Continuity Questions in Hindi

(B) चूंकि $f(x)$ $x=0$ पर सतत है,इसलिए बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
सबसे पहले,दायां सीमा की गणना करें: $\lim_{x \to 0^+} (2x^2+3x-2) = 2(0)^2+3(0)-2 = -2$.
अब,बायां सीमा की गणना करें: $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर: $\lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx})(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx)-(1-kx)}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2k}{\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx}} = \frac{2k}{1+1} = k$.
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर: $k = -2$.

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. $x = 0$ पर बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0-h) = \lim_{h \rightarrow 0} (a^2 \cos^2 h + b^2 \sin^2 h) = a^2(1)^2 + b^2(0)^2 = a^2$.
$2$. $x = 0$ पर दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0+h) = \lim_{h \rightarrow 0} e^{a(h)+b} = e^b$.
$3$. $x = 0$ पर फलन का मान:
$f(0) = a^2 \cos^2(0) + b^2 \sin^2(0) = a^2$.
चूंकि फलन सतत है,$LHL = RHL = f(0)$,इसलिए:
$a^2 = e^b$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(a^2) = \ln(e^b)$
$2 \ln |a| = b$
अतः,$b = 2 \log |a|$.

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x=a$ पर सतत होने के लिए,$x$ के $a$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा का मान $a$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए,अर्थात $f(a) = \lim_{x \rightarrow a} f(x)$।
दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}$,अतः $x \rightarrow 5$ पर सीमा ज्ञात करने पर:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x-2)}$
$x \neq 5$ के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-5)$ को काटने पर:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x-2}$
अब $x=5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(5) = \frac{5-5}{5-2} = \frac{0}{3} = 0$

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x)$ एक स्थिरांक है।
मान लीजिए $f^{\prime}(x) = a$,जहाँ $a$ एक स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = ax + b$ प्राप्त होता है,जहाँ $b$ एक स्वेच्छ स्थिरांक है।
$f(0) = 2$ दिया गया है,$f(x) = ax + b$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $a(0) + b = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 2$।
$f^{\prime}(0) = 1$ दिया गया है,और चूंकि सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) = a$ है,इसलिए $a = 1$ है।
अतः,फलन $f(x) = x + 2$ है।
चूंकि $f(x) = x + 2$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए संतत है।

(B) एक फलन $f(x)$,$x=\alpha$ पर संतत (continuous) होता है यदि और केवल यदि $\lim _{x \rightarrow \alpha^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow \alpha^{+}} f(x) = f(\alpha)$ हो।
चूंकि फलन $f(x)$ को $x=\alpha \in(a, b)$ पर असंतत दिया गया है,इसलिए संततता की शर्त का उल्लंघन होता है।
इसका अर्थ है कि या तो सीमा (limit) का अस्तित्व नहीं है,या सीमा का अस्तित्व है लेकिन वह $f(\alpha)$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन के उस बिंदु पर असंतत होने के लिए $\lim _{x \rightarrow \alpha} f(x) \neq f(\alpha)$ शर्त का पालन होना चाहिए।
विकल्प $(A)$ संततता की शर्त को दर्शाता है,जो यहाँ गलत है।
विकल्प $(B)$ $x=\alpha$ पर असंततता की शर्त को सही ढंग से पहचानता है।
विकल्प $(C)$ और $(D)$ में डोमेन $[a, b]$ के बाहर की सीमाओं की बात की गई है,जहाँ फलन परिभाषित नहीं है,इसलिए वे अप्रासंगिक या गलत हैं।

(B) हम निरपेक्ष मानों का विश्लेषण करके फलन $f(x)$ को परिभाषित करते हैं:
$|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}$ और $|2x-4| = \begin{cases} 2x-4, & x \geq 2 \\ -(2x-4), & x < 2 \end{cases}$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -x, & -\infty < x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 2 \\ 2x-4, & 2 \leq x \leq 20 \end{cases}$.
$x=0$ पर: $\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 0^-} (-x) = 0$,$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x) = 0$,और $f(0) = 0$. चूँकि $\text{LHL} = \text{RHL} = f(0)$,$f(x)$ बिंदु $x=0$ पर संतत है। हालाँकि,बायाँ अवकलज $-1$ है और दायाँ अवकलज $1$ है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=2$ पर: $\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 2^-} (x) = 2$,$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 2^+} (2x-4) = 0$. चूँकि $\text{LHL} \neq \text{RHL}$,$f(x)$ बिंदु $x=2$ पर संतत नहीं है,और इसलिए यह $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$a=0$ (संतत लेकिन अवकलनीय नहीं) और $b=2$ (अवकलनीय नहीं)।
अतः,$a+b = 0+2 = 2$.

