Differentiability Questions in Hindi

(D) माना $g_1(x) = x^2$,$g_2(x) = (x - 1)^2$,और $g_3(x) = 2x(1 - x) = 2x - 2x^2$ है।
अंतराल $[0, 1]$ में प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करने पर:
$1$. $g_1(x) = g_2(x) \implies x = 1/2$
$2$. $g_1(x) = g_3(x) \implies x = 2/3$
$3$. $g_2(x) = g_3(x) \implies x = 1/3$ या $x = 1$
अंतरालों में मानों की तुलना करने पर:
- $x \in [0, 1/3]$ के लिए,$g_3(x)$ अधिकतम है।
- $x \in [1/3, 1/2]$ के लिए,$g_2(x)$ अधिकतम है।
- $x \in [1/2, 2/3]$ के लिए,$g_1(x)$ अधिकतम है।
- $x \in [2/3, 1]$ के लिए,$g_3(x)$ अधिकतम है।
फलन $f(x)$ बिंदुओं $x = 1/3, 1/2, 2/3$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन तीन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

(A) $1$. $f(x) = x^{1/3}$ के लिए,फलन सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है। यह हर जगह सतत है। हालाँकि,$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ है। $x = 0$ पर,$f'(x)$ अपरिभाषित है,इसलिए यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. $f(x) = \frac{|x|}{x}$ के लिए,फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है,इसलिए यह अपने डोमेन में हर जगह सतत नहीं है।
$3$. $f(x) = e^{-x}$ के लिए,फलन हर जगह सतत और अवकलनीय है।
$4$. $f(x) = \tan x$ के लिए,फलन $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ पर परिभाषित नहीं है,इसलिए यह अपने डोमेन में हर जगह सतत नहीं है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) फलन $f(x) = |x - 0.5| + |x - 1| + \tan x$ दिया गया है।
हमें अंतराल $(0, 2)$ में उन बिंदुओं की जाँच करनी है जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
मापांक फलन $|x - 0.5|$ और $|x - 1|$ क्रमशः $x = 0.5$ और $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं हैं,क्योंकि ये वे बिंदु हैं जहाँ मापांक के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है।
दोनों $x = 0.5$ और $x = 1$ अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित हैं।
फलन $\tan x$,$x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ पर परिभाषित नहीं है (और इसलिए अवकलनीय भी नहीं है)।
चूँकि $x = \frac{\pi}{2}$ भी अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित है,इसलिए फलन $f(x)$ इस बिंदु पर भी अवकलनीय नहीं है।
अतः,वे बिंदु जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,$x = 0.5$,$x = 1$ और $x = \frac{\pi}{2}$ हैं।
अंतराल $(0, 2)$ में ऐसे कुल $3$ बिंदु हैं।

(B) दिया गया है $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$.
$x = 0, y = 0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0$ प्राप्त होता है,अतः $f(0) = 0$.
परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
दिए गए फलन समीकरण को प्रतिस्थापित करने पर: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) + f(h) + |x|h + xh^2 - f(x)}{h}$.
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) + |x|h + xh^2}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h) - f(0)}{h} + |x| + xh \right)$.
चूँकि $f'(0) = 0$,इसलिए $f'(x) = f'(0) + |x| + 0 = |x|$.
चूँकि $f'(x) = |x|$,अवकलज सभी $x \in R$ के लिए विद्यमान है।
अतः,$f$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है।

(D) जब फलन $f(x) = g(x)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = h(x)$ जब $x \notin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित हो,तो फलन $x = a$ पर सतत होता है यदि और केवल यदि $g(a) = h(a)$ हो।
यहाँ,$g(x) = 2x + 1$ और $h(x) = x^2 - 2x + 5$ है।
$g(x) = h(x)$ रखने पर,$2x + 1 = x^2 - 2x + 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4x + 4 = 0$ या $(x - 2)^2 = 0$ हो जाता है।
अतः,$x = 2$ ही एकमात्र बिंदु है जहाँ फलन सतत है।
$x = a$ पर अवकलनीयता के लिए,फलन को $x = a$ पर सतत होना चाहिए और अवकलजों को $g'(a) = h'(a)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
यहाँ,$g'(x) = 2$ और $h'(x) = 2x - 2$ है।
$x = 2$ पर,$g'(2) = 2$ और $h'(2) = 2(2) - 2 = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g'(2) = h'(2)$ है,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय है।
अतः,फलन केवल $x = 2$ पर सतत और अवकलनीय है और अन्यत्र असतत है।

(C) फलन $f(x) = (x^2 - 1) |(x - 2)(x + 1)| + \sin(|x|)$ है।
सबसे पहले,उन बिंदुओं का विश्लेषण करें जहाँ मापांक पद शून्य होते हैं: $x = 2, -1, 0$।
$1$. $x = 2$ पर: $f(x) = (x^2 - 1) |x - 2| |x + 1| + \sin(|x|)$। चूँकि $|x - 2|$,$x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है और अन्य पद $x = 2$ पर शून्य नहीं हैं,इसलिए $f(x)$,$x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. $x = -1$ पर: $f(x) = (x^2 - 1) |x - 2| |x + 1| + \sin(|x|) = (x - 1)(x + 1) |x - 2| |x + 1| + \sin(|x|) = (x - 1) |x - 2| (x + 1) |x + 1| + \sin(|x|)$। चूँकि $(x + 1) |x + 1|$,$x = -1$ पर अवकलनीय है,इसलिए यह गुणनफल $x = -1$ पर अवकलनीय है।
$3$. $x = 0$ पर: पद $\sin(|x|)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि बायां अवकलज $-\cos(0) = -1$ है और दायां अवकलज $\cos(0) = 1$ है। शेष भाग $(x^2 - 1) |x^2 - x - 2|$,$x = 0$ पर अवकलनीय है। अतः,$f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,फलन $x = 0$ और $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है। बिंदुओं की कुल संख्या $2$ है।

