Domain and Range Questions in Hindi

(B) फलन $f(x) = \frac{x+2}{9-x^{2}}$ उन सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है जहाँ हर (denominator) शून्य न हो।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $9 - x^{2} = 0$।
इसका अर्थ है $x^{2} = 9$,जिससे $x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $x = 3$ और $x = -3$ पर अपरिभाषित है।
इसलिए,फलन का प्रांत $\{-3, 3\}$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,जिसे $R - \{-3, 3\}$ के रूप में लिखा जाता है।

(C) फलन $f(y) = \frac{\cos^{-1}(y-5)}{\sqrt{25-y^2}}$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए,इसलिए $-1 \leq y-5 \leq 1$। सभी पक्षों में $5$ जोड़ने पर $4 \leq y \leq 6$ प्राप्त होता है।
$2$. हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $25-y^2 > 0$,जिसका अर्थ है $y^2 < 25$,या $-5 < y < 5$।
$3$. दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर: $y \in [4, 6]$ और $y \in (-5, 5)$।
$4$. प्रतिच्छेदन $4 \leq y < 5$ है,जिसे अंतराल $[4, 5)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,प्रांत $[4, 5)$ है।

(C) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में $f(x) = \sqrt{x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंतर्गत व्यंजक का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए।
अतः,$x \geq 0$।
प्रांत सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,जिसे $[0, \infty)$ या $R^{+} \cup \{0\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : y = x + \frac{6}{x}, x, y \in N, x < 6\}$ है।
प्रत्येक $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ के लिए जाँच करते हैं कि क्या $y$ एक प्राकृतिक संख्या $(N)$ है:
$x = 1$ के लिए,$y = 1 + \frac{6}{1} = 7 \in N$.
$x = 2$ के लिए,$y = 2 + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5 \in N$.
$x = 3$ के लिए,$y = 3 + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \in N$.
$x = 4$ के लिए,$y = 4 + \frac{6}{4} = 4 + 1.5 = 5.5 \notin N$.
$x = 5$ के लिए,$y = 5 + \frac{6}{5} = 5 + 1.2 = 6.2 \notin N$.
अतः,संबंध $R = \{(1, 7), (2, 5), (3, 5)\}$ है।
प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है: $\{1, 2, 3\}$.
परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय है: $\{5, 7\}$.

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{x-2}{3-x}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $\frac{x-2}{3-x} \geq 0$।
इसका अर्थ है कि अंश और हर के चिह्न विपरीत होने चाहिए या अंश शून्य होना चाहिए।
विशेष रूप से,$x-2 \geq 0$ और $3-x > 0$।
$x-2 \geq 0$ से,हमें $x \geq 2$ प्राप्त होता है।
$3-x > 0$ से,हमें $x < 3$ प्राप्त होता है।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $2 \leq x < 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[2, 3)$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2+x+2}{x^2+x+1}$.
$y(x^2+x+1) = x^2+x+2$
$(y-1)x^2 + (y-1)x + (y-2) = 0$.
$x \in R$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (y-1)^2 - 4(y-1)(y-2) \geq 0$.
$(y-1)(-3y+7) \geq 0$.
$(y-1)(3y-7) \leq 0$.
अतः,$1 < y \leq \frac{7}{3}$.
चूंकि $x^2+x+1 > 0$,$y$ कभी भी $1$ नहीं हो सकता है।
इसलिए,परिसर $\left(1, \frac{7}{3}\right]$ है।

