Multiplication Theorem on Probability Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(A_1^c) P(A_2^c)$.
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ,$P(A_1^c) = 1 - P(A_1)$ અને $P(A_2^c) = 1 - P(A_2)$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1))(1 - P(A_2))$
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1) - P(A_2) + P(A_1)P(A_2))$
$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ માટે,$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2)$ મળે છે.
આ ઘટનાઓ $A_1$ અને $A_2$ ના નિરપેક્ષ હોવાની શરત છે.

(A) પત્તાના પેકમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
$52$ પત્તાના પેકમાં $4$ એક્કા હોય છે.
એક પ્રયત્નમાં એક્કો ખેંચવાની સંભાવના $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
બે એક્કા ખેંચવાની સંભાવના $P(A \cap A) = P(A) \times P(A) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{169}$ થાય.

(C) પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે અને રાજાની સંખ્યા $4$ છે.
પ્રથમ પત્તું રાજા હોય તેની સંભાવના $P(K_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
એક રાજા ખેંચ્યા પછી,બાકી રહેલા પત્તાની સંખ્યા $51$ અને બાકી રહેલા રાજાની સંખ્યા $3$ છે.
બીજું પત્તું રાજા હોય તેની સંભાવના $P(K_2|K_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ છે.
બંને પત્તા રાજા હોય તેની સંભાવના $P(K_1 \cap K_2) = P(K_1) \times P(K_2|K_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ છે.

(C) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,બંને ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પત્તું ચોકટનું હોવાની ઘટના છે. ચોકટના પત્તાંની સંખ્યા $13$ છે.
$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $B$ એ બીજું પત્તું રાજા હોવાની ઘટના છે. રાજાના પત્તાંની સંખ્યા $4$ છે.
$P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થશે.
$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$.

(D) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $19$ છે. $1$ થી $19$ ની વચ્ચેની બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$ છે. આમ,કુલ $9$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(E_1) = \frac{9}{19}$ છે.
ટિકિટ બદલ્યા વગર કાઢવામાં આવતી હોવાથી,હવે $18$ ટિકિટો બાકી રહે છે,જેમાં $8$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(E_2|E_1) = \frac{8}{18}$ છે.
બંને ટિકિટો પર બેકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{9}{19} \times \frac{8}{18} = \frac{9}{19} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{19}$ છે.

(D) ધારો કે $T$ એ ભારત ટોસ જીતે તે ઘટના છે અને $V$ એ ભારત મેચ જીતે તે ઘટના છે.
આપેલ છે:
$P(T) = 3/4$
$P(T^c) = 1 - 3/4 = 1/4$
$P(V|T) = 4/5$
$P(V|T^c) = 1/2$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(V) = P(T) \times P(V|T) + P(T^c) \times P(V|T^c)$
$P(V) = (3/4 \times 4/5) + (1/4 \times 1/2)$
$P(V) = 3/5 + 1/8$
$P(V) = (24 + 5) / 40 = 29/40$
આમ,ભારતની જીતવાની સંભાવના $29/40$ છે.

(C) પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
પેકમાં રાજાની સંખ્યા $= 4$.
પેકમાં રાણીની સંખ્યા $= 4$.
પ્રથમ રાજા ખેંચવાની સંભાવના $= \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
પત્તું બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,બાકી રહેલા પત્તાની સંખ્યા $= 51$.
પ્રથમ રાજા ખેંચાયા પછી બીજું પત્તું રાણી હોવાની સંભાવના $= \frac{4}{51}$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663}$.

(C) $52$ પત્તાના પેકમાં $4$ એક્કા હોય છે.
ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની ઘટના છે અને $A_2$ એ બીજું પત્તું એક્કો હોવાની ઘટના છે.
પ્રથમ એક્કો ખેંચવાની સંભાવના $P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
પત્તા બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,હવે $51$ પત્તા બાકી રહે છે,જેમાં $3$ એક્કા છે.
પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની શરતે બીજું પત્તું એક્કો હોવાની સંભાવના $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ છે.
બંને પત્તા એક્કા હોવાની સંભાવના $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ છે.

