Differentiability Questions in Hindi

(A) फलन $f(x) = |x| + |x - 1|$ पर विचार करें।
चूंकि मापांक फलन हर जगह सतत होता है और दो सतत फलनों का योग भी सतत होता है,इसलिए $f(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
$f(x)$ की अवकलनीयता की जांच करने के लिए,हम उन बिंदुओं की जांच करते हैं जहां मापांक के अंदर का व्यंजक अपना चिह्न बदलता है,जो $x = 0$ और $x = 1$ हैं।
$x = 0$ पर:
बायां अवकलज $(LHD)$ $= \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(-x - x + 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2x}{x} = -2$.
दायां अवकलज $(RHD)$ $= \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x - x + 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{0}{x} = 0$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर:
$LHD$ $= \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x - x + 1) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{0}{x - 1} = 0$.
$RHD$ $= \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x + x - 1) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 2}{x - 1} = 2$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x) = |x| + |x - 1|$ हर जगह सतत है लेकिन ठीक दो बिंदुओं $x = 0$ और $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) फलन को $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$x = 0$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x = 0$ है।
$x = 0$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$ है।
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$x = 1$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$ है।
$x = 1$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x = 2$ है।
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,जिन बिंदुओं पर $f$ अवकलनीय नहीं है,उनका समुच्चय $S = \{0, 1\}$ है।

(A) $f''(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = 5x^4 \sin(1/x) - x^3 \cos(1/x) + 10x$. अतः,$f'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h^4 \sin(1/h) + 5h) = 0$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 5x^4 \cos(1/x) + x^3 \sin(1/h) + 2\lambda x$. अतः,$f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h^4 \cos(1/h) + \lambda h) = 0$.
अब,$f''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(h) - f'(0)}{h}$.
$x=0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$: $\lim_{h \to 0^-} \frac{5h^4 \sin(1/h) - h^3 \cos(1/h) + 10h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (5h^3 \sin(1/h) - h^2 \cos(1/h) + 10) = 10$.
$x=0$ पर दायां अवकलज $(RHD)$: $\lim_{h \to 0^+} \frac{5h^4 \cos(1/h) + h^3 \sin(1/h) + 2\lambda h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (5h^3 \cos(1/h) + h^2 \sin(1/h) + 2\lambda) = 2\lambda$.
$f''(0)$ के अस्तित्व के लिए,$LHD$ = $RHD$,इसलिए $2\lambda = 10$,जिसका अर्थ है $\lambda = 5$।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & ; |x| \geq 1 \\ ax^2 + b & ; |x| < 1 \end{cases}$.
$x \geq 1$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{x}$. $x \leq -1$ के लिए,$f(x) = -\frac{1}{x}$.
चूंकि $f(x)$ प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies a(1)^2 + b = \frac{1}{1} \implies a + b = 1 \quad \dots(1)$.
साथ ही,$f(x)$ को $x = 1$ पर अवकलनीय होना चाहिए.
$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x^2} & ; x > 1 \\ 2ax & ; -1 < x < 1 \end{cases}$.
$x = 1$ पर अवकलजों की तुलना करने पर:
$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2a(1) = -\frac{1}{(1)^2} \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}$.
समीकरण $(1)$ में $a = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$-\frac{1}{2} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{3}{2}$ प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया फलन: $f(x) = |2x+1| - 3|x+2| + |x^2+x-2|$
द्विघात पद का गुणनखंड करने पर: $|x^2+x-2| = |(x+2)(x-1)| = |x+2||x-1|$
फलन में मान रखने पर: $f(x) = |2x+1| - 3|x+2| + |x+2||x-1|$
$f(x) = |2x+1| + |x+2|(|x-1| - 3)$
वे बिंदु जहाँ मापांक के अंदर का मान शून्य होता है,वे $x = -1/2$,$x = -2$,और $x = 1$ हैं।
मान लीजिए $g(x) = |x-1| - 3$ है। फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक का तर्क शून्य होता है,बशर्ते कि वहाँ फलन का कोई स्मूथ टर्निंग पॉइंट न हो।
$1$. $x = -1/2$ पर,$|2x+1|$ अवकलनीय नहीं है,और अन्य पद अवकलनीय हैं। अतः,$x = -1/2$ एक गैर-अवकलनीय बिंदु है।
$2$. $x = 1$ पर,$|x-1|$ अवकलनीय नहीं है,और $|x+2| = 3 \neq 0$ है। अतः,$x = 1$ एक गैर-अवकलनीय बिंदु है।
$3$. $x = -2$ पर,हम व्यवहार की जाँच करते हैं: $f(x) = |2x+1| + |x+2|(|x-1|-3)$। $x = -2$ के निकट,$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ है। अतः $f(x) \approx |2x+1| + |x+2|(1-x-3) = |2x+1| + |x+2|(-x-2) = |2x+1| - |x+2|(x+2) = |2x+1| - (x+2)^2$। चूँकि $(x+2)^2$ बिंदु $x = -2$ पर अवकलनीय है,इसलिए $|x+2|$ की गैर-अवकलनीयता $(x+2)$ गुणनखंड द्वारा समाप्त हो जाती है।
अतः,गैर-अवकलनीय बिंदु $x = -1/2$ और $x = 1$ हैं।
गैर-अवकलनीय बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(C) $x \in [-2, 2]$ के लिए,$f(x) = \min \{|x|, 2-x^2\}$ है।
$|x| = 2-x^2$ को हल करने पर,हमें $x^2 + |x| - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(|x|+2)(|x|-1) = 0$ देता है। चूँकि $|x| \geq 0$,इसलिए $|x| = 1$,अतः $x = \pm 1$ है।
इस प्रकार,$x \in [-1, 1]$ के लिए $f(x) = |x|$ और $x \in [-2, -1) \cup (1, 2]$ के लिए $f(x) = 2-x^2$ है।
$(-2, 2)$ में अवकलनीय न होने वाले बिंदु $x = -1, 0, 1$ हैं (क्योंकि $|x|$ और वक्रों के प्रतिच्छेदन के कारण)।
$2 < |x| \leq 3$ के लिए,$f(x) = [|x|]$ है।
$x \in (2, 3]$ के लिए,$x \in (2, 3)$ के लिए $f(x) = [x] = 2$ और $f(3) = 3$ है। यह $x = 3$ (जो $(-3, 3)$ में नहीं है) और $x = 2$ (जंप असंततता) पर असंतत है।
$x \in [-3, -2)$ के लिए,$f(x) = [|x|]$ है। $x \in (-3, -2)$ के लिए,$f(x) = 2$ है। $x = -2$ पर,$f(-2) = 2$ और $x = -3$ पर,$f(-3) = 3$ है।
बिंदुओं की जाँच करने पर: $x = -2, -1, 0, 1, 2$। इन $5$ बिंदुओं पर,फलन या तो असंतत है या वहाँ एक तीक्ष्ण कोना (sharp corner) है।
अतः,अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $5$ है।

