Binomial distribution Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ બનવાની સંભાવના $P(A) = 0.4$ છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
$n = 3$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો માટે,ઘટના $A$ એક પણ વાર ન બને તેની સંભાવના $P(\text{none}) = (P(\bar{A}))^3 = (0.6)^3 = 0.216$ છે.
ઘટના $A$ ઓછામાં ઓછી એક વાર બને તેની સંભાવના $P(\text{at least once}) = 1 - P(\text{none})$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{at least once}) = 1 - 0.216 = 0.784$.

(D) આપેલ છે કે ઘટના ન બનવાની સંભાવના $P(\bar{A}) = 0.05$ છે.
તેથી,ઘટના બનવાની સંભાવના $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.05 = 0.95$ થાય.
ઘટના $4$ ક્રમિક પ્રસંગોએ બને તેની સંભાવના $[P(A)]^4$ દ્વારા મળે છે.
$= (0.95)^4 = 0.81450625$.

(B) છોકરો જન્મવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{2}$ અને છોકરી જન્મવાની સંભાવના $P(G) = \frac{1}{2}$ છે.
$4$ બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક છોકરી હોવાની ઘટના એ કોઈ પણ છોકરી ન હોય (એટલે કે બધા છોકરાઓ હોય) તેવી ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
કોઈ પણ છોકરી ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{બધા છોકરાઓ}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છોકરી હોવાની સંભાવના $1 - P(\text{બધા છોકરાઓ}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ છે.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે.
$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge 0.9$.
આથી $\left(\frac{1}{2}\right)^n \le 0.1$.
$\Rightarrow \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{10}$.
$\Rightarrow 2^n \ge 10$.
$n=3$ માટે,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ માટે,$2^4 = 16 \ge 10$.
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ સંખ્યા $n = 4$ છે.

(C) એક પ્રયત્નમાં પક્ષીને મારવાની સંભાવના $p = 3/4$ છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં પક્ષીને ન મારવાની સંભાવના $q = 1 - 3/4 = 1/4$ છે.
વ્યક્તિ $5$ વાર સ્વતંત્ર રીતે પ્રયત્ન કરે છે,તેથી તે $5$ પ્રયત્નોમાં એક પણ વાર પક્ષીને ન મારી શકે તેની સંભાવના $q^5$ થશે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $(1/4)^5 = 1/1024$ છે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ બે વ્યક્તિઓ છે. દરેક વ્યક્તિ $3$ વાર સિક્કો ઉછાળે છે. દરેક વ્યક્તિ દ્વારા મેળવેલ છાપની સંખ્યા દ્વિપદી વિતરણ $B(n=3, p=1/2)$ ને અનુસરે છે.
$k$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(X=k) = \binom{3}{k} (1/2)^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{3}{8}, P(X=2) = \frac{3}{8}, P(X=3) = \frac{1}{8}$
જ્યારે બંનેને $0, 1, 2,$ અથવા $3$ છાપ મળે ત્યારે શરત સંતોષાય છે.
જરૂરી સંભાવના $= P(A=0)P(B=0) + P(A=1)P(B=1) + P(A=2)P(B=2) + P(A=3)P(B=3)$
$= \frac{1}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.

(D) એક બીટ સાચું હોવાની સંભાવના $1 - p$ છે.
તમામ $16$ બીટ્સ સ્વતંત્ર હોવાથી,તમામ $16$ બીટ્સ સાચા હોવાની સંભાવના $(1 - p)^{16}$ છે.
ખોટી સંખ્યા બનવાની સંભાવના એ સંખ્યા સાચી હોવાની સંભાવનાની પૂરક ઘટના છે.
તેથી,ખોટી સંખ્યા બનવાની સંભાવના $1 - (1 - p)^{16}$ છે.

