Functional Equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(8) = f(2 \cdot 2 \cdot 2) = f(2) + f(2) + f(2) = 3f(2)$.
આપેલ છે કે $f(8) = 15$,તેથી $3f(2) = 15$,જેનો અર્થ છે કે $f(2) = 5$.
હવે,આપણે $f(48)$ શોધવાનું છે.
આપણે $48 = 12 \cdot 4 = 12 \cdot 2 \cdot 2$ લખી શકીએ છીએ.
$f(xy) = f(x) + f(y)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(48) = f(12 \cdot 2 \cdot 2) = f(12) + f(2) + f(2)$.
જ્ઞાત કિંમતો $f(12) = 24$ અને $f(2) = 5$ મૂકતા:
$f(48) = 24 + 5 + 5 = 34$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) + (x + \frac{1}{2}) f(1 - x) = 1$ છે $(i)$
$(i)$ માં $x$ ને $1 - x$ વડે બદલતા,આપણને મળે:
$f(1 - x) + (1 - x + \frac{1}{2}) f(x) = 1$
$f(1 - x) + (\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$ $(ii)$
$(ii)$ પરથી,$f(1 - x) = 1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) [1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)] = 1$
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) - (x + \frac{1}{2})(\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$
$f(x) [1 - (\frac{3}{2}x - x^2 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x)] = 1 - (x + \frac{1}{2})$
$f(x) [1 - (-x^2 + x + \frac{3}{4})] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) [x^2 - x + \frac{1}{4}] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) (x - \frac{1}{2})^2 = - (x - \frac{1}{2})$
$x \neq \frac{1}{2}$ માટે,$f(x) = \frac{-(x - \frac{1}{2})}{(x - \frac{1}{2})^2} = \frac{-1}{x - \frac{1}{2}} = \frac{2}{1 - 2x}$.
હવે,$f(0) = \frac{2}{1 - 0} = 2$ અને $f(1) = \frac{2}{1 - 2} = -2$.
તેથી,$2 f(0) + 3 f(1) = 2(2) + 3(-2) = 4 - 6 = -2$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) + f(2x) = 0$ છે,જે તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે.
$x = 0$ મૂકતા,આપણને $f(0) + f(0) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2f(0) = 0$,તેથી $f(0) = 0$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$f(x) = -f(x/2)$.
આ સંબંધનું પુનરાવર્તન કરતા,આપણને $f(x) = -f(x/2) = f(x/4) = -f(x/8) = \dots = (-1)^n f(x/2^n)$ મળે છે.
કારણ કે $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{n \to \infty} f(x/2^n) = f(\lim_{n \to \infty} x/2^n) = f(0) = 0$.
આમ,$f(x) = \lim_{n \to \infty} (-1)^n f(x/2^n) = 0$.
તેથી,શરતનું પાલન કરતું એકમાત્ર સતત વિધેય શૂન્ય વિધેય $f(x) = 0$ છે.
આમ,આવા માત્ર $1$ વિધેય શક્ય છે.

