Domain and Range Questions in Hindi

(C) प्रांत $A$ के लिए,हमें $|x| - x^2 > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $|x|^2 = x^2$,यह $|x| - |x|^2 > 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $|x|(1 - |x|) > 0$.
यह तब होता है जब $0 < |x| < 1$,इसलिए $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$. अतः,$A = (-1, 0) \cup (0, 1)$.
परिसर $B$ के लिए,मान लीजिए $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - x^2}}$.
जैसे $x \to 0$,$|x| - x^2 \to 0^+$,इसलिए $y \to \infty$.
जैसे $|x| \to 1$,$|x| - x^2 \to 0^+$,इसलिए $y \to \infty$.
$|x| - x^2$ का अधिकतम मान $|x| = 1/2$ पर प्राप्त होता है,जो $1/2 - 1/4 = 1/4$ देता है।
हर का न्यूनतम मान $0$ (अपवर्जित) और अधिकतम मान $1/4$ है।
अतः,$\sqrt{|x| - x^2} \in (0, 1/2]$.
इसलिए,$y \in [2, \infty)$,यानी $B = [2, \infty)$.
अंत में,$A \cup B = ((-1, 0) \cup (0, 1)) \cup [2, \infty)$.

(D) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,दोनों भागों का परिभाषित होना आवश्यक है।
सबसे पहले,$\cos^{-1} \left( \frac{1 + x^2}{2 x} \right)$ पर विचार करें। यह तब परिभाषित होता है जब $-1 \leq \frac{1 + x^2}{2 x} \leq 1$ हो।
इसका अर्थ है $\left| \frac{1 + x^2}{2 x} \right| \leq 1$,जिसका अर्थ है $|1 + x^2| \leq |2x|$।
चूंकि $1 + x^2 \geq 2|x|$ केवल तब सत्य है जब $|x| = 1$ हो,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
अब,पहले भाग $\sqrt{\cos(\sin x)}$ की जाँच करें।
$x = 1$ के लिए,$\cos(\sin 1) > 0$ क्योंकि $\sin 1 \approx 0.84$ रेडियन,जो प्रथम चतुर्थांश में है।
$x = -1$ के लिए,$\cos(\sin(-1)) = \cos(-\sin 1) = \cos(\sin 1) > 0$।
अतः,दोनों शर्तें केवल $x = 1$ और $x = -1$ पर संतुष्ट होती हैं,इसलिए प्रांत $\{-1, 1\}$ है।

(C) दिया गया फलन: $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x-2}{2x^2-7x+5}} + \log(x^2-x-2)$.
प्रांत के लिए:
$1$. घनमूल के हर के लिए: $2x^2-7x+5 \neq 0$ $\Rightarrow (2x-5)(x-1) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 1, x \neq \frac{5}{2}$.
$2$. लघुगणक के लिए: $x^2-x-2 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) > 0$. यह असमिका $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ के लिए सत्य है।
इन शर्तों को मिलाने पर: हमें $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ चाहिए जहाँ $x \neq 1$ और $x \neq \frac{5}{2}$ हो।
चूंकि $1$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ में नहीं है,इसलिए केवल $\frac{5}{2}$ को हटाने पर,प्रांत $(-\infty, -1) \cup (2, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x - |x||}}$.
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $|x - |x|| > 0$.
यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $|x - x| = 0$,जो $> 0$ नहीं है।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $|x - (-x)| = |2x| = -2x$। चूँकि $x < 0$,इसलिए $-2x > 0$।
अतः,प्रांत $A = (-\infty, 0)$ है।
$x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{-2x}}$। जैसे-जैसे $x$,$(-\infty, 0)$ में बदलता है,$-2x$,$(0, \infty)$ में बदलता है,और $\sqrt{-2x}$,$(0, \infty)$ में बदलता है।
इसलिए,परिसर $B = (0, \infty)$ है।
अंततः,$A \cap B = (-\infty, 0) \cap (0, \infty) = \phi$।

