Probability distribution Questions in Gujarati

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને $k$ માટે ઉકેલતા:
$k = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(13)(-1)}}{2(13)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 52}}{26} = \frac{-7 \pm \sqrt{101}}{26}$
$k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{\sqrt{101}-7}{26}$.
જોકે,જો આપણે આપેલા વિકલ્પો મુજબ $k = 1/10$ લઈએ તો:
$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0 + k + 2k = 3k$
જો $k = 1/10$ હોય,તો $P(X < 3) = 3 \times (1/10) = 3/10$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
અહીં આપેલ ઉકેલ મુજબ $k = 1/10$ લેતા:
$P(X > 6) = P(X = 7) = 7k^2 + k$
$= 7 \times (1/10)^2 + 1/10$
$= 7/100 + 10/100 = 17/100$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = 0 + k + 2k + 3k + 3k^2 + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$13k^2 + 7k - 1 = 0$
અહીં $P(0 < X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = k + 2k = 3k$ છે.
જો આપણે $k = 1/10$ લઈએ,તો $3k = 3/10$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે યાદચ્છિક ચલના સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,આપણી પાસે છે:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$k + 2k + 3k = 1$
$6k = 1$
$k = \frac{1}{6}$

કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$\sum P(X) = k + 2k + 3k = 6k = 1 \implies k = \frac{1}{6}$.
$P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = k + 2k = 3k = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k + 2k + 3k = 6k = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X>2) = 3k + 0 = 3k = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $X$ એ એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
યાદચ્છિક ચલ $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
દરેક $X$ માટે સંભાવનાની ગણતરી:
$P(X=0) = P(TTT) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(HHH) = \frac{1}{8}$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$P(X)$
$0$	$1/8$
$1$	$3/8$
$2$	$3/8$
$3$	$1/8$

મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી:
$E(X) = \sum X_i P(X_i)$
$E(X) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8})$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$
$E(X) = \frac{12}{8} = 1.5$

(A) અહીં,$X$ એ બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે મળતા છગ્ગાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તેથી,$X$ ની કિંમત $0, 1,$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = P(\text{કોઈ પણ પાસા પર છગ્ગો ન મળે}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$
$P(X=1) = P(\text{પ્રથમ પાસા પર છગ્ગો અને બીજા પર ન મળે}) + P(\text{પ્રથમ પાસા પર છગ્ગો ન મળે અને બીજા પર મળે}) = \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right) = \frac{10}{36}$
$P(X=2) = P(\text{બંને પાસા પર છગ્ગો મળે}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{1}{36}$

$X$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X) = \sum X_i P(X_i) = (0 \times \frac{25}{36}) + (1 \times \frac{10}{36}) + (2 \times \frac{1}{36})$
$E(X) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

(D) પ્રથમ છ ધન પૂર્ણાંકોમાંથી બે સંખ્યાઓ પુનરાવર્તન વગર $6 \times 5 = 30$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
$X$ એ મેળવેલી બે સંખ્યાઓમાંથી મોટી સંખ્યા દર્શાવે છે. તેથી,$X$ ની કિંમત $2, 3, 4, 5$ અથવા $6$ હોઈ શકે છે.
$X=2$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ છે. તેથી,$P(X=2) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
$X=3$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(1, 3), (2, 3), (3, 1)$ અને $(3, 2)$ છે. તેથી,$P(X=3) = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.
$X=4$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 3), (4, 2)$ અને $(4, 1)$ છે. તેથી,$P(X=4) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$.
$X=5$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2)$ અને $(5, 1)$ છે. તેથી,$P(X=5) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$.
$X=6$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2)$ અને $(6, 1)$ છે. તેથી,$P(X=6) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P(X)$	$1/15$	$2/15$	$3/15$	$4/15$	$5/15$

$E(X) = \sum X_i P(X_i) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$.

(A) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે $6 \times 6 = 36$ પરિણામો શક્ય છે.
સરવાળા $X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(X)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

$E(X) = \sum X_i P(X_i) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36}) = 7$.
$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 4(\frac{1}{36}) + 9(\frac{2}{36}) + 16(\frac{3}{36}) + 25(\frac{4}{36}) + 36(\frac{5}{36}) + 49(\frac{6}{36}) + 64(\frac{5}{36}) + 81(\frac{4}{36}) + 100(\frac{3}{36}) + 121(\frac{2}{36}) + 144(\frac{1}{36}) = \frac{1974}{36} = \frac{329}{6} \approx 54.833$.
$\text{વિચરણ}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 54.833 - 49 = 5.833$.
$\text{પ્રમાણિત વિચલન} = \sqrt{\text{વિચરણ}(X)} = \sqrt{5.833} \approx 2.415$.