(A) $f(x)$ को $x = x_0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = x_0$ पर सतत होना चाहिए।
$x = x_0$ पर सांतत्य का अर्थ है $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$।
$\lim_{x \to x_0^-} x^2 = x_0^2$ और $\lim_{x \to x_0^+} (ax + b) = ax_0 + b$।
अतः,$x_0^2 = ax_0 + b$ (समीकरण $1$)।
$x = x_0$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज दाएं अवकलज के बराबर होना चाहिए।
$f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{यदि } x < x_0 \\ a & \text{यदि } x > x_0 \end{cases}$।
$x = x_0$ पर अवकलज की तुलना करने पर: $2x_0 = a$।
$a = 2x_0$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $x_0^2 = (2x_0)x_0 + b$।
$x_0^2 = 2x_0^2 + b \implies b = -x_0^2$।
इस प्रकार,$a = 2x_0$ और $b = -x_0^2$।

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x \to 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x \ln(1 + (\cos x - 1))}{\ln(1 + x^2)}$.
मानक सीमा $\ln(1 + u) \approx u$ का उपयोग करते हुए,जब $u \to 0$:
$\lim_{x \to 0} \frac{x(\cos x - 1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x} = \lim_{x \to 0} -\frac{x}{2} = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर संतत है।
अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \ln(\cos h)}{h \ln(1 + h^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(\cos h)}{\ln(1 + h^2)}$ ज्ञात करते हैं।
$\ln(\cos h) \approx \ln(1 - \frac{h^2}{2}) \approx -\frac{h^2}{2}$ और $\ln(1 + h^2) \approx h^2$ का उपयोग करते हुए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{h^2}{2}}{h^2} = -\frac{1}{2}$.
चूँकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।

(C) $f(x)$ के $x = c$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = c$ पर सतत होना चाहिए।
$1$. $x = c$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$
$\sin c = ac + b$ --- (समीकरण $1$)
$2$. $x = c$ पर अवकलनीयता:
$f'(x) = \begin{cases} \cos x & \text{यदि } x < c \\ a & \text{यदि } x > c \end{cases}$
$f'(c)$ के अस्तित्व के लिए,बायां अवकलज दाएं अवकलज के बराबर होना चाहिए:
$\lim_{x \to c^-} f'(x) = \lim_{x \to c^+} f'(x)$
$\cos c = a$
$3$. समीकरण $1$ में $a = \cos c$ रखने पर:
$\sin c = (\cos c)c + b$
$b = \sin c - c \cos c$
अतः,$a = \cos c$ और $b = \sin c - c \cos c$ है।

(D) $f(x)$ को $x = \frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होना चाहिए।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य का अर्थ है $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$.
$k \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \cos k = k \sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} \sin k$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,हमें $-\frac{\pi}{2} \cos k = k + \frac{\pi}{2} \sin k$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $k = -\frac{\pi}{2}(\sin k + \cos k)$ हो जाता है।
अवकलनीयता के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।
$f'(x) = -k \sin x - \cos k$ ($x < \frac{\pi}{2}$ के लिए) और $f'(x) = k \cos x + \sin k$ ($x > \frac{\pi}{2}$ के लिए)।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर $LHD$ = $-k \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos k = -k - \cos k$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर $RHD$ = $k \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin k = \sin k$.
$LHD$ और $RHD$ की तुलना करने पर: $-k - \cos k = \sin k$,या $k = -(\sin k + \cos k)$.
दोनों शर्तों की तुलना करने पर: $-\frac{\pi}{2}(\sin k + \cos k) = -(\sin k + \cos k)$.
इसका अर्थ है $(\sin k + \cos k)(\frac{\pi}{2} - 1) = 0$. चूँकि $\frac{\pi}{2} \neq 1$,इसलिए $\sin k + \cos k = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\tan k = -1$,अतः $k = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
इस मान को $k = -(\sin k + \cos k)$ में रखने पर,यदि $k = -\frac{\pi}{4}$ है,तो $-(\sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4})) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0 \neq -\frac{\pi}{4}$.
अतः,$k$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जो दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करे। इसलिए,$k \in \phi$।

(C) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0^-} (e^x + a) = e^0 + a = 1 + a$
$\lim_{x \to 0^+} (x - 3) = 0 - 3 = -3$
इन दोनों की तुलना करने पर,$1 + a = -3 \Rightarrow a = -4$ प्राप्त होता है।
अब,बाएं हाथ के अवकलज $(LHD)$ और दाएं हाथ के अवकलज $(RHD)$ का उपयोग करके $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{(e^{-h} - 4) - (-3)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-h} - 1}{-h} = 1$
$RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(h - 3) - (-3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$
चूंकि $LHD = RHD = 1$ है,इसलिए $a = -4$ पर फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।

(D) $f(x)$ के $x=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x=0$ पर सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 2$.
$\lim_{x \to 0^-} a \cot^{-1} \left( \frac{b+x}{4} \right) = a \cot^{-1} \left( \frac{b}{4} \right) = 2$.
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1-cx)}{x} = -c = 2 \implies c = -2$.
अब,अवकलनीयता के लिए,$f'(0^-) = f'(0^+)$.
$f'(x) = a \left( -\frac{1}{1 + (\frac{b+x}{4})^2} \right) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{4a}{16 + (b+x)^2}$.
$f'(0^-) = -\frac{4a}{16 + b^2}$.
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{\ln(1-cx)}{x} = -c - \frac{c^2x}{2} - \dots$.
$f'(0^+) = -\frac{c^2}{2} = -\frac{(-2)^2}{2} = -2$.
अवकलजों की तुलना करने पर: $-\frac{4a}{16+b^2} = -2 \implies 2a = 16+b^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(b^2 - 2a + c^6) = 0 - 2(8) + (-2)^6 = -16 + 64 = 48$.

