Mix Examples-Probability Questions in Gujarati

(D) બે સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ છે.
ઘટના $A$ (પ્રથમ સિક્કા પર છાપ) માટે $A = \{(H, H), (H, T)\}$ છે.
ઘટના $B$ (બીજા સિક્કા પર કાંટો) માટે $B = \{(H, T), (T, T)\}$ છે.
તેમનો છેદગણ $A \cap B = \{(H, T)\}$ છે.
$A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
$B$ ની સંભાવના $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
$A \cap B$ ની સંભાવના $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ છે.
અહીં $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.

(B) $000$ થી $999$ સુધીના કુલ $1000$ શક્ય કોડ છે.
જો અજાણી વ્યક્તિ દરેક વખતે યાદચ્છિક રીતે કોડ પસંદ કરે છે,તો દરેક પ્રયાસમાં સફળતાની સંભાવના $\frac{1}{1000}$ છે.
તેથી,$k^{th}$ પ્રયાસમાં સફળ થવાની સંભાવના $\frac{1}{1000}$ છે.

(B) ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $1$ આવે.
પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જે ઘટના છે કે કોઈ પણ પાસા પર $1$ ન આવે.
દરેક પાસા માટે,$1$ ન આવવાની સંભાવના $\frac{5}{6}$ છે.
ત્રણેય પાસા સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ પાસા પર $1$ ન આવે તેની સંભાવના $P(E') = \left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216}$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ છે.

(C) બદલી સાથે એક જ રંગના બે પત્તા ખેંચવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ પત્તા માટે,કોઈપણ પત્તું ખેંચી શકાય છે (સંભાવના $1$).
બીજું પત્તું પ્રથમ પત્તાના રંગનું જ હોય તે માટે $52$ માંથી $13$ અનુકૂળ પત્તા છે.
તેથી,$P(A) = 1 \times \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
$B$ માટે,બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $6$ મળે તેવા પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે,જે $5$ પરિણામો છે.
તેથી,$P(B) = \frac{5}{36}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,સંયુક્ત સંભાવના:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{144}$.

(B) $52$ પત્તાંના પેકમાં $4$ એક્કા અને $48$ અન્ય પત્તાં હોય છે.
પ્રથમ $10$ પત્તાં એક્કા ન હોય અને $11$ મું પત્તું એક્કો હોય તેની સંભાવના:
$P = \left( \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{46}{50} \times \frac{45}{49} \times \frac{44}{48} \times \frac{43}{47} \times \frac{42}{46} \times \frac{41}{45} \times \frac{40}{44} \times \frac{39}{43} \right) \times \frac{4}{42}$
ગણતરી કરતા:
$P = \frac{164}{4165}$.

(D) ધારો કે $P(O)$ એ એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે અને $P(E)$ એ બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે.
પાસો પક્ષપાતી હોવાથી $P(E) = 2P(O)$ અને $P(E) + P(O) = 1$,તેથી $3P(O) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(O) = \frac{1}{3}$ અને $P(E) = \frac{2}{3}$.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય અથવા બંને એકી હોય.
$P(\text{સરવાળો બેકી}) = P(E, E) + P(O, O) = P(E) \times P(E) + P(O) \times P(O)$.
$P(\text{સરવાળો બેકી}) = (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.

(C) ત્રણ ચતુષ્ફલક ઉછાળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4^3 = 64$ છે.
આપણે એવા પરિણામો શોધવાના છે જ્યાં ઉપરના ખૂણાઓનો સરવાળો $5$ થાય.
ધારો કે પરિણામો $(x, y, z)$ છે જ્યાં $x, y, z \in \{1, 2, 3, 4\}$.
સરવાળો $5$ થાય તેવી શક્યતાઓ:
$(1, 1, 3)$ ($3$ ક્રમચયોમાં મળી શકે: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$)
$(1, 2, 2)$ ($3$ ક્રમચયોમાં મળી શકે: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $3 + 3 = 6$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{6}{64} = \frac{3}{32}$.

(D) $22^{nd}$ સદીમાં (વર્ષ $2101$ થી $2200$) $25$ લિપ વર્ષ અને $75$ સામાન્ય વર્ષ હોય છે.
$1$. લિપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે. લિપ વર્ષ પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ છે.
તેથી,લિપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{2}{28}$ છે.
$2$. સામાન્ય વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે. સામાન્ય વર્ષ પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી,સામાન્ય વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{3}{4} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{28}$ છે.
કુલ સંભાવના = $\frac{2}{28} + \frac{3}{28} = \frac{5}{28}$.

(B) ધારો કે $p$ એ એક ફેંકમાં $1$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ $1$ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આપણે બેકી ફેંકમાં (એટલે કે $2, 4, 6, \dots$ ફેંકમાં) પ્રથમ વખત $1$ મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
સંભાવના અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{36 - 25}{36}} = \frac{5}{36} \times \frac{36}{11} = \frac{5}{11}$.

