Basic Concepts of ITF Questions in Hindi

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{(x + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$.
दोनों पक्षों को $x(x^2 + 1)$ से गुणा करने पर: $(x + 1)^2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 + 2x + 1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 2x + 1 = (A + B)x^2 + Cx + A$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2$ के लिए: $A + B = 1$.
$x$ के लिए: $C = 2$.
अचर पद: $A = 1$.
$A = 1$ को $A + B = 1$ में रखने पर,$1 + B = 1$,अतः $B = 0$.
इस प्रकार,$A = 1$ और $C = 2$.
हमें $\sin^{-1}\left(\frac{A}{C}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(A) माना $\sin^{-1}(e^{i\theta}) = x + iy$.
अतः,$e^{i\theta} = \sin(x + iy)$.
सर्वसमिका $\sin(x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$ का उपयोग करने पर:
$\sin x \cosh y + i \cos x \sinh y = \cos \theta + i \sin \theta$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sin x \cosh y = \cos \theta$ और $\cos x \sinh y = \sin \theta$.
अतः,$\cosh y = \frac{\cos \theta}{\sin x}$ और $\sinh y = \frac{\sin \theta}{\cos x}$.
सर्वसमिका $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 x} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 x} = 1$.
इस समीकरण को हल करने पर,$\cos^4 x = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \cos^{-1}(\sqrt{\sin \theta})$.

(B) दिया गया है कि $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sin \theta = \frac{1}{2}$,और $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूंकि $\sin \theta > 0$ और $\cos \theta < 0$ है,इसलिए कोण $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
संदर्भ कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = \frac{\pi}{6}$।
दूसरे चतुर्थांश में,$\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।
अतः,$\theta$ का मुख्य मान $\frac{5\pi}{6}$ है।

(D) दिया गया है कि ${\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{x}} \right) = \theta $.
इसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{x}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{x}\right)^2} = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}}{\frac{1}{x}} = \sqrt{x^2 - 1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना कि $\theta = \cot ^{ - 1}x$. तब,$\cot \theta = x = \frac{x}{1}$.
हम जानते हैं कि $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + x^2$.
इसलिए,$\csc \theta = \sqrt{1 + x^2}$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
अतः,$\sin (\cot ^{ - 1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = (1 + x^2)^{-1/2}$.

(A) माना $\sin^{-1} \frac{5}{13} = x$.
तब,$\sin x = \frac{5}{13}$.
चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए $\cos x = \sqrt{1 - \left( \frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
अतः,$\cos \left( \sin^{-1} \frac{5}{13} \right) = \cos x = \frac{12}{13}$.
चूँकि $\frac{12}{13}$ विकल्प $A$ में दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि प्रतिलोम कोटिस्पर्शज्या (inverse cotangent) फलन का परिसर $(0, \pi)$ होता है।
चूंकि $x > 0$ के लिए $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ होता है,इसलिए:
$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot^{-1}(\sqrt{3})$
हम जानते हैं कि $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$,इसलिए $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ होता है।
अतः,$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।

(C) माना कि $\sin^{-1}x = \theta$ है।
तब,$\sin \theta = x$ होगा।
हम जानते हैं कि $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ होता है।
चूंकि $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,इसलिए $\csc^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ होगा।
$\sin \theta = x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\csc^2 \theta = \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 + \cot^2(\sin^{-1}x) = \frac{1}{x^2}$।

(B) दिया गया समीकरण: ${\sin ^{ - 1}}\frac{1}{2} = {\tan ^{ - 1}}x$
हम जानते हैं कि ${\sin ^{ - 1}}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\pi}{6} = {\tan ^{ - 1}}x$
दोनों पक्षों का टैनजेंट (tangent) लेने पर: $x = \tan \frac{\pi}{6}$
चूंकि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है,इसलिए $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) $\tan ^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} \right)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $x = a \sin \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
तब,$\sin \theta = \frac{x}{a}$,जिसका अर्थ है $\theta = \sin ^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$।
व्यंजक में $x = a \sin \theta$ रखने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^2 - (a \sin \theta)^2}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta)}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \theta}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{a \sin \theta}{a \cos \theta} \right)$
$= \tan ^{-1} (\tan \theta) = \theta$
$\theta$ का मान वापस रखने पर,हमें $\sin ^{-1} \left( \frac{x}{a} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $\theta = \tan ^{ - 1}x$.
तब,$x = \tan \theta$.
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$.
इस व्यंजक में $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
अतः,$\cos (\tan ^{ - 1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

