Differentiability Questions in Hindi

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{-\frac{1}{2 x}}} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x=0$ पर बायां अवकलज ($L$.$H$.$D$.) ज्ञात करें:
$f^{\prime}(0^{-}) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(-h)-0}{-h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{-2h e^{\frac{-1}{2h}} + 3h e^{\frac{1}{2h}}}{-h(e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}})} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{2h}} - 3e^{\frac{1}{2h}}}{e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}}}$
अंश और हर को $e^{\frac{1}{2h}}$ से विभाजित करने पर:
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{h}} - 3}{e^{\frac{-1}{h}} + 4} = \frac{0 - 3}{0 + 4} = -\frac{3}{4}$.
अब,$x=0$ पर दायां अवकलज ($R$.$H$.$D$.) ज्ञात करें:
$f^{\prime}(0^{+}) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(h)-0}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2h e^{\frac{1}{2h}} - 3h e^{\frac{-1}{2h}}}{h(e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}})} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{1}{2h}} - 3e^{\frac{-1}{2h}}}{e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}}}$
अंश और हर को $e^{\frac{1}{2h}}$ से विभाजित करने पर:
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2 - 3e^{\frac{-1}{h}}}{1 + 4e^{\frac{-1}{h}}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$.
चूंकि $f^{\prime}(0^{-}) \neq f^{\prime}(0^{+})$,इसलिए फलन $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq 1 \\ ax^{2}+bx, & x > 1 \end{cases}$।
चूँकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) \Rightarrow 2(1) + 3 = a(1)^2 + b(1) \Rightarrow a + b = 5 \quad \dots(i)$
साथ ही,$f'(x)$ को $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$f'(x) = \begin{cases} 2, & x < 1 \\ 2ax + b, & x > 1 \end{cases}$
$\lim_{x \to 1^{-}} f'(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f'(x) \Rightarrow 2 = 2a(1) + b \Rightarrow 2a + b = 2 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(2a + b) - (a + b) = 2 - 5 \Rightarrow a = -3$.
$a = -3$ को $(i)$ में रखने पर: $-3 + b = 5 \Rightarrow b = 8$.
अतः,$x > 1$ के लिए,$f(x) = -3x^2 + 8x$.
हमें $f(2)$ का मान ज्ञात करना है।
$f(2) = -3(2)^2 + 8(2) = -3(4) + 16 = -12 + 16 = 4$.

(D) फलन $x \in [0, 3]$ के लिए $f(x) = |x - 1| + |x - 2|$ के रूप में परिभाषित है।
मापांक को हटाने पर हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{cases} -(x-1) - (x-2) = -2x + 3, & 0 \leq x \leq 1 \\ (x-1) - (x-2) = 1, & 1 < x < 2 \\ (x-1) + (x-2) = 2x - 3, & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ सतत फलनों का योग है,इसलिए यह $[0, 3]$ में हर जगह सतत है।
$x = 1$ पर,बायां अवकलज $\frac{d}{dx}(-2x+3) = -2$ है और दायां अवकलज $\frac{d}{dx}(1) = 0$ है। चूंकि $-2 \neq 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 2$ पर,बायां अवकलज $\frac{d}{dx}(1) = 0$ है और दायां अवकलज $\frac{d}{dx}(2x-3) = 2$ है। चूंकि $0 \neq 2$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ सतत है लेकिन $x = 1$ और $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$।
माना $g(x) = (|x| + \alpha)(|x| - 1)$।
फलन $f(x) = |g(x)|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $g(x) = 0$ (यदि मूल सरल हैं) और $|x|$ पद के कारण $x = 0$ पर।
स्थिति $1$: यदि $\alpha > 0$ है,तो $|x| + \alpha = 0$ का कोई वास्तविक हल नहीं है। $g(x) = 0$ के मूल $|x| = 1$ हैं,अर्थात $x = 1, -1$।
$x = 1, -1$ पर,फलन $f(x)$ में तीक्ष्ण मोड़ (sharp corners) हैं। साथ ही,$x = 0$ पर,$f(x) = |\alpha(-1)| = |-\alpha| = \alpha$। $|x|$ पद के कारण $f'(0^+)$ और $f'(0^-)$ अलग होंगे,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$\alpha > 0$ के लिए,$3$ बिंदु $(x = -1, 0, 1)$ हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha < 0$ और $\alpha \neq -1$ है,तो माना $\alpha = -k$ जहाँ $k > 0$ और $k \neq 1$। तब $g(x) = (|x| - k)(|x| - 1)$।
मूल $|x| = k$ और $|x| = 1$ हैं,जो $x = \pm k$ और $x = \pm 1$ देते हैं।
ये $4$ अलग-अलग बिंदु हैं जहाँ $f(x) = 0$ है। इसके अतिरिक्त,$|x|$ पद के कारण $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$\alpha < 0$ (और $\alpha \neq -1$) के लिए,$5$ बिंदु $(x = -1, -k, 0, k, 1)$ हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$D$ सही उत्तर है।

