Probability distribution Questions in Gujarati

(D) મૂળ દળ $N_0 = 800 \text{ mg}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5 \text{ દિવસ}$.
કુલ સમય $t = 30 \text{ દિવસ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$ છે.
બાકી રહેતું દળ $N$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
$N = 800 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = \frac{800}{64}$.
$N = 12.5 \text{ mg}$.

(A) $3$ સિક્કા ઉછાળતા,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે।
પરિણામો: ${HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}$.
$P(\text{બધા છાપા અથવા બધા કાંટા}) = P({HHH, TTT}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$P(\text{એક છાપો અથવા બે છાપા}) = P({HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $X$ એ જીતેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે।
$P(X = 7) = \frac{1}{4}$ અને $P(X = -3) = \frac{3}{4}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i p_i = 7 \times \frac{1}{4} + (-3) \times \frac{3}{4} = \frac{7}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$.
આમ,રમત દીઠ અપેક્ષિત રકમ ₹ $-0.5$ છે।

(A) ધારો કે $p$ એ એક ફેંકમાં છ (six) મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ છ (six) ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$X$ એ બે ફેંકમાં છ (six) ની સંખ્યા દર્શાવે છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(X = 0) = P(\text{કોઈ છ નથી}) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$.
$P(X = 1) = P(\text{એક છ}) = pq + qp = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$P(X = 2) = P(\text{બે છ}) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
આમ,સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X = x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(x_i)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(D) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$\frac{c}{1^3} + \frac{c}{2^3} + \frac{c}{3^3} = 1$
$c \left( 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} \right) = 1$
$c \left( \frac{216 + 27 + 8}{216} \right) = 1$
$c \left( \frac{251}{216} \right) = 1 \implies c = \frac{216}{251}$
હવે,અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$:
$E(X) = 1 \cdot \frac{c}{1^3} + 2 \cdot \frac{c}{2^3} + 3 \cdot \frac{c}{3^3}$
$E(X) = c \left( 1 + \frac{2}{8} + \frac{3}{27} \right) = c \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \right)$
$E(X) = c \left( \frac{36 + 9 + 4}{36} \right) = c \left( \frac{49}{36} \right)$
$c = \frac{216}{251}$ મૂકતા:
$E(X) = \frac{216}{251} \times \frac{49}{36} = 6 \times \frac{49}{251} = \frac{294}{251}$

(D) જ્યારે સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો મળે છે: $\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
ધારો કે $H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. $H+T=3$ હોવાથી,$T=3-H$ મળે.
તફાવત $X = |H-T| = |H-(3-H)| = |2H-3|$.
$H \in \{0, 1, 2, 3\}$ માટે:
જો $H=0, T=3, X=|0-3|=3$.
જો $H=1, T=2, X=|1-2|=1$.
જો $H=2, T=1, X=|2-1|=1$.
જો $H=3, T=0, X=|3-0|=3$.
આપણે $P(X=1)$ શોધવું છે,જે $H=1$ અથવા $H=2$ હોય ત્યારે મળે છે.
$H=1$ માટેના પરિણામો $\{HTT, THT, TTH\}$ ($3$ પરિણામો) છે.
$H=2$ માટેના પરિણામો $\{HHT, HTH, THH\}$ ($3$ પરિણામો) છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 + 3 = 6$.
તેથી,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ મળેલા એક્કાની સંખ્યા દર્શાવે છે,જે $0, 1, 2$ કિંમતો લઈ શકે છે.
$52$ માંથી $2$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
$0$ એક્કા મેળવવાની સંભાવના: $P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$1$ એક્કો મેળવવાની સંભાવના: $P(X=1) = \frac{^{4}C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$2$ એક્કા મેળવવાની સંભાવના: $P(X=2) = \frac{^{4}C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{188}{221}) + (1 \times \frac{32}{221}) + (2 \times \frac{1}{221}) = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$.