(D) જ્યારે સિક્કાને $4$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તે ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ એ છે કે એક પણ છાપ ન મળે,જેનો અર્થ છે કે ચારેય વખત કાંટો (tail) મળે.
$E'$ માટે માત્ર એક જ પરિણામ $(T, T, T, T)$ છે,તેથી $P(E') = \frac{1}{16}$.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 1/5$.
ધારો કે $q$ એ લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - 1/5 = 4/5$.
$n = 10$ પ્રયત્નો માટે,એક પણ વાર લક્ષ્ય ન વીંધવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = 0) = q^n = (4/5)^{10}$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછા એક વાર લક્ષ્ય વીંધવાની સંભાવના $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
તેથી,$P(X \ge 1) = 1 - (4/5)^{10}$.

(D) સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળતા $k$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X = k) = {}^nC_k \times p^k \times q^{n-k}$.
અહીં,$n = 8$,$k = 4$,$p = \frac{1}{2}$ (છાપ મળવાની સંભાવના),અને $q = \frac{1}{2}$ (કાંટો મળવાની સંભાવના).
આ કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 4) = {}^8C_4 \times (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^{8-4}$
$P(X = 4) = {}^8C_4 \times (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 4) = \frac{{}^8C_4}{2^8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જ્યારે સિક્કાને $100$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^{100}$ છે.
એકી સંખ્યામાં છાપ (tails) મળવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{100}{1} + \binom{100}{3} + \dots + \binom{100}{99}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી નિત્યસમ $\sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\binom{100}{1} + \binom{100}{3} + \dots + \binom{100}{99} = 2^{100-1} = 2^{99}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) એક સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$n = 8$ પ્રયત્નો માટે,$r$ છાપ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r} = {}^8C_r (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{8-r} = {}^8C_r (\frac{1}{2})^8$.
આપણે ઓછામાં ઓછી $6$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$ છે.
$P(X = 6) = {}^8C_6 (\frac{1}{2})^8 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.
$P(X = 7) = {}^8C_7 (\frac{1}{2})^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X = 8) = {}^8C_8 (\frac{1}{2})^8 = 1 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.

(D) કુલ ઈંડાની સંખ્યા = $100$.
બગડેલા ઈંડાની સંખ્યા = $10$.
સારા (તાજા) ઈંડાની સંખ્યા = $100 - 10 = 90$.
તાજું ઈંડું પસંદ કરવાની સંભાવના $(p)$ = $\frac{90}{100} = \frac{9}{10}$.
અહીં નમૂના લેવાની પ્રક્રિયા બદલી સાથે (with replacement) હોવાથી,દરેક પ્રયત્નમાં તાજું ઈંડું પસંદ કરવાની સંભાવના અચળ રહે છે.
આપણે $n = 5$ ઈંડાના નમૂનામાં એક પણ ઈંડું બગડેલું ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે પાંચેય ઈંડા તાજા હોવા જોઈએ.
સંભાવના = $p \times p \times p \times p \times p = p^5$.
સંભાવના = $(\frac{9}{10})^5$.

(B) ધારો કે $n = 5$ એ કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{5}$ છે,તેથી $q = \frac{1}{5}$.
તેથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $r = 1$ એ તરવૈયાઓની સંખ્યા છે.
$P(X = 1) = {}^5C_1 \left( \frac{4}{5} \right)^1 \left( \frac{1}{5} \right)^{5-1} = {}^5C_1 \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{1}{5} \right)^4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,એક ઉછાળમાં છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ ઉછાળમાં $k$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k} = {}^nC_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{n-k} = {}^nC_k (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $6$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના એ $8$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના જેટલી છે:
$P(X = 6) = P(X = 8)$
${}^nC_6 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_8 (\frac{1}{2})^n$
${}^nC_6 = {}^nC_8$
સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો ${}^nC_a = {}^nC_b$ હોય,તો $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય.
અહીં $6 \neq 8$ હોવાથી,$6 + 8 = n$ લેતા.
તેથી,$n = 14$ મળે છે.

