Properties of ITF Questions in Hindi

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \cot^{-1}(r^2 + r + 1)$ है।
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{1}{x} \right)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{1}{r^2 + r + 1} \right)$।
हर को $1 + r(r+1)$ के रूप में लिखने पर,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{(r+1) - r}{1 + r(r+1)} \right)$।
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ सूत्र का उपयोग करने पर,$T_r = \tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1}(r)$।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} (\tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1}(r))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} 1$।
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y$ के सूत्र के अनुसार,$S_n = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right)$।
चूंकि $\tan^{-1} x = \cot^{-1} \left( \frac{1}{x} \right)$,इसलिए $S_n = \cot^{-1} \left( \frac{n+2}{n} \right)$।
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(B) माना $x = \tan \theta$,तब $\theta = \tan^{-1} x$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right)$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1} \left( \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right)$
$= \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$ और $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sin (\pi /2 - x)}}{{1 + \cos (\pi /2 - x)}}} \right]$
$= {\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{2\sin (\pi /4 - x/2)\cos (\pi /4 - x/2)}}{{2\cos^2 (\pi /4 - x/2)}}} \right]$
$= {\tan ^{ - 1}}\left[ {\tan (\pi /4 - x/2)} \right]$
$= \frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}$.

(C) माना $x = \csc \theta$,जहाँ $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
अतः $\theta = \csc^{-1} x$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{\cot^2 \theta}} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{1}{|\cot \theta|} \right)$.
माना $x > 1$,तो $\theta$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2}]$ में है,इसलिए $\cot \theta > 0$.
$= \tan^{-1} (\tan \theta) = \theta = \csc^{-1} x$.

(B) माना कि $x = \sin \theta$ और $\sqrt{x} = \sin \phi$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}(x)$ और $\phi = \sin^{-1}(\sqrt{x})$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
${\sin ^{ - 1}}(x\sqrt {1 - x} - \sqrt x \,\sqrt {1 - {x^2}} )$
$= {\sin ^{ - 1}}(\sin \theta \sqrt {1 - {{\sin }^2}\phi } - \sin \phi \sqrt {1 - {{\sin }^2}\theta } )$
$= {\sin ^{ - 1}}(\sin \theta \cos \phi - \sin \phi \cos \theta )$
$= {\sin ^{ - 1}}(\sin (\theta - \phi ))$
$= \theta - \phi$
$= {\sin ^{ - 1}}(x) - {\sin ^{ - 1}}(\sqrt x )$.

(C) दिया गया है: ${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x$
माना $x = \tan \theta$,तो $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$.
समीकरण में $x = \tan \theta$ रखने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right) = \frac{1}{2}\theta$
सूत्र $\tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4}\tan \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right) = \frac{\theta}{2}$
$\frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\theta}{2}$
$\frac{\pi}{4} = \theta + \frac{\theta}{2} = \frac{3\theta}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$
चूंकि $x = \tan \theta$,इसलिए $x = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) माना $\cos^{-1}x = \theta$,जहाँ $x \in [-1, 1]$.
तब $x = \cos \theta$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = x$.
हमें $\sin(\cot^{-1}(\tan \theta))$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(\cot^{-1}(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}))$.
माना $\cot^{-1}(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}) = \phi$.
तब $\cot \phi = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
सर्वसमिका $\csc^2 \phi = 1 + \cot^2 \phi = 1 + \frac{1 - x^2}{x^2} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{x^2} = \frac{1}{x^2}$ का उपयोग करने पर.
अतः,$\csc \phi = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $\sin \phi = x$.
इसलिए,अभीष्ट मान $x$ है।

(C) माना $y = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{x+a}}$.
$x = a \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \sqrt{\frac{x}{a}}$ या $\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$.
तब,$\sqrt{\frac{x}{x+a}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a \tan^2 \theta + a}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1 + \tan^2 \theta)}} = \sqrt{\frac{\tan^2 \theta}{\sec^2 \theta}} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$.
अतः,$y = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$.
मान वापस रखने पर,$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \left( \sin^{-1} \frac{1}{5} + \cos^{-1} x \right) = 1$.
दोनों पक्षों में $\sin^{-1}$ लेने पर: $\sin^{-1} \frac{1}{5} + \cos^{-1} x = \sin^{-1}(1)$.
चूँकि $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$,समीकरण होगा: $\sin^{-1} \frac{1}{5} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इस सर्वसमिका से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^{-1} \frac{1}{5} = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$.
चूँकि $\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x = \sin^{-1} x$,इसलिए $\sin^{-1} \frac{1}{5} = \sin^{-1} x$.
अतः,$x = \frac{1}{5}$.