(B) $f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 1$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (a - \frac{\sin [x-1]}{x-1})$।
$x > 1$ और $x$ के $1$ के बहुत करीब होने पर,$0 < x-1 < 1$,इसलिए $[x-1] = 0$।
अतः,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - \frac{\sin(0)}{x-1} = a - 0 = a$।
चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है।
अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (b - [\frac{\sin [x-1] - [x-1]}{([x-1])^3}])$।
$x < 1$ और $x$ के $1$ के बहुत करीब होने पर,$-1 < x-1 < 0$,इसलिए $[x-1] = -1$।
अतः,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = b - [\frac{\sin(-1) - (-1)}{(-1)^3}] = b - [\frac{-\sin(1) + 1}{-1}] = b - [\sin(1) - 1]$।
चूंकि $0 < \sin(1) < 1$,इसलिए $-1 < \sin(1) - 1 < 0$।
अतः सबसे बड़ा पूर्णांक $[\sin(1) - 1] = -1$ होगा।
इसलिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = b - (-1) = b + 1$।
इसे $f(1) = 1$ के बराबर रखने पर,$b + 1 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 0$।
अतः,$a + b = 1 + 0 = 1$।

(D) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} (\alpha + \frac{\sin [x]}{x})$। $0 < x < 1$ के लिए $[x] = 0$ है,इसलिए सीमा $\alpha + 0 = \alpha$ है। अतः,$\alpha = 2$।
इसके बाद,बाईं ओर की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} (\beta + \frac{\sin x - x}{x^3})$। टेलर श्रेणी $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta - \frac{1}{6} = 2$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{13}{6}$।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(0) = \ln 3 \ln 4$ दिया गया है।
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to 0} \frac{6^x-3^x-2^x+1}{1-\cos \left(\frac{x}{a}\right)}$.
अंश: $6^x-3^x-2^x+1 = (3^x-1)(2^x-1)$.
हर: $1-\cos \left(\frac{x}{a}\right) = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}\right)$.
अतः,$\lim_{x \to 0} \frac{(3^x-1)(2^x-1)}{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}\right)} = 2a^2 \ln 3 \ln 2$.
चूंकि $\ln 4 = 2 \ln 2$,यह मान $a^2 \ln 3 \ln 4$ हो जाता है।
$f(0)$ के साथ तुलना करने पर: $a^2 \ln 3 \ln 4 = \ln 3 \ln 4$.
इस प्रकार,$a^2 = 1$. चूंकि $a$ धनात्मक है,$a=1$।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।
अंश $N(x)$ का टेलर विस्तार है:
$N(x) = a(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - bx + cx^2 + x^3 = (a-b)x + cx^2 + (1 - \frac{a}{6})x^3 + O(x^4)$.
हर $D(x)$ का टेलर विस्तार है:
$D(x) = 2(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)) - 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3 = -\frac{1}{2}x^4 + O(x^5)$.
सीमा के अस्तित्व के लिए और $0$ के बराबर होने के लिए,अंश में $x, x^2,$ और $x^3$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$a-b = 0 \implies a=b$,$c=0$,और $1 - \frac{a}{6} = 0 \implies a=6$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर $a, b, c$ के बीच सही संबंध $a=b$ है।

