Domain and Range Questions in Hindi

(D) फलन $f(x) = \frac{\sin \pi[x]}{1+[x]} + \frac{x}{2+3x}$ है।
प्रथम पद के लिए,हर $1+[x] \neq 0$,जिसका अर्थ है $[x] \neq -1$। चूँकि $x \in [-1, 0)$ के लिए $[x] = -1$ होता है,इसलिए हमें इस अंतराल को प्रांत से बाहर करना होगा।
दूसरे पद के लिए,हर $2+3x \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq -\frac{2}{3}$। चूँकि $-\frac{2}{3} \in [-1, 0)$,यह पहले से ही बाहर है।
अतः,प्रांत $D(f) = R - [-1, 0)$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{|x|-x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$|x| - x \geq 0$
$|x| \geq x$
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,निरपेक्ष मान $|x|$ हमेशा $x$ से बड़ा या उसके बराबर होता है (अर्थात,$|x| \geq x$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है)।
यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $x - x = 0 \geq 0$।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $-x - x = -2x > 0$ (चूंकि $x$ ऋणात्मक है)।
अतः,यह असमिका सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है।
इसलिए,प्रांत $(-\infty, \infty)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sin \left(\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}\right)$ है।
प्रांत के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए: $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 > 1$,अतः $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$,या $x \in R - [-1, 1]$।
हर शून्य नहीं होना चाहिए: $|x| \sqrt{x^2 - 1} \neq 0$,जो $R - [-1, 1]$ के सभी $x$ के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $R - [-1, 1]$ है।
जैसे-जैसे $x$ अपने प्रांत में बदलता है,तर्क $\theta = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}$ का मान $(0, \infty)$ में कुछ भी हो सकता है,इसलिए $\sin(\theta)$ फलन $-1$ और $1$ के बीच दोलन करेगा।
अतः,परिसर $[-1, 1]$ है।

(D) फलन $f(x) = \log \{ax^3 + (a+b)x^2 + (b+c)x + c\}$ है।
लघुगणक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$ax^3 + ax^2 + bx^2 + bx + cx + c = (ax^2 + bx + c)(x+1)$.
चूंकि $b^2 = 4ac$,द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c = a(x + \frac{b}{2a})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$f(x) = \log \{a(x + \frac{b}{2a})^2(x+1)\}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$a(x + \frac{b}{2a})^2(x+1) > 0$.
चूंकि $a > 0$,पद $a(x + \frac{b}{2a})^2 \geq 0$ है। यह $x = -\frac{b}{2a}$ पर $0$ होता है।
इसलिए,हमें $x+1 > 0$ और $x \neq -\frac{b}{2a}$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $x > -1$ और $x \neq -\frac{b}{2a}$।
प्रांत $D = (-1, \infty) - \{-\frac{b}{2a}\}$ है।
यह $R - (\{-\frac{b}{2a}\} \cup (-\infty, -1])$ के बराबर है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}$ को परिभाषित होने के लिए,$\frac{4-x^2}{[x]+2} \geq 0$ और $[x]+2 \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\frac{x^2-4}{[x]+2} \leq 0$ और $[x] \neq -2$.
स्थिति $1$: $x^2-4 \geq 0$ और $[x]+2 < 0$.
$x^2 \geq 4 \Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
$[x] < -2 \Rightarrow x < -2$.
सर्वनिष्ठ: $x \in (-\infty, -2)$.
स्थिति $2$: $x^2-4 \leq 0$ और $[x]+2 > 0$.
$x^2 \leq 4 \Rightarrow x \in [-2, 2]$.
$[x] > -2 \Rightarrow x \geq -1$.
सर्वनिष्ठ: $x \in [-1, 2]$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [-1, 2]$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ के वास्तविक मान फलन के रूप में परिभाषित होने के लिए,आधार को $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए धनात्मक होना चाहिए।
हमें $1 + \frac{1}{x} > 0$ की आवश्यकता है।
यह $\frac{x + 1}{x} > 0$ में सरल हो जाता है।
क्रांतिक बिंदुओं $x = -1$ और $x = 0$ के लिए साइन स्कीम (वेवी कर्व विधि) का उपयोग करने पर:
$x < -1$ के लिए,$\frac{x+1}{x} > 0$ है।
$-1 < x < 0$ के लिए,$\frac{x+1}{x} < 0$ है।
$x > 0$ के लिए,$\frac{x+1}{x} > 0$ है।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{\sin([x]\pi) + \tan([x]\pi)}{1 + [x]^2 + [x]^4}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए परिभाषित है।
अतः,फलन का प्रांत $R$ है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$[x] = n$,जहाँ $n \in Z$ है।
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \frac{\sin(n\pi) + \tan(n\pi)}{1 + n^2 + n^4}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$\sin(n\pi) = 0$ और $\tan(n\pi) = 0$ होता है।
इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = \frac{0 + 0}{1 + n^2 + n^4} = 0$ होता है।
चूंकि फलन का मान हमेशा $0$ है,इसलिए फलन का परिसर एकल समुच्चय $\{0\}$ है।
अतः,प्रांत $R$ है और परिसर $\{0\}$ है।