(D) $x = a$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ का अवकलज ($L$.$H$.$D$.) और दाएँ हाथ का अवकलज ($R$.$H$.$D$.) ज्ञात करते हैं।
$x = a$ पर $L$.$H$.$D$. = $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}(b^2 - a^2) - \frac{1}{2}(b^2 - a^2)}{-h} = 0$.
अब,$x = a$ पर $R$.$H$.$D$. = $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}b^2 - \frac{(a+h)^2}{6} - \frac{a^3}{3(a+h)} - \frac{1}{2}(b^2 - a^2)}{h}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{1}{2}a^2 - \frac{(a+h)^3 + 2a^3}{6(a+h)} \right]$.
जैसे-जैसे $h \to 0$ होता है,यह व्यंजक किसी निश्चित मान की ओर नहीं बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $x = a$ पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है।
चूंकि $f(x)$,$x = a$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए $f'(x)$ भी $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) कलन (calculus) में एक मूलभूत प्रमेय यह है कि यदि कोई फलन $f(x)$ किसी बिंदु $x=a$ पर अवकलनीय है,तो वह उस बिंदु $x=a$ पर अनिवार्य रूप से संतत होगा।
इस कथन का प्रतिधनात्मक (contrapositive) यह है: यदि $f(x)$,$x=a$ पर संतत नहीं है,तो $f(x)$,$x=a$ पर अवकलनीय नहीं होगा।
चूंकि कारण $(R)$ वह सीधा प्रमेय प्रदान करता है जो कथन $(A)$ को सही ठहराता है,इसलिए दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) फलन $f(x) = \operatorname{Max} \{3 - x, 3 + x, 6\}$ के रूप में परिभाषित है।
अवकलनीयता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $y_1 = 3 - x$,$y_2 = 3 + x$,और $y_3 = 6$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. $y_1$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $3 - x = 6 \implies x = -3$.
$2$. $y_2$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $3 + x = 6 \implies x = 3$.
$3$. $y_1$ और $y_2$ का प्रतिच्छेदन: $3 - x = 3 + x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. $x=0$ पर,$y_1 = 3$ और $y_2 = 3$,लेकिन $y_3 = 6$,इसलिए $f(0) = 6$.
फलन $f(x)$ इस प्रकार है:
$f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x < -3 \\ 6, & -3 \le x \le 3 \\ 3 + x, & x > 3 \end{cases}$.
फलन में $x = -3$ और $x = 3$ पर तीक्ष्ण कोने (अवकलनीयता के बिंदु) हैं।
अतः,$a = -3$ और $b = 3$.
इसलिए,$|a| + |b| = |-3| + |3| = 3 + 3 = 6$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geq 1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \end{cases}$
परिभाषा का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x \leq -1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \\ \frac{1}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$
$f(x)$ को सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।
$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\implies a(1)^2 + b = \frac{1}{1} \implies a + b = 1$ . . . $(1)$
$x = 1$ पर अवकलनीयता: $f'(1^-) = f'(1^+)$.
$x < 1$ के लिए,$f'(x) = 2ax$. $x > 1$ के लिए,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
$\implies 2a(1) = -\frac{1}{(1)^2} \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-\frac{1}{2} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{3}{2}$.

(C) $x = 0$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम पहले सीमा $\lim_{x \to 0} f(x)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln(1 + x^2)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} \right) \times \ln \cos x$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \ln \cos x = \ln(1) = 0$,इसलिए सीमा $1 \times 0 = 0$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$,फलन $x = 0$ पर संतत है।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1 + h^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1 + h^2)}$.
मानक सीमाओं $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h^2)}{h^2} = 1$ और $\lim_{h \to 0} \frac{\ln \cos h}{h^2} = -\frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2}{\ln(1 + h^2)} \right) \times \left( \frac{\ln \cos h}{h^2} \right) \times h = 1 \times (-\frac{1}{2}) \times 0 = 0$.
चूँकि सीमा का अस्तित्व है और यह परिमित है,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।

(D) एक फलन $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है यदि $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)-f(0)}{h}$ हो।
$f(x) = \sin |x| - |x|$ के लिए,$f(0) = \sin(0) - 0 = 0$ है।
$x=0$ पर दायां अवकलज $(RHD)$:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin |h| - |h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h - h}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\frac{\sin h}{h} - 1) = 1 - 1 = 0$.
$x=0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$:
$\lim_{h \to 0^-} \frac{\sin |-h| - |-h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\sin(-h) - (-h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\sin h + h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-\frac{\sin h}{h} + 1) = -1 + 1 = 0$.
चूंकि $LHD = RHD = 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sin |x| - |x|$,$x=0$ पर अवकलनीय है।

(C) अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम संक्रमण बिंदुओं $x = -\sqrt{5}$ और $x = \sqrt{5}$ की जाँच करते हैं।
$x = -\sqrt{5}$ पर:
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ = $4$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ = $(-\sqrt{5})^2 - 1 = 5 - 1 = 4$.
चूँकि $LHL = RHL = f(-\sqrt{5})$,फलन $x = -\sqrt{5}$ पर सतत है।
बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ = $\frac{d}{dx}(4) = 0$.
दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ = $\frac{d}{dx}(x^2-1) = 2x = 2(-\sqrt{5}) = -2\sqrt{5}$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f(x)$ बिंदु $x = -\sqrt{5}$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = \sqrt{5}$ पर:
$LHL$ = $(\sqrt{5})^2 - 1 = 4$.
$RHL$ = $4$.
चूँकि $LHL = RHL = f(\sqrt{5})$,फलन $x = \sqrt{5}$ पर सतत है।
$LHD$ = $2x = 2(\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$.
$RHD$ = $\frac{d}{dx}(4) = 0$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f(x)$ बिंदु $x = \sqrt{5}$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$k = 2$ ऐसे बिंदु हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,$k - 2 = 2 - 2 = 0$.