(C) $5$ ફેંકમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^5 = 7776$ છે.
ધારો કે બાજુઓ $0, 0, 0, 0, 2, 3$ છે. આપણે $5$ ફેંકમાં $12$ નો સરવાળો મેળવવો છે.
કિસ્સો $1$: એક $0$ અને ચાર $3$. સરવાળો $0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ થાય છે. રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{1!4!} = 5$ છે.
કિસ્સો $2$: ત્રણ $2$ અને બે $3$. સરવાળો $2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12$ થાય છે. રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{3!2!} = 10$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5 + 10 = 15$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{15}{6^5} = \frac{15}{7776} = \frac{5}{2592}$.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા = $4 + 4 + 4 + 4 = 16$.
$16$ માંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો = $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120$.
એક્કા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા = $16 - 4 = 12$.
એક પણ એક્કો ન હોય તે રીતે $2$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો = $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
એક્કો ન મળે તેની સંભાવના = $\frac{66}{120} = \frac{11}{20}$.
ઓછામાં ઓછો એક એક્કો મળે તેની જરૂરી સંભાવના = $1 - P(\text{No Ace}) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$.

(D) ધારો કે $B_1$ પ્રથમ ટોપલી છે અને $B_2$ બીજી ટોપલી છે.
$B_1$ માં $5$ સફરજન અને $7$ નારંગી છે (કુલ = $12$ ફળ).
$B_2$ માં $4$ સફરજન અને $8$ નારંગી છે (કુલ = $12$ ફળ).
$B_1$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A_1) = \frac{5}{12}$ છે.
$B_1$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(O_1) = \frac{7}{12}$ છે.
$B_2$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A_2) = \frac{4}{12}$ છે.
$B_2$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(O_2) = \frac{8}{12}$ છે.
બંને સફરજન હોય તેની સંભાવના $P(A_1 \cap A_2) = \frac{5}{12} \times \frac{4}{12} = \frac{20}{144}$ છે.
બંને નારંગી હોય તેની સંભાવના $P(O_1 \cap O_2) = \frac{7}{12} \times \frac{8}{12} = \frac{56}{144}$ છે.
કુલ સંભાવના $P = \frac{20}{144} + \frac{56}{144} = \frac{76}{144}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}$.
બંનેમાંથી એક પણ ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$1 - (P(A) + P(B)) + P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}$ મૂકતા,$1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. તેથી $x + y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ ના ઉકેલો છે.
$6t^2 - 5t + 1 = 0$ એટલે કે $(2t - 1)(3t - 1) = 0$.
તેથી $t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
$(a)$ $P(E \cap F^c) = P(E) - P(E \cap F) = P(E) - P(E)P(F) = P(E)(1 - P(F)) = P(E)P(F^c)$. આમ,$E$ અને $F^c$ સ્વતંત્ર છે.
$(b)$ $P(E^c \cap F^c) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^c)P(F^c)$. આમ,$E^c$ અને $F^c$ સ્વતંત્ર છે.
$(c)$ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E/F) = P(E)$ અને $P(E^c/F^c) = P(E^c)$. તેથી,$P(E/F) + P(E^c/F^c) = P(E) + P(E^c) = 1$.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(d)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
$1$. વિકલ્પ $A$ માટે: $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A/B) = P(A) = \frac{1}{2}$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: $P(A/(A \cup B)) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$.
$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$ હોવાથી,
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{5+2-1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$P(A/(A \cup B)) = \frac{1/2}{3/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: $P((A \cap B)/(A' \cup B')) = \frac{P((A \cap B) \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cup B' = (A \cap B)'$.
તેથી,$(A \cap B) \cap (A \cap B)' = \emptyset$.
તેથી,અંશ $P(\emptyset) = 0$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
બધા વિકલ્પો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).$
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,શરતી સંભાવના $P(A/B) = P(A)$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વળી,જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય,તો $A^c$ અને $B^c$ પણ નિરપેક્ષ હોય છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c.$
તેથી,$P((A \cup B)^c) = P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c).$ તેથી,વિકલ્પ $(C)$ પણ સાચો છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(A) પુનરાવર્તન સાથે $4$ ટિકિટો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $3^4 = 81$ છે.
ધારો કે $S$ એ પસંદ કરેલી $4$ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. આપણે $S$ બેકી હોય તેવું ઇચ્છીએ છીએ.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સરવાળો બેકી છે અને $O$ એ ઘટના છે કે સરવાળો એકી છે.
ધારો કે $p_n$ એ $n$ ટિકિટોનો સરવાળો બેકી હોવાની સંભાવના છે,અને $q_n$ એ સરવાળો એકી હોવાની સંભાવના છે.
$n=1$ માટે,ટિકિટો ${1, 2, 3}$ છે. જો આપણે $2$ પસંદ કરીએ (સંભાવના $1/3$) તો સરવાળો બેકી થાય અને જો $1$ અથવા $3$ પસંદ કરીએ (સંભાવના $2/3$) તો સરવાળો એકી થાય.
તેથી,$p_1 = 1/3$ અને $q_1 = 2/3$.
$n$ પ્રયત્નો માટે,સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો $n-1$ પ્રયત્નોનો સરવાળો બેકી હોય અને $n$-મી ટિકિટ બેકી હોય $(2)$,અથવા $n-1$ પ્રયત્નોનો સરવાળો એકી હોય અને $n$-મી ટિકિટ એકી હોય ($1$ અથવા $3$).
$p_n = p_{n-1} \times (1/3) + q_{n-1} \times (2/3)$.
$q_{n-1} = 1 - p_{n-1}$ હોવાથી,$p_n = p_{n-1}/3 + (1 - p_{n-1}) \times 2/3 = 2/3 - p_{n-1}/3$.
$n=2$ માટે: $p_2 = 2/3 - (1/3)/3 = 5/9$.
$n=3$ માટે: $p_3 = 2/3 - (5/9)/3 = 13/27$.
$n=4$ માટે: $p_4 = 2/3 - (13/27)/3 = 18/27 - 13/81 = 54/81 - 13/81 = 41/81$.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{41}{81}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(E) \le P(F)$ અને $P(E \cap F) > 0.$
$P(E) \le P(F)$ નો અર્થ એ નથી કે $E \subseteq F.$
$P(E \cap F) > 0$ સૂચવે છે કે $E$ અને $F$ નો છેદગણ ખાલી નથી,પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે એક ઘટના બીજી ઘટનાનો ઉપગણ છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે $S = \{1, 2, 3\}$ છે. ધારો કે $E = \{1, 2\}$ અને $F = \{2, 3\}$.
તો $P(E) = 2/3$ અને $P(F) = 2/3$,તેથી $P(E) \le P(F)$ સાચું છે.
વળી $P(E \cap F) = P(\{2\}) = 1/3 > 0$.
જોકે,$E \not\subseteq F$ અને $F \not\subseteq E$.
આમ,આપેલી કોઈ પણ ગર્ભિતાર્થ સાચી ઠરતી નથી.