(D) हमारे पास $f(x) = \sqrt{\log_{0.5} x!}$ है।
$f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$\log_{0.5} x! \geq 0$.
चूंकि लघुगणक का आधार $0.5$ है (जो $0$ और $1$ के बीच है),इसलिए लघुगणक को हटाने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$x! \leq (0.5)^0$.
$x! \leq 1$.
क्रमगुणित (factorial) $x!$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $x$ के लिए परिभाषित है। हम मानों की जाँच करते हैं:
$x = 0$ के लिए,$0! = 1 \leq 1$ (सत्य)।
$x = 1$ के लिए,$1! = 1 \leq 1$ (सत्य)।
$x = 2$ के लिए,$2! = 2 \not\leq 1$ (असत्य)।
अतः,फलन का प्रांत $\{0, 1\}$ है।

(B) फलन $f(x) = \cos x - 3$ है।
चूंकि $\cos x$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है,इसलिए $f(x)$ का प्रांत $R$ है।
हम जानते हैं कि $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
अतः,$-1 \leq \cos x \leq 1$.
सभी भागों से $3$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-1 - 3 \leq \cos x - 3 \leq 1 - 3$.
$-4 \leq f(x) \leq -2$.
इस प्रकार,परिसर $[-4, -2]$ है।
अतः,प्रांत $R$ है और परिसर $[-4, -2]$ है।

(C) फलन $f(x)$ का परिसर $B$ ज्ञात करने के लिए,हम दो अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $-1 \leq x \leq 1$ के लिए,$f(x) = 1-x$. जैसे-जैसे $x$,$-1$ से $1$ तक बदलता है,$f(x)$,$1-(-1) = 2$ से $1-1 = 0$ तक बदलता है। अतः,परिसर $[0, 2]$ है।
$2$. $1 < x \leq 2$ के लिए,$f(x) = x-1$. जैसे-जैसे $x$,$1$ से $2$ तक बदलता है,$f(x)$,$1-1 = 0$ से $2-1 = 1$ तक बदलता है। अतः,परिसर $(0, 1]$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,फलन का कुल परिसर $[0, 2] \cup (0, 1] = [0, 2]$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन एक आच्छादक है,इसलिए सह-प्रांत $B$ परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$B = [0, 2]$.

(A) फलन $f(x) = -3x - 3$ द्वारा दिया गया है।
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = y$ रखते हैं और $x$ के लिए हल करते हैं:
$y = -3x - 3$
$y + 3 = -3x$
$x = \frac{y + 3}{-3} = -\frac{y}{3} - 1$.
दिए गए परिसर के मानों $y \in \{3, -6, -9, -18\}$ के लिए,हम संगत प्रांत के मान $x$ की गणना करते हैं:
$y = 3$ के लिए,$x = -\frac{3}{3} - 1 = -2$.
$y = -6$ के लिए,$x = -\frac{-6}{3} - 1 = 1$.
$y = -9$ के लिए,$x = -\frac{-9}{3} - 1 = 2$.
$y = -18$ के लिए,$x = -\frac{-18}{3} - 1 = 5$.
प्रांत $\{-2, 1, 2, 5\}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-1$ प्रांत में नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x - 1$ है।
हम व्यंजक को $f(x) = 2(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $2 \times [-1, 1] - 1 = [-2, 1] - 1 = [-3, 1]$ होगा।
फलन $f$ के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $A$ को फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$A = [-3, 1]$।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 13x + 15}$.
अंश और हर का गुणनखंड करने पर: $f(x) = \frac{(x+5)(x-3)}{(2x+3)(x+5)}$.
$x \neq -5$ के लिए,$f(x) = \frac{x-3}{2x+3}$.
माना $y = \frac{x-3}{2x+3}$.
$y(2x+3) = x-3$ $\Rightarrow 2xy + 3y = x - 3$ $\Rightarrow x(2y-1) = -3y - 3$.
$x = \frac{-3y-3}{2y-1}$.
चूंकि $x$ परिभाषित है,$2y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{2}$.
साथ ही,$x \neq -5 \Rightarrow \frac{-3y-3}{2y-1} \neq -5$.
$-3y-3 \neq -10y + 5$ $\Rightarrow 7y \neq 8$ $\Rightarrow y \neq \frac{8}{7}$.
अतः,परिसर $R - \left\{\frac{1}{2}, \frac{8}{7}\right\}$ है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$a \sin x + b \cos x$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
$3 \sin x + 4 \cos x$ के लिए,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए इसका परिसर $[-5, 5]$ है।
सभी भागों में $10$ जोड़ने पर,$-5 + 10 \leq 3 \sin x + 4 \cos x + 10 \leq 5 + 10$,जो $5 \leq 3 \sin x + 4 \cos x + 10 \leq 15$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,असमिका उलट जाती है: $\frac{1}{15} \leq \frac{1}{3 \sin x + 4 \cos x + 10} \leq \frac{1}{5}$।
$15$ से गुणा करने पर,$1 \leq \frac{15}{3 \sin x + 4 \cos x + 10} \leq 3$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का परिसर $[1, 3]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 3x-1, & x > 1 \\ x^2+1, & x \leq 1 \end{cases}$ है।
$1$. प्रांत $A$ सभी संभावित $x$ मानों का समुच्चय है। चूंकि फलन $x > 1$ और $x \leq 1$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $A = (-\infty, 1] \cup (1, \infty) = (-\infty, \infty) = R$.
$2$. परिसर $B$ ज्ञात करने के लिए,हम फलन के दो भागों का विश्लेषण करते हैं:
$x > 1$ के लिए,$f(x) = 3x - 1$. जैसे $x \to 1^+$,$f(x) \to 2$. अतः,$f(x) \in (2, \infty)$.
$x \leq 1$ के लिए,$f(x) = x^2 + 1$. न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है,जहाँ $f(0) = 1$. जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$. अतः,$f(x) \in [1, \infty)$.
$3$. परिसर $B$ इन अंतरालों का संघ है: $B = (2, \infty) \cup [1, \infty) = [1, \infty)$.
$4$. अंत में,$A - B = R - [1, \infty) = (-\infty, 1)$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ है।
फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए:
$9 - x^2 \geq 0$
$x^2 \leq 9$
$-3 \leq x \leq 3$
चूंकि $x^2$ का मान $0$ से $9$ के बीच है,इसलिए $9 - x^2$ का मान $9 - 9 = 0$ से $9 - 0 = 9$ के बीच होगा।
अतः,$\sqrt{9 - x^2}$ का मान $\sqrt{0}$ से $\sqrt{9}$ अर्थात $0$ से $3$ के बीच होगा।
इस प्रकार,फलन का परिसर $[0, 3]$ है।