(A) फलन $f(x) = |x|$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर,बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1$ है।
दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$ है।
चूंकि बायां अवकलज $\neq$ दायां अवकलज है,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
हालाँकि,$f(x)$ हर जगह सतत है,जिसमें $x = 0$ भी शामिल है।
किसी भी $x = a \neq 0$ के लिए,फलन स्थानीय रूप से रैखिक ($x$ या $-x$) है,इसलिए यह अवकलनीय है।
अतः,कथन $(A)$ सही है।
कारण $(R)$ कलन (calculus) का एक मूलभूत प्रमेय बताता है: अवकलनीयता निरंतरता (सततता) को सूचित करती है,लेकिन निरंतरता अवकलनीयता को सूचित नहीं करती है। यह प्रमेय बताता है कि $f(x) = |x|$,$x = 0$ पर सतत क्यों है लेकिन वहां अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) फलन $f(x) = 2x|x|$ द्वारा दिया गया है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} 2x^2, & x \geq 0 \\ -2x^2, & x < 0 \end{cases}$
चूँकि $2x^2$ और $-2x^2$ बहुपद हैं,इसलिए $f(x)$ सभी $x \neq 0$ के लिए अवकलनीय है। हमें केवल $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने की आवश्यकता है।
$x = 0$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$:
$f'(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{-2h^2 - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} (-2h) = 0$.
$x = 0$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$:
$f'(0^+) = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{2h^2 - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} (2h) = 0$.
चूँकि $LHD = RHD = 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
अतः,$f(x)$ सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए अवकलनीय है।

(D) फलन $y = \sin^{-1}(\cos x)$ तब परिभाषित होता है जब $-1 \le \cos x \le 1$ हो। हालाँकि,$\sin^{-1} u$ का अवकलज $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ है,जो $u = \pm 1$ होने पर अपरिभाषित हो जाता है।
अतः,फलन $y = \sin^{-1}(\cos x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $\cos x = 1$ या $\cos x = -1$ हो।
$\cos x = -1$ के लिए,$x = (2n+1)\pi$ जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है। $n=0$ के लिए,$x = \pi$ है।
$\cos x = 1$ के लिए,$x = 2n\pi$ जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है। $n=1$ के लिए $x = 2\pi$ और $n=-1$ के लिए $x = -2\pi$ है।
चूँकि फलन $x = \pi$,$x = 2\pi$ और $x = -2\pi$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए सभी दिए गए विकल्प सही हैं।

(D) फलन $f(x) = |\log_e |x||$ के रूप में परिभाषित है।
सबसे पहले,फलन के प्रांत (domain) पर विचार करें। फलन $x = 0$ पर अपरिभाषित है क्योंकि $\log_e 0$ अपरिभाषित है।
इसके बाद,उन बिंदुओं की जाँच करें जहाँ फलन अवकलनीय नहीं हो सकता है। फलन $f(x)$ में लघुगणक का मापांक (absolute value) शामिल है,जो तीक्ष्ण कोने (cusps) बनाता है जहाँ मापांक के अंदर का मान शून्य होता है।
$\log_e |x| = 0$ रखने पर,हमें $|x| = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$।
$x = 1$ और $x = -1$ पर,ग्राफ में तीक्ष्ण मोड़ हैं,जिसका अर्थ है कि इन बिंदुओं पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है।
$x = 0$ पर,फलन का एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) है,इसलिए यह सतत नहीं है,और इसलिए अवकलनीय भी नहीं है।
अतः,फलन $f(x)$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अवकलनीय है सिवाय $x = 0, 1, -1$ के।
इसे $R - \{0, 1, -1\}$ या $R - \{0, \pm 1\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) फलन $f(x) = [x] + |1 - x|$ को अंतराल $[-1, 3]$ पर परिभाषित किया गया है।
अंतराल $[-1, 3]$ में महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के लिए असंतत बिंदु $x = 0, 1, 2, 3$ हैं।
$x = 1$ पर,फलन $f(x) = [x] + |1 - x|$ है। चूंकि $|1 - x|$ हर जगह सतत है,इसलिए अवकलनीय न होने की स्थिति $[x]$ की असंततता $x = 0, 1, 2, 3$ पर और $|1 - x|$ के कोणीय बिंदु $x = 1$ पर उत्पन्न होती है।
बिंदुओं की जाँच:
$1$. $x = 0$ पर: $[x]$ असंतत है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$2$. $x = 1$ पर: $[x]$ असंतत है और $|1 - x|$ का एक कोणीय बिंदु है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$3$. $x = 2$ पर: $[x]$ असंतत है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$4$. $x = 3$ पर: $[x]$ असंतत है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $x = 0, 1, 2, 3$ पर अवकलनीय नहीं है। ऐसे कुल $4$ बिंदु हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x) = |x - 0.5| + |x - 1| + \tan x$ है।
हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x - a|$,$x = a$ पर अवकलनीय नहीं होता है।
इसलिए,$|x - 0.5|$,$x = 0.5$ पर और $|x - 1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
दोनों $x = 0.5$ और $x = 1$ अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित हैं।
इसके अतिरिक्त,फलन $\tan x$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर परिभाषित नहीं है (और इसलिए अवकलनीय भी नहीं है)।
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,जो अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित है।
अतः,फलन $f(x)$,$x = 0.5$,$x = 1$,और $x = \frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।
अंतराल $(0, 2)$ में ऐसे $3$ बिंदु हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) $f(x)$ के हर जगह अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ और $x = -1$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए। चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $x = 1$ पर जांच करते हैं।
$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\lim_{x \to 1^-} (\alpha x^2 - \beta) = \alpha - \beta$.
$\lim_{x \to 1^+} (-\frac{1}{x}) = -1$.
अतः,$\alpha - \beta = -1$ (समीकरण $1$)।
$x = 1$ पर अवकलनीयता: $f'(1^-) = f'(1^+)$.
$|x| < 1$ के लिए $f'(x) = 2\alpha x$ और $|x| > 1$ के लिए $f'(x) = \frac{1}{x^2}$।
$f'(1^-) = 2\alpha(1) = 2\alpha$.
$f'(1^+) = \frac{1}{(1)^2} = 1$.
इस प्रकार,$2\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{2}$।
समीकरण $1$ में $\alpha = \frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{1}{2} - \beta = -1 \implies \beta = \frac{3}{2}$।
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।