(D) फलन $f(x)=\sin ^{-1}(x^2-1)-3 \log _3(3^x-2)$ तब परिभाषित होता है जब दोनों पद परिभाषित हों।
$\sin ^{-1}(x^2-1)$ के लिए,$-1 \leq x^2-1 \leq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \leq x^2 \leq 2$,अतः $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$।
$\log _3(3^x-2)$ के लिए,$3^x-2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $3^x > 2$,अतः $x > \log _3 2$।
$f(x)$ का प्रांत है: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (\log _3 2, \infty) = (\log _3 2, \sqrt{2}]$।
फलन $x \in (-\infty, \log _3 2] \cup (\sqrt{2}, \infty)$ के लिए परिभाषित नहीं है।
इसकी तुलना $(-\infty, a] \cup (b, \infty)$ से करने पर,हमें $a = \log _3 2$ और $b = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3^a + b^2 = 3^{\log _3 2} + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$।

(D) फलन $f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का संतुष्ट होना आवश्यक है:
$1$. अंश में वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $\log_{10}\left(\frac{x}{x-2}\right) \geq 0$.
इसका अर्थ है $\frac{x}{x-2} \geq 10^0$,अतः $\frac{x}{x-2} \geq 1$.
$\frac{x}{x-2} - 1 \geq 0$ $\Rightarrow \frac{x - (x-2)}{x-2} \geq 0$ $\Rightarrow \frac{2}{x-2} > 0$.
यह तब सत्य है जब $x-2 > 0$,अर्थात $x > 2$.
$2$. हर में वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $[x]^2 - 5[x] + 6 > 0$.
$([x]-2)([x]-3) > 0$.
इसका अर्थ है $[x] < 2$ या $[x] > 3$.
यदि $[x] < 2$,तो $x < 2$. यदि $[x] > 3$,तो $x \geq 4$.
$3$. शर्तों $x > 2$ और ($x < 2$ या $x \geq 4$) को मिलाने पर,हमें $x \in [4, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-x}{x-[x]}}$ के रूप में परिभाषित है।
अंश $\sqrt{|x|-x}$ को परिभाषित होने के लिए,$|x|-x \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $|x| \geq x$। यह सभी $x \in R$ के लिए सत्य है।
हर $\sqrt{x-[x]}$ को परिभाषित और शून्यतर होने के लिए,$x-[x] > 0$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $x-[x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ संख्या $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
प्रतिबंध $\{x\} > 0$ सभी $x \notin Z$ (पूर्णांकों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं) के लिए सत्य है।
यदि $x \in Z$ है,तो $\{x\} = 0$ होता है,जिससे हर शून्य हो जाता है और फलन अपरिभाषित हो जाता है।
अतः,फलन का प्रांत $R-Z$ है।

(A) संयोजन ${ }^{n} C_{r}$ को परिभाषित होने के लिए,$n \geq r \geq 0$ और $n, r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ होना चाहिए।
यहाँ,$n = 16-x$ और $r = 2x-1$ है।
$1$) $r \geq 0 \implies 2x-1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}$।
$2$) $n \geq r \implies 16-x \geq 2x-1 \implies 17 \geq 3x \implies x \leq \frac{17}{3} \approx 5.66$।
$3$) $n \geq 0 \implies 16-x \geq 0 \implies x \leq 16$।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $\frac{1}{2} \leq x \leq 5.66$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ और $r$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए $x$ एक ऐसा पूर्णांक होना चाहिए कि $2x-1$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो और $16-x \geq 2x-1$ हो।
अंतराल $[0.5, 5.66]$ में $x$ के संभावित पूर्णांक मान $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ हैं।