(B) माना $y = \frac{x^2}{x^2+1}$.
$y(x^2+1) = x^2$
$yx^2 + y = x^2$
$x^2(y-1) = -y$
$x^2 = \frac{y}{1-y}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$x^2 \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{y}{1-y} \geq 0$.
इसका अर्थ है कि $y(1-y) \geq 0$ और $y \neq 1$.
असमिका $y(y-1) \leq 0$ को हल करने पर,हमें $0 \leq y < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का परिसर $[0, 1)$ है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{10, 11, 12, 14, 26\}$ है।
प्रत्येक अवयव के लिए अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं:
$10 = 2 \times 5$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $5$ है।
$11 = 11$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $11$ है।
$12 = 2^2 \times 3$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
$14 = 2 \times 7$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $7$ है।
$26 = 2 \times 13$,अतः सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $13$ है।
इस प्रकार,$f$ का परिसर $\{3, 5, 7, 11, 13\}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3 + 2^x + 4^x$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $2^x > 0$,इसलिए $4^x = (2^x)^2 > 0$ होगा।
माना $t = 2^x$,जहाँ $t \in (0, \infty)$ है।
तब फलन $g(t) = 3 + t + t^2$ हो जाता है।
चूंकि $t > 0$,जैसे-जैसे $t \to 0^+$ होता है,$t + t^2$ का न्यूनतम मान $0$ की ओर अग्रसर होता है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,$t + t^2 \to \infty$ होता है।
अतः,$t > 0$ के लिए $t + t^2$ का परिसर $(0, \infty)$ है।
इस परिसर में $3$ जोड़ने पर,$f(x)$ का परिसर $(3 + 0, 3 + \infty) = (3, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $y = \frac{x-3}{5-x}$.
$y(5-x) = x-3$
$5y - xy = x - 3$
$5y + 3 = x + xy$
$5y + 3 = x(1+y)$
$x = \frac{5y+3}{1+y}$.
$x$ को परिभाषित होने के लिए हर $1+y \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \neq -1$.
अतः,फलन का परिसर $R - \{-1\}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ है।
चूंकि प्रांत $R-\{2\}$ है,हम $x \neq 2$ के लिए व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$.
चूंकि $x$,$2$ को छोड़कर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है,इसलिए $x+2$ का मान $2+2 = 4$ को छोड़कर कोई भी वास्तविक मान हो सकता है।
अतः,फलन का परिसर $R-\{4\}$ है।

(A) फलन $f(x)$ के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $A$ को $f(x)$ के परिसर (range) के बराबर होना चाहिए।
माना $y = \frac{x^2}{1-x^2}$ है।
$x^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y(1-x^2) = x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y - yx^2 = x^2$,अतः $y = x^2(1+y)$।
इस प्रकार,$x^2 = \frac{y}{1+y}$।
चूंकि $x^2 \geq 0$ और $x \neq \pm 1$,इसलिए $\frac{y}{1+y} \geq 0$ होना चाहिए और $x^2 \neq 1$ (जिसका अर्थ है $\frac{y}{1+y} \neq 1$,जो हमेशा सत्य है)।
असमिका $\frac{y}{1+y} \geq 0$ तब सत्य होती है जब $y \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ हो।
अतः,$f(x)$ का परिसर $(-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ है,जिसे $R - [-1, 0)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$A = R - [-1, 0)$।

