Probability distribution Questions in Gujarati

(C) ધારો કે મેચ જીતવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
મેચ હારવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
ભારતની બીજી જીત ત્રીજી ટેસ્ટમાં થાય તે માટે,પ્રથમ બે ટેસ્ટમાંથી એકમાં જીત અને ત્રીજી ટેસ્ટમાં જીત મેળવવી જરૂરી છે.
પ્રથમ ત્રણ મેચ માટે શક્ય ક્રમ $(L, W, W)$ અને $(W, L, W)$ છે.
$(L, W, W)$ ક્રમની સંભાવના $q \times p \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.
$(W, L, W)$ ક્રમની સંભાવના $p \times q \times p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.
કુલ સંભાવના $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ છે.

(B) એક ઉછાળમાં $4$ કરતા મોટી સંખ્યા (એટલે કે $5$ અથવા $6$) મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે સફળતા બેકી સંખ્યાના ઉછાળમાં મળે,જે નીચે મુજબની શ્રેણી દર્શાવે છે: (નિષ્ફળતા,સફળતા),(નિષ્ફળતા,નિષ્ફળતા,નિષ્ફળતા,સફળતા),વગેરે.
જરૂરી સંભાવના $P = pq + q^3p + q^5p + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = pq$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{pq}{1 - q^2} = \frac{(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})}{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}$.

(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. કાળીના પત્તાની સંખ્યા $13$ છે.
એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના,$P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના,$P(S') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
દરેક વખતે પત્તું પાછું મૂકવામાં આવતું હોવાથી,ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
તે પ્રથમ બે વાર નિષ્ફળ જાય તેનો અર્થ એ છે કે તેને પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું મળતું નથી અને બીજા પ્રયત્નમાં પણ કાળીનું પત્તું મળતું નથી.
જરૂરી સંભાવના $= P(S') \times P(S') = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$.

(B) ઘટના $E$ ને $X$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આપેલ સમૂહમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7\}$ છે.
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
ઘટના $F$ ને $X < 4$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આ શરત સંતોષતી કિંમતો $\{1, 2, 3\}$ છે.
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ માં એવી કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે જે અવિભાજ્ય પણ હોય અને $4$ કરતા નાની પણ હોય,જે $\{2, 3\}$ છે.
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવના માટે સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) ધારો કે $X$ એ પ્રથમ છાપ મેળવવા માટે જરૂરી ઉછાળની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. આ $p$ પ્રાચલ સાથેનું ભૌમિતિક વિતરણ અનુસરે છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = r) = (1 - p)^{r - 1} p$ છે,જ્યાં $r = 1, 2, 3, \dots$.
આપણે ઘટના $E$ માં રસ ધરાવીએ છીએ જ્યાં ઉછાળની સંખ્યા બેકી હોય,એટલે કે $X \in \{2, 4, 6, \dots\}$.
સંભાવના $P(E)$ એ આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P(E) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + \dots$
$P(E) = (1 - p)p + (1 - p)^3 p + (1 - p)^5 p + \dots$
આ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = p(1 - p)$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (1 - p)^2$ છે.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$P(E) = \frac{p(1 - p)}{1 - (1 - p)^2} = \frac{p(1 - p)}{1 - (1 - 2p + p^2)} = \frac{p(1 - p)}{2p - p^2} = \frac{p(1 - p)}{p(2 - p)} = \frac{1 - p}{2 - p}$.
આપેલ છે કે $P(E) = \frac{2}{5}$,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવીએ:
$\frac{1 - p}{2 - p} = \frac{2}{5}$
$5(1 - p) = 2(2 - p)$
$5 - 5p = 4 - 2p$
$5 - 4 = 5p - 2p$
$1 = 3p$
$p = \frac{1}{3}$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે સંભાવના વિધેય હોવા માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $P(X = k) = Ck^2$,જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
તેથી,$\sum_{k=0}^{4} P(X = k) = 1$.
$k$ ની કિંમતો મૂકતા:
$C(0^2) + C(1^2) + C(2^2) + C(3^2) + C(4^2) = 1$
$C(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 1$
$C(30) = 1$
$C = \frac{1}{30}$.