(C) $x > 3$ के लिए,$f(x) = 4x - 1$। चूँकि $x > 3$,$4x > 12$,इसलिए $4x - 1 > 11$। अतः,इस भाग का परिसर $(11, \infty)$ है।
$-2 \leq x \leq 3$ के लिए,$f(x) = x^2 - 2$। न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है,$f(0) = -2$। अधिकतम मान $x = 3$ पर प्राप्त होता है,$f(3) = 7$। अतः,इस भाग का परिसर $[-2, 7]$ है।
$x < -2$ के लिए,$f(x) = 3x + 4$। चूँकि $x < -2$,$3x < -6$,इसलिए $3x + 4 < -2$। अतः,इस भाग का परिसर $(-\infty, -2)$ है।
इन अंतरालों को मिलाने पर: $(-\infty, -2) \cup [-2, 7] \cup (11, \infty) = (-\infty, 7] \cup (11, \infty)$।
इसे $R - (7, 11]$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\frac{x^2+2x+8}{x^2+2x+4}}$
$= \sqrt{\frac{(x^2+2x+4)+4}{x^2+2x+4}} = \sqrt{1 + \frac{4}{(x+1)^2+3}}$
चूंकि $(x+1)^2 \geq 0$,इसलिए $(x+1)^2+3 \geq 3$ होगा।
अतः,$0 < \frac{4}{(x+1)^2+3} \leq \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,$1 < 1 + \frac{4}{(x+1)^2+3} \leq 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$1 < \sqrt{1 + \frac{4}{(x+1)^2+3}} \leq \sqrt{\frac{7}{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $\left(1, \sqrt{\frac{7}{3}}\right]$ है।