(A) दिया गया है: $f(x) = \frac{\sqrt{6x^2+5x-6}}{\sqrt{4-x}-\sqrt{x+4}}$
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$(1)$ अंश वास्तविक होना चाहिए: $6x^2+5x-6 \geq 0$
$(3x-2)(2x+3) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$
$(2)$ हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\sqrt{4-x} - \sqrt{x+4} \neq 0$
$4-x \neq x+4$ $\Rightarrow 2x \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 0$
$(3)$ वर्गमूल पद परिभाषित होने चाहिए:
$4-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$
$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
इन शर्तों को मिलाने पर: $x \in [-4, 4] \cap ((-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)) \cap \{x \neq 0\}$
चूंकि $0$,$(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$ अंतराल में नहीं है,इसलिए शर्त $x \neq 0$ स्वतः संतुष्ट हो जाती है।
अतः,प्रांत $[-4, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, 4]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2}}$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अऋणात्मक होना चाहिए:
$\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2} \geq 0$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
अंश: $(2x - 5)(x - 1)$
हर: $(3x + 1)(x - 2)$
अतः,असमिका $\frac{(2x - 5)(x - 1)}{(3x + 1)(x - 2)} \geq 0$ है।
क्रांतिक बिंदु $x = -\frac{1}{3}, 1, 2, \frac{5}{2}$ हैं।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,प्रांत $\left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup [1, 2) \cup \left[\frac{5}{2}, \infty\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{[x]-x}{x-[x]}}$ के रूप में परिभाषित है।
किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $x = [x] + \{x\}$,जहाँ $0 \leq \{x\} < 1$ है।
अतः $x - [x] = \{x\}$ है।
यदि $x \notin Z$ है,तो $\{x\} \neq 0$,इसलिए हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \sqrt{\frac{-\{x\}}{\{x\}}} = \sqrt{-1} = i$।
चूंकि $i$ एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए किसी भी $x \notin Z$ के लिए $f(x)$ वास्तविक नहीं है।
यदि $x \in Z$ है,तो $[x] = x$,जो हर को $x - [x] = 0$ बना देता है।
शून्य से विभाजन अपरिभाषित है,इसलिए $x \in Z$ के लिए $f(x)$ परिभाषित नहीं है।
अतः,$x$ का ऐसा कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $f(x)$ वास्तविक हो।
ऐसे मानों का समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) दिया गया है $a^x + a^y = a$.
चूंकि $f: A \rightarrow A$ है,इसलिए प्रांत (domain) और परिसर (range) दोनों $A$ हैं।
$y$ को परिभाषित होने के लिए,$a^y > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a - a^x > 0$,इसलिए $a^x < a$।
चूंकि $a > 1$ है,दोनों पक्षों में $\log_a$ लेने पर $x < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, 1)$ है।
चूंकि परिसर भी $A$ होना चाहिए,हमारे पास $y = \log_a(a - a^x)$ है।
जैसे ही $x \rightarrow -\infty$,$a^x \rightarrow 0$,इसलिए $y \rightarrow \log_a(a) = 1$।
जैसे ही $x \rightarrow 1^-$,$a^x \rightarrow a^-$,इसलिए $a - a^x \rightarrow 0^+$,जिसका अर्थ है $y \rightarrow -\infty$।
अतः,परिसर $(-\infty, 1)$ है।
इसलिए,$A = (-\infty, 1)$।

(C) दिया है,$f(x) = \frac{1}{2} - \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ जिसका प्रांत $(-1, 1)$ है और $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ है।
$(f + g)$ का प्रांत ज्ञात करने के लिए,हमें $f(x)$ और $g(x)$ के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेना होगा।
$g(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ होना चाहिए।
$-1$ से गुणा करने पर,$4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ के लिए सत्य है।
$(f + g)$ का प्रांत $(-1, 1)$ और $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ का सर्वनिष्ठ है।
सर्वनिष्ठ $= (-1, 1) \cap \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] = \left[-\frac{1}{2}, 1\right)$।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$.
फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
यह असमिका सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है,अर्थात $x < 0$.
अतः,प्रांत $(-\infty, 0)$ है।

(D) फलन $f(x) = \sec^{-1}(3x - 4) + \tanh^{-1}\left(\frac{x + 3}{5}\right)$ है।
$\sec^{-1}(3x - 4)$ को परिभाषित होने के लिए,$|3x - 4| \geq 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $3x - 4 \leq -1$ या $3x - 4 \geq 1$।
$3x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1$ और $3x \geq 5 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3}$।
अतः,पहले भाग का प्रांत $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$ है।
$\tanh^{-1}\left(\frac{x + 3}{5}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 < \frac{x + 3}{5} < 1$ होना चाहिए।
$-5 < x + 3 < 5$।
$-8 < x < 2$।
$x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$ और $x \in (-8, 2)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in (-8, 1] \cup [\frac{5}{3}, 2)$।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\log_{10}\left(\frac{5x - x^2}{4}\right)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $\log_{10}\left(\frac{5x - x^2}{4}\right) \geq 0$
इसका अर्थ है $\frac{5x - x^2}{4} \geq 10^0$,जो सरल होकर $\frac{5x - x^2}{4} \geq 1$ हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $5x - x^2 \geq 4$ या $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 1)(x - 4) \leq 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x \in [1, 4]$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[1, 4]$ है।

(B) $f(x)=\frac{x-[x]}{\sqrt{|x|-x}}$ को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$|x|-x > 0 \Rightarrow |x| > x$.
यह असमिका सभी $x < 0$ के लिए सत्य है। अतः,$A = (-\infty, 0)$.
$g(x)=\frac{x-[x]}{\sqrt{|x|+x}}$ को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$|x|+x > 0 \Rightarrow |x| > -x$.
यह असमिका सभी $x > 0$ के लिए सत्य है। अतः,$B = (0, \infty)$.
चूंकि $A = (-\infty, 0)$ और $B = (0, \infty)$,उनका प्रतिच्छेदन रिक्त है:
$A \cap B = \phi$.