(A) माना $h = -x$,जहाँ $h > 0$ जैसे $x \rightarrow 0^-$.
चूंकि $x$,$0$ से थोड़ा कम है,$[x] = -1$.
अतः,$\{x\} = x - (-1) = x + 1 = 1 - h$.
जैसे $x \rightarrow 0^-$,$h \rightarrow 0^+$,इसलिए $\{x\} \rightarrow 1^-$.
माना $u = \{x\}$. जैसे $u \rightarrow 1^-$,सीमा $\lim_{u \rightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u^3)} = \lim_{u \rightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u)(1+u+u^2)}$ हो जाती है।
माना $t = 1-u$. जैसे $u \rightarrow 1$,$t \rightarrow 0^+$.
तब $1-u^2 = (1-u)(1+u) = t(2-t)$.
जैसे $t \rightarrow 0^+$,$\cos^{-1}(1-u^2) = \cos^{-1}(t(2-t)) \rightarrow \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.
साथ ही,$\sin^{-1}(1-u) = \sin^{-1}(t) \approx t$ जैसे $t \rightarrow 0$.
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{(\frac{\pi}{2}) \cdot t}{(1-t)(t)(1+(1-t)+(1-t)^2)} = \frac{\pi/2}{1 \cdot 3} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$\tan \theta = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) दिया गया है $f(x) = (x-a) \frac{e^{\frac{1}{x-a}}-1}{e^{\frac{1}{x-a}}+1}$ जहाँ $x \neq a$ और $f(a) = 0$.
$x=a$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम सीमाओं का मूल्यांकन करते हैं:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (-h) \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1} = 0 \times \frac{0-1}{0+1} = 0$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (h) \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1} = \lim_{h \rightarrow 0} h \frac{1-e^{-1/h}}{1+e^{-1/h}} = 0 \times \frac{1-0}{1+0} = 0$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) = 0$,इसलिए फलन $f(x)$,$x=a$ पर सतत है।

(B) दिया गया है,$f: [-2, 2] \rightarrow R$ अंतराल $[-2, 2]$ पर सतत है।
$f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 0$ पर $LHL$ की गणना करें:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1 + cx} - \sqrt{1 - cx}}{x}$
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(\sqrt{1 + cx} - \sqrt{1 - cx})(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1 + cx) - (1 - cx)}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2cx}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2c}{\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx}}$
$= \frac{2c}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2c}{2} = c$.
अब,$x = 0$ पर $RHL$ की गणना करें:
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$.
चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $LHL = RHL$ होगा।
अतः,$c = 3$।

(D) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
दिया गया है $f(x) = \frac{(a(625+x))^{1/5} - 5}{(625+bx)^{1/4} - 5}$.
$x = 0$ पर,$f(0) = \frac{(625a)^{1/5} - 5}{625^{1/4} - 5} = \frac{(625a)^{1/5} - 5}{5 - 5}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश को $x = 0$ पर $0$ होना चाहिए,इसलिए $(625a)^{1/5} = 5$,जिसका अर्थ है $625a = 5^5 = 3125$,अतः $a = 5$.
अब,$f(x) = \frac{5(1 + x/625)^{1/5} - 5}{5(1 + bx/625)^{1/4} - 5} = \frac{(1 + x/625)^{1/5} - 1}{(1 + bx/625)^{1/4} - 1}$.
सीमा सूत्र $\lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^n - 1}{u} = n$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{625}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{bx}{625}} = \frac{1/5}{1/4b} = \frac{4}{5b}$.

(A) $f(x)$ को $x = 0$ पर संतत होने के लिए,हमारे पास $f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
सीमा का मूल्यांकन: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 - \sqrt{x + 4}}{\sin 2x}$।
चूंकि यह एक $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम $L'\text{Hospital's Rule}$ लागू करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2 - \sqrt{x + 4})}{\frac{d}{dx}(\sin 2x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x + 4}}}{2 \cos 2x}$।
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{-\frac{1}{2\sqrt{4}}}{2 \cos(0)} = \frac{-\frac{1}{4}}{2(1)} = -\frac{1}{8}$।
अतः,$f(0) = -\frac{1}{8}$।

(B) दिया गया है कि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = \lambda$ होना चाहिए।
सीमा की गणना:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}$
सूत्र $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin(2x) \sin(x)}{x^2}$
$= -2 \times \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin 2x}{x} \right) \times \left( \frac{\sin x}{x} \right)$
$= -2 \times 2 \times 1 = -4$.
अतः,$\lambda = -4$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,वाम पक्ष सीमा $(LHL)$,दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए।
$f(0) = p$.
$LHL$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos 3x - \cos x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(2x) \sin(x)}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} -2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 = -4$.
अतः,$p = -4$.
$RHL$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1 + q \sin x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1 + q \sin x)}{q \sin x} \cdot \frac{q \sin x}{x} = 1 \cdot q \cdot 1 = q$.
चूंकि फलन सतत है,$LHL$ = $RHL$ = $f(0)$,इसलिए $q = p = -4$.
अतः,$p + q = -4 + (-4) = -8$.