(B) Let $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}.$ The total number of outcomes is $2^{m+n}.$
Case $1$: The sequence of $m$ consecutive heads starts from the $1^{st}$ throw.
The sequence is $(H, H, \dots, H \text{ (m times)}, X, X, \dots, X \text{ (n times)}).$
The probability is $\frac{1}{2^m}.$
Case $2$: The sequence of $m$ consecutive heads starts from the $(r+1)^{th}$ throw,where $1 \le r \le n.$
For this to happen,the $r^{th}$ throw must be a Tail $(T)$,and the next $m$ throws must be Heads $(H)$.
The sequence is $(X, X, \dots, T, H, H, \dots, H, X, X, \dots, X).$
The probability of this specific event is $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2^m} = \frac{1}{2^{m+1}}.$
Since there are $n$ such possible starting positions for the sequence of $m$ consecutive heads (from $r=1$ to $r=n$),and these events are mutually exclusive:
Total Probability $= \frac{1}{2^m} + n \times \frac{1}{2^{m+1}}$
$= \frac{2}{2^{m+1}} + \frac{n}{2^{m+1}} = \frac{n + 2}{2^{m+1}}.$

(C) $n$ પૂર્ણાંકોના ગુણાકારનો છેલ્લો અંક $2, 4, 6,$ અથવા $8$ હોય જો ગુણાકાર બેકી હોય પણ $5$ નો ગુણક ન હોય.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,$ અથવા $9$ માં સમાપ્ત થાય છે.
કોઈ પૂર્ણાંક $0$ અથવા $5$ માં સમાપ્ત ન થાય તેની સંભાવના $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ છે.
$n$ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $0$ અથવા $5$ માં સમાપ્ત ન થાય તેની સંભાવના $(\frac{4}{5})^n$ છે.
અંકો ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$ માંથી,ગુણાકાર $2, 4, 6,$ અથવા $8$ માં સમાપ્ત થાય જો તે બેકી હોય.
જો બધા $n$ પૂર્ણાંકો ${1, 3, 7, 9}$ માં સમાપ્ત થાય તો ગુણાકાર એકી હોય છે. પૂર્ણાંક ${1, 3, 7, 9}$ માં સમાપ્ત થાય તેની સંભાવના $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.
ગુણાકાર એકી હોય તેની સંભાવના $(\frac{2}{5})^n$ છે.
આમ,ગુણાકાર $2, 4, 6,$ અથવા $8$ માં સમાપ્ત થાય તેની સંભાવના એ છે કે ગુણાકાર બેકી હોય અને $5$ નો ગુણક ન હોય,જે $(\frac{4}{5})^n - (\frac{2}{5})^n = \frac{4^n - 2^n}{5^n}$ છે.