(B) माना कि $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1} x$ है।
तब,$\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \left[ \sec^{-1} \sqrt{1 + x^2} \right] = \tan \left[ \sec^{-1} (\sec \theta) \right]$.
चूँकि $\sec^{-1} (\sec \theta) = \theta$ होता है,इसलिए:
$\tan \theta = x$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sec(-x) = \sec(x)$.
अतः,$\sec(-30^o) = \sec(30^o)$.
अब,व्यंजक $\sec^{-1}(\sec(30^o))$ हो जाता है।
चूंकि $\sec^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ है,और $30^o$ इस अंतराल में स्थित है,
इसलिए,$\sec^{-1}(\sec(30^o)) = 30^o$.

(C) माना $\tan^{-1} 2 = \alpha \implies \tan \alpha = 2$ है।
माना $\cot^{-1} 3 = \beta \implies \cot \beta = 3$ है।
दिया गया व्यंजक $\sec^2 \alpha + \csc^2 \beta$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ और $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sec^2 \alpha + \csc^2 \beta = (1 + \tan^2 \alpha) + (1 + \cot^2 \beta)$ प्राप्त होता है।
$\tan \alpha = 2$ और $\cot \beta = 3$ के मान रखने पर:
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$।

(B) $\cos^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है।
चूंकि $\frac{7\pi}{6} > \pi$,इसलिए हम सीधे $\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$ नहीं लिख सकते।
हम गुणधर्म $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ और $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ का उपयोग करेंगे।
$\cos^{-1} \left( \cos \frac{7\pi}{6} \right) = \cos^{-1} \left( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) \right)$
$= \cos^{-1} \left( -\cos \frac{\pi}{6} \right)$
$= \pi - \cos^{-1} \left( \cos \frac{\pi}{6} \right)$
$= \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

(A) माना कि $\cos ^{ - 1}x = \theta$. तब $x = \cos \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
अतः,$\tan (\cos ^{ - 1}x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.

(B) हम जानते हैं कि ${\sin ^{ - 1}}x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[ { - \frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}} \right]$ है।
चूँकि सभी $x \in [ - 1, 1]$ के लिए ${\sin ^{ - 1}}( - x) = - {\sin ^{ - 1}}x$ होता है,इसलिए:
${\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.
हम जानते हैं कि $\sin \left( \frac{\pi }{3} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$,इसलिए ${\sin ^{ - 1}}\left( \frac{{\sqrt 3 }}{2} \right) = \frac{\pi }{3}$.
अतः,${\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - \frac{\pi }{3}$.

(D) माना कि $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{25} \right)$.
तब $\cos \theta = \frac{7}{25}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{7}{25}$,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम सम्मुख भुजा ज्ञात कर सकते हैं: $\text{सम्मुख भुजा} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.
इसलिए,$\cot \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{सम्मुख भुजा}} = \frac{7}{24}$.
अतः,$\cot \left[ \cos^{-1} \left( \frac{7}{25} \right) \right] = \frac{7}{24}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
दिया गया है कि $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$।
हम गुणधर्म $\sin x = \sin(\pi - x)$ का उपयोग करते हैं।
चूंकि $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} \le \pi - x \le \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin^{-1}(\sin x) = \sin^{-1}(\sin(\pi - x)) = \pi - x$।

(C) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\sin x) = x$ केवल तब होता है जब $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ हो।
चूंकि $10$ रेडियन $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में नहीं है,इसलिए हमें एक ऐसा कोण $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ खोजना होगा ताकि $\sin(y) = \sin(10)$ हो।
हम जानते हैं कि $\sin(x) = \sin(n\pi + (-1)^n x)$ होता है।
$n = 3$ लेने पर,$\sin(10) = \sin(3\pi - 10)$।
चूंकि $3\pi \approx 9.42$ है,इसलिए $3\pi < 10 < 3.5\pi$।
विशेष रूप से,$3\pi < 10 < 3\pi + \frac{\pi}{2}$।
सभी पक्षों से $3\pi$ घटाने पर,हमें $0 < 10 - 3\pi < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} < 3\pi - 10 < 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3\pi - 10$ मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित है,इसलिए $\sin^{-1}(\sin 10) = \sin^{-1}(\sin(3\pi - 10)) = 3\pi - 10$ होगा।