(D) माना $y = \frac{x^2+x+1}{x}$.
$yx = x^2 + x + 1$
$x^2 + (1-y)x + 1 = 0$.
चूंकि $f(x)$ एक वास्तविक मान वाला फलन है,इसलिए $x$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।
अतः,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$(1-y)^2 - 4(1)(1) \geq 0$
$1 + y^2 - 2y - 4 \geq 0$
$y^2 - 2y - 3 \geq 0$
$(y-3)(y+1) \geq 0$.
असमिका को हल करने पर,हमें $y \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.
$y(x^2-x+1) = x^2+x+1$
$yx^2 - yx + y = x^2 + x + 1$
$(y-1)x^2 - (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(y-1) \geq 0$
$(y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0$
$(y+1 - 2(y-1))(y+1 + 2(y-1)) \geq 0$
$(3-y)(3y-1) \geq 0$
$(y-3)(3y-1) \leq 0$.
यह असमिका $y \in \left[\frac{1}{3}, 3\right]$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{x}{x^2 - 5x + 9} = y$.
चूंकि $x^2 - 5x + 9$ का विविक्तकर (discriminant) $D = (-5)^2 - 4(1)(9) = 25 - 36 = -11 < 0$ है,इसलिए हर हमेशा धनात्मक रहेगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y(x^2 - 5x + 9) = x \Rightarrow yx^2 - (5y + 1)x + 9y = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (-(5y + 1))^2 - 4(y)(9y) \geq 0$
$(5y + 1)^2 - 36y^2 \geq 0$
$25y^2 + 10y + 1 - 36y^2 \geq 0$
$-11y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$11y^2 - 10y - 1 \leq 0$
गुणनखंड करने पर: $(11y + 1)(y - 1) \leq 0$.
क्रांतिक बिंदु $y = -\frac{1}{11}$ और $y = 1$ हैं।
अतः,परिसर $y \in \left[-\frac{1}{11}, 1\right]$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{[x]-1}$ है।
फलन $f(x)$ तब अपरिभाषित होता है जब हर (denominator) शून्य हो,अर्थात $[x] - 1 = 0$ हो।
इसका अर्थ है $[x] = 1$।
महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = 1$ अंतराल $[1, 2)$ में स्थित सभी $x$ के मानों के लिए होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत अंतराल $[1, 2)$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जिसे $R - [1, 2)$ के रूप में लिखा जाता है।

(B) दिया गया है $f(x) = -\sqrt{5-6x-x^2}$.
सबसे पहले,$5-6x-x^2 \geq 0$ को हल करके प्रांत (domain) ज्ञात करते हैं।
$x^2+6x-5 \leq 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x+3)^2 - 14 \leq 0 \Rightarrow (x+3)^2 \leq 14$.
अतः,$-\sqrt{14} \leq x+3 \leq \sqrt{14}$,जिसका अर्थ है $x \in [-3-\sqrt{14}, -3+\sqrt{14}]$.
अब,मान लीजिए $y = f(x) = -\sqrt{14-(x+3)^2}$.
चूंकि $(x+3)^2 \geq 0$,$14-(x+3)^2$ का अधिकतम मान $14$ है ($x=-3$ पर)।
अतः,$\sqrt{14-(x+3)^2}$ का अधिकतम मान $\sqrt{14}$ है।
चूंकि $y = -\sqrt{14-(x+3)^2}$,न्यूनतम मान $-\sqrt{14}$ ($x=-3$ पर) और अधिकतम मान $0$ है (जब $14-(x+3)^2 = 0$ हो)।
अतः,परिसर $[-\sqrt{14}, 0]$ है।

(B) फलन $h(x) = \frac{x-2}{x+3}$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,माना $h(x) = y$ है।
$y = \frac{x-2}{x+3}$ रखें।
दोनों पक्षों को $(x+3)$ से गुणा करने पर:
$y(x+3) = x-2$
$xy + 3y = x - 2$
$x$ के लिए हल करने पर:
$xy - x = -3y - 2$
$x(y-1) = -(3y + 2)$
$x = \frac{3y+2}{1-y}$ प्राप्त होता है।
$x$ को परिभाषित होने के लिए हर (denominator) $1-y \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \neq 1$।
अतः,फलन का परिसर $1$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जो $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$ है।

(B) माना $y = \frac{x+2}{2x^2+3x+6}$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,हमारे पास $2yx^2 + 3xy + 6y = x + 2$ है,जो $2yx^2 + (3y-1)x + (6y-2) = 0$ में सरल हो जाता है।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (3y-1)^2 - 4(2y)(6y-2) \geq 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \geq 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \geq 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(13y+1)(3y-1) \leq 0$.
इससे परिसर $y \in [-\frac{1}{13}, \frac{1}{3}]$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = -\frac{1}{13}$ और $b = \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $a < 0$ और $b > 0$,सही विकल्प $B$ है।

(B) फलन को $f(x) = \operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^x + e^{-x} \geq 2$ होता है,जहाँ न्यूनतम मान $2$ पर $x = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $0 < \frac{2}{e^x + e^{-x}} \leq \frac{2}{2} = 1$ है।
अतः,फलन का अधिकतम मान $1$ है और जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$ होता है,यह $0$ के करीब पहुँचता है।
इसलिए,फलन का परिसर $(0, 1]$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^6}{x^6+2020}$ है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^6 \ge 0$ है,$f(x)$ का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है,जो $f(0) = \frac{0}{0+2020} = 0$ है।
जैसे $x \rightarrow \pm \infty$,$f(x) = \frac{1}{1 + \frac{2020}{x^6}} \rightarrow \frac{1}{1+0} = 1$ होता है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^6 < x^6 + 2020$ है,इसलिए भिन्न का मान हमेशा $1$ से कम रहता है।
अतः,$f$ का परिसर $[0, 1)$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना $y = x^2 + \frac{1}{x^2+1}$.
माना $t = x^2$. चूँकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए $t \geq 0$.
तब $y = t + \frac{1}{t+1} = (t+1) + \frac{1}{t+1} - 1$.
चूँकि $t \geq 0$,इसलिए $t+1 \geq 1$.
$t+1$ और $\frac{1}{t+1}$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(t+1) + \frac{1}{t+1}}{2} \geq \sqrt{(t+1) \cdot \frac{1}{t+1}} = 1$.
अतः,$(t+1) + \frac{1}{t+1} \geq 2$.
इसलिए,$y = (t+1) + \frac{1}{t+1} - 1 \geq 2 - 1 = 1$.
न्यूनतम मान $t=0$ (अर्थात $x=0$) पर प्राप्त होता है,जहाँ $f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} = 1$.
अतः,फलन का परिसर $[1, \infty)$ है.