(C) दिया गया फलन $f:[-3,2] \rightarrow [0, \sqrt[3]{x}]$ है,जहाँ $f(n) = \begin{cases} 2+\sqrt[3]{n}, & -3 \leq n \leq -1 \\ n^{2/3}, & -1 < n \leq 2 \end{cases}$ है।
फलन के आच्छादक (onto) होने के लिए,इसका परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $[0, \sqrt[3]{x}]$ के बराबर होना चाहिए।
सीमा बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करने पर:
$-3 \leq n \leq -1$ के लिए,$f(n)$ का मान $f(-3) = 2 + \sqrt[3]{-3}$ से $f(-1) = 1$ तक बढ़ता है।
$-1 < n \leq 2$ के लिए,$f(n) = n^{2/3}$ है। $n = 0$ पर $f(0) = 0$ और $n = 2$ पर $f(2) = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन आच्छादक है,इसलिए फलन का अधिकतम मान सह-प्रांत की ऊपरी सीमा के बराबर होना चाहिए।
अधिकतम मान $\max(1, \sqrt[3]{4}) = \sqrt[3]{4}$ है।
अतः,$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{4}$,जिसका अर्थ है कि $x = 4$।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)}}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर होना चाहिए: $\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)} \geq 0$.
$2$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log(x^2-x) \neq 0 \Rightarrow x^2-x \neq 1$.
$3$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^2-x > 0$.
चूंकि $x-[x] = \{x\} \geq 0$,इसलिए $\log(x^2-x) > 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x^2-x > 1$ या $x^2-x-1 > 0$.
$x^2-x-1 = 0$ को हल करने पर $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $R \setminus \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. हर की शर्त: $[x] + 2 \neq 0 \Rightarrow [x] \neq -2$. इसका अर्थ है $x \notin [-2, -1)$.
$2$. असमिका की शर्त: $\frac{4-x^2}{[x]+2} \geq 0$.
स्थिति $I$: यदि $[x] + 2 > 0$,तो $[x] > -2$,जिसका अर्थ है $x \geq -1$.
तब $4 - x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 4$ $\Rightarrow x \in [-2, 2]$.
$x \geq -1$ और $x \in [-2, 2]$ को मिलाने पर,हमें $x \in [-1, 2]$ प्राप्त होता है।
स्थिति $II$: यदि $[x] + 2 < 0$,तो $[x] < -2$,जिसका अर्थ है $x < -2$.
तब $4 - x^2 \leq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 4$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
$x < -2$ और $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ को मिलाने पर,हमें $x \in (-\infty, -2)$ प्राप्त होता है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [-1, 2]$ है।

(D) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left[\log_4\left(\frac{x}{4}\right)\right] + \sqrt{17x - x^2 - 16}$ परिभाषित है यदि दोनों भाग परिभाषित हों।
पहले,$\sin^{-1}(u)$ के लिए,$u \in [-1, 1]$ होना चाहिए:
$-1 \leq \log_4\left(\frac{x}{4}\right) \leq 1$
$4^{-1} \leq \frac{x}{4} \leq 4^1$
$\frac{1}{4} \leq \frac{x}{4} \leq 4$
$1 \leq x \leq 16$
दूसरे,वर्गमूल $\sqrt{17x - x^2 - 16}$ के लिए,$17x - x^2 - 16 \geq 0$ होना चाहिए:
$x^2 - 17x + 16 \leq 0$
$(x - 16)(x - 1) \leq 0$
$1 \leq x \leq 16$
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $[1, 16]$ प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - [x] - 2 > 0$
गुणनखंड करने पर:
$([x] - 2)([x] + 1) > 0$
यह असमिका तब सत्य है जब $[x] > 2$ या $[x] < -1$ हो।
यदि $[x] > 2$ है,तो न्यूनतम पूर्णांक मान $3$ होगा,अतः $x \geq 3$।
यदि $[x] < -1$ है,तो अधिकतम पूर्णांक मान $-2$ होगा,अतः $x < -1$।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\log_a(x - [x])}$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक परिभाषित होना चाहिए।
$1$. पद $(x - [x])$ $x$ का भिन्नात्मक भाग दर्शाता है,जिसे $\{x\}$ कहा जाता है। चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,और $\log_a(\{x\})$ के परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $\{x\} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \notin Z$।
$2$. वर्गमूल के परिभाषित होने के लिए,$\log_a(\{x\}) \geq 0$ होना चाहिए।
$3$. यदि $a > 1$ है,तो $\{x\} \geq a^0 = 1$। चूंकि $\{x\} < 1$ है,इसलिए यह संभव नहीं है।
$4$. यदि $0 < a < 1$ है,तो $\log_a(\{x\}) \geq 0 \implies \{x\} \leq a^0 = 1$। जो $x \notin Z$ के लिए हमेशा सत्य है।
$5$. अतः,$x \in R - Z$ और $a \in (0, 1)$।