(B) दिया गया है कि $\sin^{-1} x = \theta + \beta$ और $\sin^{-1} y = \theta - \beta$ है।
अतः,$x = \sin(\theta + \beta)$ और $y = \sin(\theta - \beta)$ है।
अब,$1 + xy = 1 + \sin(\theta + \beta) \sin(\theta - \beta)$ है।
सर्वसमिका $\sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$1 + xy = 1 + \sin^2 \theta - \sin^2 \beta$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$ होता है,इसलिए:
$1 + xy = \sin^2 \theta + \cos^2 \beta$।

(C) हम सूत्र $\sin^{-1} a + \sin^{-1} b = \sin^{-1} \left( a \sqrt{1 - b^2} + b \sqrt{1 - a^2} \right)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{2}{3} = \sin^{-1} x$।
$a = \frac{1}{3}$ और $b = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$\sin^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} + \frac{2}{3} \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \sqrt{1 - \frac{4}{9}} + \frac{2}{3} \sqrt{1 - \frac{1}{9}} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \sqrt{\frac{5}{9}} + \frac{2}{3} \sqrt{\frac{8}{9}} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{9} \right)$।
अतः,$x = \frac{\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{9}$।

(D) हम जानते हैं कि ${\cos ^{ - 1}}x$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ है।
दिया गया अंतराल $\pi \le x \le 2\pi$ है,जो मुख्य सीमा से बाहर है।
हम गुणधर्म $\cos(2\pi - x) = \cos x$ का उपयोग करते हैं।
चूंकि $\pi \le x \le 2\pi$,इसलिए $-2\pi \le -x \le -\pi$ है।
सभी पक्षों में $2\pi$ जोड़ने पर,हमें $0 \le 2\pi - x \le \pi$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2\pi - x$ मुख्य सीमा $[0, \pi]$ के भीतर स्थित है,हम लिख सकते हैं:
${\cos ^{ - 1}}(\cos x) = {\cos ^{ - 1}}(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$.

(B) माना $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
गुणधर्म $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$f(x) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x)$.
दिए गए अंतराल $0 \le x \le 1$ के लिए,हम जानते हैं कि $0 \le \tan^{-1}(x) \le \frac{\pi}{4}$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{\pi}{4} \le -\tan^{-1}(x) \le 0$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $\frac{\pi}{4}$ जोड़ने पर,हमें $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x) \le \frac{\pi}{4} - 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$0 \le f(x) \le \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,न्यूनतम मान $0$ है और अधिकतम मान $\frac{\pi}{4}$ है।

(B) माना $\sin^{-1} x = y$ है। तब $x = \sin y$ होगा।
चूँकि $x$ गैर-धनात्मक और स्वीकार्य है,इसलिए $-1 \le x \le 0$ है।
इसका अर्थ है कि $-\frac{\pi}{2} \le \sin^{-1} x \le 0$,अतः $-\frac{\pi}{2} \le y \le 0$ है।
हम जानते हैं कि $y \in [0, \pi]$ के लिए $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ होता है।
चूँकि $y \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$ है,इसलिए $-y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ होगा।
अतः,$\cos(-y) = \sqrt{1 - x^2}$ है।
चूँकि $\cos(-y) = \cos y$ होता है,इसलिए $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों पर $[0, \frac{\pi}{2}]$ सीमा के लिए प्रतिलोम कोसाइन लेने पर,हमें $-y = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$y = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ है।
अतः,$\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ है।