(C) ધારો કે $X$ એ $3$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ $B(n=3, p=0.5)$ મુજબ:
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{3}{8}, P(X=2) = \frac{3}{8}, P(X=3) = \frac{1}{8}$
લાભ $Y = 2X$ છે. અપેક્ષિત લાભ $E[Y] = 2E[X]$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે $E[X] = np = 3 \times 0.5 = 1.5$.
તેથી,$E[Y] = 2 \times 1.5 = 3$.

(D) ધારો કે $H$ એટલે છાપ અને $T$ એટલે કાંટો. જ્યારે $H$ મળે અથવા $T$ સળંગ $4$ વખત મળે ત્યારે પ્રયોગ અટકે છે.
$X=1$ માટે: પરિણામ ${H}$ છે. $P(X=1) = \frac{1}{2}$.
$X=2$ માટે: પરિણામ ${TH}$ છે. $P(X=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
$X=3$ માટે: પરિણામ ${TTH}$ છે. $P(X=3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
$X=4$ માટે: પરિણામો ${TTTH, TTTT}$ છે. $P(X=4) = (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
આમ,વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=1) = \frac{1}{2}$,$P(X=2) = \frac{1}{4}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$,$P(X=4) = \frac{1}{8}$.
આ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) કુલ નારંગી = $4 + 16 = 20$. ત્રણ નારંગી પસંદ કરવામાં આવે છે. $20$ માંથી $3$ નારંગી પસંદ કરવાની રીતો $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત નારંગીની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(16,3)}{1140} = \frac{1 \times 560}{1140} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(16,2)}{1140} = \frac{4 \times 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{24}{57} = \frac{8}{19}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(16,1)}{1140} = \frac{6 \times 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(16,0)}{1140} = \frac{4 \times 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ આ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે.

(B) ક્યુમ્યુલેટિવ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન $F(x)$ ને $P(X \leqslant x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ ટેબલ પરથી,આપણી પાસે છે:
$P(X \leqslant 0) = F(0) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(X > 0) = 1 - P(X \leqslant 0)$.
તેથી,$P(X > 0) = 1 - 0.5 = 0.5$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)}$ ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
$\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $X$ એ $n$ કરતા નાની સંખ્યા મેળવવા માટે જરૂરી ઉછાળની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
આ એક ભૌમિતિક વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં સફળતાની સંભાવના $p$ એ ${1, 2, \dots, n-1}$ માંથી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે.
તેથી,$p = \frac{n-1}{n}$.
ભૌમિતિક વિતરણનો મધ્યક $E[X] = \frac{1}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E[X] = \frac{n}{9}$,તેથી $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$.
$p = \frac{n-1}{n}$ મૂકતા,આપણને $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ મળે છે.
$n \in N$ અને $n > 1$ હોવાથી,$n$ વડે ભાગતા $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
તેથી,$n-1 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.

(C) એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $2$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
તેની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = \frac{1}{4}$
પ્રાપ્તિ $G(X) = X^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અપેક્ષિત પ્રાપ્તિ $E[G(X)]$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$E[G(X)] = \sum P(X=x) \cdot G(x)$
$E[G(X)] = (P(X=0) \cdot 0^{3}) + (P(X=1) \cdot 1^{3}) + (P(X=2) \cdot 2^{3})$
$E[G(X)] = (\frac{1}{4} \cdot 0) + (\frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{1}{4} \cdot 8)$
$E[G(X)] = 0 + 0.5 + 2 = 2.5$
આમ,અપેક્ષિત પ્રાપ્તિ $₹ 2.50$ છે.