(B) ભારત કુલ $4$ મેચ રમે છે. કોઈપણ એક મેચમાં મહત્તમ પોઈન્ટ $2$ છે.
તેથી,$4$ મેચમાં મહત્તમ કુલ પોઈન્ટ $8$ છે.
ઓછામાં ઓછા $7$ પોઈન્ટ મેળવવા માટે,ભારતે કાં તો $7$ પોઈન્ટ અથવા $8$ પોઈન્ટ મેળવવા પડે.
ધારો કે $X_i$ એ $i$-મી મેચમાં મળતા પોઈન્ટ છે,જ્યાં $P(X_i=0)=0.45, P(X_i=1)=0.05, P(X_i=2)=0.50$.
$8$ પોઈન્ટ મેળવવા માટે,ભારતે બધી $4$ મેચમાં $2$ પોઈન્ટ મેળવવા પડે:
$P(8) = (0.50)^4 = 0.0625$.
$7$ પોઈન્ટ મેળવવા માટે,ભારતે $3$ મેચમાં $2$ પોઈન્ટ અને $1$ મેચમાં $1$ પોઈન્ટ મેળવવો પડે:
$P(7) = \binom{4}{1} \times (0.50)^3 \times (0.05)^1 = 4 \times 0.125 \times 0.05 = 0.0250$.
ઓછામાં ઓછા $7$ પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના $P(7) + P(8) = 0.0250 + 0.0625 = 0.0875$ છે.

(D) સામાન્ય વિતરણનું સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઘાતાંકીય પદ $e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$ મહત્તમ હોય ત્યારે ઓર્ડિનેટ સૌથી મોટો હોય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $x = \mu$,જે ઘાતાંકને $e^0 = 1$ બનાવે છે.
તેથી,સૌથી મોટો ઓર્ડિનેટ $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$ છે.

(A) ધારો કે $E$ એ લાલ પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે. એક પ્રયત્નમાં લાલ પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
લાલ પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $P(\overline{E}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે ત્રીજા પ્રયત્ને પહેલીવાર લાલ પત્તું આવે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ બે પ્રયત્નોમાં લાલ પત્તું ન આવવું જોઈએ અને ત્રીજા પ્રયત્ને લાલ પત્તું આવવું જોઈએ.
જરૂરી સંભાવના $P(\overline{E} \cap \overline{E} \cap E) = P(\overline{E}) \times P(\overline{E}) \times P(E)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$.

(B) ભારત કુલ $4$ મેચ રમે છે. દરેક મેચમાં મહત્તમ $2$ પોઈન્ટ મળી શકે છે.
ઓછામાં ઓછા $7$ પોઈન્ટ મેળવવા માટેના શક્ય કિસ્સાઓ $7$ પોઈન્ટ અથવા $8$ પોઈન્ટ છે.
$P(7)$ મેળવવા માટે,$3$ મેચમાં $2$ પોઈન્ટ અને $1$ મેચમાં $1$ પોઈન્ટ મળવો જોઈએ:
$P(7) = \binom{4}{1} \times (0.5)^3 \times (0.05)^1 = 4 \times 0.125 \times 0.05 = 0.025$
$P(8)$ મેળવવા માટે,બધી $4$ મેચમાં $2$ પોઈન્ટ મળવા જોઈએ:
$P(8) = (0.5)^4 = 0.0625$
કુલ સંભાવના $= P(7) + P(8) = 0.025 + 0.0625 = 0.0875$

(B) આપેલ ઘટનાઓ:
$E = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = \{2, 3, 5, 7\}$
$F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$
સંભાવનાઓની ગણતરી:
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$
ઘટનાઓનો છેદ:
$E \cap F = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને } X < 4\} = \{2, 3\}$
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$
સંભાવના માટે સરવાળાનો નિયમ વાપરતા:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$

(D) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલ $7$ કૂપન પરની મહત્તમ સંખ્યા છે.
કૂપન પૂરવણી સાથે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,દરેક પસંદગી સ્વતંત્ર છે.
એક કૂપન પરની સંખ્યા $9$ કે તેથી ઓછી હોય તેની સંભાવના $P(X \le 9) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ છે.
એક કૂપન પરની સંખ્યા $8$ કે તેથી ઓછી હોય તેની સંભાવના $P(X \le 8) = \frac{8}{15}$ છે.
મહત્તમ સંખ્યા બરાબર $9$ હોય તેની સંભાવના $P(X = 9) = P(X \le 9) - P(X \le 8)$ દ્વારા મળે છે.
$P(X = 9) = (\frac{3}{5})^7 - (\frac{8}{15})^7$.

(B) કુલ આવૃત્તિ $N = \sum_{r=0}^n {^nC_r} = 2^n$ છે.
કિંમતો અને આવૃત્તિઓના ગુણાકારનો સરવાળો $\sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_r} = 0 \cdot {^nC_0} + 1 \cdot {^nC_1} + 2 \cdot {^nC_2} + ... + n \cdot {^nC_n}$ છે.
નિત્યસમ $r \cdot {^nC_r} = n \cdot {^{n-1}C_{r-1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $\sum_{r=1}^n n \cdot {^{n-1}C_{r-1}} = n \sum_{k=0}^{n-1} {^{n-1}C_k} = n \cdot 2^{n-1}$ થાય છે.
આમ,મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n} = \frac{n}{2}$ મળે છે.