(D) સંબંધ $f(n) + \frac{1}{n} f(n+1) = 1$ આપેલ છે,તેથી $f(n+1) = n(1 - f(n))$ લખી શકાય.
$n=3$ માટે: $f(4) = 3(1 - f(3))$. $f(4) \in \mathbb{Z}$ અને $|f(4)| \leq 8$ હોવાથી,$f(4)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $f(4)$ માટે શક્ય કિંમતો $\{-6, -3, 0, 3, 6\}$ છે.
$n=2$ માટે: $f(3) = 2(1 - f(2))$. તેથી $f(3)$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ જેથી $|f(3)| \leq 8$. $f(3)$ માટે શક્ય કિંમતો $\{-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\}$ છે.
$n=1$ માટે: $f(2) = 1(1 - f(1)) = 1 - f(1)$. તેથી $f(2)$ કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે જેથી $|f(2)| \leq 8$.
શરતો તપાસતા:
$1$. $f(4) = 3(1 - f(3)) \implies f(3) = 1 - \frac{f(4)}{3}$. $f(3)$ બેકી પૂર્ણાંક હોવા માટે,$\frac{f(4)}{3}$ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. તેથી $f(4) \in \{-3, 3\}$.
$2$. જો $f(4) = -3$,તો $f(3) = 1 - (-1) = 2$. પછી $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 1 = 0$. પછી $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 0 = 1$. બધી કિંમતો $[-8, 8]$ ની રેન્જમાં છે.
$3$. જો $f(4) = 3$,તો $f(3) = 1 - 1 = 0$. પછી $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 0 = 1$. પછી $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 1 = 0$. બધી કિંમતો $[-8, 8]$ ની રેન્જમાં છે.
આમ,આવા $2$ વિધેયો શક્ય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x) + f(y)$,જે $\mathbb{N}$ પર કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(n) = cn$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
$f(1) = \frac{1}{5}$ હોવાથી,$c(1) = \frac{1}{5}$,તેથી $f(n) = \frac{n}{5}$.
હવે,સરવાળામાં $f(n) = \frac{n}{5}$ મૂકતા:
$\sum_{n=1}^m \frac{n/5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$.
તેથી,સરવાળો $\frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$ બને છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\frac{1}{5} \left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}) \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{m+2} \right)$.
સરવાળો $\frac{1}{12}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{5} \left( \frac{m+2-2}{2(m+2)} \right) = \frac{1}{12} \implies \frac{m}{10(m+2)} = \frac{1}{12}$.
$12m = 10m + 20 \implies 2m = 20 \implies m = 10$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y) - 1$ છે.
$f(0)$ શોધવા માટે,$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા:
$f(0 + 0) = f(0) + f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 2f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 1$.
હવે,વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
આપેલ સંબંધ $f(x + h) = f(x) + f(h) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) - 1 - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - 1}{h}$.
કારણ કે $f(0) = 1$,આપણે $1 = f(0)$ લખી શકીએ:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0)$.
આપેલ છે કે $f'(0) = 2$,તેથી $f'(x) = 2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = 2x + C$.
$f(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = 2(0) + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$f(x) = 2x + 1$.
હવે,$f(-2)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
તેથી,$|f(-2)| = |-3| = 3$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ છે.
$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$5f(0) = f(0)^2$ મળે. સહપ્રદેશ $(0, \infty)$ હોવાથી,$f(0) \neq 0$,તેથી $f(0) = 5$.
$y = 1$ લેતા,$5f(x + 1) = f(x) \cdot f(1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f(x + 1)}{f(x)} = \frac{f(1)}{5}$.
આ દર્શાવે છે કે $f(n)$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{f(1)}{5}$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(3) = f(0) \cdot r^3 = 5 \cdot r^3 = 320$.
તેથી,$r^3 = 64$,જે આપણને $r = 4$ આપે છે.
તેથી,$f(n) = f(0) \cdot r^n = 5 \cdot 4^n$.
સરવાળો $\sum_{n=0}^5 f(n) = \sum_{n=0}^5 5 \cdot 4^n = 5(1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5)$ થશે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1} = 5 \cdot \frac{4096 - 1}{3} = 5 \cdot \frac{4095}{3} = 5 \cdot 1365 = 6825$ મળે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1 + x$ $(1)$
$(1)$ માં $x = 2$ મૂકતા:
$f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = 1 + 2$
$f(2) + f(-1) = 3$ $(2)$
$(1)$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = 1 + (-1)$
$f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ $(3)$
$(1)$ માં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-1/2}\right) = 1 + \frac{1}{2}$
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = \frac{3}{2}$ $(4)$
હવે,$(2) + (4) - (3)$ કરતા:
$(f(2) + f(-1)) + (f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2)) - (f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right)) = 3 + \frac{3}{2} - 0$
$2f(2) = \frac{9}{2}$
$f(2) = \frac{9}{4}$

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ છે.
$x=y=1$ લેતા,આપણને $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ મળે છે.
હવે,આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$f^{\prime}\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}$.
સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા:
$f^{\prime}(1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
$f^{\prime}(1) = 2024$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$2024 \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x f^{\prime}(x) = 2024 f(x)$,
જેનો અર્થ છે કે $x f^{\prime}(x) - 2024 f(x) = 0$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(m+n) = f(m) + f(n)$ છે.
આ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,જે દર્શાવે છે કે $f(x) = cx$.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$c = 1$ મળે,તેથી $f(x) = x$.
હવે,$\sum_{k=1}^{2022} f(\lambda+k) \leq (2022)^2$ માં કિંમત મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{2022} (\lambda+k) \leq (2022)^2$.
$2022\lambda + \frac{2022 \times 2023}{2} \leq (2022)^2$.
$2022$ વડે ભાગતા: $\lambda + 1011.5 \leq 2022$.
$\lambda \leq 1010.5$.
તેથી,સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $\lambda = 1010$ છે.