(B) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ બીજી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પ્રથમ થેલી માટે,કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|B_1) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ છે.
બીજી થેલી માટે,કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|B_2) = \frac{4}{2+4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(E) = P(B_1) \times P(E|B_1) + P(B_2) \times P(E|B_2)$.
$P(E) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) ધારો કે $E$ એ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $B_1$ એ થેલી $x$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ થેલી $y$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
યાદચ્છિક રીતે થેલી પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
થેલી $x$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|B_1) = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ છે.
થેલી $y$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|B_2) = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(E) = P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2)$.
$P(E) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{9+5}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$.

(D) જ્યારે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય,ત્યારે તેમની પૂરક ઘટનાઓ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ પણ સ્વતંત્ર હોય છે.
$P(A \text{ પણ નહીં અને } B \text{ પણ નહીં}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{2}$,તેથી $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{1}{3}$,તેથી $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઉપરનો માર્ગ બંધ હોવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ નીચેનો માર્ગ બંધ હોવાની ઘટના છે.
ઉપરનો માર્ગ બંધ રહે તે માટે સ્વિચ $a$ અને $b$ બંને બંધ હોવા જોઈએ. દરેક સ્વિચ બંધ હોવાની સંભાવના $p$ હોવાથી,ઉપરનો માર્ગ બંધ હોવાની સંભાવના $P(E_1) = p \cdot p = p^2$ થાય.
નીચેનો માર્ગ બંધ રહે તે માટે સ્વિચ $c$ બંધ હોવી જોઈએ. તેની સંભાવના $P(E_2) = p$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી પ્રવાહ ત્યારે જ વહેશે જો ઉપરનો માર્ગ અથવા નીચેનો માર્ગ બંધ હોય. આ ઘટના $E_1$ અને $E_2$ નો યોગ છે.
સૂત્ર $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1 \cup E_2) = p^2 + p - p^3$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $p^2 + p - p^3$ થવો જોઈએ,પરંતુ વિકલ્પ $(A)$ $p^2 + p$ આપેલ છે,જે સૌથી નજીકનો વિકલ્પ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A) = 0.40$ અને $P(B) = 0.50$.
આપણે $P(\text{neither } A \text{ nor } B)$ શોધવાનું છે,જે $P(A^c \cap B^c)$ છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A^c$ અને $B^c$ પણ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$.
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.40 = 0.60$.
$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50$.
$P(A^c \cap B^c) = 0.60 \times 0.50 = 0.30$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બલ્બની કુલ સંખ્યા = $10$.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $2$.
ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા = $10 - 2 = 8$.
પ્રથમ બલ્બને બીજા બલ્બની પસંદગી પહેલા પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
એક પ્રયત્નમાં ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $P = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ છે.
પસંદગી પુનઃસ્થાપન સાથે કરવામાં આવતી હોવાથી,બીજા પ્રયત્નમાં પણ ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $P = \frac{4}{5}$ જ રહેશે.
બંને બલ્બ ખામી રહિત હોવાની સંભાવના $P(\text{બંને ખામી રહિત}) = P(\text{પ્રથમ ખામી રહિત}) \times P(\text{બીજો ખામી રહિત}) = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$ છે.

(D) ધારો કે $W_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી સફેદ દડો બીજી થેલીમાં સ્થાનાંતરિત થવાની ઘટના છે,અને $B_1$ એ કાળો દડો સ્થાનાંતરિત થવાની ઘટના છે.
સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થવાની સંભાવના: $P(W_1) = \frac{5}{9}$.
કાળો દડો સ્થાનાંતરિત થવાની સંભાવના: $P(B_1) = \frac{4}{9}$.
જો સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો બીજી થેલીમાં $8$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા (કુલ $17$) થાય. બીજી થેલીમાંથી સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W_2|W_1) = \frac{8}{17}$ છે.
જો કાળો દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો બીજી થેલીમાં $7$ સફેદ અને $10$ કાળા દડા (કુલ $17$) થાય. બીજી થેલીમાંથી સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W_2|B_1) = \frac{7}{17}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,જરૂરી સંભાવના:
$P(W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) + P(B_1) \times P(W_2|B_1)$
$P(W_2) = (\frac{5}{9} \times \frac{8}{17}) + (\frac{4}{9} \times \frac{7}{17})$
$P(W_2) = \frac{40}{153} + \frac{28}{153} = \frac{68}{153} = \frac{4}{9}$.

