Continuity Questions in Hindi

(C) चूंकि $f(x)$,$x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ होगा।
दिया गया है $f(\frac{\pi}{2}) = 2024$।
अब,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2k \cos x}{\pi-2x} = 2024$।
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$। जैसे ही $x \to \frac{\pi}{2}$,$h \to 0$।
$\lim_{h \to 0} \frac{2k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{2k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2k \sin h}{-2h} = k \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = k(1) = k$।
सीमा और फलन के मान की तुलना करने पर,हमें $k = 2024$ प्राप्त होता है।

(A) किसी फलन $f(\alpha)$ के $\alpha=0$ पर संतत होने के लिए,$\alpha \to 0$ पर फलन की सीमा का मान $\alpha=0$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = k$।
हमें $\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \lim_{\alpha \to 0} \frac{1-\cos 6 \alpha}{36 \alpha^2}$ का मूल्यांकन करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$1-\cos 6 \alpha = 2 \sin^2(3 \alpha)$ प्राप्त होता है।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{\alpha \to 0} \frac{2 \sin^2(3 \alpha)}{36 \alpha^2} = \lim_{\alpha \to 0} \frac{2}{36} \left( \frac{\sin 3 \alpha}{\alpha} \right)^2$।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ का उपयोग करने पर,हमें $\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{18} (3)^2 = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन संतत है,इसलिए $k = 1/2$ है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान:
$f(\frac{\pi}{2}) = k(\frac{\pi}{2}) + 1$
$2$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (kx + 1) = k(\frac{\pi}{2}) + 1$
$3$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL$:
$k(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1$
$k(\frac{\pi}{2}) = 0$
$k = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$x \to \frac{\pi}{2}$ पर $f(x)$ की सीमा $f(\frac{\pi}{2})$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $f(\frac{\pi}{2}) = 3$.
हम सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$.
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे $x \to \frac{\pi}{2}$,वैसे $h \to 0$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$.
चूंकि $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,इसलिए सीमा $\frac{k}{2}$ है।
सीमा को फलन के मान के बराबर रखने पर: $\frac{k}{2} = 3 \implies k = 6$.

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ होनी चाहिए।
यहाँ $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ होगा।
अब,सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$.
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे ही $x \to \frac{\pi}{2}$,$h \to 0$ होगा।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$.
चूंकि $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,इसलिए सीमा $\frac{k}{2}$ प्राप्त होती है।
इसे $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ के बराबर रखने पर,$\frac{k}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 1$।

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$,दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$ और $x = a$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
विशेष रूप से,$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$।
दिया गया है $f(x) = \begin{cases} cx + 1, & x \leq 3 \\ dx + 3, & x > 3 \end{cases}$।
$x = 3$ पर वाम-पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 3^-} (cx + 1) = 3c + 1$।
$x = 3$ पर दक्षिण-पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 3^+} (dx + 3) = 3d + 3$।
चूंकि $f$,$x = 3$ पर सतत है,इसलिए $3c + 1 = 3d + 3$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3c - 3d = 3 - 1$।
$3(c - d) = 2$।
$c - d = \frac{2}{3}$।
हमें $d - c$ ज्ञात करना है,इसलिए $d - c = -(c - d) = -\frac{2}{3}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $f(0) = 1$.
हम $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x \tan kx}{x^2}$ की गणना करते हैं।
मानक सीमाओं $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \times 5 \right) \times \left( \frac{\tan kx}{kx} \times k \right) = 1 \times 5 \times 1 \times k = 5k$.
चूंकि फलन संतत है,इसलिए $5k = 1$.
अतः,$k = 1/5$.

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर फलन की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
अर्थात,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है।
अब,सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x \times \cos 3x}{x}$.
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan 4x}{x} \times \cos 3x \right)$.
मानक सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $4$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \left( 4 \times \frac{\tan 4x}{4x} \times \cos 3x \right)$.
सीमा लागू करने पर: $4 \times 1 \times \cos(3 \times 0) = 4 \times 1 \times \cos(0) = 4 \times 1 \times 1 = 4$.
अतः,$k = 4$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = [x]$ है।
हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ सभी पूर्णांक मानों पर असतत होता है।
यह सभी गैर-पूर्णांक मानों पर सतत होता है।
दिए गए विकल्पों में से $4$,$-2$ और $11$ पूर्णांक हैं,जबकि $1.5$ एक गैर-पूर्णांक है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 1.5$ पर सतत है।