(B) ધારો કે $H$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો મળવાની ઘટના છે. $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $H$ મળે,તો બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે. સરવાળો $7$ અથવા $8$ હોઈ શકે.
$P(7|H) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ અને $P(8|H) = \frac{5}{36}$.
કિસ્સો $2$: જો $T$ મળે,તો $2$ થી $12$ અંકિત કાર્ડમાંથી એક કાર્ડ પસંદ થાય છે.
$P(7|T) = \frac{1}{11}$ અને $P(8|T) = \frac{1}{11}$.
$7$ મળવાની કુલ સંભાવના $P(7) = P(H)P(7|H) + P(T)P(7|T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{11} = \frac{17}{132}$.
$8$ મળવાની કુલ સંભાવના $P(8) = P(H)P(8|H) + P(T)P(8|T) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{36} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{11} = \frac{91}{792}$.
જરૂરી સંભાવના $P = P(7) + P(8) = \frac{17}{132} + \frac{91}{792} = \frac{193}{792} \approx 0.244$.

(A) $7^k$ નો છેલ્લો અંક $4$ ની લંબાઈના ચક્રને અનુસરે છે: $7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1, 7^5=7, \dots$
$7^m + 7^n$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,સરવાળાનો છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
$7$ ની ઘાતના છેલ્લા અંકો ${1, 3, 7, 9}$ હોવાથી,છેલ્લા અંકોના શક્ય સરવાળા નીચે મુજબ છે:
$1+1=2, 1+3=4, 1+7=8, 1+9=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય)
$3+1=4, 3+3=6, 3+7=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય),$3+9=12$
$7+1=8, 7+3=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય),$7+7=14, 7+9=16$
$9+1=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય),$9+3=12, 9+7=16, 9+9=18$
$m$ અને $n$ માટેના $4$ ના દરેક ચક્રમાં,$16$ જોડીઓ છે. $5$ વડે વિભાજ્ય સરવાળો આપતી જોડીઓ $(m, n) \pmod 4$ એ $(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2)$ છે.
દરેક $4 \times 4$ બ્લોકમાં કુલ $16$ શક્યતાઓમાંથી આવી $4$ જોડીઓ છે.
$100$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,સંભાવના $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ થાય.

(D) વધુમાં વધુ એક ઘટના બને તેનો અર્થ એ છે કે કાં તો એક પણ ઘટના ન બને અથવા બરાબર એક ઘટના બને.
આ ઘટના $(A' \cap B') \cup (A \cap B') \cup (A' \cap B)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,તેની સંભાવના $P(A' \cap B') + P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ થાય,જે વિકલ્પ $A$ છે.
વધુમાં,'વધુમાં વધુ એક ઘટના બને' એ 'બંને ઘટનાઓ બને' તેની પૂરક ઘટના છે,જે $1 - P(A \cap B)$ છે,જે વિકલ્પ $B$ છે.
વિકલ્પ $C$ પણ $1 - P(A \cap B)$ ને સમાન છે.
તેથી,બધા વિકલ્પો સાચા છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવના $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) \le 1$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1$ મળે છે.
બંને બાજુને $P(B)$ વડે ભાગતા (જ્યાં $P(B) \ne 0$),આપણને $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ મળે છે.
તેથી,$P(A/B) \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ હંમેશા સાચું છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) \ge \max\{P(A), P(B)\} = \frac{2}{3}$.
વળી,$P(A \cap B) \le \min\{P(A), P(B)\} = \frac{1}{2}$.
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અને $P(A \cup B) \le 1$ હોવાથી,આપણને $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{6} \le P(A \cap B) \le \frac{1}{2}$.
$P(A' \cap B)$ માટે,આપણે $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$P(A \cap B)$ ની સીમાઓ મૂકતા,આપણને $\frac{2}{3} - \frac{1}{2} \le P(A' \cap B) \le \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$ મળે છે.
જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{6} \le P(A' \cap B) \le \frac{1}{2}$ થાય છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે ગણ $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $^8C_3 = 56$ છે.
ઘટના $E$: ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $6$ હોય.
આ માટે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં ${3, 6}$ હોવા જરૂરી છે અને ત્રીજી સંખ્યા $x$ એ $3 < x < 6$ હોવી જોઈએ.
તેથી, $x \in {4, 5}$.
શક્ય ગણ ${3, 4, 6}$ અને ${3, 5, 6}$ છે.
આમ, સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $1/5$ છે.