(C) दिया गया समीकरण: $[x]^{2} - 5[x] + 6 = 0$ है।
माना $t = [x]$ है। तब समीकरण $t^{2} - 5t + 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 3)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 2$ या $t = 3$ मिलता है।
अतः,$[x] = 2$ या $[x] = 3$ है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार:
यदि $[x] = 2$ है,तो $x \in [2, 3)$ है।
यदि $[x] = 3$ है,तो $x \in [3, 4)$ है।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $[x]^2-5[x]+6=0$
माना $[x] = a$ है।
तब समीकरण $a^2 - 5a + 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a-2)(a-3) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $a = 2$ या $a = 3$ मिलता है।
$[x] = a$ वापस रखने पर,हमें $[x] = 2$ या $[x] = 3$ प्राप्त होता है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार:
यदि $[x] = 2$ है,तो $x \in [2, 3)$।
यदि $[x] = 3$ है,तो $x \in [3, 4)$।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 4x + 5$ है,जिसका प्रांत $(2, \infty)$ है।
हम पूर्ण वर्ग बनाकर फलन को फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
चूंकि प्रांत $x \in (2, \infty)$ है,इसलिए $x > 2$ होगा।
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,$x - 2 > 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 2)^2 > 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$(x - 2)^2 + 1 > 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) > 1$ है।
इस प्रकार,फलन $f$ का परिसर $(1, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\cos x}$ केवल तभी परिभाषित होता है जब $\cos x \geq 0$ हो।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x$ प्रथम चतुर्थांश $[0, \frac{\pi}{2}]$ और चतुर्थ चतुर्थांश $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ में अ-ऋणात्मक होता है।
अतः,$n=0$ के लिए प्रांत $[0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} - 4x + 5$ है,जिसका प्रांत $[2, \infty)$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = (x^{2} - 4x + 4) + 1$
$f(x) = (x - 2)^{2} + 1$
चूंकि प्रांत $x \in [2, \infty)$ है,इसलिए $x - 2 \geq 0$ होगा।
अतः,$(x - 2)^{2} \geq 0$ होगा।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$(x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) \geq 1$ है।
अतः,फलन $f$ का परिसर $[1, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x - 2)(x - 5)}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए।
$\Rightarrow (x - 2)(x - 5) > 0$
क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 5$ हैं।
अंतरालों $(-\infty, 2)$,$(2, 5)$,और $(5, \infty)$ की जाँच करने पर:
$x < 2$ के लिए,$(x - 2)(x - 5) > 0$ है।
$2 < x < 5$ के लिए,$(x - 2)(x - 5) < 0$ है।
$x > 5$ के लिए,$(x - 2)(x - 5) > 0$ है।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1-x)} + \sqrt{x+2}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर की संख्या गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए: $x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$3$. हर शून्य नहीं हो सकता: $\log_{10}(1-x) \neq 0 \implies 1 - x \neq 10^0 \implies 1 - x \neq 1 \implies x \neq 0$.
इन शर्तों को मिलाने पर: $x \geq -2$,$x < 1$,और $x \neq 0$.
अतः,प्रांत $x \in [-2, 0) \cup (0, 1)$ है।

(D) दिया गया फलन,$f(x) = \frac{x}{1-|x|}$ है।
फलन के परिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए।
$1 - |x| \neq 0$
$|x| \neq 1$
$x \neq 1$ और $x \neq -1$.
अतः,प्रांत $1$ और $-1$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जिसे $R - \{-1, 1\}$ के रूप में लिखा जाता है।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 6}}$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - [x] - 6 > 0$
गुणनखंड करने पर:
$([x] - 3)([x] + 2) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब:
$[x] > 3$ या $[x] < -2$
यदि $[x] > 3$ है,तो $[x]$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $4$ है,जिसका अर्थ है $x \geq 4$,अर्थात $x \in [4, \infty)$।
यदि $[x] < -2$ है,तो $[x]$ का अधिकतम पूर्णांक मान $-3$ है,जिसका अर्थ है $x < -2$,अर्थात $x \in (-\infty, -2)$।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -2) \cup [4, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{x^{2}-7x+12}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$x^{2}-7x+12 \geq 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x-4)(x-3) \geq 0$
असमिका के लिए साइन स्कीम विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक तब गैर-ऋणात्मक होता है जब $x \leq 3$ या $x \geq 4$ हो।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, 3] \cup [4, \infty)$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sin [x]$ है,जहाँ $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ और $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$ है।
$x$ के लिए अंतराल $(-0.785, 0.785)$ है।
$x \in [0, 0.785)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक मान $[x] = 0$ है। अतः,$f(x) = \sin(0) = 0$ है।
$x \in (-0.785, 0)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक मान $[x] = -1$ है। अतः,$f(x) = \sin(-1) = -\sin(1)$ है।
इसलिए,फलन का परिसर $\{0, -\sin 1\}$ है।

