Conditional probability Questions in Gujarati

(B) કારણ કે $A \cap \bar{B}$ અને $A \cap B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે જેથી $A = (A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B)$.
$\therefore P(A) = P(A \cap \bar{B}) + P(A \cap B)$.
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B)$ (કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે).
$P(A \cap \bar{B}) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(\bar{B})$.
તેથી,$A$ અને $\bar{B}$ પણ સ્વતંત્ર છે.

(B) ધારો કે $W_1$ એ પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે અને $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
બીજો દડો બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓમાં લાલ હોઈ શકે છે:
કિસ્સો $(i)$: પ્રથમ દડો સફેદ અને બીજો દડો લાલ હોય.
$P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2 | W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$.
કિસ્સો $(ii)$: પ્રથમ દડો લાલ અને બીજો દડો પણ લાલ હોય.
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$.
બીજો દડો લાલ હોવાની કુલ સંભાવના $P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ છે.

(C) ધારો કે $W_1$ એ પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ પ્રથમ દડો કાળો હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $W_2$ એ બીજો દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે.
બીજો દડો સફેદ હોય તે માટે બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે:
$1$. પ્રથમ દડો સફેદ અને બીજો દડો સફેદ હોય $(W_1 \cap W_2)$:
$P(W_1 \cap W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
$2$. પ્રથમ દડો કાળો અને બીજો દડો સફેદ હોય $(B_1 \cap W_2)$:
$P(B_1 \cap W_2) = P(B_1) \times P(W_2|B_1) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
બીજો દડો સફેદ હોવાની કુલ સંભાવના $P(W_2) = P(W_1 \cap W_2) + P(B_1 \cap W_2) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$ છે.

(C) ધારો કે $S$ એ બે પાસા ફેંકવાનો નિદર્શાવકાશ છે,જ્યાં $n(S) = 36$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $5$ આવે.
$A$ માટેના પરિણામો: $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)$.
આમ,$n(A) = 11$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $10$ કે તેથી વધુ હોય.
$A \cap B$ (સરવાળો $\ge 10$ અને ઓછામાં ઓછો એક $5$) માટેના પરિણામો: $(5, 5), (5, 6), (6, 5)$.
આમ,$n(A \cap B) = 3$.
શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{3}{11}$.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $3 + 7 = 10$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ કાઢેલો દડો લાલ છે,તેથી થેલીમાં $2$ લાલ દડા અને $7$ કાળા દડા બાકી રહે છે.
બાકી રહેલા દડાઓની કુલ સંખ્યા = $9$ છે.
પ્રથમ દડો લાલ હોવાની શરતે,બીજો દડો લાલ હોવાની સંભાવના એ બાકી રહેલા લાલ દડાની સંખ્યા અને બાકી રહેલા કુલ દડાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{બીજો લાલ} | \text{પ્રથમ લાલ}) = \frac{2}{9}$.

(C) કુલ કેરીઓ $= 10$. સડેલી કેરીઓ $= 4$. સારી કેરીઓ $= 6$.
આપણે $10$ માંથી $2$ કેરીઓ પસંદ કરીએ છીએ. $2$ કેરીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછી એક કેરી સારી છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે બંને કેરીઓ સારી છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$ શોધવા માંગીએ છીએ. કારણ કે $B \subset A$,તેથી $P(B \cap A) = P(B)$.
$2$ સારી કેરીઓ પસંદ કરવાની રીતો (ઘટના $B$) $= ^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
ઓછામાં ઓછી એક સારી કેરી પસંદ કરવાની રીતો (ઘટના $A$) = કુલ રીતો - $2$ સડેલી કેરીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= 45 - ^4C_2 = 45 - 6 = 39$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(B|A) = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$P(A \cap B') = P(A)(1 - P(B)) = \frac{3}{25}$ .....$(i)$
$P(A' \cap B) = (1 - P(A))P(B) = \frac{8}{25}$ .....$(ii)$
ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. સમીકરણો ઉકેલતા:
$x - xy = \frac{3}{25}$
$y - xy = \frac{8}{25}$
બંનેની બાદબાકી કરતા,$x - y = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}$,એટલે કે $y = x + \frac{1}{5}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(\frac{4}{5} - x) = \frac{3}{25} \Rightarrow 25x^2 - 20x + 3 = 0$
$(5x - 1)(5x - 3) = 0$
તેથી,$P(A) = \frac{1}{5}$ અથવા $P(A) = \frac{3}{5}$. વિકલ્પ મુજબ સાચો જવાબ $\frac{1}{5}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ અંકોનો સરવાળો $11$ હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ પ્રથમ પાસા પર $5$ આવવાની ઘટના છે.
પ્રથમ પાસા પર $5$ આવે તેવા શક્ય પરિણામો $S = \{(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\}$ છે.
ઘટના $B$ માં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 6$ છે.
ઘટના $A \cap B$ એ છે જેમાં સરવાળો $11$ હોય અને પ્રથમ પાસા પર $5$ હોય,જે $\{(5, 6)\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$ છે.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{6}$ છે.