(C) અહીં $3$ ઘર અને $3$ વ્યક્તિઓ છે. દરેક વ્યક્તિ સ્વતંત્ર રીતે $3$ માંથી કોઈપણ ઘર પસંદ કરી શકે છે.
દરેક વ્યક્તિ ઘર પસંદ કરે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ છે.
ત્રણેય વ્યક્તિઓ એક જ ઘર માટે અરજી કરે તે માટે,તેઓએ કાં તો ઘર $1$ પસંદ કરવું પડે,અથવા ઘર $2$,અથવા ઘર $3$ પસંદ કરવું પડે.
આવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ થાય.

(A) $A, B,$ અને $C$ પૈકી ચોક્કસ $2$ ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(\text{ચોક્કસ } 2) = P(A \cap B \cap C^c) + P(A \cap B^c \cap C) + P(A^c \cap B \cap C)$
$A, B,$ અને $C$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$A^c, B^c,$ અને $C^c$ પણ નિરપેક્ષ છે.
$P(A^c) = 1 - 1/3 = 2/3$
$P(B^c) = 1 - 1/2 = 1/2$
$P(C^c) = 1 - 1/4 = 3/4$
$P(\text{ચોક્કસ } 2) = P(A)P(B)P(C^c) + P(A)P(B^c)P(C) + P(A^c)P(B)P(C)$
$= (1/3 \times 1/2 \times 3/4) + (1/3 \times 1/2 \times 1/4) + (2/3 \times 1/2 \times 1/4)$
$= 3/24 + 1/24 + 2/24 = 6/24 = 1/4$

(A) $W$ સફેદ દડો અને $B$ કાળો દડો દર્શાવે છે.
$2$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો મેળવવા માટે ત્રણ કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: ખોખું $I$ માંથી $W$,ખોખું $II$ માંથી $W$,ખોખું $III$ માંથી $B$.
કિસ્સો $2$: ખોખું $I$ માંથી $W$,ખોખું $II$ માંથી $B$,ખોખું $III$ માંથી $W$.
કિસ્સો $3$: ખોખું $I$ માંથી $B$,ખોખું $II$ માંથી $W$,ખોખું $III$ માંથી $W$.
સંભાવના $= P(W_1)P(W_2)P(B_3) + P(W_1)P(B_2)P(W_3) + P(B_1)P(W_2)P(W_3)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$

(B) ધારો કે $E$ એ યુગ્મ ક્રમના પ્રયત્નમાં $1$ મળવાની ઘટના છે.
યુગ્મ પ્રયત્નમાં $1$ મેળવવા માટે,તેના પહેલાના તમામ એકી પ્રયત્નોમાં $1$ ન મળવો જોઈએ.
$1$ મળવાની સંભાવના $p = 1/6$ છે અને $1$ ન મળવાની સંભાવના $q = 5/6$ છે.
સંભાવના એ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$P = (q)(p) + (q^3)(p) + (q^5)(p) + ...$
$P = (5/6)(1/6) + (5/6)^3(1/6) + (5/6)^5(1/6) + ...$
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (5/6)(1/6) = 5/36$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (5/6)^2 = 25/36$ છે.
સરવાળો $S = a / (1 - r) = (5/36) / (1 - 25/36) = (5/36) / (11/36) = 5/11$.

(C) ધારો કે $C_1$ એ બે હેડ વાળો સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $C_2$ એ યોગ્ય સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(C_1) = \frac{1}{n+1}$ અને $P(C_2) = \frac{n}{n+1}$.
ધારો કે $H$ એ હેડ આવવાની ઘટના છે.
$P(H|C_1) = 1$ અને $P(H|C_2) = \frac{1}{2}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H) = P(C_1)P(H|C_1) + P(C_2)P(H|C_2) = \frac{7}{12}$.
$\frac{1}{n+1} \times 1 + \frac{n}{n+1} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{12}$.
$\frac{2 + n}{2(n+1)} = \frac{7}{12}$.
$12(n + 2) = 14(n + 1)$.
$12n + 24 = 14n + 14$.
$2n = 10 \Rightarrow n = 5$.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા $20$ છે.
$I$ અક્ષરવાળા પત્તાની સંખ્યા $= 10$.
$T$ અક્ષરવાળા પત્તાની સંખ્યા $= 10$.
પત્તા પાછા મૂકીને (with replacement) ઉપાડવામાં આવતા હોવાથી,કોઈપણ એક પ્રયત્નમાં $I$ મળે તેની સંભાવના $P(I) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ છે.
કોઈપણ એક પ્રયત્નમાં $T$ મળે તેની સંભાવના $P(T) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ છે.
$IIT$ શબ્દ બનાવવા માટે,પ્રથમ $I$,બીજું $I$ અને ત્રીજું $T$ પત્તું મળવું જોઈએ.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,સંભાવના $P(I) \times P(I) \times P(T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ થાય.