(C) $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$ के लिए,$2x \in [-1, 0)$,इसलिए $[2x] = -1$. अतः,$f(x) = 4x^2 - x$.
$x \in [0, \frac{1}{2})$ के लिए,$f(x) = ax^2 - bx$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$.
$f(0^-) = 4(0)^2 - 0 = 0$ और $f(0^+) = a(0)^2 - b(0) = 0$. चूँकि $0 = 0$,$f(x)$ सभी $a, b$ के लिए $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,हम $f'(0^-) = f'(0^+)$ की जाँच करते हैं।
$x < 0$ के लिए $f'(x) = 8x - 1$,इसलिए $f'(0^-) = -1$.
$x > 0$ के लिए $f'(x) = 2ax - b$,इसलिए $f'(0^+) = -b$.
उन्हें बराबर करने पर,$-1 = -b \Rightarrow b = 1$.
अतः,$f(x)$ तब $x = 0$ पर अवकलनीय है यदि $b = 1$,जो $a$ से स्वतंत्र है।

(D) जब $x \in (0, 1)$ होता है,तो $\{x\} = x$,$\{\sin x\} = \sin x$,और $\{x \sin x\} = x \sin x$ होता है,क्योंकि $0 < x < 1$ और $0 < \sin x < 1$ होने के कारण $0 < x \sin x < 1$ होता है।
इन मानों को फलन $f(x) = \{x\}\{\sin x\} + \{x \sin x\}$ में रखने पर,हमें $f(x) = x \sin x + x \sin x = 2x \sin x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $2x \sin x$ अवकलनीय फलनों का गुणनफल है,इसलिए यह $x \in (0, 1)$ के लिए अवकलनीय है।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(C) फलन $f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$ जहाँ $\theta \in [0, \pi]$ होता है।
माना $x = \cos \theta$,तो $2x^2 - 1 = 2\cos^2 \theta - 1 = \cos(2\theta)$.
अतः,$f(x) = \cos^{-1}(\cos(2\theta)) = 2\theta = 2\cos^{-1}(x)$ जब $x \in [0, 1]$.
$x \in [-1, 0]$ के लिए,फलन $f(x) = 2\cos^{-1}|x|$ के रूप में प्राप्त होता है।
$\cos^{-1}(x)$ का अवकलन $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ होता है।
फलन $f(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ फलन का मान अपने अंतिम बिंदुओं पर पहुँचता है,यानी $2x^2 - 1 = 1$ या $2x^2 - 1 = -1$.
$2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
इसके अतिरिक्त,$x = 0$ पर फलन $f(x) = 2\cos^{-1}|x|$ में एक तीक्ष्ण मोड़ (cusp) है क्योंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज समान नहीं हैं।
$x = 0$ पर,बायाँ अवकलज $2$ है और दायाँ अवकलज $-2$ है।
अतः,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) फलन $y = |f(|x|)|$ $5$ भिन्न बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होगा यदि द्विघात समीकरण $f(x) = x^{2} - x + k - 2 = 0$ के दो भिन्न धनात्मक मूल हों।
सबसे पहले,मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए:
$D = (-1)^{2} - 4(1)(k - 2) > 0$
$1 - 4k + 8 > 0$
$9 - 4k > 0 \Rightarrow k < \frac{9}{4}$.
दूसरा,दोनों मूलों के धनात्मक होने के लिए,मूलों का गुणनफल धनात्मक और मूलों का योग धनात्मक होना चाहिए:
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = k - 2 > 0 \Rightarrow k > 2$.
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 1 > 0$,जो हमेशा सत्य है।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $2 < k < \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के मानों का समुच्चय $(2, \frac{9}{4})$ है।

(D) $(0, 2\pi)$ अंतराल में $f(x) = \min \{ |\sin x|, |\cos x|, \frac{1}{4} \}$ के अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $y = |\sin x|$,$y = |\cos x|$,और $y = \frac{1}{4}$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. फलन $f(x)$ इन तीन वक्रों का निचला आवरण (lower envelope) है।
$2$. अवकलनीयता न होने वाले बिंदु इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर होते हैं जहाँ ढाल अचानक बदल जाती है या जहाँ फलन सुचारू नहीं होता है।
$3$. $(0, 2\pi)$ अंतराल पर $y = |\sin x|$,$y = |\cos x|$,और $y = \frac{1}{4}$ के ग्राफ को प्लॉट करके,हम उन बिंदुओं की पहचान करते हैं जहाँ न्यूनतम मान एक फलन से दूसरे फलन में बदल जाता है।
$4$. प्रतिच्छेदन बिंदु निम्नलिखित हैं:
- $|\sin x| = |\cos x|$,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ पर।
- $|\sin x| = \frac{1}{4}$,$x = \arcsin(\frac{1}{4}), \pi - \arcsin(\frac{1}{4}), \pi + \arcsin(\frac{1}{4}), 2\pi - \arcsin(\frac{1}{4})$ पर।
- $|\cos x| = \frac{1}{4}$,$x = \arccos(\frac{1}{4}), \pi - \arccos(\frac{1}{4}), \pi + \arccos(\frac{1}{4}), 2\pi - \arccos(\frac{1}{4})$ पर।
$5$. ग्राफ का निरीक्षण करने पर,फलन $f(x)$ इन वक्रों के खंडों से बना है। जिन बिंदुओं पर न्यूनतम मान एक फलन से दूसरे फलन में बदलता है,वे अवकलनीयता न होने वाले बिंदु हैं। $(0, 2\pi)$ में ऐसे कुल $12$ बिंदु हैं जहाँ वक्र प्रतिच्छेद करते हैं और न्यूनतम मान बदलता है। अतः,सही उत्तर $12$ है।

(B) फलन $g(x)$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर संतत होना चाहिए।
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0^-} ae^x = ae^0 = a$.
$\lim_{x \to 0^+} (b\cos x + x) = b\cos(0) + 0 = b$.
अतः,$a = b$ .......$(1)$
अवकलनीयता के लिए,$x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।
$LHD = \frac{d}{dx}(ae^x) = ae^x$. $x = 0$ पर,$LHD = a$.
$RHD = \frac{d}{dx}(b\cos x + x) = -b\sin x + 1$. $x = 0$ पर,$RHD = -b\sin(0) + 1 = 1$.
$LHD = RHD$ रखने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = b$,इसलिए $b = 1$ होगा।
अतः,$a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