(C) माना कि $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
अतः,$\tan \theta = \frac{3}{4}$.
एक समकोण त्रिभुज में,यदि सम्मुख भुजा $3$ है और आसन्न भुजा $4$ है,तो कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ होगा।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: ${\left[ \sin \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} \right) \right]^2} = (\sin \theta)^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
दिया गया व्यंजक $\sin^{-1} \left( \sin \frac{5\pi}{3} \right)$ है।
सबसे पहले,तर्क को सरल करते हैं: $\sin \frac{5\pi}{3} = \sin \left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
अब,$\sin^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}$।
चूंकि $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए मुख्य मान $-\frac{\pi}{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}x = \sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.
मान लीजिए $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$,तो $\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
सर्वसमिका $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ का उपयोग करने पर,$\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$.
अतः,$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
अब,$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(3)$.
मूल समीकरण में यह मान रखने पर: $\tan^{-1}x = \tan^{-1}(3)$.
अतः,$x = 3$.

(A) दिया गया है $\theta = \sin^{-1}[\sin(-600^\circ)]$.
चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$,इसलिए $\theta = \sin^{-1}[-\sin(600^\circ)]$।
अब,$600^\circ$ को $360^\circ + 240^\circ$ के रूप में लिखने पर: $\sin(600^\circ) = \sin(360^\circ + 240^\circ) = \sin(240^\circ)$।
साथ ही,$\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ)$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\theta = \sin^{-1}[-(-\sin(60^\circ))] = \sin^{-1}[\sin(60^\circ)]$।
चूंकि $60^\circ$ मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित है,इसलिए $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin (\cot ^{ - 1}(x + 1)) = \cos (\tan ^{ - 1}x)$।
सबसे पहले,$\cot ^{ - 1}(x + 1)$ को $\sin ^{ - 1}$ रूप में बदलें। मान लीजिए $\theta = \cot ^{ - 1}(x + 1)$,तो $\cot \theta = x + 1$। सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot ^2 \theta}}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x + 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$।
इसके बाद,$\tan ^{ - 1}x$ को $\cos ^{ - 1}$ रूप में बदलें। मान लीजिए $\phi = \tan ^{ - 1}x$,तो $\tan \phi = x$। सर्वसमिका $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan ^2 \phi}}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + 2x + 2 = 1 + x^2$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $2x + 2 = 1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = -1$,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(90^o - \theta) = \cot(\theta)$ होता है।
$\theta = \cot^{-1} \frac{1}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \left( 90^o - \cot^{-1} \frac{1}{3} \right) = \cot \left( \cot^{-1} \frac{1}{3} \right)$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\cot(\cot^{-1} x) = x$ होता है,इसलिए:
$\cot \left( \cot^{-1} \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$,जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ है।
दिए गए व्यंजक में,मान लीजिए $\theta = \sqrt{1-x}$ है।
व्यंजक के परिभाषित होने के लिए,$0 \le 1-x \le 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \le x \le 1$।
अतः,$\cos^{-1}\sqrt{1-x} + \sin^{-1}\sqrt{1-x} = \frac{\pi}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ एक सर्वसमिका है।
दिया गया समीकरण ${\cot ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}3 = \frac{\pi }{2}$ है।
इस समीकरण की तुलना ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि मान समान होने चाहिए।
अतः,$x = 3$।