(D) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$1$. $f(0) = 1$.
$2$. बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1$.
$3$. दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(0) - (1) = -1$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = -1 \neq f(0)$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर असंतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$1$. $f(1) = 2[1] - \frac{1}{|1|} = 2(1) - 1 = 1$.
$2$. बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(0) - 1 = -1$.
$3$. दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(1) - 1 = 1$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$,इसलिए फलन $x = 1$ पर दक्षिण संतत है।

(C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ है।
हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[g(x)]$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ एक पूर्णांक होता है।
यहाँ,$g(x) = x^2 - 3$ है।
$x \in (-1, 2)$ के लिए,$g(x) = x^2 - 3$ का परिसर:
जब $x = -1$,$g(x) = (-1)^2 - 3 = -2$ है।
जब $x = 0$,$g(x) = 0^2 - 3 = -3$ है।
जब $x = 2$,$g(x) = 2^2 - 3 = 1$ है।
अतः,$x \in (-1, 2)$ के लिए,$g(x)$ अंतराल $(-3, 1)$ में मान लेता है।
इस अंतराल में $g(x)$ जो पूर्णांक मान लेता है,वे $\{-2, -1, 0\}$ हैं।
हमें $x$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $x^2 - 3 = k$ हो,जहाँ $k \in \{-2, -1, 0\}$ है।
$1$) $x^2 - 3 = -2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं,केवल $x = 1$ अंतराल में है।
$2$) $x^2 - 3 = -1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं,केवल $x = \sqrt{2}$ अंतराल में है।
$3$) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$। चूँकि हम $(-1, 2)$ में देख रहे हैं,केवल $x = \sqrt{3}$ अंतराल में है।
इस प्रकार,असंततता के बिंदु $x \in \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ हैं।
असंतत बिंदुओं की कुल संख्या $3$ है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = 16$,इसलिए हम सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos ax - \cos 9x}{x^2} = 16$
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए (चूंकि यह $0/0$ रूप है):
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-a \sin ax + 9 \sin 9x}{2x} = 16$
पुनः एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-a^2 \cos ax + 81 \cos 9x}{2} = 16$
$\frac{-a^2(1) + 81(1)}{2} = 16$
$-a^2 + 81 = 32$
$a^2 = 81 - 32 = 49$
$a = \pm 7$

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \sin^2 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 8 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 = 8(1)^2 = 8$.
अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ से गुणा करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 8$,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(A) $f(x)$ को $x=1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} \frac{\tan a(x-1)}{x-1} = a$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-125}{x^2-25} = \frac{1-125}{1-25} = \frac{-124}{-24} = \frac{31}{6}$.
अतः,$a = \frac{31}{6}$.
$f(x)$ को $x=4$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 4^-} \frac{x^3-125}{x^2-25} = \frac{64-125}{16-25} = \frac{-61}{-9} = \frac{61}{9}$.
$\lim_{x \to 4^+} \frac{b^x-1}{x} = \frac{b^4-1}{4}$.
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{61}{9} = \frac{b^4-1}{4} \Rightarrow 244 = 9b^4 - 9 \Rightarrow 9b^4 = 253$.
अब,$6a + 9b^4 = 6(\frac{31}{6}) + 253 = 31 + 253 = 284$.

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = k$,इसलिए हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cot(x \log 4)}{\sin(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{4^x - 1}{x} \right)^4 \cdot \frac{x^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{4^x - 1}{x} = \log 4$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x \log 4)}{x \log 4} = 1$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2 \log 4)}{x^2 \log 4} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^2} \cdot \frac{1}{\log 4} \cdot \lim_{x \to 0} \cos(x \log 4)$
$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^3} \cdot 1 = \log 4$
अतः,$k = \log 4$।
इसलिए,$e^k = e^{\log 4} = 4$।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ और $x=2$ पर सतत है।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ होना चाहिए।
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1 + \cos x) = 1 + \cos(0) = 2$.
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (a - x) = a - 0 = a$.
इन्हें बराबर करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
$x=2$ पर सांतत्य के लिए,$f(2^-) = f(2) = f(2^+)$ होना चाहिए।
$f(2^-) = \lim_{x \to 2^-} (a - x) = a - 2 = 2 - 2 = 0$.
$f(2^+) = \lim_{x \to 2^+} (x - b)^2 = (2 - b)^2$.
इन्हें बराबर करने पर,हमें $(2 - b)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 2$.
अंततः,$a^2 + b^2 = (2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8$.

