.
આમ,$g(x)$ ના આલેખ માટેનું સમીકરણ $x = (y + 1)^2$ થાય,જ્યાં $y \ge -1$.
$y$ માટે ઉકેલતા:
$y + 1 = \pm\sqrt{x}$
કારણ કે $y \ge -1$,તેથી $y + 1 \ge 0$,એટલે આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈશું:
$y + 1 = \sqrt{x}$
$y = \sqrt{x} - 1$
$f(x)$ નો પ્રદેશ $x \ge -1$ અને વિસ્તાર $y \ge 0$ હોવાથી,$g(x)$ નો પ્રદેશ $x \ge 0$ અને વિસ્તાર $y \ge -1$ થશે.
તેથી,$g(x) = \sqrt{x} - 1, x \ge 0$.

(A) આપેલ છે કે $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$ જ્યાં $x \ge 1$ અને $y \ge 2$.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $yx = x^2 + 1$ મળે છે,જે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - yx + 1 = 0$ માં ફેરવાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ મળે છે.
$f$ નો પ્રદેશ $[1, +\infty)$ હોવાથી,આપણી પાસે $x \ge 1$ હોવું જોઈએ.
જો આપણે ઋણ ચિહ્ન લઈએ,તો $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ મળે. $y \ge 2$ માટે,આ કિંમત $\le 1$ થાય છે.
તેથી,$x \ge 1$ ની શરત સંતોષવા માટે,આપણે ધન ચિહ્ન લેવું પડશે: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને ${f^{-1}}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$ મળે છે.

(C) વ્યસ્ત સંબંધ ${R^{-1}}$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(y, x)$ નો ગણ છે જેથી $(x, y) \in R$ થાય.
આપેલ છે કે $R = \{(1, 3), (1, 5), (2, 1)\}$.
$R$ માંની દરેક ક્રમયુક્ત જોડીના ઘટકોની અદલાબદલી કરતા આપણને મળે છે:
$(1, 3) \to (3, 1)$
$(1, 5) \to (5, 1)$
$(2, 1) \to (1, 2)$
તેથી,${R^{-1}} = \{(3, 1), (5, 1), (1, 2)\}$.

(B) આપેલ સંબંધ $R = \{(a, b) : a = 2b\}$ છે,જ્યાં $a, b \in \mathbb{N}$.
$b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $R = \{(2, 1), (4, 2), (6, 3), \dots\}$ મળે છે.
વ્યસ્ત સંબંધ ${R^{-1}}$ એ $R$ માંના ક્રમયુક્ત જોડીઓના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આમ,${R^{-1}} = \{(b, a) : (a, b) \in R\} = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6), \dots\}$.

(A) સંબંધ $R$ એ $R = \{(1, 3), (2, 5), (3, 3)\}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વ્યસ્ત સંબંધ $R^{-1}$ એ $R$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડીઓના ઘટકોને અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
એટલે કે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R^{-1}$ થાય.
$R$ ના દરેક ઘટક માટે આ લાગુ પાડતા:
$(1, 3) \in R \implies (3, 1) \in R^{-1}$
$(2, 5) \in R \implies (5, 2) \in R^{-1}$
$(3, 3) \in R \implies (3, 3) \in R^{-1}$
તેથી,$R^{-1} = \{(3, 1), (5, 2), (3, 3)\}$ મળે છે.
ગણને ગોઠવતા,આપણને $R^{-1} = \{(3, 3), (3, 1), (5, 2)\}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int\limits_2^x \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^4}}$.
જેহেতু $g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $g(f(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} = \sqrt{1 + x^4}$.
$g'(0)$ શોધવા માટે,આપણે એવું $x$ શોધવું પડશે જેના માટે $f(x) = 0$ થાય.
$f(x) = \int\limits_2^x \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}} = 0$ નો અર્થ છે કે $x = 2$.
તેથી,$g'(0) = g'(f(2)) = \sqrt{1 + 2^4} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

(A) આપેલ છે કે $g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$
આપણને $f'(x) = \frac{1}{1 + x^5}$ આપેલ છે. તેથી,$f'(g(x)) = \frac{1}{1 + [g(x)]^5}$ થાય.
આ કિંમતને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{1 + [g(x)]^5} \cdot g'(x) = 1$
$g'(x)$ માટે ઉકેલતા:
$g'(x) = 1 + [g(x)]^5$.