(B, C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે.
$x=0, y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=0$.
કારણ કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે,તેથી $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
હવે,કોઈપણ $x \in R$ માટે,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ નીચે મુજબ મળે:
$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = k$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે,તેથી $f^{\prime}(x)$ એક અચળ વિધેય છે.
$f^{\prime}(x) = k$ નું સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = kx + C$ મળે છે. $f(0)=0$ હોવાથી,$C=0$ મળે,તેથી $f(x) = kx$.
સુરેખ વિધેય $f(x) = kx$ એ તમામ $x \in R$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.
આમ,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)+f(y)$. આ કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે તમામ $x \in Q$ માટે $f(x)=ax$ થાય.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,તેથી $a\left(\frac{-3}{5}\right)=12$,જેનો અર્થ છે કે $a=-20$. આમ,$f(x)=-20x$.
તેથી $f\left(\frac{1}{4}\right)=-20\left(\frac{1}{4}\right)=-5$.
આપેલ છે કે $g(x+y)=g(x)g(y)$,જે સૂચવે છે કે $g(x)=b^x$ કોઈ $b>0$ માટે.
આપેલ છે કે $g\left(\frac{-1}{3}\right)=2$,તેથી $b^{-1/3}=2$,જેનો અર્થ છે કે $b^{-1}=2^3=8$,તેથી $b=\frac{1}{8}$.
આમ,$g(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^x=8^{-x}=2^{-3x}$.
તેથી $g(-2)=2^{-3(-2)}=2^6=64$.
વળી,$g(0)=b^0=1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\left(f\left(\frac{1}{4}\right)+g(-2)-8\right)g(0) = (-5+64-8)(1) = 51$.

(NONE) આપેલ છે $f(x) = (3a+2)x^2 + \left(\frac{a+2}{a-1}\right)x + b$.
$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$ માં $x=y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = 2f(0) + 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $f(0) = -1$.
$f(0) = b$ હોવાથી,$b = -1$.
હવે,$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$.
$f(x+y) = A(x+y)^2 + B(x+y) + C$ ના વિસ્તરણમાં $xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$2A = -\frac{2}{7}$,તેથી $A = -\frac{1}{7}$.
$A = 3a+2$ હોવાથી,$3a+2 = -\frac{1}{7} \Rightarrow 3a = -\frac{15}{7} \Rightarrow a = -\frac{5}{7}$.
હવે,$B = \frac{a+2}{a-1} = \frac{-5/7 + 2}{-5/7 - 1} = -\frac{3}{4}$.
આમ,$f(x) = -\frac{1}{7}x^2 - \frac{3}{4}x - 1$.
આપણે $28 \sum_{i=1}^3 |f(i)|$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$f(1) = -\frac{53}{28}$,$f(2) = -\frac{86}{28}$,$f(3) = -\frac{127}{28}$.
$28 \sum_{i=1}^3 |f(i)| = 28 \left( \frac{53}{28} + \frac{86}{28} + \frac{127}{28} \right) = 53 + 86 + 127 = 266$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$.
ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. $f(x)$ એ $2$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી $a \neq 0$.
સમીકરણમાં $f(x)$ મૂકતા: $(ax^2 + bx + c)(a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c) = ax^2 + bx + c + a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $c = 1$ અને $a = -1$ મળે છે (કારણ કે વિસ્તાર $(-\infty, 1)$ છે).
તેથી,$f(x) = 1 - x^2$.
આપેલ છે કે $f(K) = -2K$,તેથી $1 - K^2 = -2K$,જેનું સાદું રૂપ $K^2 - 2K - 1 = 0$ થાય છે.
ધારો કે બીજ $K_1$ અને $K_2$ છે. વર્ગોનો સરવાળો $K_1^2 + K_2^2 = (K_1 + K_2)^2 - 2K_1K_2$ થાય.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$K_1 + K_2 = 2$ અને $K_1K_2 = -1$.
તેથી,$K_1^2 + K_2^2 = (2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $f(2x+2y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = f(2x-2y)(\sin x \cos y + \cos x \sin y)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા: $f(2x+2y)\sin(x-y) = f(2x-2y)\sin(x+y)$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{f(2x+2y)}{\sin(x+y)} = \frac{f(2x-2y)}{\sin(x-y)}$.
ધારો કે $2x+2y = m$ અને $2x-2y = n$. તેથી $x+y = m/2$ અને $x-y = n/2$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{f(m)}{\sin(m/2)} = \frac{f(n)}{\sin(n/2)} = K$ (અચળ).
આમ,$f(x) = K \sin(x/2)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{K}{2} \cos(x/2)$.
આપેલ છે કે $f'(0) = 1/2$,તેથી $\frac{K}{2} \cos(0) = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $K = 1$.
તેથી,$f(x) = \sin(x/2)$.
હવે $f'(x) = \frac{1}{2} \cos(x/2)$ અને $f''(x) = -\frac{1}{4} \sin(x/2)$.
આપણે $24f''\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 24 \left(-\frac{1}{4} \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $\sin(5\pi/6) = 1/2$,તેથી મૂલ્ય $24 \left(-\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\right) = 24 \left(-\frac{1}{8}\right) = -3$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $f(x) + 3f\left(\frac{24}{x}\right) = 4x$
પગલું $1$: $x = 3$ મૂકતા:
$f(3) + 3f(8) = 12$ --- (સમીકરણ $1$)
પગલું $2$: $x = 8$ મૂકતા:
$f(8) + 3f(3) = 32$ --- (સમીકરણ $2$)
પગલું $3$: સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$4(f(3) + f(8)) = 44$
પગલું $4$: $4$ વડે ભાગતા:
$f(3) + f(8) = 11$