(D) ધારો કે $E$ એ નવી પ્રોડક્ટ રજૂ થાય તે ઘટના છે.
જૂથ $A, B, C$ માટે જીતવાની સંભાવનાઓ $P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2$ આપેલ છે.
નવી પ્રોડક્ટ રજૂ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ $P(E|A) = 0.7, P(E|B) = 0.6, P(E|C) = 0.5$ છે.
કારણ કે $A, B, C$ એ નિદર્શાવકાશનું વિભાજન કરે છે (પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ),આપણે કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$P(E) = P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B) + P(C) \times P(E|C)$
$P(E) = (0.5 \times 0.7) + (0.3 \times 0.6) + (0.2 \times 0.5)$
$P(E) = 0.35 + 0.18 + 0.10 = 0.63$.
આમ,નવી પ્રોડક્ટ રજૂ થવાની સંભાવના $0.63$ છે.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ પ્રથમ પાકીટ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $P(B)$ એ બીજા પાકીટ પસંદ કરવાની ઘટના છે. પાકીટ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $P(A) = P(B) = 1/2$.
ધારો કે $C$ એ તાંબાનો સિક્કો કાઢવાની ઘટના છે.
પ્રથમ પાકીટમાંથી તાંબાનો સિક્કો કાઢવાની સંભાવના $P(C|A) = 4/(4+3) = 4/7$ છે.
બીજા પાકીટમાંથી તાંબાનો સિક્કો કાઢવાની સંભાવના $P(C|B) = 6/(6+2) = 6/8 = 3/4$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તાંબાનો સિક્કો કાઢવાની કુલ સંભાવના $P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$ છે.
$P(C) = (1/2 \times 4/7) + (1/2 \times 3/4) = 2/7 + 3/8$.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $56$ મેળવો.
$P(C) = (16/56) + (21/56) = 37/56$.

(C) ધારો કે $A$ એ બેગ $X$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B$ એ બેગ $Y$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. ધારો કે $E$ એ સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
કોઈ પણ બેગ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{1}{2}$ છે.
બેગ $X$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ છે.
બેગ $Y$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|B) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E) = P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B)$
$P(E) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$
$P(E) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(A) ચોક્કસ એક ઘટના $A$ અથવા $B$ બને તેની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B})$ અને $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P(B)$.
આપેલ છે કે $P(A) = 3/10$ અને $P(B) = 2/5$.
તેથી $P(\overline{A}) = 1 - 3/10 = 7/10$ અને $P(\overline{B}) = 1 - 2/5 = 3/5$.
માગેલ સંભાવના $= (3/10 \times 3/5) + (7/10 \times 2/5) = 9/50 + 14/50 = 23/50$.

(D) ધારો કે $A$ એ પહેલું પાકીટ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B$ એ બીજું પાકીટ પસંદ કરવાની ઘટના છે. બે પાકીટ હોવાથી,$P(A) = 1/2$ અને $P(B) = 1/2$ થાય.
ધારો કે $C$ એ તાંબાનો સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પહેલા પાકીટમાંથી તાંબાનો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(C|A) = 4/7$ છે.
બીજા પાકીટમાંથી તાંબાનો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(C|B) = 6/8 = 3/4$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,તાંબાનો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના:
$P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$
$P(C) = (1/2 \times 4/7) + (1/2 \times 3/4)$
$P(C) = 2/7 + 3/8 = (16 + 21) / 56 = 37/56$.

(B) બે સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S_1 = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે. બંને સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(A) = 1/4$ છે.
પાસો ફેંકવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. પાસા પર $3$ અથવા $6$ મળવાની સંભાવના $P(B) = 2/6 = 1/3$ છે.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,સંયુક્ત સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/3) = 1/12$ થાય.

(C) દડાની કુલ સંખ્યા = $4 + 3 = 7$.
પ્રથમ દડો પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,બીજા દડા માટે કુલ દડાની સંખ્યા $7$ જ રહે છે.
પ્રથમ લાલ દડો આવવાની સંભાવના $P(R) = 4/7$ છે.
બીજો વાદળી દડો આવવાની સંભાવના $P(B) = 3/7$ છે.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,બંને ઘટનાઓ સાથે બનવાની સંભાવના $P(R \cap B) = P(R) \times P(B) = (4/7) \times (3/7) = 12/49$ થાય.