(A) વર્ગમાં કુલ $15$ વિદ્યાર્થીઓ છે. દરેક વિદ્યાર્થીને પસંદ થવાની સમાન તક છે. તેથી,દરેક વિદ્યાર્થીની પસંદગી થવાની સંભાવના $\frac{1}{15}$ છે. ઉંમરનું આવૃત્તિ વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$
$f$	$2$	$1$	$2$	$3$	$1$	$2$	$3$	$1$

સંભાવના વિતરણ $P(X)$ નીચે મુજબ છે:

$X$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$
$P(X)$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{1}{15}$

મધ્યક $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{1}{15}(14 \times 2 + 15 \times 1 + 16 \times 2 + 17 \times 3 + 18 \times 1 + 19 \times 2 + 20 \times 3 + 21 \times 1) = \frac{263}{15} \approx 17.53$.
વર્ગોનો મધ્યક $E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = \frac{1}{15}(196 \times 2 + 225 \times 1 + 256 \times 2 + 289 \times 3 + 324 \times 1 + 361 \times 2 + 400 \times 3 + 441 \times 1) = \frac{4683}{15} = 312.2$.
વિચરણ $(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 312.2 - (17.5333)^2 = 312.2 - 307.4177 = 4.7823 \approx 4.78$.
પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{\text{વિચરણ}} = \sqrt{4.7823} \approx 2.19$.

(A) આપેલ છે કે $P(X=0) = 30 \% = \frac{30}{100} = 0.3$.
$P(X=1) = 70 \% = \frac{70}{100} = 0.7$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$
$P(X)$	$0.3$	$0.7$

$E(X) = \sum X_i P(X_i) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.7) = 0.7$.
$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = (0^2 \times 0.3) + (1^2 \times 0.7) = 0.7$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.7 - (0.7)^2 = 0.7 - 0.49 = 0.21$.

(C) ધારો કે $X$ એ મળેલા એક્કાની સંખ્યા દર્શાવે છે. તેથી,$X$ ની કિંમત $0, 1$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે.
$52$ પત્તાની થોકડીમાં,$4$ એક્કા અને $48$ અન્ય પત્તા હોય છે.
$P(X=0) = \frac{^{4}C_{0} \times ^{48}C_{2}}{^{52}C_{2}} = \frac{1128}{1326}$
$P(X=1) = \frac{^{4}C_{1} \times ^{48}C_{1}}{^{52}C_{2}} = \frac{192}{1326}$
$P(X=2) = \frac{^{4}C_{2} \times ^{48}C_{0}}{^{52}C_{2}} = \frac{6}{1326}$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x$	$P(X)$
$0$	$\frac{1128}{1326}$
$1$	$\frac{192}{1326}$
$2$	$\frac{6}{1326}$

$E(X) = \sum x_i p_i = (0 \times \frac{1128}{1326}) + (1 \times \frac{192}{1326}) + (2 \times \frac{6}{1326})$
$E(X) = \frac{204}{1326} = \frac{2}{13}$
તેથી,સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) ધારો કે $S$ એ છ આવવાની ઘટના છે અને $N$ એ છ ન આવવાની ઘટના છે. સંભાવનાઓ $P(S) = 1/6$ અને $P(N) = 5/6$ છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ ફેંકમાં છ આવે $(S)$.
સંભાવના $= 1/6$.
જીતેલી રકમ $= +1$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ ફેંકમાં છ ન આવે અને બીજી ફેંકમાં છ આવે $(NS)$.
સંભાવના $= (5/6) \times (1/6) = 5/36$.
જીતેલી રકમ $= -1 + 1 = 0$.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ બે ફેંકમાં છ ન આવે અને ત્રીજી ફેંકમાં છ આવે $(NNS)$.
સંભાવના $= (5/6) \times (5/6) \times (1/6) = 25/216$.
જીતેલી રકમ $= -1 - 1 + 1 = -1$.
કિસ્સો $4$: ત્રણેય ફેંકમાં છ ન આવે $(NNN)$.
સંભાવના $= (5/6)^3 = 125/216$.
જીતેલી રકમ $= -1 - 1 - 1 = -3$.
અપેક્ષિત કિંમત $E = (1/6)(1) + (5/36)(0) + (25/216)(-1) + (125/216)(-3)$.
$E = 1/6 - 25/216 - 375/216$.
$E = (36 - 25 - 375) / 216 = -364 / 216 = -91 / 54$.

(A) સંભાવનાઓનું વિતરણ માન્ય હોવા માટે,તેણે બે શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. દરેક સંભાવના $P(\omega_i)$ એવી હોવી જોઈએ કે $0 \le P(\omega_i) \le 1$.
$2$. બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$.
આપેલ વિતરણ તપાસતા:
$1$. દરેક સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે,જે $0 \le \frac{1}{6} \le 1$ શરતનું પાલન કરે છે.
$2$. સંભાવનાઓનો સરવાળો $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ થાય છે.
બંને શરતો સંતોષાય છે,તેથી આ વિતરણ માન્ય છે.