(B) फलन $f(x) = \log \left[(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9}\right]$ तब परिभाषित होता है जब लघुगणक का मान धनात्मक हो:
$(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9} > 0$
$\Rightarrow (2.5)^{3-x^2} > (0.4)^{x+9}$
चूंकि $0.4 = (2.5)^{-1}$,हम लिख सकते हैं:
$(2.5)^{3-x^2} > (2.5)^{-(x+9)}$
आधार $2.5 > 1$ होने के कारण,घातांकों के लिए:
$3 - x^2 > -x - 9$
$x^2 - x - 12 < 0$
$(x - 4)(x + 3) < 0$
अतः $x \in (-3, 4)$।

(B) दिया गया है कि फलन $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर परिभाषित है।
फलन $g(x) = f(5x + 4)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $(5x + 4)$ को $f$ के प्रांत $[-1, 1]$ के भीतर होना चाहिए।
अतः,हमारे पास असमिका है:
$-1 \leq 5x + 4 \leq 1$
असमिका के सभी भागों से $4$ घटाने पर:
$-1 - 4 \leq 5x \leq 1 - 4$
$-5 \leq 5x \leq -3$
सभी भागों को $5$ से विभाजित करने पर:
$-1 \leq x \leq -\frac{3}{5}$
इस प्रकार,फलन $g(x)$ अंतराल $[-1, -\frac{3}{5}]$ पर परिभाषित है।

(D) माना $y = f(x) = \frac{2+x}{2-x}$.
$y(2-x) = 2+x$
$2y - xy = 2 + x$
$2y - 2 = x + xy$
$2(y-1) = x(1+y)$
$x = \frac{2(y-1)}{y+1}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए हर $y+1 \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \neq -1$.
अतः,$f(x)$ का परिसर $R - \{-1\}$ है।

(B) $f(x)$ के वास्तविक मान वाला फलन होने के लिए,प्रांत $x+1 \ge 0$ अर्थात $x \ge -1$ होना चाहिए।
जैसे-जैसे $x$,$-1$ से $\infty$ तक बदलता है,$\sqrt{x+1}$ का मान $0$ से $\infty$ तक बदलता है।
परिणामस्वरूप,हर $\sqrt{x+1}+4$ का मान $4$ से $\infty$ तक बदलता है।
अतः,टेंजेंट फलन का तर्क $\theta = \frac{\pi}{\sqrt{x+1}+4}$,$0$ से $\frac{\pi}{4}$ तक बदलता है।
चूंकि टेंजेंट फलन अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में वर्धमान है,इसलिए $f(x) = \tan(\theta)$ का परिसर $[\tan(0), \tan(\frac{\pi}{4})]$ अर्थात $[0, 1]$ होगा।

