Baye's theorem Questions in Gujarati

(A) જો $A, B,$ અને $C$ પરસ્પર સ્વતંત્ર હોય,તો $P(A \cap B) = P(A)P(B), P(A \cap C) = P(A)P(C),$ અને $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$.
$S_1$ માટે: $P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(A)[P(B) + P(C) - P(B)P(C)] = P(A)P(B \cup C)$. તેથી,$S_1$ સાચું છે.
$S_2$ માટે: $P(A \cap (B \cap C)) = P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = P(A)P(B \cap C)$. તેથી,$S_2$ સાચું છે.

(B) ધારો કે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $100$ છે.
છોકરીઓ કુલ વિદ્યાર્થીઓના $60\%$ હોવાથી,છોકરીઓની સંખ્યા $60$ અને છોકરાઓની સંખ્યા $100 - 60 = 40$ છે.
ગણિતનો અભ્યાસ કરતા છોકરાઓની સંખ્યા $= 40$ ના $25\% = \frac{25}{100} \times 40 = 10$.
ગણિતનો અભ્યાસ કરતી છોકરીઓની સંખ્યા $= 60$ ના $10\% = \frac{10}{100} \times 60 = 6$.
ગણિતનો અભ્યાસ કરતા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 10 + 6 = 16$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,વિદ્યાર્થી ગણિતનો અભ્યાસ કરતો હોય ત્યારે તે છોકરી હોવાની સંભાવના:
$P(\text{Girl} | \text{Maths}) = \frac{\text{ગણિતનો અભ્યાસ કરતી છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{ગણિતનો અભ્યાસ કરતા કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(B) ધારો કે $A_1$ એ ઘટના છે કે પત્ર $LONDON$ માંથી આવ્યો છે અને $A_2$ એ ઘટના છે કે પત્ર $CLIFTON$ માંથી આવ્યો છે. સ્ત્રોત સ્પષ્ટ ન હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે $P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પોસ્ટમાર્ક પર બે ક્રમિક અક્ષરો $ON$ વાંચી શકાય છે.
$LONDON$ (લંબાઈ $6$) માં,$5$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: $(LO, ON, ND, DO, ON)$. આમાંથી,$2$ જોડી $ON$ છે. તેથી,$P(E|A_1) = \frac{2}{5}$.
$CLIFTON$ (લંબાઈ $7$) માં,$6$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: $(CL, LI, IF, FT, TO, ON)$. આમાંથી,$1$ જોડી $ON$ છે. તેથી,$P(E|A_2) = \frac{1}{6}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$ON$ વાંચી શકાય છે તે શરતે તે $LONDON$ માંથી આવ્યો હોવાની સંભાવના:
$P(A_1|E) = \frac{P(A_1)P(E|A_1)}{P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2)}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $I$,થેલી $II$ અને થેલી $III$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો છે.
દરેક થેલીમાંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(A|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}$
$P(A|E_3) = \frac{7}{3+7} = \frac{7}{10}$
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે દડો સૌથી વધુ કાળા દડા ધરાવતી થેલીમાંથી કાઢવામાં આવ્યો હતો,જે થેલી $III$ છે. બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_3|A) = \frac{P(E_3)P(A|E_3)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{7}{30}}{\frac{6}{30} + \frac{2}{30} + \frac{7}{30}} = \frac{7}{15}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $6$ આવે છે અને $E'$ એ ઘટના છે કે $6$ આવતો નથી.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે માણસ જણાવે છે કે તે $6$ છે.
આપણી પાસે $P(E) = \frac{1}{6}$ અને $P(E') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
માણસ સાચું બોલે તેની સંભાવના $P(T) = \frac{3}{4}$ છે,તેથી તે જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
જો $6$ આવે $(E)$,તો તે સાચું બોલે તો જ તે $6$ હોવાનું જણાવશે. તેથી,$P(A|E) = \frac{3}{4}$.
જો $6$ ન આવે $(E')$,તો તે જૂઠું બોલે તો જ તે $6$ હોવાનું જણાવશે. તેથી,$P(A|E') = \frac{1}{4}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેણે $6$ હોવાનું જણાવ્યું હોય ત્યારે તે ખરેખર $6$ હોવાની સંભાવના:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(E) \times P(A|E) + P(E') \times P(A|E')}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}) + (\frac{5}{6} \times \frac{1}{4})}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ માંથી દડો કાઢવાની ઘટના છે,$E_2$ એ થેલી $B$ માંથી દડો કાઢવાની ઘટના છે,અને $E$ એ કાઢેલો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
આપણે $P(E_2|E)$ શોધવાનું છે.
બંને થેલીઓ પસંદ થવાની સંભાવના સમાન હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ મળે.
થેલી $A$ માંથી લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{3}{5}$ છે,અને થેલી $B$ માંથી $P(E|E_2) = \frac{5}{9}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27 + 25}{90}} = \frac{5}{18} \cdot \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(C) આ પ્રશ્ન બેયઝના પ્રમેય (Bayes' Theorem) નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.
ધારો કે $A$ એ થેલી $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $B$ એ થેલી $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $G$ એ લીલો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $A$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(G|A) = \frac{4}{7}$ છે.
થેલી $B$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(G|B) = \frac{3}{7}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો કાઢેલો દડો લીલો હોય,તો તે થેલી $B$ માંથી નીકળ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B|G) = \frac{P(B) \times P(G|B)}{P(A) \times P(G|A) + P(B) \times P(G|B)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(B|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}}{(\frac{1}{2} \times \frac{4}{7}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{7})}$
$P(B|G) = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{4}{14} + \frac{3}{14}} = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{7}{14}} = \frac{3}{7}$.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી છોકરી છે. ધારો કે $S_i$ એ ઘટના છે કે શાળા $B_i$ પસંદ કરવામાં આવી છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3, 4$.
શાળા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(S_1) = P(S_2) = P(S_3) = P(S_4) = \frac{1}{4}$.
દરેક શાળામાંથી છોકરી પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ $P(E|S_1) = \frac{12}{100}$,$P(E|S_2) = \frac{20}{100}$,$P(E|S_3) = \frac{13}{100}$,અને $P(E|S_4) = \frac{17}{100}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો વિદ્યાર્થી છોકરી હોય તો પસંદ કરેલી શાળા $B_2$ હોય તેની સંભાવના:
$P(S_2|E) = \frac{P(S_2)P(E|S_2)}{\sum_{i=1}^{4} P(S_i)P(E|S_i)}$
$P(S_2|E) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{20}{100}}{\frac{1}{4} \times (\frac{12}{100} + \frac{20}{100} + \frac{13}{100} + \frac{17}{100})}$
$P(S_2|E) = \frac{20}{12 + 20 + 13 + 17} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.