(A) પોઈસન વિતરણનું સૂત્ર $P(X=r) = \frac{e^{-m} m^r}{r!}$ છે,જ્યાં $m$ એ સરેરાશ સંખ્યા છે.
અહીં $m = 5$ આપેલ છે,આપણે વધુમાં વધુ એક ફોન કોલ આવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$.
$r=0$ માટે: $P(X=0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$.
$r=1$ માટે: $P(X=1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5}$.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = 2$ છે.
આપણે $P(X > 1.5)$ શોધવાનું છે. કારણ કે $X$ ફક્ત અ-ઋણ પૂર્ણાંક કિંમતો જ લે છે,તેથી $P(X > 1.5) = P(X \ge 2)$ થાય.
આને $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ તરીકે ગણી શકાય.
$k = 0$ માટે: $P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = \frac{e^{-2} \cdot 1}{1} = \frac{1}{e^2}$.
$k = 1$ માટે: $P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = \frac{e^{-2} \cdot 2}{1} = \frac{2}{e^2}$.
તેથી,$P(X > 1.5) = 1 - (\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}) = 1 - \frac{3}{e^2}$.

(D) ધારો કે એક પ્રયત્નમાં $2$ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી $2$ ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ છે.
$2$ બેકી સંખ્યાના પ્રયત્નોમાં આવે તેનો અર્થ એ છે કે તે $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, \dots$ પ્રયત્નમાં આવે છે.
આ શ્રેણી આ મુજબ છે: ($2$ નથી,$2$) અથવા ($2$ નથી,$2$ નથી,$2$ નથી,$2$) અથવા $\dots$
સંભાવના અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી દ્વારા મળે છે:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{11}$.

(C) પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,દરેક ખેંચાણ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
ધારો કે $E$ એ "લાલનો રાજા" ખેંચવાની ઘટના છે. કોઈપણ એક ખેંચાણમાં "લાલનો રાજા" ખેંચવાની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{52}$ છે.
કોઈપણ એક ખેંચાણમાં "લાલનો રાજા" ન ખેંચવાની સંભાવના $P(E') = 1 - \frac{1}{52} = \frac{51}{52}$ છે.
આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે $5^{th}$ પત્તું "લાલનો રાજા" હોય. પ્રથમ $4$ પત્તા "લાલનો રાજા" સિવાયના કોઈપણ પત્તા હોઈ શકે છે,અને $5^{th}$ પત્તું "લાલનો રાજા" હોવું જોઈએ.
સંભાવના = $P(E') \times P(E') \times P(E') \times P(E') \times P(E) = \left(\frac{51}{52}\right)^4 \times \frac{1}{52} = \frac{51^4}{52^5}$.

(C) લાલ પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p_1 = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
ચોકટનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p_2 = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
કાળું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p_3 = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$ છે.
પત્તાં પાછા મૂકવામાં આવતા હોવાથી,આપણે $n=6$ પ્રયત્નો માટે મલ્ટિનોમિયલ વિતરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$P = \frac{6!}{2! 2! 2!} \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{1}{4})^2 \times (\frac{1}{2})^2 = 90 \times (\frac{1}{2})^{10}$

(A) ધારો કે દરેક બેકી સંખ્યા $(2, 4, 6)$ ની સંભાવના $p$ છે.
તેથી દરેક એકી સંખ્યા $(1, 3, 5)$ ની સંભાવના $2p$ છે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ:
$3(2p) + 3(p) = 1$
$6p + 3p = 1$
$9p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{9}$.
ઘટના $E$ એ છે કે $4$ કે તેથી મોટી સંખ્યા મળે,તેથી $E = \{4, 5, 6\}$.
$P(E) = P(4) + P(5) + P(6)$.
$4$ અને $6$ બેકી હોવાથી,$P(4) = p = \frac{1}{9}$ અને $P(6) = p = \frac{1}{9}$.
$5$ એકી હોવાથી,$P(5) = 2p = \frac{2}{9}$.
$P(E) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.