(D) કોઈપણ સદીમાં $76$ સામાન્ય વર્ષ અને $24$ લિપ વર્ષ હોય છે.
સામાન્ય વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,એટલે કે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ. આ વધારાનો દિવસ રવિવાર હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે.
તેથી,સામાન્ય વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{76}{100} \times \frac{1}{7} = \frac{76}{700}$ થાય.
લિપ વર્ષમાં $366$ દિવસ હોય છે,એટલે કે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો. આ બે દિવસોમાં રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.
તેથી,લિપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $\frac{24}{100} \times \frac{2}{7} = \frac{48}{700}$ થાય.
કુલ સંભાવના $\frac{76}{700} + \frac{48}{700} = \frac{124}{700} = \frac{31}{175}$ થાય. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ત્રણ ઘટનાઓ છે જેની સંભાવનાઓ $P(E_1) = p_1, P(E_2) = p_2, P(E_3) = p_3$ છે.
કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(\text{none}) = P(E_1^c) P(E_2^c) P(E_3^c)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $E_i^c$ એ ઘટના $E_i$ ની પૂરક ઘટના છે.
કારણ કે $P(E_i^c) = 1 - p_i$,તેથી $P(\text{none}) = (1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3)$.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $1 - P(\text{none})$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - [(1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3)]$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,$E = \frac{n(n+1)(2n+1)/6}{n(n+1)/2} = \frac{2n+1}{3}$ મળે.
$E$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$2n+1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$2n+1 \equiv 0 \pmod{3} \implies 2n \equiv 2 \pmod{3} \implies n \equiv 1 \pmod{3}$.
ગણ $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ માં,$n \equiv 1 \pmod{3}$ નું પાલન કરતા મૂલ્યો $1, 4, 7, \dots, 997, 1000$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$,અંતિમ પદ $l=1000$ અને સામાન્ય તફાવત $d=3$ છે.
પદોની સંખ્યા $k$ શોધવા માટે,$1000 = 1 + (k-1)3 \implies 999 = 3(k-1) \implies k = 334$.
ગણમાં કુલ સભ્યોની સંખ્યા $1000$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{334}{1000} = 0.334$ થાય.

(A) ધારો કે $X_1, X_2, X_3$ અને $X_4$ એ ચાર પાસા $D_1, D_2, D_3$ અને $D_4$ ના પરિણામો છે.
દરેક $X_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
આપણે $X_4 \in \{X_1, X_2, X_3\}$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
પૂરક ઘટનાની સંભાવના શોધવી સરળ છે: $X_4 \notin \{X_1, X_2, X_3\}$ હોય તેની સંભાવના.
$X_4 = k$ માટે,$X_1, X_2, X_3 \neq k$ હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $5 \times 5 \times 5 = 125$ છે.
$X_4$ માટે $6$ શક્ય કિંમતો હોવાથી,પૂરક ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 125 = 750$ છે.
પૂરક ઘટનાની સંભાવના $P(X_4 \notin \{X_1, X_2, X_3\}) = \frac{750}{1296} = \frac{125}{216}$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ થાય.

(C) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસ હોય છે,જેમાં $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો હોય છે. આ $2$ વધારાના દિવસો માટેની શક્યતાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ (રવિવાર,સોમવાર),$(ii)$ (સોમવાર,મંગળવાર),$(iii)$ (મંગળવાર,બુધવાર),$(iv)$ (બુધવાર,ગુરુવાર),$(v)$ (ગુરુવાર,શુક્રવાર),$(vi)$ (શુક્રવાર,શનિવાર),$(vii)$ (શનિવાર,રવિવાર).
ધારો કે $A$ એ લીપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ લીપ વર્ષમાં $53$ સોમવાર હોવાની ઘટના છે.
તો $P(A) = \frac{2}{7}$,$P(B) = \frac{2}{7}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{7}$ (માત્ર રવિવાર-સોમવારની જોડી માટે).
લીપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર અથવા $53$ સોમવાર હોવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.
સામાન્ય વર્ષમાં ($365$ દિવસ) $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે. તેમાં $53$ રવિવાર અને $53$ સોમવાર હોવાની સંભાવના $0$ છે.
આમ,$53$ રવિવાર અને $53$ સોમવાર ધરાવતા તમામ વર્ષો લીપ વર્ષ જ હોય છે. તેથી સંભાવના $1$ છે.

