Domain and Range of ITF Questions in Hindi

(B) फलन $f(x) = \sin^{-1}x$,साइन फलन $y = \sin x$ का प्रतिलोम है,जहाँ $\sin x$ के प्रांत को $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ तक सीमित किया जाता है ताकि यह एकैकी और आच्छादक बन सके।
प्रतिलोम फलन की परिभाषा के अनुसार,प्रतिलोम फलन का प्रांत मूल फलन का परिसर होता है और प्रतिलोम फलन का परिसर मूल फलन का प्रांत होता है।
चूंकि साइन फलन $y = \sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए इसके प्रतिलोम फलन $\sin^{-1}x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।

(B) फलन $f(x) = \tan^{-1} x$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है।
परिभाषा के अनुसार,प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलन की मुख्य मान शाखा अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः,$\tan^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) फलन $f(x) = \sin^{-1}(u)$ का प्रांत $-1 \le u \le 1$ की शर्त द्वारा परिभाषित होता है।
दिए गए फलन $f(x) = \sin^{-1}(5x)$ के लिए,हम $u = 5x$ लेते हैं।
अतः,शर्त $-1 \le 5x \le 1$ हो जाती है।
पूरी असमिका को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{1}{5} \le x \le \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन का प्रांत $[-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}]$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sin^{-1} \left[ \log_3 \left( \frac{x}{3} \right) \right]$ है।
फलन $\sin^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $u$ को $-1 \le u \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इसलिए,हमारे पास $-1 \le \log_3 \left( \frac{x}{3} \right) \le 1$ होना चाहिए।
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,आधार $3$ के साथ घातांक लेने पर:
$3^{-1} \le \frac{x}{3} \le 3^1$.
यह सरल होकर $\frac{1}{3} \le \frac{x}{3} \le 3$ हो जाता है।
पूरी असमिका को $3$ से गुणा करने पर,हमें $1 \le x \le 9$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $x \in [1, 9]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sin^{-1}[\log_2(x/2)]$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $\sin^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है,इसलिए हमारे पास होना चाहिए:
$-1 \le \log_2(x/2) \le 1$.
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,आधार $2$ के साथ घातांक लेने पर:
$2^{-1} \le x/2 \le 2^1$.
इसे सरल करने पर:
$1/2 \le x/2 \le 2$.
पूरी असमिका को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 \le x \le 4$.
अतः,फलन का प्रांत $x \in [1, 4]$ है।

(C) $\sin^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
अतः,$-1 \le 1 + 3x + 2x^2 \le 1$ होना चाहिए।
स्थिति $I$: $2x^2 + 3x + 1 \ge -1$
$2x^2 + 3x + 2 \ge 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0$ है। चूँकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक है,$2x^2 + 3x + 2$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
स्थिति $II$: $2x^2 + 3x + 1 \le 1$
$2x^2 + 3x \le 0$
$x(2x + 3) \le 0$.
शून्यक $x = 0$ और $x = -\frac{3}{2}$ हैं।
अंतराल की जाँच करने पर,असमिका $x \in \left[ -\frac{3}{2}, 0 \right]$ के लिए सत्य है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,फलन का प्रांत $\left[ -\frac{3}{2}, 0 \right]$ प्राप्त होता है।

(B) फलन $f(x) = \frac{\sin^{-1}(x - 3)}{\sqrt{9 - x^2}}$ को परिभाषित करने के लिए,हमें दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. हर (denominator) में वर्गमूल के अंदर का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$9 - x^2 > 0$
$x^2 < 9$
$-3 < x < 3$ --- $(i)$
$2$. प्रतिलोम ज्या (inverse sine) फलन का मान $[-1, 1]$ के अंतराल में होना चाहिए:
$-1 \le x - 3 \le 1$
सभी पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$2 \le x \le 4$ --- $(ii)$
शर्त $(i)$ और $(ii)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) लेने पर:
$x \in (-3, 3) \cap [2, 4]$
$x \in [2, 3)$
अतः,फलन का प्रांत $[2, 3)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sin^{-1}(\sqrt{x})$ के परिभाषित होने के लिए,प्रतिलोम ज्या फलन का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
अतः,हमारे पास $-1 \le \sqrt{x} \le 1$ होना चाहिए।
चूंकि $\sqrt{x}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $-1 \le \sqrt{x}$ की शर्त सभी $x \ge 0$ के लिए संतुष्ट होती है।
अब,हम $\sqrt{x} \le 1$ को हल करते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x \le 1^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \le 1$।
साथ ही,$\sqrt{x}$ के परिभाषित होने के लिए $x \ge 0$ होना आवश्यक है।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $0 \le x \le 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन अंतराल $[0, 1]$ में परिभाषित है।

