Domain and Range Questions in Hindi

(C) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{4} = 1 - \frac{(2 \sin x \cos x)^2}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2x}{4}$.
चूंकि $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,इसलिए:
$0 \leq \frac{\sin^2 2x}{4} \leq \frac{1}{4}$.
$-1$ से गुणा करके $1$ जोड़ने पर:
$1 - 0 \geq 1 - \frac{\sin^2 2x}{4} \geq 1 - \frac{1}{4}$.
$1 \geq f(x) \geq \frac{3}{4}$.
अतः,परिसर $f(R) = \left[\frac{3}{4}, 1\right]$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{|x|}{x}$ के लिए,जहाँ $A = \{x \in R, x \neq 0, -4 \leq x \leq 4\}$ है।
यदि $x > 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{x} = 1$ है।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$ है।
चूँकि $x$ का मान $0$ नहीं हो सकता,फलन $f(x)$ केवल $1$ और $-1$ मान ही ग्रहण करता है।
अतः,$f$ का परिसर $\{1, -1\}$ है।

(D) दिया गया है,$f(x) = [\frac{x}{5}]$ जहाँ $|x| < 71$ है।
इसका अर्थ है $-71 < x < 71$।
$5$ से भाग देने पर,हमें $-\frac{71}{5} < \frac{x}{5} < \frac{71}{5}$ प्राप्त होता है।
$-14.2 < \frac{x}{5} < 14.2$।
अब,हम महत्तम पूर्णांक फलन $[\frac{x}{5}]$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
न्यूनतम मान $[\frac{x}{5}] = [-14.2] = -15$ है।
अधिकतम मान $[\frac{x}{5}] = [14.2] = 14$ है।
चूंकि $x$ अंतराल $(-71, 71)$ में कोई भी वास्तविक मान ले सकता है,इसलिए फलन $f(x)$ $-15$ से $14$ तक के सभी पूर्णांक मान लेगा।
अतः,समुच्चय $\{-15, -14, \ldots, 0, \ldots, 13, 14\}$ है।

(C) यह दिया गया है कि $f: A \rightarrow B$ एक आच्छादक फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर सह-प्रांत $B$ के बराबर होना चाहिए।
चूंकि $g: B \rightarrow C$ को $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $g$ का प्रांत $B$ है।
$g(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है:
$4x^2 - 4x - 3 \leq 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(2x - 3)(2x + 1) \leq 0$
मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर,असमिका $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ के लिए सत्य है।
अतः,$g$ का प्रांत $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ है,जो $f$ का परिसर है।