(D) ધારો કે $W$ એ ઘટના છે કે ભારત મેચ જીતે છે,$T$ એ ઘટના છે કે ભારત ટોસ જીતે છે,અને $T^c$ એ ઘટના છે કે ભારત ટોસ હારે છે.
આપેલ છે: $P(T) = 3/4$,$P(T^c) = 1 - 3/4 = 1/4$.
શરતી સંભાવનાઓ: $P(W|T) = 4/5$ અને $P(W|T^c) = 1/2$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W) = P(T) \times P(W|T) + P(T^c) \times P(W|T^c)$
$P(W) = (3/4) \times (4/5) + (1/4) \times (1/2)$
$P(W) = 12/20 + 1/8 = 3/5 + 1/8 = (24 + 5) / 40 = 29/40$.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા = $10 + 15 = 25$.
પ્રથમ દડો લાલ હોવાની સંભાવના: $P(R_1) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
એક લાલ દડો પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલા દડાની સંખ્યા $24$ છે અને સફેદ દડાની સંખ્યા $10$ રહે છે.
પ્રથમ દડો લાલ હોય તે શરતે બીજો દડો સફેદ હોવાની સંભાવના: $P(W_2|R_1) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.
પહેલો લાલ અને બીજો સફેદ હોવાની સંભાવના: $P(R_1 \cap W_2) = P(R_1) \times P(W_2|R_1) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.

(C) ધારો કે $C$ એ સાચો ક્લબ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $W$ એ ખોટો ક્લબ પસંદ કરવાની ઘટના છે. ધારો કે $G$ એ સારો શોટ મારવાની ઘટના છે.
આપેલ છે:
$P(C) = \frac{1}{5}$
$P(W) = \frac{4}{5}$
$P(G|C) = \frac{1}{3}$
$P(G|W) = \frac{1}{4}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(G) = P(C) \times P(G|C) + P(W) \times P(G|W)$
$P(G) = \left(\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}\right)$
$P(G) = \frac{1}{15} + \frac{4}{20} = \frac{1}{15} + \frac{1}{5}$
$P(G) = \frac{1 + 3}{15} = \frac{4}{15}$.

(A) ધારો કે $C_1$ એ ખોટો સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $C_2$ એ સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
કુલ સિક્કા = $16$.
ખોટા સિક્કાની સંખ્યા = $2$. સંભાવના $P(C_1) = \frac{2}{16}$.
સામાન્ય સિક્કાની સંખ્યા = $14$. સંભાવના $P(C_2) = \frac{14}{16}$.
ખોટા સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|C_1) = 1$.
સામાન્ય સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|C_2) = \frac{1}{2}$.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(H) = P(C_1) \times P(H|C_1) + P(C_2) \times P(H|C_2)$.
$P(H) = \frac{2}{16} \times 1 + \frac{14}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{16} + \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ પ્રથમ પાકીટ પસંદ કરવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ બીજા પાકીટ પસંદ કરવાની સંભાવના છે. બે પાકીટ હોવાથી,$P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $C$ એ તાંબાનો સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પ્રથમ પાકીટમાંથી તાંબાનો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(C|A) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ છે.
બીજા પાકીટમાંથી તાંબાનો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(C|B) = \frac{6}{6+2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,$P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)$.
$P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{7} + \frac{3}{8}$.
$P(C) = \frac{16+21}{56} = \frac{37}{56}$.

(A) ધારો કે $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને દ્વિતીય દડો કાળો હોવાની ઘટનાઓ છે. આપણે $P(E \cap F)$ શોધવાનું છે.
કુલ દડાની સંખ્યા $10 + 5 = 15$ છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના $P(E) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ છે.
એક કાળો દડો પુરવણી વગર કાઢ્યા પછી,પાત્રમાં બાકી રહેલા કાળા દડાની સંખ્યા $9$ છે અને કુલ દડાની સંખ્યા $14$ છે.
પ્રથમ દડો કાળો નીકળ્યો છે તેમ આપેલ હોય,ત્યારે બીજા પ્રયત્નમાં કાળો દડો નીકળવાની શરતી સંભાવના $P(F|E) = \frac{9}{14}$ છે.
સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$P(E \cap F) = P(E) \times P(F|E)$.
$P(E \cap F) = \frac{10}{15} \times \frac{9}{14} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{14} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$.