(D) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{4}$,અને $P(B|A) = \frac{1}{2}$.
પગલું $1$: નિરપેક્ષતા તપાસો.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4}$.
વળી,$P(A|B) = P(A)$ સૂચવે છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
પગલું $2$: $P(A'|B)$ તપાસો.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$A'$ અને $B$ પણ નિરપેક્ષ છે.
તેથી,$P(A'|B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
પગલું $3$: $P(B'|A')$ તપાસો.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$A'$ અને $B'$ પણ નિરપેક્ષ છે.
તેથી,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B)$.
$P(B)$ શોધવા માટે,$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરો.
$A, B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
તેથી,$\frac{P(A)P(B)}{P(A)} = P(B) = \frac{1}{2}$.
તેથી $P(B') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$P(B'|A') = \frac{1}{2}$,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$A, B,$ અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$.
આપેલ શરત મૂકતા: $P(X \cap Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$,જે સૂચવે છે કે $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વળી,$P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$ સૂચવે છે કે ઘટનાઓ $X$ અને $Y$ સમાન હોવી જોઈએ $(X = Y)$.
જો $X = Y$ હોય,તો $P(X) = 2P(X)$,જેનો અર્થ છે કે $P(X) = 0$. પરિણામે $P(Y) = 0$ અને $P(X \cap Y) = 0$.
હવે,$P(X' \cap Y') = P((X \cup Y)') = 1 - P(X \cup Y) = 1 - 0 = 1$.
તેથી $P(X' \cap Y') = 1 \neq 0$,તેથી વિધાન-$1$ ખોટું છે.

(D) કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય,તો $P(AB) = P(A) \times P(B)$ થાય. વિધાન $P(AB) = 0$ ત્યારે જ સાચું હોય જો $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય. તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(C) ધારો કે $P(A), P(B), P(C)$ એ ઘટનાઓ $A, B, C$ ની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે:
$P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ ... $(1)$
$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = \frac{1}{4}$ ... $(2)$
$P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = \frac{1}{4}$ ... $(3)$
$(1), (2),$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{4}$
$2$ વડે ભાગતા:
$[P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3}{8}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B \cup C) = [P(A) + P(B) + P(C)] - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{6+1}{16} = \frac{7}{16}$.

(A) ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R_2$ એ બીજા પ્રયત્નમાં લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
શરૂઆતમાં,થેલીમાં $4$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે,કુલ $10$ દડા છે.
$P(R_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ અને $P(B_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
જો પ્રથમ લાલ દડો કાઢવામાં આવે,તો તેને બીજા $2$ લાલ દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે. હવે થેલીમાં $4 + 2 = 6$ લાલ દડા અને $6$ કાળા દડા છે,કુલ $12$ દડા છે.
તેથી,$P(R_2 | R_1) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
જો પ્રથમ કાળો દડો કાઢવામાં આવે,તો તેને બીજા $2$ કાળા દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે. હવે થેલીમાં $4$ લાલ દડા અને $6 + 2 = 8$ કાળા દડા છે,કુલ $12$ દડા છે.
તેથી,$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બીજા દડાના લાલ હોવાની સંભાવના:
$P(R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) + P(B_1) \times P(R_2 | B_1)$
$P(R_2) = (\frac{4}{10} \times \frac{6}{12}) + (\frac{6}{10} \times \frac{4}{12})$
$P(R_2) = \frac{24}{120} + \frac{24}{120} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.

(D) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલી ટિકિટ પરનો નંબર છે. બદલી સાથે પસંદગી કરવામાં આવતી હોવાથી,દરેક પસંદગી સ્વતંત્ર છે.
દરેક પસંદગી માટે,ટિકિટ પરનો નંબર $9$ કે તેથી ઓછો હોય તેની સંભાવના $P(X \le 9) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ છે.
$7$ ટિકિટોમાં સૌથી મોટો નંબર $9$ હોય તેની સંભાવના $P(\text{max} = 9) = P(\text{max} \le 9) - P(\text{max} \le 8)$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{max} \le 9) = (\frac{9}{15})^7 = (\frac{3}{5})^7$.
$P(\text{max} \le 8) = (\frac{8}{15})^7$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $(\frac{3}{5})^7 - (\frac{8}{15})^7$ છે.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) એક પ્રમાણભૂત ચેસ-બોર્ડમાં $64$ ચોરસ હોય છે. બે અલગ-અલગ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^64C_2 = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ છે.
જો આપણે ક્રમબદ્ધ જોડીઓ ધ્યાનમાં લઈએ,તો કુલ રીતો $64 \times 63 = 4032$ થાય.
સામાન્ય બાજુ ધરાવવા માટે,બે ચોરસ પાસ-પાસે હોવા જોઈએ.
આંતરિક ચોરસને $4$ પડોશીઓ હોય છે,કિનારી પરના ચોરસ (ખૂણા સિવાય) ને $3$ પડોશીઓ હોય છે,અને ખૂણાના ચોરસને $2$ પડોશીઓ હોય છે.
પાસ-પાસેની જોડીઓની કુલ સંખ્યા:
આડી ધાર: $8 \times 7 = 56$.
ઊભી ધાર: $8 \times 7 = 56$.
કુલ પાસ-પાસેની જોડીઓ = $56 + 56 = 112$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $112$ છે.
સંભાવના = $\frac{112}{2016} = \frac{1}{18}$ થાય.