(A) $8$ માંથી $2$ બેટરી પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ છે.
ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત બેટરીઓની સંખ્યા છે. ખામીયુક્ત બેટરીઓની સંખ્યા $3$ છે અને સારી બેટરીઓની સંખ્યા $5$ છે.
આપણે $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X=0)$ એ $0$ ખામીયુક્ત અને $2$ સારી બેટરી પસંદ કરવાની સંભાવના છે: $P(X=0) = \frac{^{3}C_{0} \times ^{5}C_{2}}{^{8}C_{2}} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$.
$P(X=1)$ એ $1$ ખામીયુક્ત અને $1$ સારી બેટરી પસંદ કરવાની સંભાવના છે: $P(X=1) = \frac{^{3}C_{1} \times ^{5}C_{1}}{^{8}C_{2}} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$.
તેથી,$P(X \leq 1) = \frac{10}{28} + \frac{15}{28} = \frac{25}{28}$.

(C) પગલું $1$: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $k$ ની કિંમત શોધો.
$f(x) = 0$ હોવાથી $x \leq 0$ માટે,આપણી પાસે $\int_{0}^{\infty} \frac{k}{x^2+1} dx = 1$ છે.
પગલું $2$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $k [\tan^{-1} x]_{0}^{\infty} = 1$.
$k (\frac{\pi}{2} - 0) = 1 \implies k = \frac{2}{\pi}$.
પગલું $3$: c.d.f. $F(x)$ ને $x > 0$ માટે $P(X \leq x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{2/\pi}{t^2+1} dt = \frac{2}{\pi} [\tan^{-1} t]_{0}^{x} = \frac{2}{\pi} \tan^{-1} x$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$2k + k + 2k + 4k + k = 1$,જેનો અર્થ થાય છે કે $10k = 1$,તેથી $k = 0.1$.
હવે,$a = P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 2k + k + 2k = 5k = 5(0.1) = 0.5$ ગણો.
ત્યારબાદ,$b = P(2 < X < 4) = P(X=3) = 4k = 4(0.1) = 0.4$ ગણો.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$a = 0.5$ અને $b = 0.4$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a > b$.

(B) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
$1$. કિસ્સો $1$: બધા છાપા અથવા બધા કાંટા મળે.
પરિણામો $HHH$ અને $TTT$ છે. આવા $2$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{જીત } ₹150) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$2$. કિસ્સો $2$: એક છાપો અથવા બે છાપા મળે.
પરિણામો $HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH$ છે. આવા $6$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{હાર } ₹50) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$3$. અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$:
$E(X) = (150 \times \frac{1}{4}) + (-50 \times \frac{3}{4})$
$E(X) = \frac{150}{4} - \frac{150}{4} = 0$.
તેથી,રમત દીઠ સરેરાશ તે $₹0$ જીતી કે હારી શકે છે.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\frac{1}{5} + A + B = 1 \implies A + B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ (સમીકરણ $1$).
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ એ $\sum X \cdot P(X)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E(X) = 30 \cdot (\frac{1}{5}) + 10 \cdot A + (-10) \cdot B = 4$
$6 + 10A - 10B = 4$
$10A - 10B = -2 \implies 5A - 5B = -1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$B = \frac{4}{5} - A$. આને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$5A - 5(\frac{4}{5} - A) = -1$
$5A - 4 + 5A = -1$
$10A = 3 \implies A = \frac{3}{10}$.
હવે,$B$ શોધો: $B = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
$AB$ ની કિંમત $AB = (\frac{3}{10}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{3}{20}$ થાય.