(A) ધારો કે $R_1$ એ ઘટના છે કે કળશ $A$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરીને $B$ માં મૂકવામાં આવે છે,અને $B_1$ એ ઘટના છે કે કળશ $A$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરીને $B$ માં મૂકવામાં આવે છે.
$P(R_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
દડો બદલ્યા પછી,કળશ $B$ માં $11$ દડા છે.
જો $R_1$ બને,તો $B$ માં $5$ લાલ અને $6$ કાળા દડા હોય. $P(R_2|R_1) = \frac{5}{11}$,$P(B_2|R_1) = \frac{6}{11}$.
જો $B_1$ બને,તો $B$ માં $4$ લાલ અને $7$ કાળા દડા હોય. $P(R_2|B_1) = \frac{4}{11}$,$P(B_2|B_1) = \frac{7}{11}$.
$A$ માં પાછા મૂક્યા પછી,કળશ $A$ માં $10$ દડા હોય.
જો $R_1$ અને $R_2$ બને,તો $A$ માં $6$ લાલ દડા હોય. $P(R|R_1, R_2) = \frac{6}{10}$.
જો $R_1$ અને $B_2$ બને,તો $A$ માં $5$ લાલ દડા હોય. $P(R|R_1, B_2) = \frac{5}{10}$.
જો $B_1$ અને $R_2$ બને,તો $A$ માં $7$ લાલ દડા હોય. $P(R|B_1, R_2) = \frac{7}{10}$.
જો $B_1$ અને $B_2$ બને,તો $A$ માં $6$ લાલ દડા હોય. $P(R|B_1, B_2) = \frac{6}{10}$.
કુલ સંભાવના $P(R) = P(R_1)P(R_2|R_1)P(R|R_1, R_2) + P(R_1)P(B_2|R_1)P(R|R_1, B_2) + P(B_1)P(R_2|B_1)P(R|B_1, R_2) + P(B_1)P(B_2|B_1)P(R|B_1, B_2)$.
$P(R) = (\frac{6}{10} \times \frac{5}{11} \times \frac{6}{10}) + (\frac{6}{10} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{4}{11} \times \frac{7}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{7}{11} \times \frac{6}{10})$.
$P(R) = \frac{180 + 180 + 112 + 168}{1100} = \frac{640}{1100} = \frac{64}{110} = \frac{32}{55}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
બંને થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = 1/2$.
થેલી $A$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_1) = 3/5$ છે.
થેલી $B$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_2) = 5/9$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો મળેલ હોય ત્યારે તે થેલી $B$ માંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|R) = \frac{P(E_2)P(R|E_2)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)}$
$P(E_2|R) = \frac{(1/2) \times (5/9)}{(1/2) \times (3/5) + (1/2) \times (5/9)}$
$P(E_2|R) = \frac{5/18}{3/10 + 5/18} = \frac{5/18}{(27+25)/90} = \frac{5/18}{52/90}$
$P(E_2|R) = \frac{5}{18} \times \frac{90}{52} = \frac{5 \times 5}{52} = \frac{25}{52}$.

(D) ધારો કે $H$ એ સિક્કા પર હેડ આવવાની ઘટના છે અને $T$ એ ટેલ આવવાની ઘટના છે. $P(H) = P(T) = 1/2$.
ધારો કે $W$ એ $U_2$ માંથી સફેદ દડો નીકળવાની ઘટના છે.
જો $H$ બને,તો $U_1$ માંથી $1$ દડો $U_2$ માં જાય છે. $U_1$ માં $3W, 2R$ છે. $W$ ટ્રાન્સફર થવાની સંભાવના $3/5$ છે,અને $R$ ની $2/5$ છે.
જો $W$ ટ્રાન્સફર થાય,તો $U_2$ માં $2W$ થાય. $P(W|H_W) = 1$. જો $R$ ટ્રાન્સફર થાય,તો $U_2$ માં $1W, 1R$ થાય. $P(W|H_R) = 1/2$.
$P(W|H) = (3/5 \times 1) + (2/5 \times 1/2) = 3/5 + 1/5 = 4/5$.
જો $T$ બને,તો $U_1$ માંથી $2$ દડા $U_2$ માં જાય છે. શક્ય ટ્રાન્સફર: $2W$ (સંભાવના $^3C_2/^5C_2 = 3/10$),$1W, 1R$ (સંભાવના $(^3C_1 \times ^2C_1)/^5C_2 = 6/10$),$2R$ (સંભાવના $^2C_2/^5C_2 = 1/10$).
જો $2W$ ટ્રાન્સફર થાય,તો $U_2$ માં $3W$ થાય. $P(W|T_{2W}) = 1$.
જો $1W, 1R$ ટ્રાન્સફર થાય,તો $U_2$ માં $2W, 1R$ થાય. $P(W|T_{1W1R}) = 2/3$.
જો $2R$ ટ્રાન્સફર થાય,તો $U_2$ માં $1W, 2R$ થાય. $P(W|T_{2R}) = 1/3$.
$P(W|T) = (3/10 \times 1) + (6/10 \times 2/3) + (1/10 \times 1/3) = 3/10 + 4/10 + 1/30 = 9/30 + 12/30 + 1/30 = 22/30 = 11/15$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ: $P(H|W) = \frac{P(W|H)P(H)}{P(W|H)P(H) + P(W|T)P(T)} = \frac{(4/5 \times 1/2)}{(4/5 \times 1/2) + (11/15 \times 1/2)} = \frac{4/10}{4/10 + 11/30} = \frac{12/30}{12/30 + 11/30} = 12/23$.

(B) થેલી $A$ માં $2$ સફેદ,$3$ કાળા,$4$ લાલ દડા છે (કુલ = $9$).
થેલી $B$ માં $3$ સફેદ,$4$ કાળા,$5$ લાલ દડા છે (કુલ = $12$).
$P(W_A) = 2/9, P(B_A) = 3/9, P(R_A) = 4/9$.
થેલી $B$ માં દડો ઉમેર્યા પછી,કુલ $13$ દડા થાય.
જો $W_A$ બને,તો થેલી $B$ માં $4$ સફેદ દડા થાય. $P(W_B|W_A) = 4/13$.
જો $B_A$ બને,તો થેલી $B$ માં $3$ સફેદ દડા થાય. $P(W_B|B_A) = 3/13$.
જો $R_A$ બને,તો થેલી $B$ માં $3$ સફેદ દડા થાય. $P(W_B|R_A) = 3/13$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમ મુજબ:
$P(W_B) = (2/9 \times 4/13) + (3/9 \times 3/13) + (4/9 \times 3/13) = 29/117$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ થેલો $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલો $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
આપણી પાસે $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
થેલા $A$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ છે.
થેલા $B$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_2) = \frac{5}{4+5} = \frac{5}{9}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો થેલા $B$ માંથી પસંદ થયો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|R) = \frac{P(E_2) \times P(R|E_2)}{P(E_1) \times P(R|E_1) + P(E_2) \times P(R|E_2)}$
$P(E_2|R) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{9}}$
$P(E_2|R) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27+25}{90}} = \frac{5}{18} \times \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(NONE) ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે સિક્કા પર હેડ આવે છે અને $T$ એ ઘટના છે કે સિક્કા પર ટેલ આવે છે. $P(H) = P(T) = 1/2$.
ધારો કે $W$ એ ઘટના છે કે $U_2$ માંથી પસંદ કરેલ દડો સફેદ છે.
કિસ્સો $1$: જો $H$ બને,તો $U_1$ માંથી $1$ દડો $U_2$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે. $U_1$ માં $3W, 2R$ છે. સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થવાની સંભાવના $3/5$ અને લાલ દડો સ્થાનાંતરિત થવાની સંભાવના $2/5$ છે.
જો $W$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $U_2$ માં $2W$ થાય. $P(W|H, \text{trans } W) = 1$.
જો $R$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $U_2$ માં $1W, 1R$ થાય. $P(W|H, \text{trans } R) = 1/2$.
$P(W|H) = (3/5 \times 1) + (2/5 \times 1/2) = 3/5 + 1/5 = 4/5$.
કિસ્સો $2$: જો $T$ બને,તો $U_1$ માંથી $2$ દડા $U_2$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે. શક્ય જોડીઓ $(2W), (1W, 1R), (0W, 2R)$ છે.
$P(2W) = \binom{3}{2} / \binom{5}{2} = 3/10$.
$P(1W, 1R) = (\binom{3}{1} \times \binom{2}{1}) / \binom{5}{2} = 6/10$.
$P(0W, 2R) = \binom{2}{2} / \binom{5}{2} = 1/10$.
જો $2W$ સ્થાનાંતરિત થાય,$U_2$ માં $3W$ થાય. $P(W|T, 2W) = 1$.
જો $1W, 1R$ સ્થાનાંતરિત થાય,$U_2$ માં $2W, 1R$ થાય. $P(W|T, 1W, 1R) = 2/3$.
જો $0W, 2R$ સ્થાનાંતરિત થાય,$U_2$ માં $1W, 2R$ થાય. $P(W|T, 0W, 2R) = 1/3$.
$P(W|T) = (3/10 \times 1) + (6/10 \times 2/3) + (1/10 \times 1/3) = 3/10 + 4/10 + 1/30 = 7/10 + 1/30 = 22/30 = 11/15$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(H|W) = \frac{P(H)P(W|H)}{P(H)P(W|H) + P(T)P(W|T)} = \frac{1/2 \times 4/5}{1/2 \times 4/5 + 1/2 \times 11/15} = \frac{2/5}{2/5 + 11/30} = \frac{12/30}{12/30 + 11/30} = 12/23$.