(C) શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ અને $P(A) = \frac{1}{2}$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(B/A) = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\overline{B})}$

(A) આપણને $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{5}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{20 + 15 - 12}{60} = \frac{23}{60}$ શોધીએ.
આપણે $P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right)$ ની ગણતરી કરવાની છે. શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{P(\overline{B} \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{B} \cap \overline{A} = \overline{A \cup B}$,તેથી $P(\overline{B} \cap \overline{A}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{23}{60} = \frac{37}{60}$.
વળી,$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{37/60}{2/3} = \frac{37}{60} \times \frac{3}{2} = \frac{37}{40}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = \frac{8}{8} - P(A \cap B) = 1 - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(A|B) = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$,જ્યાં $P(B) \neq 0$ છે.
ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,તે બંને એકસાથે બની શકતી નથી.
તેથી,$P(A \cap B) = 0$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{0}{P(B)} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A \subseteq B$.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ અને $B$ નો છેદગણ $A$ થાય છે,એટલે કે $A \cap B = A$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
સૂત્રમાં $A \cap B = A$ મૂકતા,આપણને $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$ મળે છે (જ્યાં $P(A) \neq 0$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય,ત્યારે તેમના છેદની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}$ મળે છે.
અંશ અને છેદમાંથી $P(B)$ ને દૂર કરતા,આપણને $P\left( \frac{A}{B} \right) = P(A)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સપાટી $4$ ઉપર આવે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે સપાટી $5$ ઉપર આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.25$ અને $P(B) = 0.05$.
જેহেতু $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી સપાટી $4$ અથવા સપાટી $5$ ઉપર આવવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.25 + 0.05 = 0.30$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના શોધવાની છે કે સપાટી $4$ આવે,જ્યારે આપેલ છે કે કાં તો સપાટી $4$ અથવા સપાટી $5$ આવી છે,જે $P(A | A \cup B)$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{0.25}{0.30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