(A) माना $\theta = \text{cosec}^{-1}x$. तब $\text{cosec}\theta = x$,जहाँ $|x| \ge 1$ और $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
हमें $\sec(\text{cosec}^{-1}x) = \sec\theta$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\text{cosec}\theta = x$,इसलिए $\sin\theta = \frac{1}{x}$ है।
सर्वसमिका $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ का उपयोग करने पर,$\cos\theta = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
अब,$\text{cosec}(\sec^{-1}x)$ पर विचार करें। माना $\phi = \sec^{-1}x$. तब $\sec\phi = x$,अर्थात $\cos\phi = \frac{1}{x}$ है।
तब $\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}$ होगा।
इस प्रकार,$\text{cosec}\phi = \frac{1}{\sin\phi} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
चूंकि दोनों व्यंजक $\frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$ के बराबर हैं,इसलिए $\sec(\text{cosec}^{-1}x) = \text{cosec}(\sec^{-1}x)$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1} x = 2\tan^{-1} x$
हम जानते हैं कि $|x| \le 1$ के लिए $2\tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$
दोनों पक्षों का $\sin$ लेने पर:
$x = \frac{2x}{1+x^2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x(1+x^2) = 2x$
$x + x^3 = 2x$
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x-1)(x+1) = 0$
अतः,हल $x = 0, 1, -1$ प्राप्त होते हैं।
प्रांत की जाँच करने पर: इन सभी मानों के लिए $|x| \le 1$ है,इसलिए ये वैध हल हैं।
अतः हल समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ है।

(C) हम जानते हैं कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म के अनुसार $\tan^{-1}(\tan x) = x$ होता है यदि $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ हो।
यहाँ $2$ रेडियन लगभग $114.6^\circ$ है,जो मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$ के बाहर है।
माना $\theta = \tan^{-1}(\tan 2)$,तो $\tan \theta = \tan 2$ होगा।
अतः $\theta = 2 - \pi$ (क्योंकि $2$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\tan 2 = \tan(2 - \pi)$ और $2 - \pi \approx -1.14$ जो $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ की सीमा में है)।
इसलिए,$\cos(\tan^{-1}(\tan 2)) = \cos(2 - \pi)$ होगा।
सर्वसमिका $\cos(\theta - \pi) = \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos(2 - \pi) = \cos(2)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $\cos 2$ है।

(B) दिया गया है कि $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y + \sin^{-1} z = \frac{\pi}{2}$।
मान लीजिए $\sin^{-1} x = \alpha$,$\sin^{-1} y = \beta$,और $\sin^{-1} z = \gamma$ है।
अतः $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma$।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \gamma)$।
सर्वसमिका $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin \gamma$ का उपयोग करने पर:
$\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \sin \gamma$।
चूँकि $\sin \alpha = x$,$\sin \beta = y$,और $\sin \gamma = z$ है,इसलिए $\cos \alpha = \sqrt{1 - x^2}$ और $\cos \beta = \sqrt{1 - y^2}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - y^2} - xy = z$।
अतः $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - y^2} = xy + z$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - x^2)(1 - y^2) = (xy + z)^2$।
$1 - x^2 - y^2 + x^2 y^2 = x^2 y^2 + 2xyz + z^2$।
$1 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz$।

(C) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x) = \cos^{-1}(x)$.
$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin \left[ \cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]$
चूंकि $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$,इसलिए:
$\cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \pi - \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
अब,$\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$.

(D) माना $\tan^{-1}x = \theta$,तो $\tan \theta = x$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(\tan^{-1}x) = \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होता है।
अब,व्यंजक $\sin[\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})]$ हो जाता है।
माना $\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}) = \phi$,तो $\cot \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ है।
इसका अर्थ है कि $\tan \phi = \sqrt{1+x^2}$ है।
सर्वसमिका $\sin \phi = \frac{\tan \phi}{\sqrt{1+\tan^2 \phi}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin \phi = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+(1+x^2)}} = \sqrt{\frac{1+x^2}{2+x^2}}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $x = \cos ^{ - 1}\frac{4}{5}$. तब $\cos x = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\cos x = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5}$,तो लंब $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ होगा।
अतः,$\tan x = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $x = \tan ^{ - 1}\frac{3}{4}$.
अब,व्यंजक $\tan ^{ - 1}\frac{3}{4} + \tan ^{ - 1}\frac{3}{5}$ हो जाता है।
सूत्र $\tan ^{ - 1}A + \tan ^{ - 1}B = \tan ^{ - 1}\left( \frac{A + B}{1 - AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{ - 1}\left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{3}{5}} \right)$
$= \tan ^{ - 1}\left( \frac{\frac{15 + 12}{20}}{1 - \frac{9}{20}} \right)$
$= \tan ^{ - 1}\left( \frac{\frac{27}{20}}{\frac{11}{20}} \right)$
$= \tan ^{ - 1}\frac{27}{11}$.