(B) સંભાવનાઓનું વિતરણ માન્ય હોવા માટે,તેણે બે શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. દરેક સંભાવના $P(\omega_i)$ એ $0 \le P(\omega_i) \le 1$ હોવી જોઈએ.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$.
આપેલ વિતરણ $(b)$ માં:
$P(\omega_1) = 1, P(\omega_2) = 0, P(\omega_3) = 0, P(\omega_4) = 0, P(\omega_5) = 0, P(\omega_6) = 0$.
શરત $1$ તપાસો: બધી કિંમતો $0$ અને $1$ ની વચ્ચે (સહિત) છે.
શરત $2$ તપાસો: સરવાળો $= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1$.
બંને શરતો સંતોષાય છે,તેથી આ વિતરણ માન્ય છે.

(NONE) સંભાવનાઓનું વિતરણ માન્ય હોવા માટે,તેણે બે શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. દરેક સંભાવના $P(\omega_{i})$ એવી હોવી જોઈએ કે જેથી તમામ $i$ માટે $0 \le P(\omega_{i}) \le 1$ થાય.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_{i}) = 1$.
આપેલ વિતરણમાં,આપણે જોઈએ છીએ કે $P(\omega_{5}) = -1/4$ અને $P(\omega_{6}) = -1/3$ છે.
આ સંભાવનાઓ ઋણ હોવાથી,તે પ્રથમ શરત $(0 \le P(\omega_{i}) \le 1)$ નું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,સંભાવનાઓનું આ વિતરણ માન્ય નથી.

(B) સંભાવનાઓનું વિતરણ માન્ય હોવા માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. દરેક સંભાવના $p(\omega_{i})$ એ $0 \le p(\omega_{i}) \le 1$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{6} p(\omega_{i}) = 1$.
આપેલ વિતરણમાં,આપણે જોઈએ છીએ કે $p(\omega_{6}) = \frac{3}{2}$ છે.
કારણ કે $\frac{3}{2} > 1$,તેથી પ્રથમ શરતનું ઉલ્લંઘન થાય છે.
તેથી,આ વિતરણ અમાન્ય છે.

(B) સંભાવનાઓનું વિતરણ માન્ય હોવા માટે બે શરતો પૂરી થવી જોઈએ:
$1$. દરેક સંભાવના $P(\omega_i)$ એ $0 \le P(\omega_i) \le 1$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{6} P(\omega_i) = 1$.
આપેલ વિતરણમાં:
સરવાળો $= 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 = 2.1$.
અહીં સંભાવનાઓનો સરવાળો $2.1$ છે,જે $1$ ની બરાબર નથી,તેથી આ વિતરણ અમાન્ય છે.

(D) સંભાવનાઓની સોંપણી માન્ય હોવા માટે,તેણે બે શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. દરેક સંભાવના $p(\omega_{i})$ એવી હોવી જોઈએ કે $0 \leq p(\omega_{i}) \leq 1$.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_{i}) = 1$.
આપેલ કિસ્સામાં:
સરવાળો $= 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1.0$.
કારણ કે સરવાળો $1$ છે અને દરેક વ્યક્તિગત સંભાવના $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે,તેથી આ સંભાવનાઓની એક માન્ય સોંપણી છે.

(C) સંભાવનાઓની સોંપણી માન્ય હોવા માટે,તેણે બે શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. દરેક સંભાવના $p(\omega_i)$ એ $0 \le p(\omega_i) \le 1$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_i) = 1$.
વિકલ્પ $C$ માં,આપણી પાસે ઋણ મૂલ્યો $(-0.1)$ છે,જે $p(\omega_i) \ge 0$ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
વિકલ્પ $D$ માં,સરવાળો $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8$ થાય છે,જે $1$ ની બરાબર નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ અને $D$ બંને માન્ય નથી.

(A) સંભાવનાનું વિતરણ માન્ય હોવા માટે,તેણે બે શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. દરેક સંભાવના $p(\omega_{i})$ એવી હોવી જોઈએ કે $0 \leq p(\omega_{i}) \leq 1$.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{i=1}^{7} p(\omega_{i}) = 1$.
ચાલો આપેલી સંભાવનાઓનો સરવાળો કરીએ:
સરવાળો $= 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8$.
કારણ કે સરવાળો $2.8 \neq 1$ છે,તેથી આ સંભાવનાનું વિતરણ માન્ય નથી.

(B) સેમ્પલ સ્પેસ $S$ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. દરેક પરિણામ $\omega_{i} \in S$ માટે,સંભાવના $P(\omega_{i})$ એ $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ હોવી જોઈએ.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(\omega_{i}) = 1$.
આપેલ કોષ્ટકમાં,આપણે જોઈએ છીએ કે $\omega_{1}$ અને $\omega_{5}$ માટેની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $-0.1$ અને $-0.2$ છે.
કારણ કે $P(\omega_{1}) = -0.1 < 0$ અને $P(\omega_{5}) = -0.2 < 0$,તેથી $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ ની શરતનું ઉલ્લંઘન થાય છે.
તેથી,આ સંભાવના વિતરણ માન્ય નથી.

સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળવામાં આવતો હોવાથી,કુલ $2^4 = 16$ શક્ય પરિણામો છે.
ધારો કે $H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે,જ્યાં $H + T = 4$.
નફો/નુકસાન $G$ એ $G = 1(H) - 1.50(T)$ દ્વારા મળે છે.
$1$. જો $H=4, T=0$: $G = 1(4) - 1.50(0) = Rs. 4.00$. પરિણામોની સંખ્યા = $\binom{4}{4} = 1$. સંભાવના = $\frac{1}{16}$.
$2$. જો $H=3, T=1$: $G = 1(3) - 1.50(1) = Rs. 1.50$. પરિણામોની સંખ્યા = $\binom{4}{3} = 4$. સંભાવના = $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
$3$. જો $H=2, T=2$: $G = 1(2) - 1.50(2) = 2 - 3 = -Rs. 1.00$. પરિણામોની સંખ્યા = $\binom{4}{2} = 6$. સંભાવના = $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
$4$. જો $H=1, T=3$: $G = 1(1) - 1.50(3) = 1 - 4.50 = -Rs. 3.50$. પરિણામોની સંખ્યા = $\binom{4}{1} = 4$. સંભાવના = $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
$5$. જો $H=0, T=4$: $G = 1(0) - 1.50(4) = -Rs. 6.00$. પરિણામોની સંખ્યા = $\binom{4}{0} = 1$. સંભાવના = $\frac{1}{16}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = K + 2K + 2K + 3K + K = 9K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{9}$.
આપણે $p = P(1 < X < 4 \mid X < 3)$ શોધવાની જરૂર છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં,$A = \{2, 3\}$ અને $B = \{1, 2\}$.
$A \cap B = \{2\}$.
તેથી,$p = \frac{P(X=2)}{P(X=1) + P(X=2)} = \frac{2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3K} = \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $5p = \lambda K$,કિંમતો મૂકતા:
$5 \times \left(\frac{2}{3}\right) = \lambda \times \left(\frac{1}{9}\right)$.
$\frac{10}{3} = \frac{\lambda}{9}$.
$\lambda = \frac{10 \times 9}{3} = 30$.

(A) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\frac{1}{5} + a + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + b = 1 \implies a + b = \frac{4}{15} \dots (1)$
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2.3 = \frac{23}{10}$.
$-2(\frac{1}{5}) - 1(a) + 3(\frac{1}{3}) + 4(\frac{1}{5}) + 6(b) = \frac{23}{10}$
$-\frac{2}{5} - a + 1 + \frac{4}{5} + 6b = \frac{23}{10} \implies -a + 6b = \frac{9}{10} \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$b = \frac{1}{6}$ અને $a = \frac{1}{10}$ મળે છે.
વિચરણ $\sigma^{2} = E(X^{2}) - (E(X))^{2}$.
$E(X^{2}) = 4(\frac{1}{5}) + 1(\frac{1}{10}) + 9(\frac{1}{3}) + 16(\frac{1}{5}) + 36(\frac{1}{6}) = \frac{131}{10} = 13.1$.
$\sigma^{2} = 13.1 - (2.3)^{2} = 13.1 - 5.29 = 7.81$.
તેથી,$100 \sigma^{2} = 781$.

(D) મધ્યક $E(X) = \sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X=j)$ દ્વારા મળે છે.
$P(X=0) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ હોવાથી,$E(X) = \sum_{j=1}^{\infty} j \cdot \frac{1}{3^j}$ થાય.
આ $\sum_{j=1}^{\infty} j r^j$ પ્રકારની શ્રેણી છે જ્યાં $r = \frac{1}{3}$.
તેનો સરવાળો $\frac{r}{(1-r)^2} = \frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ થાય.
$P(X \text{ ધન અને બેકી હોય})$ માટે,આપણે $j \in \{2, 4, 6, \ldots\}$ માટે $P(X=j)$ નો સરવાળો કરીશું.
$P(X \text{ ધન અને બેકી હોય}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^k$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{9}$ છે.
સરવાળો $\frac{a}{1-r} = \frac{1/9}{1-1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8}$ થાય.
આમ,મધ્યક $\frac{3}{4}$ અને સંભાવના $\frac{1}{8}$ છે.

(D) ધારો કે $P(\text{અવિભાજ્ય}) = 2k$,$P(\text{વિભાજ્ય}) = k$,અને $P(1) = 3k$.
આપેલ શરત મુજબ: $3(2k) = 6(k) = 2(3k) = 6k$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે: $3(2k) + 2(k) + 3k = 1 \Rightarrow 11k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{11}$.
પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ ${1, 4}$ છે.
$P(\text{સફળતા}) = P(1) + P(4) = 3k + k = 4k = \frac{4}{11}$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે મધ્યક $np = 2 \times \frac{4}{11} = \frac{8}{11}$.