(C) ધારો કે બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ છે,જ્યાં $B$ છોકરાને અને $G$ છોકરીને દર્શાવે છે. દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછો એક છોકરો છે. તેથી $E = \{BB, BG, GB\}$. સંભાવના $P(E) = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો છોકરા છે. તેથી $F = \{BB\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(F|E)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછો એક છોકરો હોય ત્યારે બંને છોકરા હોવાની સંભાવના.
સૂત્ર $P(F|E) = \frac{P(F \cap E)}{P(E)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $F \cap E = \{BB\}$,તેથી $P(F \cap E) = \frac{1}{4}$.
આમ,$P(F|E) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $S$ એ ત્રણ સિક્કા ઉછાળવાનો નિદર્શાવકાશ છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક સિક્કા પર છાપ મળે છે. તેથી $F = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
$F$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(F) = 7$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય સિક્કા પર છાપ મળે છે. તેથી $E = \{TTT\}$.
અહીં $E \subset F$ છે,તેથી $E \cap F = E = \{TTT\}$.
$E \cap F$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(E \cap F) = 1$ છે.
શરતી સંભાવના $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{1}{7}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $P(A) = P\left( \frac{A}{B} \right)$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$A'$ અને $B$ પણ નિરપેક્ષ હોય છે.
તેથી,$P\left( \frac{A'}{B} \right) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
તે જ રીતે,નિરપેક્ષ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$A'$ અને $B'$ પણ નિરપેક્ષ હોય છે.
તેથી,$P\left( \frac{B'}{A'} \right) = P(B')$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P\left( \frac{B}{A} \right) = P(B) = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે).
તેથી,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,બધા વિકલ્પો $A, B,$ અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બેકી સપાટી ઉપર આવે છે,તેથી $A = \{2, 4, 6\}$.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 0.24 + 0.18 + 0.14 = 0.56$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સપાટી $2$ અથવા $4$ છે,તેથી $B = \{2, 4\}$.
છેદગણ $B \cap A$ એ ઘટના છે કે સપાટી $2$ અથવા $4$ છે અને તે બેકી છે,જે $B = \{2, 4\}$ છે.
$B \cap A$ ની સંભાવના $P(B \cap A) = P(2) + P(4) = 0.24 + 0.18 = 0.42$ છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
કિંમતો મૂકતા,$P(B|A) = \frac{0.42}{0.56} = \frac{42}{56} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(C) આપેલ છે કે $P(A^c) = 0.3$,તેથી $P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
આપેલ છે કે $P(B) = 0.4$,તેથી $P(B^c) = 1 - 0.4 = 0.6$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B^c) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$,તેથી $0.7 = P(A \cap B) + 0.5$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે $P(B | A \cup B^c) = \frac{P(B \cap (A \cup B^c))}{P(A \cup B^c)}$ શોધવાનું છે.
અંશ: $P(B \cap (A \cup B^c)) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^c)) = P(A \cap B) \cup \emptyset = P(A \cap B) = 0.2$.
છેદ: $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
તેથી,$P(B | A \cup B^c) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ સપાટી $1$ ઉપર આવવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ સપાટી $2$ ઉપર આવવાની ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(E_1) = 0.1$ અને $P(E_2) = 0.32$ છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે કાં તો સપાટી $1$ અથવા $2$ ઉપર આવી છે. ધારો કે આ ઘટના $A = E_1 \cup E_2$ છે.
$E_1$ અને $E_2$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A) = P(E_1) + P(E_2) = 0.1 + 0.32 = 0.42$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(E_1 | A)$ શોધવાની છે,જે એ સંભાવના છે કે સપાટી $1$ ઉપર આવી છે,જ્યારે આપેલ છે કે $1$ અથવા $2$ માંથી કોઈ એક સપાટી ઉપર આવી છે.
$P(E_1 | A) = \frac{P(E_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(E_1)}{P(A)} = \frac{0.1}{0.42}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{0.1}{0.42} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિના વાળ કથ્થઈ છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિની આંખો કથ્થઈ છે.
આપેલ છે:
$P(A) = 40/100 = 0.4$
$P(B) = 25/100 = 0.25$
$P(A \cap B) = 15/100 = 0.15$
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે જો વ્યક્તિના વાળ કથ્થઈ હોય તો તેની આંખો કથ્થઈ હોવાની સંભાવના.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(B|A) = \frac{0.15}{0.40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.
આમ,સંભાવના $3/8$ છે.

(A) એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$.
ઘટના $E$ એ ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે તેવી ઘટના છે:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$,તેથી $n(E) = 4$.
ઘટના $F$ એ પ્રથમ ઉછાળમાં છાપ મળે તેવી ઘટના છે:
$F = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,તેથી $n(F) = 4$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ એ એવી ઘટના છે જેમાં ઓછામાં ઓછી બે છાપ હોય અને પ્રથમ ઉછાળમાં છાપ હોય:
$E \cap F = \{HHH, HHT, HTH\}$,તેથી $n(E \cap F) = 3$.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{3}{4}$.