(A) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે ખેંચેલું પત્તું રાજા છે અને $A$ એ ઘટના છે કે ખેંચેલું પત્તું એક્કો છે. આપણે $P(KKA)$ શોધવાની જરૂર છે.
પ્રથમ રાજા ખેંચવાની સંભાવના $P(K_1) = \frac{4}{52}$ છે.
એક રાજા ખેંચ્યા પછી,$51$ પત્તાં બાકી રહે છે,જેમાં $3$ રાજા છે. બીજા રાજાને ખેંચવાની સંભાવના $P(K_2|K_1) = \frac{3}{51}$ છે.
બે રાજા ખેંચ્યા પછી,$50$ પત્તાં બાકી રહે છે,જેમાં $4$ એક્કા છે. એક્કો ખેંચવાની સંભાવના $P(A_3|K_1 \cap K_2) = \frac{4}{50}$ છે.
સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમ દ્વારા:
$P(KKA) = P(K_1) \times P(K_2|K_1) \times P(A_3|K_1 \cap K_2)$
$P(KKA) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}$
$P(KKA) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} \times \frac{2}{25} = \frac{2}{5525}$.

(A) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{3}{5}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોવાથી,તેમની છેદ ઘટનાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી થાય છે:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
$P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{25}$.

(A) $52$ પત્તાના ડેકમાં $26$ કાળા પત્તા હોય છે.
ધારો કે $P(A)$ એ પ્રથમ ખેંચેલું પત્તું કાળું હોવાની સંભાવના છે.
$P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$
ધારો કે $P(B|A)$ એ બીજું ખેંચેલું પત્તું કાળું હોવાની સંભાવના છે,જ્યારે પ્રથમ પત્તું કાળું હતું. પત્તું પાછું મૂકવામાં આવતું નથી,તેથી કુલ $51$ પત્તામાંથી $25$ કાળા પત્તા બાકી રહે છે.
$P(B|A) = \frac{25}{51}$
આમ,બંને પત્તા કાળા હોવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{51} = \frac{25}{102}$ છે.

(A) ધારો કે $A, B,$ અને $C$ એ અનુક્રમે પ્રથમ,બીજી અને ત્રીજી કાઢેલી નારંગી સારી હોવાની ઘટનાઓ છે.
પ્રથમ નારંગી સારી હોવાની સંભાવના $P(A) = \frac{12}{15}$ છે.
નારંગીઓને બદલવામાં આવતી નથી,તેથી દરેક પછીના ડ્રો માટે કુલ નારંગી અને સારી નારંગીઓની સંખ્યામાં $1$ નો ઘટાડો થાય છે.
બીજી નારંગી સારી હોવાની સંભાવના $P(B|A) = \frac{11}{14}$ છે.
ત્રીજી નારંગી સારી હોવાની સંભાવના $P(C|A \cap B) = \frac{10}{13}$ છે.
જો ત્રણેય નારંગી સારી હોય તો પેટી વેચાણ માટે મંજૂર થાય છે. તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B)$ છે.
$P(A \cap B \cap C) = \frac{12}{15} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13} = \frac{44}{91}$.
તેથી,પેટી વેચાણ માટે મંજૂર થાય તેની સંભાવના $\frac{44}{91}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$P(A) = 0.3$
$P(B) = 0.4$
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે,તેમનો છેદગણ મેળવવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$

(A) આપેલ છે કે $P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.6$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંને ઘટનાઓ સાથે બનવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી થાય:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 8 = 18$.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(B_1) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
દડો પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,બીજા પ્રયત્ન માટે કુલ દડાની સંખ્યા $18$ જ રહે છે.
બીજા પ્રયત્નમાં લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(R_2) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,પ્રથમ દડો કાળો અને બીજો દડો લાલ હોય તેની સંભાવના $P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \times P(R_2) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{81}$.