(C) दिया गया है $f(x)=|x^{2}-2 x-3| \cdot e^{|9 x^{2}-12 x+4|}$.
हम निरपेक्ष मानों के अंदर के व्यंजकों का गुणनखंड कर सकते हैं:
$x^{2}-2 x-3 = (x-3)(x+1)$
$9 x^{2}-12 x+4 = (3 x-2)^{2}$
अतः,$f(x)=|(x-3)(x+1)| \cdot e^{(3 x-2)^{2}}$.
ध्यान दें कि $e^{(3 x-2)^{2}}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए एक सुचारू और अवकलनीय फलन है।
$f(x)$ की अवकलनीयता पूरी तरह से $|(x-3)(x+1)|$ पद पर निर्भर करती है।
$|g(x)|$ के रूप का फलन $g(x)$ के उन मूलों पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ चिह्न बदलता है।
यहाँ,$g(x) = (x-3)(x+1)$ का चिह्न $x=3$ और $x=-1$ पर बदलता है।
$x=3$ और $x=-1$ पर,फलन $|(x-3)(x+1)|$ में तीक्ष्ण कोने (cusps) होते हैं।
इसलिए,$f(x)$ ठीक दो बिंदुओं $x=3$ और $x=-1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) मान लीजिए $f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t - 3$.
तब $f'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$.
क्रांतिक बिंदु $t=1$ और $t=3$ हैं।
$f(0) = -3$,$f(1) = 1 - 6 + 9 - 3 = 1$,और $f(3) = 27 - 54 + 27 - 3 = -3$.
$0 \leq x \leq 1$ के लिए,$f(t)$ वर्धमान फलन है,इसलिए $\max_{0 \leq t \leq x} f(t) = f(x)$.
$1 < x \leq 3$ के लिए,$[0, x]$ पर $f(t)$ का अधिकतम मान $f(1) = 1$ है।
अतः,$g(x) = \begin{cases} x^3 - 6x^2 + 9x - 3 & , 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & , 1 < x \leq 3 \\ 4 - x & , 3 < x \leq 4 \end{cases}$.
अब अवकलनीयता की जाँच करें:
$x=1$ पर: $g'(1^-) = f'(1) = 0$ और $g'(1^+) = 0$. अतः $g(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है।
$x=3$ पर: $g(3^-) = 1$ और $g(3^+) = 4-3 = 1$. $g(x)$,$x=3$ पर संतत है।
$g'(3^-) = 0$ और $g'(3^+) = -1$. चूँकि $g'(3^-) \neq g'(3^+)$,इसलिए $g(x)$,$x=3$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,अंतराल $(0,4)$ में केवल $1$ बिंदु ऐसा है जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।

(C) सबसे पहले,शर्त $8x^2 - 6x + 1 < 0$ का विश्लेषण करें। $(2x - 1)(4x - 1) < 0$ को हल करने पर,हमें $x \in (1/4, 1/2)$ प्राप्त होता है।
$x \in (1/4, 1/2)$ के लिए,$f(x) = [4x^2 - 8x + 5]$ है। मान लीजिए $g(x) = 4x^2 - 8x + 5 = 4(x-1)^2 + 1$ है। अंतराल $(1/4, 1/2)$ में,$g(x)$ का मान $g(1/4) = 4(1/16) - 2 + 5 = 13/4 = 3.25$ से घटकर $g(1/2) = 4(1/4) - 4 + 5 = 2$ हो जाता है।
इस प्रकार,$f(x) = [g(x)]$ का मान $x \in (1/4, x_1)$ के लिए $3$ होता है जहाँ $g(x_1) = 3$,और $x \in [x_1, 1/2)$ के लिए $2$ होता है।
$x = 1/4$ पर,$g(1/4) = 3.25$ है। फलन सतत है लेकिन यहाँ एक कोना बनता है (अवकलनीय नहीं है)।
$x = x_1$ पर,$g(x_1) = 3$ है। फलन $3$ से $2$ पर कूदता है,इसलिए यह असतत है और अवकलनीय नहीं है।
$x = 1/2$ पर,$g(1/2) = 2$ है। फलन $2$ से $g(1/2) = 2$ पर जाता है (सतत है),लेकिन अवकलज अचानक बदल जाता है,जिससे यह अवकलनीय नहीं रह जाता है।
अतः,गैर-अवकलनीय बिंदु $x = 1/4, x_1, 1/2$ हैं। बिंदुओं की कुल संख्या $3$ है।