(A) हम जानते हैं कि $y \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\sin^{-1}x + \sin^{-1}\frac{1}{x} + \cos^{-1}x + \cos^{-1}\frac{1}{x}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= (\sin^{-1}x + \cos^{-1}x) + (\sin^{-1}\frac{1}{x} + \cos^{-1}\frac{1}{x})$।
सर्वसमिका $\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम $|x| < 1$ के लिए सूत्र $2\tan ^{-1}x = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
$2\tan ^{-1}\frac{1}{3}$ पर इसे लागू करने पर:
$2\tan ^{-1}\frac{1}{3} = \tan ^{-1}\left(\frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
अब,व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ हो जाता है।
सूत्र $\tan ^{-1}x + \tan ^{-1}y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/2}{1 - (3/4)(1/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5/4}{1 - 3/8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5/4}{5/8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5}{4} \times \frac{8}{5}\right) = \tan ^{-1}(2)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना कि $\theta = \cos^{-1} \frac{4}{5}$. तब $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - (16/25)}}{4/5} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\tan \left[ \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} \right]$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17}{6} \right) \right] = \frac{17}{6}$.

(D) जब $xy > 1$ हो,तब ${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}y$ के सूत्र का उपयोग करते हैं:
${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}y = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$.
सबसे पहले,${\tan ^{ - 1}}2 + {\tan ^{ - 1}}3$ की गणना करें:
चूंकि $2 \times 3 = 6 > 1$,इसलिए:
${\tan ^{ - 1}}2 + {\tan ^{ - 1}}3 = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2 + 3}}{{1 - 2 \times 3}}} \right) = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{{1 - 6}}} \right) = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{{ - 5}}} \right) = \pi + {\tan ^{ - 1}}( - 1) = \pi - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4}$.
अब,${\tan ^{ - 1}}1$ जोड़ें:
${\tan ^{ - 1}}1 + (\frac{{3\pi }}{4}) = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{4\pi }}{4} = \pi$.
अतः,$\pi$ विकल्पों $A, B, C$ में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) माना $\cot^{-1} \frac{3}{4} = \theta$,तो $\cot \theta = \frac{3}{4}$।
चूँकि $\cot \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}} = \frac{3}{4}$,कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{4}{5}$,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} \frac{4}{5}$।
अब,व्यंजक $\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13}$ हो जाता है।
सूत्र $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$= \sin^{-1} \left( \frac{4}{5} \sqrt{1 - \left( \frac{5}{13} \right)^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{48}{65} + \frac{15}{65} \right)$
$= \sin^{-1} \frac{63}{65}$।

(D) दिया गया है कि $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y + \cos^{-1} z = \pi$.
$\Rightarrow \cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \pi - \cos^{-1} z$.
सर्वसमिका $\pi - \cos^{-1} z = \cos^{-1}(-z)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}(-z)$.
सूत्र $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos^{-1}(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}) = \cos^{-1}(-z)$.
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:
$xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -z$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$xy + z = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy + z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$.
$x^2y^2 + z^2 + 2xyz = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2$.
$x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1$.
वैकल्पिक रूप से,मान लीजिए $x = y = z = \frac{1}{2}$. तब $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$. इन मानों को विकल्प $(d)$ में रखने पर: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) हमें समीकरण दिया गया है: ${\tan ^{ - 1}}x - {\tan ^{ - 1}}y = {\tan ^{ - 1}}A$।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse tangent) के अंतर के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}x - {\tan ^{ - 1}}y = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$।
इसे दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x - y}{1 + xy} \right) = {\tan ^{ - 1}}A$।
अतः,दोनों पक्षों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:
$A = \frac{x - y}{1 + xy}$।