(A) ધારો કે $A$ એ બાંધકામનું કામ સમયસર પૂરું થાય તે ઘટના છે,અને $B$ એ હડતાલ પડે તે ઘટના છે.
આપણે $P(A)$ શોધવાનું છે.
આપેલ છે:
$P(B) = 0.65$
$P(\text{હડતાલ નથી}) = P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.65 = 0.35$
$P(A | B) = 0.32$
$P(A | B') = 0.80$
ઘટનાઓ $B$ અને $B'$ નિદર્શાવકાશ $S$ નું વિભાજન બનાવે છે,તેથી કુલ સંભાવનાના પ્રમેય મુજબ:
$P(A) = P(B) \times P(A | B) + P(B') \times P(A | B')$
$P(A) = (0.65 \times 0.32) + (0.35 \times 0.80)$
$P(A) = 0.208 + 0.280 = 0.488$
આમ,બાંધકામનું કામ સમયસર પૂરું થાય તેની સંભાવના $0.488$ છે.

(C) ધારો કે $I$ એ મિસાઇલ આંતરવાની ઘટના છે અને $H$ એ મિસાઇલ લક્ષ્યને ભેદવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(I) = \frac{1}{3}$,તેથી $P(\text{આંતરવામાં ન આવે}) = P(I^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
મિસાઇલ આંતરવામાં ન આવે ત્યારે લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના $P(H | I^c) = \frac{3}{4}$ છે.
એક મિસાઇલ લક્ષ્યને ભેદે તેની સંભાવના $P(H) = P(I^c) \times P(H | I^c) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
ત્રણ મિસાઇલ સ્વતંત્ર રીતે છોડવામાં આવતી હોવાથી,ત્રણેય મિસાઇલ લક્ષ્યને ભેદે તેની સંભાવના $(P(H))^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ થાય.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ પાકીટ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બીજા પાકીટ પસંદ કરવાની ઘટના છે. પાકીટ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતું હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $A$ એ તાંબાનો સિક્કો કાઢવાની ઘટના છે.
પ્રથમ પાકીટ માટે,$P(A|E_1) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$.
બીજા પાકીટ માટે,$P(A|E_2) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તાંબાનો સિક્કો કાઢવાની સંભાવના:
$P(A) = P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)$
$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5}$
$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{20 + 21}{70} = \frac{41}{70}$.

(D) કુલ ચાવીઓની સંખ્યા $10$ છે અને માત્ર $1$ ચાવી તાળું ખોલે છે.
ચાવીઓ એક પછી એક બદલ્યા વગર અજમાવવામાં આવતી હોવાથી,$k$-મી ચાવી કામ કરે તેની સંભાવના એ છે કે પ્રથમ $k-1$ ચાવીઓ નિષ્ફળ જાય અને $k$-મી ચાવી સફળ થાય.
ધારો કે $F_i$ એ ઘટના છે કે $i$-મી ચાવી નિષ્ફળ જાય છે અને $S_i$ એ ઘટના છે કે $i$-મી ચાવી સફળ થાય છે.
આપણે $P(F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5 \cap F_6 \cap S_7)$ શોધવા માંગીએ છીએ.
સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(F_1) = \frac{9}{10}$
$P(F_2 | F_1) = \frac{8}{9}$
$P(F_3 | F_1 \cap F_2) = \frac{7}{8}$
$P(F_4 | F_1 \cap F_2 \cap F_3) = \frac{6}{7}$
$P(F_5 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4) = \frac{5}{6}$
$P(F_6 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5) = \frac{4}{5}$
$P(S_7 | F_1 \cap F_2 \cap F_3 \cap F_4 \cap F_5 \cap F_6) = \frac{1}{4}$
આ સંભાવનાઓનો ગુણાકાર કરતા:
$P = \frac{9}{10} \times \frac{8}{9} \times \frac{7}{8} \times \frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$.

(D) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 10 + 30 + 20 + 15 = 75$.
લખોટીઓ પાછી મૂકીને પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
પ્રથમ લાલ લખોટી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R) = \frac{10}{75} = \frac{2}{15}$.
બીજી સફેદ લખોટી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W) = \frac{30}{75} = \frac{2}{5}$.
બંને ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના $= P(R) \times P(W) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{75}$.