(C) माना $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ प्राप्त होता है।
$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.
$(y-1)x^2 - (y+1)x + a(y-1) = 0$.
$f$ के आच्छादक होने के लिए,$x$ में इस द्विघात समीकरण के प्रत्येक $y$ के लिए वास्तविक मूल होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(a(y-1)) \geq 0$.
$(y+1)^2 - 4a(y-1)^2 \geq 0$.
$y^2 + 2y + 1 - 4a(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$(1-4a)y^2 + (2+8a)y + (1-4a) \geq 0$.
इसके प्रत्येक $y$ के लिए सत्य होने हेतु,$y^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $1-4a > 0 \Rightarrow a < 1/4$.
साथ ही,$y$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $\leq 0$ होना चाहिए।
$(2+8a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$4(1+4a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$(1+4a-1+4a)(1+4a+1-4a) \leq 0$.
$(8a)(2) \leq 0$ $\Rightarrow 16a \leq 0$ $\Rightarrow a \leq 0$.
$a < 1/4$ और $a \leq 0$ को संयोजित करने पर,हमें $a \in (-\infty, 0]$ प्राप्त होता है।

(A) माना $g(x) = 5 + 4x - x^2$ है।
इसे $g(x) = 9 - (x - 2)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $(x - 2)^2 \geq 0$,इसलिए $g(x)$ का अधिकतम मान $9$ है।
लघुगणक के परिभाषित होने के लिए $g(x) > 0$ होना चाहिए,अतः $g(x) \in (0, 9]$।
चूँकि $f(x) = \log_3(g(x))$,इसलिए $f(x)$ का परिसर $(\log_3(0^+), \log_3(9)]$ अर्थात $(-\infty, 2]$ होगा।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 4x + 5$ प्रांत $[2, \infty)$ पर परिभाषित है।
पूर्ण वर्ग बनाकर इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
चूंकि प्रांत $x \in [2, \infty)$ है,इसलिए $(x - 2)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है (जब $x = 2$ हो)।
जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$,$(x - 2)^2 \rightarrow \infty$ होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[0 + 1, \infty) = [1, \infty)$ है।

(B) माना $g(x) = x^4 - 2x^2 + 3 = (x^2 - 1)^2 + 2$ है।
चूंकि $(x^2 - 1)^2 \geq 0$,$g(x)$ का न्यूनतम मान $2$ ($x^2 = 1$ पर) है और अधिकतम मान $\infty$ है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है।
अब,$f(x) = \log_{0.5}(g(x)) = \log_{1/2}(g(x)) = -\log_2(g(x))$ है।
चूंकि $g(x) \in [2, \infty)$,इसलिए $\log_2(g(x)) \in [\log_2 2, \log_2 \infty) = [1, \infty)$ होगा।
$-1$ से गुणा करने पर,$-\log_2(g(x)) \in (-\infty, -1]$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $(-\infty, -1]$ है।

(B) माना $g(x) = -x^2-6x-5$। यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
$g(x)$ का अधिकतम मान $-\frac{D}{4a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16$ है।
अधिकतम मान $-\frac{16}{4(-1)} = 4$ है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $(-\infty, 4]$ है।
चूँकि फलन $f(x) = -\sqrt{g(x)}$ है,वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $g(x) \in [0, 4]$।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{g(x)} \in [0, 2]$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) \in [-2, 0]$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{x - |x|}$ है।
$x \geq 0$ के लिए,$|x| = x$ होता है,इसलिए हर $x - |x| = 0$ हो जाता है। अतः,$x \geq 0$ के लिए फलन अपरिभाषित है।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$ होता है,इसलिए हर $x - (-x) = 2x$ हो जाता है।
इसलिए,$x < 0$ के लिए $f(x) = \frac{1}{2x}$ है।
जैसे-जैसे $x$ का मान $(-\infty, 0)$ में बदलता है,$2x$ का मान $(-\infty, 0)$ में बदलता है।
परिणामस्वरूप,$\frac{1}{2x}$ का मान $(-\infty, 0)$ में बदलता है।
अतः,फलन का परिसर $(-\infty, 0)$ है।