(B) फलन $f(x) = 4|2x + 3| + 9[x + \frac{1}{2}] - 12[x + 20]$ दिया गया है।
$1$. पद $4|2x + 3|$,$2x + 3 = 0$ अर्थात $x = -\frac{3}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है। यह $1$ बिंदु है।
$2$. पद $9[x + \frac{1}{2}]$,$x + \frac{1}{2} = k$ (जहाँ $k$ पूर्णांक है) के लिए अवकलनीय नहीं है। अंतराल $(-20, 20)$ में,$x + \frac{1}{2} \in (-19.5, 20.5)$ है। पूर्णांक $k \in \{-19, -18, \dots, 20\}$ हैं। कुल $40$ बिंदु हैं। चूँकि $x = -\frac{3}{2}$ पर $x + \frac{1}{2} = -1$ है,जो एक पूर्णांक है,अतः एक बिंदु उभयनिष्ठ है।
$3$. पद $-12[x + 20]$,$x + 20 = k$ के लिए अवकलनीय नहीं है। अंतराल $(-20, 20)$ में,$x + 20 \in (0, 40)$ है। पूर्णांक $k \in \{1, 2, \dots, 39\}$ हैं। कुल $39$ बिंदु हैं।
$4$. कुल गैर-अवकलनीय बिंदुओं की संख्या = $1 + 39 + 39 = 79$।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x^2-5x+4|$.
द्विघात पद का गुणनखंड करने पर: $x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$.
अतः,$f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-1||x-4|$.
$|x-1|$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $f(x) = |x-1| [\cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-4|]$.
मान लीजिए $g(x) = |x-1|$ और $h(x) = \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-4|$.
फलन $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है,बशर्ते उन बिंदुओं पर $h(x) \neq 0$ हो।
$g(x) = |x-1|$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$h(1) = \cos |1-2| \sin |1-1| + (1-3)|1-4| = \cos(1) \cdot 0 + (-2) \cdot |-3| = -6 \neq 0$ की जाँच करें।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अब $h(x)$ में $|x-4|$ पद की जाँच करें। फलन $f(x)$ में $(x-3)$ के साथ $|x-4|$ का गुणा है।
$x = 4$ पर,$f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-1||x-4|$.
$x = 4$ के निकट,$|x-1| \cos |x-2| \sin |x-1|$ पद अवकलनीय है।
पद $(x-3)|x-1||x-4|$,$k(x)|x-4|$ के रूप में है,जहाँ $k(4) = (4-3)|4-1| = 3 \neq 0$.
चूँकि $k(4) \neq 0$,फलन $x = 4$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,फलन $x = 1$ और $x = 4$ पर अवकलनीय नहीं है। कुल बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x^2)}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 0 \cdot 1 = 0 = f(0)$.
चूंकि सीमा फलन के मान के बराबर है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है।
अब,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin(h^2)}{h} - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h^2)}{h^2} = 1$.
चूंकि सीमा मौजूद है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है।
अब,$x \neq 0$ के लिए $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{x \cdot \cos(x^2) \cdot 2x - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2} = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}$.
जाँच करें कि क्या $f'(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है:
$\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) = 2(1) - 1 = 1$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = f'(0) = 1$,इसलिए अवकलज $x=0$ पर सतत है।
अतः,$f$ अवकलनीय है और इसका अवकलज सतत है।

(B) दिया गया है $f(x) = x |\sin x|$.
$x = n\pi$ (जहाँ $n \in Z$) पर,हम अवकलनीयता की परिभाषा का उपयोग करके जाँच करते हैं:
$f'(n\pi) = \lim_{x \to n\pi} \frac{f(x) - f(n\pi)}{x - n\pi} = \lim_{x \to n\pi} \frac{x |\sin x| - 0}{x - n\pi} = \lim_{x \to n\pi} \frac{x |\sin x|}{x - n\pi}$.
मान लीजिए $x = n\pi + h$,जहाँ $h \to 0$.
तब $f'(n\pi) = \lim_{h \to 0} \frac{(n\pi + h) |\sin(n\pi + h)|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(n\pi + h) |(-1)^n \sin h|}{h} = \lim_{h \to 0} (n\pi + h) \frac{|\sin h|}{|h|} \cdot |h| \cdot \frac{(-1)^n}{h}$.
चूँकि $h \to 0$ होने पर $\frac{|\sin h|}{h} \to 1$,सीमा $\lim_{h \to 0} (n\pi + h) \cdot 1 \cdot \frac{|h|}{h} \cdot (-1)^n$ बन जाती है।
$n = 0$ के लिए,$f'(0) = \lim_{h \to 0} h \cdot \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0} |h| = 0$। अतः,$f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$n \neq 0$ के लिए,सीमा $\lim_{h \to 0} n\pi \cdot (-1)^n \cdot \frac{|h|}{h}$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा $-n\pi(-1)^n$ है और दाएँ हाथ की सीमा $n\pi(-1)^n$ है।
इसलिए,$f(x)$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है सिवाय $x = n\pi$ जहाँ $n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ है।

(C) $x=0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की सीमा का परीक्षण करते हैं:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \left| \cos \left(\frac{\pi}{h}\right) \right| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \left| \cos \left(\frac{\pi}{h}\right) \right|$.
चूँकि $|\cos(\frac{\pi}{h})| \leq 1$,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{h \to 0} h \left| \cos \left(\frac{\pi}{h}\right) \right| = 0$. अतः,$f$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।
$x \neq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 |\cos(\frac{\pi}{x})|$। फलन $|\cos(\frac{\pi}{x})|$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ निरपेक्ष मान का तर्क शून्य हो,अर्थात $\cos(\frac{\pi}{x}) = 0$.
$\cos(\frac{\pi}{x}) = 0 \implies \frac{\pi}{x} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in Z$.
$x = \frac{2}{2n+1}$.
अतः,$f$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $x = \frac{2}{2n+1}$ है,जहाँ $n \in Z$।

(B) चूंकि $f(x)$,$R$ पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin x^2}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x^2 + ax + b)$
सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\lim_{x \rightarrow 0^-} (x \cdot \frac{\sin x^2}{x^2}) = 0 \cdot 1 = 0$.
अतः,$0 = b$,इसलिए $b = 0$.
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ दाएं अवकलज $(RHD)$ के बराबर होना चाहिए:
$LHD = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{\frac{\sin(-h)^2}{-h} - 0}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{\sin h^2}{h^2} = 1$.
$RHD = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h^2 + ah + b - b}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} (h + a) = a$.
$LHD$ और $RHD$ की तुलना करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1$ और $b = 0$।