(C) दिया गया फलन $f(x)=\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{[x]+2}}$ है।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1. \ 3+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$
$2. \ 3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$
$3. \ [x]+2 > 0 \Rightarrow [x] > -2$
चूंकि $[x] > -2$,$[x]$ द्वारा लिया जा सकने वाला सबसे छोटा पूर्णांक मान $-1$ है। अतः,$x \geq -1$.
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \in [-1, 3]$ प्राप्त होता है।
यह देखते हुए कि अंतराल $[\alpha, \beta]$ है,हमारे पास $\alpha = -1$ और $\beta = 3$ है।
अब,हम $f^2(\alpha+1) + 5f^2(\beta) = f^2(0) + 5f^2(3)$ की गणना करते हैं।
$f(0) = \frac{\sqrt{3+0} + \sqrt{3-0}}{\sqrt{[0]+2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$. अतः,$f^2(0) = 6$.
$f(3) = \frac{\sqrt{3+3} + \sqrt{3-3}}{\sqrt{[3]+2}} = \frac{\sqrt{6} + 0}{\sqrt{3+2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$. अतः,$f^2(3) = \frac{6}{5}$.
इसलिए,$f^2(0) + 5f^2(3) = 6 + 5 \times \frac{6}{5} = 6 + 6 = 12$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) माना $y = \frac{2x-3}{x^2-5x+6}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$x$ में द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ अऋणात्मक होना चाहिए।
$y(x^2-5x+6) = 2x-3$
$yx^2 - (5y+2)x + (6y+3) = 0$
$x \in \mathbb{R}$ के लिए,$D = b^2 - 4ac \geq 0$.
$(5y+2)^2 - 4y(6y+3) \geq 0$
$25y^2 + 20y + 4 - 24y^2 - 12y \geq 0$
$y^2 + 8y + 4 \geq 0$.
$y^2 + 8y + 4 = 0$ के मूल $y = \frac{-8 \pm \sqrt{64-16}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
अतः,$y \in (-\infty, -4-2\sqrt{3}] \cup [-4+2\sqrt{3}, \infty)$.
$f(x)$ द्वारा ग्रहण न किए जाने वाले मान $(-4-2\sqrt{3}, -4+2\sqrt{3})$ अंतराल में हैं।
चूंकि $-4-2\sqrt{3} \approx -7.46$ और $-4+2\sqrt{3} \approx -0.53$ है,इसलिए $-2$ फलन $f(x)$ के परिसर में नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = |x^2 - 3x + 2| + 2x - 3$ अंतराल $[-2, 1]$ पर।
चूंकि $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$,$x \in [-2, 1]$ के लिए,$(x - 1) \le 0$ और $(x - 2) < 0$,इसलिए $(x - 1)(x - 2) \ge 0$ है।
अतः,$|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2$ होगा।
इसलिए $f(x) = x^2 - 3x + 2 + 2x - 3 = x^2 - x - 1$ है।
$[-2, 1]$ पर चरम मानों की जांच करने के लिए:
$f'(x) = 2x - 1$. $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1/2$ प्राप्त होता है,जो $[-2, 1]$ में है।
मानों की गणना:
$f(-2) = (-2)^2 - (-2) - 1 = 5$.
$f(1) = (1)^2 - (1) - 1 = -1$.
$f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) - 1 = -5/4$.
यहाँ निरपेक्ष अधिकतम $M = 5$ और निरपेक्ष न्यूनतम $m = -5/4$ है।
अतः $M - 4m = 5 - 4(-5/4) = 5 + 5 = 10$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 4x + 5$ है,जिसका प्रांत $[2, \infty)$ है।
फलन के बाइजेक्शन होने के लिए परिसर $B$ ज्ञात करने हेतु,हमें $f(x)$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय ज्ञात करना होगा।
सबसे पहले,हम पूर्ण वर्ग बनाकर फलन को फिर से लिखते हैं:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
चूंकि प्रांत $x \in [2, \infty)$ है,इसलिए $x - 2 \geq 0$ होगा।
अतः,$(x - 2)^2 \geq 0$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $(x - 2)^2 + 1 \geq 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) \geq 1$.
फलन का परिसर $[1, \infty)$ है।
चूंकि फलन $[2, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है। बाइजेक्शन होने के लिए सह-प्रांत $B$ को परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$B = [1, \infty)$.

(A) दिया गया संबंध $\rho = \{(x, y) \in N \times N: 2x + y = 41\}$ है।
चूँकि $x, y \in N$,इसलिए $x \geq 1$ और $y \geq 1$ है।
$2x + y = 41$ से,हमें $y = 41 - 2x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \geq 1$,इसलिए $41 - 2x \geq 1$,जिसका अर्थ है $2x \leq 40$,अतः $x \leq 20$ है।
इस प्रकार,$x \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ है।
प्रत्येक $x$ के लिए,$y = 41 - 2x$ है। $x$ के मान रखने पर:
यदि $x = 1, y = 39$ है।
यदि $x = 20, y = 1$ है।
अतः,प्रांत $A = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ और परिसर $B = \{1, 3, 5, \dots, 39\}$ है।
$A$ और $B$ दोनों विकल्प $A$ में दिए गए समुच्चयों के उपसमुच्चय हैं।