(B) दिया गया है: $f(x) = \frac{|x|}{1 - |x|}$.
सबसे पहले,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{1 - (-x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{1 + x} = 0$.
$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1 - x} = 0$.
चूँकि $f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \frac{-x}{1 + x}$,इसलिए $f'(x) = \frac{-(1+x) - (-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2}$. अतः,$\text{LHD} = f'(0^-) = -1$.
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{x}{1 - x}$,इसलिए $f'(x) = \frac{(1-x) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$. अतः,$\text{RHD} = f'(0^+) = 1$.
चूँकि $\text{LHD} \neq \text{RHD}$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
हालाँकि,$f(x)$,$x \in D \setminus \{0\}$ के लिए अवकलनीय है।
अतः,$f$,$x = 0$ को छोड़कर $D$ पर अवकलनीय है।

(D) फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ मापांक (absolute value) के अंदर का मान शून्य हो,या जहाँ फलन स्वयं असंतत हो।
$1$. मापांक फलन $|x - 0.5|$ और $|x - 1|$ क्रमशः $x = 0.5$ और $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं हैं।
$2$. फलन $\tan x$,$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ पर परिभाषित नहीं है (और इसलिए अवकलनीय भी नहीं है)। अंतराल $(0, 2)$ में,$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ आता है,जो इस अंतराल के भीतर है।
$3$. इन सबको मिलाने पर,फलन $f(x)$ बिंदुओं $x = 0.5, x = 1$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया फलन,$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c, & x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$ है।
यदि $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय है,तो इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए और बाएँ पक्ष का अवकलज दाएँ पक्ष के अवकलज के बराबर होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$
$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + bx + c) = 1$
$1 + b + c = 1 \Rightarrow b + c = 0$ (समीकरण $1$)।
इसके बाद,$x = 1$ पर अवकलनीयता के लिए,अवकलज समान होने चाहिए:
$f'(x) = \begin{cases} 2x + b, & x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$
$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x)$
$2(1) + b = 1 \Rightarrow 2 + b = 1 \Rightarrow b = -1$.
समीकरण $1$ में $b = -1$ रखने पर:
$-1 + c = 0 \Rightarrow c = 1$.
अतः,$b - c = -1 - 1 = -2$.

(C) दिया गया है $f(x) = |x| + |sin x|$.
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$x=0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h}$
चूंकि $f(0) = |0| + |sin 0| = 0$,हमारे पास है:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h| + |sin(-h)| - 0}{-h}$
छोटे $h > 0$ के लिए,$|-h| = h$ और $|sin(-h)| = |-sin h| = sin h$ होता है (क्योंकि $h \in (0, \pi/2)$ के लिए $sin h > 0$ है)।
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{h + sin h}{-h}$
$LHD = \lim_{h \to 0^+} -\left( \frac{h}{h} + \frac{sin h}{h} \right)$
$LHD = -(1 + 1) = -2$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
यदि $x \ge 0$,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1+x}$।
यदि $x < 0$,तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1-x}$।
अब,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$।
$x = 0$ पर,हम बाएँ हाथ के अवकलज और दाएँ हाथ के अवकलज की जाँच करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$।
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$।
चूंकि $LHD = RHD = 1$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है।
अतः,अवकलज सभी वास्तविक संख्याओं $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए मौजूद है।

(B) दिया गया है $x \neq 1$ के लिए $f(x) = \frac{x-1}{2x^2-7x+5}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2-7x+5 = 2x^2-2x-5x+5 = 2x(x-1)-5(x-1) = (2x-5)(x-1)$.
अतः,$x \neq 1$ के लिए,$f(x) = \frac{x-1}{(2x-5)(x-1)} = \frac{1}{2x-5}$.
फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2x-5}, & x \neq 1 \\ -\frac{1}{3}, & x=1 \end{cases}$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2(1+h)-5} - (-\frac{1}{3})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2h-3} + \frac{1}{3}}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3 + (2h-3)}{3h(2h-3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{3h(2h-3)}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{3(2h-3)} = \frac{2}{3(-3)} = -\frac{2}{9}$.