(B) परिसर ज्ञात करने के लिए,हम तीन अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x < -1$ के लिए,$f(x) = 2x - 3$। जैसे $x \to -1^-$,$f(x) \to 2(-1) - 3 = -5$। चूंकि $x < -1$,$f(x) < -5$। अतः,इस भाग के लिए परिसर $(-\infty, -5)$ है।
$2$. $-1 \leq x \leq 1$ के लिए,$f(x) = 1 - x^2$। न्यूनतम मान $x = -1$ या $x = 1$ पर है,जो $1 - (1)^2 = 0$ है। अधिकतम मान $x = 0$ पर है,जो $1 - 0 = 1$ है। अतः,इस भाग के लिए परिसर $[0, 1]$ है।
$3$. $x > 1$ के लिए,$f(x) = 3x^2 + 2$। जैसे $x \to 1^+$,$f(x) \to 3(1)^2 + 2 = 5$। चूंकि $x > 1$,$f(x) > 5$। अतः,इस भाग के लिए परिसर $(5, \infty)$ है।
इन सबको मिलाने पर,कुल परिसर $(-\infty, -5) \cup [0, 1] \cup (5, \infty)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2+[x]-2}}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$[x]^2+[x]-2 > 0$ होना चाहिए।
माना $[x] = t$। तो $t^2+t-2 > 0$,जिसका गुणनखंड $(t+2)(t-1) > 0$ है।
इसका अर्थ है $t < -2$ या $t > 1$।
चूंकि $t = [x]$ एक पूर्णांक है,$[x] \in \{\dots, -4, -3\} \cup \{2, 3, 4, \dots\}$।
स्थिति $1$: यदि $[x] \geq 2$,तो $[x]^2+[x]-2$ का मान $4, 10, 18, \dots$ प्राप्त होता है।
फलन के मान $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ अर्थात $(0, \frac{1}{2}]$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $[x] \leq -3$,तो $[x]^2+[x]-2$ का मान $4, 10, \dots$ प्राप्त होता है।
फलन के मान $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ अर्थात $(0, \frac{1}{2}]$ प्राप्त होते हैं।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,परिसर $(0, \frac{1}{2}]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ है।
प्रांत $D$ के लिए,हमें $\frac{1-x^2}{1+x^2} \geq 0$ की आवश्यकता है। चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $1+x^2 > 0$ है,इसलिए $1-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2 \leq 1$,अतः $x \in [-1, 1]$। इस प्रकार,$D = [-1, 1]$।
परिसर $G$ के लिए,मान लीजिए $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$। चूंकि $x \in [-1, 1]$,$1-x^2$ का मान $0$ से $1$ तक और $1+x^2$ का मान $1$ से $2$ तक होता है। अतः,$\frac{1-x^2}{1+x^2}$ का मान $0$ से $1$ के बीच होता है। वर्गमूल लेने पर,$y \in [0, 1]$। इस प्रकार,$G = [0, 1]$।
अंततः,$D \cap G = [-1, 1] \cap [0, 1] = [0, 1]$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = |x-2| + |x-3|$ है।
हम फलन का तीन अंतरालों में विश्लेषण करते हैं: $x \leq 2$,$2 < x < 3$,और $x \geq 3$।
$x \leq 2$ के लिए,$f(x) = -(x-2) - (x-3) = -2x + 5$। चूँकि $x \leq 2$,इसलिए $f(x) \geq 1$ प्राप्त होता है।
$2 < x < 3$ के लिए,$f(x) = (x-2) - (x-3) = 1$।
$x \geq 3$ के लिए,$f(x) = (x-2) + (x-3) = 2x - 5$। चूँकि $x \geq 3$,इसलिए $f(x) \geq 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का न्यूनतम मान $1$ है और यह $1$ से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ ग्रहण करता है।
इसलिए,परिसर $[1, \infty)$ है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) व्यंजक $x-[x]$ संख्या $x$ के भिन्नात्मक भाग को दर्शाता है,जिसे $\{x\}$ के रूप में लिखा जाता है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए भिन्नात्मक भाग $\{x\}$ अंतराल $[0, 1)$ में स्थित होता है।
हालाँकि,हर $\sqrt{x-[x]}$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x-[x] \neq 0$ है।
अतः,$x-[x] \in (0, 1)$ है।
जैसे-जैसे $x-[x]$ का मान $0$ के करीब पहुँचता है,$\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ का मान $\infty$ की ओर जाता है।
जैसे-जैसे $x-[x]$ का मान $1$ के करीब पहुँचता है,$\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ का मान $1$ की ओर जाता है।
इस प्रकार,$f(x)$ का परिसर $(1, \infty)$ है।

(B) दिया गया फलन: $y(x) = \cos x - 3$ है।
चूंकि $\cos x$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ है,इसलिए $y(x)$ का प्रांत $R$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in R$ के लिए,$-1 \leq \cos x \leq 1$ होता है।
असमिका के सभी भागों से $3$ घटाने पर:
$-1 - 3 \leq \cos x - 3 \leq 1 - 3$
$-4 \leq y(x) \leq -2$।
अतः,फलन का परिसर $[-4, -2]$ है।
इसलिए,प्रांत $R$ है और परिसर $[-4, -2]$ है।