(B) ધારો કે $A_1$ એ ઘટના છે કે ગુમ થયેલ પત્તું કાળું છે,અને $A_2$ એ ઘટના છે કે ગુમ થયેલ પત્તું લાલ છે. ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે તપાસવામાં આવેલા પ્રથમ $13$ પત્તા લાલ છે.
આપણે $P(A_1|E)$ શોધવાની જરૂર છે.
શરૂઆતમાં,$52$ પત્તાના પેકેટમાં $26$ લાલ અને $26$ કાળા પત્તા હોય છે. એક પત્તું ગુમ હોવાથી,$P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$.
જો $A_1$ બને (ગુમ થયેલ પત્તું કાળું હોય),તો $26$ લાલ અને $25$ કાળા પત્તા બાકી રહે. $13$ લાલ પત્તા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|A_1) = \frac{^{26}C_{13}}{^{51}C_{13}}$ છે.
જો $A_2$ બને (ગુમ થયેલ પત્તું લાલ હોય),તો $25$ લાલ અને $26$ કાળા પત્તા બાકી રહે. $13$ લાલ પત્તા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|A_2) = \frac{^{25}C_{13}}{^{51}C_{13}}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A_1|E) = \frac{P(E|A_1)P(A_1)}{P(E|A_1)P(A_1) + P(E|A_2)P(A_2)}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{^{26}C_{13}}{^{51}C_{13}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{^{26}C_{13}}{^{51}C_{13}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{^{25}C_{13}}{^{51}C_{13}}}$
$P(A_1|E) = \frac{^{26}C_{13}}{^{26}C_{13} + ^{25}C_{13}} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $E_{1}$ એ પ્રથમ જૂથમાંથી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_{2}$ એ બીજા જૂથમાંથી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પ્રથમ જૂથમાં $3$ થેલીઓ અને બીજા જૂથમાં $2$ થેલીઓ છે,કુલ $5$ થેલીઓ છે.
$P(E_{1}) = \frac{3}{5}$ અને $P(E_{2}) = \frac{2}{5}$.
પ્રથમ જૂથમાં,દરેક થેલીમાં $5$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા છે,તેથી $P(W|E_{1}) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$.
બીજા જૂથમાં,દરેક થેલીમાં $2$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા છે,તેથી $P(W|E_{2}) = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સફેદ દડો પ્રથમ જૂથમાંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(E_{1}|W) = \frac{P(E_{1})P(W|E_{1})}{P(E_{1})P(W|E_{1}) + P(E_{2})P(W|E_{2})}$
$P(E_{1}|W) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{5}{8}}{\frac{3}{5} \times \frac{5}{8} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{3}}$
$P(E_{1}|W) = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{8} + \frac{2}{15}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{45+16}{120}} = \frac{3}{8} \times \frac{120}{61} = \frac{3 \times 15}{61} = \frac{45}{61}$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ સિક્કો $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ સિક્કો $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. એક સિક્કો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી,$P(E_1) = 1/2$ અને $P(E_2) = 1/2$.
ધારો કે $H$ એ બંને વખત છાપ મળવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(H|E_1) = (1/4)^2 = 1/16$ અને $P(H|E_2) = (3/4)^2 = 9/16$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો બંને વખત છાપ મળી હોય તો તે સિક્કો $A$ હોવાની સંભાવના:
$P(E_1|H) = \frac{P(E_1)P(H|E_1)}{P(E_1)P(H|E_1) + P(E_2)P(H|E_2)}$
$P(E_1|H) = \frac{(1/2)(1/16)}{(1/2)(1/16) + (1/2)(9/16)}$
$P(E_1|H) = \frac{1/32}{1/32 + 9/32} = \frac{1/32}{10/32} = 1/10$.

(A) ધારો કે $E$ એ એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. $H_A$ અને $H_B$ એ અનુક્રમે પેટી $A$ અને પેટી $B$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. $P(H_A) = P(H_B) = \frac{1}{2}$.
પેટી $A$ માંથી એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_A) = \frac{^2C_1 \times ^3C_1}{^7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ છે.
પેટી $B$ માંથી એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_B) = \frac{^4C_1 \times ^2C_1}{^9C_2} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પેટી $B$ માંથી દડા કાઢ્યા હોય તેની સંભાવના:
$P(H_B|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{9}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9}} = \frac{7}{16}$.