(A) किसी फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर फलन की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f(x) = \frac{3 \sin(\pi x)}{5x}$ जब $x \neq 0$ और $f(0) = 2K$ है।
हम जानते हैं कि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\theta x)}{x} = \theta$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin(\pi x)}{5x} = \frac{3}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x} = \frac{3}{5} \times \pi = \frac{3\pi}{5}$।
चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होगा।
अतः,$\frac{3\pi}{5} = 2K$।
$K$ का मान निकालने पर,हमें $K = \frac{3\pi}{10}$ प्राप्त होता है।

(B) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax) - \log(1-bx)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1+ax)}{x} - \frac{\log(1-bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax)}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\log(1-bx)}{x}$
$= a - (-b) = a + b$.
अतः,$f(0)$ का मान $a+b$ होना चाहिए।

(C) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,इसलिए बायां सीमा ($L$.$H$.$L$.) और दायां सीमा ($R$.$H$.$L$.) बराबर होनी चाहिए।
$L$.$H$.$L$. = $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} Kx^2 = K(2)^2 = 4K$.
$R$.$H$.$L$. = $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} 3 = 3$.
चूंकि फलन सतत है,इसलिए $4K = 3$.
अतः,$K = \frac{3}{4}$.

(B) $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$LHL$ के लिए: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/(0-h)}-1}{e^{1/(0-h)}+1} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1}$। चूँकि $h \to 0^+$ होने पर $e^{-1/h} \to 0$,इसलिए $LHL$ $= \frac{0-1}{0+1} = -1$ है।
$RHL$ के लिए: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1} = \lim_{h \to 0} \frac{1-e^{-1/h}}{1+e^{-1/h}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$ है।
चूँकि $LHL$ $\neq$ $RHL$ है,इसलिए $x=0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $x=0$ पर संतत नहीं है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \cot x$ है।
हम इसे $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
एक परिमेय फलन वहाँ असंतत होता है जहाँ उसका हर शून्य के बराबर होता है।
इसलिए,$f(x)$ वहाँ असंतत है जहाँ $\sin x = 0$ है।
$\sin x = 0$ का व्यापक हल $x = n\pi$ है,जहाँ $n \in Z$ है।
अतः,फलन $f(x) = \cot x$ समुच्चय $\{x = n\pi ; n \in Z\}$ पर असंतत है।

(D) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{e^{2x}-1} = k-2$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{e^{2x}-1}{x}} = k-2$
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ और $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{x} = a$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3}{2} = k-2$
$k = \frac{3}{2} + 2$
$k = \frac{3+4}{2} = \frac{7}{2}$

(B) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$x=0$ पर बायां सीमा $(LHL)$ और दायां सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।
सबसे पहले,$LHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$
अंश और हर को $(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})$ से गुणा करने पर:
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx) - (1-kx)}{x(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2k}{\sqrt{1+kx} + \sqrt{1-kx}} = \frac{2k}{1+1} = k$.
अब,$RHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{2(0)+1}{0-1} = -1$.
चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $LHL$ = $RHL$ रखने पर:
$k = -1$.

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x=a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $f(x) = \frac{\log_{e} x}{x-1}$ जब $x \neq 1$ और $f(1) = k$ दिया गया है।
हमें $\lim_{x \to 1} \frac{\log_{e} x}{x-1}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम ला-हॉस्पिटल नियम ($L$'$H$ôpital's Rule) का उपयोग करेंगे:
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log_{e} x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
चूंकि फलन $x=1$ पर सतत है,इसलिए $k = \lim_{x \to 1} f(x) = 1$ होगा।