(D) माना $f(x) = \sin(|x|) - |x|$ है।
हम $f(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \sin(x) - x, & x \geq 0 \\ -\sin(x) + x, & x < 0 \end{cases}$
अब,$x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करके अवकलनीयता की जाँच करें:
$x = 0$ पर दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$:
$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(\sin(h) - h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\frac{\sin(h)}{h} - 1) = 1 - 1 = 0$.
$x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$:
$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(-\sin(h) + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-\frac{\sin(h)}{h} + 1) = -1 + 1 = 0$.
चूंकि $f'(0^+) = f'(0^-) = 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sin(|x|) - |x|$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ है।
हम जानते हैं कि $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ के लिए $\sin^{-1}(3x - 4x^3) = 3\sin^{-1}(x)$ होता है।
अधिक व्यापक रूप से,फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} -\pi - 3\sin^{-1}(x) & \text{यदि } -1 \le x < -\frac{1}{2} \\ 3\sin^{-1}(x) & \text{यदि } -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2} \\ \pi - 3\sin^{-1}(x) & \text{यदि } \frac{1}{2} < x \le 1 \end{cases}$
$x = \frac{1}{2}$ और $x = -\frac{1}{2}$ पर,फलन संतत है लेकिन इसका अवकलज मौजूद नहीं है क्योंकि बायां अवकलज और दायां अवकलज समान नहीं हैं।
इसलिए,फलन $2$ बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है,विशेष रूप से $x = \frac{1}{2}$ और $x = -\frac{1}{2}$ पर।

(C) माना $g(x) = \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x-1)^2}$ और $h(x) = 2 - x$ है।
हम प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं: $\sqrt{2x - x^2} = 2 - x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2x - x^2 = (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2$।
$2x^2 - 6x + 4 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0$।
अतः,वक्र $x = 1$ और $x = 2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x < 1$ के लिए,$2 - x > \sqrt{2x - x^2}$ है।
$1 < x < 2$ के लिए,$\sqrt{2x - x^2} > 2 - x$ है।
$x = 1$ पर,फलन $h(x)$ से $g(x)$ में बदलता है। अवकलज $h'(1) = -1$ और $g'(1) = 0$ हैं। चूँकि $-1 \neq 0$,इसलिए $x = 1$ पर फलन अवकलनीय नहीं है।
$x = 2$ पर,$g(2) = 0$ और $h(2) = 0$ है। $x \to 2^-$ के लिए $g'(x) = -\infty$ होता है। अतः,$x = 2$ पर फलन अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,कुल $2$ बिंदु हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।

(A) फलन $f(x) = ||x| - 1|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक (modulus) के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है,क्योंकि ये बिंदु ग्राफ में तीक्ष्ण मोड़ (sharp corners) बनाते हैं।
$1$. आंतरिक मापांक $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. बाहरी मापांक $||x| - 1|$,तब अवकलनीय नहीं है जब $|x| - 1 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $|x| = 1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ है।
अतः,फलन $x = \{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।
वैकल्पिक विधि:
$y = ||x| - 1|$ के ग्राफ को देखने पर,हम देख सकते हैं कि $x = -1$,$x = 0$ और $x = 1$ पर तीक्ष्ण मोड़ हैं। जिन बिंदुओं पर ग्राफ में तीक्ष्ण मोड़ होते हैं,वहां फलन अवकलनीय नहीं होता है। इसलिए,फलन $\{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) $f(x) = \max(x^2 - 1, 7 - x^2, 5)$ का विश्लेषण करने के लिए,हम वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x^2 - 1 = 7 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. $x = \pm 2$ पर,$f(x) = 3$.
$2$. $x^2 - 1 = 5 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$.
$3$. $7 - x^2 = 5 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
मानों की तुलना करने पर,फलन $f(x)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = 7 - x^2$,जहाँ $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$
$f(x) = 5$,जहाँ $x \in [-\sqrt{6}, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \sqrt{6}]$
$f(x) = x^2 - 1$,जहाँ $x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$
यह फलन हर जगह सतत है। अवकलनीय न होने वाले बिंदु प्रतिच्छेदन बिंदुओं $x = \pm \sqrt{2}$ और $x = \pm \sqrt{6}$ पर स्थित हैं,जो कुल $4$ बिंदु हैं।
अतः,$f(x)$,$4$ बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। सही विकल्प $A$ है।

(B) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \implies 6(0)^7 - 0 + 1 = a \sin(b) \implies a \sin b = 1$.
साथ ही,$x = 0$ पर बायां अवकलज और दायां अवकलज समान होना चाहिए।
$f'(x) = \begin{cases} a \cos(x + b) & x > 0 \\ 42x^6 - 1 & x < 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर अवकलजों की तुलना करने पर: $a \cos b = -1$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $(a \sin b)^2 + (a \cos b)^2 = 1^2 + (-1)^2 \implies a^2(\sin^2 b + \cos^2 b) = 2 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
स्थिति $I$: यदि $a = \sqrt{2}$ है,तो $\sin b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$। यह $b = \frac{3\pi}{4}$ के संगत है।
स्थिति $II$: यदि $a = -\sqrt{2}$ है,तो $\sin b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos b = \frac{1}{\sqrt{2}}$। यह $b = \frac{7\pi}{4}$ के संगत है।
अतः,क्रमित युग्म $(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})$ और $(-\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ हैं।
ऐसे कुल $2$ क्रमित युग्म हैं।

(D) माना $g(x) = |2-x|$ और $h(x) = 2-x^3$ है। हम उन बिंदुओं को खोजना चाहते हैं जहाँ $f(x) = \max(g(x), h(x))$ अवकलनीय नहीं है।
सबसे पहले,$g(x)$ और $h(x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
स्थिति $1$: $2-x = 2-x^3 \implies x^3-x = 0 \implies x(x-1)(x+1) = 0$. अतः,$x = 0, 1, -1$.
स्थिति $2$: $-(2-x) = 2-x^3 \implies x-2 = 2-x^3 \implies x^3+x-4 = 0$. इस समीकरण का एक वास्तविक मूल $1$ और $2$ के बीच है।
$f(x) = \max(|2-x|, 2-x^3)$ के ग्राफ का विश्लेषण करने पर:
$x < -1$ के लिए,$2-x^3 > |2-x|$.
$x = -1$ पर,$g(-1) = 3$ और $h(-1) = 3$. फलन प्रतिच्छेद करते हैं।
$-1 < x < 0$ के लिए,$2-x > 2-x^3$.
$x = 0$ पर,$g(0) = 2$ और $h(0) = 2$. फलन प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 < x < 1$ के लिए,$2-x^3 > 2-x$.
$x = 1$ पर,$g(1) = 1$ और $h(1) = 1$. फलन प्रतिच्छेद करते हैं।
$x > 1$ के लिए,$g(x) = |2-x|$ और $h(x) = 2-x^3$. ग्राफ के अनुसार,$f(x)$ बिंदु $x = -1, 1, 2$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$f(x)$ कुल $3$ बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{4+|x|}$.
हम $f(x)$ को एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{4+x}, & x \geq 0 \\ \frac{x}{4-x}, & x < 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं।
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{4+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{4+h} = \frac{1}{4}$.
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{4-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{4-h} = \frac{1}{4}$.
चूँकि $LHD = RHD = \frac{1}{4}$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{x}{4+x}$ एक परिमेय फलन है जिसका हर शून्य नहीं है,इसलिए यह अवकलनीय है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \frac{x}{4-x}$ एक परिमेय फलन है जिसका हर शून्य नहीं है,इसलिए यह अवकलनीय है।
अतः,$f(x)$ सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए अवकलनीय है।