(B) $-1 < x < 1$ के लिए,हम $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जहाँ $\theta \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ है।
तब,$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \tan(2\theta)$ होता है।
अतः,$f(x) = \tan^{-1}(\tan(2\theta)) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x \in (-1, 1)$,इसलिए $\tan^{-1}x \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ है।
अतः,$f(x) \in (2 \times -\frac{\pi}{4}, 2 \times \frac{\pi}{4}) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ प्राप्त होता है।
फलन के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $B$ को फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$B = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।

(D) फलन $f(x) = \sin^{-1}(\log_3 x)$ का प्रांत निर्धारित करने के लिए,यह आवश्यक है कि प्रतिलोम ज्या फलन का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में हो।
अतः,हमारे पास असमिका है: $-1 \le \log_3 x \le 1$.
चूंकि लघुगणक का आधार $3$ है (जो $1$ से बड़ा है),हम असमिका के चिन्हों को बदले बिना आधार $3$ के साथ घातांक ले सकते हैं:
$3^{-1} \le x \le 3^1$.
पदों को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{3} \le x \le 3$.
इसलिए,फलन का प्रांत $[\frac{1}{3}, 3]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sin^{-1} \left( \frac{1 - |x|}{3} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{|x| - 3}{5} \right)$ को परिभाषित होने के लिए,$\sin^{-1}$ और $\cos^{-1}$ के तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होने चाहिए।
$1$. $\sin^{-1} \left( \frac{1 - |x|}{3} \right)$ के लिए:
$-1 \le \frac{1 - |x|}{3} \le 1$
$-3 \le 1 - |x| \le 3$
$-4 \le -|x| \le 2$
$-2 \le |x| \le 4$
चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $0 \le |x| \le 4$.
$2$. $\cos^{-1} \left( \frac{|x| - 3}{5} \right)$ के लिए:
$-1 \le \frac{|x| - 3}{5} \le 1$
$-5 \le |x| - 3 \le 5$
$-2 \le |x| \le 8$
चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $0 \le |x| \le 8$.
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर:
$0 \le |x| \le 4$
यह असमिका $-4 \le x \le 4$ के बराबर है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[-4, 4]$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\ln(\cot^{-1}x)}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$\ln(\cot^{-1}x) > 0$
चूँकि लघुगणक का आधार $e > 1$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\cot^{-1}x > e^0$
$\cot^{-1}x > 1$
चूँकि फलन $y = \cot^{-1}x$ एक निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) फलन है,इसलिए जब हम कोटिस्पर्शज्या (cotangent) फलन लागू करते हैं तो असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x < \cot(1)$
अतः,फलन का प्रांत $( -\infty, \cot 1 )$ है।

(B) माना $g(x) = 5x^2 - 8x + 4$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$g(x) = 5(x - \frac{4}{5})^2 + \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $5(x - \frac{4}{5})^2 \geq 0$,इसलिए $g(x)$ का परिसर $[\frac{4}{5}, \infty)$ है।
माना $u = \log_{4/5}(g(x))$ है। आधार $4/5 < 1$ होने के कारण,$\log_{4/5}(t)$ एक ह्रासमान फलन है।
अतः,$t \in [\frac{4}{5}, \infty)$ के लिए,$\log_{4/5}(t) \in (\log_{4/5}(\infty), \log_{4/5}(\frac{4}{5})] = (-\infty, 1]$ होगा।
अब,$f(x) = \cot^{-1}(u)$ जहाँ $u \in (-\infty, 1]$ है।
चूंकि $\cot^{-1}(u)$ एक ह्रासमान फलन है,इसलिए इसका परिसर $[\cot^{-1}(1), \cot^{-1}(-\infty)) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$ होगा।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{2 - \sec^{-1}x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$2 - \sec^{-1}x \ge 0$
$\sec^{-1}x \le 2$
साथ ही,$\sec^{-1}x$ का प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।
चूंकि $\sec^{-1}x \le 2$,और $\sec^{-1}x$ का परिसर $[0, \pi] \setminus \{\pi/2\}$ है,हम असमिका $\sec^{-1}x \le 2$ पर विचार करते हैं।
$x \ge 1$ के लिए,$\sec^{-1}x \in [0, \pi/2)$,इसलिए $x \in [1, \infty)$ के सभी मानों के लिए $\sec^{-1}x \le 2$ हमेशा सत्य है।
$x \le -1$ के लिए,$\sec^{-1}x \in (\pi/2, \pi]$। हमें $\sec^{-1}x \le 2$ की आवश्यकता है। चूंकि $2 < \pi \approx 3.14$,यह उन मानों के लिए सत्य है जहाँ $\sec^{-1}x \le 2$ है।
दोनों पक्षों का सेक लेने पर,हमें प्राप्त होता है कि $x \le \sec 2$ (जब $x \le -1$ हो)।
अतः,प्रांत $(-\infty, \sec 2] \cup [1, \infty)$ है।