(D) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$ है,जिसे $f(x) = \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
किसी फलन के प्रांत $R$ पर परिभाषित होने के लिए,$R$ के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है।
जब $x = 0$ होता है,तो व्यंजक $f(0) = \frac{1}{0}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में अपरिभाषित है।
चूंकि $0 \in R$ है और $f(0)$ का अस्तित्व नहीं है,इसलिए फलन $f$ प्रांत $R$ पर सुपरिभाषित नहीं है।
अतः,$f$ परिभाषित नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3$.
अतः,फलन का प्रांत (domain) $x \in [-3, 3]$ है।
जब $x = 0$ है,तो $f(0) = \sqrt{9 - 0} = 3$ है।
जब $x = \pm 3$ है,तो $f(\pm 3) = \sqrt{9 - 9} = 0$ है।
चूंकि वर्गमूल फलन हमेशा गैर-ऋणात्मक मान देता है,इसलिए न्यूनतम मान $0$ और अधिकतम मान $3$ है।
अतः,फलन का परिसर $[0, 3]$ है।

(A) $(f + g)$ का प्रांत $f(x)$ और $g(x)$ के प्रांतों का प्रतिच्छेदन (intersection) है।
$f(x) = \frac{1}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ के लिए,दिया गया प्रांत $-1 < x < 1$ है।
$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ को परिभाषित होने के लिए,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ होना चाहिए।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ के लिए सत्य है।
$(f + g)$ का प्रांत $(-1, 1)$ और $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ का प्रतिच्छेदन है।
प्रतिच्छेदन: $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$।

(C) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। दिया गया समीकरण $f(x) + f(1/x) = f(x)f(1/x)$ है,जिसे $(f(x) - 1)(f(1/x) - 1) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $g(x) = f(x) - 1$ है। तब $g(x)g(1/x) = 1$ है।
चूंकि $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है,$g(x)$ भी एक द्विघात बहुपद है।
$f(-1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $g(-1) = -1$ प्राप्त होता है।
इन शर्तों से $f(x) = 1 - x^2$ प्राप्त होता है।
अतः $f(x) = 1 - x^2$ का परिसर $(-\infty, 1]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right) - \log_{10}(4-x)$ है।
लघुगणकीय फलन $\log_{10}(4-x)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क (argument) धनात्मक होना चाहिए:
$4 - x > 0 \implies x < 4$.
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\cos^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए:
$-1 \leq \frac{x-3}{2} \leq 1$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $-2 \leq x - 3 \leq 2$ प्राप्त होता है।
सभी पदों में $3$ जोड़ने पर,$1 \leq x \leq 5$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ का प्रांत दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) है:
$x < 4$ और $1 \leq x \leq 5$.
अतः,प्रांत $x \in [1, 4)$ है।