(B) $x = a$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x \to a} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to a} (x - a)^2 \cos \frac{1}{x-a}$.
चूँकि $-1 \leq \cos \frac{1}{x-a} \leq 1$,इसलिए $-(x-a)^2 \leq (x-a)^2 \cos \frac{1}{x-a} \leq (x-a)^2$ होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,जैसे $x \to a$ होता है,$-(x-a)^2$ और $(x-a)^2$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं,इसलिए $\lim_{x \to a} f(x) = 0 = f(a)$। अतः,$f(x)$,$x = a$ पर सतत है।
$x = a$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ की गणना करते हैं:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h-a)^2 \cos \frac{1}{a+h-a} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cos \frac{1}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} h \cos \frac{1}{h}$.
पुनः,चूँकि $-1 \leq \cos \frac{1}{h} \leq 1$,इसलिए $-|h| \leq h \cos \frac{1}{h} \leq |h|$ होता है।
जैसे $h \to 0$ होता है,$-|h|$ और $|h|$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं,इसलिए $f'(a) = 0$। अतः,फलन $x = a$ पर अवकलनीय है।

(C) $f(x) = \min \{1, x^2, x^3\}$ ज्ञात करने के लिए,हम फलनों $y=1$,$y=x^2$,और $y=x^3$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. $x^2$ और $x^3$ का प्रतिच्छेदन: $x^2 = x^3 \implies x^2(x-1) = 0 \implies x=0, x=1$.
$2$. $x^2$ और $1$ का प्रतिच्छेदन: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$3$. $x^3$ और $1$ का प्रतिच्छेदन: $x^3 = 1 \implies x = 1$.
अंतरालों का विश्लेषण:
- $x < -1$ के लिए,$x^3 < x^2 < 1$,इसलिए $f(x) = x^3$.
- $-1 \le x < 0$ के लिए,$x^3 < x^2 \le 1$,इसलिए $f(x) = x^3$.
- $0 \le x < 1$ के लिए,$x^3 \le x^2 < 1$,इसलिए $f(x) = x^3$.
- $x \ge 1$ के लिए,$1 \le x^2 \le x^3$,इसलिए $f(x) = 1$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} x^3, & x < 1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}$।
$x=1$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 = 1$ और $f(1) = 1$। अतः,$f(x)$ $x=1$ पर सतत है।
$x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच: $f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x^3)|_{x=1} = 3(1)^2 = 3$। $f'(1^+) = \frac{d}{dx}(1)|_{x=1} = 0$। चूँकि $3 \neq 0$,इसलिए $f(x)$ $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ हर जगह सतत है लेकिन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) सबसे पहले,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right)$.
चूँकि सभी $x \neq 0$ के लिए $\left| \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right| < 1$ है,स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$ है। अतः,$f$ $x = 0$ पर सतत है।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h \left( \frac{e^{-1/h} - e^{1/h}}{e^{-1/h} + e^{1/h}} \right)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1 - e^{-2/h}}{1 + e^{-2/h}} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h \left( \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1 - e^{-2/h}}{1 + e^{-2/h}} = 1$.
चूँकि $LHD = RHD = 1$ है,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है। अतः,$f$ प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है।

(A) $f(x)$ को $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 1$ पर संतत होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$
$A + B(1)^2 = 3A(1) - B + 2$
$A + B = 3A - B + 2$
$2B = 2A + 2 \implies B = A + 1$ (समीकरण $1$)
अब,अवकलनीयता के लिए,$x = 1$ पर बायां अवकलज और दायां अवकलज बराबर होना चाहिए।
$f'(1^+) = \frac{d}{dx}(3Ax - B + 2) = 3A$
$f'(1^-) = \frac{d}{dx}(A + Bx^2) = 2Bx$
$x = 1$ पर,$f'(1^-) = 2B(1) = 2B$.
अवकलजों की तुलना करने पर: $3A = 2B$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ में रखने पर:
$3A = 2(A + 1)$
$3A = 2A + 2$
$A = 2$
समीकरण $1$ का उपयोग करने पर,$B = 2 + 1 = 3$.
अतः,$A = 2$ और $B = 3$ है।