(C) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
ધારો કે $X$ એ રાણીઓની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$P(X=1) = \frac{^4C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$P(X=2) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{2}{221} = \frac{34}{221}$.
$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{4}{221} = \frac{36}{221}$.
હવે,$2 E(X) + 3 E(X^2) = 2 \left(\frac{34}{221}\right) + 3 \left(\frac{36}{221}\right) = \frac{68 + 108}{221} = \frac{176}{221}$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
આ $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x$ સ્વરૂપની એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે,જ્યાં $r = \frac{1}{5}$.
શ્રેણી $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = \frac{1}{(1-r)^2}$ નો સરવાળો થાય છે.
$r = \frac{1}{5}$ મૂકતા: $\frac{1}{(1 - 1/5)^2} = \frac{1}{(4/5)^2} = \frac{1}{16/25} = \frac{25}{16}$.
આમ,$k \times \frac{25}{16} = 1$,જે આપણને $k = \frac{16}{25}$ આપે છે.
આપણે $P(X=0)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k \times 1 \times 1 = k$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(A) $6$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
ધારો કે $X$ એ બે સંખ્યાઓમાંથી મોટી સંખ્યા છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5, 6$ છે.
જો $X = 2$ હોય,તો જોડી $(1, 2)$ છે,તેથી $P(X=2) = \frac{1}{15}$.
જો $X = 3$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 3), (2, 3)$ છે,તેથી $P(X=3) = \frac{2}{15}$.
જો $X = 4$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 4), (2, 4), (3, 4)$ છે,તેથી $P(X=4) = \frac{3}{15}$.
જો $X = 5$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)$ છે,તેથી $P(X=5) = \frac{4}{15}$.
જો $X = 6$ હોય,તો જોડીઓ $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ છે,તેથી $P(X=6) = \frac{5}{15}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x P(X=x) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$.
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
આમ,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1$,જ્યાં $r = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = (1-r)^{-2}$.
$r = \frac{1}{2}$ માટે,સરવાળો $(1 - \frac{1}{2})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ થાય છે.
તેથી,$k(4) = 1$,જે $k = \frac{1}{4}$ આપે છે.
હવે,આપણે $P(X=1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X=1) = k(1+1)\left(\frac{1}{2}\right)^1 = k(2)(\frac{1}{2}) = k$.
કારણ કે $k = \frac{1}{4}$,તેથી $P(X=1) = \frac{1}{4}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{1+p}{5} + \frac{2-2p}{5} + \frac{2-p}{5} + \frac{2p}{5} = 1$
$\frac{1+p+2-2p+2-p+2p}{5} = 1$
$\frac{5}{5} = 1$. આ કોઈપણ $p$ માટે હંમેશા સાચું છે.
કારણ કે $P(X=x) \ge 0$ તમામ $x$ માટે,આપણી પાસે છે:
$1+p \ge 0 \implies p \ge -1$
$2-2p \ge 0 \implies p \le 1$
$2-p \ge 0 \implies p \le 2$
$2p \ge 0 \implies p \ge 0$
આ બધાને જોડતા,$0 \le p \le 1$. $p$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.
હવે,$E(X) = \sum x P(X=x)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X) = 0 \cdot \frac{1+p}{5} + 1 \cdot \frac{2-2p}{5} + 2 \cdot \frac{2-p}{5} + 3 \cdot \frac{2p}{5}$
$E(X) = \frac{2-2p + 4-2p + 6p}{5} = \frac{6+2p}{5}$
$p=0$ માટે,$E(X) = \frac{6}{5}$.
તેથી,$5 E(X) = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6$.

(B) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x) = P(X \le x)$ છે.
$P[X=-3]$ શોધવા માટે,આપણે c.d.f. ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P[X=-3] = F(-3) = 0.1$.
$P[X < 0]$ શોધવા માટે,આપણે નોંધવું જોઈએ કે $X < 0$ માં $X = -3$ અને $X = -1$ કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે.
આમ,$P[X < 0] = P(X = -3) + P(X = -1) = F(-1) = 0.3$.
હવે,આપણે જરૂરી ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{P[X=-3]}{P[X < 0]} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સંભાવના ઘનતા વિધેય (p.d.f.) માટે,વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\int_{1}^{3} f(x) dx = 1$.
$f(x) = \frac{ax^2}{2} + bx$ મૂકતા:
$\int_{1}^{3} (\frac{ax^2}{2} + bx) dx = [\frac{ax^3}{6} + \frac{bx^2}{2}]_{1}^{3} = 1$.
સીમાઓ પર ગણતરી કરતા: $(\frac{27a}{6} + \frac{9b}{2}) - (\frac{a}{6} + \frac{b}{2}) = 1$.
$\frac{26a}{6} + \frac{8b}{2} = 1 \implies \frac{13a}{3} + 4b = 1 \implies 13a + 12b = 3$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $f(2) = 2$:
$\frac{a(2)^2}{2} + b(2) = 2 \implies 2a + 2b = 2 \implies a + b = 1 \implies b = 1 - a$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$13a + 12(1 - a) = 3$.
$13a + 12 - 12a = 3$.
$a = 3 - 12 = -9$.
$b = 1 - a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = 1 - (-9) = 10$.
આમ,$a = -9$ અને $b = 10$.