(D) फलन $f(x) = [a + 13 \sin x]$ है,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।
चूंकि $a$ एक पूर्णांक है,हम $f(x) = a + [13 \sin x]$ लिख सकते हैं।
फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ महत्तम पूर्णांक फलन का तर्क,$13 \sin x$,एक पूर्णांक है।
$x \in (0, \pi)$ के लिए,$13 \sin x$ का परिसर $(0, 13]$ है।
$13 \sin x$ का मान $1, 2, 3, \dots, 13$ होने पर यह पूर्णांक बनता है।
प्रत्येक पूर्णांक $k \in \{1, 2, \dots, 12\}$ के लिए,$(0, \pi)$ में $x$ के $2$ मान हैं जिनके लिए $13 \sin x = k$ होता है।
$k = 13$ के लिए,$(0, \pi)$ में $x$ का केवल $1$ मान है,जो $x = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,उन बिंदुओं की कुल संख्या जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है,$2 \times 12 + 1 = 25$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & , x \geq 2 \\ ax^2 + 2b & , -2 < x < 2 \\ -\frac{1}{x} & , x \leq -2 \end{cases}$।
$f(x)$ के $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 2$ और $x = -2$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।
$x = 2$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$।
$\frac{1}{2} = a(2)^2 + 2b \Rightarrow 4a + 2b = \frac{1}{2} \Rightarrow 8a + 4b = 1$।
$x = 2$ पर अवकलनीयता के लिए,$f'(2^+) = f'(2^-)$।
$x > 2$ के लिए $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ और $-2 < x < 2$ के लिए $f'(x) = 2ax$।
$-\frac{1}{2^2} = 2a(2) \Rightarrow -\frac{1}{4} = 4a \Rightarrow a = -\frac{1}{16}$।
$a = -\frac{1}{16}$ को $8a + 4b = 1$ में रखने पर:
$8(-\frac{1}{16}) + 4b = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} + 4b = 1 \Rightarrow 4b = \frac{3}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{8}$।
अब,$48(a+b)$ की गणना करने पर:
$48(-\frac{1}{16} + \frac{3}{8}) = 48(\frac{-1+6}{16}) = 48(\frac{5}{16}) = 3 \times 5 = 15$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{-\left|\ln x\right|}$ है,जहाँ $x \in (0, \infty)$.
मापांक की परिभाषा का उपयोग करके हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} e^{-(-\ln x)} = e^{\ln x} = x, & 0 < x < 1 \\ e^{-\ln x} = \frac{1}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$
अब,$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$
दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$
$x = 1$ पर फलन का मान: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$
चूँकि सभी सीमाएँ समान हैं,फलन अपने प्रांत में हर जगह सतत है। अतः,$m = 0$.
अब,$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
बायाँ अवकलज: $f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) \big|_{x=1} = 1$
दायाँ अवकलज: $f'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) \big|_{x=1} = -\frac{1}{x^2} \big|_{x=1} = -1$
चूँकि $f'(1^-) \neq f'(1^+)$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$n = 1$.
इस प्रकार,$m + n = 0 + 1 = 1$.

(D) दिया गया है $f(x) = |2x^2 + 5|x| - 3|$।
चूँकि $f(x)$ सतत फलनों (बहुपद और मापांक फलन) का संयोजन है,यह हर जगह सतत है। अतः,असंतत बिंदुओं की संख्या $m = 0$ है।
अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $g(x) = 2x^2 + 5|x| - 3$ का विश्लेषण करते हैं।
$x \ge 0$ के लिए,$g(x) = 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$। शून्यक $x = 1/2$ और $x = -3$ हैं। चूँकि हम $x \ge 0$ पर विचार करते हैं,शून्यक $x = 1/2$ है।
$x < 0$ के लिए,$g(x) = 2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$। शून्यक $x = -1/2$ और $x = 3$ हैं। चूँकि हम $x < 0$ पर विचार करते हैं,शून्यक $x = -1/2$ है।
इसके अलावा,फलन $f(x)$ में $|x|$ शामिल है,जो $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $2x^2 + 5|x| - 3 = 0$ (जहाँ ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करता है) और $x = 0$ पर।
ये बिंदु $x = 1/2$,$x = -1/2$,और $x = 0$ हैं।
अतः,अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $n = 3$ है।
इसलिए,$m + n = 0 + 3 = 3$।

(C) दिया गया है $f(x) = a \cos (|x^3-x|) + b|x| \sin (|x^3+x|)$.
चूंकि $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$,हमारे पास $\cos(|x^3-x|) = \cos(x^3-x)$ है।
साथ ही,सभी $x \in R$ के लिए $|x| \sin(|x^3+x|) = x \sin(x^3+x)$ है क्योंकि यदि $x \ge 0$,तो $|x|=x$ और $|x^3+x|=x^3+x$,और यदि $x < 0$,तो $|x|=-x$ और $|x^3+x|=-(x^3+x)$,इसलिए $-x \sin(-(x^3+x)) = -x(-\sin(x^3+x)) = x \sin(x^3+x)$.
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = a \cos(x^3-x) + b x \sin(x^3+x)$.
चूंकि $\cos(x^3-x)$ और $x \sin(x^3+x)$ $R$ पर अवकलनीय फलन हैं,इसलिए $f(x)$ किसी भी $a, b \in R$ के लिए सभी $x \in R$ पर अवकलनीय है।
इसलिए,$f$ किसी भी $a, b \in R$ के लिए $x=0$ और $x=1$ पर अवकलनीय है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ यदि $a=0, b=1$ है तो $x=0$ पर अवकलनीय है (सही)।
$(B)$ यदि $a=1, b=0$ है तो $x=1$ पर अवकलनीय है (सही)।
$(C)$ यदि $a=1, b=0$ है तो $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है (गलत)।
$(D)$ यदि $a=1, b=1$ है तो $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है (गलत)।
अतः,विकल्प $A$ और $B$ सही हैं।

(B) $(i)$ $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$LHD = f'(0^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(-h)^2 |\cos(-\pi/h)| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} -h |\cos(\pi/h)| = 0$.
$RHD = f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 |\cos(\pi/h)| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h |\cos(\pi/h)| = 0$.
चूँकि $LHD = RHD = 0$,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है।
$(ii)$ $x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$f(2) = 2^2 |\cos(\pi/2)| = 0$.
$RHD = f'(2^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2 |\cos(\pi/(2+h))|}{h}$.
छोटे $h > 0$ के लिए $\cos(\pi/(2+h)) > 0$ है,इसलिए $|\cos(\pi/(2+h))| = \cos(\pi/(2+h)) = \sin(\pi/2 - \pi/(2+h)) = \sin(\pi h / (2(2+h)))$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2 \sin(\pi h / (2(2+h)))}{h} = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$.
$LHD = f'(2^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-h)^2 |\cos(\pi/(2-h))|}{-h}$.
छोटे $h > 0$ के लिए $\cos(\pi/(2-h)) < 0$ है,इसलिए $|\cos(\pi/(2-h))| = -\cos(\pi/(2-h)) = -\sin(\pi/2 - \pi/(2-h)) = -\sin(-\pi h / (2(2-h))) = \sin(\pi h / (2(2-h)))$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-h)^2 \sin(\pi h / (2(2-h)))}{-h} = 4 \cdot (-\pi/4) = -\pi$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f(x)$ $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = x - x^2 + (x - 1) \sin x = -(x - 1)^2 + (x - 1) \sin x = (x - 1) [-(x - 1) + \sin x]$.
ध्यान दें कि $f(1) = 0$ है।
साथ ही,$f'(x) = 1 - 2x + \sin x + (x - 1) \cos x$ है। अतः,$f'(1) = 1 - 2 + \sin 1 + 0 = \sin 1 - 1$ है।
मान लीजिए $h(x) = (fg)(x) = f(x)g(x)$ है।
$x=1$ पर अवकलनीयता के लिए,हम $h'(1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(1+k)g(1+k) - f(1)g(1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{f(1+k)g(1+k)}{k}$ की जाँच करते हैं।
चूंकि $f(1+k) = k(-k + \sin(1+k))$ है,सीमा $\lim_{k \to 0} \frac{k(-k + \sin(1+k))g(1+k)}{k} = \lim_{k \to 0} (-k + \sin(1+k))g(1+k) = \sin(1) \cdot g(1)$ हो जाती है।
यदि $g$,$x=1$ पर सतत है,तो $g(1+k) \to g(1)$,इसलिए सीमा का अस्तित्व है। अतः,$(A)$ सत्य है।
यदि $g$,$x=1$ पर अवकलनीय है,तो यह सतत भी है,इसलिए $(C)$ सत्य है।
यदि $fg$ अवकलनीय है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $g$ सतत या अवकलनीय है। अतः,$(B)$ और $(D)$ असत्य हैं।
इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