(D) सबसे पहले,हम $x = 1$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं: $f(1) = [\cos(\pi)] = [-1] = -1$.
अब,हम $x = 1$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(1^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{[\cos(\pi(1-h))] - (-1)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{[\cos(\pi - \pi h)] + 1}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{[-\cos(\pi h)] + 1}{-h}$.
छोटे $h > 0$ के लिए,$\cos(\pi h)$,$1$ से थोड़ा कम है,इसलिए $-\cos(\pi h)$,$-1$ से थोड़ा अधिक है। अतः,$[-\cos(\pi h)] = -1$.
इसलिए,$f'(1^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{-1 + 1}{-h} = 0$.
अब,हम $x = 1$ पर दाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(1^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2\{1+h\} - 1 - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $f'(1^-) = 0$ और $f'(1^+) = 2$ है,बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज समान नहीं हैं।
अतः,$f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिए गए अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,अतः $f(x) = x(0) = 0$.
$1 \le x < 2$ के लिए,$[x] = 1$,अतः $f(x) = x(1) = x$.
$2 \le x < 3$ के लिए,$[x] = 2$,अतः $f(x) = (x-1)(2) = 2x - 2$.
$3 \le x < 4$ के लिए,$[x] = 3$,अतः $f(x) = (x-1)(3) = 3x - 3$.
$x=4$ पर,$f(4) = (4-1)[4] = 3(4) = 12$.
$x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$.
चूँकि $LHL \neq RHL$,$f(x)$ बिंदु $x=1$ पर असंतत है,इसलिए $f'(1)$ का अस्तित्व नहीं है।
$x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f(2) = (2-1)[2] = 1(2) = 2$.
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(2+h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2(2+h)-2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f'(2)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,न तो $f'(1)$ और न ही $f'(2)$ का अस्तित्व है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{4x}{5 + 6|x|}$.
हम $f(x)$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{4x}{5 - 6x}, & x < 0 \\ \frac{4x}{5 + 6x}, & x \geq 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \begin{cases} \frac{4(5 - 6x) - 4x(-6)}{(5 - 6x)^2} = \frac{20}{(5 - 6x)^2}, & x < 0 \\ \frac{4(5 + 6x) - 4x(6)}{(5 + 6x)^2} = \frac{20}{(5 + 6x)^2}, & x > 0 \end{cases}$
अब,$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{20}{(5 - 6x)^2} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$.
और $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{20}{(5 + 6x)^2} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$.
चूँकि $f'(0^-) = f'(0^+) = \frac{4}{5}$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
चूँकि यह फलन सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए एक परिमेय फलन है और हर कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए यह हर जगह अवकलनीय है।
अतः,बिंदुओं का समुच्चय $( - \infty, \infty)$ है।

(A) दिया गया है $f(t) = (\|\lambda\|e^{\|t\|} - \mu) \sin(2\|t\|)$.
चूंकि $\|t\|$ शामिल है,हम $t > 0$ और $t < 0$ के लिए $f(t)$ का विश्लेषण करते हैं।
$t > 0$ के लिए,$f(t) = (\|\lambda\|e^t - \mu) \sin(2t)$.
$t < 0$ के लिए,$f(t) = (\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \sin(-2t) = -(\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \sin(2t)$.
$f(t)$ को $t=0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $t=0$ पर सतत होना चाहिए।
$f(0) = (\|\lambda\| - \mu) \sin(0) = 0$.
अब,$LHD = RHD$ का उपयोग करके $t=0$ पर अवकलज $f'(t)$ की जाँच करते हैं।
$RHD = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} (\|\lambda\|e^t - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = (\|\lambda\| - \mu) \times 2 = 2(\|\lambda\| - \mu)$.
$LHD = \lim_{t \to 0^-} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0^-} -(\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = -(\|\lambda\| - \mu) \times 2 = -2(\|\lambda\| - \mu)$.
अवकलनीयता के लिए,$LHD = RHD \implies 2(\|\lambda\| - \mu) = -2(\|\lambda\| - \mu)$.
$4(\|\lambda\| - \mu) = 0 \implies \|\lambda\| = \mu$.
चूंकि $\|\lambda\| \ge 0$,इसलिए $\mu \ge 0$ होना चाहिए।
अतः,$S = \{(\lambda, \mu) : \mu = \|\lambda\|, \mu \ge 0, \lambda \in R\}$.
यह समुच्चय $S$,$R \times [0, \infty)$ का एक उपसमुच्चय है।

(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
$-1 = a + \cos^{-1}(1 + b) \implies \cos^{-1}(1 + b) = -1 - a \quad \dots(1)$
अवकलनीयता के लिए,$x = 1$ पर $LHD = RHD$ होना चाहिए।
$LHD = \frac{d}{dx}(-x) = -1$.
$RHD = \frac{d}{dx}(a + \cos^{-1}(x + b)) = \frac{-1}{\sqrt{1 - (x + b)^2}}$.
$x = 1$ पर,$RHD = \frac{-1}{\sqrt{1 - (1 + b)^2}}$.
$LHD = RHD$ को बराबर करने पर: $-1 = \frac{-1}{\sqrt{1 - (1 + b)^2}} \implies \sqrt{1 - (1 + b)^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 - (1 + b)^2 = 1 \implies (1 + b)^2 = 0 \implies b = -1$.
$b = -1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $\cos^{-1}(0) = -1 - a$.
चूंकि $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{2} = -1 - a \implies a = -1 - \frac{\pi}{2} = \frac{-\pi - 2}{2}$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{(-\pi - 2)/2}{-1} = \frac{\pi + 2}{2}$.

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $|f(x)| \leq x^2$ है।
$x = 0$ पर,$|f(0)| \leq 0^2 = 0$,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$ है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$।
दी गई असमिका से,$|f(h)| \leq h^2$,इसलिए $|\frac{f(h)}{h}| \leq |h|$ है।
सैंडविच प्रमेय द्वारा,जैसे $h \to 0$,$|h| \to 0$,इसलिए $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$ है।
अतः,$f'(0) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
चूँकि अवकलनीयता निरंतरता (सांतत्य) को दर्शाती है,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत भी है।
अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत और अवकलनीय दोनों है।