(B) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલી વાદળી લખોટીઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $10$ છે. $4$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{10}{4} = 210$ છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ $P(X=k) = \frac{\binom{3}{k} \binom{7}{4-k}}{\binom{10}{4}}$ દ્વારા મળે છે:

$X$	$P(X=k)$
$0$	$\frac{\binom{3}{0} \binom{7}{4}}{210} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6}$
$1$	$\frac{\binom{3}{1} \binom{7}{3}}{210} = \frac{3 \times 35}{210} = \frac{1}{2}$
$2$	$\frac{\binom{3}{2} \binom{7}{2}}{210} = \frac{3 \times 21}{210} = \frac{3}{10}$
$3$	$\frac{\binom{3}{3} \binom{7}{1}}{210} = \frac{1 \times 7}{210} = \frac{1}{30}$

$E[X] = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{10}) + 3(\frac{1}{30}) = 0 + 0.5 + 0.6 + 0.1 = 1.2 = \frac{6}{5}$.
$E[X^2] = 0^2(\frac{1}{6}) + 1^2(\frac{1}{2}) + 2^2(\frac{3}{10}) + 3^2(\frac{1}{30}) = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$.
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2.0 - (1.2)^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{14}{25}} = \frac{\sqrt{14}}{5}$.
અહીં $a = 14$ અને $b = 5$. $14$ અને $5$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે અને $14$ પૂર્ણવર્ગમુક્ત છે,તેથી $a + b = 14 + 5 = 19$.

(B) ધારો કે $F$ એ આગળના ડગલાની ઘટના છે,$B$ એ પાછળના ડગલાની ઘટના છે,અને $S$ એ તે જ સ્થિતિમાં રહેવાની ઘટના છે. સંભાવનાઓ $P(F) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{2}$,અને $P(S) = 1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ છે.
આપણે $5$ ડગલાં પછી ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $1$ અથવા $-1$ હોય તેની સંભાવના શોધીએ છીએ.
ધારો કે $n_F, n_B, n_S$ એ અનુક્રમે આગળ,પાછળ અને સ્થિર રહેલા ડગલાંની સંખ્યા છે,જ્યાં $n_F + n_B + n_S = 5$.
ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $n_F - n_B = 1$ અથવા $n_F - n_B = -1$ છે.
કિસ્સો $1$: $n_F - n_B = 1$. શક્ય $(n_F, n_B, n_S)$ એ $(1,0,4), (2,1,2), (3,2,0)$ છે.
સંભાવનાઓ: $\frac{5!}{1!0!4!} (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{4})^4 + \frac{5!}{2!1!2!} (\frac{1}{4})^2 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{4})^2 + \frac{5!}{3!2!0!} (\frac{1}{4})^3 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4})^0 = \frac{5}{1024} + \frac{60}{1024} + \frac{40}{1024} = \frac{105}{1024}$.
કિસ્સો $2$: $n_F - n_B = -1$. શક્ય $(n_F, n_B, n_S)$ એ $(0,1,4), (1,2,2), (2,3,0)$ છે.
સંભાવનાઓ: $\frac{5!}{0!1!4!} (\frac{1}{4})^0 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{4})^4 + \frac{5!}{1!2!2!} (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{4})^2 + \frac{5!}{2!3!0!} (\frac{1}{4})^2 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{4})^0 = \frac{10}{1024} + \frac{120}{1024} + \frac{80}{1024} = \frac{210}{1024}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{105+210}{1024} = \frac{315}{1024} = \frac{315}{2^{10}}$.

(C) મધ્યક $m$ ની ગણતરી $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$m = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times 0) = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + 0 = 1$.
વિચરણ ${\sigma ^2}$ ની ગણતરી $E(X^2) - [E(X)]^2$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ શોધો.
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{1}{3}) + (1^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times 0) + (3^2 \times \frac{1}{6}) + (4^2 \times 0) = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{9}{6} + 0 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$.
હવે,${\sigma ^2} = E(X^2) - m^2 = 2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
આમ,$m = 1$ અને ${\sigma ^2} = 1$.

(B) ધારો કે $w$ એ $5$ અથવા $6$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $w = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $L$ એ $1, 2, 3, \text{ અથવા } 4$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $L = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
રમત ત્યારે અટકે છે જો તેને $5$ કે $6$ મળે અથવા $3$ પ્રયત્નો પૂરા થાય.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ પ્રયત્ને જીતે: સંભાવના $= w = \frac{1}{3}$,નફો $= 100$.
કિસ્સો $2$: બીજા પ્રયત્ને જીતે: સંભાવના $= L \times w = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$,નફો $= -50 + 100 = 50$.
કિસ્સો $3$: ત્રીજા પ્રયત્ને જીતે: સંભાવના $= L^2 \times w = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$,નફો $= -50 - 50 + 100 = 0$.
કિસ્સો $4$: ત્રણેય પ્રયત્નોમાં હારે: સંભાવના $= L^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$,નફો $= -50 - 50 - 50 = -150$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $= (\frac{1}{3} \times 100) + (\frac{2}{9} \times 50) + (\frac{4}{27} \times 0) + (\frac{8}{27} \times -150) = \frac{100}{3} + \frac{100}{9} + 0 - \frac{1200}{27} = 0$.