(B) ધારો કે પાત્રમાં બે દડાઓની શરૂઆતની સ્થિતિ સફેદ દડાઓની સંખ્યા $W$ દ્વારા દર્શાવેલ છે. દરેક દડો સફેદ કે કાળો હોઈ શકે છે,તેથી શક્ય શરૂઆતની સ્થિતિઓ $0$ સફેદ દડા $(BB)$,$1$ સફેદ દડો $(BW)$,અથવા $2$ સફેદ દડા $(WW)$ છે. દરેક સ્થિતિ સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,દરેક માટેની પૂર્વ સંભાવના $P(S_i) = \frac{1}{3}$ છે.
એક સફેદ દડો ઉમેર્યા પછી,નવી સ્થિતિઓ નીચે મુજબ છે:
$1) BB \to BBW$ (સફેદ દડાની સંખ્યા = $1$,કુલ = $3$)
$2) BW \to BWW$ (સફેદ દડાની સંખ્યા = $2$,કુલ = $3$)
$3) WW \to WWW$ (સફેદ દડાની સંખ્યા = $3$,કુલ = $3$)
સ્થિતિ $S_i$ આપેલ હોય ત્યારે સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W|S_i) = \frac{\text{સફેદ દડા}}{3}$ છે.
$P(W|S_1) = \frac{1}{3}$,$P(W|S_2) = \frac{2}{3}$,$P(W|S_3) = \frac{3}{3} = 1$.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(W) = \sum P(W|S_i)P(S_i) = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{3}) = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $H$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો મળવાની ઘટના છે. $P(H) = \frac{1}{2}$ અને $P(T) = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો છાપ મળે,તો બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે. સરવાળો $7$ અથવા $8$ હોઈ શકે. $7$ માટેની જોડીઓ $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ પરિણામો) અને $8$ માટેની જોડીઓ $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો) છે. કુલ પરિણામો = $36$.
$P(7 \text{ અથવા } 8 | H) = \frac{6+5}{36} = \frac{11}{36}$.
કિસ્સો $2$: જો કાંટો મળે,તો $9$ કાર્ડમાંથી એક કાર્ડ પસંદ કરવામાં આવે છે. સાનુકૂળ સંખ્યાઓ $7$ અને $8$ છે.
$P(7 \text{ અથવા } 8 | T) = \frac{2}{9}$.
કુલ સંભાવના $P(7 \text{ અથવા } 8) = P(H) \times P(7 \text{ અથવા } 8 | H) + P(T) \times P(7 \text{ અથવા } 8 | T)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{11}{36} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9} = \frac{11}{72} + \frac{1}{9} = \frac{11+8}{72} = \frac{19}{72}$.

(A) આપેલ માહિતીને નીચે મુજબ કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય છે:

પ્રકાર	સાચા/ખોટા | બહુવિકલ્પ | કુલ
સરળ	$300$ | $500$ | $800$
મુશ્કેલ	$200$ | $400$ | $600$
કુલ	$500$ | $900$ | $1400$

ધારો કે $E$ એ પ્રશ્ન સરળ હોવાની ઘટના છે અને $M$ એ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પ હોવાની ઘટના છે.
બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોની કુલ સંખ્યા $= 900$ છે.
સરળ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોની સંખ્યા $= 500$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E | M)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે જો પ્રશ્ન બહુવિકલ્પ હોય તો તે સરળ હોવાની સંભાવના.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E | M) = \frac{n(E \cap M)}{n(M)}$
જ્યાં $n(E \cap M)$ એ સરળ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોની સંખ્યા છે અને $n(M)$ એ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોની કુલ સંખ્યા છે.
$P(E | M) = \frac{500}{900} = \frac{5}{9}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{5}{9}$ છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $I$ પસંદ કરવાની ઘટના છે,$E_2$ એ થેલી $II$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $A$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
તેથી $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
થેલી $I$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A|E_1) = \frac{3}{7}$ છે.
થેલી $II$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A|E_2) = \frac{5}{11}$ છે.
આપણે $P(E_2|A)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3}{14} + \frac{5}{22}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{33 + 35}{154}} = \frac{5}{22} \times \frac{154}{68} = \frac{5 \times 7}{68} = \frac{35}{68}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2$ અને $E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે અનુક્રમે બોક્સ $I, II$ અને $III$ પસંદ કરવામાં આવે છે.
બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = 1/3$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ સિક્કો સોનાનો છે.
તેથી,શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(A|E_1) = 2/2 = 1$ (બોક્સ $I$ માં બંને સોનાના સિક્કા છે).
$P(A|E_2) = 0/2 = 0$ (બોક્સ $II$ માં કોઈ સોનાનો સિક્કો નથી).
$P(A|E_3) = 1/2$ (બોક્સ $III$ માં એક સોનાનો સિક્કો છે).
આપણે તે સંભાવના શોધવી છે કે બીજો સિક્કો પણ સોનાનો હોય,જેનો અર્થ છે કે આપણે બોક્સ $I$ પસંદ કર્યું હોવું જોઈએ.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_1|A) = \frac{(1/3 \times 1)}{(1/3 \times 1) + (1/3 \times 0) + (1/3 \times 1/2)} = \frac{1/3}{1/3 + 1/6} = \frac{1/3}{3/6} = \frac{1/3}{1/2} = 2/3$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી વ્યક્તિને ખરેખર $HIV$ છે અને $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિનો $HIV$ ટેસ્ટ પોઝિટિવ આવે છે. આપણે $P(E|A)$ શોધવાની જરૂર છે. $E^{\prime}$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે પસંદ કરેલી વ્યક્તિને $HIV$ નથી.
સ્પષ્ટપણે,$\{E, E^{\prime}\}$ એ નમૂના અવકાશનું વિભાજન છે.
આપણને આપેલ છે:
$P(E) = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001$
$P(E^{\prime}) = 1 - P(E) = 0.999$
$P(A|E) = P(\text{વ્યક્તિને } HIV \text{ હોવા છતાં ટેસ્ટ પોઝિટિવ આવે}) = 90\% = 0.9$
$P(A|E^{\prime}) = P(\text{વ્યક્તિને } HIV \text{ ન હોવા છતાં ટેસ્ટ પોઝિટિવ આવે}) = 1\% = 0.01$
બેયઝના પ્રમેય દ્વારા:
$P(E|A) = \frac{P(E) P(A|E)}{P(E) P(A|E) + P(E^{\prime}) P(A|E^{\prime})}$
$P(E|A) = \frac{0.001 \times 0.9}{(0.001 \times 0.9) + (0.999 \times 0.01)}$
$P(E|A) = \frac{0.0009}{0.0009 + 0.00999} = \frac{0.0009}{0.01089} = \frac{90}{1089} \approx 0.083$
આમ,વ્યક્તિને ખરેખર $HIV$ હોવાની સંભાવના આશરે $0.083$ છે.