(C) આપેલ છે કે $h(x) = f(x+1) - g(x+2)$.
$h(x)$ માં $x^3$ વાળા પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x+1) = a_1 + 10(x+1) + a_2(x+1)^2 + a_3(x+1)^3 + (x+1)^4$
$f(x+1)$ માં $x^3$ નો સહગુણક $a_3 + 4(1) = a_3 + 4$ છે.
$g(x+2) = b_1 + 3(x+2) + b_2(x+2)^2 + b_3(x+2)^3 + (x+2)^4$
$g(x+2)$ માં $x^3$ નો સહગુણક $b_3 + 4(2) = b_3 + 8$ છે.
આમ,$h(x)$ માં $x^3$ નો સહગુણક $(a_3 + 4) - (b_3 + 8) = a_3 - b_3 - 4$ છે.
કારણ કે દરેક $x \in R$ માટે $f(x) - g(x) \neq 0$ છે,તેથી પદાવલિ $f(x) - g(x) = (a_3 - b_3)x^3 + (a_2 - b_2)x^2 + 7x + (a_1 - b_1)$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોવો જોઈએ.
ત્રિઘાત બહુપદીને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય તે માટે $x^3$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ (નહીંતર,તે ત્રિઘાત સમીકરણ બનશે જેનો હંમેશા ઓછામાં ઓછો એક વાસ્તવિક ઉકેલ હોય છે).
તેથી,$a_3 - b_3 = 0$.
આ કિંમતને $h(x)$ માં $x^3$ ના સહગુણકમાં મૂકતા,આપણને $0 - 4 = -4$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3 f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = 8 \log_2 x^3 = 24 \log_2 x$ $(i)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા: $3 f\left(\frac{1}{x}\right) - f(x) = 24 \log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = -24 \log_2 x$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9 f(x) - 3 f\left(\frac{1}{x}\right) = 72 \log_2 x$ $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $(9 f(x) - f(x)) + (3 f\left(\frac{1}{x}\right) - 3 f\left(\frac{1}{x}\right)) = 72 \log_2 x - 24 \log_2 x$
$8 f(x) = 48 \log_2 x \Rightarrow f(x) = 6 \log_2 x$
હવે,કિંમતો શોધીએ:
$f(2) = 6 \log_2 2 = 6(1) = 6$
$f(4) = 6 \log_2 4 = 6(2) = 12$
$f(8) = 6 \log_2 8 = 6(3) = 18$
અહીં $12 - 6 = 6$ અને $18 - 12 = 6$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે.
તેથી,$f(2), f(4), f(8)$ એ $A$.$P$. માં છે.

(D) આપણને વિધેયાત્મક સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ આપેલ છે.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$.
આપેલ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$f(3+h)=f(3) \cdot f(h)$.
આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(3)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3) \cdot f(h)-f(3)}{h} = f(3) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
$f(0+0)=f(0) \cdot f(0)$ હોવાથી,$f(0)=f(0)^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=1$.
આમ,$f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$.
$f(3)=3$ અને $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$ ની કિંમતો $f^{\prime}(3)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(3) = 3 \times 11 = 33$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2} - 3x + 4$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $f(2x + 1)$ શોધીએ:
$f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= (4x^{2} + 4x + 1) - 6x - 3 + 4$
$= 4x^{2} - 2x + 2$.
$f(x) = f(2x + 1)$ હોવાથી,બંને પદાવલિઓને સરખાવતા:
$x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
આમ,$x = -1$ અથવા $x = \frac{2}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $f(10-x) = 3x^2 + 4x - 5$ અને $f(x) = px^2 + qx + r$.
આપણે $p+q+r$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $p+q+r = f(1)$.
$f(1)$ શોધવા માટે,આપણે $10-x = 1$ લઈએ,જે $x = 9$ આપે છે.
આપેલ સમીકરણમાં $x = 9$ મૂકતા:
$f(10-9) = 3(9)^2 + 4(9) - 5$
$f(1) = 3(81) + 36 - 5$
$f(1) = 243 + 36 - 5$
$f(1) = 279 - 5 = 274$.
તેથી,$p+q+r = 274$.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)+f(y)$,જેનો ઉકેલ $f(x)=cx$ સ્વરૂપમાં મળે છે.
$f(1)=7$ આપેલ હોવાથી,$c(1)=7$,તેથી $c=7$.
આમ,$f(x)=7x$.
આપણે $\sum_{t=1}^{39} f(t) = \sum_{t=1}^{39} 7t$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $7 \times \sum_{t=1}^{39} t$ બરાબર છે.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{t=1}^{39} t = \frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.
તેથી,$\sum_{t=1}^{39} f(t) = 7 \times 780 = 5460$.