(C) चूँकि $f(x) = \frac{|x+2|}{x+2}, x \neq -2$,हमें $x > -2$ के लिए $f(x) = 1$ और $x < -2$ के लिए $f(x) = -1$ प्राप्त होता है। अतः,परिसर $\{-1, 1\}$ है।
$(B)$ चूँकि $g(x) = |[x]|$,और $[x]$ एक पूर्णांक है,इसलिए $|[x]|$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है,जो $W$ समुच्चय है।
$(C)$ चूँकि $h(x) = |x - [x]| = |\{x\}|$,और भिन्नात्मक भाग $\{x\} \in [0, 1)$,इसलिए परिसर $[0, 1)$ है।
$(D)$ चूँकि $-1 \leq \sin 3x \leq 1$,हमें $1 \leq 2 - \sin 3x \leq 3$ प्राप्त होता है। व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \sin 3x} \leq 1$। अतः,परिसर $[\frac{1}{3}, 1]$ है।
परिणामों का मिलान करने पर: $A-5, B-3, C-4, D-1$।

(C) माना $y = \frac{x}{x^2-5x+9}$.
$y(x^2-5x+9) = x$
$yx^2 - (5y+1)x + 9y = 0$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (-(5y+1))^2 - 4(y)(9y) \geq 0$
$25y^2 + 10y + 1 - 36y^2 \geq 0$
$-11y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$11y^2 - 10y - 1 \leq 0$
$(11y+1)(y-1) \leq 0$.
अतः,परिसर $y \in \left[-\frac{1}{11}, 1\right]$ है।

(B) $f(x) = \sqrt{\frac{x-|x|}{x-[x]}}$ के परिभाषित होने के लिए,$\frac{x-|x|}{x-[x]} \geq 0$ और $x - [x] \neq 0$ होना आवश्यक है।
चूंकि $x - |x| \geq 0$ होता है,इसलिए अंश हमेशा गैर-ऋणात्मक है।
फलन के परिभाषित होने के लिए $x - [x] > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \notin Z$।
अतः,$D = R - Z$।
अब,$g(x) = \frac{2x}{4+x^2}$ के लिए,$y = \frac{2x}{4+x^2}$ लें।
$yx^2 - 2x + 4y = 0$। $x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D_x = (-2)^2 - 4(y)(4y) \geq 0$।
$4 - 16y^2 \geq 0 \implies y^2 \leq \frac{1}{4} \implies y \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$।
अतः,परिसर $C = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है।
$D \cap C = (R - Z) \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] - \{0\}$।
इसलिए,$D \cap C = [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(0, \frac{1}{2}]$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{\frac{a-|x|}{(a+1)-|x|}}, (a > 0)$ है।
चूँकि $f(x) \geq 0$,मान लीजिए $y^2 = \frac{a-|x|}{(a+1)-|x|}$ जहाँ $y \geq 0$ है।
तब $y^2((a+1)-|x|) = a-|x|$.
$y^2(a+1) - y^2|x| = a - |x|$.
$|x|(1 - y^2) = a - y^2(a+1)$.
$|x| = \frac{a - y^2(a+1)}{1 - y^2} = \frac{y^2(a+1) - a}{y^2 - 1}$.
चूँकि $|x| \geq 0$,इसलिए $\frac{y^2(a+1) - a}{y^2 - 1} \geq 0$ है।
असमिका को हल करने पर,$y^2 \in [0, \frac{a}{a+1}] \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः परिसर $[0, \sqrt{\frac{a}{a+1}}] \cup (1, \infty)$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ को $x = [x] + \{x\}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक भाग है और $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग है,जिसमें $0 \leq \{x\} < 1$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x = 2[x] + 2\{x\}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का महत्तम पूर्णांक लेने पर,$[2x] = [2[x] + 2\{x\}] = 2[x] + [2\{x\}]$ प्राप्त होता है।
अब,फलन $f(x) = [2x] - 2[x] = (2[x] + [2\{x\}]) - 2[x] = [2\{x\}]$ है।
चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,इसलिए $0 \leq 2\{x\} < 2$ होता है।
अतः,$\{x\}$ के अंतराल के आधार पर $[2\{x\}]$ के मान इस प्रकार हैं:
यदि $0 \leq \{x\} < \frac{1}{2}$,तो $0 \leq 2\{x\} < 1$,इसलिए $[2\{x\}] = 0$।
यदि $\frac{1}{2} \leq \{x\} < 1$,तो $1 \leq 2\{x\} < 2$,इसलिए $[2\{x\}] = 1$।
इस प्रकार,$f$ का परिसर $\{0, 1\}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{x^2+2x+2}$ है।
सबसे पहले,हर (denominator) का विश्लेषण करें: $x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $(x+1)^2 \ge 0$ है,इसलिए $(x+1)^2+1 \ge 1$ होगा।
अतः,हर का परिसर $[1, \infty)$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $0 < \frac{1}{(x+1)^2+1} \le 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $A$ को परिसर $(0, 1]$ के बराबर होना चाहिए।