(B) दिया गया है $f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)\text{।}$ दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर $1 + f(x+y) = (1 + f(x))(1 + f(y))$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $h(x) = 1 + f(x)\text{।}$ तब $h(x+y) = h(x)h(y)\text{।}$
चूंकि $f(x) = xg(x)$ और $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$,हमारे पास $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ है,इसलिए $h(0) = 1 + f(0) = 1\text{।}$
$h(x+y) = h(x)h(y)$ के लिए,हल $h(x) = e^{cx}$ है।
अतः $1 + f(x) = e^{cx}$,या $f(x) = e^{cx} - 1\text{।}$
दिया गया है $f(x) = xg(x)$,हमारे पास $g(x) = \frac{e^{cx}-1}{x}$ है।
$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{cx}-1}{x} = c\text{।}$
चूंकि $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$,हमारे पास $c = 1$ है।
इसलिए,$f(x) = e^x - 1\text{।}$
$f'(x) = e^x$,जो सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $(A)$ $TRUE$ है।
$f'(0) = e^0 = 1$,इसलिए $(D)$ $TRUE$ है।
$f'(1) = e^1 = e \neq 1$,इसलिए $(C)$ $FALSE$ है।
$g(x) = \frac{e^x-1}{x}$ के लिए जब $x \neq 0$ और $g(0)=1$,$g$ सभी $x \neq 0$ पर अवकलनीय है। $x=0$ पर,$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{e^h-1}{h}-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1-h}{h^2} = \frac{1}{2}$। अतः $g$ हर जगह अवकलनीय है,इसलिए $(B)$ $TRUE$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = |x| + 1$ और $g(x) = x^2 + 1$।
$x \leq 0$ के लिए,$f(x) = -x + 1$ और $g(x) = x^2 + 1$। हम $h(x) = \max\{-x+1, x^2+1\}$ परिभाषित करते हैं।
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $x^2+1 \geq -x+1$ है (क्योंकि $x^2+x \geq 0$),इसलिए $x \in [-1, 0]$ के लिए $h(x) = x^2+1$ और $x < -1$ के लिए $h(x) = -x+1$ है।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = x + 1$ और $g(x) = x^2 + 1$। हम $h(x) = \min\{x+1, x^2+1\}$ परिभाषित करते हैं।
चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x^2+1 \leq x+1$ है (क्योंकि $x^2-x \leq 0$),इसलिए $x \in [0, 1]$ के लिए $h(x) = x^2+1$ और $x > 1$ के लिए $h(x) = x+1$ है।
अतः,$h(x) = \begin{cases} -x+1 & x < -1 \\ x^2+1 & -1 \leq x \leq 1 \\ x+1 & x > 1 \end{cases}$।
अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = -1$ पर: $h(-1) = 2$। बायां अवकलज $-1$ है,दायां अवकलज $2(-1) = -2$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $h(1) = 2$। बायां अवकलज $2(1) = 2$ है,दायां अवकलज $1$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $h(0) = 1$। बायां अवकलज $2(0) = 0$ है,दायां अवकलज $2(0) = 0$ है। अवकलनीय है।
अवकलनीय न होने वाले बिंदुओं की संख्या $2$ है।

(D) $f(x)$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:
$\text{LHD} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{f(0-\delta) - f(0)}{-\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{\frac{-\delta}{|-\delta|} g(-\delta) - 0}{-\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{-g(-\delta)}{-\delta} = g^{\prime}(0) = 0$.
$\text{RHD} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{f(0+\delta) - f(0)}{\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{\frac{\delta}{|\delta|} g(\delta) - 0}{\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{g(\delta)}{\delta} = g^{\prime}(0) = 0$.
चूँकि $\text{LHD} = \text{RHD} = 0$,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है।
$h(x) = e^{|x|}$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:
$h(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि $|x|$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$f(h(x))$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:
चूँकि $h(x) = e^{|x|} > 0$ सभी $x$ के लिए,$f(h(x)) = \frac{h(x)}{|h(x)|} g(h(x)) = 1 \cdot g(e^{|x|}) = g(e^{|x|})$.
$\text{LHD} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{g(e^{|-\delta|}) - g(e^0)}{-\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{g(e^{\delta}) - g(1)}{-\delta} = -g^{\prime}(1)$.
$\text{RHD} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{g(e^{\delta}) - g(1)}{\delta} = g^{\prime}(1)$.
चूँकि $g^{\prime}(1) \neq 0$,इसलिए $f(h(x))$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$h(f(x))$ की $x=0$ पर अवकलनीयता:
$h(f(x)) = e^{|f(x)|} = e^{|\frac{x}{|x|} g(x)|} = e^{|g(x)|}$.
$\text{LHD} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{e^{|g(-\delta)|} - e^{|g(0)|}}{-\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{e^{|g(-\delta)|} - 1}{|g(-\delta)|} \cdot \frac{|g(-\delta)|}{-\delta} = 1 \cdot 0 = 0$.
$\text{RHD} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{e^{|g(\delta)|} - 1}{\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \frac{e^{|g(\delta)|} - 1}{|g(\delta)|} \cdot \frac{|g(\delta)|}{\delta} = 1 \cdot 0 = 0$.
अतः,$h(f(x))$,$x=0$ पर अवकलनीय है।