(D) माना $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{1+x^2}{2+x^2}\right)$ है।
हम तर्क को $\frac{1+x^2}{2+x^2} = \frac{2+x^2-1}{2+x^2} = 1 - \frac{1}{2+x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $2+x^2 \ge 2$ है,जिसका अर्थ है $0 < \frac{1}{2+x^2} \le \frac{1}{2}$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2+x^2} < 0$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,$1 - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2+x^2} < 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{1}{2} \le \frac{1+x^2}{2+x^2} < 1$ हो जाता है।
चूंकि $\sin^{-1}(u)$ फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए परिसर $[\sin^{-1}(\frac{1}{2}), \sin^{-1}(1))$ होगा।
अतः,परिसर $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ है।

(D) माना $g(x) = x^2 + x + 1$.
चूंकि $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $x = -1/2$ पर $3/4$ है।
$\sin^{-1}(\sqrt{g(x)})$ को परिभाषित होने के लिए,$0 \le \sqrt{g(x)} \le 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \le g(x) \le 1$।
अतः,$3/4 \le x^2 + x + 1 \le 1$।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{3}/2 \le \sqrt{x^2 + x + 1} \le 1$ प्राप्त होता है।
$\sin^{-1}$ फलन लागू करने पर,$\sin^{-1}(\sqrt{3}/2) \le \sin^{-1}(\sqrt{x^2 + x + 1}) \le \sin^{-1}(1)$।
परिणामस्वरूप,$\pi/3 \le f(x) \le \pi/2$।
अतः,परिसर $\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right]$ है।

(C) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए:
$\log_{\frac{\pi}{4}}(\sin^{-1} x) - 1 > 0$
$\Rightarrow \log_{\frac{\pi}{4}}(\sin^{-1} x) > 1$
चूंकि आधार $\frac{\pi}{4} < 1$ है,इसलिए लघुगणक (logarithm) हटाते समय असमिका (inequality) का चिह्न बदल जाएगा:
$\sin^{-1} x < (\frac{\pi}{4})^1 = \frac{\pi}{4}$
साथ ही,लघुगणक का तर्क (argument) धनात्मक होना चाहिए:
$\sin^{-1} x > 0 \Rightarrow x > 0$
इसके अतिरिक्त,$\sin^{-1} x$ को परिभाषित होने के लिए $x \in [-1, 1]$ होना चाहिए।
इन शर्तों को संयोजित करने पर:
$0 < \sin^{-1} x < \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों का साइन (sine) लेने पर:
$\sin(0) < x < \sin(\frac{\pi}{4})$
$0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,प्रांत $x \in \left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ है।