(D) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ધારો કે $X$ એ $5$ દર્શાવતા પાસાઓની સંખ્યા છે. એક પાસા પર $5$ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે,અને $5$ ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $5$ મળે તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
ત્રણેય પાસાઓમાંથી કોઈ પણ પર $5$ ન મળે તેની સંભાવના $P(X = 0) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ છે.

(A) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં સફળતાની સંભાવના $p$ ($5$ મેળવવી) $\frac{1}{6}$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q$ ($5$ ન મેળવવી) $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
અહીં,પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 7$ છે અને જરૂરી સફળતાઓની સંખ્યા $r = 4$ છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(X = 4) = {}^7C_4 \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( \frac{5}{6} \right)^{7-4}$ મળે છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $^7C_4 \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( \frac{5}{6} \right)^3$ છે.

(A) ધારો કે $n = 4$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે (પાસાના ફેંક).
ધારો કે $p$ એ એક ફેંકમાં 'છગ્ગો' આવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ 'છગ્ગો' ન આવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
પાસાના ફેંક સ્વતંત્ર હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
$x$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(x = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 4$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P(x = 4) = {}^4C_4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{4-4}$
$P(x = 4) = 1 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^0$
$P(x = 4) = 1 \cdot \frac{1}{1296} \cdot 1 = \frac{1}{1296}$.

(A) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ (પ્રયત્નોની સંખ્યા),$p = \frac{3}{5}$ (સફળતાની સંભાવના),અને $q = 1 - p = \frac{2}{5}$ (નિષ્ફળતાની સંભાવના).
$n$ પ્રયત્નોમાં બરાબર $k$ સફળતા મેળવવાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ છે.
$k = 2$ માટે:
$P(X = 2) = {}^5C_2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{5-2}$
$P(X = 2) = 10 \cdot \left(\frac{9}{25}\right) \cdot \left(\frac{8}{125}\right)$
$P(X = 2) = 10 \cdot \frac{72}{3125} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}$.

(B) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ અને $k = 3$ છે.
એક પાસાને ફેંકતા $6$ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
$6$ ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$n$ પ્રયત્નોમાં બરાબર $k$ સફળતા મેળવવાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 3) = {}^5C_3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{5-3}$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot (\frac{5}{6})^2$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36}$
$P(X = 3) = \frac{250}{7776} = \frac{125}{3888}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 6$ અને વિચરણ $npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{2}{6}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $q = \frac{1}{3}$ થાય છે.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
મધ્યકના સમીકરણ $np = 6$ માં $p = \frac{2}{3}$ મૂકતા,આપણને $n(\frac{2}{3}) = 6$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 6 \times \frac{3}{2} = 9$.
આમ,દ્વિપદી વિતરણ $(q + p)^n$ છે,જે $(\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^9$ થાય છે.