(A) महत्तम पूर्णांक फलन $f(x) = [x]$ को $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक ज्ञात गुण है कि महत्तम पूर्णांक फलन प्रत्येक पूर्णांक मान $n \in \mathbb{Z}$ पर असंतत होता है।
इसके विपरीत,यह फलन सभी गैर-पूर्णांक मानों पर संतत होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 1.5$ (गैर-पूर्णांक)
$B) 4$ (पूर्णांक)
$C) 1$ (पूर्णांक)
$D) -2$ (पूर्णांक)
चूंकि $1.5$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए फलन $f(x) = [x]$,$x = 1.5$ पर संतत है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है} \end{cases}$।
किसी भी $a \neq 0$ के लिए,परिमेय संख्याओं के अनुक्रम $r_n \to a$ और अपरिमेय संख्याओं के अनुक्रम $i_n \to a$ पर विचार करें।
तब $\lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$ और $\lim_{n \to \infty} f(i_n) = \lim_{n \to \infty} i_n = a$।
चूंकि $a \neq 0$ के लिए $0 \neq a$ है,इसलिए $a \neq 0$ के लिए सीमा $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
$x=0$ पर,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ क्योंकि किसी भी अनुक्रम $x_n \to 0$ के लिए,$f(x_n)$ या तो $x_n$ (यदि $x_n$ अपरिमेय है) या $0$ (यदि $x_n$ परिमेय है) है,जो दोनों $0$ की ओर अग्रसर हैं।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए फलन केवल $x=0$ पर सतत है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा $f(2)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $f(2) = 2$.
हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - (a+2)x + a}{x-2}$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और हर $0$ की ओर प्रवृत्त होता है,इसलिए सीमा के परिमित होने के लिए अंश को भी $x = 2$ पर $0$ होना चाहिए।
अंश में $x = 2$ रखने पर: $2^2 - (a+2)(2) + a = 0$.
$4 - 2a - 4 + a = 0$.
$-a = 0 \implies a = 0$.
वैकल्पिक रूप से,एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए: $\lim_{x \to 2} \frac{2x - (a+2)}{1} = 2(2) - a - 2 = 2 - a$.
$f(2)$ के साथ तुलना करने पर: $2 - a = 2 \implies a = 0$.

(C) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x=1$ पर सतत है,इसलिए सांतत्य की शर्त के अनुसार $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ होगा।
फलन की परिभाषा के अनुसार,$f(1) = k$ है।
अतः,हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $k = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1}$।
$x=1$ रखने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है।
एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1}$।
$x \to 1$ सीमा लेने पर:
$k = \frac{1/1}{1} = 1$।
अतः,$k$ का मान $1$ है।

(A) फलन $f(x) = [x]$ को महत्तम पूर्णांक फलन के रूप में जाना जाता है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to n^-} f(x) = n-1$ है और दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to n^+} f(x) = n$ है।
चूँकि किसी भी पूर्णांक $n$ पर बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा बराबर नहीं है,इसलिए फलन $x$ के सभी पूर्णांक मानों पर असतत है।
हालाँकि,किसी भी गैर-पूर्णांक मान $c$ (जहाँ $c$ पूर्णांक नहीं है) के लिए,फलन $c$ के आसपास के एक छोटे से पड़ोस में स्थिर रहता है,जो इसे ऐसे सभी बिंदुओं पर सतत बनाता है।
इसलिए,फलन $f(x) = [x]$,$x$ के सभी गैर-पूर्णांक मानों के लिए सतत है।

(D) दिया गया है $f(x) = |x-2| + x$.
सबसे पहले,हम $x=0$ और $x=2$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$x=0$ पर: $f(0) = |0-2| + 0 = 2$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = |0-2| + 0 = 2$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = |0-2| + 0 = 2$. चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x=0$ पर सतत है।
$x=2$ पर: $f(2) = |2-2| + 2 = 2$. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = |2-2| + 2 = 2$ और $\lim_{x \to 2^+} f(x) = |2-2| + 2 = 2$. चूँकि $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$,इसलिए फलन $x=2$ पर सतत है।
अब,हम अवकलनीयता की जाँच करते हैं। हम $f(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -(x-2) + x, & x < 2 \\ (x-2) + x, & x \geq 2 \end{cases} = \begin{cases} 2, & x < 2 \\ 2x-2, & x \geq 2 \end{cases}$.
$x < 2$ के लिए,$f'(x) = 0$. $x > 2$ के लिए,$f'(x) = 2$.
$x=2$ पर,$LHD$ $= \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2-2}{h} = 0$.
$RHD$ $= \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(2+h)-2-2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $LHD$ $\neq$ $RHD$,इसलिए $f(x)$ $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=0$ पर,पड़ोस में $f(x) = 2$ है,इसलिए $f'(0) = 0$. अतः,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है।
इसलिए,फलन $x=0$ और $x=2$ दोनों पर सतत है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ है।
चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = k$ होगा।
सीमा सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^{2}(x/2)}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^{2}(x/2)}{4(x/2)^{2}} = \frac{2}{4} \cdot (1)^{2} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$k = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{Kx}{2})}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \left(\frac{\sin(Kx/2)}{x}\right)^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।
अंश में $(\frac{K}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (\frac{K}{2})^2 \cdot (\frac{\sin(Kx/2)}{Kx/2})^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए:
$2 \cdot \frac{K^2}{4} \cdot \frac{1^2}{1} = \frac{1}{2}$।
$\frac{K^2}{2} = \frac{1}{2} \implies K^2 = 1$।
अतः,$K = \pm 1$।