(B) કારણ કે $g$ એ $f$ નું વ્યસ્ત વિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ મુજબ $f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ મળે.
$x = 2$ મૂકતા,આપણને $f'(g(2)) \cdot g'(2) = 1$ મળે.
આપેલ છે કે $g(2) = a$,તેથી આ સમીકરણ $f'(a) \cdot g'(2) = 1$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $g'(2) = \frac{1}{f'(a)}$.
આપણને $f'(x) = \frac{x^{10}}{1 + x^2}$ આપેલ છે,તેથી $f'(a) = \frac{a^{10}}{1 + a^2}$ થાય.
તેથી,$g'(2) = \frac{1}{\frac{a^{10}}{1 + a^2}} = \frac{1 + a^2}{a^{10}}$.

(C) આપેલ છે કે $e^{f(x)} = \ln x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $f(x) = \ln(\ln x)$ મળે છે.
કારણ કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
$f$ ના પદમાં $g(x)$ મૂકતા,આપણને $\ln(\ln(g(x))) = x$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$\ln(g(x)) = e^x$ મળે છે.
ફરીથી ઘાતાંક લેતા,$g(x) = e^{e^x}$ મળે છે.
હવે,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $g(x)$ નું વિકલન કરતા:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{e^x}) = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^{e^x} \cdot e^x$.
ઘાતાંકના ગુણધર્મ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા,$g'(x) = e^{e^x + x}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^x + x$.
આપણે $(f^{-1})'(f(\ln 2))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રતિવિધેયના વિકલનના સૂત્ર મુજબ,$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,જ્યાં $y = f(x)$ છે.
અહીં,$y = f(\ln 2)$ છે,તેથી $x = \ln 2$ થાય.
સૌ પ્રથમ,$f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x) = e^x + 1$.
હવે,$x = \ln 2$ આગળ $f'(x)$ ની કિંમત મેળવો:
$f'(\ln 2) = e^{\ln 2} + 1 = 2 + 1 = 3$.
તેથી,$(f^{-1})'(f(\ln 2)) = \frac{1}{f'(\ln 2)} = \frac{1}{3}$.

(D) વિધેય $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે તે ચુસ્તપણે વધતું કે ઘટતું વિધેય છે કે નહીં.
આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + 8x + 3$.
તેનું વિકલિત $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 8x + 3) = 3x^2 + 8$ થાય.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી,$3x^2 \ge 0$ થાય.
તેથી,$f'(x) = 3x^2 + 8 \ge 8$ મળે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ તેના સમગ્ર પ્રદેશ પર ચુસ્તપણે વધતું વિધેય છે.
ચુસ્તપણે એકવિધ વિધેય હંમેશા એક-એક (injective) હોય છે અને તેથી તેનું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આમ,$f'(x)$ હંમેશા ધન છે તે ગુણધર્મ આપણને એ નિષ્કર્ષ પર લાવે છે કે $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$ છે.
આ વિધેયને આપણે $f(x) = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 1$ તરીકે લખી શકીએ.
આથી $f(x) = (x - 1)^3 - 1$ મળે છે.
પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
તેથી,$y = (x - 1)^3 - 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $y + 1 = (x - 1)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\sqrt[3]{y + 1} = x - 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $x = 1 + \sqrt[3]{y + 1}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = 1 + \sqrt[3]{x + 1}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^{11} + \sin^3(35x) + 111x$.
અહીં $x^{11}$,$\sin^3(35x)$,અને $111x$ એ બધા અયુગ્મ (odd) વિધેયો છે,તેથી તેમનો સરવાળો $f(x)$ પણ એક અયુગ્મ વિધેય છે,એટલે કે $f(-x) = -f(x)$.
જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો તેનું પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ પણ અયુગ્મ વિધેય થાય,એટલે કે $f^{-1}(-y) = -f^{-1}(y)$.
આપણે $S = f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{6\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) + f^{-1}(\sin \frac{8\pi}{7})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નોંધો કે $\sin \frac{6\pi}{5} = \sin(\pi + \frac{\pi}{5}) = -\sin \frac{\pi}{5}$.
તે જ રીતે,$\sin \frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin \frac{\pi}{7}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(-\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) + f^{-1}(-\sin \frac{\pi}{7})$.
$f^{-1}(-y) = -f^{-1}(y)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$S = f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) - f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) - f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) = 0$.
કારણ કે $f(0) = 0^{11} + \sin^3(0) + 111(0) = 0$,તેથી જવાબ $0$ એ $f(0)$ બરાબર છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.
કારણ કે $g(x) = f^{-1}(x)$,તેથી $g(f(x)) = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$.
પ્રથમ,આપણે $x$ શોધીએ જેથી $f(x) = -\frac{7}{6}$ થાય. નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $x = 1$ લઈએ,તો $f(1) = -4e^0 + 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -4 + 2 + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}$.
હવે,$f'(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 + x + x^2 = 2e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + x^2$.
$x = 1$ આગળ,$f'(1) = 2e^0 + 1 + 1 + 1 = 2 + 3 = 5$.
તેથી,$g'(-\frac{7}{6}) = g'(f(1)) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$.