(C) કુલ દડાઓની સંખ્યા $4 + 6 = 10$ છે. ત્રણ દડા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
ધારો કે $X$ એ સફેદ દડાની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(6,3)}{120} = \frac{1 \times 20}{120} = \frac{1}{6}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(6,2)}{120} = \frac{4 \times 15}{120} = \frac{1}{2}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(6,1)}{120} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{3}{10}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(6,0)}{120} = \frac{4 \times 1}{120} = \frac{1}{30}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{10}) + 3(\frac{1}{30}) = 1.2$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{6}) + 1^2(\frac{1}{2}) + 2^2(\frac{3}{10}) + 3^2(\frac{1}{30}) = 2.0$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.0 - (1.2)^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56$.
તેથી,$100 \sigma^2 = 100 \times 0.56 = 56$.

(B) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $5$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^5 = 32$ છે.
આપણે $5$ લંબાઈની એવી શ્રેણીઓ શોધવાની છે જેમાં $H$ (છાપ) અને $T$ (કાંટો) હોય અને કોઈ પણ બે $H$ સતત ન આવે.
ધારો કે $a_n$ એ $n$ લંબાઈની આવી શ્રેણીઓની સંખ્યા છે.
જો શ્રેણી $T$ પર સમાપ્ત થાય,તો અગાઉના $n-1$ સ્થાનો $n-1$ લંબાઈની કોઈપણ માન્ય શ્રેણી હોઈ શકે છે,જે $a_{n-1}$ છે.
જો શ્રેણી $H$ પર સમાપ્ત થાય,તો અગાઉનું સ્થાન $T$ હોવું જોઈએ,અને તેના પહેલાના $n-2$ સ્થાનો $n-2$ લંબાઈની કોઈપણ માન્ય શ્રેણી હોઈ શકે છે,જે $a_{n-2}$ છે.
આમ,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.
$n=1$ માટે: $H, T$ (બંને માન્ય),તેથી $a_1 = 2$.
$n=2$ માટે: $HT, TH, TT$ (બધા માન્ય,$HH$ અમાન્ય છે),તેથી $a_2 = 3$.
$n=3$ માટે: $a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5$.
$n=4$ માટે: $a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8$.
$n=5$ માટે: $a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $13$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{13}{2^5}$ છે.

(A) કુલ સફરજન = $3 + 7 = 10$. ચાર સફરજન બદલ્યા વગર પસંદ કરવામાં આવે છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $P(X)$ | $XP(X)$ | $X^2P(X)$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1/6$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1/2$ | $1/2$ | $1/2$ |
| $2$ | $3/10$ | $6/10$ | $12/10$ |
| $3$ | $1/30$ | $3/10$ | $9/30$ |
$E(X^2) = \sum x^2P(x) = 0 + 1/2 + 12/10 + 9/30 = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,તેથી $\mu^2 + \sigma^2 = E(X^2)$.
તેથી,$10(\mu^2 + \sigma^2) = 10 \times E(X^2) = 10 \times 2 = 20$.

(A) બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ: $\sum_{x=0}^{\infty} P(X = x) = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x} = 1$.
ધારો કે $S = 1 + 2(3^{-1}) + 3(3^{-2}) + 4(3^{-3}) + \ldots = \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x}$.
આ એક અંકગણિત-ભૌમિતિક શ્રેણી છે.
$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$
બંનેની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
$kS = 1$ હોવાથી,$k = \frac{4}{9}$.
આપણે $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = k(0 + 1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X = 1) = k(1 + 1)3^{-1} = 2k \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27}) = 1 - (\frac{12 + 8}{27}) = 1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}$.

(D) ધારો કે $X$ એ જરૂરી ઉછાળની સંખ્યા છે. એક ઉછાળમાં $n$ કરતા નાની સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{n-1}{n}$ છે.
એક ઉછાળમાં સંખ્યા $n$ મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{n}$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ એ ભૌમિતિક વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{n-1}{n}$ છે.
ભૌમિતિક વિતરણનો મધ્યક $E[X] = \frac{1}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\frac{n}{9}$ છે,તેથી $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$.
$p = \frac{n-1}{n}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{(n-1)/n} = \frac{n}{9}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ થાય છે.
$n > 1$ હોવાથી,બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
તેથી,$n - 1 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.