(B) दिया गया समीकरण $x + |y| = 2y$ है।
स्थिति $1$: यदि $y \ge 0$ है,तो $|y| = y$ होगा।
$x + y = 2y \Rightarrow y = x$.
स्थिति $2$: यदि $y < 0$ है,तो $|y| = -y$ होगा।
$x - y = 2y \Rightarrow x = 3y \Rightarrow y = x/3$.
अतः,फलन $f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ x/3, & x < 0 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।
$x = 0$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x/3 = 0$.
चूंकि $f(0) = 0$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(0-h)/3 - 0}{-h} = 1/3$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$.
चूंकि $LHD \neq RHD$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) फलन $f(x) = a|\sin x| + be^{|x|} + c|x|^3$,$x = 0$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक घटक अवकलनीय हो या उनके गैर-अवकलनीय भाग एक-दूसरे को निरस्त कर दें।
सबसे पहले,$|\sin x|$ पर विचार करें। $x = 0$ पर बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{|\sin h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\sin h}{h} = -1$ है। दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1$ है। चूंकि $-1 \neq 1$,इसलिए $|\sin x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
दूसरा,$e^{|x|}$ पर विचार करें। $x = 0$ पर बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h} - 1}{h} = -1$ है। दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ है। चूंकि $-1 \neq 1$,इसलिए $e^{|x|}$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
तीसरा,$|x|^3$ पर विचार करें। चूंकि $|x|^3 = x^3$ ($x \ge 0$ के लिए) और $-x^3$ ($x < 0$ के लिए),$x = 0$ पर अवकलज $\lim_{h \to 0} \frac{|h|^3 - 0}{h} = 0$ है। अतः,$|x|^3$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,गैर-अवकलनीय भागों को शून्य होना चाहिए। इसके लिए $a = 0$ और $b = 0$ होना आवश्यक है। स्थिरांक $c$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है क्योंकि $|x|^3$ पहले से ही अवकलनीय है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ है।
दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq y$):
$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.
दोनों पक्षों में $x \to y$ सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le \lim_{x \to y} 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.
इसका अर्थ है कि $|f'(y)| \le 0$.
चूँकि मापांक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$.
यदि अवकलज शून्य है,तो फलन $f(x)$ एक अचर फलन होना चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = 1$,इसलिए अचर फलन $f(x) = 1$ है।
अब,समाकलन की गणना करने पर:
$\int_{0}^{1} f^2(x) dx = \int_{0}^{1} (1)^2 dx = \int_{0}^{1} 1 dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$.

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \max \{|x|, x^2\}, & |x| \le 2 \\ 8 - 2|x|, & 2 < |x| \le 4 \end{cases}$.
$|x| \le 2$ के लिए,$f(x) = \begin{cases} x^2, & |x| \le 1 \\ |x|, & 1 < |x| \le 2 \end{cases}$.
इन्हें संयोजित करने पर,$f(x) = \begin{cases} 8+2x, & -4 < x \le -2 \\ -x, & -2 < x \le -1 \\ x^2, & -1 < x \le 1 \\ x, & 1 < x \le 2 \\ 8-2x, & 2 < x < 4 \end{cases}$.
क्रांतिक बिंदुओं पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x = -2$ पर: $f(-2) = 4$. बायां अवकलज $-2$ है,दायां अवकलज $-1$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = -1$ पर: $f(-1) = 1$. बायां अवकलज $-1$ है,दायां अवकलज $-2$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f(0) = 0$. बायां अवकलज $0$ है,दायां अवकलज $0$ है। अवकलनीय है।
$x = 1$ पर: $f(1) = 1$. बायां अवकलज $2$ है,दायां अवकलज $1$ है। अवकलनीय नहीं है।
$x = 2$ पर: $f(2) = 2$. बायां अवकलज $1$ है,दायां अवकलज $-2$ है। अवकलनीय नहीं है।
अतः,$S = \{-2, -1, 1, 2\}$.

(C) फलन $f(x) = \min\{-|x|, -\sqrt{1 - x^2}\}$ के रूप में परिभाषित है।
अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं को खोजने के लिए,हम वक्रों $y = -|x|$ और $y = -\sqrt{1 - x^2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$-|x| = -\sqrt{1 - x^2}$ रखने पर,हमें $|x| = \sqrt{1 - x^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 1 - x^2$,जिसका अर्थ है $2x^2 = 1$,इसलिए $x^2 = \frac{1}{2}$,जिससे $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,फलन $f(x) = \min\{0, -1\} = -1$,जो $-|x|$ फलन के लिए एक तीक्ष्ण कोना है और दोनों वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी है।
ग्राफ की जाँच करने पर,फलन $f(x)$ बिंदुओं $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,$x = 0$,और $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$3$ ऐसे बिंदु हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है। अतः,$K$ में ठीक तीन अवयव हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \le x < 0 \\ x^2 - 1, & 0 \le x \le 2 \end{cases}$.
सबसे पहले,$|f(x)|$ ज्ञात करें:
$|f(x)| = \begin{cases} |-1| = 1, & -2 \le x < 0 \\ |x^2 - 1|, & 0 \le x \le 2 \end{cases}$.
इसके बाद,$f(|x|)$ ज्ञात करें:
चूंकि सभी $x$ के लिए $|x| \ge 0$ है,इसलिए $x \in [-2, 2]$ के लिए $f(|x|) = |x|^2 - 1 = x^2 - 1$ होगा।
अब,$g(x) = |f(x)| + f(|x|)$:
$x \in [-2, 0)$ के लिए,$g(x) = 1 + (x^2 - 1) = x^2$.
$x \in [0, 2]$ के लिए,$g(x) = |x^2 - 1| + (x^2 - 1)$.
$g(x)$ का विस्तार:
$g(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \le x < 0 \\ -(x^2 - 1) + x^2 - 1 = 0, & 0 \le x < 1 \\ (x^2 - 1) + x^2 - 1 = 2(x^2 - 1), & 1 \le x \le 2 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करें:
$g(0^-) = 0^2 = 0$,$g(0^+) = 0$. $x=0$ पर सतत है।
$g'(0^-) = 2x|_{x=0} = 0$,$g'(0^+) = 0$. $x=0$ पर अवकलनीय है।
$x=1$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करें:
$g(1^-) = 0$,$g(1^+) = 2(1^2 - 1) = 0$. $x=1$ पर सतत है।
$g'(1^-) = 0$,$g'(1^+) = 4x|_{x=1} = 4$.
चूंकि $g'(1^-) \neq g'(1^+)$,इसलिए $g$ बिंदु $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$g$ एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।