(C) फलन $y = \sqrt{\log _{10} \frac{3x - x^2}{2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान अऋणात्मक होना चाहिए:
$\log _{10} \left( \frac{3x - x^2}{2} \right) \geq 0$
चूँकि $\log _{10} 1 = 0$,इसलिए:
$\frac{3x - x^2}{2} \geq 1$
$3x - x^2 \geq 2$
$x^2 - 3x + 2 \leq 0$
$(x - 1)(x - 2) \leq 0$
यह असमिका $x \in [1, 2]$ के लिए सत्य है।
इसके अतिरिक्त,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$\frac{3x - x^2}{2} > 0$
$x(3 - x) > 0$
$x(x - 3) < 0$
यह $x \in (0, 3)$ के लिए सत्य है।
$x \in [1, 2]$ और $x \in (0, 3)$ का सर्वनिष्ठ $x \in [1, 2]$ है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x+1}}$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन करना आवश्यक है:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए: $\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x+1} \geq 0$.
$2$. हर में $\sqrt{x}$ होने के कारण $x > 0$ होना आवश्यक है।
$3$. $\sqrt{x+1}$ के लिए $x+1 \geq 0$ अर्थात $x \geq -1$ होना चाहिए।
इन सभी शर्तों को मिलाने पर,हमें $x > 0$ प्राप्त होता है।
अब,असमिका को हल करें: $\frac{1}{\sqrt{x}} \geq \sqrt{x+1}$.
चूँकि $x > 0$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{x} \geq x+1$.
$1 \geq x^2 + x \implies x^2 + x - 1 \leq 0$.
$x^2 + x - 1 = 0$ के मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $x^2 + x - 1 \leq 0$ के लिए $x \in \left[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$.
इसे $x > 0$ के साथ प्रतिच्छेद करने पर,हमें $x \in \left(0, \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$ प्राप्त होता है।

(B) $f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $\frac{1-|x|}{2-|x|} \geq 0$.
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{|x|-1}{|x|-2} \leq 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = |x|$। तो $\frac{t-1}{t-2} \leq 0$।
चूंकि $t = |x| \geq 0$,क्रांतिक बिंदु $t=1$ और $t=2$ हैं।
असमानता $1 \leq t < 2$ के लिए सत्य है।
अतः,$1 \leq |x| < 2$।
मूल व्यंजक के लिए,स्थिति $1$: $1-|x| \geq 0$ और $2-|x| > 0 \Rightarrow |x| \leq 1$ और $|x| < 2$ $\Rightarrow |x| \leq 1$ $\Rightarrow x \in [-1, 1]$।
स्थिति $2$: $1-|x| \leq 0$ और $2-|x| < 0 \Rightarrow |x| \geq 1$ और $|x| > 2$ $\Rightarrow |x| > 2$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \left[ \frac{1}{[x]} \right]$ के रूप में परिभाषित है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,हर $[x] \neq 0$ होना चाहिए।
अतः,$[x] \neq 0$,जिसका अर्थ है $x < 0$ या $x \geq 1$।
इसलिए,प्रांत $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ है।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = [1/1] = 1$।
$x \in [2, \infty)$ के लिए,$[x] \geq 2$,इसलिए $0 < 1/[x] \leq 0.5$,जिसका अर्थ है $f(x) = [1/[x]] = 0$।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $f(x) = [1/(-1)] = -1$।
$x \in [-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,इसलिए $f(x) = [1/(-2)] = [-0.5] = -1$।
अतः,परिसर $\{-1, 0, 1\}$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{1 + \log_{e}(1 - x)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
$1$. लघुगणक के लिए शर्त: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$2$. वर्गमूल के लिए शर्त: $1 + \log_{e}(1 - x) \geq 0$.
$\log_{e}(1 - x) \geq -1$.
दोनों पक्षों में $e$ आधार लेने पर:
$1 - x \geq e^{-1}$.
$1 - x \geq \frac{1}{e}$.
$x \leq 1 - \frac{1}{e}$.
$x \leq \frac{e - 1}{e}$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x < 1$ और $x \leq \frac{e - 1}{e}$.
चूंकि $\frac{e - 1}{e} < 1$,इसलिए प्रांत $-\infty < x \leq \frac{e - 1}{e}$ है।