(C) ધારો કે $S$ એ $5$ અથવા $6$ મેળવવાની ઘટના (સફળતા) છે અને $F$ એ $1, 2, 3,$ અથવા $4$ મેળવવાની ઘટના (નિષ્ફળતા) છે.
સફળતાની સંભાવના $P(S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $P(F) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
જો તેને $S$ મળે અથવા $3$ પ્રયત્નો પછી રમત અટકી જાય છે.
શક્ય પરિણામો:
$1$. પ્રથમ પ્રયત્ને સફળતા: $S$. સંભાવના $P_1 = \frac{1}{3}$. નફો = $₹ 40$.
$2$. બીજા પ્રયત્ને સફળતા: $FS$. સંભાવના $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. નફો = $40 - 20 = ₹ 20$.
$3$. ત્રીજા પ્રયત્ને સફળતા: $FFS$. સંભાવના $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$. નફો = $40 - 20 - 20 = ₹ 0$.
$4$. ત્રણેય પ્રયત્નોમાં નિષ્ફળતા: $FFF$. સંભાવના $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. નફો = $-20 - 20 - 20 = -₹ 60$.
અપેક્ષિત નફો $E = (40 \times \frac{1}{3}) + (20 \times \frac{2}{9}) + (0 \times \frac{4}{27}) + (-60 \times \frac{8}{27})$.
$E = \frac{40}{3} + \frac{40}{9} + 0 - \frac{480}{27} = \frac{360 + 120 - 480}{27} = \frac{0}{27} = 0$.

(B) $1$. સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે. તેથી,$\frac{1}{4} + K + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + K = 1 \implies \frac{5}{6} + K = 1 \implies K = \frac{1}{6}$.
$2$. મધ્યક $\mu = \sum x_i P(x_i) = (-3)(\frac{1}{4}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{4}) + (\alpha)(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$.
$3$. વિચરણ $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$.
$\sum x_i^2 P(x_i) = (-3)^2(\frac{1}{4}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{4}) + (\alpha)^2(\frac{1}{3}) = \frac{9}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha^2}{3} = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3}$.
$4$. આપેલ છે કે $\sigma - \mu = 2$,તેથી $\sigma = \mu + 2$. આ કિંમત $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$ માં મૂકતા:
$(\mu + 2)^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2 \implies \mu^2 + 4\mu + 4 = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \mu^2$.
$5$. $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકીને $\alpha$ માટે ઉકેલતા $\alpha = 3$ મળે છે.
$6$. તેથી $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{2}$.
$7$. અંતે,$\sigma = \mu + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.1) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ છે.
$E(X^2) = (0^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.3) + (2^2 \times 0.1) + (3^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$.
$X$ નું વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Var(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$Var(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$.