(A) चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $f(0^+) = f(0^-) = f(0)$ होगा।
सबसे पहले,दाईं सीमा $f(0^+)$ की गणना करें:
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} q \left( \frac{\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} \right) = q \lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x})(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x})}{x^{3/2}(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x})}$
$= q \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+x-x}{x^{3/2}(\sqrt{x}(\sqrt{x+1}+1))} = q \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x^2(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{q}{2}$.
अब,बाईं सीमा $f(0^-)$ की गणना करें:
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan(2p-7)x + \tan 3x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\tan(2p-7)x}{x} + \frac{\tan 3x}{x} \right) = (2p-7) + 3 = 2p-4$.
$f(0) = p-q$ दिया गया है,इसलिए $x=0$ पर सांतत्य के लिए:
$f(0^-) = f(0) \implies 2p-4 = p-q \implies p+q = 4$.
$f(0^+) = f(0) \implies \frac{q}{2} = p-q \implies q = 2p-2q \implies 3q = 2p$.
$3q = 2p$ से,हमें $\frac{q}{p} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है,इसलिए इसे $x = 0, 1, 2$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x = 0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} \cos(2x + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
$\lim_{x \to 0^+} (ax^2 + b) = b$.
अतः,$b = -1$.
$x = 1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\lim_{x \to 1^-} (ax^2 + b) = a + b = a - 1$.
$\lim_{x \to 1^+} (cx + 4) = c + 4$.
अतः,$a - 1 = c + 4 \implies a = c + 5$.
$x = 2$ पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$.
$\lim_{x \to 2^-} (cx + 4) = 2c + 4$.
$\lim_{x \to 2^+} (3a + 1) = 3a + 1$.
अतः,$2c + 4 = 3a + 1$.
$a = c + 5$ रखने पर: $2c + 4 = 3(c + 5) + 1 \implies 2c + 4 = 3c + 16 \implies c = -12$.
तब $a = -12 + 5 = -7$.
अब,$b^2 - bc + c^2 = (-1)^2 - (-1)(-12) + (-12)^2 = 1 - 12 + 144 = 133$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{2^x - 2^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होगा।
अतः,$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 2^{-x}}{x}$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2^x - 2^{-x})}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2(-1)}{1} = \lim_{x \rightarrow 0} (2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2)$.
$x = 0$ रखने पर:
$k = 2^0 \ln 2 + 2^0 \ln 2 = \ln 2 + \ln 2 = 2 \ln 2 = \ln(2^2) = \ln 4$.
अब,$e^k = e^{\ln 4} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) सूची $A$ में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ $|x| + |x - 2|$: यह दो सतत फलनों का योग है,इसलिए यह सभी वास्तविक $x$ के लिए सतत है। यह $IV$ के साथ मेल खाता है।
$(B)$ $\text{cosech } x = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$: यह फलन सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए परिभाषित है। अतः,यह सभी गैर-शून्य वास्तविक $x$ के लिए सतत है। यह $II$ के साथ मेल खाता है।
$(C)$ $x - [x] = \{x\}$ (भिन्नात्मक भाग फलन): यह फलन सभी पूर्णांकों पर असतत होता है। यह $V$ के साथ मेल खाता है।
$(D)$ $\sqrt{2 - x}$: यह फलन $x \le 2$ के लिए परिभाषित है। जैसे $x \to 2^+$,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए वास्तविक संख्या प्रणाली में दाईं ओर की सीमा मौजूद नहीं है। यह $I$ के साथ मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-II, C-V, D-I$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+x-2}$,$x = -2$ पर सतत है।
चूंकि फलन $x = -2$ पर सतत है,इसलिए $f(-2) = \lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ होगा।
सबसे पहले,$f(x)$ के व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \frac{x^2(x+2) + 1(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{(x^2+1)(x+2)}{(x+2)(x-1)}$.
$x \neq -2$ के लिए,हम $(x+2)$ पद को काट सकते हैं:
$f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$.
अब,सीमा (limit) की गणना करते हैं:
$f(-2) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^2+1}{x-1} = \frac{(-2)^2+1}{-2-1} = \frac{4+1}{-3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1 + \sin([\cos x])}{\cos([\sin x])}$।
अंतराल $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,हमारे पास $0 < \cos x < 1$ है,इसलिए $[\cos x] = 0$। साथ ही,$0 < \sin x < 1$ है,इसलिए $[\sin x] = 0$।
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \frac{1 + \sin(0)}{\cos(0)} = \frac{1 + 0}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x) = 1$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह इस अंतराल पर सतत है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) हम सीमा $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log(2+x) - x^{2n} \sin x}{1+x^{2n}}$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $1$: यदि $0 \leq x < 1$ है,तो $n \rightarrow \infty$ होने पर $x^{2n} \rightarrow 0$ होता है। अतः,$f(x) = \frac{\log(2+x) - 0}{1+0} = \log(2+x)$.
स्थिति $2$: यदि $x = 1$ है,तो $f(1) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log(3) - 1^{2n} \sin(1)}{1+1^{2n}} = \frac{\log 3 - \sin 1}{2}$.
स्थिति $3$: यदि $1 < x \leq \frac{\pi}{2}$ है,तो $x^{2n} \rightarrow \infty$ होता है। अंश और हर को $x^{2n}$ से विभाजित करने पर,हमें $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\log(2+x)}{x^{2n}} - \sin x}{\frac{1}{x^{2n}} + 1} = \frac{0 - \sin x}{0 + 1} = -\sin x$ प्राप्त होता है।
अब,$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \log(2+1) = \log 3$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = -\sin(1)$.
चूँकि $\log 3 \neq -\sin 1$,इसलिए फलन $x=1$ पर असंतत है।