(D) हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^{-1}(\frac{1}{2}) + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} + 2(\frac{\pi}{6})$
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$
$= \frac{2\pi}{3}$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos x) = x$ जहाँ $x \in [0, \pi]$ और $\sin^{-1}(\sin x) = x$ जहाँ $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
सबसे पहले,$\cos^{-1}(\cos \frac{5\pi}{3})$ को सरल करते हैं:
$\cos \frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
चूँकि $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos^{-1}(\cos \frac{5\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
अब,$\sin^{-1}(\sin \frac{5\pi}{3})$ को सरल करते हैं:
$\sin \frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3})$.
चूँकि $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin \frac{5\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$\frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{3}) = 0$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^o$ क्योंकि $\sin(60^o) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^o$ क्योंकि $\sin(30^o) = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^o - 30^o = 30^o$।

(C) दिया गया है कि $A = \tan^{-1}x$ है।
इससे,हम लिख सकते हैं कि $x = \tan A$ है।
हम जानते हैं कि $\tan A$ के पदों में $\sin 2A$ के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है:
$\sin 2A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A}$।
इस सर्वसमिका में $x = \tan A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin 2A = \frac{2x}{1 + x^2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना कि $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ है। तब $\cos \theta = \frac{3}{5}$ होगा।
चूँकि $\cos \theta = \frac{3}{5}$ है,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ होगा।
हमें $\tan(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(2\theta) = \frac{2(4/3)}{1 - (4/3)^2} = \frac{8/3}{1 - 16/9} = \frac{8/3}{-7/9} = \frac{8}{3} \times \left(-\frac{9}{7}\right) = -\frac{24}{7}$।

(B) दिया गया समीकरण $2\cos^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \frac{\pi}{2}$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\cos^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}},$ इसलिए $\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1+x}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$1+x = 1$ प्राप्त होता है,
जिसका अर्थ है कि $x = 0$।

(A) माना कि $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)$.
तब $2\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)$,जिसका अर्थ है $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
सूत्र $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
तिर्यक गुणा करने पर $3 - 3 \tan^2 \theta = \sqrt{5} + \sqrt{5} \tan^2 \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(3 + \sqrt{5}) \tan^2 \theta = 3 - \sqrt{5}$.
$\tan^2 \theta = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\tan^2 \theta = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{9 - 5} = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{4}$.
वर्गमूल लेने पर: $\tan \theta = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

(A) माना कि $\cos^{-1} \frac{4}{5} = x$,जिसका अर्थ है $\cos x = \frac{4}{5}$।
हमें $\sin \left( \frac{x}{2} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos x = 1 - 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{4}{5} = 1 - 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$
$2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{10}$
चूंकि $\cos^{-1} \frac{4}{5}$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\frac{x}{2}$ भी प्रथम चतुर्थांश में होगा,अतः $\sin \left( \frac{x}{2} \right)$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।

(D) ${\sin^{-1}}(x)$ का मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{2\pi}{3}$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करते हैं।
हम जानते हैं कि $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$.
अतः,$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
अब,${\sin^{-1}}[\sin(\frac{2\pi}{3})] = {\sin^{-1}}[\sin(\frac{\pi}{3})]$.
चूंकि $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए मान $\frac{\pi}{3}$ है।

(C) हम जानते हैं कि सर्वसमिका ${\sin ^{ - 1}} \theta + {\cos ^{ - 1}} \theta = \frac{\pi }{2}$ सभी $\theta \in [-1, 1]$ के लिए मान्य है।
दिए गए व्यंजक में,$\theta = \sqrt x$ है।
इसलिए,शर्त $-1 \le \sqrt x \le 1$ हो जाती है।
चूंकि $\sqrt x$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $0 \le \sqrt x \le 1$ प्राप्त होता है।
सभी पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $0^2 \le x \le 1^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $0 \le x \le 1$ हो जाता है।
अतः,वह अंतराल जिसके लिए समीकरण सत्य है,$x \in [0, 1]$ है।