(C) फलन $f(x)$ परिभाषित है यदि $\sin^{-1}$,$\cos^{-1}$,और $\tan^{-1}$ के तर्क अपनी संबंधित प्रांत शर्तों को पूरा करते हैं।
$\sin^{-1}(u)$ और $\cos^{-1}(u)$ के लिए,हमारे पास $-1 \leq u \leq 1$ होना चाहिए।
$\tan^{-1}(u)$ के लिए,$u$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
अतः,हमें $-1 \leq \frac{2-|x|}{4} \leq 1$ की आवश्यकता है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $-4 \leq 2-|x| \leq 4$ प्राप्त होता है।
सभी भागों से $2$ घटाने पर,हमें $-6 \leq -|x| \leq 2$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर (और असमानताओं को उलटने पर),हमें $-2 \leq |x| \leq 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|x|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए शर्त $-2 \leq |x|$ सभी $x \in R$ के लिए हमेशा सत्य है।
इसलिए,हमें केवल $|x| \leq 6$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $-6 \leq x \leq 6$।
अतः,प्रांत $x \in [-6, 6]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,इसका मान $-1 \leq \frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ के बीच होना चाहिए।
चूंकि $|x|+5 > 0$ और $x^2+1 > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है,इसलिए $\frac{|x|+5}{x^2+1} \geq -1$ हमेशा सत्य है।
अतः,हमें केवल $\frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ को हल करना है।
$x^2+1$ से गुणा करने पर,हमें $|x|+5 \leq x^2+1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - |x| - 4 \geq 0$ मिलता है।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $t^2 - t - 4 \geq 0$ होगा।
$t^2 - t - 4 = 0$ के मूल $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
चूंकि $t = |x| \geq 0$ है,इसलिए हमें $t \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ लेना होगा।
अतः,$|x| \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x \in \left(-\infty, -\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$ है।
दिए गए प्रांत $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ के साथ तुलना करने पर,$a = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) $\operatorname{cosec}^{-1}(y)$ का प्रांत $y \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है।
फलन $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+x}{x}\right)$ के लिए,$\frac{1+x}{x} \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\frac{1+x}{x} \geq 1$
$\frac{1}{x} + 1 \geq 1 \implies \frac{1}{x} \geq 0 \implies x > 0$.
स्थिति $2$: $\frac{1+x}{x} \leq -1$
$\frac{1}{x} + 1 \leq -1 \implies \frac{1}{x} \leq -2$.
चूंकि $\frac{1}{x} \leq -2$,इसलिए $x$ ऋणात्मक होना चाहिए। $x$ (जो ऋणात्मक है) से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$1 \geq -2x \implies x \geq -\frac{1}{2}$.
अतः,$x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$ प्राप्त होता है,जिसे $[-\frac{1}{2}, \infty) - \{0\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,दोनों भागों का परिभाषित होना आवश्यक है।
$1$. $\cos^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ के लिए,हमें $-1 \leq \frac{x-1}{x+1} \leq 1$ की आवश्यकता है।
$\frac{x-1}{x+1} \leq 1$ को हल करने पर $\Rightarrow x > -1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x-1}{x+1} \geq -1$ को हल करने पर $\Rightarrow x \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेने पर,$x \in [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
$2$. $\sin^{-1}\left(\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2}\right)$ के लिए,हमें $-1 \leq \frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \leq 1$ की आवश्यकता है।
$\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \leq 1$ को हल करने पर $\Rightarrow x \in [-2, 1/2]$ प्राप्त होता है।
$\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \geq -1$ को हल करने पर $\Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [1/4, \infty)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों का सर्वनिष्ठ लेने पर,$x \in [-2, 0] \cup [1/4, 1/2]$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों का सर्वनिष्ठ लेने पर,$x \in [0, \infty) \cap ([-2, 0] \cup [1/4, 1/2]) = \{0\} \cup [1/4, 1/2]$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{4}$ है।
समीकरण को परिभाषित होने के लिए,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत की शर्तों को संतुष्ट होना चाहिए।
$1$. $\tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}$ के लिए,$x^{2}+x \geq 0$ होना चाहिए।
$2$. $\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}$ के लिए,$0 \leq \sqrt{x^{2}+x+1} \leq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \leq x^{2}+x+1 \leq 1$।
चूंकि $x^{2}+x+1 = (x+\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$,इसलिए $x^{2}+x+1$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।
अतः,शर्त $x^{2}+x+1 \leq 1$ का अर्थ है $x^{2}+x \leq 0$।
$x^{2}+x \geq 0$ और $x^{2}+x \leq 0$ को मिलाने पर,हमें $x^{2}+x = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x(x+1) = 0$ मिलता है,अर्थात $x=0$ या $x=-1$।
यदि $x=0$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{4}$ हो जाता है।
यदि $x=-1$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{4}$ हो जाता है।
चूंकि कोई भी मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए वास्तविक मूलों की संख्या $0$ है।

(B) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन करना आवश्यक है:
$1$. $\cos^{-1}$ का तर्क (argument) $[0, 1]$ में होना चाहिए: $0 \leq \sqrt{x^2-x+1} \leq 1$.
वर्ग करने पर $0 \leq x^2-x+1 \leq 1$ प्राप्त होता है।
$x^2-x+1 \leq 1 \Rightarrow x^2-x \leq 0 \Rightarrow x(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in [0, 1]$.
$2$. हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $\sin^{-1}(\frac{2x-1}{2}) > 0$.
चूंकि $\sin^{-1}$ का परिसर (range) $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए हमें $\frac{2x-1}{2} \leq 1$ की भी आवश्यकता है।
अतः,$0 < \frac{2x-1}{2} \leq 1$.
$0 < 2x-1 \leq 2$.
$1 < 2x \leq 3$.
$\frac{1}{2} < x \leq \frac{3}{2}$.
$x \in [0, 1]$ और $x \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,हमें $x \in (\frac{1}{2}, 1]$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = 1$.
अतः,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

(D) फलन $\cos^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $-1 \leq u \leq 1$ होना चाहिए।
अतः,$-1 \leq \frac{2 \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1})}{\pi} \leq 1$।
$\frac{\pi}{2}$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1}) \leq \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^{-1}(y)$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,यह असमिका $[-1, 1]$ में स्थित सभी $y$ के लिए हमेशा सत्य है।
इसलिए,हमें $-1 \leq \frac{1}{4x^2-1} \leq 1$ की आवश्यकता है।
स्थिति $1$: $\frac{1}{4x^2-1} \leq 1 \implies \frac{2-4x^2}{4x^2-1} \leq 0 \implies \frac{2(1-2x^2)}{(2x-1)(2x+1)} \geq 0$।
यह $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: $\frac{1}{4x^2-1} \geq -1 \implies \frac{4x^2}{4x^2-1} \geq 0$।
यह $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty) \cup \{0\}$ के लिए सत्य है।
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,हमें $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) \cup \{0\}$ प्राप्त होता है।