(C) આપેલ સંબંધ $f(x f(y)) = f(x y) + x$ છે.
$f(x) - x = \lambda$ હોવાથી,$f(x) = x + \lambda$ મળે.
આ કિંમત વિધેયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x(y + \lambda)) = (xy + \lambda) + x$
$x(y + \lambda) + \lambda = xy + \lambda + x$
$xy + x\lambda + \lambda = xy + \lambda + x$
પદોની સરખામણી કરતા,$x\lambda = x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 1$.
આમ,$f(x) = x + 1$.
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + 1)^{\frac{1}{3}} - 1}{(x + 1)^{\frac{1}{2}} - 1}$
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{u \rightarrow 1} \frac{u^n - 1}{u - 1} = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{(1 + x) - 1} \cdot \frac{(1 + x) - 1}{(1 + x)^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ છે કે: $f(x) = \frac{2x+1}{3}$ ...$(i)$
વળી,$f(\alpha) = \frac{1}{\alpha}$.
વિધેયની વ્યાખ્યામાં $\alpha$ મૂકતા:
$\frac{2\alpha+1}{3} = \frac{1}{\alpha}$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha = 3$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2\alpha^2 + 3\alpha - 2\alpha - 3 = 0$
$\Rightarrow \alpha(2\alpha + 3) - 1(2\alpha + 3) = 0$
$\Rightarrow (\alpha - 1)(2\alpha + 3) = 0$
આમ,$\alpha$ ની શક્ય કિંમતો $\alpha = 1$ અને $\alpha = -\frac{3}{2}$ છે.
$\alpha$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $1 + (-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$ ... $(i)$
ધારો કે $h(x) = f(g(x))$. તો સમીકરણ $h(x+y) = h(x) + h(y)$ બને છે,જે કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે.
આનો ઉકેલ $h(x) = cx$ છે,જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $g(1) = 2$ અને $f(2) = 1$,તેથી $h(1) = f(g(1)) = f(2) = 1$.
$h(1) = c(1) = 1$ હોવાથી,$c = 1$ મળે છે.
આમ,$h(x) = f(g(x)) = x$.
$f(g(x)) = x$ હોવાથી,$f$ અને $g$ એકબીજાના પ્રતિવિધેયો છે.
તેથી,તમામ $x \in R$ માટે $g(f(x)) = x$ થાય છે.
વિધેય $g(f(x)) = x$ એ બહુપદી વિધેય છે,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર દરેક જગ્યાએ સતત છે.
તેથી,જે ગણ પર $g(f(x))$ અસતત હોય તે ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y) = f(x) + f(y)$ છે,જ્યાં $x, y \in Z$.
આ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $Z$ પર કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે.
તેનો સામાન્ય ઉકેલ $f(x) = kx$ છે,જ્યાં $k \in Z$ કોઈ અચળાંક છે.
વિધેય $f$ બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત) હોવા માટે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવું જોઈએ.
જો $f(x) = kx$ હોય,તો $f$ એક-એક છે જો $kx_1 = kx_2 \implies x_1 = x_2$ થાય,જે $k \neq 0$ માટે સાચું છે.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,દરેક $y \in Z$ માટે એવું $x \in Z$ મળવું જોઈએ કે જેથી $f(x) = y$,એટલે કે $kx = y$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = y/k$. દરેક $y \in Z$ માટે $x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $k$ એ $1$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
આમ,$k = 1$ અથવા $k = -1$.
તેથી,શક્ય વિધેયો $f(x) = x$ અને $f(x) = -x$ છે.
આમ,કુલ $2$ બાયજેક્શન શક્ય છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = x^{9} - 11 x^{8} - 2 x^{7} + 22 x^{6} + x^{4} - 12 x^{3} + 11 x^{2} + x - 3$.
$f(11)$ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 11$ મૂકતા:
$f(11) = 11^{9} - 11(11)^{8} - 2(11)^{7} + 22(11)^{6} + 11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} + 11 - 3$.
પદોનું અવલોકન કરતા:
$11^{9} - 11(11)^{8} = 11^{9} - 11^{9} = 0$.
$-2(11)^{7} + 22(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)^{7} = 0$.