(A) मान लीजिए $y = \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+x+4)$ से गुणा करने पर,$y(x^2+x+4) = x^2-x+4$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(y-1)x^2 + (y+1)x + (4y-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$.
$(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$((y+1) - 4(y-1))((y+1) + 4(y-1)) \geq 0$.
$(y+1-4y+4)(y+1+4y-4) \geq 0$.
$(5-3y)(5y-3) \geq 0$.
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $(3y-5)(5y-3) \leq 0$.
मूल $y = \frac{5}{3}$ और $y = \frac{3}{5}$ हैं।
अतः,परिसर $y \in [\frac{3}{5}, \frac{5}{3}]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x^2 + 1$ है।
हमें समुच्चय $f^{-1}([1, 6])$ ज्ञात करना है,जिसमें वे सभी $x$ शामिल हैं जिनके लिए $f(x) \in [1, 6]$ है।
अतः,$1 \le 3x^2 + 1 \le 6$.
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $0 \le 3x^2 \le 5$.
$3$ से भाग देने पर: $0 \le x^2 \le \frac{5}{3}$.
वर्गमूल लेने पर: $-\sqrt{\frac{5}{3}} \le x \le \sqrt{\frac{5}{3}}$.
अतः,समुच्चय $[ -\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}} ]$ है।

(C) दिया गया फलन $y=3 \sin \left(\sqrt{\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2}}\right)$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,$\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2} \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^{2} \leq \frac{\pi^{2}}{16}$,अतः $x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$।
माना $u = \sqrt{\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2}}$। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\frac{\pi}{4}$ तक बदलता है,$u$,$\frac{\pi}{4}$ से $0$ तक बदलता है।
अतः,$u$ का परिसर $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ है।
अब,$y = 3 \sin(u)$। चूँकि $u \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$,$\sin(u)$,$\sin(0) = 0$ से $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ तक बदलता है।
इसलिए,$y$,$3 \times 0 = 0$ से $3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ तक बदलता है।
अतः,फलन का परिसर $\left[0, \frac{3}{\sqrt{2}}\right]$ है।

(B) हम $x \neq \frac{n\pi}{2}$ के लिए विभिन्न चतुर्थांशों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x \in (0, \pi/2)$ के लिए,$\sin x > 0, \cos x > 0, \tan x > 0, \cot x > 0 \Rightarrow f(x) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
$2$. $x \in (\pi/2, \pi)$ के लिए,$\sin x > 0, \cos x < 0, \tan x < 0, \cot x < 0 \Rightarrow f(x) = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.
$3$. $x \in (\pi, 3\pi/2)$ के लिए,$\sin x < 0, \cos x < 0, \tan x > 0, \cot x > 0 \Rightarrow f(x) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$.
$4$. $x \in (3\pi/2, 2\pi)$ के लिए,$\sin x < 0, \cos x > 0, \tan x < 0, \cot x < 0 \Rightarrow f(x) = -1 + 1 - 1 - 1 = -2$.
अतः,$f(x)$ का परिसर $\{-2, 0, 4\}$ है।
परिसर के अवयवों का योग $-2 + 0 + 4 = 2$ है।