(A) દરેક ઉછાળ માટે,$A$ અને $B$ માટે કુલ $4$ શક્ય પરિણામો છે: $(H, H), (T, H), (H, T), (T, T)$.
સિક્કા નિષ્પક્ષ હોવાથી,દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
બંનેને એક જ ઉછાળમાં છાપ (tail) ન મળે તે ઘટનાનો અર્થ એ છે કે આપણે $(T, T)$ પરિણામને બાકાત રાખીએ છીએ.
આમ,એક ઉછાળ માટે,$3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(H, H), (T, H), (H, T)$.
એક ઉછાળમાં એકસાથે છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P = \frac{3}{4}$ છે.
તેઓ $50$ વખત સ્વતંત્ર રીતે સિક્કા ઉછાળતા હોવાથી,તમામ $50$ ઉછાળમાં આ ઘટના બને તેની સંભાવના $(\frac{3}{4})^{50}$ થશે.

(D) ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
સરવાળો $k$ મેળવવા માટેની રીતોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ ના વિસ્તરણમાં $x^k$ નો સહગુણક શોધીએ છીએ.
આ $x^3(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^3 = x^3 \left( \frac{1 - x^6}{1 - x} \right)^3$ માં $x^k$ ના સહગુણક જેટલું છે.
કારણ કે $3 \le k \le 8$,પદ $(1 - x^6)$ એ $(1 - x)^{-3}$ માં $x^{k-3}$ ના સહગુણકને અસર કરતું નથી.
$(1 - x)^{-3}$ માં $x^{k-3}$ નો સહગુણક $\binom{(k-3) + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{k-1}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $\binom{k-1}{2} = \frac{(k-1)(k-2)}{2}$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{\frac{(k-1)(k-2)}{2}}{216} = \frac{(k-1)(k-2)}{432}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E)P(F) = \frac{1}{12}$ $(i)$.
વળી,$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E})P(\bar{F}) = \frac{1}{2}$.
$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ અને $P(\bar{F}) = 1 - P(F)$ હોવાથી,$(1 - P(E))(1 - P(F)) = \frac{1}{2}$.
$1 - (P(E) + P(F)) + P(E)P(F) = \frac{1}{2}$.
$P(E)P(F) = \frac{1}{12}$ મૂકતા,$1 - (P(E) + P(F)) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
$P(E) + P(F) = 1 + \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{7}{12}$ $(ii)$.
ધારો કે $x = P(E)$ અને $y = P(F)$. તો $x + y = \frac{7}{12}$ અને $xy = \frac{1}{12}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ એ $t^2 - \frac{7}{12}t + \frac{1}{12} = 0$ બનશે.
$12t^2 - 7t + 1 = 0 \Rightarrow (4t - 1)(3t - 1) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{4}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
આમ,સંભાવનાઓ $\frac{1}{3}$ અને $\frac{1}{4}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $5$ મળે,$B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $7$ મળે,અને $C$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $5$ કે $7$ ન મળે.
પાસાની જોડી માટે,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
સરવાળા $5$ માટેના પરિણામો $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ છે,તેથી $P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
સરવાળા $7$ માટેના પરિણામો $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ છે,તેથી $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$5$ કે $7$ ન મળે તેની સંભાવના $P(C) = 1 - (P(A) + P(B)) = 1 - (\frac{1}{9} + \frac{1}{6}) = 1 - (\frac{2+3}{18}) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}$ છે.
$B$ પહેલા $A$ આવે તેની સંભાવના અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P = P(A) + P(C)P(A) + P(C)^2 P(A) + \dots = \frac{P(A)}{1 - P(C)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{13}{18}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{18}} = \frac{1}{9} \times \frac{18}{5} = \frac{2}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $P$ (ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = p$ ..... $(i)$
તે જ રીતે,$P(B) + P(C) - 2P(B \cap C) = p$ ..... $(ii)$
અને $P(C) + P(A) - 2P(C \cap A) = p$ ..... $(iii)$
$(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે $2[P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = 3p$
તેથી,$P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] = \frac{3p}{2}$ ..... $(iv)$
આપણને આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = p^2$ ..... $(v)$
ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$(iv)$ અને $(v)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(A \cup B \cup C) = \frac{3p}{2} + p^2 = \frac{3p + 2p^2}{2}$

(A) ગણ $B$ ને ચાર અલગ-અલગ ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$B = (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C})$
નોંધો કે $(A \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap C) = B \cap C$ થાય.
તેથી,$P(B) = P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) + P(B \cap C)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + P(B \cap C)$
$\frac{3}{4} = \frac{2}{3} + P(B \cap C)$
$P(B \cap C) = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.