(C) फलन $f(x) = (x^2 - 1)|x^2 - ax + 2| + \cos|x|$ वहां अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक के अंदर का व्यंजक शून्य होता है,बशर्ते उस बिंदु पर दोहरा मूल न हो।
चूंकि $\cos|x|$ हर जगह अवकलनीय है,हमें केवल $g(x) = x^2 - ax + 2$ की जांच करनी है।
दिया गया है कि $x = \alpha = 2$ एक गैर-अवकलनीय बिंदु है,इसलिए $g(2) = 0$.
$2^2 - a(2) + 2 = 0 \implies 6 - 2a = 0 \implies a = 3$.
$a = 3$ रखने पर,$g(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ प्राप्त होता है।
मूल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
$x = 1$ पर,$f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos|x|$। चूंकि $(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$,पद $(x - 1)^2(x + 1)|x - 2|$ बन जाता है,जो $x = 1$ पर अवकलनीय है।
अतः,$x = 1$ गैर-अवकलनीय बिंदु नहीं है। यदि हम $\beta = 1$ लेते हैं,तो बिंदु $(2, 1)$ की रेखा $12x + 5y + 10 = 0$ से दूरी $d = \frac{|12(2) + 5(1) + 10|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \frac{39}{13} = 3$ होगी।

(C) सबसे पहले,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2-2h^2-h^2 \sin(1/h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2h - h \sin(1/h)) = 0$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f$,$x=0$ पर अवकलनीय है। अतः,$(A)$ गलत है।
$x \neq 0$ के लिए,$f'(x) = -4x - 2x \sin(1/x) + \cos(1/x)$.
जैसे $x \to 0$,$\cos(1/x)$ पद के कारण $f'(x)$ दोलन करता है।
किसी भी $\delta > 0$ के लिए,अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ में,$f'(x)$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेता है क्योंकि $\cos(1/x)$,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है।
इसलिए,$f$ किसी भी अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।
यह $(B)$ को गलत और $(C)$ को सही बनाता है।
अंत में,$f(0)=2$ और छोटे $h \neq 0$ के लिए,$f(h) = 2 - h^2(2 + \sin(1/h)) < 2$. अतः,$x=0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है,जिससे $(D)$ गलत हो जाता है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x \geq 0 \\ e^{x}, & x < 0 \end{cases}$
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{x} = 1$
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{-x} = 1$
साथ ही,$f(0) = e^{0} = 1$
चूंकि $LHL = RHL = f(0)$,इसलिए फलन $x$ के प्रत्येक मान के लिए सतत है।
अब,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जांच करते हैं:
$LHD = \left(\frac{d}{dx} e^{x}\right)_{x = 0} = \left[e^{x}\right]_{x = 0} = 1$
$RHD = \left(\frac{d}{dx} e^{-x}\right)_{x = 0} = \left[-e^{-x}\right]_{x = 0} = -1$
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x) = e^{-|x|}$ हर जगह सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$.
चूंकि $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,हम $x = 0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$.
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \sin(-x) - (-x) + 2(x - \pi) \cos(-x) = -\sin x + x + 2(x - \pi) \cos x$.
अब,हम $x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं।
$x > 0$ के लिए $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x = 3 \cos x - 1 - 2(x - \pi) \sin x$.
$f'(0^+) = 3(1) - 1 - 2(-\pi)(0) = 2$.
$x < 0$ के लिए $f'(x) = -\cos x + 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x = \cos x + 1 - 2(x - \pi) \sin x$.
$f'(0^-) = 1 + 1 - 2(-\pi)(0) = 2$.
चूंकि $f'(0^+) = f'(0^-) = 2$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
चूंकि फलन अन्य सभी बिंदुओं पर अवकलनीय फलनों से बना है,इसलिए $f(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अवकलनीय है।
अतः,$K$ एक रिक्त समुच्चय है।

(A) $f(x) = |x - \pi|(e^{|x|} - 1) \sin |x|$ की $x = \pi$ और $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$1$. $x = \pi$ पर अवकलनीयता:
$f(\pi) = 0$.
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{h \to 0} \frac{f(\pi + h) - f(\pi)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|(e^{|\pi + h|} - 1) \sin |\pi + h|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} (e^{\pi} - 1) \sin \pi = 0$.
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = \pi$ पर अवकलनीय है।
$2$. $x = 0$ पर अवकलनीयता:
$f(0) = 0$.
$\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h - \pi|(e^{|h|} - 1) \sin |h|}{h}$.
जैसे $h \to 0$,$e^{|h|} - 1 \approx |h|$ और $\sin |h| \approx |h|$.
अतः,सीमा $\lim_{h \to 0} \frac{|-\pi| \cdot |h| \cdot |h|}{h} = \lim_{h \to 0} \pi \cdot \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \pi h = 0$.
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर भी अवकलनीय है।
चूंकि फलन हर जगह अवकलनीय है,इसलिए समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय $\phi$ है।

(B) फलन $f(x) = |x-1| e^{x}$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = |x-1|$ और $h(x) = e^{x}$।
हम जानते हैं कि $e^{x}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है।
फलन $g(x) = |x-1|$ हर जगह सतत है लेकिन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि $x = 1$ पर बायां अवकलज और दायां अवकलज समान नहीं हैं।
विशेष रूप से,$x = 1$ पर,बायां अवकलज $-e^{1} = -e$ है और दायां अवकलज $e^{1} = e$ है।
चूंकि एक गैर-अवकलनीय फलन और एक गैर-शून्य अवकलनीय फलन का गुणनफल उस बिंदु पर गैर-अवकलनीय होता है,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,बिंदुओं का वह समुच्चय जहाँ $f(x)$ अवकलनीय है,$R - \{1\}$ है।

(B) दिया गया है,$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)^{2}}} \times \frac{d}{d x}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$
$f^{\prime}(x) = \frac{1+x^{2}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}}} \times \frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}$
$f^{\prime}(x) = \frac{2}{1+x^{2}} \times \frac{1-x^{2}}{|1-x^{2}|}$
यह इस प्रकार सरल होता है:
$f^{\prime}(x) = \begin{cases} \frac{2}{1+x^{2}}, & \text{यदि } |x| < 1 \\ -\frac{2}{1+x^{2}}, & \text{यदि } |x| > 1 \end{cases}$
$x = 1$ और $x = -1$ पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है क्योंकि बायां अवकलज और दायां अवकलज समान नहीं हैं।
अतः,$f(x)$ अंतराल $R - \{-1, 1\}$ पर अवकलनीय है.