(B) $\cos^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
अतः,हमें $\left|\frac{x^{2}-4x+2}{x^{2}+3}\right| \leq 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $-1 \leq \frac{x^{2}-4x+2}{x^{2}+3} \leq 1$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^{2}+3 > 0$ है,हम $(x^{2}+3)$ से गुणा कर सकते हैं:
$-(x^{2}+3) \leq x^{2}-4x+2 \leq x^{2}+3$.
प्रथम असमिका: $-x^{2}-3 \leq x^{2}-4x+2 \implies 2x^{2}-4x+5 \geq 0$. विविक्तकर $D = (-4)^{2} - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24 < 0$ है। अग्रणी गुणांक धनात्मक होने के कारण,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $2x^{2}-4x+5 > 0$ है।
दूसरी असमिका: $x^{2}-4x+2 \leq x^{2}+3 \implies -4x \leq 1 \implies x \geq -\frac{1}{4}$.
अतः,प्रांत $[-\frac{1}{4}, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \sin^{-1}(g(x))$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क $g(x)$ को $-1 \leq g(x) \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चरण $1$: $\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+7} \geq -1$ को हल करें।
$x^{2}-3x+2 \geq -(x^{2}+2x+7)$
$2x^{2}-x+9 \geq 0$.
यहाँ विविक्तकर (discriminant) $D = (-1)^{2} - 4(2)(9) = 1 - 72 = -71 < 0$ है। चूँकि $x^{2}$ का गुणांक धनात्मक है,$2x^{2}-x+9$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
चरण $2$: $\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+7} \leq 1$ को हल करें।
$x^{2}-3x+2 \leq x^{2}+2x+7$
$-3x+2 \leq 2x+7$
$-5 \leq 5x \Rightarrow x \geq -1$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in [-1, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \sec^{-1}\left(\frac{2x}{5x+3}\right)$ तब परिभाषित होता है जब $\left|\frac{2x}{5x+3}\right| \geq 1$ और $5x+3 \neq 0$ हो।
इसका अर्थ है $\left|\frac{2x}{5x+3}\right| \geq 1$,जिसका मतलब है $(2x)^2 \geq (5x+3)^2$.
$(2x)^2 - (5x+3)^2 \geq 0$
$(2x - 5x - 3)(2x + 5x + 3) \geq 0$
$(-3x - 3)(7x + 3) \geq 0$
$-(3x + 3)(7x + 3) \geq 0 \Rightarrow (x + 1)(7x + 3) \leq 0$.
इस असमिका का हल $x \in [-1, -3/7]$ है।
इसके अतिरिक्त,हर $5x+3 \neq 0$ होने के कारण $x \neq -3/5$ है।
अतः,प्रांत $[-1, -3/5) \cup (-3/5, -3/7]$ है।
इसकी तुलना $[\alpha, \beta) \cup (\gamma, \delta]$ से करने पर,$\alpha = -1, \beta = -3/5, \gamma = -3/5, \delta = -3/7$ प्राप्त होता है।
अब,$|3\alpha + 10(\beta + \gamma) + 21\delta| = |3(-1) + 10(-3/5 - 3/5) + 21(-3/7)|$ की गणना करने पर।
$= |-3 + 10(-6/5) + 3(-3)| = |-3 - 12 - 9| = |-24| = 24$.

(B) माना $u = \frac{x^2}{x^2+1}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $x^2+1 \ge 1$,अतः $0 \le \frac{x^2}{x^2+1} < 1$.
इस प्रकार,$u$ का परिसर $[0, 1)$ है।
अब,$f(x) = 4 \sin^{-1}(u)$.
चूंकि $u \in [0, 1)$,इसलिए $\sin^{-1}(u) \in [\sin^{-1}(0), \sin^{-1}(1)) = [0, \frac{\pi}{2})$.
$4$ से गुणा करने पर,$f(x) \in [4 \times 0, 4 \times \frac{\pi}{2}) = [0, 2\pi)$.
अतः,$f(x)$ का परिसर $[0, 2\pi)$ है।