(D) $f(x)$ के वास्तविक मान वाला फलन होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $\frac{[x]-1}{[x]^2-[x]-6} \ge 0$.
माना $n = [x]$. तब $\frac{n-1}{n^2-n-6} \ge 0$,जो $\frac{n-1}{(n-3)(n+2)} \ge 0$ में सरल हो जाता है।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,असमिका $n \in (-2, 1] \cup (3, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक है $(n = [x])$,$n$ के संभावित मान $\{-1, 0, 1, 4, 5, 6, \dots\}$ हैं।
यदि $n = -1$,तो $-1 \le x < 0$.
यदि $n = 0$,तो $0 \le x < 1$.
यदि $n = 1$,तो $1 \le x < 2$.
इन सबको मिलाने पर,हमें $[-1, 2)$ प्राप्त होता है।
यदि $n \ge 4$,तो $x \ge 4$.
अतः,डोमेन $[-1, 2) \cup [4, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \log(x^2 - 1) + x \operatorname{coth}^{-1} x$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 > 1$,अतः $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
$2$. प्रतिलोम अतिपरवलयिक कोटैंजेंट फलन $\operatorname{coth}^{-1} x$,$|x| > 1$ के लिए परिभाषित है,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है,जिसे $R - [-1, 1]$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-2}{|x|-3}}$ के सुपरिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणेतर होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
अतः,$\frac{|x|-2}{|x|-3} \geq 0$ और $|x|-3 \neq 0$.
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$. असमिका $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ हो जाती है।
क्रांतिक बिंदु $t=2$ और $t=3$ हैं।
$t$ के लिए अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$) यदि $0 \leq t < 2$,तो $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
$2$) यदि $2 \leq t < 3$,तो $\frac{t-2}{t-3} \leq 0$.
$3$) यदि $t > 3$,तो $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
इस प्रकार,$t$ के लिए हल $0 \leq t \leq 2$ या $t > 3$ है।
$|x| = t$ वापस रखने पर,हमें $0 \leq |x| \leq 2$ या $|x| > 3$ प्राप्त होता है।
$|x| \leq 2 \implies x \in [-2, 2]$.
$|x| > 3 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right)} + \sin^{-1}(x^2-2)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए: $\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right) \ge 0$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{(x-2)^2} \ge 1$,अतः $(x-2)^2 \le 1$,जिसका अर्थ है $|x-2| \le 1$,जिससे $1 \le x \le 3$ प्राप्त होता है। चूँकि $x \neq 2$,प्रांत $[1, 2) \cup (2, 3]$ है।
$2$. $\sin^{-1}$ के अंदर का मान $[-1, 1]$ में होना चाहिए: $-1 \le x^2-2 \le 1$.
इसका अर्थ है $1 \le x^2 \le 3$,अतः $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$.
$3$. दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $[1, 2) \cup (2, 3] \cap ([-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}])$.
परिणामस्वरूप $[1, \sqrt{3}]$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \frac{3}{4-x^2} + \log_{10}(x^3-x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3-x > 0$.
गुणनखंड करने पर: $x(x^2-1) > 0 \implies x(x-1)(x+1) > 0$.
क्रांतिक बिंदुओं $x = -1, 0, 1$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
असमिका $x(x-1)(x+1) > 0$ का मान $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ के लिए सत्य है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ और $x \neq \pm 2$.
चूंकि $x \neq 2$ और $x \neq -2$,इसलिए हम अंतराल $(1, \infty)$ से $2$ को हटा देंगे।
अतः,प्रांत $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\log_{0.5}(2x - 3)}} + \sqrt{4 - 9x^2}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन होना चाहिए:
$1. \log_{0.5}(2x - 3) > 0$ $\Rightarrow 2x - 3 < 1$ $\Rightarrow x < 2$.
$2. 2x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$.
$3. 4 - 9x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq \frac{4}{9}$ $\Rightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $(x < 2) \cap (x > \frac{3}{2}) \cap (-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3})$.
चूंकि $x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो $x > \frac{3}{2}$ और $x \leq \frac{2}{3}$ दोनों को संतुष्ट करे,इसलिए प्रांत एक रिक्त समुच्चय है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{2+x} + \sqrt{3-x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक होने चाहिए। \\ $2+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ \\ $3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$ \\ इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $-2 \leq x \leq 3$ प्राप्त होता है। \\ अतः,प्रांत $x \in [-2, 3]$ है।

(D) फलन $f(x) = \log_2 \log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. $\log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 10 > 0$. यहाँ विविक्तकर $D = -15 < 0$ है,अतः यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
$2$. $\log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow \log_5(x^2 - 5x + 11) > 3^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^1 = 5$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 6 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x - 3) > 0$.
अतः हल $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{9 - \sqrt{x^2 - 144}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक होने चाहिए:
$1$. $x^2 - 144 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 144$ $\Rightarrow |x| \geq 12$.
$2$. $9 - \sqrt{x^2 - 144} \geq 0 \Rightarrow 9 \geq \sqrt{x^2 - 144}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$81 \geq x^2 - 144$ $\Rightarrow x^2 \leq 225$ $\Rightarrow |x| \leq 15$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $12 \leq |x| \leq 15$ प्राप्त होता है।
अतः $x \in [-15, -12] \cup [12, 15]$।