(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है,इसलिए $k = \lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ होगा।
$k = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(9x-1)(\sqrt{x}-1)}{3x^2+2x-5}$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
अंश: $\frac{d}{dx}[(9x-1)(\sqrt{x}-1)] = 9(\sqrt{x}-1) + (9x-1)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$.
हर: $\frac{d}{dx}[3x^2+2x-5] = 6x+2$.
$x \rightarrow 1$ पर सीमा का मान रखने पर:
$k = \frac{9(1-1) + (9-1)(\frac{1}{2})}{6(1)+2} = \frac{0 + 8(\frac{1}{2})}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4 x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x=0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x>0 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = 2 \lim_{x \rightarrow 0^-} \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूंकि $LHL = RHL = 8$,इसलिए $x=0$ पर सांतत्य के लिए $f(0) = a = 8$ होना चाहिए।

(A) यह दिया गया है कि फलन $f(x)$ का $x=5$ पर $f(5)=75$ के साथ एक न्यूनतम मान है।
यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 5]$ पर सतत होता,तो चरम मान प्रमेय (Extreme Value Theorem) के अनुसार,इसे इस बंद अंतराल पर एक अधिकतम और एक न्यूनतम मान प्राप्त करना ही होता।
चूंकि $f(-1) = -249$ और $f(5) = 75$ है,यदि फलन सतत होता,तो $(-1, 5)$ में कोई ऐसा $c$ मौजूद होता जहाँ $f(c)$ अधिकतम होता या फलन को $-249$ से $75$ तक बढ़ना पड़ता।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि फलन का कोई अधिकतम मान नहीं है और $x=5$ पर केवल एक न्यूनतम मान है।
यदि $f(x)$ सतत होता,तो यह दी गई शर्तों का खंडन करता क्योंकि एक बंद अंतराल पर सतत फलन का अधिकतम मान होना अनिवार्य है।
इसलिए,अधिकतम मान न होने के लिए $f(x)$ को अंतराल $(-1, 5)$ में किसी बिंदु पर असतत होना ही चाहिए।

(B) $1$. फलन $f(x) = |x-a| + |x-b|$ दो मापांक फलनों का योग है। चूंकि $|x-c|$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है,इसलिए दो सतत फलनों का योग भी $R$ पर सतत होता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$2$. फलन $g(x) = \frac{|x-\alpha|}{x-\alpha}$ को $x > \alpha$ के लिए $1$ और $x < \alpha$ के लिए $-1$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $x = \alpha$ पर फलन अपरिभाषित है। इसलिए,यह सभी $x \in R - \{\alpha\}$ के लिए सतत है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
$3$. हालांकि दोनों कथन सत्य हैं,$f(x)$ की निरंतरता मापांक फलनों का एक गुण है और $g(x)$ की निरंतरता मापांक वाले परिमेय फलनों का एक अलग गुण है। $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं करता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|+2x^2}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ है।
$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं।
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0-h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{|-h|+2(-h)^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{h+2h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{h(1+2h)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{1+2h} = -1$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0+h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{|h|+2h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h(1+2h)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{1+2h} = 1$.
चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $f(x)$,$k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $x=0$ पर असतत है।