(D) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{2x+3}\right)$ के प्रांत के लिए,$\sin^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. हर की शर्त: $2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$.
$2$. असमिका की शर्त: $\left|\frac{x-1}{2x+3}\right| \leq 1$.
चूंकि $2x+3 \neq 0$,इसलिए $|x-1| \leq |2x+3|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-1)^2 \leq (2x+3)^2$.
$x^2 - 2x + 1 \leq 4x^2 + 12x + 9$.
$3x^2 + 14x + 8 \geq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(3x + 2)(x + 4) \geq 0$.
यह असमिका $x \in (-\infty, -4] \cup [-\frac{2}{3}, \infty)$ के लिए सत्य है।
$3$. $x \neq -\frac{3}{2}$ की शर्त के साथ मिलाने पर:
प्रांत $(-\infty, -4] \cup [-\frac{2}{3}, \infty) \setminus \{-\frac{3}{2}\}$ है।
हालाँकि,प्रश्न के अनुसार प्रांत $R - (\alpha, \beta)$ है,जिसका अर्थ है कि अपवर्जित क्षेत्र एक विवृत अंतराल है। पूरक समुच्चय को देखने पर,अपवर्जित मान $(-4, -\frac{2}{3})$ हैं।
अतः,$\alpha = -4$ और $\beta = -\frac{2}{3}$.
$4$. $12\alpha\beta$ की गणना:
$12 \times (-4) \times (-\frac{2}{3}) = 12 \times \frac{8}{3} = 4 \times 8 = 32$.

(B) फलन $f(x) = \sec^{-1}(u)$ का प्रांत $|u| \geq 1$ होता है,जिसका अर्थ है $u \leq -1$ या $u \geq 1$.
यहाँ,$u = 2[x] + 1$.
अतः,$2[x] + 1 \leq -1$ या $2[x] + 1 \geq 1$.
स्थिति $1$: $2[x] + 1 \leq -1 \Rightarrow 2[x] \leq -2 \Rightarrow [x] \leq -1$. इसका अर्थ है $x < 0$.
स्थिति $2$: $2[x] + 1 \geq 1 \Rightarrow 2[x] \geq 0 \Rightarrow [x] \geq 0$. इसका अर्थ है $x \geq 0$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$x \in (-\infty, 0) \cup [0, \infty) = (-\infty, \infty)$.

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\sin^{-1}(2x) + \frac{\pi}{6}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए:
$\sin^{-1}(2x) + \frac{\pi}{6} \geq 0$
$\sin^{-1}(2x) \geq -\frac{\pi}{6}$
साथ ही,$\sin^{-1}(\theta)$ का प्रांत $[-1, 1]$ है,इसलिए $-1 \leq 2x \leq 1$,जिसका अर्थ है $-0.5 \leq x \leq 0.5$।
$\sin^{-1}(2x)$ का परिसर (range) $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{\pi}{6} \leq \sin^{-1}(2x) \leq \frac{\pi}{2}$।
सभी पदों का ज्या (sine) लेने पर:
$\sin(-\frac{\pi}{6}) \leq 2x \leq \sin(\frac{\pi}{2})$
$-\frac{1}{2} \leq 2x \leq 1$
$2$ से भाग देने पर:
$-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2}$
अतः,प्रांत $\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$ है।

(B) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए और $\sin^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$1$. हर के लिए: $9 - x^2 > 0$ $\Rightarrow x^2 < 9$ $\Rightarrow -3 < x < 3 \dots (i)$.
$2$. अंश के लिए: $-1 \leq x - 3 \leq 1 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4 \dots (ii)$.
$3$. $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $2 \leq x < 3$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $[2, 3)$ है।

(C) $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ परिभाषित है यदि $-1 \leq \frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ हो।
चूंकि $|x|+5 > 0$ और $x^2+1 > 0$,इसलिए बायीं ओर की असमिका $\frac{|x|+5}{x^2+1} \geq -1$ हमेशा सत्य है।
हमें केवल $\frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ को हल करने की आवश्यकता है।
$|x|+5 \leq x^2+1$
$x^2 - |x| - 4 \geq 0$.
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $t^2 - t - 4 \geq 0$।
$t^2 - t - 4 = 0$ के मूल $t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
चूंकि $t \geq 0$,इसलिए $t \geq \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$।
अतः,$|x| \geq \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$,जिसका अर्थ है $x \in \left(-\infty, -\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right)$।
इसकी तुलना $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ से करने पर,$a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $y = \tan^{-1} x$ प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलन को दर्शाता है।
परिभाषा के अनुसार,प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन की मुख्य मान शाखा को अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$y = \tan^{-1} x$ का परिसर $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ है।