$11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} = 11^{4} - 12(11)^{3} + 11^{3} = 11^{4} - 11(11)^{3} = 11^{4} - 11^{4} = 0$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$f(11) = 0 + 0 + 0 + 11 - 3 = 8$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ છે.
ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $a(x+y)^2 + b(x+y) + c = (ax^2 + bx + c) + (ay^2 + by + c) + xy$.
$a(x^2 + 2xy + y^2) + bx + by + c = ax^2 + ay^2 + bx + by + 2c + xy$.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$2a = 1$,તેથી $a = 1/2$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,$c = 2c$,તેથી $c = 0$.
$f(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$a(1)^2 + b(1) = 2$,તેથી $1/2 + b = 2$,જે $b = 3/2$ આપે છે.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x = \frac{x(x+3)}{2}$.
આપણે $\sum_{k=1}^{10} f(k) = \sum_{k=1}^{10} (\frac{1}{2}k^2 + \frac{3}{2}k) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{10} k$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$n=10$ માટે: $\sum k^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = 385$ અને $\sum k = \frac{10(11)}{2} = 55$.
સરવાળો $= \frac{1}{2}(385) + \frac{3}{2}(55) = 192.5 + 82.5 = 275$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+12y$ છે.
$x=0$ લેતા,આપણને $f(y)=f(0)+12y$ મળે છે.
$f(1)=6$ હોવાથી,$6=f(0)+12(1)$,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=-6$.
આમ,$f(x)=12x-6$.
હવે,આપણે સરવાળો $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n (12r-6)$ ગણીએ.
$= 12 \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n 6$.
$= 12 \frac{n(n+1)}{2} - 6n$.
$= 6n(n+1) - 6n = 6n^2+6n-6n = 6n^2$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ બધા $x, y \in R$ માટે છે,જે કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x)=ax$ કોઈ અચળાંક $a \in R$ માટે.
આપેલ છે કે $f(1)=7$,તેથી $f(x)=ax$ માં $x=1$ મૂકતા $7=a(1)$ મળે,એટલે કે $a=7$.
આમ,વિધેય $f(x)=7x$ છે.
આપણે સરવાળો $\sum_{r=1}^{n} f(r) = \sum_{r=1}^{n} 7r$ શોધવાનો છે.
અચળાંક $7$ ને બહાર લેતા,આપણને $7 \sum_{r=1}^{n} r$ મળે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{n} f(r) = 7 \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n(n+1)}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$ અને $a + b + c = 3$,તેથી $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$.
વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ આપેલ છે.
$y = 1$ મૂકતા,આપણને મળે $f(x + 1) = f(x) + f(1) + x$.
$f(1) = 3$ મૂકતા,$f(x + 1) - f(x) = x + 3$.
$x = 1$ થી $n - 1$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{x=1}^{n-1} (f(x+1) - f(x)) = \sum_{x=1}^{n-1} (x + 3)$.
આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $f(n) - f(1) = \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$.
$f(1) = 3$ હોવાથી,$f(n) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n}{2}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{2} + \frac{5n}{2})$ ની ગણતરી કરીએ.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)$.
$= 192.5 + 137.5 = 330$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 + ax + b$ છે.
સૌ પ્રથમ,$f(0)$ ની કિંમત શોધો:
$f(0) = (0)^2 + a(0) + b = b$.
હવે,આ કિંમતને આપેલ શરત $f(f(0)) = 0$ માં મૂકતા:
$f(b) = 0$.
વિધેય $f(x)$ માં $x = b$ મૂકતા:
$b^2 + ab + b = 0$.
અહીં $b \neq 0$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $b$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$b + a + 1 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a + b = -1$.