(A) माना $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+7}$.
$y(x^2+2x+7) = x^2+2x+1$
$yx^2 + 2yx + 7y = x^2 + 2x + 1$
$(y-1)x^2 + 2(y-1)x + (7y-1) = 0$.
यदि $y=1$ है,तो $0x^2 + 0x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,$y \neq 1$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए:
$D = [2(y-1)]^2 - 4(y-1)(7y-1) \geq 0$
$4(y-1)^2 - 4(y-1)(7y-1) \geq 0$
$(y-1)[(y-1) - (7y-1)] \geq 0$
$(y-1)(-6y) \geq 0$
$6y(y-1) \leq 0$
इससे $y \in [0, 1]$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \neq 1$,इसलिए परिसर $[0, 1)$ है।

(A) दिया गया फलन $f: A \rightarrow R$ है जहाँ $A = \{-4, -2, -1, 0, 3, 5\}$ और $f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{यदि } x > 3 \\ x^2 + 1 & \text{यदि } -3 \leq x \leq 3 \\ 2x - 3 & \text{यदि } x < -3 \end{cases}$ है।
हम $A$ के प्रत्येक अवयव के लिए $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x = -4$ $(x < -3)$ के लिए: $f(-4) = 2(-4) - 3 = -11$.
$x = -2$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$.
$x = -1$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$.
$x = 0$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(0) = 0^2 + 1 = 1$.
$x = 3$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(3) = 3^2 + 1 = 10$.
$x = 5$ $(x > 3)$ के लिए: $f(5) = 3(5) - 1 = 14$.
अतः,$f$ का परिसर $\{-11, 5, 2, 1, 10, 14\}$ है।

(A) दिए गए फलनों के परिसर इस प्रकार हैं:
$1$. $f(x) = |x|$ के लिए,आउटपुट हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए परिसर $[0, \infty)$ है। अतः,$A-I$ या $A-III$।
$2$. $f(x) = x^2$ के लिए,आउटपुट हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए परिसर $[0, \infty)$ है। अतः,$B-I$ या $B-III$।
$3$. $f(x) = x^3$ के लिए,फलन सभी वास्तविक मानों को कवर करता है,इसलिए परिसर $\mathbb{R}$ है। अतः,$C-II$।
$4$. $f(x) = \text{sgn}(x)$ के लिए,सिग्नल फलन $x < 0$ के लिए $-1$,$x = 0$ के लिए $0$,और $x > 0$ के लिए $1$ देता है। इसलिए,परिसर $\{-1, 0, 1\}$ है। अतः,$D-IV$।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4-x^2}{4+x^2}$.
$f(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{4-x^2}{4+x^2}$.
$y(4+x^2) = 4-x^2 \implies 4y + yx^2 = 4-x^2 \implies x^2(y+1) = 4-4y$.
$x^2 = \frac{4(1-y)}{1+y}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $\frac{1-y}{1+y} \ge 0$,जिसका अर्थ है $y \in (-1, 1]$.
चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक है,$B$ को $f$ का परिसर होना चाहिए,अतः $B = (-1, 1]$.
$-4 \in A$ दिया गया है,अतः $f(-4) = \frac{4-(-4)^2}{4+(-4)^2} = \frac{4-16}{4+16} = \frac{-12}{20} = -0.6$.
चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक है,$A$ को ऐसा प्रांत होना चाहिए कि फलन एकैकी और आच्छादक हो। यदि $A = [-4, 0]$ लिया जाए,तो $f$ एक $[-4, 0]$ से $(-1, 1]$ तक का एकैकी-आच्छादक फलन है।
अतः $A = [-4, 0]$ और $B = (-1, 1]$.
$A \cap B = [-4, 0] \cap (-1, 1] = (-1, 0]$.