(D) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$1$. ડબલેટ માટે: પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે. આવા $6$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{doublet}) = \frac{6}{36}$. નફો $= +15$.
$2$. સરવાળો $9$ થવા માટે: પરિણામો $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ છે. આવા $4$ પરિણામો છે.
સંભાવના $P(\text{sum } 9) = \frac{4}{36}$. નફો $= +12$.
$3$. અન્ય કોઈ પણ પરિણામ માટે: પરિણામોની સંખ્યા $36 - (6 + 4) = 26$ છે.
સંભાવના $P(\text{other}) = \frac{26}{36}$. નુકસાન $= -6$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i p_i = (15 \times \frac{6}{36}) + (12 \times \frac{4}{36}) + (-6 \times \frac{26}{36})$
$E(X) = \frac{90}{36} + \frac{48}{36} - \frac{156}{36} = \frac{90 + 48 - 156}{36} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2}$.
પરિણામ ઋણ હોવાથી,તે $\frac{1}{2}$ $Rs.$ નું નુકસાન દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) કુલ પરિણામો $= 2^5 = 32$ છે.
$k=5$ માટે: ${HHHHH}$,તેથી $P(X=5) = \frac{1}{32}$.
$k=4$ માટે: ${HHHHT, THHHH}$,તેથી $P(X=4) = \frac{2}{32}$.
$k=3$ માટે: ${HHHTH, HHHTT, THHHT, TTHHH, HTHHH}$,તેથી $P(X=3) = \frac{5}{32}$.
$X=-1$ માટે: બાકીના પરિણામો $32 - (1 + 2 + 5) = 24$,તેથી $P(X=-1) = \frac{24}{32}$.
અપેક્ષિત કિંમત $E[X] = \sum x P(x) = (5 \times \frac{1}{32}) + (4 \times \frac{2}{32}) + (3 \times \frac{5}{32}) + (-1 \times \frac{24}{32})$
$E[X] = \frac{5 + 8 + 15 - 24}{32} = \frac{28 - 24}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\sum P(X) = 1 \Rightarrow K^2 + 2K + K + 2K + 5K^2 = 1$
$6K^2 + 5K - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(6K - 1)(K + 1) = 0$
આથી $K = \frac{1}{6}$ અથવા $K = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X)$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $K = -1$ ને અવગણતા,$K = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આપણે $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 2) = K + 2K + 5K^2 = 3K + 5K^2$.
$K = \frac{1}{6}$ મૂકતા:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{36} = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ત્રીજા $B$ પહેલાં બીજું $A$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે ડ્રોના ક્રમમાં,બીજા $A$ પહેલાં વધુમાં વધુ બે $B$ હોવા જોઈએ.
શક્ય સાનુકૂળ ક્રમ છે:
$1$. $AA$: સંભાવના $= (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$2$. $ABA, BAA$: સંભાવના $= 2 \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$3$. $ABBA, BABA, BBAA$: સંભાવના $= 3 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{16}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 8 = 18$.
લાલ દડાઓની સંખ્યા $= 8$.
એક પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $= P(R) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
દડાઓને બદલી સાથે (with replacement) કાઢવામાં આવતા હોવાથી,આ ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે.
બંને દડા લાલ હોય તેની સંભાવના $= P(R) \times P(R) = \frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81}$.

(N/A) યાદચ્છિક ચલ એ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે જેનો પ્રદેશ યાદચ્છિક પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ છે. કારણ કે $X$ પ્રયોગના દરેક પરિણામ માટે એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા આપે છે,તેથી $X$ એ યાદચ્છિક ચલ છે.
સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
ધારો કે $H$ એ છાપની સંખ્યા અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. મેળવેલ અથવા ગુમાવેલ રકમ $X = 2H - 1.50T$ દ્વારા મળે છે.
દરેક પરિણામ માટે $X$ ની ગણતરી:
$X(HHH) = 2(3) - 1.50(0) = 6$
$X(HHT) = 2(2) - 1.50(1) = 4 - 1.50 = 2.50$
$X(HTH) = 2(2) - 1.50(1) = 2.50$
$X(THH) = 2(2) - 1.50(1) = 2.50$
$X(HTT) = 2(1) - 1.50(2) = 2 - 3 = -1$
$X(THT) = 2(1) - 1.50(2) = -1$
$X(TTH) = 2(1) - 1.50(2) = -1$
$X(TTT) = 2(0) - 1.50(3) = -4.50$
આમ,$X$ એ $S$ થી $\mathbb{R}$ પરનું વિધેય છે જેનો વિસ્તાર $\{-4.50, -1, 2.50, 6\}$ છે.