(D) પાસાને એકવાર ફેંકતા બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 10$ અને $r = 4$ છે:
$P(X = 4) = ^{10}C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^{10-4}$
$P(X = 4) = ^{10}C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^6 = ^{10}C_4 (\frac{1}{2})^{10}$.
કારણ કે $^{10}C_4 = ^{10}C_{10-4} = ^{10}C_6$,તેથી સંભાવનાને $^{10}C_6 (\frac{1}{2})^{10}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$,તેથી $q = \frac{1}{2}$ મળે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$np = 2$ માં $p = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 2$,તેથી $n = 4$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ $P(X \ge 1)$ શોધતા: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(D) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે $X$ એ મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ $n$ અને $p = \frac{1}{2}$ પ્રાચલો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \ge 1) \ge 0.8$.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
તેથી,$1 - P(X = 0) \ge 0.8 \Rightarrow P(X = 0) \le 0.2$.
કારણ કે $P(X = 0) = \binom{n}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(1 - \frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,તેથી $\left(\frac{1}{2}\right)^n \le 0.2$.
$\Rightarrow \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{5} \Rightarrow 2^n \ge 5$.
$n = 1$ માટે,$2^1 = 2 < 5$.
$n = 2$ માટે,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8 \ge 5$.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(B) ધારો કે $n$ એ ફેંકવામાં આવેલા બોમ્બની સંખ્યા છે અને $X$ એ પુલને અથડાતા બોમ્બની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $p = \frac{1}{2}$ છે.
જો $X \ge 2$ હોય તો પુલ નાશ પામે છે. આપણે $P(X \ge 2) > 0.9$ ઇચ્છીએ છીએ.
આ $1 - P(X < 2) > 0.9$ ને સમકક્ષ છે,જેનું સાદું રૂપ $P(X < 2) < 0.1$ થાય છે.
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = {}^nC_0 (\frac{1}{2})^n + {}^nC_1 (\frac{1}{2})^n = \frac{1 + n}{2^n}$.
આપણને $\frac{n + 1}{2^n} < 0.1$ અથવા $10(n + 1) < 2^n$ ની જરૂર છે.
$n$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
$n = 6$ માટે: $10(6 + 1) = 70$ અને $2^6 = 64$. $70 > 64$ હોવાથી,શરત સંતોષાતી નથી.
$n = 7$ માટે: $10(7 + 1) = 80$ અને $2^7 = 128$. $80 < 128$ હોવાથી,શરત સંતોષાય છે.
આમ,જરૂરી બોમ્બની ન્યૂનતમ સંખ્યા $7$ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
અહીં $n = 6$ આપેલ છે,તેથી $P(X = 4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ અને $P(X = 2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ થાય.
આપેલ શરત મુજબ,$9P(X = 4) = P(X = 2)$.
કિંમતો મૂકતા,$9 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^6C_4 = 15$ અને ${}^6C_2 = 15$,તેથી સમીકરણ $9 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$ બને છે.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા,$9p^2 = q^2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$3p = q$ મળે.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$3p = 1 - p$,જેનો અર્થ છે કે $4p = 1$.
તેથી,$p = \frac{1}{4}$.

(D) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 3$ (પ્રયત્નોની સંખ્યા).
પાસા પર $4$ મળે તેને સફળતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $\mu = np = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = npq = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$ છે.
આમ,મધ્યક $\frac{1}{2}$ અને વિચરણ $\frac{5}{12}$ છે.
આ જોડી વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $X$ એ $n = 2$ પ્રયત્નોમાં સફળતાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
એક વાર પાસો ફેંકતા $4$ કરતા મોટી સંખ્યા (એટલે કે $5$ અથવા $6$) મળવાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
પ્રયત્નો સ્વતંત્ર હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{3}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Var}(X) = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\text{Var}(X) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $n = 3$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે.
સફળતા એટલે $3$ અથવા $6$ મળવું. એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણને ઓછામાં ઓછી બે સફળતાની સંભાવના જોઈએ છે,જે $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 2) = {}^3C_2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$.
$P(X = 3) = {}^3C_3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{27} \cdot 1 = \frac{1}{27}$.
તેથી,$P(X \ge 2) = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$.

(C) ચાર સિક્કા ઉછાળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $X$ એ મળતી છાપની સંખ્યા છે.
આપણે બરાબર ત્રણ છાપ મળે તેની સંભાવના શોધવી છે,એટલે કે $P(X = 3)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 4$,$k = 3$,$p = 1/2$,અને $q = 1/2$ છે:
$P(X = 3) = {}^4C_3 \cdot (1/2)^3 \cdot (1/2)^1$
$P(X = 3) = 4 \cdot (1/8) \cdot (1/2) = 4/16 = 1/4$.
આમ,સંભાવના $1/4$ છે.