(B) दिया गया समीकरण $2^x+2^y=2$ है।
चूँकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $2^y > 0$ होता है,इसलिए $2-2^x > 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $2^x < 2$।
दोनों पक्षों का आधार $2$ पर लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें $x < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का प्रांत $x \in (-\infty, 1)$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=\sqrt{2-x^2}$ और $g(x)=\ln (1-x)$।
$(f+g)(x)$ का प्रांत $f(x)$ और $g(x)$ के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) है।
$f(x)=\sqrt{2-x^2}$ के लिए,$2-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2 \leq 2$। अतः,$x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$। इसलिए,$D_1 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$।
$g(x)=\ln (1-x)$ के लिए,$1-x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < 1$। अतः,$D_2 = (-\infty, 1)$।
$(f+g)(x)$ का प्रांत $D_1 \cap D_2 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (-\infty, 1) = [-\sqrt{2}, 1)$ होगा।

(B) व्यंजक के वास्तविक संख्या होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $|x|^2 - 2|x| - 8 \geq 0$.
माना $|x| = t$,तो $t^2 - 2t - 8 \geq 0 \Rightarrow (t-4)(t+2) \geq 0$.
चूंकि $t = |x| \geq 0$,इसलिए $t \geq 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x| \geq 4$,अतः $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2 - x - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 < 0$.
$(x+2)(x-1) < 0 \Rightarrow x \in (-2, 1)$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log(2 - x - x^2) \neq 0$ $\Rightarrow 2 - x - x^2 \neq 1$ $\Rightarrow x^2 + x - 1 \neq 0$.
$x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in ((-\infty, -4] \cup [4, \infty)) \cap (-2, 1)$.
चूंकि इन समुच्चयों के बीच कोई प्रतिच्छेदन नहीं है,इसलिए हल रिक्त समुच्चय $\phi$ है।

(A) $f(x) = \sin \log \left( \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} \right)$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
सबसे पहले,वर्गमूल $\sqrt{4-x^2}$ तब परिभाषित होता है जब $4-x^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [-2, 2]$।
दूसरा,लघुगणक के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $\frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} > 0$।
चूंकि $\sqrt{4-x^2} \geq 0$,इसलिए $1-x > 0$ (अर्थात $x < 1$) और $\sqrt{4-x^2} \neq 0$ होना चाहिए।
अतः,$x < 1$ और $x \neq \pm 2$।
$x \in [-2, 2]$ को $x < 1$ और $x \neq \pm 2$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in (-2, 1)$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = \frac{\log_2(x+3)}{\sqrt{x^2+3x+2}}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x+3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. हर में वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $x^2+3x+2 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x+2)(x+1) > 0$.
यह असमिका $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ के लिए सत्य है।
$x > -3$ और $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \in (-3, -2) \cup (-1, \infty)$.

(A) फलन $f(x) = \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+3}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक होने चाहिए और हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. $\sqrt{2-x}$ के लिए,$2-x \geq 0$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \leq 2$।
$2$. $\sqrt{1+x}$ के लिए,$1+x \geq 0$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \geq -1$।
$3$. हर में $\sqrt{x+3}$ के लिए,$x+3 > 0$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x > -3$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $x \leq 2$,$x \geq -1$,और $x > -3$।
इन अंतरालों का प्रतिच्छेदन $[-1, 2]$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sqrt{\log _{0.5}(x-3)}}{\sqrt{x-1}}$ है।
अंश में वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$\log _{0.5}(x-3) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि आधार $0.5 < 1$ है,इसलिए असमिका उलट जाती है: $x-3 \leq (0.5)^0$,जिससे $x-3 \leq 1$ प्राप्त होता है,अतः $x \leq 4$।
साथ ही,लघुगणक को परिभाषित होने के लिए $x-3 > 0$ होना चाहिए,जो $x > 3$ दर्शाता है।
हर को परिभाषित और शून्य से भिन्न होने के लिए $x-1 > 0$ होना चाहिए,जो $x > 1$ दर्शाता है।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $(x \leq 4) \cap (x > 3) \cap (x > 1)$,हमें $3 < x \leq 4$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $(3, 4]$ है।