(A) ઘટના $B$ બની ગઈ હોય ત્યારે ઘટના $A$ ની શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
અહીં આપેલ કિંમતો $P(A \cap B) = 0.5$ અને $P(B) = 0.6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A/B) = \frac{0.5}{0.6}$
$P(A/B) = \frac{5}{6}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $A$ અને આપેલી ઘટના $B$ માટે જ્યાં $P(B) > 0$ હોય,ત્યારે શરતી સંભાવના $P(A/B) + P(\overline{A}/B) = 1$ નું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $(a)$ માટે:
$P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} + \frac{P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P(E \cap F) + P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P((E \cup \overline{E}) \cap F)}{P(F)} = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{P(F)}{P(F)} = 1$.
આમ,$(a)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(c)$ માટે:
તે જ રીતે,$F$ ને $\overline{F}$ વડે બદલતા (જ્યાં $P(\overline{F}) = 1 - P(F) > 0$),આપણને $P(E/\overline{F}) + P(\overline{E}/\overline{F}) = 1$ મળે છે.
આમ,$(c)$ પણ સાચું છે.
તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{4}$,અને $P(B|A) = \frac{1}{2}$.
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2}$ પરથી,આપણને $P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ મળે છે.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4}$ પરથી,આપણને $P(B) = \frac{P(A \cap B)}{1/4} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$ અને $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
$P(A'|B) = 1 - P(A|B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$A'$ અને $B'$ પણ નિરપેક્ષ છે. તેથી,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(C) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બીજું પત્તું રંગીન હોવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તા = $52$.
એક્કાની સંખ્યા = $4$.
$P(E_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
એક એક્કો ખેંચ્યા પછી,$51$ પત્તા બાકી રહે છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,$P(E_2|E_1) = \frac{15}{51} = \frac{5}{17}$.
તેથી,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{1}{13} \times \frac{5}{17} = \frac{5}{221}$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણ પાસાનો સરવાળો $15$ છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ફેંકમાં $4$ મળે છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$.
અહીં $n(B)$ એ પ્રથમ ફેંકમાં $4$ મળે તેવા કુલ પરિણામો છે. પ્રથમ પાસા પર $4$ નિશ્ચિત છે,તેથી બાકીના બે પાસા માટે $6 \times 6 = 36$ શક્યતાઓ છે.
$n(B) = 36$.
હવે,$n(A \cap B)$ એવા પરિણામો છે જ્યાં સરવાળો $15$ થાય અને પ્રથમ અંક $4$ હોય:
આ પરિણામો $(4, 5, 6)$ અને $(4, 6, 5)$ છે.
તેથી,$n(A \cap B) = 2$.
આમ,$P(A|B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(B) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $100$ છે ($00$ થી $99$ સુધી).
ધારો કે $Y$ એ અંકોનો ગુણાકાર છે. ઘટના $(Y = 0)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય.
જે ટિકિટોમાં ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય તેવી ટિકિટો: ${00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}$.
આ ગણતરી કરતા,$0$ થી શરૂ થતી $10$ ટિકિટો ($00$ થી $09$) અને $0$ પર પૂરી થતી $9$ ટિકિટો $(10, 20, \dots, 90)$ મળે છે.
આમ,$(Y = 0)$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10 + 9 = 19$ છે.
તેથી,$P(Y = 0) = \frac{19}{100}$.
હવે,ધારો કે $X$ એ અંકોનો સરવાળો છે. આપણે $(X = 9) \cap (Y = 0)$ શોધવાનું છે.
આનો અર્થ એ છે કે અંકોનો સરવાળો $9$ છે અને ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ છે.
આ શરત સંતોષતી ટિકિટો $09$ $(0+9=9)$ અને $90$ $(9+0=9)$ છે.
તેથી,$(X = 9) \cap (Y = 0)$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
આમ,$P(X = 9 \cap Y = 0) = \frac{2}{100}$.
શરતી સંભાવના $P(X = 9 | Y = 0) = \frac{P(X = 9 \cap Y = 0)}{P(Y = 0)} = \frac{2/100}{19/100} = \frac{2}{19}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A \cap B)$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A)P\left(\frac{B}{A}\right)$,તેથી:
$2P(A)P\left(\frac{B}{A}\right) = P(A) + P(B)$.