(C) જ્યારે એક સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
ધારો કે $X$ એ મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 3$ અને $p = \frac{1}{2}$.
બરાબર $r$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
આપણે બરાબર $1$ છાપ અથવા $2$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X = 1) + P(X = 2)$ છે.
$P(X = 1) = {}^3C_1 \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
$P(X = 2) = {}^3C_2 \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $n = 8$ ના નમૂનામાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા $X$ છે. ખામીયુક્ત વસ્તુની સંભાવના $p = 5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ છે.
તેથી,બિન-ખામીયુક્ત વસ્તુની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{19}{20}$ છે.
આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$.
આપણે $2$ કરતા ઓછી ખામીયુક્ત વસ્તુઓ હોવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
$P(X = 0) = {}^8C_0 \left( \frac{1}{20} \right)^0 \left( \frac{19}{20} \right)^8 = \left( \frac{19}{20} \right)^8$.
$P(X = 1) = {}^8C_1 \left( \frac{1}{20} \right)^1 \left( \frac{19}{20} \right)^7 = 8 \times \frac{1}{20} \times \left( \frac{19}{20} \right)^7 = \frac{2}{5} \left( \frac{19}{20} \right)^7$.
$P(X < 2) = \left( \frac{19}{20} \right)^8 + \frac{2}{5} \left( \frac{19}{20} \right)^7 = \left( \frac{19}{20} \right)^7 \left( \frac{19}{20} + \frac{2}{5} \right) = \left( \frac{19}{20} \right)^7 \left( \frac{19 + 8}{20} \right) = \frac{27}{20} \left( \frac{19}{20} \right)^7$.

(D) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$,$p = \frac{3}{4}$,અને $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $X$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંખ્યા છે. આપણે $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=3) = {}^5C_3 (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$.
$P(X=4) = {}^5C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$.
$P(X=5) = {}^5C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 3) = \frac{270 + 405 + 243}{1024} = \frac{918}{1024} = \frac{459}{512}$.

(A) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,એક ઉછાળમાં છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ ઉછાળમાં $r$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r} = {}^nC_r (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $P(X = 7) = P(X = 9)$,તેથી:
${}^nC_7 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_9 (\frac{1}{2})^n$.
આનો અર્થ એ છે કે ${}^nC_7 = {}^nC_9$.
ગુણધર્મ ${}^nC_a = {}^nC_b \Rightarrow a + b = n$ (જો $a \neq b$) નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 7 + 9 = 16$ મળે છે.
હવે,આપણે $3$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવાની છે:
$P(X = 3) = {}^{16}C_3 (\frac{1}{2})^{16}$.
${}^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ ગણતરી કરતા.
તેથી,$P(X = 3) = 560 \times (\frac{1}{2})^{16} = \frac{560}{65536} = \frac{35}{4096} = \frac{35}{2^{12}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 7$ મેચો રમવામાં આવે છે.
દરેક મેચ માટે,$3$ શક્ય પરિણામો છે (જીત,ડ્રો,હાર),તેથી સાચી આગાહીની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે અને ખોટી આગાહીની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે બરાબર $k = 4$ સાચી આગાહીઓની સંભાવના શોધવાની છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 4) = {}^7C_4 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{7-4}$.
સંયોજનની ગણતરી કરતા: ${}^7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$ અને $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$.
કિંમતોનો ગુણાકાર કરતા: $P(X = 4) = 35 \times \frac{1}{81} \times \frac{8}{27} = 35 \times \frac{8}{2187} = \frac{280}{3^7}$.