(A) फलन $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$ है।
हम $x = 0$ और $x = \pi$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
स्थिति $1$: $x = 0$ पर।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$। तब $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$। अतः,$f'(0^+) = 1 - 1 + 2 - 0 = 2$।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \sin(-x) - (-x) + 2(x - \pi) \cos(-x) = -\sin x + x + 2(x - \pi) \cos x$। तब $f'(x) = -\cos x + 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$। अतः,$f'(0^-) = -1 + 1 + 2 - 0 = 2$।
चूँकि $f'(0^+) = f'(0^-) = 2$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
स्थिति $2$: $x = \pi$ पर।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$। $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$। $f'(\pi^+) = \cos \pi - 1 + 2 \cos \pi - 0 = -1 - 1 - 2 = -4$।
$x < 0$ यहाँ प्रासंगिक नहीं है क्योंकि हम $\pi$ के निकट जाँच कर रहे हैं। $\pi$ के निकट $|x| = x$ होने के कारण,फलन $f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$ है,जो $\pi$ के पड़ोस में हर जगह अवकलनीय है।
अतः,फलन सभी वास्तविक $x$ के लिए अवकलनीय है। समुच्चय $K$ का मान $\phi$ है।

(B) फलन $f(x) = \min\{\sin x, \cos x\}$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के ग्राफ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।
$\sin x = \cos x$ रखने पर,हमें $\tan x = 1$ प्राप्त होता है।
$(-\pi, \pi)$ अंतराल में,हल $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = -\frac{3\pi}{4}$ हैं।
इन बिंदुओं पर फलन में तीक्ष्ण कोने होते हैं,जो इसे अवकलनीय नहीं बनाते हैं।
अतः,$S = \{ -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$S$,$\{ -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \}$ का उपसमुच्चय है।

(A) दिया गया है $f(x) = 15 - |x - 10|$.
हमें उन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है जहाँ $g(x) = f(f(x))$ अवकलनीय नहीं है।
$g(x) = f(f(x)) = 15 - |f(x) - 10| = 15 - |(15 - |x - 10|) - 10| = 15 - |5 - |x - 10||$.
फलन $f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है (मापांक फलन का शीर्ष)।
संयुक्त फलन $g(x) = f(f(x))$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,या जहाँ आंतरिक फलन $f(x)$ का मान $10$ हो जाता है (वह बिंदु जहाँ बाहरी $f$ अवकलनीय नहीं है)।
$1$. $f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. $f(x) = 10 \implies 15 - |x - 10| = 10 \implies |x - 10| = 5 \implies x - 10 = 5$ या $x - 10 = -5 \implies x = 15$ या $x = 5$.
अतः,उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है,$\{5, 10, 15\}$ है।

(A) हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करके $x = c$ पर $g(x) = |f(x)|$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{|f(c + h)| - |f(c)|}{h}$
चूँकि $f(c) = 0$,यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{|f(c + h)|}{h}$
अवकलज की परिभाषा $f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h)}{h}$ का उपयोग करते हुए:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \left| \frac{f(c + h)}{h} \right| \cdot \frac{|h|}{h} = |f'(c)| \cdot \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$
यदि $f'(c) = 0$ है,तो $g'(c) = 0 \cdot (\pm 1) = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $g(x)$,$x = c$ पर अवकलनीय है।
यदि $f'(c) \neq 0$ है,तो सीमा $\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ का अस्तित्व नहीं है ($h > 0$ के लिए यह $1$ है और $h < 0$ के लिए $-1$ है),इसलिए $g(x)$,$x = c$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,यदि $f'(c) = 0$ है तो $g(x)$,$x = c$ पर अवकलनीय है।

(C) फलन $f(x) = |2 - |x - 3||$ द्वारा दिया गया है।
सबसे पहले,हम उन बिंदुओं की पहचान करते हैं जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है। फलन $g(x) = |x - 3|$,$x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है। फलन $h(x) = 2 - |x - 3|$,$x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है। फलन $f(x) = |h(x)|$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $h(x) = 0$ है या जहाँ $h(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$h(x) = 0$ रखने पर,हमें $2 - |x - 3| = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x - 3| = 2$,इसलिए $x - 3 = 2$ या $x - 3 = -2$। अतः,$x = 5$ या $x = 1$।
इसलिए,उन बिंदुओं का समुच्चय $S$ जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,$S = \{1, 3, 5\}$ है।
अब,प्रत्येक $x \in S$ के लिए हम $f(f(x))$ की गणना करते हैं:
$x = 1$ के लिए: $f(1) = |2 - |1 - 3|| = |2 - 2| = 0$। अतः $f(f(1)) = f(0) = |2 - |0 - 3|| = |2 - 3| = 1$।
$x = 3$ के लिए: $f(3) = |2 - |3 - 3|| = |2 - 0| = 2$। अतः $f(f(3)) = f(2) = |2 - |2 - 3|| = |2 - 1| = 1$।
$x = 5$ के लिए: $f(5) = |2 - |5 - 3|| = |2 - 2| = 0$। अतः $f(f(5)) = f(0) = |2 - |0 - 3|| = |2 - 3| = 1$।
अंत में,$\sum_{x \in S} f(f(x)) = f(f(1)) + f(f(3)) + f(f(5)) = 1 + 1 + 1 = 3$।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = |x - 1|, x \in R$ है।
एक फलन $f$ बिंदु $x = c$ पर अवकलनीय होता है यदि बायाँ अवकलज $(LHD)$ और दायाँ अवकलज $(RHD)$ का अस्तित्व हो और वे बराबर हों।
$x = 1$ पर $LHD$:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{|1 + h - 1| - |1 - 1|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^-}} \frac{|h|}{h}$.
चूँकि $h < 0$,इसलिए $|h| = -h$,अतः सीमा $-1$ प्राप्त होती है।
$x = 1$ पर $RHD$:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{|1 + h - 1| - |1 - 1|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^+}} \frac{|h|}{h}$.
चूँकि $h > 0$,इसलिए $|h| = h$,अतः सीमा $1$ प्राप्त होती है।
चूँकि $LHD = -1$ और $RHD = 1$,इसलिए $LHD \neq RHD$ है।
अतः,फलन $f(x) = |x - 1|$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(N/A) एक फलन $f$,$x = c$ पर अवकलनीय होता है यदि बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ अस्तित्व में हों और समान हों।
$x = 1$ के लिए:
$LHD$ $= \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{[1+h] - [1]}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-1}{h} = \infty$.
चूंकि सीमा परिमित नहीं है,इसलिए फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 2$ के लिए:
$LHD$ $= \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{[2+h] - [2]}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-1}{h} = \infty$.
चूंकि सीमा परिमित नहीं है,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।