(C) दिया गया है $f(x) = \max\{\cos x, \sin x, 0\}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,फलन $f(x)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \cos x$,जब $x \in [0, \pi/4]$
$f(x) = \sin x$,जब $x \in [\pi/4, 5\pi/4]$
$f(x) = 0$,जब $x \in [5\pi/4, 2\pi]$
प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$1$. $x = \pi/4$ पर,$\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$। अवकलज $-\sin(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ और $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ हैं। चूँकि ये समान नहीं हैं,$f(x)$,$x = \pi/4$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. $x = \pi$ पर,$\sin(\pi) = 0$ और फलन $0$ है। $\sin(\pi) = 0$ और इसका अवकलज $\cos(\pi) = -1$ है। $0$ का अवकलज $0$ है। चूँकि $-1 \neq 0$,यह $x = \pi$ पर अवकलनीय नहीं है।
$3$. $x = 3\pi/2$ पर,$\cos(3\pi/2) = 0$ और इसका अवकलज $-\sin(3\pi/2) = 1$ है। $0$ का अवकलज $0$ है। चूँकि $1 \neq 0$,यह $x = 3\pi/2$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,प्रत्येक $2\pi$ लंबाई के अंतराल में $3$ गैर-अवकलनीय बिंदु हैं।
$(0, 2024\pi)$ में,ऐसे $1012$ अंतराल हैं।
गैर-अवकलनीय बिंदुओं की कुल संख्या $= 3 \times 1012 = 3036$।
दिया गया है $1012k = 3036$,अतः $k = 3$।

(B) फलन $g(x)$ के $x=3$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x=3$ पर सतत होना चाहिए।
$x=3$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^+} g(x) = g(3)$.
$K \sqrt{3+1} = 3m+2 \implies 2K = 3m+2$ (समीकरण $1$).
$x=3$ पर अवकलनीयता: बायां अवकलज दाएं अवकलज के बराबर होना चाहिए।
$g'(x) = \begin{cases} \frac{K}{2\sqrt{x+1}} &, 0 < x < 3 \\ m &, 3 < x < 5 \end{cases}$.
$x=3$ पर,$\frac{K}{2\sqrt{3+1}} = m \implies \frac{K}{4} = m \implies K = 4m$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से $K=4m$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $2(4m) = 3m+2 \implies 8m = 3m+2 \implies 5m = 2 \implies m = \frac{2}{5}$.
अतः $K = 4(\frac{2}{5}) = \frac{8}{5}$.
इसलिए,$K+m = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(C) हम $x = \frac{5}{3}$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to \frac{5}{3}^-} f(x) = 5 - 3(\frac{5}{3}) = 5 - 5 = 0$.
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to \frac{5}{3}^+} f(x) = (\frac{5}{3})^2 - 3(\frac{5}{3}) + 20 = \frac{25}{9} - 5 + 20 = \frac{25}{9} + 15 = \frac{25 + 135}{9} = \frac{160}{9}$.
चूँकि $\lim_{x \to \frac{5}{3}^-} f(x) \neq \lim_{x \to \frac{5}{3}^+} f(x)$,फलन $x = \frac{5}{3}$ पर असंतत है।
अब $x = 2$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं। चूँकि $2 > \frac{5}{3}$,$x = 2$ के पड़ोस में फलन $f(x) = x^2 - 3x + 20$ द्वारा परिभाषित है।
यह एक बहुपद फलन है,जो अपने प्रांत में हर जगह अवकलनीय होता है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 2$ पर अवकलनीय है।

(C) सबसे पहले,हम $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)}$.
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = 1$ है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1+x^2)} \right) \cdot \ln \cos x = 1 \cdot \ln(1) = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$,फलन $x=0$ पर संतत है।
अब,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए परिभाषा $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1+h^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1+h^2)}$ का उपयोग करते हैं।
अंश और हर को $h^2$ से विभाजित करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{\frac{\ln(1+h^2)}{h^2}} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{1}$.
$\frac{\ln \cos h}{h}$ पर एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{-\tan h}{1} = 0$.
चूँकि सीमा का अस्तित्व है और यह $0$ है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।

(C) एक फलन $f(x) = |g(x)|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ $g(x) = 0$ होता है,बशर्ते $g(x)$ एक रैखिक या बहुपद फलन हो।
दिया गया है $f(x) = 7|2x + 1| - 19|3x - 5|$।
फलन में मापांक पद $|2x + 1|$ और $|3x - 5|$ शामिल हैं।
पद $|2x + 1|$,$2x + 1 = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
पद $|3x - 5|$,$3x - 5 = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जिससे $x = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह फलन इन मापांक फलनों का एक रैखिक संयोजन है,इसलिए यह उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक के अंदर के व्यंजक शून्य होते हैं।
अतः,फलन $f(x)$,$x = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{5}{3}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) फलन $f(x) = ||x| - 1|$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
साथ ही,फलन $g(x) = |x| - 1$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
फलन $f(x) = |g(x)|$ वहाँ अवकलनीय नहीं होता जहाँ $g(x) = 0$ हो या जहाँ $g(x)$ अवकलनीय न हो।
$g(x) = 0$ रखने पर,हमें $|x| - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x| = 1$,अतः $x = 1$ या $x = -1$ है।
इसके अतिरिक्त,$g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$,$x \in \{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$x$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $f(x)$ अवकलनीय है,$R - \{-1, 0, 1\}$ है।

(A) चूंकि $f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है,इसलिए यह $x=0$ पर सतत भी होगा।
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = P$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4 \tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1)}{x} \cdot \frac{\sin kx}{x} \cdot \frac{x^2}{4 \tan x} = (k) \cdot (k) \cdot (0) = 0$.
अतः,$P = 0$.
अब,$f^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4x \tan x}$.
$f^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{kx}-1}{x} \right) \left( \frac{\sin kx}{x} \right) \left( \frac{x}{\tan x} \right) \cdot \frac{1}{4} = (k) \cdot (k) \cdot (1) \cdot \frac{1}{4} = \frac{k^2}{4}$.