(A) પગલું $1$: $\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $k$ ની કિંમત શોધો.
$\int_{0}^{1} k(x - x^2) dx = k [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = k(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = k(\frac{1}{6}) = 1 \implies k = 6$.
પગલું $2$: $P(X > a) = \frac{20}{27}$ શરતનો ઉપયોગ કરો.
$P(X > a) = \int_{a}^{1} 6(x - x^2) dx = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} = \frac{20}{27}$.
$6 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{a^2}{2} - \frac{a^3}{3})] = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{1}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3}] = \frac{20}{27}$.
$1 - 3a^2 + 2a^3 = \frac{20}{27}$.
$2a^3 - 3a^2 + 1 - \frac{20}{27} = 0 \implies 2a^3 - 3a^2 + \frac{7}{27} = 0$.
$54a^3 - 81a^2 + 7 = 0$.
$a = \frac{1}{3}$ મૂકતા: $54(\frac{1}{27}) - 81(\frac{1}{9}) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$.
આમ,$a = \frac{1}{3}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
કારણ કે $k > 0$,તેથી $k = \frac{1}{10}$ મળે.
આપણે $P(X \geqslant 6) = P(X=6) + P(X=7)$ શોધવાનું છે.
$P(X=6) = 2k^2 = 2(\frac{1}{10})^2 = \frac{2}{100}$.
$P(X=7) = 7k^2 + k = 7(\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} = \frac{7}{100} + \frac{10}{100} = \frac{17}{100}$.
તેથી,$P(X \geqslant 6) = \frac{2}{100} + \frac{17}{100} = \frac{19}{100}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. તેથી,$\sum P(X=x) = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$.
$0.1 + k(1) + k(2) + k(5-3) + k(5-4) = 1$.
$0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$.
$0.1 + 6k = 1$.
$6k = 0.9$,તેથી $k = 0.15$.
આપણે રવિવારે ઓછામાં ઓછા બે કલાક અભ્યાસ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ છે.
$P(X=2) = k(2) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=3) = k(5-3) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=4) = k(5-4) = 1(0.15) = 0.15$.
$P(X \ge 2) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(X=x) = K + 2K + K^2 + 2K + 5K^2 = 1$.
સમાન પદોને જોડતા,આપણને $6K^2 + 5K - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(6K - 1)(K + 1) = 0$.
આનાથી $K = \frac{1}{6}$ અથવા $K = -1$ મળે છે.
સંભાવના ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $K = \frac{1}{6}$ લેવું પડે.
આપણે $P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 2) = K^2 + 2K + 5K^2 = 6K^2 + 2K$.
$K = \frac{1}{6}$ મૂકતા: $P(X > 2) = 6(\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{1}{6}) = 6(\frac{1}{36}) + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $X$ એ જીતેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. બે સિક્કા ઉછાળવાના શક્ય પરિણામો ${HH, HT, TH, TT}$ છે.
$1$. જો $2$ છાપ મળે $(HH)$,તો $X = 10$. સંભાવના $P(X=10) = \frac{1}{4}$.
$2$. જો $1$ છાપ મળે $(HT, TH)$,તો $X = 5$. સંભાવના $P(X=5) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$3$. જો $0$ છાપ મળે $(TT)$,તો $X = 2$. સંભાવના $P(X=2) = \frac{1}{4}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = (10 \times \frac{1}{4}) + (5 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{4}) = 2.5 + 2.5 + 0.5 = 5.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (10^2 \times \frac{1}{4}) + (5^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times \frac{1}{4}) = (100 \times 0.25) + (25 \times 0.5) + (4 \times 0.25) = 25 + 12.5 + 1 = 38.5$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$.

(B) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$0 < x < 4$ માટે,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} \, dt = \left[ \frac{t^2}{16} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{16}$.
$x \le 0$ માટે,$F(x) = 0$.
$x \ge 4$ માટે,$F(x) = 1$.
કિંમતોની ગણતરી:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = 0.015625 \approx 0.0156$.
$F(1.7) = \frac{(1.7)^2}{16} = \frac{2.89}{16} = 0.180625 \approx 0.18$.
$F(5) = 1$ (કારણ કે $5 \ge 4$).
આમ,કિંમતો $0.0156, 0.18, 1$ છે.