(B) વિધેય $f(x)$ વ્યસ્ત સંપન્ન ત્યારે જ હોય જો તે તેના પ્રદેશ પર ચુસ્ત વધતું અથવા ચુસ્ત ઘટતું વિધેય હોય.
ત્રિઘાત બહુપદી $f(x)$ માટે,આ ત્યારે થાય જ્યારે $f'(x) \ge 0$ અથવા $f'(x) \le 0$ હોય.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 6(a + 2)x + 12a$.
વિકલનના અવયવ પાડતા: $f'(x) = 6(x^2 - (a + 2)x + 2a) = 6(x - a)(x - 2)$.
$f(x)$ એકવિધ રહે તે માટે,$f'(x)$ ની નિશાની બદલાવી ન જોઈએ. $f'(x)$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેના બીજ $a$ અને $2$ છે,તેથી તે નિશાની બદલશે સિવાય કે બંને બીજ સમાન હોય.
આમ,$a = 2$ હોવું જોઈએ.
જો $a = 2$ હોય,તો $f'(x) = 6(x - 2)^2 \ge 0$ થાય,તેથી વિધેય ચુસ્ત વધતું છે અને વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
અંતરાલ $[-4, 6]$ માં $a = 2$ એ એકમાત્ર પૂર્ણાંક કિંમત છે,તેથી આવી કિંમતોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (2x - 3\pi)^5 + \frac{4}{3}x + \cos x$.
$g$ એ $f$ નું પ્રતિવિધેય હોવાથી,$g(f(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$.
આપણે $g'(2\pi)$ શોધવાનું છે. ધારો કે $f(x) = 2\pi$.
$(2x - 3\pi)^5 + \frac{4}{3}x + \cos x = 2\pi$.
અવલોકન કરતા,જો $x = \frac{3\pi}{2}$ લઈએ,તો $f(\frac{3\pi}{2}) = (2(\frac{3\pi}{2}) - 3\pi)^5 + \frac{4}{3}(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = (0)^5 + 2\pi + 0 = 2\pi$ મળે છે.
હવે,$f'(x)$ શોધીએ: $f'(x) = 5(2x - 3\pi)^4 \cdot 2 + \frac{4}{3} - \sin x = 10(2x - 3\pi)^4 + \frac{4}{3} - \sin x$.
$x = \frac{3\pi}{2}$ આગળ,$f'(\frac{3\pi}{2}) = 10(0)^4 + \frac{4}{3} - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + \frac{4}{3} - (-1) = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$.
તેથી,$g'(2\pi) = \frac{1}{f'(\frac{3\pi}{2})} = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = e^{2x^3 + 3x^2 + 6x}$.
$g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય હોવાથી,$g(f(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$.
પ્રથમ,$f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = e^{2x^3 + 3x^2 + 6x} \cdot \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 + 6x) = e^{2x^3 + 3x^2 + 6x} \cdot (6x^2 + 6x + 6)$.
આપણે $g'(e^{11})$ શોધવાનું છે. $f(x) = e^{11}$ લેતા,$e^{2x^3 + 3x^2 + 6x} = e^{11}$.
આનો અર્થ છે કે $2x^3 + 3x^2 + 6x = 11$,અથવા $2x^3 + 3x^2 + 6x - 11 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $2(1)^3 + 3(1)^2 + 6(1) - 11 = 2 + 3 + 6 - 11 = 0$.
આમ,$f(1) = e^{11}$.
સૂત્ર $g'(f(1)) = \frac{1}{f'(1)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(1) = e^{11} \cdot (6(1)^2 + 6(1) + 6) = e^{11} \cdot (6 + 6 + 6) = 18e^{11}$.
તેથી,$g'(e^{11}) = \frac{1}{18e^{11}}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
ધારો કે $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
તેથી $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.