(B) कथन $(a)$ गलत है क्योंकि यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है,तो उसे उस बिंदु पर संतत होना चाहिए।
कथन $(b)$ सही है क्योंकि अवकलनीयता निरंतरता (संततता) को दर्शाती है; इसलिए,इसका प्रतिधनात्मक (यदि संतत नहीं है तो अवकलनीय भी नहीं है) भी सत्य है।
कथन $(c)$ सही है क्योंकि $f(x) = |x|$,सभी $x \in R$ के लिए संतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
कथन $(d)$ गलत है क्योंकि $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जो सभी पूर्णांकों पर असंतत होता है,जिसमें $x = 1$ भी शामिल है। चूँकि यह $x = 1$ पर असंतत है,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(B) सबसे पहले,हम $|g(x)|$ निर्धारित करते हैं:
$|g(x)| = \begin{cases} |-1| = 1, & -2 \le x < 0 \\ |x^2 - 1|, & 0 \le x \le 2 \end{cases} = \begin{cases} 1, & -2 \le x < 0 \\ 1 - x^2, & 0 \le x < 1 \\ x^2 - 1, & 1 \le x \le 2 \end{cases}$
इसके बाद,हम $g(|x|)$ निर्धारित करते हैं:
चूंकि सभी $x \in [-2, 2]$ के लिए $|x| \ge 0$ है,हम $g(x)$ के दूसरे भाग का उपयोग करते हैं:
$g(|x|) = |x|^2 - 1 = x^2 - 1$ सभी $x \in [-2, 2]$ के लिए।
अब,$f(x) = |g(x)| + g(|x|) + 2$ की गणना करें:
$-2 \le x < 0$ के लिए: $f(x) = 1 + (x^2 - 1) + 2 = x^2 + 2$.
$0 \le x < 1$ के लिए: $f(x) = (1 - x^2) + (x^2 - 1) + 2 = 2$.
$1 \le x \le 2$ के लिए: $f(x) = (x^2 - 1) + (x^2 - 1) + 2 = 2x^2$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & -2 \le x < 0 \\ 2, & 0 \le x < 1 \\ 2x^2, & 1 \le x \le 2 \end{cases}$।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
$LHD = \lim_{x \to 0^-} \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2(0) = 0$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} \frac{d}{dx}(2) = 0$.
चूंकि $LHD = RHD$,$f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
$LHD = \lim_{x \to 1^-} \frac{d}{dx}(2) = 0$.
$RHD = \lim_{x \to 1^+} \frac{d}{dx}(2x^2) = 4(1) = 4$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,$f$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = |x+1| + |x-1|$ है।
हम जानते हैं कि फलन $g(x) = |x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसी प्रकार,$|x+1|$,$x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है और $|x-1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
दो फलनों का योग उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ उनमें से कोई भी फलन अवकलनीय नहीं होता है।
अतः,$f(x)$,$x = -1$ और $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} [\cos \pi x], & x \leq 1 \\ 2\{x\} - 1, & x > 1 \end{cases}$.
$x > 1$ के लिए,हमारे पास $f(x) = 2(x - [x]) - 1$ है। चूंकि $x$,$1$ से थोड़ा बड़ा है,इसलिए $[x] = 1$ होगा,जिससे $f(x) = 2(x - 1) - 1 = 2x - 3$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर दायां अवकलज $f'(1^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,$f(1) = [\cos \pi] = [-1] = -1$.
अतः,$f'(1^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(1+h) - 3 - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2 + 2h - 3 + 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
इस प्रकार,$x = 1$ पर दायां अवकलज $2$ है।

(C) हमें दिया गया है,$f(x)=\frac{2x}{4+3|x|}, x \in R$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{2x}{4+3x}, & \text{यदि } x \geq 0 \\ \frac{2x}{4-3x}, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
$f^{\prime}(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x=0$ पर बाएँ और दाएँ अवकलज की जाँच करते हैं।
$x > 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{4+3x} \right) = \frac{(4+3x)(2) - 2x(3)}{(4+3x)^2} = \frac{8+6x-6x}{(4+3x)^2} = \frac{8}{(4+3x)^2}$.
अतः,$Rf^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{8}{(4+3x)^2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
$x < 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{4-3x} \right) = \frac{(4-3x)(2) - 2x(-3)}{(4-3x)^2} = \frac{8-6x+6x}{(4-3x)^2} = \frac{8}{(4-3x)^2}$.
अतः,$Lf^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{8}{(4-3x)^2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $Lf^{\prime}(0) = Rf^{\prime}(0) = \frac{1}{2}$,इसलिए अवकलज $f^{\prime}(0)$ का अस्तित्व है और इसका मान $\frac{1}{2}$ है।

(C) एक फलन $f(x)$,$x=a$ पर अवकलनीय होता है यदि बायां अवकलज $LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ और दायां अवकलज $RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ का अस्तित्व हो और वे बराबर हों।
$f_1(x)=|x|$ के लिए,$x=1$ पर,$f_1(x)=x$ है। अतः $f_1'(1)=1$ है। यह अवकलनीय है।
$f_2(x)$ के लिए,$x=1$ पर,$LHD = \frac{d}{dx}(1+\sin(x-1))|_{x=1} = \cos(0) = 1$ है। $RHD = \frac{d}{dx}(x)|_{x=1} = 1$ है। चूंकि $LHD=RHD$,यह अवकलनीय है।
$f_3(x)$ के लिए,$x=1$ पर,$LHD = \frac{d}{dx}(x^2+7x-7)|_{x=1} = 2(1)+7 = 9$ है। $RHD = \frac{d}{dx}(\frac{3x-1}{2})|_{x=1} = \frac{3}{2} = 1.5$ है। चूंकि $LHD \neq RHD$,$f_3(x)$ $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$f_4(x)$ के लिए,$x=1$ पर,$f_4(x) = |x-1|+|x-2|$ है। $x \leq 1$ के लिए,$f_4(x) = -(x-1)-(x-2) = -2x+3$ है। $LHD = -2$ है। $x > 1$ के लिए,$f_4(x) = 1+x-x^3$ है। $RHD = \frac{d}{dx}(1+x-x^3)|_{x=1} = 1-3(1)^2 = -2$ है। चूंकि $LHD=RHD$,यह अवकलनीय है।