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\log_{10}\left(\frac{3-x}{x}\right)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
$1$. लघुगणक के लिए शर्त: $\frac{3-x}{x} > 0$.
इस असमिका को हल करने पर,हमें $x \in (0, 3)$ प्राप्त होता है।
$2$. वर्गमूल के लिए शर्त: $\log_{10}\left(\frac{3-x}{x}\right) \geq 0$.
इसका अर्थ है $\frac{3-x}{x} \geq 10^0$,अतः $\frac{3-x}{x} \geq 1$.
$\frac{3-x}{x} - 1 \geq 0 \implies \frac{3-x-x}{x} \geq 0 \implies \frac{3-2x}{x} \geq 0$.
$-1$ से गुणा करने पर (और असमिका को पलटने पर),हमें $\frac{2x-3}{x} \leq 0$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं। अंतरालों की जाँच करने पर,हमें $x \in (0, \frac{3}{2}]$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $(0, 3) \cap (0, \frac{3}{2}] = (0, \frac{3}{2}]$.
अतः,$f$ का प्रांत $\left(0, \frac{3}{2}\right]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{|x|-x} + \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$ है।
$f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए:
$|x| - x > 0 \Rightarrow |x| > x$.
यह असमिका सभी $x < 0$ के लिए सत्य है। अतः,प्रांत $A = (-\infty, 0)$ है।
अब,$x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ होता है।
फलन में मान रखने पर:
$f(x) = \sqrt{-x - x} + \frac{1}{\sqrt{-x - x}} = \sqrt{-2x} + \frac{1}{\sqrt{-2x}}$.
माना $t = \sqrt{-2x}$ है। चूँकि $x < 0$,इसलिए $-2x > 0$,अतः $t > 0$ है।
फलन $f(t) = t + \frac{1}{t}$ हो जाता है।
$t > 0$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{t + \frac{1}{t}}{2} \geq \sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 1 \Rightarrow t + \frac{1}{t} \geq 2$.
चूँकि $f(x)$ एक आच्छादक फलन है,सह-प्रांत $B$ को फलन के परिसर $[2, \infty)$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$A = (-\infty, 0)$ और $B = [2, \infty)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{64 - (0.5)^{24 + x - x^2}}}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$64 - (0.5)^{24 + x - x^2} > 0$
$64 > (0.5)^{24 + x - x^2}$
$2^6 > (2^{-1})^{24 + x - x^2}$
$2^6 > 2^{-(24 + x - x^2)}$
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$6 > -24 - x + x^2$
$x^2 - x - 30 < 0$
$(x - 6)(x + 5) < 0$
यह असमिका $x \in (-5, 6)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $A \subseteq Z$,समुच्चय $A$ में $-5$ और $6$ के बीच के पूर्णांक शामिल हैं,जो $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ हैं।
$A$ के तत्वों के निरपेक्ष मानों का योग है:
$|-4| + |-3| + |-2| + |-1| + |0| + |1| + |2| + |3| + |4| + |5|$
$= 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 25$.

(B) माना $y = \frac{x^2-5x+7}{x^2-5x-7}$.
माना $t = x^2-5x$. तब $y = \frac{t+7}{t-7}$.
चूंकि $x^2-5x = (x-2.5)^2 - 6.25$,$t$ का न्यूनतम मान $-6.25$ है। अतः $t \in [-6.25, \infty)$.
हमें प्राप्त होता है $y = 1 + \frac{14}{t-7}$.
$t \in [-6.25, \infty)$ के लिए,$t-7 \in [-13.25, \infty)$.
जैसे $t \to 7$,$y \to \pm \infty$. फलन $y=1$ को छोड़कर सभी मान ग्रहण करता है।
$t \in [-6.25, 7)$ के लिए,$t-7 \in [-13.25, 0)$,इसलिए $y \in (-\infty, -0.056]$.
इस परिसर में सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक $-1$ है।
$t \in (7, \infty)$ के लिए,$t-7 \in (0, \infty)$,इसलिए $y \in (1, \infty)$.
इस परिसर में सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $2$ है।
योग $-1 + 2 = 1$ है।

(B) दिया गया है,$f(x)=x^3+3x-2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x)=3x^2+3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in [2,3]$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) = 3x^2+3 \ge 3 > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[2,3]$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक वर्धमान फलन के लिए,परिसर $[f(2), f(3)]$ होता है।
$x=2$ पर,$f(2) = 2^3 + 3(2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12$।
$x=3$ पर,$f(3) = 3^3 + 3(3) - 2 = 27 + 9 - 2 = 34$।
इसलिए,$f(x)$ का परिसर $[12, 34]$ है।

(B) माना $y = \frac{x+3}{(x-1)(x+2)}$.
$(x-1)(x+2)y = x+3$
$y(x^2+x-2) = x+3$
$yx^2 + (y-1)x - (2y+3) = 0$.
चूंकि $x \in R$,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$:
$(y-1)^2 + 4y(2y+3) \geq 0$
$y^2 - 2y + 1 + 8y^2 + 12y \geq 0$
$9y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$(9y+1)(y+1) \geq 0$.
हल $y \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{9}, \infty)$ है।
अतः,परिसर $R - (-1, -\frac{1}{9})$ है।
$R - (\alpha, \beta)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -1$ और $\beta = -\frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $-x - \frac{1}{9}y + 1 = 0$ है,अर्थात $x + \frac{1}{9}y = 1$.
इसे $\frac{x}{1} + \frac{y}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंतःखंड $1$ और $9$ हैं।
अंतःखंडों का योग $1 + 9 = 10$ है।