(A) આપેલ છે કે છાપની સંભાવના $P(H) = 3P(T)$. $P(H) + P(T) = 1$ હોવાથી,$4P(T) = 1$,તેથી $P(T) = \frac{1}{4}$ અને $P(H) = \frac{3}{4}$ મળે.
સિક્કાને છાપ આવે અથવા ત્રણ કાંટા આવે ત્યાં સુધી ઉછાળવામાં આવે છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3$ છે.
$X=1$ માટે: પરિણામ $H$ છે. $P(X=1) = P(H) = \frac{3}{4}$.
$X=2$ માટે: પરિણામ $TH$ છે. $P(X=2) = P(T) \times P(H) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$.
$X=3$ માટે: પરિણામો $TTH$ અથવા $TTT$ છે. $P(X=3) = P(T)^2 \times P(H) + P(T)^3 = (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} + (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64} + \frac{1}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{4}) + 2(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{16}) = \frac{3}{4} + \frac{6}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} + \frac{9}{16} = \frac{21}{16}$.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $p = \frac{1}{6}$ અને $q = \frac{5}{6}$ પ્રાચલ સાથેનું ભૌમિતિક વિતરણ અનુસરે છે.
$a = P(X=3) = q^2 p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.
$b = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
$c = P(X \geq 6 \mid X>3)$ માટે,ભૌમિતિક વિતરણના મેમરીલેસ ગુણધર્મ મુજબ,$P(X \geq n+k \mid X>n) = P(X \geq k)$.
અહીં,$n=3$ અને $n+k=6$,તેથી $k=3$.
આમ,$c = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
અંતે,$\frac{b+c}{a} = \frac{\frac{25}{36} + \frac{25}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{\frac{50}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{50}{36} \times \frac{216}{25} = 2 \times 6 = 12$.

(D) કુલ સફરજન = $3 + 15 = 18$.
આપણે $2$ સફરજન પસંદ કરીએ છીએ. $2$ સફરજન પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153$ છે.
ધારો કે $X$ એ સડેલા સફરજનની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{^{15}C_2}{^{18}C_2} = \frac{105}{153}$.
$P(X=1) = \frac{^{3}C_1 \times ^{15}C_1}{^{18}C_2} = \frac{3 \times 15}{153} = \frac{45}{153}$.
$P(X=2) = \frac{^{3}C_2}{^{18}C_2} = \frac{3}{153}$.
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{105}{153} + 1 \times \frac{45}{153} + 2 \times \frac{3}{153} = \frac{51}{153} = \frac{1}{3}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{105}{153} + 1^2 \times \frac{45}{153} + 2^2 \times \frac{3}{153} = \frac{45 + 12}{153} = \frac{57}{153}$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{57}{153} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{57}{153} - \frac{1}{9} = \frac{57}{153} - \frac{17}{153} = \frac{40}{153}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$a + 2a + (a+b) + 2b + 3b = 1$
$4a + 6b = 1$ --- $(i)$
મધ્યક $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{46}{9}$:
$0(a) + 2(2a) + 4(a+b) + 6(2b) + 8(3b) = \frac{46}{9}$
$8a + 40b = \frac{46}{9} \Rightarrow 4a + 20b = \frac{23}{9}$ --- $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$14b = \frac{14}{9} \Rightarrow b = \frac{1}{9}$
$b = \frac{1}{9}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4a + 6(\frac{1}{9}) = 1 \Rightarrow 4a = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{12}$
હવે,$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 24a + 280b$
$E(X^2) = 24(\frac{1}{12}) + 280(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{280}{9} = \frac{298}{9}$
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{298}{9} - (\frac{46}{9})^2 = \frac{2682 - 2116}{81} = \frac{566}{81}$

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $N=10$,$K=3$,અને $n=5$ છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x \in \{0, 1, 2, 3\}$ માટે સંભાવનાઓની ગણતરી:
$P(X=0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{7}{5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
$P(X=1) = \frac{\binom{3}{1} \binom{7}{4}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \binom{7}{3}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{7}{2}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
મધ્યક $\mu = E[X] = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{12}) + 1(\frac{5}{12}) + 2(\frac{5}{12}) + 3(\frac{1}{12}) = \frac{5+10+3}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$E[X^2] = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{12}) + 1^2(\frac{5}{12}) + 2^2(\frac{5}{12}) + 3^2(\frac{1}{12}) = \frac{0+5+20+9}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{17}{6} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{17}{6} - \frac{9}{4} = \frac{34-27}{12} = \frac{7}{12}$.
આમ,$96 \sigma^2 = 96 \times \frac{7}{12} = 8 \times 7 = 56$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\frac{1}{3} + K + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = 1$
$K + \frac{4+2+3}{12} = 1 \Rightarrow K + \frac{9}{12} = 1 \Rightarrow K = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
મધ્યક $\mu = \sum X P(X)$:
$\mu = \alpha(\frac{1}{3}) + 1(\frac{1}{4}) + 0(\frac{1}{6}) + (-3)(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \sum X^2 P(X) - \mu^2$:
$\sum X^2 P(X) = \alpha^2(\frac{1}{3}) + 1^2(\frac{1}{4}) + 0^2(\frac{1}{6}) + (-3)^2(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}$.
$\sigma^2 = (\frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}) - (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 = \frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4}$.
આપેલ છે કે $\sigma - \mu = 2$,તેથી $\sigma = \mu + 2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\sigma^2 = (\mu + 2)^2 = \mu^2 + 4\mu + 4$.
$\mu = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 + 4(\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}) + 4$
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{9} - \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} + \frac{4\alpha}{3} - 2 + 4$
$\frac{\alpha^2}{9} - \frac{2\alpha}{3} = 0 \Rightarrow \alpha(\frac{\alpha}{9} - \frac{2}{3}) = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી (કારણ કે $X=0$ પહેલેથી જ આપેલ છે),$\alpha = 6$.
તેથી $\mu = \frac{6}{3} - \frac{1}{2} = 1.5$.
અને $\sigma = \mu + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$.
આમ,$\sigma + \mu = 3.5 + 1.5 = 5$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે જેના પરિમાણો $N=12$ (કુલ વસ્તુઓ),$K=3$ (ખામીયુક્ત વસ્તુઓ),અને $n=5$ (નમૂનાનું કદ) છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = 5 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{12-3}{12} \cdot \frac{12-5}{12-1}$.
$\sigma^2 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{7}{11} = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{11} = \frac{105}{176}$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = \frac{m}{n} = \frac{105}{176}$,જ્યાં $\operatorname{gcd}(105, 176) = 1$.
તેથી,$m = 105$ અને $n = 176$.
$n-m = 176 - 105 = 71$.