(A) फलन $f(x)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} \cos 2 x, & -\infty < x < 0 \\ e^{3 x}, & 0 \leq x < 3 \\ x^2-4 x+3, & 3 \leq x \leq 6 \\ \frac{\log (15 x-89)}{x-6}, & x>6 \end{cases}$
असांतत्य बिंदु $a$ ज्ञात करने के लिए,हम उन बिंदुओं की जाँच करते हैं जहाँ परिभाषा बदलती है,विशेष रूप से $x=0, 3, 6$ पर।
$x=3$ पर:
$\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} e^{3 x} = e^9$
$\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (x^2-4 x+3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)$,इसलिए फलन $x=3$ पर असांतत्य है। अतः,$a=3$ है।
अब,हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x^3-5 x^2+9 x-9} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2-2 x+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x+3}{x^2-2 x+3} = \frac{3+3}{3^2-2(3)+3} = \frac{6}{9-6+3} = \frac{6}{6} = 1$

(C) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x = 2$ पर दाईं ओर से सतत है।
दाईं ओर की सांतत्य की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$ होता है।
यहाँ,$f(2) = k$ है।
अतः,$k = \lim_{h \to 0^+} f(2+h)$.
फलन की परिभाषा रखने पर:
$k = \lim_{h \to 0^+} ((2+h)^2 + e^{\frac{1}{2-(2+h)}})^{-1}$.
$k = \lim_{h \to 0^+} ((2+h)^2 + e^{\frac{1}{-h}})^{-1}$.
जैसे $h \to 0^+$,पद $\frac{1}{-h} \to -\infty$,इसलिए $e^{\frac{1}{-h}} \to e^{-\infty} = 0$ होता है।
अतः,$k = (2^2 + 0)^{-1} = (4)^{-1} = \frac{1}{4}$.

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a(1-\cos 2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a(2 \sin^2 x)}{x^2} = 2a \lim_{x \rightarrow 0^-} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2a(1)^2 = 2a$.
अतः,$2a = b$.
अब,दाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4+\sqrt{x}}-2}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{(\sqrt{4+\sqrt{x}}-2)(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{(4+\sqrt{x})-4} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{4+\sqrt{x}}+2) = \sqrt{4}+2 = 4$.
अतः,$b = 4$.
$b = 4$ को $2a = b$ में रखने पर,हमें $2a = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$.
इसलिए,$a+b = 2+4 = 6$.

(C) फलन $f(x) = \log \left(\frac{x-1}{x+2}\right)$ वहाँ परिभाषित और सतत है जहाँ लघुगणक का तर्क धनात्मक हो।
हमें $\frac{x-1}{x+2} > 0$ की आवश्यकता है।
इस असमिका को हल करने के लिए,अंश और हर को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ और $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$।
संख्या रेखा पर वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
$x > 1$ के लिए,$\frac{x-1}{x+2} > 0$।
$-2 < x < 1$ के लिए,$\frac{x-1}{x+2} < 0$।
$x < -2$ के लिए,$\frac{x-1}{x+2} > 0$।
अतः,फलन $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$ के लिए सतत है।

(D) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\alpha$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.
सीमाओं का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{2(1)-\alpha}{(1+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.
$\Rightarrow \frac{2-\alpha}{8^{2 / 3}}=\frac{7}{4} \Rightarrow \frac{2-\alpha}{4}=\frac{7}{4} \Rightarrow 2-\alpha=7 \Rightarrow \alpha=-5$.
अब,$h(x)= \begin{cases} \sin (-5x), & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{10} \\ \cos (-10x), & \frac{\pi}{10} < x \leq \frac{\pi}{5} \end{cases}$.
चूंकि $\sin (-5x)$ और $\cos (-10x)$ सतत फलन हैं,हमें केवल $x=\frac{\pi}{10}$ पर सांतत्य की जांच करने की आवश्यकता है।
$LHL = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{10}^-} \sin (-5x) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
$h\left(\frac{\pi}{10}\right) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}\right) = -1$.
$RHL = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{10}^+} \cos (-10x) = \cos \left(-\frac{10\pi}{10}\right) = \cos (-\pi) = -1$.
चूंकि $LHL = RHL = h\left(\frac{\pi}{10}\right)$,फलन $h(x)$ बिंदु $x=\frac{\pi}{10}$ पर सतत है।
अतः,$h(x)$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$ पर सतत है।