(A) ધારો કે ઘટનાઓ $B_1, B_2, B_3$ નીચે મુજબ છે:
$B_1$: બોલ્ટ મશીન $A$ દ્વારા ઉત્પાદિત છે.
$B_2$: બોલ્ટ મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત છે.
$B_3$: બોલ્ટ મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત છે.
સ્પષ્ટપણે,$B_1, B_2, B_3$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે.
ધારો કે ઘટના $E$ એ 'બોલ્ટ ખામીયુક્ત છે' તે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(B_1) = 0.25, P(B_2) = 0.35, P(B_3) = 0.40$.
ખામીયુક્ત બોલ્ટની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|B_1) = 0.05, P(E|B_2) = 0.04, P(E|B_3) = 0.02$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો બોલ્ટ ખામીયુક્ત હોય તો તે મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના:
$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2) + P(B_3)P(E|B_3)}$
$P(B_2|E) = \frac{0.35 \times 0.04}{(0.25 \times 0.05) + (0.35 \times 0.04) + (0.40 \times 0.02)}$
$P(B_2|E) = \frac{0.0140}{0.0125 + 0.0140 + 0.0080} = \frac{0.0140}{0.0345}$
$P(B_2|E) = \frac{140}{345} = \frac{28}{69}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ડૉક્ટર મોડા આવે છે. ધારો કે $T_1, T_2, T_3$ અને $T_4$ એ ઘટનાઓ છે કે ડૉક્ટર અનુક્રમે ટ્રેન,બસ,સ્કૂટર અને અન્ય વાહન દ્વારા આવે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(T_1) = \frac{3}{10}, P(T_2) = \frac{1}{5}, P(T_3) = \frac{1}{10}, P(T_4) = \frac{2}{5}$.
મોડા આવવાની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|T_1) = \frac{1}{4}, P(E|T_2) = \frac{1}{3}, P(E|T_3) = \frac{1}{12}, P(E|T_4) = 0$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો ડૉક્ટર મોડા આવે તો તેમના ટ્રેન દ્વારા આવવાની સંભાવના:
$P(T_1|E) = \frac{P(T_1)P(E|T_1)}{\sum_{i=1}^{4} P(T_i)P(E|T_i)}$
છેદની ગણતરી:
$P(E) = (\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{10} \times \frac{1}{12}) + (\frac{2}{5} \times 0)$
$P(E) = \frac{3}{40} + \frac{1}{15} + \frac{1}{120} + 0 = \frac{9 + 8 + 1}{120} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$.
અંશની ગણતરી:
$P(T_1)P(E|T_1) = \frac{3}{10} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{40}$.
પરિણામ:
$P(T_1|E) = \frac{3/40}{3/20} = \frac{3}{40} \times \frac{20}{3} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે માણસ $6$ આવ્યો છે તેમ જણાવે છે.
ધારો કે $S_{1}$ એ ઘટના છે કે ખરેખર $6$ આવે છે.
ધારો કે $S_{2}$ એ ઘટના છે કે $6$ આવતો નથી.
આપણી પાસે છે:
$P(S_{1}) = 1/6$
$P(S_{2}) = 5/6$
$P(E|S_{1})$ એ સંભાવના છે કે માણસ $6$ જણાવે છે જ્યારે ખરેખર $6$ આવ્યો હોય (તે સાચું બોલે છે) $= 3/4$.
$P(E|S_{2})$ એ સંભાવના છે કે માણસ $6$ જણાવે છે જ્યારે ખરેખર $6$ આવ્યો ન હોય (તે જૂઠું બોલે છે) $= 1 - 3/4 = 1/4$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,માણસ $6$ જણાવે છે ત્યારે તે ખરેખર $6$ હોય તેની સંભાવના:
$P(S_{1}|E) = \frac{P(S_{1})P(E|S_{1})}{P(S_{1})P(E|S_{1}) + P(S_{2})P(E|S_{2})}$
$P(S_{1}|E) = \frac{(1/6) \times (3/4)}{(1/6) \times (3/4) + (5/6) \times (1/4)}$
$P(S_{1}|E) = \frac{3/24}{3/24 + 5/24} = \frac{3/24}{8/24} = 3/8$.
આમ,જરૂરી સંભાવના $3/8$ છે.

(A) ધારો કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ અનુક્રમે પ્રથમ થેલી અને બીજી થેલી પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
$P(E_{1}) = P(E_{2}) = 1/2$.
ધારો કે $A$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
$P(A | E_{1}) = \text{પ્રથમ થેલીમાંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના} = 4/8 = 1/2$.
$P(A | E_{2}) = \text{બીજી થેલીમાંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના} = 2/8 = 1/4$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે દડો પ્રથમ થેલીમાંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય,જો તે લાલ હોય,જે $P(E_{1} | A)$ છે.
બેયઝના પ્રમેય દ્વારા:
$P(E_{1} | A) = \frac{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1})}{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(A | E_{2})}$
$P(E_{1} | A) = \frac{(1/2) \cdot (1/2)}{(1/2) \cdot (1/2) + (1/2) \cdot (1/4)}$
$P(E_{1} | A) = \frac{1/4}{1/4 + 1/8} = \frac{1/4}{3/8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2/3$.

(A) ધારો કે $E_{1}$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી હોસ્ટેલર છે અને $E_{2}$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી ડે-સ્કોલર છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી $A$ ગ્રેડ મેળવે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(E_{1}) = 60 \% = 0.6$
$P(E_{2}) = 40 \% = 0.4$
$P(A | E_{1}) = 30 \% = 0.3$
$P(A | E_{2}) = 20 \% = 0.2$
આપણે $P(E_{1} | A)$ શોધવાની જરૂર છે. બેયઝના પ્રમેય દ્વારા:
$P(E_{1} | A) = \frac{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1})}{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(A | E_{2})}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_{1} | A) = \frac{0.6 \times 0.3}{(0.6 \times 0.3) + (0.4 \times 0.2)}$
$P(E_{1} | A) = \frac{0.18}{0.18 + 0.08}$
$P(E_{1} | A) = \frac{0.18}{0.26}$
$P(E_{1} | A) = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}$

(A) ધારો કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ અનુક્રમે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને તે અનુમાન લગાવે છે તેવી ઘટનાઓ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે જવાબ સાચો છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(E_{1}) = \frac{3}{4}$ અને $P(E_{2}) = \frac{1}{4}$ છે.
વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે તે જાણીતું હોય ત્યારે જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_{1}) = 1$ છે.
વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે તે જાણીતું હોય ત્યારે જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_{2}) = \frac{1}{4}$ છે.
આપણે $P(E_{1}|A)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય દ્વારા:
$P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{3}{4} \times 1}{(\frac{3}{4} \times 1) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4})}$
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4} + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{12+1}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{13}{16}}$
$P(E_{1}|A) = \frac{3}{4} \times \frac{16}{13} = \frac{12}{13}$.

(A) ધારો કે $E_{1}$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ છે અને $E_{2}$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ નથી.
આપેલ છે કે $P(E_{1}) = 0.1 \% = 0.001$.
$E_{1}$ અને $E_{2}$ પૂરક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(E_{2}) = 1 - P(E_{1}) = 1 - 0.001 = 0.999$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બ્લડ ટેસ્ટનું પરિણામ પોઝિટિવ આવે છે.
$P(A | E_{1}) = 99 \% = 0.99$ (વ્યક્તિને રોગ હોય ત્યારે પોઝિટિવ પરિણામ મળવાની સંભાવના).
$P(A | E_{2}) = 0.5 \% = 0.005$ (વ્યક્તિ સ્વસ્થ હોય ત્યારે પોઝિટિવ પરિણામ મળવાની સંભાવના).
આપણે $P(E_{1} | A)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_{1} | A) = \frac{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1})}{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(A | E_{2})}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_{1} | A) = \frac{0.001 \times 0.99}{(0.001 \times 0.99) + (0.999 \times 0.005)}$
$= \frac{0.00099}{0.00099 + 0.004995}$
$= \frac{0.00099}{0.005985}$
$= \frac{990}{5985}$
$= \frac{22}{133}$

(A) ધારો કે $E_{1}$,$E_{2}$ અને $E_{3}$ એ અનુક્રમે બે છાપવાળો સિક્કો,પક્ષપાતી સિક્કો અને નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
એક સિક્કો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી,$P(E_{1}) = P(E_{2}) = P(E_{3}) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $A$ એ સિક્કો છાપ દર્શાવે છે તેવી ઘટના છે.
બે છાપવાળા સિક્કા માટે,$P(A|E_{1}) = 1$.
પક્ષપાતી સિક્કા માટે,$P(A|E_{2}) = 75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,$P(A|E_{3}) = \frac{1}{2}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સિક્કો છાપ દર્શાવે છે તે આપેલ હોય ત્યારે તે બે છાપવાળો સિક્કો હોવાની સંભાવના $P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2}) + P(E_{3})P(A|E_{3})}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} (1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2})} = \frac{1}{\frac{4+3+2}{4}} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9}$.