(C) $n$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણમાં,જ્યાં $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે (જ્યાં $q = 1 - p$),ત્યારે બરાબર $r$ સફળતાઓ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$
જ્યાં $r$ ની કિંમત $0, 1, 2, \dots, n$ હોઈ શકે છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
સફળતાની સંભાવના $p$ ($1$ અથવા $6$ મેળવવી) $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
મધ્યકની ગણતરી:
$\mu = np = 3 \times \frac{1}{3} = 1$.
વિચરણની ગણતરી:
$\sigma^2 = npq = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.
આમ,મધ્યક $1$ છે અને વિચરણ $\frac{2}{3}$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
અહીં $n = 6$ આપેલ છે,તેથી $P(X = 4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ અને $P(X = 2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$4(P(X = 4)) = P(X = 2)$.
કિંમતો મૂકતા,$4 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$.
અહીં ${}^6C_4 = 15$ અને ${}^6C_2 = 15$ હોવાથી,સમીકરણ $4 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$ બને છે.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા,$4 p^2 = q^2$ મળે.
$q = 1 - p$ મૂકતા,$4 p^2 = (1 - p)^2$.
$4 p^2 = 1 - 2p + p^2$.
$3 p^2 + 2p - 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3p - 1)(p + 1) = 0$.
સંભાવના $p$ માટે $0 \le p \le 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $p = \frac{1}{3}$.

(B) એક સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળતા બરાબર $k$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P(X = k) = {}^{n}C_{k} \times p^{k} \times q^{n-k}$.
અહીં,$n = 10$,$k = 5$,$p = \frac{1}{2}$ (છાપ મળવાની સંભાવના),અને $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ (કાંટો મળવાની સંભાવના).
આ કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 5) = {}^{10}C_{5} \times (\frac{1}{2})^{5} \times (\frac{1}{2})^{10-5}$
$P(X = 5) = {}^{10}C_{5} \times (\frac{1}{2})^{10}$
${}^{10}C_{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.
$( \frac{1}{2} )^{10} = \frac{1}{1024}$.
તેથી,$P(X = 5) = 252 \times \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}$.

(B) ધારો કે $p$ એ બલ્બ ફ્યુઝ થવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ છે.
ધારો કે $q$ એ બલ્બ ફ્યુઝ ન થવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ છે.
અહીં આપણને $n = 5$ બલ્બ આપેલા છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવી છે કે $5$ માંથી એક પણ બલ્બ ફ્યુઝ ન થાય,જેનો અર્થ છે કે બધા $5$ બલ્બ ફ્યુઝ થતા નથી.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r \cdot q^{n-r} \cdot p^r$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $r = 0$ (ફ્યુઝ થયેલા બલ્બની સંખ્યા).
$P(X = 0) = {}^5C_0 \cdot (\frac{19}{20})^5 \cdot (\frac{1}{20})^0 = 1 \cdot (\frac{19}{20})^5 \cdot 1 = (\frac{19}{20})^5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પાસાના એક ફેંકમાં બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
બેકી સંખ્યા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 5$ અને $r = 3$ છે:
$P(X = 3) = {}^5C_3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-3}$
$P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{8}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)$
$P(X = 3) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

(A) આ દ્વિપદી વિતરણ (Binomial distribution) નો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = 10\% = 0.1$ છે.
સફળતા (મૃત્યુ) ની સંભાવના $p = \frac{1}{10}$ છે અને નિષ્ફળતા (જીવિત રહેવું) ની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ છે.
$n$ પ્રયત્નોમાં $x$ સફળતાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ છે.
આપણે $3$ દર્દીઓના મૃત્યુ થવાની સંભાવના શોધવાની છે,તેથી $x = 3$ લેતા:
$P(X = 3) = {}^6C_3 \left(\frac{1}{10}\right)^3 \left(\frac{9}{10}\right)^3$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
${}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
$P(X = 3) = 20 \times \left(\frac{1}{1000}\right) \times \left(\frac{729}{1000}\right)$
$P(X = 3) = 20 \times \frac{729}{1000000} = \frac{14580}{1000000} = 1458 \times 10^{-5}$.