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x = 5$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा ($L$.$H$.$L$.) दाएँ पक्ष की सीमा ($R$.$H$.$L$.) और $x = 5$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
सबसे पहले,$x = 5$ पर फलन का मान ज्ञात करें: $f(5) = 3(5) - 8 = 15 - 8 = 7$.
इसके बाद,$x \to 5^-$ के लिए $L$.$H$.$L$. ज्ञात करें: $\lim_{x \to 5^-} (3x - 8) = 3(5) - 8 = 7$.
फिर,$x \to 5^+$ के लिए $R$.$H$.$L$. ज्ञात करें: $\lim_{x \to 5^+} (2k) = 2k$.
चूँकि फलन सतत है,इसलिए $L$.$H$.$L$. = $R$.$H$.$L$. रखने पर: $7 = 2k$.
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $k = 7/2$ प्राप्त होता है।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 5$ होना चाहिए।
बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3}a = 5 \implies a = \frac{15}{2}$।
दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} \frac{27/2}{b} = 5 \implies b = \frac{27}{10}$।
$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{27}{10}} = \frac{9}{2}$ है।

(C) विकल्प $C$ के लिए,$f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{|x-1|+2(x-1)^2}, & x \neq 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}$
$x > 1$ के लिए,$|x-1| = x-1$,इसलिए $f(x) = \frac{x-1}{(x-1)+2(x-1)^2} = \frac{1}{1+2(x-1)} = \frac{1}{2x-1}$.
$x < 1$ के लिए,$|x-1| = -(x-1)$,इसलिए $f(x) = \frac{x-1}{-(x-1)+2(x-1)^2} = \frac{1}{-1+2(x-1)} = \frac{1}{2x-3}$.
अब,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2x-1} = \frac{1}{2(1)-1} = 1$.
और $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2x-3} = \frac{1}{2(1)-3} = -1$.
चूंकि $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)$,इसलिए $x=1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x=1$ पर असंतत है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ $R$ पर सतत है,इसलिए इसे $x=0$ और $x=3$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x-|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x-(-x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$.
$\lim_{x \to 0^+} b\left(\frac{5x^2+a}{x^2-3x+2}\right) = b\left(\frac{a}{2}\right)$.
समान करने पर: $b\left(\frac{a}{2}\right) = 2 \implies ab = 4$.
$x=3$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = -14$.
यह मानते हुए कि मध्य भाग $x=3$ तक मान्य है: $\lim_{x \to 3^-} b\left(\frac{5x^2+a}{x^2-3x+2}\right) = b\left(\frac{45+a}{2}\right) = -14$.
$b(45+a) = -28$.
$a = 4/b$ प्रतिस्थापित करने पर: $b(45 + 4/b) = -28 \implies 45b + 4 = -28 \implies 45b = -32$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि हम $(a, b) = (2, -7/2)$ की जाँच करें,तो $ab = -7 \neq 4$। प्रश्न में त्रुटि है,फिर भी विकल्प $(A)$ ही अभीष्ट उत्तर है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 1 + 2x^k, & 0 \le x < 1 \\ kx, & 1 \le x < 2 \end{cases}$ है।
$x = 1$ पर सीमा (limit) के अस्तित्व के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ होना चाहिए।
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना: $\lim_{x \to 1^-} (1 + 2x^k) = 1 + 2(1)^k = 1 + 2 = 3$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना: $\lim_{x \to 1^+} (kx) = k(1) = k$.
दोनों सीमाओं को बराबर करने पर: $3 = k$.
चूंकि $k = 3$ है,इसलिए $k^2$ का मान $3^2 = 9$ होगा।

(D) $f(x)$ के $x = -1$ पर दाईं ओर से सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = f(-1)$ होना चाहिए।
सीमा $\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{\pi} - \sqrt{\cos^{-1} x}}{\sqrt{x+1}}$ पर $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{\cos^{-1} x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x} \sqrt{1+x}}$
$= \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}(-1)} \sqrt{1-(-1)}} = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.
दिया है $f(-1) = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$,अतः तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $2\pi = \lambda \pi$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 2$।