(A) $x = 2$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम सबसे पहले ध्यान देते हैं कि $2$ के पड़ोस में $x$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{x})$ धनात्मक है क्योंकि $\frac{\pi}{x}$,$\frac{\pi}{2}$ के निकट है। विशेष रूप से,$2$ के निकट $x$ के लिए,$\frac{\pi}{x}$ अंतराल $(0, \pi)$ में है,जहाँ $\cos(\frac{\pi}{x})$ धनात्मक है।
अतः,$2$ के एक छोटे पड़ोस में $x$ के लिए,$f(x) = x^2 \cos(\frac{\pi}{x})$ है।
अब,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \cos(\frac{\pi}{x})] = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + x^2 [-\sin(\frac{\pi}{x})] \cdot (-\frac{\pi}{x^2}) = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + \pi \sin(\frac{\pi}{x})$।
$x = 2$ पर मान रखने पर:
$f'(2) = 2(2) \cos(\frac{\pi}{2}) + \pi \sin(\frac{\pi}{2}) = 4(0) + \pi(1) = \pi$।
चूँकि $x = 2$ पर अवकलज का अस्तित्व है,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय है।

(A) मापांक फलन को टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:
$f(x)= \begin{cases} 1-2x, & \text{यदि } x \leq \frac{1}{2} \\ 2x-1, & \text{यदि } x > \frac{1}{2} \end{cases}$
$x=\frac{1}{2}$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बायां सीमा: $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} (1-2x) = 1-2(\frac{1}{2}) = 0$.
दायां सीमा: $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} (2x-1) = 2(\frac{1}{2})-1 = 0$.
फलन का मान: $f(\frac{1}{2}) = |1-2(\frac{1}{2})| = 0$.
चूंकि बायां सीमा,दायां सीमा और फलन का मान समान हैं,इसलिए फलन $x=\frac{1}{2}$ पर सतत है।
$x=\frac{1}{2}$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायां अवकलज: $f'(x) = \frac{d}{dx}(1-2x) = -2$ जब $x < \frac{1}{2}$.
दायां अवकलज: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2$ जब $x > \frac{1}{2}$.
चूंकि बायां अवकलज $(-2)$ और दायां अवकलज $(2)$ समान नहीं हैं,इसलिए फलन $x=\frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2|x|^2 + a_3|x|^3$.
चूंकि $|x|^2 = x^2$ और $|x|^3 = |x| \cdot x^2$,हम लिख सकते हैं $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2x^2 + a_3|x|x^2$.
$f(x)$ के $x=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,बायां अवकलज और दायां अवकलज समान होने चाहिए।
$x=0$ पर दायां अवकलज: $f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{a_0 + a_1h + a_2h^2 + a_3h^3 - a_0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (a_1 + a_2h + a_3h^2) = a_1$.
$x=0$ पर बायां अवकलज: $f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{a_0 + a_1(-h) + a_2h^2 + a_3(-h^3) - a_0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-a_1 + a_2h - a_3h^2) = -a_1$.
अवकलनीयता के लिए,$f'(0^+) = f'(0^-) \implies a_1 = -a_1 \implies 2a_1 = 0 \implies a_1 = 0$.
अतः,$f(x)$,$x=0$ पर केवल तभी अवकलनीय है यदि $a_1=0$ हो।

(A) $f(x)$ को $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$\text{LHL} = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 3x + a) = 1 + 3 + a = 4 + a$.
$\text{RHL} = \lim_{x \to 1^+} (bx + 2) = b + 2$.
चूंकि $\text{LHL} = \text{RHL}$,हमारे पास $4 + a = b + 2$ है,जिसका अर्थ है $b - a = 2$ (समीकरण $1$)।
अवकलनीयता के लिए,$x = 1$ पर $\text{LHD} = \text{RHD}$ होना चाहिए।
$\text{LHD} = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + a) = 2x + 3$. $x = 1$ पर,$\text{LHD} = 2(1) + 3 = 5$.
$\text{RHD} = \frac{d}{dx}(bx + 2) = b$.
अतः,$b = 5$.
समीकरण $1$ में $b = 5$ रखने पर: $5 - a = 2 \Rightarrow a = 3$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 3x + 2 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 1)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $\alpha = 1$ और $\beta = 2$ हैं।
इसलिए,$f(x) = |x - 1| + |x - 2|$।
अंतराल $x \in [1, 2]$ के लिए,$x - 1 \ge 0$ और $x - 2 \le 0$ होता है।
अतः,$f(x) = (x - 1) - (x - 2) = x - 1 - x + 2 = 1$।
चूँकि $f(x) = 1$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह अंतराल $[1, 2]$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है।
अतः,$[1, 2]$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,$0$ है।

(D) $x=1$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम परिभाषा का उपयोग करके अवकलज की गणना करते हैं: $f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.
दिया गया है $f(1) = 1$ और $h \neq 0$ के लिए,$f(1+h) = e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h})$.
इन मानों को सीमा की परिभाषा में रखने पर:
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.
विस्तार $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (1+h)^{10}-1 = 1 + 10h + \dots - 1 = 10h + O(h^2)$:
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + (10h + O(h^2)) + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{10h + O(h^2) + h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} (10 + O(h) + h \sin(\frac{1}{h}))$.
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार $\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$ है,इसलिए हमें $f^{\prime}(1) = 10 + 0 + 0 = 10$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = a \sin |x| + b e^{|x|}$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin |-h| + b e^{|-h|} - (a \sin 0 + b e^0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin(-h) + b e^{-h} - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-a \sin h + b(e^{-h} - 1)}{h} = -a - b$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin h + b e^h - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin h + b(e^h - 1)}{h} = a + b$.
अवकलनीयता के लिए,$LHD = RHD \implies -a - b = a + b \implies 2a + 2b = 0 \implies a + b = 0$.