(B) फलन $y(x) = f(x) = \begin{cases} \frac{5x}{(x-3)(x+3)}, & x \neq -1 \\ -1, & x = -1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।
$f: A \rightarrow B$ फलन के सुपरिभाषित होने के लिए,$A$ को फलन का प्रांत (domain) होना चाहिए।
व्यंजक $\frac{5x}{(x-3)(x+3)}$ उन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है जहाँ हर शून्य न हो।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $(x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3$ या $x = -3$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ पर,फलन स्पष्ट रूप से $y(-1) = -1$ के रूप में परिभाषित है,जो एक वास्तविक संख्या है।
अतः,प्रांत $A$ में $3$ और $-3$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं।
इस प्रकार,$A = R \setminus \{-3, 3\}$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = -3x - 3$ है।
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को परिसर के प्रत्येक अवयव के बराबर रखते हैं:
$(i)$ $f(x) = 3$ के लिए: $3 = -3x - 3$ $\Rightarrow 6 = -3x$ $\Rightarrow x = -2$.
(ii) $f(x) = -6$ के लिए: $-6 = -3x - 3$ $\Rightarrow -3 = -3x$ $\Rightarrow x = 1$.
(iii) $f(x) = -9$ के लिए: $-9 = -3x - 3$ $\Rightarrow -6 = -3x$ $\Rightarrow x = 2$.
(iv) $f(x) = -18$ के लिए: $-18 = -3x - 3$ $\Rightarrow -15 = -3x$ $\Rightarrow x = 5$.
अतः,$f$ का प्रांत $\{-2, 1, 2, 5\}$ है।
इसलिए,$-1$ फलन $f$ के प्रांत में नहीं है।

(C) व्यंजक $\frac{2x-1}{x^3+4x^2+3x}$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए परिभाषित है,सिवाय जहाँ हर शून्य हो।
हर को शून्य के बराबर रखें:
$x^3+4x^2+3x = 0$
$x(x^2+4x+3) = 0$
$x(x+1)(x+3) = 0$
अतः,व्यंजक $x = 0$,$x = -1$,और $x = -3$ पर अपरिभाषित है।
इसलिए,समुच्चय $R - \{0, -1, -3\}$ है।

(B) दिया है,$f(x) = \frac{1}{2 - \cos 3x}$.
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in R$ के लिए,$-1 \leq \cos 3x \leq 1$.
$-1$ से गुणा करने पर,$-1 \leq -\cos 3x \leq 1$.
सभी पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$2 - 1 \leq 2 - \cos 3x \leq 2 + 1$,जो $1 \leq 2 - \cos 3x \leq 3$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,असमिका का चिह्न बदल जाता है: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \cos 3x} \leq \frac{1}{1}$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq f(x) \leq 1$.
इसलिए,$f$ का परिसर $[1/3, 1]$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = [2x] - 2[x]$ सभी $x \in R$ के लिए।
स्थिति $1$: यदि $x$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए $x = n$ जहाँ $n \in Z$ है।
तब $f(n) = [2n] - 2[n] = 2n - 2n = 0$।
स्थिति $2$: यदि $x$ पूर्णांक नहीं है,मान लीजिए $x = n + f$ जहाँ $n \in Z$ और $0 < f < 1$ है।
तब $f(x) = [2(n + f)] - 2[n + f] = [2n + 2f] - 2n = 2n + [2f] - 2n = [2f]$।
चूंकि $0 < f < 1$,हमारे पास $0 < 2f < 2$ है।
यदि $0 < f < 0.5$,तो $[2f] = 0$।
यदि $0.5 \leq f < 1$,तो $[2f] = 1$।
अतः,$f(x)$ का परिसर $\{0, 1\}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{4} = 1 - \frac{(2 \sin x \cos x)^2}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2x}{4}$.
चूंकि $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,इसलिए:
$0 \leq \frac{\sin^2 2x}{4} \leq \frac{1}{4}$.
$-1$ से गुणा करके $1$ जोड़ने पर:
$1 - 0 \geq 1 - \frac{\sin^2 2x}{4} \geq 1 - \frac{1}{4}$.
$1 \geq f(x) \geq \frac{3}{4}$.
अतः,परिसर $f(R) = \left[\frac{3}{4}, 1\right]$ है।