(C) કુલ દડા = $5 + 4 = 9$. આપણે $3$ દડા કાઢીએ છીએ. $3$ દડા કાઢવાની કુલ રીતો $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
ધારો કે $X$ એ વાદળી દડાની સંખ્યા છે. મધ્યક $\bar{X} = E[X] = n \times p$,જ્યાં $n=3$ અને $p$ એ વાદળી દડો કાઢવાની સંભાવના છે,$p = \frac{5}{9}$.
તેથી,$\bar{X} = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.
ધારો કે $Y$ એ પીળા દડાની સંખ્યા છે. મધ્યક $\bar{Y} = E[Y] = n \times p'$,જ્યાં $n=3$ અને $p'$ એ પીળો દડો કાઢવાની સંભાવના છે,$p' = \frac{4}{9}$.
તેથી,$\bar{Y} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
આપણે $7 \bar{X} + 4 \bar{Y}$ શોધવાનું છે:
$7 \bar{X} + 4 \bar{Y} = 7 \left(\frac{5}{3}\right) + 4 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{35}{3} + \frac{16}{3} = \frac{51}{3} = 17$.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $P(X=x) = mx + c$ છે.
$\sum_{x=0}^4 P(X=x) = 1$ હોવાથી,$10m + 5c = 1 \implies 2m + c = \frac{1}{5} \quad (1)$
મધ્યક $E[X] = \sum_{x=0}^4 x(mx + c) = 30m + 10c = \frac{5}{2} \implies 3m + c = \frac{1}{4} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$m = \frac{1}{20}$ અને $c = \frac{1}{10}$ મળે છે.
$E[X^2] = \sum_{x=0}^4 x^2(mx + c) = 100m + 30c = 100(\frac{1}{20}) + 30(\frac{1}{10}) = 5 + 3 = 8$.
વિચરણ $\alpha = E[X^2] - (E[X])^2 = 8 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{7}{4}$.
તેથી,$24\alpha = 24 \times \frac{7}{4} = 42$.

(B) ત્રણ વાર સિક્કો ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે।
ધારો કે $X$ એ છાપ પછી કાંટો આવે તે સંખ્યા છે (એટલે કે $HT$ ની પેટર્ન)।
$HHH \rightarrow 0$
$HHT \rightarrow 1$
$HTH \rightarrow 1$
$HTT \rightarrow 1$
$THH \rightarrow 0$
$THT \rightarrow 1$
$TTH \rightarrow 0$
$TTT \rightarrow 0$
$X$ ની કિંમતો $0$ અને $1$ છે।
$P(X=0) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
મધ્યક $\mu = E[X] = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = (0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$64(\mu + \sigma^2) = 64(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$.

(A) કુલ નારંગીની સંખ્યા = $10$. ખામીયુક્ત નારંગીની સંખ્યા = $3$. સારી નારંગીની સંખ્યા = $7$. બે નારંગી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે $x$ એ ખામીયુક્ત નારંગીની સંખ્યા છે. $x$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, 1, 2$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x_i$	$P(x_i)$
$0$	$\frac{^7C_2}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$
$1$	$\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$
$2$	$\frac{^3C_2}{^{10}C_2} = \frac{3}{45} = \frac{6}{90}$

મધ્યક $\mu = E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{42}{90} + 1 \times \frac{42}{90} + 2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 12}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} = 0.6$.
હવે,$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{42}{90} + 1^2 \times \frac{42}{90} + 2^2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 24}{90} = \frac{66}{90} = \frac{11}{15}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55 - 27}{75} = \frac{28}{75}$.