(C) हमें $g(x) = x f^{\prime}(x)$ दिया गया है।
$g^{\prime}(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$g^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h}$.
चूँकि $g(0) = 0 \cdot f^{\prime}(0) = 0$,इसलिए:
$g^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h f^{\prime}(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} f^{\prime}(h)$.
यह दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$,$x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{h \to 0} f^{\prime}(h) = f^{\prime}(0)$.
चूँकि $f^{\prime}(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $g^{\prime}(0) = 1$ प्राप्त होता है।

(C) हमें फलन $f(x) = \max \{a-x, a+x, b\}$ दिया गया है।
अवकलनीयता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम फलनों $y_1 = a-x$,$y_2 = a+x$,और $y_3 = b$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. $y_1$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $a-x = b \implies x = a-b$.
$2$. $y_2$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $a+x = b \implies x = b-a$.
$3$. $y_1$ और $y_2$ का प्रतिच्छेदन: $a-x = a+x \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
चूंकि $0 < a < b$,इसलिए $a-b < 0$ और $b-a > 0$ है।
$x = a-b$ पर,$f(x)$,$a-x$ से $b$ में परिवर्तित होता है,जिससे एक तीक्ष्ण मोड़ बनता है।
$x = b-a$ पर,$f(x)$,$b$ से $a+x$ में परिवर्तित होता है,जिससे एक तीक्ष्ण मोड़ बनता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = \max \{a, a, b\} = b$ (चूंकि $b > a$)। अंतराल $[a-b, b-a]$ में फलन $b$ है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय है।
अतः,अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $2$ है: $x = a-b$ और $x = b-a$।

(B) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए और $f'(1^-) = f'(1^+)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 1$ पर सांतत्य के लिए,$f(1^-) = f(1^+)$ होगा।
$f(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2 \alpha (x^2 - 2) + 2 \beta x) = 2 \alpha (1 - 2) + 2 \beta (1) = -2 \alpha + 2 \beta$.
$f(1^+) = (\alpha + 3)(1) + (\alpha - \beta) = 2 \alpha - \beta + 3$.
दोनों को बराबर करने पर: $-2 \alpha + 2 \beta = 2 \alpha - \beta + 3 \Rightarrow 4 \alpha - 3 \beta = -3$ $\quad (1)$.
इसके बाद,अवकलनीयता के लिए,$f'(1^-) = f'(1^+)$ होगा।
$x < 1$ के लिए $f'(x) = 4 \alpha x + 2 \beta$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) = \alpha + 3$ है।
$f'(1^-) = 4 \alpha + 2 \beta$.
$f'(1^+) = \alpha + 3$.
दोनों को बराबर करने पर: $4 \alpha + 2 \beta = \alpha + 3 \Rightarrow 3 \alpha + 2 \beta = 3$ $\quad (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(2)$ से,$2 \beta = 3 - 3 \alpha \Rightarrow \beta = \frac{3 - 3 \alpha}{2}$.
इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4 \alpha - 3(\frac{3 - 3 \alpha}{2}) = -3 \Rightarrow 8 \alpha - 9 + 9 \alpha = -6 \Rightarrow 17 \alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{17}$.
अतः $\beta = \frac{3 - 3(3/17)}{2} = \frac{3 - 9/17}{2} = \frac{42/17}{2} = \frac{21}{17}$.
इस प्रकार,$34(\alpha + \beta) = 34(\frac{3}{17} + \frac{21}{17}) = 34(\frac{24}{17}) = 2 \times 24 = 48$.

(D) फलन $f(x) = e^{\sin |x|} - |x|$ है।
सबसे पहले, $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें। फलन $f(x)$ में $|x|$ पद है, जो $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, $f(x)$, $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः, कथन $I$ असत्य है।
अब, अंतराल $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में कथन $II$ के लिए विचार करें। $x < 0$ के लिए, $|x| = -x$ होता है। अतः, $f(x) = e^{\sin(-x)} - (-x) = e^{-\sin x} + x$ होगा।
अवकलन करने पर, $f'(x) = e^{-\sin x}(-\cos x) + 1 = 1 - e^{-\sin x}\cos x$ प्राप्त होता है।
$x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2})$ के लिए, $\sin x \in (-1, 0)$ और $\cos x \in (-1, 0)$ है।
चूँकि $\sin x$ ऋणात्मक है, इसलिए $-\sin x$ धनात्मक है, अतः $e^{-\sin x} > e^0 = 1$ होता है। साथ ही, $\cos x$ ऋणात्मक है।
अतः, $-e^{-\sin x}\cos x$ एक धनात्मक संख्या है। इसलिए, $f'(x) = 1 + (\text{धनात्मक मान}) > 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f'(x) > 0$ है, इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ में वर्धमान है। अतः, कथन $II$ सत्य है।