(D) दिया गया है कि $\tan ^{-1}x + \tan ^{-1}y + \tan ^{-1}z = \frac{\pi }{2}.$
सूत्र $\tan ^{-1}x + \tan ^{-1}y + \tan ^{-1}z = \tan ^{-1}\left( \frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx} \right)$ का उपयोग करने पर,
$\tan ^{-1}\left( \frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx} \right) = \frac{\pi }{2}.$
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर:
$\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx} = \tan \left( \frac{\pi }{2} \right) = \infty.$
व्यंजक के अपरिभाषित (अनंत की ओर अग्रसर) होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$1 - xy - yz - zx = 0.$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$xy + yz + zx = 1$ या $xy + yz + zx - 1 = 0.$
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: ${\tan ^{ - 1}}\frac{{x - 1}}{{x + 2}} + {\tan ^{ - 1}}\frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{\pi }{4}$
सूत्र ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करते हुए:
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{x + 1}}{{x + 2}}}}{{1 - \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right)}} \right] = \frac{\pi }{4}$
अंश और हर को सरल करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{\frac{{2x}}{{x + 2}}}}{{\frac{{{{(x + 2)}^2} - ({x^2} - 1)}}{{{{(x + 2)}^2}}}}} \right] = \frac{\pi }{4}$
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{2x(x + 2)}}{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 1}} \right] = \frac{\pi }{4}$
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{2x(x + 2)}}{{4x + 5}} \right] = \frac{\pi }{4}$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$\frac{{2{x^2} + 4x}}{{4x + 5}} = \tan \frac{\pi }{4} = 1$
$2{x^2} + 4x = 4x + 5$
$2{x^2} = 5$
${x^2} = \frac{5}{2}$
$x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

(B) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\cos \left[ \cos^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1}\frac{1}{5} + \sin^{-1}\frac{1}{5} \right]$ है।
गुणधर्म का उपयोग करने पर,यह सरल होकर $\cos \left[ \frac{\pi}{2} + \cos^{-1}\frac{1}{5} \right]$ हो जाता है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin\theta$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $-\sin \left( \cos^{-1}\frac{1}{5} \right)$।
मान लीजिए $\cos^{-1}\frac{1}{5} = \alpha$,तो $\cos\alpha = \frac{1}{5}$ होगा।
तब $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ होगा।
अतः,अभिव्यक्ति का मान $-\frac{2\sqrt{6}}{5}$ है।

(B) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अंतर के लिए मानक सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$.
दी गई अभिव्यक्ति में इसका उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{a - b}{1 + ab} \right) = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$
इसी प्रकार:
$\tan^{-1} \left( \frac{b - c}{1 + bc} \right) = \tan^{-1} b - \tan^{-1} c$
इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर:
$(\tan^{-1} a - \tan^{-1} b) + (\tan^{-1} b - \tan^{-1} c)$
यहाँ $-\tan^{-1} b$ और $+\tan^{-1} b$ एक-दूसरे से कट जाएंगे:
$= \tan^{-1} a - \tan^{-1} c$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} 2x + \tan^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1} \left( \frac{5x}{1 - 6x^2} \right) = \tan^{-1}(1)$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = 1$
$1 - 6x^2 = 5x$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$.
यदि $x = -1$ है,तो $\tan^{-1}(-2) + \tan^{-1}(-3) = -(\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3)$ प्राप्त होता है,जो ऋणात्मक है और $\frac{\pi}{4}$ नहीं हो सकता।
यदि $x = \frac{1}{6}$ है,तो $\tan^{-1}(\frac{1}{3}) + \tan^{-1}(\frac{1}{2}) = \tan^{-1} \left( \frac{1/3 + 1/2}{1 - 1/6} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,एकमात्र सही हल $x = \frac{1}{6}$ है।