(D) प्रति-कोसाइन फलन (inverse cosine function) की मुख्य मान शाखा,जिसे $\cos^{-1} x$ द्वारा दर्शाया जाता है,अंतराल $[0, \pi]$ के रूप में परिभाषित है।
इसलिए,यदि $\cos^{-1} x = y$ है,तो $y$ का परिसर $0 \leq y \leq \pi$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) फलन $f(x) = \sin^{-1}(x)$,साइन फलन $f(x) = \sin(x)$ का प्रतिलोम फलन है।
साइन फलन के लिए,इसका परिसर $[-1, 1]$ होता है।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा के अनुसार,प्रतिलोम फलन का प्रांत मूल फलन के परिसर के बराबर होता है।
इसलिए,$\sin^{-1}(x)$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है।
चूंकि $\cos^{-1} x$ अंतराल $[0, \pi]$ के सभी मान लेता है,इसलिए निरपेक्ष मान $\left|\cos^{-1} x\right|$ भी अंतराल $[0, \pi]$ के सभी मान लेगा क्योंकि $[0, \pi]$ में सभी मान गैर-ऋणात्मक हैं।
अतः,$\left|\cos^{-1} x\right|$ का परिसर $[0, \pi]$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत (domain) $x \in [-1, 1]$ है।
यहाँ,तर्क (argument) $\frac{\pi}{3}$ है।
चूँकि $\pi \approx 3.14159$,इसलिए $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ है।
चूँकि $1.047 > 1$,इसलिए $\frac{\pi}{3}$ का मान प्रांत $[-1, 1]$ के बाहर है।
अतः,$\sin ^{-1} \left(\frac{\pi}{3}\right)$ और $\cos ^{-1} \left(\frac{\pi}{3}\right)$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित नहीं हैं।
इस प्रकार,व्यंजक $\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\pi}{3}+\cos ^{-1} \frac{\pi}{3}\right)$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) फलन $f(x) = \sec^{-1} x$,सेकेंट फलन का प्रतिलोम है जिसे $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ पर प्रतिबंधित किया गया है।
परिभाषा के अनुसार,$\sec^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ अंतराल है,जिसमें से $\frac{\pi}{2}$ को हटा दिया जाता है,क्योंकि $\sec x$ का मान $\frac{\pi}{2}$ पर अपरिभाषित होता है।
अतः,इसका परिसर $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sin^{-1}\left[\log_{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right]$ है।
फलन $\sin^{-1}(u)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $u$ को $-1 \leq u \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,हमें $-1 \leq \log_{2}\left(\frac{x}{2}\right) \leq 1$ प्राप्त होता है।
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,यह असमिका $2^{-1} \leq \frac{x}{2} \leq 2^{1}$ के बराबर है।
इसे सरल करने पर,$\frac{1}{2} \leq \frac{x}{2} \leq 2$ प्राप्त होता है।
पूरी असमिका को $2$ से गुणा करने पर,हमें $1 \leq x \leq 4$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का प्रांत $x \in [1, 4]$ है।

(D) फलन $f(x) = \cos^{-1}[x]$ के रूप में परिभाषित है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
अतः,$\cos^{-1}[x]$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \leq [x] \leq 1$ होना चाहिए।
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,$[x]$ के संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।
यदि $[x] = -1$,तो $-1 \leq x < 0$ होगा।
यदि $[x] = 0$,तो $0 \leq x < 1$ होगा।
यदि $[x] = 1$,तो $1 \leq x < 2$ होगा।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $-1 \leq x < 2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $x \in [-1, 2)$ है।

(A) हमारे पास फलन $f(x) = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$ है।
फलन $\cos^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क $u$ को $u \in [-1, 1]$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि $\sqrt{x-1}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए शर्त $0 \leq \sqrt{x-1} \leq 1$ हो जाती है।
असमानता का वर्ग करने पर,हमें $0 \leq x-1 \leq 1$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \leq x \leq 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[1, 2]$ है।