વળી,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $e^y - e^{-y} = 2x$,જે સૂચવે છે કે $x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh(y)$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
આપણે $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $|sinh(x)| = e^{-|x|}$ છે.
બંને બાજુઓ યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,આપણે $x \ge 0$ માટે ચકાસી શકીએ: $\sinh(x) = e^{-x}$.
$x = 0$ આગળ,$\sinh(0) = 0$ અને $e^0 = 1$,તેથી $0 \neq 1$.
જેમ $x$ વધે છે,$\sinh(x)$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી ચુસ્ત રીતે વધે છે,અને $e^{-x}$ એ $1$ થી $0$ સુધી ચુસ્ત રીતે ઘટે છે.
તેથી,$x > 0$ માટે બરાબર એક છેદનબિંદુ મળે છે.
સંમિતિ દ્વારા,$x < 0$ માટે પણ બરાબર એક છેદનબિંદુ મળે છે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 5^{x(x - 4)} = y$.
બંને બાજુ $\log_5$ લેતા,આપણને મળે $\log_5 y = x(x - 4)$.
$\log_5 y = x^2 - 4x$.
$x$ માટે ઉકેલવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ: $x^2 - 4x + 4 = \log_5 y + 4$.
$(x - 2)^2 = \log_5 y + 4$.
$x - 2 = \pm \sqrt{\log_5 y + 4}$.
પ્રદેશ $x \in [4, \infty)$ હોવાથી,$x - 2 \ge 2$ હોવું જોઈએ,તેથી આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ: $x = 2 + \sqrt{\log_5 y + 4}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{4 + \log_5 x}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^5 + e^{x/5}$ અને $g(x) = f^{-1}(x)$.
આપણે $\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વ્યસ્ત વિધેયના ગુણધર્મ મુજબ,$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ જ્યાં $y = f(x)$.
અહીં,$y = 1 + e^{1/5}$.
$f(x) = x^5 + e^{x/5} = 1 + e^{1/5}$ લેતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કારણ કે $1^5 + e^{1/5} = 1 + e^{1/5}$.
હવે,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 + e^{x/5}) = 5x^4 + \frac{1}{5}e^{x/5}$.
$x = 1$ આગળ,$f'(1) = 5(1)^4 + \frac{1}{5}e^{1/5} = 5 + \frac{e^{1/5}}{5}$.
કારણ કે $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,તેથી $g'(1 + e^{1/5}) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5 + \frac{e^{1/5}}{5}}$.
તેથી,$\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})} = f'(1) = 5 + \frac{e^{1/5}}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int\limits_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^3}} dt$. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$.
$h(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય હોવાથી,$f(h(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(h(x)) \cdot h'(x) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $h'(x) = \frac{1}{f'(h(x))} = \sqrt{1 + h^3(x)}$.
હવે,$h'(x) = (1 + h^3(x))^{1/2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h''(x) = \frac{1}{2}(1 + h^3(x))^{-1/2} \cdot (3h^2(x) \cdot h'(x))$.
$h'(x) = \sqrt{1 + h^3(x)}$ ની કિંમત મૂકતા:
$h''(x) = \frac{3h^2(x) \cdot \sqrt{1 + h^3(x)}}{2 \sqrt{1 + h^3(x)}} = \frac{3}{2} h^2(x)$.
તેથી,$\frac{h''(x)}{h^2(x)} = \frac{3}{2}$.