(A) हम जानते हैं कि $2{\sin ^{ - 1}}x = {\sin ^{ - 1}}(2x\sqrt {1 - {x^2}} )$ जहाँ $|x| \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
यहाँ,$x = \frac{3}{5}$ है,इसलिए $2{\sin ^{ - 1}}\frac{3}{5} = {\sin ^{ - 1}}\left( 2 \times \frac{3}{5} \times \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( \frac{6}{5} \times \frac{4}{5} \right) = {\sin ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}}$।
अब,व्यंजक ${\sin ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}} + {\cos ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}}$ हो जाता है।
सर्वसमिका ${\sin ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ का उपयोग करने पर,हमें ${\sin ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}} + {\cos ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}} = \frac{\pi }{2}$ प्राप्त होता है।

(A) हम सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $xy < 1$ है।
यहाँ,$x = \frac{1}{3}$ और $y = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} < 1$ है,इसलिए यह सूत्र लागू होता है।
$\tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{2} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} \right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\cos \left[ \tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{2} \right] = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) हम जानते हैं कि $y > 0$ के लिए ${\cot ^{ - 1}}(y) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1}{y} \right)$ होता है।
दिया गया व्यंजक ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}(x + 1)$ है।
गुणधर्म का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1}{x + 1} \right)$।
अब,${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A + B}{1 - AB} \right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x + \frac{1}{x + 1}}{1 - x \cdot \frac{1}{x + 1}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{\frac{x(x + 1) + 1}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x}{x + 1}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x^2 + x + 1}{1} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}({x^2} + x + 1)$।

(A) हम प्रतिलोम कोटिस्पर्शज्या (inverse cotangent) फलनों के अंतर के लिए सूत्र जानते हैं: $\cot ^{ - 1}\left(\frac{ab + 1}{a - b}\right) = \cot ^{ - 1}b - \cot ^{ - 1}a$.
इस सूत्र को प्रत्येक पद पर लागू करने पर:
$\cot ^{ - 1}\left(\frac{xy + 1}{x - y}\right) = \cot ^{ - 1}y - \cot ^{ - 1}x$
$\cot ^{ - 1}\left(\frac{yz + 1}{y - z}\right) = \cot ^{ - 1}z - \cot ^{ - 1}y$
$\cot ^{ - 1}\left(\frac{zx + 1}{z - x}\right) = \cot ^{ - 1}x - \cot ^{ - 1}z$
इन तीनों पदों को जोड़ने पर:
$(\cot ^{ - 1}y - \cot ^{ - 1}x) + (\cot ^{ - 1}z - \cot ^{ - 1}y) + (\cot ^{ - 1}x - \cot ^{ - 1}z)$
पदों को काटने पर:
$= (\cot ^{ - 1}y - \cot ^{ - 1}y) + (\cot ^{ - 1}z - \cot ^{ - 1}z) + (\cot ^{ - 1}x - \cot ^{ - 1}x) = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} \left( \frac{a+x}{a} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{a-x}{a} \right) = \frac{\pi}{6}$
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{\frac{a+x}{a} + \frac{a-x}{a}}{1 - \left( \frac{a+x}{a} \right) \left( \frac{a-x}{a} \right)} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1} \left( \frac{\frac{2a}{a}}{1 - \frac{a^2-x^2}{a^2}} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1} \left( \frac{2}{\frac{a^2 - a^2 + x^2}{a^2}} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1} \left( \frac{2a^2}{x^2} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\frac{2a^2}{x^2} = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$x^2 = 2\sqrt{3} a^2$

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^{-1} \frac{3}{5} - \sin^{-1} \frac{4}{5} = \cos^{-1} x$
हम जानते हैं कि $\sin^{-1} \theta = \cos^{-1} \sqrt{1 - \theta^2}$,जहाँ $\theta \in [0, 1]$ है।
इसलिए,$\sin^{-1} \frac{4}{5} = \cos^{-1} \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \cos^{-1} \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \cos^{-1} \sqrt{\frac{9}{25}} = \cos^{-1} \frac{3}{5}$।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$\cos^{-1} \frac{3}{5} - \cos^{-1} \frac{3}{5} = \cos^{-1} x$
$0 = \cos^{-1} x$
$x = \cos(0) = 1$।