(N/A) ધારો કે થેલીમાં રહેલા દડા $w_{1}, w_{2}, r$ છે. પુનરાવર્તન સાથેના બે પ્રયત્નો માટે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{w_{1}w_{1}, w_{1}w_{2}, w_{2}w_{1}, w_{2}w_{2}, w_{1}r, w_{2}r, rw_{1}, rw_{2}, rr\}$
અહીં,$X$ એ બે પ્રયત્નોમાં લાલ દડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
જે પરિણામોમાં એક પણ લાલ દડો મળતો નથી તેના માટે: $X(w_{1}w_{1}) = X(w_{1}w_{2}) = X(w_{2}w_{1}) = X(w_{2}w_{2}) = 0$.
જે પરિણામોમાં બરાબર એક લાલ દડો મળે છે તેના માટે: $X(w_{1}r) = X(w_{2}r) = X(rw_{1}) = X(rw_{2}) = 1$.
જે પરિણામમાં બે લાલ દડા મળે છે તેના માટે: $X(rr) = 2$.
આમ,$X$ એ એક યાદચ્છિક ચલ છે જે $0, 1,$ અથવા $2$ કિંમતો ધારણ કરી શકે છે.

(A) $X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે,જ્યાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$0.1$	$k$	$2k$	$2k$	$k$

આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(X=x) = 1$.
કોષ્ટકમાંથી કિંમતો મૂકતા:
$0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા:
$0.1 + 6k = 1$
બંને બાજુથી $0.1$ બાદ કરતા:
$6k = 0.9$
$6$ વડે ભાગતા:
$k = \frac{0.9}{6} = 0.15$.

આ પ્રયોગમાં,પાસાને $6$ મળે ત્યાં સુધી ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે $S$ એ નિદર્શાવકાશ છે.
જો પ્રથમ ફેંકમાં $6$ મળે,તો પરિણામ $6$ છે.
જો બીજી ફેંકમાં $6$ મળે,તો પરિણામ $(x, 6)$ છે જ્યાં $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
જો ત્રીજી ફેંકમાં $6$ મળે,તો પરિણામ $(x, y, 6)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{6, (x, 6), (x, y, 6), (x, y, z, 6), \dots \}$ જ્યાં $x, y, z, \dots \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = 0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$
$0.1 + 6k = 1 \implies 6k = 0.9 \implies k = 0.15$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$0.1$	$0.15$	$0.3$	$0.3$	$0.15$

$1$. ઓછામાં ઓછા બે કલાક અભ્યાસ કરવાની સંભાવના $(X \geq 2)$:
$P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75$
$2$. બરાબર બે કલાક અભ્યાસ કરવાની સંભાવના $(X=2)$:
$P(X=2) = 0.3$
$3$. વધુમાં વધુ બે કલાક અભ્યાસ કરવાની સંભાવના $(X \leq 2)$:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.1 + 0.15 + 0.3 = 0.55$

(A) પ્રયોગના નિદર્શાવકાશમાં $(x_i, y_i)$ સ્વરૂપના $36$ પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે,જ્યાં $x_i, y_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$,જે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવે છે,તે $x_i \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ કિંમતો લે છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$P(X)$
$2$	$1/36$
$3$	$2/36$
$4$	$3/36$
$5$	$4/36$
$6$	$5/36$
$7$	$6/36$
$8$	$5/36$
$9$	$4/36$
$10$	$3/36$
$11$	$2/36$
$12$	$1/36$

મધ્યક અથવા અપેક્ષા $E(X)$ ની ગણતરી $\mu = \sum x_i p_i$ તરીકે કરવામાં આવે છે:
$E(X) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36}$
$E(X) = \frac{252}{36} = 7$
આમ,બે પાસાઓ ફેંકતા મળતી સંખ્યાઓના સરવાળાનો મધ્યક $7$ છે.

(A) પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ધારો કે $X$ એ પાસા પર મળતી સંખ્યા દર્શાવે છે. તો $X$ એ યાદચ્છિક ચલ છે જે $1, 2, 3, 4, 5,$ અથવા $6$ કિંમતો ધારણ કરી શકે છે.
પાસો સમતોલ હોવાથી,$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$.

$X$	$1, 2, 3, 4, 5, 6$
$P(X)$	$\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}$

હવે,$E(X) = \sum x_i p(x_i) = (1+2+3+4+5+6) \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
તે જ રીતે,$E(X^2) = \sum x_i^2 p(x_i) = (1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) \times \frac{1}{6} = (1+4+9+16+25+36) \times \frac{1}{6} = \frac{91}{6}$.
આમ,$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.