(B) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$.
यह $1^{\infty}$ का अनिर्धारित रूप है।
सूत्र $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)[f(x)-1]}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} f(x) = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1+x}{1-x} - 1 \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1+x - (1-x)}{1-x} \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{2x}{1-x} \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{2}{1-x}}$
$= e^{\frac{2}{1-0}} = e^2$.
अतः,$f(0) = e^2$।

(B) फलन के प्रांत का एक बिंदु जहाँ फलन की सीमा का अस्तित्व न हो या वह फलन के मान के बराबर न हो,और उस बिंदु पर फलन को पुनः परिभाषित करके उसे संतत नहीं बनाया जा सकता,तो उसे न हटाने योग्य असंततता कहा जाता है।
इसे आवश्यक या जंप असंततता के रूप में भी जाना जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम (Extreme Value Theorem) के अनुसार,यदि एक फलन $f$ एक बंद और परिबद्ध अंतराल $[a, b]$ पर सतत है,तो $f$ उस अंतराल पर न्यूनतम और अधिकतम दोनों मान प्राप्त करता है।
अतः,फलन $f$ का परिसर बंद अंतराल $[\text{न्यूनतम } f, \text{अधिकतम } f]$ होता है।

(C) फलन $f(x) = |x| + \frac{|x|}{x}$ के रूप में परिभाषित है।
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $f(x) = -x + \frac{-x}{x} = -x - 1$।
$\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 0^-} (-x - 1) = -1$।
$x > 0$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + \frac{x}{x} = x + 1$।
$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x + 1) = 1$।
चूँकि $\text{LHL} \neq \text{RHL}$,फलन $x = 0$ पर असंतत है।
ध्यान दें कि $|x|$,$x = 0$ पर संतत है,लेकिन $\frac{|x|}{x}$ (सिग्नम फलन) $x = 0$ पर असंतत है।
इसलिए,फलन मूल बिंदु पर असंतत है क्योंकि $\frac{|x|}{x}$ वहाँ असंतत है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(A) किसी फलन के $x = -3$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow -3} f(x) = f(-3)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(-3) = -\frac{5}{2}$।
अब,$\lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^2+(a+3)x+(a+1)}{x+3} = -\frac{5}{2}$।
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश का मान $x = -3$ पर $0$ होना चाहिए:
$(-3)^2 + (a+3)(-3) + (a+1) = 0$
$9 - 3a - 9 + a + 1 = 0$
$-2a + 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$।
$a = \frac{1}{2}$ को अंश में रखने पर: $x^2 + 3.5x + 1.5 = (x+3)(x+0.5)$।
अतः,$\lim_{x \rightarrow -3} \frac{(x+3)(x+0.5)}{x+3} = \lim_{x \rightarrow -3} (x+0.5) = -3 + 0.5 = -2.5 = -\frac{5}{2}$।
यह पुष्टि करता है कि $a = \frac{1}{2}$।
अब,हमें $\lim_{x \rightarrow a} (x^2+x+1) = \lim_{x \rightarrow 1/2} (x^2+x+1) = (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4}$ ज्ञात करना है।

(D) एक फलन $f(x)$ बिंदु $x=a$ पर सतत होता है यदि $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) = f(a)$ हो।
दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=p$,$\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=m$,और $f(a)=k$ है।
सांतत्य के लिए,हमारे पास $p = m = k$ होना चाहिए।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: यदि $p-m=0$ है,तो $p=m$ है। यदि $p-k=0$ है,तो $p=k$ है। अतः,$p=m=k$,जो $x=a$ पर सांतत्य की शर्त को पूरा करता है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x=0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए,अर्थात $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$.
$1$. $LHL$ की गणना:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. $RHL$ की गणना:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 4+4 = 8$.
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $8$ है,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(B) फलन $f(x)$ के हर जगह सतत होने के लिए,इसे $x=0$ और $x=2$ पर सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1+\cos x) = 1+1 = 2$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a-x) = a-0 = a$.
चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $a = 2$.
$x=2$ पर:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (a-x) = a-2 = 2-2 = 0$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2-b^2) = 4-b^2$.
चूंकि फलन $x=2$ पर सतत है,इसलिए $0 = 4-b^2$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4$.
अतः,$a^2+b^2 = 2^2 + 4 = 4+4 = 8$.