(B) हम जानते हैं कि $x > 1$ के लिए ${\csc ^{ - 1}}x = {\cot ^{ - 1}}\sqrt {{x^2} - 1} $ होता है।
$x = \sqrt 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${\csc ^{ - 1}}\sqrt 5 = {\cot ^{ - 1}}\sqrt {{(\sqrt 5 )^2} - 1} = {\cot ^{ - 1}}\sqrt {5 - 1} = {\cot ^{ - 1}}\sqrt 4 = {\cot ^{ - 1}}2$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक ${\cot ^{ - 1}}3 + {\cot ^{ - 1}}2$ हो जाता है।
$xy > 1$ के लिए सूत्र ${\cot ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}y = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{xy - 1}}{{x + y}}} \right)$ का उपयोग करने पर:
${\cot ^{ - 1}}3 + {\cot ^{ - 1}}2 = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{3 \times 2 - 1}}{{3 + 2}}} \right) = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{6 - 1}}{5}} \right) = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{5}} \right) = {\cot ^{ - 1}}(1)$.
चूंकि ${\cot ^{ - 1}}(1) = \frac{\pi }{4}$,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{\pi }{4}$ है।

(B) माना $x = \tan \theta$. अतः $\theta = \tan^{-1} x$.
दिया गया व्यंजक $\tan^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{2x} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{2 \tan \theta} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cot 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{2 \tan \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1} (\cot 2\theta) + \cos^{-1} (\cos 2\theta)$
चूंकि $\tan^{-1} (\cot 2\theta) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) \right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$ और $\cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta$:
$= \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) + 2\theta$
$= \frac{\pi}{2}$.

(D) दिया गया समीकरण: ${\tan ^{ - 1}}(x - 1) + {\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}(x + 1) = {\tan ^{ - 1}}3x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ${\tan ^{ - 1}}(x - 1) + {\tan ^{ - 1}}(x + 1) = {\tan ^{ - 1}}3x - {\tan ^{ - 1}}x$
सूत्र ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ और ${\tan ^{ - 1}}A - {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{(x-1)+(x+1)}{1-(x-1)(x+1)} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{3x-x}{1+(3x)(x)} \right)$
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2x}{1-(x^2-1)} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2x}{1+3x^2} \right)$
इसका तात्पर्य है: $\frac{2x}{2-x^2} = \frac{2x}{1+3x^2}$
स्थिति $1$: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$
स्थिति $2$: $\frac{1}{2-x^2} = \frac{1}{1+3x^2}$
$1 + 3x^2 = 2 - x^2$
$4x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$
अतः,हल $x = 0, \pm \frac{1}{2}$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी $x, y \in [-1, 1]$ के लिए,$\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
दिया गया है कि $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = 2\pi$ है।
चूंकि $\cos^{-1} x$ का अधिकतम मान $\pi$ है,इसलिए उनका योग $2\pi$ तभी संभव है जब $\cos^{-1} x = \pi$ और $\cos^{-1} y = \pi$ हो।
इसका अर्थ है कि $x = \cos(\pi) = -1$ और $y = \cos(\pi) = -1$ है।
अब,हमें $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y$ का मान ज्ञात करना है।
$x$ और $y$ के मान रखने पर:
$\sin^{-1}(-1) + \sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\pi$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} t$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y) = 2\pi$।
$\pi - (\sin^{-1} x + \sin^{-1} y) = 2\pi$।
$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - 2\pi = -\pi$।