(C) છોકરો હોવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને છોકરી હોવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$n = 2$ બાળકો માટે,આપણે બરાબર $1$ છોકરો અને $1$ છોકરી હોવાની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 2$ અને $k = 1$ છે:
$P(1 \text{ છોકરો, } 1 \text{ છોકરી}) = {}^2C_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1}$
$P(1 \text{ છોકરો, } 1 \text{ છોકરી}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$

(A) ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{5}$.
ધારો કે $q$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
આપણે $n = 5$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $k = 4$ વિદ્યાર્થીઓ તરવૈયા હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k \cdot q^k \cdot p^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {}^5C_4 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^4 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{5-4}$
$P(X = 4) = {}^5C_4 \left( \frac{4}{5} \right)^4 \left( \frac{1}{5} \right)$.

(C) ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે પ્રયોગ નિષ્ફળ જાય તેના કરતા બમણી વાર સફળ થાય છે,તેથી $p = 2q$.
$p + q = 1$ હોવાથી,આપણને $2q + q = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{3}$ અને $p = \frac{2}{3}$.
આપણે $n = 4$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી $3$ સફળતા મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જરૂરી સંભાવના $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ છે.
$P(X = 3) = {^4C_3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$.
$P(X = 4) = {^4C_4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{16}{81} \times 1 = \frac{16}{81}$.
તેથી,$P(X \ge 3) = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $6$ છે,તેથી $np = 6$.
આપેલ છે કે વિચરણ $4$ છે,તેથી $npq = 4$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{4}{6}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $q = \frac{2}{3}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે $p$ ની કિંમત મધ્યકના સમીકરણમાં મૂકતા: $n \times \frac{1}{3} = 6$.
તેથી,$n = 6 \times 3 = 18$.

(D) ધારો કે $X_i$ એ $i$-માં સિક્કા પર મળતી કિંમત છે,જ્યાં $X_i \in \{2, 3\}$.
આપણે $5$ સિક્કા ઉછાળીએ છીએ,તેથી $X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 = 12$.
ધારો કે $n_2$ એ $2$ દર્શાવતા સિક્કાઓની સંખ્યા છે અને $n_3$ એ $3$ દર્શાવતા સિક્કાઓની સંખ્યા છે.
તેથી $n_2 + n_3 = 5$ અને $2n_2 + 3n_3 = 12$.
બીજા સમીકરણમાં $n_2 = 5 - n_3$ મૂકતા: $2(5 - n_3) + 3n_3 = 12 \implies 10 - 2n_3 + 3n_3 = 12 \implies n_3 = 2$.
આમ,$n_2 = 3$.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે $2$ દર્શાવતા $3$ સિક્કા અને $3$ દર્શાવતા $2$ સિક્કાની જરૂર છે.
દરેક સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$2$ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને $3$ મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=5$ અને $k=2$ ($3$ ની સંખ્યા માટે):
$P = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

(C) ધારો કે $p$ એ સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના છે અને $q$ એ કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના છે.
કુલ દડા $= 2 + 4 = 6$.
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
દડા $5$ વખત પાછા મૂકીને કાઢવામાં આવે છે,તેથી આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$.
$k$ સફેદ દડા કાઢવાની સંભાવના $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને ઓછામાં ઓછા $4$ દડા સફેદ હોય તેની સંભાવના જોઈએ છે,જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {^5C_4} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X = 5) = {^5C_5} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$.
તેથી,$P(X \ge 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p + q = 1$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 4$ અને $\sigma^2 = 3$,તેથી:
$np = 4$ અને $npq = 3$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
$p = 1 - q$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
$p = \frac{1}{4}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n \left( \frac{1}{4} \right) = 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 16$.
બરાબર $x$ સફળતાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 6$ માટે,$P(X = 6) = {}^{16}C_6 \left( \frac{1}{4} \right)^6 \left( \frac{3}{4} \right)^{16-6} = {}^{16}C_6 \left( \frac{1}{4} \right)^6 \left( \frac{3}{4} \right)^{10}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ પ્રયત્નો કરવામાં આવે છે.
પાસાના એક ફેંકમાં એકી સંખ્યા (સફળતા) મળવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Variance} = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Variance} = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.