(B) મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી $\sum x_i P(x_i) = (1 \times 0.1) + (2 \times 0.2) + (3 \times 0.3) + (4 \times 0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
વિચરણ $Var(X)$ ની ગણતરી $E(X^2) - [E(X)]^2$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times 0.1) + (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.3) + (4^2 \times 0.4) = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10.0$.
$Var(X) = 10.0 - (3.0)^2 = 10.0 - 9.0 = 1.0$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1.0} = 1.0$.
આમ,મધ્યક $3$ છે અને પ્રમાણિત વિચલન $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $70 \%$ સભ્યો દરખાસ્તની તરફેણમાં છે,તેથી સંભાવના $P(X=1) = 0.70$.
$30 \%$ સભ્યો વિરોધમાં હોવાથી,સંભાવના $P(X=0) = 0.30$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.30) + (1 \times 0.70) = 0.70$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.30) + (1^2 \times 0.70) = 0.70$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.70 - (0.70)^2 = 0.70 - 0.49 = 0.21$.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (2 \times 0.2) + (3 \times 0.5) + (4 \times 0.3) = 0.4 + 1.5 + 1.2 = 3.1$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ છે.
$E(X^2) = (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.5) + (4^2 \times 0.3) = (4 \times 0.2) + (9 \times 0.5) + (16 \times 0.3) = 0.8 + 4.5 + 4.8 = 10.1$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ છે.
$Var(X) = 10.1 - (3.1)^2 = 10.1 - 9.61 = 0.49$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7$ છે.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = 1$
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$
$0.2 + k(1) + k(2) + k(6-3) + k(6-4) = 1$
$0.2 + k + 2k + 3k + 2k = 1$
$0.2 + 8k = 1$
$8k = 0.8$
$k = 0.1$
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થી વધુમાં વધુ બે કલાક અભ્યાસ કરે,જે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$P(X \le 2) = 0.2 + k(1) + k(2) = 0.2 + 3k$
$k = 0.1$ મૂકતા:
$P(X \le 2) = 0.2 + 3(0.1) = 0.2 + 0.3 = 0.5$.

(C) અહીં આપણને સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x) = \frac{x^2}{18}$ આપેલું છે,જ્યાં $-3 < x < 3$ છે.
આપણે $P[|X| < 2]$ શોધવાનું છે.
શરત $|X| < 2$ એ $-2 < x < 2$ ને સમાન છે.
તેથી,$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$.
$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$P[|X| < 2] = 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
$P[|X| < 2] = 2 \times \frac{1}{18} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right)$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{27}$.

(B) આપેલ છે કે $P(X=x) = k(x+1) 5^{-x}$ જ્યાં $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનું સ્વરૂપ $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1) r^x$ છે,જ્યાં $r = \frac{1}{5}$.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{1}{(1-r)^2}$ થાય છે.
તેથી,$k \times \frac{1}{(1 - \frac{1}{5})^2} = 1$.
$k \times \frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = 1$.
$k \times \frac{25}{16} = 1$,જે આપણને $k = \frac{16}{25}$ આપે છે.
હવે,$P(X=0) = k(0+1) 5^{-0} = k(1)(1) = k$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(B) મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) = 1(0.2) + 2(0.4) + 3(0.3) + 4(0.1) = 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3$
વિચરણ $\operatorname{Var}(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) = 1^2(0.2) + 2^2(0.4) + 3^2(0.3) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0.2 + 1.6 + 2.7 + 1.6 = 6.1$
$\operatorname{Var}(X) = 6.1 - (2.3)^2 = 6.1 - 5.29 = 0.81$

(A) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.1) + 3(0.1) + 4(0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
યાદચ્છિક ચલના વર્ગનું અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ નીચે મુજબ છે:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2(0.4) + 1^2(0.3) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0(0.4) + 1(0.3) + 4(0.1) + 9(0.1) + 16(0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
$X$ નું વિચરણ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$