(A) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B/A) = \frac{1}{2}$,અને $P(A/B) = \frac{1}{4}$.
પ્રથમ,$P(A \cap B)$ શોધો:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B/A) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
કારણ કે $P(A \cap B) \neq 0$,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક નથી. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
આગળ,$P(B)$ શોધો:
$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{1/8}{P(B)} \Rightarrow P(B) = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $P(A \cap B) = \frac{1}{8} = P(A) \times P(B)$,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
વિધાન $I$ તપાસો:
$P(A^c/B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{P(A^c)P(B^c)}{P(B^c)} = P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $III$ તપાસો:
$P(A/B) + P(A/B^c) = \frac{1}{4} + \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{1}{4} + \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)} = \frac{1}{4} + \frac{1/4 - 1/8}{1 - 1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\frac{1}{2} \neq 1$,વિધાન $III$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $I$ સાચું છે.

(A) બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
તેથી,$P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(B)} = P(A)$.
આ સાબિત કરે છે કે વિધાન $- II$ સાચું છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 1/2$ અને $P(B) = 1/5$,અને $A$ તથા $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A|B) = P(A) = 1/2$.
આમ,વિધાન $- I$ પણ સાચું છે.
વિધાન $- I$ એ વિધાન $- II$ માં દર્શાવેલ ગુણધર્મ પરથી સીધું તારવવામાં આવ્યું હોવાથી,વિધાન $- II$ એ વિધાન $- I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ છે કે $C \subset D$,તેથી $C$ અને $D$ નો છેદગણ $C \cap D = C$ થાય.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}$ છે.
$C \cap D = C$ મૂકતા,આપણને $P(C|D) = \frac{P(C)}{P(D)}$ મળે છે.
$C \subset D$ હોવાથી,$P(C) \leq P(D)$ થાય.
$P(D) > 0$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{P(D)} \geq 1$ થાય.
બંને બાજુ $P(C) \geq 0$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{P(C)}{P(D)} \geq P(C)$ મળે છે.
તેથી,$P(C|D) \geq P(C)$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$ અને $P(B|A) = \frac{2}{3}$.
આપણે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા જાણીએ છીએ: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{P(A \cap B)}{1/4}$.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(A|B)$ માટે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{1/6}{P(B)}$.
$P(B)$ માટે ઉકેલતા: $P(B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(B)$ ની કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $4\,P(A) = 6\,P(B) = 10\,P(A \cap B) = 1$.
આના પરથી,આપણે વ્યક્તિગત સંભાવનાઓ શોધી શકીએ છીએ:
$P(A) = \frac{1}{4}$
$P(B) = \frac{1}{6}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$
આપણે શરતી સંભાવના $P\left( \frac{B}{A} \right)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{1/10}{1/4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વિમાન $I$ લક્ષ સાધે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વિમાન $II$ લક્ષ સાધે છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.3$,તેથી $P(A^c) = 1 - 0.3 = 0.7$.
આપેલ છે: $P(B) = 0.2$.
બીજું વિમાન ત્યારે જ બોમ્બ ફેંકે છે જો પ્રથમ વિમાન લક્ષ સાધવામાં નિષ્ફળ જાય.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે પ્રથમ વિમાન નિષ્ફળ જાય અને બીજું વિમાન લક્ષ સાધે.
આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A^c \cap B) = P(A^c) \times P(B)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.7 \times 0.2 = 0.14$.
તેથી,બીજા વિમાન દ્વારા લક્ષ સાધવાની સંભાવના $0.14$ છે.