(A) ધારો કે $E_{1}, E_{2}$ અને $E_{3}$ એ ઘટનાઓ છે કે ચાલક અનુક્રમે સ્કૂટર ચાલક,કાર ચાલક અને ટ્રક ચાલક છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિનો અકસ્માત થાય છે.
કુલ ચાલકોની સંખ્યા $= 2000 + 4000 + 6000 = 12000$.
$P(E_{1}) = \frac{2000}{12000} = \frac{1}{6}$.
$P(E_{2}) = \frac{4000}{12000} = \frac{1}{3}$.
$P(E_{3}) = \frac{6000}{12000} = \frac{1}{2}$.
અકસ્માતની સંભાવનાઓ $P(A|E_{1}) = 0.01 = \frac{1}{100}$,$P(A|E_{2}) = 0.03 = \frac{3}{100}$,અને $P(A|E_{3}) = 0.15 = \frac{15}{100}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અકસ્માત થયો હોય ત્યારે તે સ્કૂટર ચાલક હોય તેની સંભાવના $P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2}) + P(E_{3})P(A|E_{3})}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{15}{100}}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{600}}{\frac{1}{600} + \frac{3}{300} + \frac{15}{200}} = \frac{\frac{1}{600}}{\frac{1 + 6 + 45}{600}} = \frac{1}{52}$.

(B) ધારો કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ અનુક્રમે મશીન $A$ અને $B$ દ્વારા વસ્તુઓનું ઉત્પાદન થવાની ઘટનાઓ છે. ધારો કે $X$ એ વસ્તુ ખામીયુક્ત હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે:
$P(E_{1}) = 60 \% = 60/100 = 3/5$
$P(E_{2}) = 40 \% = 40/100 = 2/5$
$P(X | E_{1}) = 2 \% = 2/100$
$P(X | E_{2}) = 1 \% = 1/100$
આપણે $P(E_{2} | X)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_{2} | X) = \frac{P(E_{2}) \cdot P(X | E_{2})}{P(E_{1}) \cdot P(X | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(X | E_{2})}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_{2} | X) = \frac{(2/5) \cdot (1/100)}{(3/5) \cdot (2/100) + (2/5) \cdot (1/100)}$
$P(E_{2} | X) = \frac{2/500}{6/500 + 2/500}$
$P(E_{2} | X) = \frac{2/500}{8/500}$
$P(E_{2} | X) = 2/8 = 1/4$

(A) ધારો કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ અનુક્રમે પ્રથમ જૂથ અને બીજા જૂથની સ્પર્ધા જીતવાની ઘટનાઓ છે.
ધારો કે $A$ એ નવી પ્રોડક્ટ રજૂ કરવાની ઘટના છે.
આપેલ છે:
$P(E_{1}) = 0.6$
$P(E_{2}) = 0.4$
$P(A | E_{1}) = 0.7$
$P(A | E_{2}) = 0.3$
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે નવી પ્રોડક્ટ બીજા જૂથ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી,જે $P(E_{2} | A)$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_{2} | A) = \frac{P(E_{2}) P(A | E_{2})}{P(E_{1}) P(A | E_{1}) + P(E_{2}) P(A | E_{2})}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_{2} | A) = \frac{0.4 \times 0.3}{(0.6 \times 0.7) + (0.4 \times 0.3)}$
$P(E_{2} | A) = \frac{0.12}{0.42 + 0.12}$
$P(E_{2} | A) = \frac{0.12}{0.54}$
$P(E_{2} | A) = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}$

(A) ધારો કે $E_{1}$ એ ઘટના છે કે પાસા પરનું પરિણામ $5$ અથવા $6$ છે અને $E_{2}$ એ ઘટના છે કે પાસા પરનું પરિણામ $1, 2, 3,$ અથવા $4$ છે.
$P(E_{1}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ અને $P(E_{2}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $A$ એ બરાબર એક છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
$P(A | E_{1})$ એ સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળીને બરાબર એક છાપ મેળવવાની સંભાવના છે: $\binom{3}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{8}$.
$P(A | E_{2})$ એ સિક્કાને એક વાર ઉછાળીને બરાબર એક છાપ મેળવવાની સંભાવના છે: $\frac{1}{2}$.
આપણે $P(E_{2} | A)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય દ્વારા:
$P(E_{2} | A) = \frac{P(E_{2}) P(A | E_{2})}{P(E_{1}) P(A | E_{1}) + P(E_{2}) P(A | E_{2})}$
$P(E_{2} | A) = \frac{(\frac{2}{3}) (\frac{1}{2})}{(\frac{1}{3}) (\frac{3}{8}) + (\frac{2}{3}) (\frac{1}{2})}$
$P(E_{2} | A) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8} + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3+8}{24}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{24}} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{11} = \frac{8}{11}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2$ અને $E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે વસ્તુઓ અનુક્રમે ઓપરેટરો $A, B$ અને $C$ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે.
$P(E_1) = 50\% = 0.5, P(E_2) = 30\% = 0.3, P(E_3) = 20\% = 0.2$.
ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત વસ્તુ ઉત્પન્ન થવાની ઘટના છે.
$P(X|E_1) = 1\% = 0.01, P(X|E_2) = 5\% = 0.05, P(X|E_3) = 7\% = 0.07$.
આપણે $P(E_1|X)$ શોધવાની જરૂર છે. બેયઝના પ્રમેય દ્વારા:
$P(E_1|X) = \frac{P(E_1)P(X|E_1)}{P(E_1)P(X|E_1) + P(E_2)P(X|E_2) + P(E_3)P(X|E_3)}$
$P(E_1|X) = \frac{0.5 \times 0.01}{(0.5 \times 0.01) + (0.3 \times 0.05) + (0.2 \times 0.07)}$
$P(E_1|X) = \frac{0.005}{0.005 + 0.015 + 0.014} = \frac{0.005}{0.034} = \frac{5}{34}$.