(D) ધારો કે યાદચ્છિક ચલ $X$ એ નફો અથવા નુકસાન દર્શાવે છે.
જ્યારે નિષ્પક્ષ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,જે દરેકની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
જો સંખ્યા બેકી હોય,તો નફો એ દેખાતી સંખ્યા જેટલો છે $(X = x)$.
જો સંખ્યા એકી હોય,તો નુકસાન એ દેખાતી સંખ્યા જેટલું છે $(X = -x)$.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X = x$	$-1$	$2$	$-3$	$4$	$-5$	$6$
$P(X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ એ $\sum x \cdot P(X=x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E(X) = (-1) \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$
$E(X) = \frac{-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6}{6}$
$E(X) = \frac{3}{6} = 0.5$
આમ,અપેક્ષિત કિંમત ₹ $0.5$ છે.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\sum_{x=0}^{8} P(X=x) = 1$
$\Rightarrow k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$\Rightarrow 21k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{21}$
હવે,આપણે $P(3 < X \leq 6)$ શોધવાની જરૂર છે. આમાં $X = 4, 5, 6$ કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે.
$\therefore P(3 < X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$
$= 4k + 3k + 2k = 9k$
$k = \frac{1}{21}$ મૂકતા:
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$
આમ,$k = \frac{1}{21}$ અને $P(3 < X \leq 6) = \frac{3}{7}$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = 1$
$0 + 2p + 2p + 3p + p^2 + 2p^2 + 7p^2 + 2p = 1$
પદોને ભેગા કરતા,આપણને મળે છે:
$10p^2 + 9p = 1$
$10p^2 + 9p - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$10p^2 + 10p - p - 1 = 0$
$10p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$
$(10p - 1)(p + 1) = 0$
આથી $p = \frac{1}{10}$ અથવા $p = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X)$ હંમેશા અઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $p = -1$ શક્ય નથી.
તેથી,$p = \frac{1}{10}$.

(A) ધારો કે $X$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(X)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}$
$E(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)$
$E(X) = \frac{252}{36} = 7$

(D) આપેલ સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0.3$ | $0.4$ | $0.3$ |
પ્રથમ,આપણે મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.3) = 0.6 + 1.2 + 1.2 = 3.0$
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 2^2(0.3) + 3^2(0.4) + 4^2(0.3) = 4(0.3) + 9(0.4) + 16(0.3) = 1.2 + 3.6 + 4.8 = 9.6$
અંતે,વિચરણ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Variance}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9.6 - (3)^2 = 9.6 - 9 = 0.6$

(D) બધી સંભાવનાઓ $0 \leq P(X=x_i) \leq 1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$0 \leq \frac{1+3p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1-p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1+2p}{4} \leq 1$,અને $0 \leq \frac{1-4p}{4} \leq 1$.
આ અસમતાઓ ઉકેલતા:
$1$) $1+3p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/3$
$2$) $1-p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1$
$3$) $1+2p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/2$
$4$) $1-4p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1/4$
આ બધાને ભેગા કરતા,$-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ મળે છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = (-1)\left(\frac{1+3p}{4}\right) + 0\left(\frac{1-p}{4}\right) + 1\left(\frac{1+2p}{4}\right) + 2\left(\frac{1-4p}{4}\right)$.
$E(X) = \frac{-1-3p+1+2p+2-8p}{4} = \frac{2-9p}{4}$.
આપેલ $-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ માટે,$E(X)$ નો વિસ્તાર શોધીએ:
જો $p = 1/4$,તો $E(X) = \frac{2-9(1/4)}{4} = \frac{2-2.25}{4} = -\frac{0.25}{4} = -\frac{1}{16}$.
જો $p = -1/3$,તો $E(X) = \frac{2-9(-1/3)}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{16}$ અને મહત્તમ કિંમત $\frac{5}{4}$ છે.

(D) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા એક થાય છે.
$\therefore k + 3k + 3k + k = 1$
$\Rightarrow 8k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{8}$
હવે,મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0\left(\frac{1}{8}\right) + 1\left(\frac{3}{8}\right) + 2\left(\frac{3}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
આગળ,$E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2\left(\frac{1}{8}\right) + 1^2\left(\frac{3}{8}\right) + 2^2\left(\frac{3}{8}\right) + 3^2\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X^2) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
છેલ્લે,વિચરણ $\operatorname{Var}(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$
આમ,$k = \frac{1}{8}$ અને $\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{4}$ મળે છે.