(B) माना $\alpha = \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$. तब $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\alpha = \tan^{-1} \frac{1}{2} = \cot^{-1} 2$.
अब,व्यंजक $\cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 3$ हो जाता है।
सूत्र $\cot^{-1} x + \cot^{-1} y = \cot^{-1} \left( \frac{xy - 1}{x + y} \right)$ ($x, y > 0$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$\cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 3 = \cot^{-1} \left( \frac{2 \times 3 - 1}{2 + 3} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{5}{5} \right) = \cot^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) हमें समीकरण $\cot^{-1} \alpha + \cot^{-1} \beta = \cot^{-1} x$ दिया गया है।
प्रतिलोम कोटिस्पर्शज्या फलनों के योग के लिए मानक सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\cot^{-1} \alpha + \cot^{-1} \beta = \cot^{-1} \left( \frac{\alpha \beta - 1}{\alpha + \beta} \right)$ होता है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\cot^{-1} x$ से करने पर,हमें $x = \frac{\alpha \beta - 1}{\alpha + \beta}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया समीकरण: ${\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2a}}{{1 + {a^2}}}} \right) + {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2b}}{{1 + {b^2}}}} \right) = 2{\tan ^{ - 1}}x$
$a = \tan \theta$ और $b = \tan \phi$ प्रतिस्थापित करने पर:
${\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\tan \theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}} \right) + {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\tan \phi }}{{1 + {{\tan }^2}\phi }}} \right) = 2{\tan ^{ - 1}}x$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
${\sin ^{ - 1}}(\sin 2\theta) + {\sin ^{ - 1}}(\sin 2\phi) = 2{\tan ^{ - 1}}x$
सरल करने पर:
$2\theta + 2\phi = 2{\tan ^{ - 1}}x$
$2$ से भाग देने पर:
$\theta + \phi = {\tan ^{ - 1}}x$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$x = \tan(\theta + \phi)$
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$
$a$ और $b$ के मान वापस रखने पर:
$x = \frac{a + b}{1 - ab}$

(A) हम $xy < 1$ के लिए सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{3}{5}$ का मान ज्ञात करें:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{3}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15+12}{20}}{1 - \frac{9}{20}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{27/20}{11/20} \right) = \tan ^{-1} \frac{27}{11}$.
अब,$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करके $\tan ^{-1} \frac{8}{19}$ घटाएं:
$\tan ^{-1} \frac{27}{11} - \tan ^{-1} \frac{8}{19} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{27}{11} - \frac{8}{19}}{1 + \frac{27}{11} \times \frac{8}{19}} \right)$.
अंश की गणना करें: $\frac{27 \times 19 - 8 \times 11}{11 \times 19} = \frac{513 - 88}{209} = \frac{425}{209}$.
हर की गणना करें: $1 + \frac{216}{209} = \frac{209 + 216}{209} = \frac{425}{209}$.
अतः,$\tan ^{-1} \left( \frac{425/209}{425/209} \right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi }{4}$.

(C) हम सूत्र $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$4 \tan^{-1} \frac{1}{5} = 2 \left( 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} \right) = 2 \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{1 - 1/25} \right) = 2 \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = 2 \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
अब,$2 \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \left( \frac{2(5/12)}{1 - (5/12)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{1 - 25/144} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{119/144} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{6} \times \frac{144}{119} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{120}{119} \right)$.
आगे,हम $\tan^{-1} \frac{1}{99} - \tan^{-1} \frac{1}{70} = \tan^{-1} \left( \frac{1/99 - 1/70}{1 + (1/99)(1/70)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{(70-99)/6930}{(6930+1)/6930} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{-29}{6931} \right) = -\tan^{-1} \left( \frac{1}{239} \right)$ की गणना करते हैं।
अंत में,$\tan^{-1} \frac{120}{119} - \tan^{-1} \frac{1}{239} = \tan^{-1} \left( \frac{120/119 - 1/239}{1 + (120/119)(1/239)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{(28680 - 119) / 28441}{(28441 + 120) / 28441} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इसलिए,$\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$ और $\sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} y$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} y) = \frac{2\pi}{3}$
$\pi - (\cos^{-1} x + \cos^{-1} y) = \frac{2\pi}{3}$
$\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \pi - \frac{2\pi}{3}$
$\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{3}$.

(A) सूत्र $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{9}}{1 - \frac{1}{4} \times \frac{2}{9}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{1 - \frac{2}{36}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{17/36}{34/36}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{17}{34}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
अब,हम सूत्र $2\tan^{-1}x = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \left( 2\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \right) = \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2}\right)$
$= \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{1-1/4}{1+1/4}\right) = \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{3/4}{5/4}\right) = \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।