(D) બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,તેથી $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)3^{-x} = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)3^{-x} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$.
તેથી $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$ અને $r=\frac{1}{3}$ છે,તેથી $\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$.
આમ $S = \frac{9}{4}$. કારણ કે $kS = 1$,તેથી $k = \frac{4}{9}$.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = k(1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = k(2)3^{-1} = \frac{2k}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X=2) = k(3)3^{-2} = \frac{3k}{9} = \frac{k}{3} = \frac{4}{27}$.
$P(X \geq 3) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \frac{4}{27}) = 1 - (\frac{12+8+4}{27}) = 1 - \frac{24}{27} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.

(B) $10$ માંથી $2$ પેન પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{^7C_2}{45} = \frac{21}{45}$	$\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{45} = \frac{21}{45}$	$\frac{^3C_2}{45} = \frac{3}{45}$

મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{21}{45} + 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+6}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}$.
અપેક્ષા $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{21}{45} + 1^2 \times \frac{21}{45} + 2^2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+12}{45} = \frac{33}{45} = \frac{11}{15}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55-27}{75} = \frac{28}{75}$.

(B) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$p + p + q + q = 1 \implies 2p + 2q = 1 \implies p + q = \frac{1}{2}$
હવે,અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0(p) + 1(p) + 2(q) + 3(q) = p + 5q$
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 0^2(p) + 1^2(p) + 2^2(q) + 3^2(q) = p + 13q$
આપેલ છે કે $E(X^2) = 2E(X)$:
$p + 13q = 2(p + 5q)$
$p + 13q = 2p + 10q$
$p = 3q$
$p + q = \frac{1}{2}$ માં $p = 3q$ મૂકતા:
$3q + q = \frac{1}{2} \implies 4q = \frac{1}{2} \implies q = \frac{1}{8}$
તેથી $p = 3(\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
અંતે,$8p - 1$ ની કિંમત શોધો:
$8(\frac{3}{8}) - 1 = 3 - 1 = 2$

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $X$ નું સંભાવના ઘનતા વિધેય (p.d.f.) છે,તેથી વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ.
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
$\int_0^1 ax dx + \int_1^2 a dx + \int_2^3 (3a - ax) dx = 1$
$a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + a [x]_1^2 + \left[ 3ax - \frac{ax^2}{2} \right]_2^3 = 1$
$a(\frac{1}{2}) + a(1) + [(9a - \frac{9a}{2}) - (6a - \frac{4a}{2})] = 1$
$\frac{a}{2} + a + [\frac{9a}{2} - 4a] = 1$
$\frac{a}{2} + a + \frac{a}{2} = 1$
$2a = 1$
$a = \frac{1}{2}$

(B) ક્યુમ્યુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન (c.d.f.) $F(x)$ એ પ્રોબેબિલિટી ડેન્સિટી ફંક્શન (p.d.f.) $f(x)$ નું $-\infty$ થી $x$ સુધીનું સંકલન છે.
$0 < x < 1$ માટે,આપણી પાસે છે:
$F(x) = \int_0^x f(t) dt$
$F(x) = \int_0^x 12t^2(1-t) dt$
$F(x) = 12 \int_0^x (t^2 - t^3) dt$
$F(x) = 12 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} \right]_0^x$
$F(x) = 12 \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right)$
$F(x) = 4x^3 - 3x^4$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ સતત યાદચ્છિક ચલ $X$ નું $p.d.f.$ છે જો તે બે શરતોનું પાલન કરે:
$1$. તમામ $x$ માટે $f(x) \ge 0$.
$2$. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$.
દરેક વિધેય તપાસીએ:
$F_{1}(x) = e^{-x}$ માટે $0 < x < \infty$:
$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$. આ $p.d.f.$ છે.
$F_{2}(x) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{\sqrt{x}}$ માટે $0 < x < 4$:
$\int_{0}^{4} \frac{1}{4\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = \frac{1}{4} (2 \times 2 - 0) = 1$. આ $p.d.f.$ છે.
$F_{3}(x) = 6x(1-x)$ માટે $0 < x < 1$:
$\int_{0}^{1} 6(x - x^2) \, dx = 6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 6 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{6}) = 1$. આ $p.d.f.$ છે.
$F_{4}(x) = \frac{x}{2}$ માટે $-2 < x < 2$:
અહીં,$x \in (-2, 0)$ માટે $f(x) = \frac{x}{2}$ ઋણ છે.
કારણ કે $p.d.f.$ તમામ $x$ માટે અ-ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $F_{4}$ એ $p.d.f.$ નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) એક સિક્કાને $4$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. કુલ શક્ય પરિણામો $n(S) = 2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4$ છે.
આપણે $P[X < 3] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાની જરૂર છે.
$n$ વખત ઉછાળતા $r$ છાપ મેળવવાની રીતો $\binom{n}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X=0$ માટે: $\binom{4}{0} = 1$ રીત.
$X=1$ માટે: $\binom{4}{1} = 4$ રીત.
$X=2$ માટે: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ રીત.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 4 + 6 = 11$.
તેથી,$P[X < 3] = \frac{11}{16}$.