(C) यदि $f(x)$ बिंदु $x=2$ पर सतत है,तो बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x=2$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. $LHL$ की गणना: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (\frac{x-2}{|x-2|} + a)$। चूँकि $x < 2$,$|x-2| = -(x-2)$,इसलिए $\frac{x-2}{-(x-2)} + a = -1 + a$।
$2$. $RHL$ की गणना: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (\frac{x-2}{|x-2|} + b)$। चूँकि $x > 2$,$|x-2| = (x-2)$,इसलिए $\frac{x-2}{x-2} + b = 1 + b$।
$3$. $x=2$ पर मान: $f(2) = a + b$।
इन सबको बराबर करने पर: $-1 + a = 1 + b = a + b$।
$-1 + a = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$1 + b = a + b$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 1 + (-1) = 0$।

(A) फलन $f(x)$ के $[-1, 1]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = 0$ पर भी सतत होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = \frac{2(0) + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$।
अब,बाईं ओर की सीमा ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px})(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+px) - (1-px)}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2p}{\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px}}$
$= \frac{2p}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2p}{2} = p$।
सीमाओं की तुलना करने पर: $p = -\frac{1}{2}$।

(C) माना $u = \sqrt{2+|x|}$ है। चूँकि $|x| \ge 0$,इसलिए $u \ge \sqrt{2}$ है।
तब $|x| = u^2 - 2$ होगा।
अंश $\sqrt{11 + (u^2 - 2) - 6u} = \sqrt{u^2 - 6u + 9} = \sqrt{(u-3)^2} = |u-3|$ हो जाता है।
हर $6 - 2u = 2(3-u)$ है।
अतः,$f(x) = \frac{|u-3|}{2(3-u)}$ है।
यदि $u < 3$ है,तो $f(x) = \frac{3-u}{2(3-u)} = \frac{1}{2}$ है।
यदि $u > 3$ है,तो $f(x) = \frac{u-3}{2(3-u)} = -\frac{1}{2}$ है।
फलन वहाँ असंतत है जहाँ हर शून्य है,अर्थात $6 - 2u = 0 \Rightarrow u = 3$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{2+|x|} = 3 \Rightarrow 2+|x| = 9 \Rightarrow |x| = 7$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 7$ और $x = -7$ प्राप्त होते हैं।
इन दो बिंदुओं पर,बायाँ सीमा $\frac{1}{2}$ और दायाँ सीमा $-\frac{1}{2}$ है,इसलिए फलन असंतत है।
अतः,असंततता के $2$ बिंदु हैं।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ पर $\mathbb{R}$ सतत है,इसलिए यह $x = -1$ और $x = 1$ पर भी सतत होगा।
$x = -1$ पर:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$
$a(-1) + b = 2(-1)^2 + 2b(-1) - \frac{a}{2}$
$-a + b = 2 - 2b - \frac{a}{2}$
$-\frac{a}{2} + 3b = 2 \quad \dots (i)$
$x = 1$ पर:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$
$2(1)^2 + 2b(1) - \frac{a}{2} = 7$
$2 + 2b - \frac{a}{2} = 7$
$-\frac{a}{2} + 2b = 5 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(-\frac{a}{2} + 3b) - (-\frac{a}{2} + 2b) = 2 - 5$
$b = -3$
$b = -3$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$-\frac{a}{2} + 2(-3) = 5$
$-\frac{a}{2} - 6 = 5$
$-\frac{a}{2} = 11$
$a = -22$
अतः,$(a, b) = (-22, -3)$।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,इसलिए इसे $x = 0$ पर भी सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$।
सबसे पहले,$x = 0$ पर वाम पक्ष सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-ax}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-ax})(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})}{x(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})}$
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+ax)-(1-ax)}{x(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2ax}{x(\sqrt{1+ax}+\sqrt{1-ax})} = \frac{2a}{1+1} = a$।
अब,$x = 0$ पर दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+2}{x-2} = \frac{0^2+2}{0-2} = \frac{2}{-2} = -1$।
चूंकि फलन सतत है,$LHL$ = $RHL$,इसलिए $a = -1$।