(C) के लिए,$\sin^{-1}(u)$ का डोमेन $u \in [-1, 1]$ है। चूंकि $\sqrt{x^2+x+1} \ge 0$,हमें $0 \le x^2+x+1 \le 1$ की आवश्यकता है।
$x^2+x+1 \ge 0$ को हल करने पर: विविक्तकर $D = 1-4 = -3 < 0$,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $x^2+x+1 > 0$ है।
$x^2+x+1 \le 1$ को हल करने पर: $x^2+x \le 0 \implies x(x+1) \le 0$,इसलिए $x \in [-1, 0]$। अतः,$A = [-1, 0]$।
$B$ के लिए,$x \in [-1, 0]$ के लिए $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1})$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
माना $f(x) = x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ ($x = -1/2$ पर) और अधिकतम मान $1$ ($x = -1$ या $x = 0$ पर) है।
अतः,$\sqrt{x^2+x+1} \in [\sqrt{3}/2, 1]$।
तब $y = \sin^{-1}(\sqrt{x^2+x+1}) \in [\sin^{-1}(\sqrt{3}/2), \sin^{-1}(1)] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
इसलिए $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
विकल्पों की जाँच करने पर: $A = [-1, 0]$ और $B = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
$A \cap B = \phi$ (रिक्त समुच्चय)।
$A \cap B^C = A \setminus B = [-1, 0] \setminus [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] = [-1, 0]$।
$A^C \cap B = B \setminus A = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] \setminus [-1, 0] = [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) माना $g(x) = 9x^2 - 12x + 22$ है।
हम इसे $g(x) = (3x - 2)^2 + 18$ के रूप में लिख सकते हैं।
जब $3x - 2 = 0$ अर्थात $x = \frac{2}{3}$ होता है,तब $g(x)$ का न्यूनतम मान $18$ प्राप्त होता है।
जैसे $x \to \pm \infty$,वैसे ही $g(x) \to \infty$ होता है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $[18, \infty)$ है।
परिणामस्वरूप,$\sqrt{g(x)}$ का परिसर $[\sqrt{18}, \infty) = [3\sqrt{2}, \infty)$ है।
अब,$\operatorname{Cos}^{-1}$ के तर्क $u = \frac{3}{\sqrt{g(x)}}$ पर विचार करें।
चूंकि $\sqrt{g(x)} \geq 3\sqrt{2}$,इसलिए $0 < \frac{3}{\sqrt{g(x)}} \leq \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$u \in (0, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ है।
चूंकि $\operatorname{Cos}^{-1}(u)$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है,इसलिए $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(u)$ का परिसर $[\operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}), \operatorname{Cos}^{-1}(0))$ होगा।
यह $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ के बराबर है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{2x - 1} + 5 \cos^{-1}\left(\frac{2x - 1}{3}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,दोनों पदों का परिभाषित होना आवश्यक है।
$\sqrt{2x - 1}$ के परिभाषित होने के लिए,$2x - 1 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq \frac{1}{2}$।
$\cos^{-1}\left(\frac{2x - 1}{3}\right)$ के परिभाषित होने के लिए,तर्क $-1 \leq \frac{2x - 1}{3} \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$3$ से गुणा करने पर,$-3 \leq 2x - 1 \leq 3$ प्राप्त होता है।
$1$ जोड़ने पर,$-2 \leq 2x \leq 4$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$-1 \leq x \leq 2$ प्राप्त होता है।
प्रांत $x \geq \frac{1}{2}$ और $-1 \leq x \leq 2$ का प्रतिच्छेदन (intersection) है।
अतः,प्रांत $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1} ( \frac{1 + x^2}{2 x} ) + \cos^{-1} ( \frac{2 x}{1 + x^2} )$.
$\sin^{-1} ( \frac{1 + x^2}{2 x} )$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $| \frac{1 + x^2}{2 x} | \leq 1$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $1 + x^2 \geq 2|x|$ है,इसलिए $| \frac{1 + x^2}{2 x} | \leq 1$ की स्थिति केवल $|x| = 1$ यानी $x = 1$ या $x = -1$ के लिए ही सत्य है।
यदि $x = 1$ है,तो $f(1) = \sin^{-1}(1) + \cos^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
यदि $x = -1$ है,तो $f(-1) = \sin^{-1}(-1) + \cos^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.
अतः,प्रांत $\{ -1, 1 \}$ है और परिसर $\{ \frac{\pi}{2} \}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए,$\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया व्यंजक $f(x) = \operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} x$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$f(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$\operatorname{Sin}^{-1} x$ और $\operatorname{Cos}^{-1} x$ का प्रांत (domain) $[-1, 1]$ है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
सीमा बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$x = -1$ के लिए,$f(-1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।
चूंकि $\operatorname{Tan}^{-1} x$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$ है।

(C) $y = \operatorname{cosec}^{-1}(x)$ का अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x| \sqrt{x^2-1}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलज को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $|x| > 1$।
हालाँकि,$y = \operatorname{cosec}^{-1}(x)$ का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}$ है।
चूंकि अवकलज $\frac{dy}{dx}$ फलन के प्रांत में सभी $x$ के लिए परिभाषित है,उन अंतिम बिंदुओं को छोड़कर जहाँ अवकलज मौजूद नहीं हो सकता है या अपरिभाषित है,इसलिए हम $y$ के लिए विवृत अंतराल पर विचार करते हैं।
अवकलज के प्रांत के अनुरूप $y$ के मान $y \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ हैं।

(C) माना $g(x) = x^2+x+1$ है। हम इसे $g(x) = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।
अतः,$\sqrt{g(x)}$ का परिसर $\left[\sqrt{\frac{3}{4}}, \infty\right) = \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$ है।
हालाँकि,$\operatorname{Sin}^{-1}(u)$ का प्रांत (domain) $u \in [-1, 1]$ होता है।
इसलिए,हमारे पास $\frac{\sqrt{3}}{2} \le \sqrt{x^2+x+1} \le 1$ होना चाहिए।
असमिका का वर्ग करने पर,हमें $\frac{3}{4} \le x^2+x+1 \le 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन $f(u) = \operatorname{Sin}^{-1}(u)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $\left[\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \operatorname{Sin}^{-1}(1)\right]$ होगा।
इसे सरल करने पर $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$ प्राप्त होता है।