(A) ધારો કે $X$ એ બે પત્તાં ખેંચતી વખતે રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. $X$ એ યાદચ્છિક ચલ છે જે $0, 1, 2$ કિંમતો ધારણ કરી શકે છે.
$P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{188}{221}$
$P(X=1) = \frac{^4C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{32}{221}$
$P(X=2) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$
સંભાવના વિતરણ કોષ્ટક:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{188}{221}$	$\frac{32}{221}$	$\frac{1}{221}$

મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{188}{221} + 1 \times \frac{32}{221} + 2 \times \frac{1}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{188}{221} + 1^2 \times \frac{32}{221} + 2^2 \times \frac{1}{221} = \frac{36}{221}$
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{36}{221} - (\frac{34}{221})^2 = \frac{7956 - 1156}{48841} = \frac{6800}{48841} \approx 0.1392$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.1392} \approx 0.373$

(A) કોઈપણ કોષ્ટક યાદચ્છિક ચલ $X$ નું સંભાવના વિતરણ દર્શાવે તે માટે બે શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. દરેક સંભાવના $P(X_i)$ અ-ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે,દરેક $i$ માટે $P(X_i) \ge 0$.
$2$. બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે,$\sum P(X_i) = 1$.
આપેલ કોષ્ટક તપાસતા:
$1$. બધી સંભાવનાઓ $(0.4, 0.4, 0.2)$ એ $\ge 0$ છે.
$2$. સંભાવનાઓનો સરવાળો $0.4 + 0.4 + 0.2 = 1.0$ છે.
બંને શરતો સંતોષાતી હોવાથી,આપેલ કોષ્ટક એ યાદચ્છિક ચલ $X$ નું માન્ય સંભાવના વિતરણ છે.

(N/A) યાદચ્છિક ચલના સંભાવના વિતરણ માટે બે શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. તમામ $X$ માટે $P(X) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
$2$. $\sum P(X) = 1$ હોવું જોઈએ.
આપેલ કોષ્ટકમાં,$X = 3$ માટે,$P(X)$ ની કિંમત $-0.1$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $P(X) \ge 0$ ની શરતનું ઉલ્લંઘન થાય છે.
તેથી,આપેલ કોષ્ટક એ યાદચ્છિક ચલનું સંભાવના વિતરણ નથી.

(A) કોઈપણ કોષ્ટક યાદચ્છિક ચલ $Y$ ના સંભાવના વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે તે માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. દરેક સંભાવના $P(Y_i)$ એવી હોવી જોઈએ કે જેથી $0 \leq P(Y_i) \leq 1$ થાય.
$2$. તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(Y_i) = 1$.
આપેલ કોષ્ટકમાં:
સંભાવનાઓનો સરવાળો $= 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9$.
અહીં સંભાવનાઓનો સરવાળો $0.9$ છે,જે $1$ ની બરાબર નથી,તેથી આપેલ કોષ્ટક યાદચ્છિક ચલનું સંભાવના વિતરણ દર્શાવતું નથી.

(N/A) યાદચ્છિક ચલના સંભાવના વિતરણ માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. દરેક સંભાવના $P(Z_i) \ge 0$ હોવી જોઈએ.
$2$. બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $\sum P(Z_i) = 1$ હોવો જોઈએ.
આપેલ કોષ્ટકમાં,સંભાવનાઓનો સરવાળો:
$\sum P(Z) = 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05 = 1.05$.
અહીં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1.05$ છે,જે $1$ ની બરાબર નથી,તેથી આપેલ કોષ્ટક યાદચ્છિક ચલનું સંભાવના વિતરણ દર્શાવતું નથી.

(N/A) પસંદ કરેલા બે દડાને $BB$,$BR$,$RB$,અને $RR$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $B$ એ કાળો દડો અને $R$ એ લાલ દડો દર્શાવે છે.
$X$ એ કાળા દડાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$X(BB) = 2$
$X(BR) = 1$
$X(RB) = 1$
$X(RR) = 0$
તેથી,$X$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, 1,$ અને $2$ છે.
હા,$X$ એ યાદચ્છિક ચલ છે કારણ કે તે એક વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે જેનો પ્રદેશ યાદચ્છિક પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ છે.

(A) ધારો કે $6$ વખત સિક્કો ઉછાળતા $H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. કુલ ઉછાળની સંખ્યા $6$ હોવાથી,$H + T = 6$,જેનો અર્થ છે કે $T = 6 - H$.
યાદચ્છિક ચલ $X$ ને છાપ અને કાંટાની સંખ્યા વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $X = |H - T|$.
$T = 6 - H$ મૂકતા,આપણને $X = |H - (6 - H)| = |2H - 6|$ મળે છે.
$H$ ની કિંમત $0$ થી $6$ સુધી હોઈ શકે છે,તેથી દરેક કિસ્સા માટે $X$ ની ગણતરી કરીએ:
જો $H = 0, T = 6$,તો $X = |0 - 6| = 6$.
જો $H = 1, T = 5$,તો $X = |1 - 5| = 4$.
જો $H = 2, T = 4$,તો $X = |2 - 4| = 2$.
જો $H = 3, T = 3$,તો $X = |3 - 3| = 0$.
જો $H = 4, T = 2$,તો $X = |4 - 2| = 2$.
જો $H = 5, T = 1$,તો $X = |5 - 1| = 4$.
જો $H = 6, T = 0$,તો $X = |6 - 0| = 6$.
આમ,$X$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{0, 2, 4, 6\}$ છે.