(B) दिया गया है कि $x > 0$ के लिए $f(x) = 1$ है। चूँकि $x = \frac{5\pi}{4} > 0$,इसलिए $f(x) = 1$ होगा।
अतः,$y = \cos^{-1}(\cos(|x| - 1))$.
चूँकि $x = \frac{5\pi}{4} > 0$,इसलिए $|x| = x$,यानी $y = \cos^{-1}(\cos(x - 1))$.
$x = \frac{5\pi}{4}$ के लिए,$x - 1 = \frac{5\pi}{4} - 1 \approx 3.927 - 1 = 2.927$.
चूँकि $0 \le 2.927 \le \pi$ (जहाँ $\pi \approx 3.14159$),इसलिए व्यंजक का सरलीकरण $y = x - 1$ होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1$.
$x = \frac{5\pi}{4}$ पर मान रखने पर,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = \frac{5\pi}{4}} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} x$.
चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $0 < \tan \theta < 1$,जिसका अर्थ है $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,और इस प्रकार $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1} (\sin 2\theta) = 2\theta$.
अब $\theta = \tan^{-1} x$ रखने पर,हमें $y = 2 \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2}{1 + x^2}$.

(B) दिया गया समीकरण $x + \frac{1}{x} = 2$ है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 1 = 2x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^2 - 2x + 1 = 0$ मिलता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(x - 1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1$।
हमें $\sin^{-1} x$ का मुख्य मान ज्ञात करना है।
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin^{-1}(1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(\pi / 2) = 1$,इसलिए मुख्य मान $\pi / 2$ है।

(A) माना $\theta = \sin^{-1}(0.8)$. तब $\sin \theta = 0.8 = \frac{4}{5}$.
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर।
चूँकि $\sin \theta = \frac{4}{5}$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
अतः,$\sin(2\theta) = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25} = 0.96$.

(B) फलन $f(x) = \sin^{-1}(\sin x)$ एक $2\pi$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है।
इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x - 2k\pi, & 2k\pi - \frac{\pi}{2} \le x \le 2k\pi + \frac{\pi}{2} \\ (2k+1)\pi - x, & 2k\pi + \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi + \frac{3\pi}{2} \end{cases}$
जहाँ $k \in I$ है।
चूंकि $\sin^{-1}(\sin x)$ सभी $x \in R$ के लिए एक सतत फलन है,इसलिए यह हर जगह सतत है।
हालाँकि,फलन उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ ढाल अचानक बदल जाती है,जो कि $x = (2k + 1)\frac{\pi}{2}$ बिंदु हैं,जहाँ $k \in I$ है।
अतः,फलन सभी $x$ के लिए सतत है लेकिन $x = (2k + 1)\frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) हम जानते हैं कि $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.
अतः,$l = \sec^{-1}(1) = 0$.
इसी प्रकार,$\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$.
अतः,$m = \sec^{-1}(1) = 0$.
चूंकि दोनों सीमाएं मौजूद हैं और $0$ के बराबर हैं,इसलिए $l$ और $m$ दोनों का अस्तित्व है।

(B) $|\sin^{-1}x| = |x|$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = |\sin^{-1}x|$ और $g(x) = |x|$ के आलेखों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. $\sin^{-1}x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
$2$. $x = 0$ पर,$|\sin^{-1}0| = 0$ और $|0| = 0$ दोनों समान हैं। अतः,$x = 0$ एक हल है।
$3$. $x \in (0, 1]$ के लिए,हम जानते हैं कि $\sin^{-1}x > x$ होता है। चूँकि दोनों पक्ष धनात्मक हैं,$|\sin^{-1}x| = \sin^{-1}x$ और $|x| = x$ होगा। इस प्रकार,$x > 0$ के लिए $\sin^{-1}x = x$ का कोई हल नहीं है क्योंकि सभी $x \in (0, 1]$ के लिए $\sin^{-1}x$ का मान $x$ से अधिक होता है।
$4$. $x \in [-1, 0)$ के लिए,$|\sin^{-1}x| = |-\sin^{-1}(-x)| = |\sin^{-1}(-x)|$ होता है। चूँकि $-x > 0$,इसलिए $\sin^{-1}(-x) > -x$,जिसका अर्थ है कि $|\sin^{-1}x| > |x|$।
$5$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु केवल मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
$6$. हलों की कुल संख्या $1$ है।