(B) આપેલ વિધેય $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ છે,જ્યાં $x, y > 0$.
આપણને $f(30) = 20$ આપેલ છે.
$f(40)$ શોધવા માટે,આપણે $40$ ને $30 \times \frac{4}{3}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ વિધેયના સમીકરણમાં $x = 30$ અને $y = \frac{4}{3}$ મૂકતા:
$f(30 \times \frac{4}{3}) = \frac{f(30)}{\frac{4}{3}}$.
$f(40) = f(30) \times \frac{3}{4}$.
$f(30) = 20$ ની કિંમત મૂકતા:
$f(40) = 20 \times \frac{3}{4} = 5 \times 3 = 15$.

(D) આપેલ છે,$f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2} f(x)$ ---$(i)$
$(i)$ માં $x$ ને $x+1$ વડે બદલતા:
$f(x+2)+f(x)=\sqrt{2} f(x+1)$ ---(ii)
$(i)$ માં $x$ ને $x-1$ વડે બદલતા:
$f(x)+f(x-2)=\sqrt{2} f(x-1)$ ---(iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}[f(x+1)+f(x-1)]$
જમણી બાજુએ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}(\sqrt{2} f(x))$
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=2f(x)$
$f(x+2)+f(x-2)=0$

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}, (a > 2) . . . . (i)$
આપણે $f(x + y) + f(x - y)$ શોધવાનું છે.
$f(x + y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2}$
$f(x - y) = \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
હવે,$f(x + y) + f(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-x-y}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-x+y}}{2}$
$= \frac{a^x \cdot a^y + a^{-x} \cdot a^{-y} + a^x \cdot a^{-y} + a^{-x} \cdot a^y}{2}$
$= \frac{a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})}{2}$
$= \frac{(a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})}{2}$
$= 2 \cdot \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \cdot \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 \cdot f(x) \cdot f(y)$

(A) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $\forall x, y \in R$ અને $f(1)=5$.
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ હોવાથી,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $f(n)=n \cdot f(1)$ થાય.
$f(1)=5$ આપેલ હોવાથી,આપણને $f(n)=5n$ મળે છે.
આપણે $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 5r$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ $5 \sum_{r=1}^n r$ ની બરાબર છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી,$\sum_{r=1}^n f(r) = 5 \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n(n+1)}{2}$.

(A) આપેલ વિધેયાત્મક સંબંધ: $(f(x))^2 = f(x^2) + f(1)$.
અમે $f(x) = x + \frac{1}{x}$ ને સમીકરણમાં મૂકીને વિકલ્પો ચકાસીએ છીએ.
જમણી બાજુ $(RHS)$ માટે: $f(x^2) + f(1) = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + (1 + \frac{1}{1}) = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$.
આને $(x + \frac{1}{x})^2$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
કારણ કે $(f(x))^2 = (x + \frac{1}{x})^2$,તેથી ડાબી બાજુ $(LHS)$ એ જમણી બાજુ $(RHS)$ બરાબર છે.
આમ,$f(x) = x + \frac{1}{x}$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f: N \times N \rightarrow N$ માટેની શરતો:
$f(1,1) = 2$
$f(m+1, n) = f(m, n) + 2(m+n)$
$f(m, n+1) = f(m, n) + 2(m+n-1)$
$f(2,2)$ શોધવા માટે,આપણે આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધોનો ઉપયોગ કરીશું:
પ્રથમ,$m=1, n=1$ લઈને પ્રથમ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $f(2,1)$ શોધીએ:
$f(2,1) = f(1,1) + 2(1+1) = 2 + 2(2) = 2 + 4 = 6$
ત્યારબાદ,$m=2, n=1$ લઈને બીજા સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $f(2,2)$ શોધીએ:
$f(2,2) = f(2,1) + 2(2+1-1) = 6 + 2(2) = 6 + 4 = 10$
બીજી રીતે,અન્ય માર્ગનો ઉપયોગ કરતા:
$f(1,2) = f(1,1) + 2(1+1-1) = 2 + 2(1) = 4$
$f(2,2) = f(1,2) + 2(1+2) = 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10$
આમ,$f(2,2) = 10$.

(C) ધારો કે $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_n$.
આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ છે.
આ સમીકરણ $f(x) = 1 \pm x^n$ દ્વારા સંતોષાય છે.
આપેલ છે કે $f(4) = 257$,તેથી $1 \pm 4^n = 257$.
આનો અર્થ એ છે કે $4^n = 256$,તેથી $n = 4$.
આમ,$f(x) = 1 + x^4$.
છેલ્લે,$f(3) = 1 + 3^4 = 1 + 81 = 82$.

(C) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x) + f(y)$ તમામ $x, y \in R$ માટે,આ કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x) = cx$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
$f(1) = 7$ હોવાથી,આપણને $c(1) = 7$ મળે છે,તેથી $c = 7$.
આમ,$f(x) = 7x$.
હવે,આપણને $\sum_{r=1}^{n} f(r) = 14112$ આપેલ છે.
$f(r) = 7r$ મૂકતા,આપણને $\sum_{r=1}^{n} 7r = 14112$ મળે છે.
$7 \sum_{r=1}^{n} r = 14112$.
$7 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 14112$.
$\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{14112}{7} = 2016$.
$n(n + 1) = 4032$.
$63 \times 64 = 4032$ હોવાથી,$n = 63$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ અને પુનરાવર્તિત સંબંધ $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ જ્યાં $x \ge 3$.
આપણે ક્રમશઃ કિંમતો શોધીએ:
$f(3) = f(1) + f(0) = 1 + 0 = 1$
$f(4) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3$
$f(5) = f(3) + f(2) = 1 + 2 = 3$
$f(6) = f(4) + f(3) = 3 + 1 = 4$
$f(7) = f(5) + f(4) = 3 + 3 = 6$
$f(8) = f(6) + f(5) = 4 + 3 = 7$
$f(9) = f(7) + f(6) = 6 + 4 = 10$
તેથી,$f(9) = 10$.