(N/A) જ્યારે એક સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તેથી,$X(HH) = 2, X(HT) = 1, X(TH) = 1, X(TT) = 0$.
તેથી,$X$ ની કિંમતો $0, 1,$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(HH) = P(HT) = P(TH) = P(TT) = \frac{1}{4}$.
$P(X=0) = P(TT) = \frac{1}{4}$.
$P(X=1) = P(HT) + P(TH) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
$P(X=2) = P(HH) = \frac{1}{4}$.
આમ,જરૂરી સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

(N/A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
ધારો કે $X$ એ છાપ (tails) ની સંખ્યા દર્શાવે છે.
જોઈ શકાય છે કે $X$ ની કિંમત $0, 1, 2,$ અથવા $3$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = P(HHH) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(TTT) = \frac{1}{8}$
આમ,સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

(N/A) જ્યારે એક સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT\}$
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = P(TTTT) = \frac{1}{16}$
$P(X=1) = P(HTTT) + P(THTT) + P(TTHT) + P(TTTH) = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(HHTT) + P(HTHT) + P(HTTH) + P(THHT) + P(THTH) + P(TTHH) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(HHHT) + P(HHTH) + P(HTHH) + P(THHH) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$P(X=4) = P(HHHH) = \frac{1}{16}$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

(A) જ્યારે પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $X$ એ સફળતાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
સફળતા એટલે $4$ કરતા મોટી સંખ્યા મેળવવી (એટલે કે $5$ અથવા $6$).
એક ફેંકમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
એક ફેંકમાં નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = q \times q = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = (p \times q) + (q \times p) = (\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$.
$P(X=2) = p \times p = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

(N/A) ધારો કે $Y$ એ પાસાના બે ફેંકમાં સફળતાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. સફળતાને 'ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર છ આવે' તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે પાસા પર છ આવે છે,અને $F$ એ ઘટના છે કે પાસા પર છ આવતો નથી. $P(S) = \frac{1}{6}$ અને $P(F) = \frac{5}{6}$.
$P(Y=0)$ એ સંભાવના છે કે કોઈપણ પાસા પર છ આવતો નથી. આ તે પરિણામોને અનુરૂપ છે જ્યાં બંને પાસા પર છ આવતો નથી: $P(Y=0) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$.
$P(Y=1)$ એ સંભાવના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર છ આવે છે. આ તે પરિણામોને અનુરૂપ છે જ્યાં ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર છ આવે છે: $P(Y=1) = 1 - P(Y=0) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.
આમ,જરૂરી સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$Y$	$0$	$1$
$P(Y)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{11}{36}$

(D) ધારો કે પક્ષપાતી સિક્કામાં કાંટો (tail) મળવાની સંભાવના $x$ છે.
$\therefore P(T) = x$
$\Rightarrow P(H) = 3x$
પક્ષપાતી સિક્કા માટે,$P(T) + P(H) = 1$
$\Rightarrow x + 3x = 1$
$\Rightarrow 4x = 1$
$\Rightarrow x = \frac{1}{4}$
$\therefore P(T) = \frac{1}{4}$ અને $P(H) = \frac{3}{4}$
જ્યારે સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $\{HH, TT, HT, TH\}$ છે.
ધારો કે $X$ એ કાંટાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
$\therefore P(X=0) = P(\text{કોઈ કાંટો નહીં}) = P(H) \times P(H) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
$P(X=1) = P(\text{એક કાંટો}) = P(HT) + P(TH) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(\text{બે કાંટા}) = P(TT) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
તેથી,જરૂરી સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{16}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$\sum P(X) = 1$.
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
પદોને ભેગા કરતા,આપણને મળે છે:
$(k^2 + 2k^2 + 7k^2) + (k + 2k + 2k + 3k + k) = 1$
$10k^2 + 9k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
આનાથી $k = \frac{1}{10}$ અથવા $k = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X)$ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $k$ ધન હોવો જોઈએ. જો $k = -1$ લઈએ,તો $P(X=1) = k = -1$ થાય,જે અશક્ય છે.
આમ,$k$ ની એકમાત્ર માન્ય કિંમત $k = \frac{1}{10}$ છે.