(D) सही क्रम निर्धारित करने के लिए,हम व्युत्क्रम सेकेंट (inverse secant) फलन के मानों का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $\sec^{-1}(1) = 0$
$2$. $\sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$
$3$. $\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$
$4$. $\sec^{-1}(-1) = \pi \approx 3.141$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $0 < 1.047 < 2.094 < 3.141$ प्राप्त होता है।
अतः,सही क्रम $\sec^{-1}(1) < \sec^{-1}(2) < \sec^{-1}(-2) < \sec^{-1}(-1)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{2k+1} (\sin^{-1} x)^{2k+1} - \cot^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left( \alpha_1 + 3\alpha_3 (\sin^{-1} x)^2 + \dots + (2n+1)\alpha_{2n+1} (\sin^{-1} x)^{2n} \right) + \frac{1}{1+x^2}$.
चूँकि $\alpha_i > 0$ है और पद $(\sin^{-1} x)^{2k}$ ऋणेतर हैं,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,जिसका अर्थ है कि यह एकैकी (one-one) है।
प्रांत $[-1, 1]$ है,इसलिए परिसर $[f(-1), f(1)]$ है।
$f(-1) = \alpha_1(-\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(-\pi/2)^{2n+1} - (3\pi/4)$ और $f(1) = \alpha_1(\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(\pi/2)^{2n+1} - (\pi/4)$.
चूँकि परिसर $[f(-1), f(1)]$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ का उपसमुच्चय है लेकिन $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन अंतःक्षेपी (into) है।
अतः,$f(x)$ एकैकी और अंतःक्षेपी है।

(B) माना $t = x^2$ है। चूँकि $x \in R - \{0\}$,इसलिए $t > 0$ है।
$\cos^{-1}(t + \frac{1}{t} - 1)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \leq t + \frac{1}{t} - 1 \leq 1$ होना चाहिए।
चूँकि $t > 0$ के लिए $t + \frac{1}{t} \geq 2$ होता है,इसलिए $t + \frac{1}{t} - 1 \geq 1$ होगा।
अतः,एकमात्र संभव मान $t + \frac{1}{t} - 1 = 1$ है,जिसका अर्थ है $t + \frac{1}{t} = 2$।
यह केवल $t = 1$ पर संभव है,अर्थात $x^2 = 1$।
अब $x^2 = 1$ को व्यंजक में रखने पर:
$\cos^{-1}(1 + 1 - 1) + \sin^{-1}(1 - 1) + \tan^{-1}(1)$
$= \cos^{-1}(1) + \sin^{-1}(0) + \tan^{-1}(1)$
$= 0 + 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$
माना $\cos^{-1} x = \theta$,तो $x = \cos \theta$। चूँकि $\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $x \in [-1, 1]$ होना चाहिए।
साथ ही,$\sin^{-1} 2x$ को परिभाषित होने के लिए $2x \in [-1, 1]$,अर्थात $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $x \ge 0$ के लिए $\cos^{-1} x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$ होता है।
अतः,$\sin^{-1} 2x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$
$\Rightarrow 2x = \sqrt{1-x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4x^2 = 1 - x^2$
$\Rightarrow 5x^2 = 1$
$\Rightarrow x^2 = \frac{1}{5}$
$\Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$
हलों की जाँच करने पर:
यदि $x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ लेते हैं,तो $\sin^{-1}(2(-\frac{1}{\sqrt{5}})) = \sin^{-1}(-\frac{2}{\sqrt{5}})$,जो ऋणात्मक है। लेकिन $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{5}})$ दूसरे चतुर्थांश में है (धनात्मक)। अतः,$x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ हल नहीं है।
यदि $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ लेते हैं,तो $\sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}})$,जो सत्य है।
अतः,एकमात्र हल $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।

(B) माना $y = \cot^{-1}x$ है। असमिका $y^2 - 5y + 6 > 0$ हो जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(y - 3)(y - 2) > 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $y < 2$ या $y > 3$ हो।
$y = \cot^{-1}x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cot^{-1}x < 2$ या $\cot^{-1}x > 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन $\cot^{-1}x$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है,इसलिए दोनों पक्षों में कोटिस्पर्शज्या (cotangent) फलन लागू करने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा।
$\cot^{-1}x < 2$ के लिए,हमें $x > \cot 2$ प्राप्त होता है।
$\cot^{-1}x > 3$ के लिए,हमें $x < \cot 3$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हल समुच्चय $x \in (-\infty, \cot 3) \cup (\cot 2, \infty)$ है।