(B) मान लीजिए $y = \frac{x+3}{x^2+x-2}$ है। तब $y(x^2+x-2) = x+3$,जिसका अर्थ है $yx^2 + (y-1)x - (2y+3) = 0$।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (y-1)^2 - 4(y)(-(2y+3)) = y^2 - 2y + 1 + 8y^2 + 12y = 9y^2 + 10y + 1 \geq 0$।
गुणनखंड करने पर,हमें $(9y+1)(y+1) \geq 0$ प्राप्त होता है।
इस असमिका का हल $y \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{9}, \infty)$ है।
अतः,परिसर $R - (-1, -\frac{1}{9})$ है।
$R - (\alpha, \beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -1$ और $\beta = -\frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $-x - \frac{1}{9}y + 1 = 0$ है,जो $x + \frac{1}{9}y = 1$ में सरल हो जाता है।
$x$-अंतःखंड $1$ है और $y$-अंतःखंड $9$ है।
अंतःखंडों का योग $1 + 9 = 10$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2+x+k}{x^2-x+k}$.
तब $y(x^2-x+k) = x^2+x+k$.
$x^2(y-1) - x(y+1) + k(y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(k(y-1)) \ge 0$.
$(y+1)^2 - 4k(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1)^2 \ge 4k(y-1)^2$.
परिसर $\left[\frac{1}{3}, 3\right]$ के लिए,सीमा मान $y = \frac{1}{3}$ और $y = 3$ को समीकरण $(y+1)^2 = 4k(y-1)^2$ को संतुष्ट करना चाहिए.
$y = 3$ रखने पर: $(3+1)^2 = 4k(3-1)^2 \implies 16 = 4k(4) \implies 16 = 16k \implies k = 1$.
$y = \frac{1}{3}$ के लिए जाँच: $(\frac{1}{3}+1)^2 = 4k(\frac{1}{3}-1)^2 \implies (\frac{4}{3})^2 = 4k(-\frac{2}{3})^2 \implies \frac{16}{9} = 4k(\frac{4}{9}) \implies \frac{16}{9} = \frac{16k}{9} \implies k = 1$.

(C) फलन $f: R \rightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,इसका परिसर इसके सह-प्रांत $[0, \frac{\pi}{2})$ के बराबर होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = \tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2)$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[\tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2 \text{ का न्यूनतम मान}), \frac{\pi}{2})$ होगा।
द्विघात व्यंजक $x^2 + x + \alpha^2$ का न्यूनतम मान $\frac{4(1)(\alpha^2) - (1)^2}{4(1)} = \alpha^2 - \frac{1}{4}$ है।
परिसर $0$ से शुरू हो,इसके लिए $\tan^{-1}(\alpha^2 - \frac{1}{4}) = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\alpha^2 - \frac{1}{4} = 0$,इसलिए $\alpha^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm \frac{1}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
अतः,$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x-1}{2-x}\right) > 0$.
चूंकि आधार $\frac{1}{3} < 1$ है,इसलिए असमिका उलट जाती है: $\frac{x-1}{2-x} < (\frac{1}{3})^0$,जिसका अर्थ है $\frac{x-1}{2-x} < 1$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $\frac{x-1}{2-x} - 1 < 0 \implies \frac{2x-3}{2-x} < 0$.
$-1$ से गुणा करने पर $\frac{2x-3}{x-2} > 0$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x = 1.5$ और $x = 2$ हैं।
अंतराल की जांच करने पर,असमिका $x \in (1, 1.5)$ के लिए सत्य है।
अतः,$a = 1$ और $b = 1.5$.
तब $2b = 2(1.5) = 3$.
चूंकि $a = 1$,इसलिए $a+2 = 1+2 = 3$.
अतः,$2b = a+2$.

(B) फलन $f(x) = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x})$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए और वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए।
$1$. $\sqrt{x^2+x}$ के लिए,$x^2+x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$. इससे $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
$2$. $\sqrt{x^2-x}$ के लिए,$x^2-x \ge 0 \implies x(x-1) \ge 0$. इससे $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ प्राप्त होता है।
$3$. इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \cup \{0\}$ है।
$4$. इसके अतिरिक्त,तर्क $\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x} > 0$ होना चाहिए।
$x=0$ पर,व्यंजक $\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$ हो जाता है,और $\log_{\sqrt{2}}(0)$ अपरिभाषित है।
अतः,हम $x=0$ को हटा देते हैं।
इस प्रकार,प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।