(C) ધારો કે બે બાળકો માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ છે,જ્યાં $B$ છોકરો અને $G$ છોકરી દર્શાવે છે. દરેક પરિણામની સંભાવના $1/4$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછો એક બાળક છોકરો છે. તેથી $A = \{BB, BG, GB\}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો છોકરા છે. તેથી $B = \{BB\}$.
અહીં આપેલ છે કે ઓછામાં ઓછો એક બાળક છોકરો છે (ઘટના $A$ બની છે),અને આપણે બંને છોકરા હોવાની શરતી સંભાવના (ઘટના $B$) શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
અહીં,$A \cap B = \{BB\}$,તેથી $P(A \cap B) = 1/4$.
વળી,$P(A) = 3/4$.
તેથી,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$.

(A) ત્રણ વાર સિક્કો ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$,તેથી $n(S) = 8$.
ઘટના $E$ એ ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે તે છે:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$,તેથી $n(E) = 4$.
ઘટના $F$ એ પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળે તે છે:
$F = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,તેથી $n(F) = 4$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ નીચે મુજબ છે:
$E \cap F = \{HHH, HHT, HTH\}$,તેથી $n(E \cap F) = 3$.
આમ,$P(E \cap F) = \frac{3}{8}$ અને $P(F) = \frac{4}{8}$.
શરતી સંભાવના $P(E|F)$ નીચે મુજબ મળે:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{3/8}{4/8} = \frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે $E$ એ અંકોનો સરવાળો $6$ હોય તેવી ઘટના છે: $E = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$,તેથી $n(E) = 5$.
ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ મળે.
ઘટના $E \cap F$ માં એવા પરિણામો છે જ્યાં સરવાળો $6$ હોય અને ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ હોય: $E \cap F = \{(2, 4), (4, 2)\}$,તેથી $n(E \cap F) = 2$.
શરતી સંભાવના $P(F|E) = \frac{n(E \cap F)}{n(E)} = \frac{2}{5}$.

(A) આપેલ છે કે $A, B, C$ જોડયુક્ત રીતે નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B | C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)}$.
$P(A \cap B \cap C) = 0$ હોવાથી,$P(A \cap B | C) = 0$ મળે.
આપણે $P(A' \cap B' | C)$ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$.
તેથી,$P(A' \cap B' | C) = P((A \cup B)' | C) = 1 - P(A \cup B | C)$.
સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B | C) = P(A | C) + P(B | C) - P(A \cap B | C)$.
$A$ અને $C$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A | C) = P(A)$ અને $P(B | C) = P(B)$.
તેથી,$P(A \cup B | C) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)$.
આમ,$P(A' \cap B' | C) = 1 - (P(A) + P(B)) = (1 - P(A)) - P(B) = P(A') - P(B)$.

(C) આપેલ છે કે $P(AB) = P(A)P(B)$,જેનો અર્થ છે કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે,$P(A/B) = P(A)$.
$P(A/B) = 1/4$ આપેલ હોવાથી,$P(A) = 1/4$ થાય.
તે જ રીતે,$P(B/A) = P(B)$.
$P(B/A) = 1/3$ આપેલ હોવાથી,$P(B) = 1/3$ થાય.
હવે,$P(AB)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(AB) = P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/3) = 1/12$.
વધુમાં,$P(A'B')$ ની ગણતરી કરીએ:
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$A'$ અને $B'$ પણ નિરપેક્ષ થાય.
$P(A'B') = P(A')P(B') = (1 - P(A))(1 - P(B)) = (1 - 1/4)(1 - 1/3) = (3/4)(2/3) = 6/12 = 1/2$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$P(AB) = 1/12$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $W_1$ એ પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે અને $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
બીજો દડો લાલ હોય તે માટે બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: પ્રથમ દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય.
$P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2 | W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$
કિસ્સો $2$: પ્રથમ દડો લાલ અને બીજો લાલ હોય.
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$
બીજો દડો લાલ હોવાની કુલ સંભાવના:
$P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ કથ્થઈ વાળ ધરાવે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ કથ્થઈ આંખો ધરાવે છે.
આપેલ છે:
$P(A) = \frac{40}{100} = 0.4$
$P(B) = \frac{25}{100} = 0.25$
$P(A \cap B) = \frac{15}{100} = 0.15$
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે જો વ્યક્તિના વાળ કથ્થઈ હોય તો તેની આંખો કથ્થઈ હોવાની સંભાવના.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P(B|A) = \frac{0.15}{0.40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$
આમ,સંભાવના $\frac{3}{8}$ છે.