(A) ધારો કે $E_{1}$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું ચોકટનું છે અને $E_{2}$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું ચોકટનું નથી.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બાકીના $51$ પત્તામાંથી ખેંચવામાં આવેલા બે પત્તા ચોકટના છે.
$52$ પત્તામાંથી $13$ ચોકટના છે અને $39$ ચોકટના નથી.
$P(E_{1}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(E_{2}) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
જો $E_{1}$ બને,તો $51$ પત્તામાં $12$ ચોકટના પત્તા બાકી રહે. $2$ ચોકટના પત્તા ખેંચવાની સંભાવના $P(A|E_{1}) = \frac{^{12}C_{2}}{^{51}C_{2}} = \frac{12 \times 11}{51 \times 50} = \frac{132}{2550}$ છે.
જો $E_{2}$ બને,તો $51$ પત્તામાં $13$ ચોકટના પત્તા બાકી રહે. $2$ ચોકટના પત્તા ખેંચવાની સંભાવના $P(A|E_{2}) = \frac{^{13}C_{2}}{^{51}C_{2}} = \frac{13 \times 12}{51 \times 50} = \frac{156}{2550}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550}}{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550} + \frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}} = \frac{132}{132 + 3 \times 156} = \frac{132}{132 + 468} = \frac{132}{600}$.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{11}{50}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $H$ એ છાપ આવવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો આવવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R_H$ એ ઘટના છે કે $A$ છાપ આવી હોવાનો અહેવાલ આપે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(\text{Truth}) = \frac{4}{5}$ અને $P(\text{False}) = \frac{1}{5}$.
જો છાપ આવે,તો $A$ સાચું બોલે તો જ તે છાપ આવી હોવાનો અહેવાલ આપે. તેથી,$P(R_H | H) = \frac{4}{5}$.
જો કાંટો આવે,તો $A$ જૂઠું બોલે તો જ તે છાપ આવી હોવાનો અહેવાલ આપે. તેથી,$P(R_H | T) = \frac{1}{5}$.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$P(H) = \frac{1}{2}$ અને $P(T) = \frac{1}{2}$.
આપણે $P(H | R_H)$ શોધવું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(H | R_H) = \frac{P(R_H | H) P(H)}{P(R_H | H) P(H) + P(R_H | T) P(T)}$
$P(H | R_H) = \frac{(\frac{4}{5}) \cdot (\frac{1}{2})}{(\frac{4}{5}) \cdot (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{2})}$
$P(H | R_H) = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{4}{10} + \frac{1}{10}} = \frac{4/10}{5/10} = \frac{4}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $E_1, E_2, E_3, E_4$ એ અનુક્રમે બોક્સ $I, II, III, IV$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \frac{1}{4}$.
દરેક બોક્સમાંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવનાઓ:
$P(A|E_1) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$P(A|E_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$P(A|E_3) = \frac{1}{7}$
$P(A|E_4) = \frac{4}{13}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો કાળો હોય તો તે બોક્સ $III$ માંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(E_3|A) = \frac{P(E_3)P(A|E_3)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(A|E_i)}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}}{\frac{1}{4}(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{4}{13})} = \frac{312}{1894} \approx 0.165$.

(A) ધારો કે $B_{1}$ એ ઘટના છે કે મશીન યોગ્ય રીતે સેટ થયેલ છે અને $B_{2}$ એ ઘટના છે કે મશીન ખોટી રીતે સેટ થયેલ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે મશીન $2$ સ્વીકાર્ય વસ્તુઓ બનાવે છે.
આપેલ છે:
$P(B_{1}) = 0.8$
$P(B_{2}) = 1 - 0.8 = 0.2$
$P(A|B_{1}) = 0.9 \times 0.9 = 0.81$
$P(A|B_{2}) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,મશીન યોગ્ય રીતે સેટ થયેલ હોવાની સંભાવના જ્યારે તેણે $2$ સ્વીકાર્ય વસ્તુઓ બનાવી હોય:
$P(B_{1}|A) = \frac{P(B_{1})P(A|B_{1})}{P(B_{1})P(A|B_{1}) + P(B_{2})P(A|B_{2})}$
$P(B_{1}|A) = \frac{0.8 \times 0.81}{(0.8 \times 0.81) + (0.2 \times 0.16)}$
$P(B_{1}|A) = \frac{0.648}{0.648 + 0.032} = \frac{0.648}{0.680} = \frac{648}{680} = \frac{81}{85} \approx 0.9529$

(A) ધારો કે $M$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ પુરુષ છે અને $W$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ સ્ત્રી છે. પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા સમાન હોવાથી,$P(M) = P(W) = 0.5$.
ધારો કે $G$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વ્યક્તિના વાળ સફેદ છે.
આપેલ છે: $P(G|M) = 0.05$ અને $P(G|W) = 0.0025$.
આપણે $P(M|G)$ શોધવાની જરૂર છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M|G) = \frac{P(G|M)P(M)}{P(G|M)P(M) + P(G|W)P(W)}$
$P(M|G) = \frac{0.05 \times 0.5}{(0.05 \times 0.5) + (0.0025 \times 0.5)}$
$P(M|G) = \frac{0.05}{0.05 + 0.0025} = \frac{0.05}{0.0525}$
$P(M|G) = \frac{500}{525} = \frac{20}{21}$

(A) ધારો કે $E_A, E_B, E_C$ અને $E_D$ એ અનુક્રમે બોક્સ $A, B, C$ અને $D$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતું હોવાથી,$P(E_A) = P(E_B) = P(E_C) = P(E_D) = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $R$ એ લાલ લખોટી કાઢવાની ઘટના છે.
દરેક બોક્સમાંથી લાલ લખોટી કાઢવાની શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(R|E_A) = \frac{1}{1+6+3} = \frac{1}{10}$
$P(R|E_B) = \frac{6}{6+2+2} = \frac{6}{10}$
$P(R|E_C) = \frac{8}{8+1+1} = \frac{8}{10}$
$P(R|E_D) = \frac{0}{0+6+4} = 0$
કુલ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,$P(R) = P(E_A)P(R|E_A) + P(E_B)P(R|E_B) + P(E_C)P(R|E_C) + P(E_D)P(R|E_D)$
$P(R) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{10} + \frac{1}{4} \times 0 = \frac{1+6+8}{40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,લાલ લખોટી બોક્સ $X$ માંથી કાઢવામાં આવી હોય તેની સંભાવના $P(E_X|R) = \frac{P(E_X)P(R|E_X)}{P(R)}$ છે.
બોક્સ $A$ માટે: $P(E_A|R) = \frac{(1/4)(1/10)}{3/8} = \frac{1/40}{3/8} = \frac{1}{40} \times \frac{8}{3} = \frac{1}{15}$.
બોક્સ $B$ માટે: $P(E_B|R) = \frac{(1/4)(6/10)}{3/8} = \frac{6/40}{3/8} = \frac{6}{40} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{5}$.
બોક્સ $C$ માટે: $P(E_C|R) = \frac{(1/4)(8/10)}{3/8} = \frac{8/40}{3/8} = \frac{8}{40} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{15}$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે દર્દીને હાર્ટ એટેક આવે છે. ધારો કે $E_{1}$ એ ઘટના છે કે દર્દી ધ્યાન અને યોગનો કોર્સ પસંદ કરે છે,અને $E_{2}$ એ ઘટના છે કે દર્દી દવાનું પ્રિસ્ક્રિપ્શન પસંદ કરે છે.
આપેલ છે કે $P(E_{1}) = P(E_{2}) = \frac{1}{2}$.
હાર્ટ એટેકની પ્રારંભિક સંભાવના $0.40$ છે.
જો દર્દી $E_{1}$ પસંદ કરે છે,તો જોખમ $30 \%$ ઘટે છે,તેથી નવી સંભાવના $P(A|E_{1}) = 0.40 \times (1 - 0.30) = 0.40 \times 0.70 = 0.28$ છે.
જો દર્દી $E_{2}$ પસંદ કરે છે,તો જોખમ $25 \%$ ઘટે છે,તેથી નવી સંભાવના $P(A|E_{2}) = 0.40 \times (1 - 0.25) = 0.40 \times 0.75 = 0.30$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,દર્દીને હાર્ટ એટેક આવ્યો હોય તો તેણે ધ્યાન અને યોગનો કોર્સ અનુસર્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{2} \times 0.28}{\frac{1}{2} \times 0.28 + \frac{1}{2} \times 0.30} = \frac{0.28}{0.28 + 0.30} = \frac{0.28}{0.58} = \frac{28}{58} = \frac{14}{29}$.