(A) પત્તાંના પેકમાં કુલ $52$ પત્તાં હોય છે અને તેમાં કુલ $4$ રાણી હોય છે.
જ્યારે પ્રથમ પત્તું ખેંચવામાં આવે,ત્યારે રાણી મળવાની સંભાવના $P(Q_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
પત્તું બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,હવે $51$ પત્તાં બાકી રહે છે અને $3$ રાણી બાકી રહે છે.
પ્રથમ પત્તું રાણી હોય તે શરતે બીજા પત્તાની રાણી હોવાની સંભાવના $P(Q_2|Q_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ છે.
બંને પત્તાં રાણી હોય તેની સંભાવના $P(Q_1 \cap Q_2) = P(Q_1) \times P(Q_2|Q_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ છે.

(B) લાલ દડાની કુલ સંખ્યા $= 4$.
સફેદ દડાની કુલ સંખ્યા $= 5$.
દડાની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 = 9$.
ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે અને $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
પ્રથમ દડો લાલ હોવાની સંભાવના $P(R_1) = \frac{4}{9}$ છે.
દડા બદલ્યા વગર કાઢવામાં આવતા હોવાથી,જો પ્રથમ દડો લાલ હોય,તો હવે કુલ $8$ દડામાંથી $3$ લાલ દડા બાકી રહે છે.
પ્રથમ દડો લાલ હોય તે શરતે બીજો દડો લાલ હોવાની સંભાવના $P(R_2|R_1) = \frac{3}{8}$ છે.
બંને દડા લાલ હોય તેની સંભાવના $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,$P(A) = \frac{2}{3}$ અને $P(B) = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે,તેથી $A^{\prime}$ અને $B$ પણ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ થશે.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A^{\prime} \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A) = \frac{3}{5}$ અને $P(B) = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(A' \cap B')$ શોધવાનું છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A'$ અને $B'$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ થશે.
તેથી,$P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')$.
પ્રથમ,$P(A')$ અને $P(B')$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,તેમનો ગુણાકાર કરીએ:
$P(A' \cap B') = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થાય.
આપણે સૂત્ર જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - (P \times \frac{1}{2})$.
$\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - \frac{P}{2}$.
$\frac{3}{5} = \frac{P}{2} + \frac{1}{2}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2}$ બાદ કરતા: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{P}{2}$.
$\frac{6-5}{10} = \frac{P}{2}$.
$\frac{1}{10} = \frac{P}{2}$.
$P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
આમ,$P$ ની કિંમત $\frac{1}{5}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + p - (\frac{1}{3} \cdot p)$.
$\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + p(1 - \frac{1}{3})$.
$\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + p(\frac{2}{3})$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{3}$ બાદ કરતા: $\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = p(\frac{2}{3})$.
$\frac{6 - 5}{15} = p(\frac{2}{3})$.
$\frac{1}{15} = p(\frac{2}{3})$.
$p = \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણે બે ઘટનાઓના યોગગણનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = 0.4 + p - (0.4 \cdot p)$.
$0.6 = 0.4 + p - 0.4p$.
$0.6 - 0.4 = p(1 - 0.4)$.
$0.2 = 0.6p$.
$p = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $A_1$ અને $A_2$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર: $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 0.2 + P(A_2) - (0.2 \times P(A_2))$.
$0.5 - 0.2 = P(A_2)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \times P(A_2)$.
$P(A_2) = 0.3 / 0.8 = 3/8$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(A \cap B) = p \cdot \frac{1}{2} = \frac{p}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = p + \frac{1}{2} - \frac{p}{2}$.
સમીકરણનું સાદુરૂપ આપતા: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = p - \frac{p}{2}$.
$\frac{6 - 5}{10} = \frac{p}{2}$.
$\frac{1}{10} = \frac{p}{2}$.
તેથી,$p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય છે જો અને માત્ર જો એક ઘટના બનવાથી બીજી ઘટનાની સંભાવના પર કોઈ અસર ન પડે.
જો $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય,તો તેમના પૂરક $A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ પણ સ્વતંત્ર હોય છે.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓની વ્યાખ્યા મુજબ,બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓના છેદની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P(A^{\prime}) \cdot P(B^{\prime})$.
કારણ કે $P(A^{\prime}) = 1 - P(A)$ અને $P(B^{\prime}) = 1 - P(B)$,તેથી આપણને $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = (1 - P(A))(1 - P(B))$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ એ સ્વતંત્રતા માટેની સાચી શરત છે.