(C) ધારો કે $S$ એ $50$ ટિકિટોનો નિદર્શાવકાશ છે: $S = \{00, 01, \dots, 49\}$.
ઘટના $A$ એ એવી ટિકિટોનો સમૂહ છે જ્યાં અંકોનો સરવાળો $8$ થાય છે: $A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$.
ઘટના $B$ એ એવી ટિકિટોનો સમૂહ છે જ્યાં અંકોનો ગુણાકાર $0$ થાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય: $B = \{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$.
$B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 14$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવી ટિકિટોનો સમૂહ છે જ્યાં અંકોનો સરવાળો $8$ હોય અને અંકોનો ગુણાકાર $0$ હોય. ગણ $A$ જોતા,માત્ર $08$ આ શરત સંતોષે છે: $A \cap B = \{08\}$.
તેથી,$n(A \cap B) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(A|B)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{14}$.

(B) ધારો કે $W_1$ એ પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે અને $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
બીજો દડો લાલ હોય તે માટે બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે: $(W_1 \cap R_2)$ અને $(R_1 \cap R_2)$.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ દડો સફેદ,બીજો લાલ.
$P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2|W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ દડો લાલ,બીજો લાલ.
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$.
બીજો દડો લાલ હોવાની કુલ સંભાવના $P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$,અને $P(B|A) = \frac{2}{3}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે:
$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{6} = P(B) \times \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(D) ધારો કે $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$ એ નિદર્શાવકાશ છે. કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $50$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી ટિકિટના અંકોનો સરવાળો $8$ છે.
$A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે અંકોનો ગુણાકાર શૂન્ય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય. આવી ટિકિટો $\{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$ છે.
આવી કુલ $14$ ટિકિટો છે,તેથી $n(B) = 14$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ શોધવાની છે.
$A \cap B$ એ એવી ટિકિટોનો ગણ છે જ્યાં અંકોનો સરવાળો $8$ હોય અને અંકોનો ગુણાકાર $0$ હોય.
ગણ $A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$ માં જોતા,માત્ર $08$ માં અંકોનો ગુણાકાર $0$ થાય છે $(0 \times 8 = 0)$.
તેથી,$A \cap B = \{08\}$,એટલે કે $n(A \cap B) = 1$.
તેથી,$P(A|B) = \frac{1}{14}$.

(A) ઘટના $D$ બની ગઈ હોય ત્યારે ઘટના $C$ ની શરતી સંભાવના $P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો $C \subset D$ હોય,તો $C \cap D = C$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P(C \cap D) = P(C)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P(C|D) = \frac{P(C)}{P(D)}$ મળે છે.
$D$ એક ઘટના હોવાથી,$P(D) \le 1$ થાય. તેથી,$\frac{1}{P(D)} \ge 1$.
બંને બાજુ $P(C)$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{P(C)}{P(D)} \ge P(C)$ મળે છે.
આમ,$P(C|D) \ge P(C)$ સાચું છે.

(A) આપણે $P(A' \cap B' | C)$ શોધવાની જરૂર છે. શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(A' \cap B' \cap C)}{P(C)}$
ગણ માટે સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P((A \cup B) \cap C)$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - [P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)]$
આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = 0$ અને $A, B, C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર છે,તેથી $P(A \cap C) = P(A)P(C)$ અને $P(B \cap C) = P(B)P(C)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + 0$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$
તેથી,$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$
કારણ કે $1 - P(A) = P(A')$,તેથી $P(A' \cap B' | C) = P(A') - P(B)$.