(B) $f/g$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जिनके लिए $f(x)$ परिभाषित है,$g(x)$ परिभाषित है और $g(x) \neq 0$ है।
$f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x+3}}$ के परिभाषित होने के लिए,$\frac{x+1}{x+3} \geq 0$ होना चाहिए। यह $x \in (-\infty, -3) \cup [-1, \infty)$ के लिए सत्य है।
$g(x) = \sqrt{\frac{2-x}{x+3}}$ के परिभाषित होने और $g(x) \neq 0$ होने के लिए,$\frac{2-x}{x+3} > 0$ होना चाहिए। $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x-2}{x+3} < 0$ प्राप्त होता है,जो $x \in (-3, 2)$ के लिए सत्य है।
$f/g$ का प्रांत इन दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है: $((-\infty, -3) \cup [-1, \infty)) \cap (-3, 2) = [-1, 2)$.

(D) दिया गया है,$f(x) = \sqrt{\frac{2-|x|}{3-|x|}}$।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$\frac{2-|x|}{3-|x|} \geq 0$ होना चाहिए।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। असमिका $\frac{2-t}{3-t} \geq 0$ हो जाती है,जो $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ के समतुल्य है।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करते हुए,$t \geq 0$ के लिए $t$ का हल $t \in [0, 2] \cup (3, \infty)$ प्राप्त होता है।
अब,$t = |x|$ वापस रखने पर:
स्थिति $I$: $0 \leq |x| \leq 2 \Rightarrow x \in [-2, 2]$।
स्थिति $II$: $|x| > 3 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \frac{-5}{4x^2+1} + \sqrt{x^2-4}$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,हर $4x^2+1$ शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $4x^2+1 \geq 1$ है,इसलिए हर कभी शून्य नहीं होता है।
वर्गमूल के लिए,हमें $x^2 - 4 \geq 0$ की आवश्यकता है।
$x^2 \geq 4$
$|x| \geq 2$
इसका अर्थ है कि $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$।
अतः,प्रांत $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. $\frac{1-|x|}{2-|x|} \geq 0$
$2$. $2-|x| \neq 0 \implies |x| \neq 2 \implies x \neq \pm 2$
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। असमिका $\frac{1-t}{2-t} \geq 0$ हो जाती है।
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर: $\frac{t-1}{t-2} \geq 0$।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,$t \geq 0$ के लिए $t$ का हल $t \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है।
अब,$t = |x|$ वापस रखने पर:
स्थिति $I$: $0 \leq |x| \leq 1 \implies x \in [-1, 1]$।
स्थिति $II$: $|x| > 2 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$ है।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
हम जानते हैं कि $x \geq 0$ के लिए $|x| = x$,इसलिए $x > x$ संभव नहीं है।
$x < 0$ के लिए $|x| = -x$,इसलिए $-x > x$,जिसका अर्थ है $-2x > 0$,या $x < 0$।
अतः,फलन सभी $x \in (-\infty, 0)$ के लिए परिभाषित है।
इसलिए,$f(x)$ का प्रांत $(-\infty, 0)$ है।

(B) फलन $f(x) = ([x]^2 - [x] - 2)^{-1/2}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - [x] - 2 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$([x] - 2)([x] + 1) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $[x] < -1$ या $[x] > 2$ हो।
स्थिति $1$: यदि $[x] < -1$,तो $x < -1$।
स्थिति $2$: यदि $[x] > 2$,तो $[x] \geq 3$,जिसका अर्थ है $x \geq 3$।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ प्राप्त होता है।
इसे $R - [-1, 3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।