(C) $\text{दिया गया है } f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x-1), & x < -1 \\ \tan^{-1} x, & -1 \le x \le 1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & x > 1 \end{cases}$
$\text{अवकलज } f'(x) \text{ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:}$
$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}, & x < -1 \\ \frac{1}{1+x^2}, & -1 < x < 1 \\ \frac{1}{2}, & x > 1 \end{cases}$
$\text{बिंदु } x = -1 \text{ पर: बायां अवकलज } = -\frac{1}{2}, \text{ दायां अवकलज } = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}. \text{ चूंकि } -\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}, \text{ इसलिए } f(x), x = -1 \text{ पर अवकलनीय नहीं है.}$
$\text{बिंदु } x = 1 \text{ पर: बायां अवकलज } = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}, \text{ दायां अवकलज } = \frac{1}{2}. \text{ हालांकि, सांतत्य की जांच करने पर: } f(1) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}, \text{ लेकिन } \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0. \text{ चूंकि } f(x), x = 1 \text{ पर असंतत है, इसलिए यह } x = 1 \text{ पर अवकलनीय नहीं है.}$
$\text{अतः, } f'(x) \text{ का प्रांत } R - \{-1, 1\} \text{ है.}$

(D) दिया गया है,$f(x)=|x-3|$.
हम इस फलन को इस प्रकार पुनः परिभाषित कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} 3-x, & x < 3 \\ 0, & x=3 \\ x-3, & x > 3 \end{cases}$
$x=3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|3+h-3|-0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|3+h-3|-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f^{\prime}(3)$ का अस्तित्व नहीं है।

(A) फलन को $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम इसे खंडों में इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-x}, & x < 0 \\ \frac{x}{1+x}, & x \geq 0 \end{cases}$
अब,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$
$x = 0$ पर दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$:
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$
चूँकि $LHD = RHD = 1$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x \neq 0$ के लिए,फलन एक परिमेय फलन है जिसका हर शून्य नहीं है,इसलिए यह हर जगह अवकलनीय है।
अतः,अवकलज सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए विद्यमान है।

(C) हमारे पास $f(x) = [x]$ है।
$x = 1$ पर दाहिने हाथ के अवकलज (right-hand derivative) की परिभाषा के अनुसार:
$f^{\prime}(1^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.
चूँकि $h$ एक छोटा धनात्मक मान है,$1+h$,$1$ से थोड़ा बड़ा है,इसलिए $[1+h] = 1$.
साथ ही,$[1] = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(1^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{0}{h} = 0$.

(A) $f(x) = [x] \sin(\pi x)$ दिया गया है।
$x = k$ के लिए,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$,बायां अवकलज $(LHD)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(k-h) - f(k)}{-h}$
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,छोटे $h > 0$ के लिए $[k-h] = k-1$ होता है।
साथ ही,$f(k) = [k] \sin(k\pi) = k \cdot 0 = 0$ है।
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(k-1) \sin(\pi(k-h)) - 0}{-h}$
सर्वसमिका $\sin(k\pi - \pi h) = (-1)^{k+1} \sin(\pi h)$ का उपयोग करने पर:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(k-1) (-1)^{k+1} \sin(\pi h)}{-h}$
चूँकि $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi h)}{h} = \pi$ है:
$LHD = (k-1) (-1)^{k+1} (-\pi) = (-1)^k (k-1) \pi$.

(C) ग्राफ फलन $f(x) = |x-1|$ को दर्शाता है।
$x=1$ पर,ग्राफ सतत है क्योंकि वक्र में कोई ब्रेक नहीं है।
हालाँकि,$x=1$ पर,एक तीक्ष्ण कोना (या cusp) है,जिसका अर्थ है कि बाएँ हाथ का अवकलज और दाएँ हाथ का अवकलज बराबर नहीं हैं।
विशेष रूप से,बाएँ हाथ का अवकलज $-1$ है और दाएँ हाथ का अवकलज $1$ है।
इसलिए,फलन $x=1$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = |\cos x|$ है।
हम जानते हैं कि फलन $g(x) = \cos x$ सभी $x \in R$ के लिए सतत और अवकलनीय है।
मापांक फलन $h(x) = |x|$ सर्वत्र सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,संयुक्त फलन $f(x) = |\cos x|$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है।
हालाँकि,$f(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं होगा जहाँ मापांक के अंदर का व्यंजक शून्य हो,अर्थात $\cos x = 0$ पर।
यह $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ पर सभी $n \in Z$ के लिए होता है।
इन बिंदुओं पर,ग्राफ में दिखाए अनुसार $f(x)$ के ग्राफ में तीक्ष्ण कोने (cusps) होते हैं।
अतः,$f(x)$ सर्वत्र सतत है लेकिन $\frac{\pi}{2}$ के विषम गुणजों पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 2a - x & \text{जब } -a < x < a \\ 3x - 2a & \text{जब } a \leq x \end{cases}$.
सबसे पहले,$x = a$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} (2a - x) = 2a - a = a$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (3x - 2a) = 3a - 2a = a$.
फलन का मान: $f(a) = 3(a) - 2a = a$.
चूंकि $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$,इसलिए फलन $x = a$ पर संतत है।
अब,$x = a$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बाएँ हाथ का अवकलज: $Lf'(a) = \frac{d}{dx}(2a - x) = -1$.
दाएँ हाथ का अवकलज: $Rf'(a) = \frac{d}{dx}(3x - 2a) = 3$.
चूंकि $Lf'(a) \neq Rf'(a)$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 2a-x & \text{in } -a < x < a \\ 3x-2a & \text{in } a \leq x \end{cases}$
$x=a$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a} (2a-x) = 2a-a = a$
$RHL = \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a} (3x-2a) = 3a-2a = a$
$f(a) = 3(a)-2a = a$
चूँकि $LHL = RHL = f(a)$,इसलिए फलन $x=a$ पर संतत है।
$x=a$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{2a-(a-h)-a}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{-h} = -1$
$RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3(a+h)-2a-a}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x=a$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर संतत होना चाहिए।
बायां सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^x + ax) = e^0 + a(0) = 1$.
दायां सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} b(x - 1)^2 = b(0 - 1)^2 = b$.
चूंकि फलन संतत है,$LHL = RHL$,इसलिए $b = 1$.
अब,अवकलनीयता के लिए,$x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।
$LHD = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^x + a) = e^0 + a = 1 + a$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2b(x - 1) = 2b(0 - 1) = -2b$.
$LHD$ और $RHD$ की तुलना करने पर: $1 + a = -2b$.
$b = 1$ रखने पर: $1 + a = -2(1) \Rightarrow 1 + a = -2 \Rightarrow a = -3$.
अतः,$a = -3$ और $b = 1$ है।