(D) फलन $f(x) = \log_{g(x)}h(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$h(x) > 0$,$g(x) > 0$ और $g(x) \neq 1$ होना चाहिए।
चरण $1$: $h(x) = 18x^2 - 11x + 1 > 0 \implies (2x-1)(9x-1) > 0 \implies x < \frac{1}{9}$ या $x > \frac{1}{2}$।
चरण $2$: $g(x) = 10x^2 - 17x + 7 > 0 \implies (x-1)(10x-7) > 0 \implies x < \frac{7}{10}$ या $x > 1$।
चरण $3$: $g(x) \neq 1 \implies 10x^2 - 17x + 6 \neq 0 \implies (2x-1)(5x-6) \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}, x \neq \frac{6}{5}$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{7}{10}) \cup (1, \infty) - \{\frac{6}{5}\}$।
$(-\infty, a) \cup (b, c) \cup (d, \infty) - \{e\}$ से तुलना करने पर,$a = \frac{1}{9}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{7}{10}, d = 1, e = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $90(a+b+c+d+e) = 90(\frac{1}{9} + \frac{1}{2} + \frac{7}{10} + 1 + \frac{6}{5}) = 10 + 45 + 63 + 90 + 108 = 316$।

(C) प्रथम पद $\log_3 \log_5 (7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85))$ के लिए,हमें $\log_5 (7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85)) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $7 - \log_2 (x^2 - 10 x + 85) > 1$,इसलिए $\log_2 (x^2 - 10 x + 85) < 6$। इससे $x^2 - 10 x + 85 < 2^6 = 64$ प्राप्त होता है,अर्थात $x^2 - 10 x + 21 < 0$। गुणनखंड करने पर $(x - 3)(x - 7) < 0$ मिलता है,इसलिए $x \in (3, 7)$।
दूसरे पद $\sin^{-1} ( | \frac{3 x - 7}{17 - x} | )$ के लिए,हमें $0 \leq | \frac{3 x - 7}{17 - x} | \leq 1$ की आवश्यकता है। शर्त $| \frac{3 x - 7}{17 - x} | \leq 1$ का अर्थ है $(3x - 7)^2 \leq (17 - x)^2$,इसलिए $9x^2 - 42x + 49 \leq 289 - 34x + x^2$। इसे सरल करने पर $8x^2 - 8x - 240 \leq 0$,या $x^2 - x - 30 \leq 0$ प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर $(x - 6)(x + 5) \leq 0$ मिलता है,इसलिए $x \in [-5, 6]$।
प्रांतों $(3, 7)$ और $[-5, 6]$ को मिलाने पर,हमें $x \in (3, 6]$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 3$ और $\beta = 6$।
इसलिए,$\alpha + \beta = 3 + 6 = 9$।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\log_{0.6} (\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right|)}$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $\log_{0.6} (\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right|) \ge 0$ होना चाहिए।
चूंकि आधार $0.6 < 1$ है,इसलिए असमिका उलट जाती है: $0 < \left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| \le (0.6)^0 = 1$.
पहला,$\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| > 0$ का अर्थ है $x \ne 2, -2, 2.5$.
दूसरा,$\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right| \le 1$ का अर्थ है $\left( \frac{2x-5}{x^2-4} \right)^2 \le 1$,या $\frac{(2x-5)^2 - (x^2-4)^2}{(x^2-4)^2} \le 0$.
यह सरल होकर $\frac{(2x-5-x^2+4)(2x-5+x^2-4)}{(x^2-4)^2} \le 0$ हो जाता है,जो $\frac{(-x^2+2x-1)(x^2+2x-9)}{(x^2-4)^2} \le 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(x-1)^2(x^2+2x-9)}{(x^2-4)^2} \ge 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x-1)^2 \ge 0$ और $(x^2-4)^2 > 0$ है,इसलिए हमें $x^2+2x-9 \ge 0$ या $x=1$ की आवश्यकता है।
$x^2+2x-9=0$ के मूल $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+36}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$ हैं।
अतः,$x \in (-\infty, -1-\sqrt{10}] \cup [-1+\sqrt{10}, \infty)$ या $x=1$.
$(-\infty, a] \cup \{b\} \cup [c, d) \cup (e, \infty)$ के साथ तुलना करने पर,$a = -1-\sqrt{10}$,$b = 1$,$c = -1+\sqrt{10}$ प्राप्त होता है। स्थिरांकों का योग $5$ है।