(B) આપેલ શરતો $f(x+y) = f(x) + f(y)$ અને $f(xy) = f(x)f(y)$ છે.
$x, y \in \mathbb{Q}$ માટે,આ સમીકરણોના માત્ર બે જ ઉકેલો છે: તદેવ વિધેય $f(x) = x$ અને શૂન્ય વિધેય $f(x) = 0$.
$1$. જો $f(1) = 0$ હોય,તો $f(x) = 0$ થાય.
$2$. જો $f(1) \neq 0$ હોય,તો $f(1) = 1$ મળે,જેનાથી $f(x) = x$ સાબિત થાય છે.
આમ,આવા કુલ $2$ વિધેયો છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $f(x+y) = f(x) + f(y)$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{Z}$ પર વ્યાખ્યાયિત કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે.
કોઈપણ $x \in \mathbb{Z}$ માટે,આપણે લખી શકીએ કે $f(nx) = nf(x)$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
ખાસ કરીને,$x = 1$ માટે,આપણને $f(n) = f(n \cdot 1) = n \cdot f(1)$ મળે છે.
ધારો કે $f(1) = c$,જ્યાં $c$ એ કોઈપણ પૂર્ણાંક અચળાંક છે કારણ કે સહપ્રદેશ $\mathbb{Z}$ છે.
આમ,કોઈપણ $c \in \mathbb{Z}$ માટે $f(n) = cn$ થાય છે.
પૂર્ણાંક $c$ માટે અનંત વિકલ્પો હોવાથી,આવા અનંત વિધેયો શક્ય છે.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ છે.
$x=4$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(4+0)=f(4) \cdot f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(4)=f(4) \cdot f(0)$. કારણ કે $f(x)$ વિકલનીય છે,$f(x)$ શૂન્ય નથી,તેથી $f(0)=1$.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$f(x+h)=f(x) \cdot f(h)$ મૂકતા,આપણને $f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$ મળે છે.
$f(0)=1$ હોવાથી,આ $f^{\prime}(x) = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f(x) \cdot f^{\prime}(0)$ બને છે.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(4)=24$ અને $f^{\prime}(0)=3$,તેથી $f^{\prime}(4) = f(4) \cdot f^{\prime}(0)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$24 = f(4) \cdot 3$.
તેથી,$f(4) = \frac{24}{3} = 8$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ છે,જ્યાં $x, y \in R$.
$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)(f(0)-1)=0$.
કારણ કે $f(x) \neq 0$ દરેક $x$ માટે,તેથી $f(0)=1$ હોવું જોઈએ.
$x=0$ આગળ વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 4$.
હવે,કોઈપણ $x$ માટે,વિકલન $f^{\prime}(x)$ આ મુજબ મળે છે:
$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
લિમિટની કિંમત મૂકતા,આપણને $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 4 = 4f(x)$ મળે છે.
તેથી,$f^{\prime}(6) = 4f(6) = 4 \times 3 = 12$.

(D) આપેલ વિધેય સંબંધ: $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$.
સમીકરણમાં $y=0$ મુકતા:
$f(x(0)+1) = f(x)f(0) - f(0) - x + 2$
$f(0)=1$ હોવાથી:
$f(1) = f(x)(1) - 1 - x + 2$
$f(1) = f(x) - x + 1$
$f(x)$ ને કર્તા બનાવતા:
$f(x) = x + f(1) - 1$
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x + f(1) - 1)$
$f(1)$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય:
$\frac{df}{dx} = 1 + 0 - 0 = 1$
તેથી,$x=e$ આગળ $\frac{df}{dx}$ ની કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$.
ધારો કે $f(x) = x^2 + 1$ એ દ્વિઘાત વિધેય છે.
કિંમતો શોધતા:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} + 1 = \frac{13}{9}$.
$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$.
હવે,$\sqrt{f\left(\frac{2}{3}\right) + f\left(\frac{3}{2}\right)} = \sqrt{\frac{13}{9} + \frac{13}{4}} = \sqrt{\frac{169}{36}} = \frac{13}{6}$.

(C) આપેલ છે,$f(x)=x^2-2x+4$.
આપણે $f(x-1)=f(x+1)$ ઉકેલવાનું છે.
વિધેયમાં $(x-1)$ અને $(x+1)$ મૂકતા:
$(x-1)^2-2(x-1)+4 = (x+1)^2-2(x+1)+4$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2-2x+1) - 2x + 2 + 4 = (x^2+2x+1) - 2x - 2 + 4$.
સાદુરૂપ આપતા:
$x^2-4x+7 = x^2+3$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$-4x+7 = 3$.
$-4x = -4$.
$x = 1$.
આમ,$x$ ના મૂલ્યોનો ગણ $\{1\}$ છે.