(B) दिया गया है $f(x)=\begin{cases} x^{3}-1, & 1 < x < \infty \\ x-1, & -\infty < x \leq 1 \end{cases}$
सबसे पहले,हम $x=1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$RHL = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (x^{3}-1) = 1^{3}-1 = 0$
$LHL = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (x-1) = 1-1 = 0$
$f(1) = 1-1 = 0$
चूँकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए फलन $x=1$ पर सतत है।
अब,हम $x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$f'(x) = \begin{cases} 3x^{2}, & 1 < x < \infty \\ 1, & -\infty < x < 1 \end{cases}$
$LHD = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f'(x) = 1$
$RHD = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f'(x) = 3(1)^{2} = 3$
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x=1$ पर अनवकलनीय है।
अतः,फलन सतत और अनवकलनीय है।

(B) हमें सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ का मूल्यांकन करना है।
दिया गया है $f(0) = 0$,व्यंजक $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right) - 0}{x}$ बन जाता है।
$x$ को रद्द करके व्यंजक को सरल करने पर (चूंकि $x \rightarrow 0$ के रूप में $x \neq 0$):
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right)$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$x^2 \rightarrow 0^+$,इसलिए $\log x^2 \rightarrow -\infty$.
फलन $\sin(\log x^2)$ जैसे $x \rightarrow 0$ होता है,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है।
इसलिए,सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(\log x^2)$ का अस्तित्व नहीं है।
परिणामस्वरूप,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) फलन $f(x) = |x-3| + |x+5|$ उन बिंदुओं को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक शून्य होते हैं,जो $x = 3$ और $x = -5$ हैं।
अतः,समुच्चय $A = \mathbb{R} \setminus \{-5, 3\}$ है।
हमें ऐसी वास्तविक संख्याएँ $x$ ज्ञात करनी हैं जो $x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ और $x \notin A$ हों।
$x \notin A$ का अर्थ है $x \in \{-5, 3\}$।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x = -5$ अंतराल $(-\infty, -3)$ में स्थित है।
$x = 3$ अंतराल $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ में स्थित नहीं है।
अतः,केवल $-5$ ही वह संख्या है जो दी गई शर्त को पूरा करती है।
इसलिए,ऐसी वास्तविक संख्याओं की संख्या $1$ है।

(A) फलन $f(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x-1), & \text{यदि } x < -1 \\ \tan^{-1} x, & \text{यदि } -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$
$f(-1) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$
चूँकि $\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq f(-1)$,इसलिए $f(x)$,$x = -1$ पर असंतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$
$f(1) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$
चूँकि $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq f(1)$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है।
अवकलनीय होने के लिए फलन का सतत होना आवश्यक है। चूँकि $f(x)$,$x = -1$ और $x = 1$ पर असंतत है,इसलिए यह इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f'(x)$ का प्रांत $R - \{-1, 1\}$ है।

(B) दिया गया है कि,$f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि $|f(x)-f(y)| \leq 10|x-y|^{201}$ है।
दोनों पक्षों को $|x-y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq y$):
$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq 10|x-y|^{200}$.
जब $y \rightarrow x$ हो,तब सीमा (limit) लेने पर:
$\lim_{y \rightarrow x} \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \leq \lim_{y \rightarrow x} 10|x-y|^{200}$.
$|f'(x)| \leq 0$.
चूंकि निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(x)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
अतः,$f(x) = C$ (एक अचर फलन है)।
चूंकि $f(x)$ एक अचर फलन है,इसलिए $f(2019) = f(2020) = f(2021) = f(2022) = C$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$f(2019) + f(2022) = C + C = 2C$.
$2f(2021) = 2C$.
इस प्रकार,$f(2019) + f(2022) = 2f(2021)$ सत्य है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} \right) ; & x \neq 0 \\ 0 ; & x = 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0$ केवल तभी संभव है यदि $\alpha > 0$ हो।
अतः,$f(x)$,$\alpha > 0$ के लिए सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{h} \right) - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} h^{\alpha - 1} \sin \left( \frac{1}{h} \right)$.
यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि $\alpha - 1 > 0$,अर्थात $\alpha > 1$ हो।
इसलिए,$f(x)$,$\alpha > 1$ के लिए सतत और अवकलनीय है।

(A) चूंकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए इसे सभी $x \in R$ के लिए सतत होना चाहिए।
$x = 2$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} (bx^3 + 1) = \lim_{x \rightarrow 2} (3x - 3)$
$\Rightarrow 8b + 1 = 3(2) - 3 = 3$
$\Rightarrow 8b = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{4}$।
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 1} (ax^2 + bx - \frac{13}{8}) = \lim_{x \rightarrow 1} (3x - 3)$
$\Rightarrow a + b - \frac{13}{8} = 3(1) - 3 = 0$
$\Rightarrow a + \frac{1}{4} - \frac{13}{8} = 0$
$\Rightarrow a = \frac{13}{8} - \frac{2}{8} = \frac{11}{8}$।
अतः,$a - b = \frac{11}{8} - \frac{1}{4} = \frac{11}{8} - \frac{2}{8} = \frac{9}{8}$।

(D) $x > 1$ के लिए,$|x| = x$ और $|x - 1| = x - 1$.
अतः $f(x) = (x - (x - 1))^2 = (1)^2 = 1$.
$0 < x < 1$ के लिए,$|x| = x$ और $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
अतः $f(x) = (x - (1 - x))^2 = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
$x = 1$ पर बायां अवकलज $LHD = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(2(1+h) - 1)^2 - 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(2h + 1)^2 - 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{4h^2 + 4h}{h} = 4$.
$x = 1$ पर दायां अवकलज $RHD = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{1 - 1}{h} = 0$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $x = 1$ पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ अवकलज की मानक परिभाषा है,जो सत्य है।
इसलिए,$(A)$ असत्य है और $(R)$ सत्य है।