(A) ધારો કે $E_{1}$ એ થેલી $I$ માંથી થેલી $II$ માં લાલ દડો સ્થાનાંતરિત થવાની ઘટના છે,અને $E_{2}$ એ થેલી $I$ માંથી થેલી $II$ માં કાળો દડો સ્થાનાંતરિત થવાની ઘટના છે.
સંભાવનાઓ $P(E_{1}) = \frac{3}{7}$ અને $P(E_{2}) = \frac{4}{7}$ છે.
ધારો કે $A$ એ થેલી $II$ માંથી કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
જો $E_{1}$ બને,તો થેલી $II$ માં હવે $5$ લાલ અને $5$ કાળા દડા છે. તેથી,$P(A|E_{1}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
જો $E_{2}$ બને,તો થેલી $II$ માં હવે $4$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે. તેથી,$P(A|E_{2}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
આપણે $P(E_{2}|A)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_{2}|A) = \frac{P(E_{2})P(A|E_{2})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$
$P(E_{2}|A) = \frac{(\frac{4}{7}) \times (\frac{2}{5})}{(\frac{3}{7}) \times (\frac{1}{2}) + (\frac{4}{7}) \times (\frac{2}{5})}$
$P(E_{2}|A) = \frac{\frac{8}{35}}{\frac{3}{14} + \frac{8}{35}} = \frac{\frac{8}{35}}{\frac{15+16}{70}} = \frac{8}{35} \times \frac{70}{31} = \frac{16}{31}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું નથી.
$P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બાકી રહેલા $51$ પત્તામાંથી ખેંચેલા બે પત્તા કાળીના છે.
જો $E_1$ બને,તો $51$ પત્તામાં $12$ કાળીના પત્તા બાકી રહે. તેથી,$P(A|E_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{132}{2550}$.
જો $E_2$ બને,તો $51$ પત્તામાં $13$ કાળીના પત્તા બાકી રહે. તેથી,$P(A|E_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{156}{2550}$.
આપણે $P(E_2|A)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}}{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550} + \frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}} = \frac{468}{132 + 468} = \frac{468}{600} = \frac{39}{50}$.

(A) ધારો કે $B_{1}$ એ બોક્સ-$I$ પસંદ થવાની ઘટના છે અને $B_{2}$ એ બોક્સ-$II$ પસંદ થવાની ઘટના છે.
$P(B_{1}) = P(B_{2}) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E$ એ પસંદ કરેલ કાર્ડ અવિભાજ્ય ન હોય તેવી ઘટના છે.
બોક્સ-$I$ માં ($1$ થી $30$ કાર્ડ),અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$ ($10$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) છે. તેથી,$30 - 10 = 20$ અવિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$P(E|B_{1}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
બોક્સ-$II$ માં ($31$ થી $50$ કાર્ડ),અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{31, 37, 41, 43, 47\}$ ($5$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) છે. તેથી,$20 - 5 = 15$ અવિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$P(E|B_{2}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કાર્ડ બોક્સ-$I$ માંથી કાઢવામાં આવ્યું હોય તેની સંભાવના:
$P(B_{1}|E) = \frac{P(B_{1})P(E|B_{1})}{P(B_{1})P(E|B_{1}) + P(B_{2})P(E|B_{2})}$
$P(B_{1}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{8+9}{24}} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{17} = \frac{8}{17}$.

(C) ધારો કે ઘટનાઓ નીચે મુજબ છે:
$A$: પસંદ કરેલી વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર અને માંસાહારી છે.
$B$: પસંદ કરેલી વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર અને શાકાહારી છે.
$C$: પસંદ કરેલી વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન ન કરનાર અને શાકાહારી છે.
$E$: પસંદ કરેલી વ્યક્તિને છાતીનો વિકાર છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(A) = \frac{160}{400}$,$P(B) = \frac{100}{400}$,$P(C) = \frac{140}{400}$.
વિકાર હોવાની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|A) = \frac{35}{100}$,$P(E|B) = \frac{20}{100}$,$P(E|C) = \frac{10}{100}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P(A|E)$ શોધવાની જરૂર છે:
$P(A|E) = \frac{P(A) \cdot P(E|A)}{P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B) + P(C) \cdot P(E|C)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(A|E) = \frac{\frac{160}{400} \times \frac{35}{100}}{\frac{160}{400} \times \frac{35}{100} + \frac{100}{400} \times \frac{20}{100} + \frac{140}{400} \times \frac{10}{100}}$
$P(A|E) = \frac{160 \times 35}{(160 \times 35) + (100 \times 20) + (140 \times 10)}$
$P(A|E) = \frac{5600}{5600 + 2000 + 1400} = \frac{5600}{9000} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ બેગ $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બેગ $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલા દડા $1$ લાલ અને $1$ કાળો છે.
બેગ $A$ માટે (કુલ $6$ દડા: $2W, 1B, 3R$): $P(A|E_1) = \frac{{}^3C_1 \times {}^1C_1}{{}^6C_2} = \frac{3 \times 1}{15} = \frac{1}{5}$.
બેગ $B$ માટે (કુલ $n+5$ દડા: $nW, 3B, 2R$): $P(A|E_2) = \frac{{}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^{n+5}C_2} = \frac{6}{\frac{(n+5)(n+4)}{2}} = \frac{12}{(n+5)(n+4)}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{6}{11}$.
$\frac{1/10}{1/10 + 6/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11} \Rightarrow \frac{1}{1 + 60/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11}$.
$11 = 6 + \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow 5 = \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow (n+5)(n+4) = 72$.
$(n+5)(n+4) = 9 \times 8 \Rightarrow n+4 = 8 \Rightarrow n = 4$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે સ્થાનાંતરિત દડો અનુક્રમે લાલ,કાળો અથવા સફેદ છે.
$P(E_1) = \frac{3}{10}, P(E_2) = \frac{4}{10}, P(E_3) = \frac{3}{10}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે થેલી $II$ માંથી કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો છે.
જો $E_1$ બને,તો થેલી $II$ માં $3$ લાલ,$5$ કાળા,$2$ સફેદ દડા હોય. $P(A|E_1) = \frac{5}{10}$.
જો $E_2$ બને,તો થેલી $II$ માં $2$ લાલ,$6$ કાળા,$2$ સફેદ દડા હોય. $P(A|E_2) = \frac{6}{10}$.
જો $E_3$ બને,તો થેલી $II$ માં $2$ લાલ,$5$ કાળા,$3$ સફેદ દડા હોય. $P(A|E_3) = \frac{5}{10}$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
$P(E_1|A) = \frac{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})}{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{6}{10}) + (\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})} = \frac{15}{15 + 24 + 15} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18}$.