(C) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए।
$f(0) = a$.
$LHL$: $\lim_{x \to 0^-} (1+\sin x)^{\operatorname{cosec} x} = \lim_{x \to 0^-} (1+\sin x)^{1/\sin x} = e^1 = e$.
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $a = e$.
$RHL$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{2/x}+e^{3/x}}{a e^{2/x}+b e^{3/x}}$.
अंश और हर को $e^{3/x}$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-1/x}+1}{a e^{-1/x}+b} = \frac{0+1}{a(0)+b} = \frac{1}{b}$.
$RHL$ को $f(0)$ के बराबर रखने पर: $\frac{1}{b} = a$.
चूंकि $a = e$,हमारे पास $\frac{1}{b} = e$ है,जिसका अर्थ है $b = \frac{1}{e} = e^{-1}$.
अतः,$ab = e \times e^{-1} = 1$.

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(e^{ax}-1) \log(1+x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\frac{e^{ax}-1}{ax} \cdot ax) \cdot (\frac{\log(1+x)}{x} \cdot x)}{(\frac{\sin x}{x})^2 \cdot x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax \cdot x}{x^2} = a$.
चूँकि $f(0) = 2$,इसलिए $a = 2$ है।
इसके बाद,बाईं सीमा $(LHL)$ का मूल्यांकन करें:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos 4x - \cos bx}{\tan^2 x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(\frac{4x+bx}{2}) \sin(\frac{4x-bx}{2})}{\tan^2 x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 (\frac{4+b}{2}x) (\frac{4-b}{2}x)}{x^2} = -2 \cdot \frac{16-b^2}{4} = \frac{b^2-16}{2}$.
चूँकि $f(0) = 2$,इसलिए $\frac{b^2-16}{2} = 2$,जिसका अर्थ है $b^2 - 16 = 4$,अतः $b^2 = 20$ है।
अंत में,$\sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{20 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ होना चाहिए।
$1$. बायां सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} e^{\frac{\sin a(x-[x])}{x-[x]}}$। चूंकि $x < 1$,इसलिए $[x] = 0$ होगा। अतः,$\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{\sin ax}{x}} = e^{\sin a}$।
$2$. दायां सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2+x-2|}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{|(x-1)(x+2)|}{x-1}$। चूंकि $x > 1$,इसलिए $(x-1) > 0$ होगा,अतः $|x-1| = x-1$। इस प्रकार,$\lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+2) = 3$।
$3$. $x = 1$ पर मान: $f(1) = b + 1$।
$LHL$,$RHL$ और $f(1)$ की तुलना करने पर:
$e^{\sin a} = 3 \implies \sin a = \ln 3$।
$b + 1 = 3 \implies b = 2$।
अतः,$b \sin a = 2 \ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$।

(D) फलन $f(x)$ के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(-1)$ बराबर होने चाहिए।
$1$. $x = -1$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(-1) = \sin^{-1}[-1] = \sin^{-1}(-1) = -\pi / 2$.
$2$. $x = -1$ पर दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \sin^{-1}[x]$.
चूंकि $x$ दाईं ओर से $-1$ के करीब आता है,$-1 < x < 0$,इसलिए $[x] = -1$.
अतः,$\lim_{x \to -1^+} \sin^{-1}(-1) = -\pi / 2$.
$3$. $x = -1$ पर बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} k([x] + |x|)$.
चूंकि $x$ बाईं ओर से $-1$ के करीब आता है,$x < -1$,इसलिए $[x] = -2$ और $|x| = -x$.
अतः,$\lim_{x \to -1^-} k(-2 - x) = k(-2 - (-1)) = k(-2 + 1) = -k$.
$4$. $LHL$ और $f(-1)$ की तुलना करें:
$-k = -\pi / 2 \implies k = \pi / 2$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए,अर्थात $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$।
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16+0}+4 = 4+4 = 8$।
चूँकि $LHL$ = $RHL$ = $8$ है,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(D) $f(x)$ के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = k$ होना चाहिए।
सीमा $\lim_{x \to -1} \frac{(2-a)x^2 - (a+3b)x - 1}{x+1}$ है।
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश $x = -1$ पर $0$ होना चाहिए।
$x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर: $(2-a)(-1)^2 - (a+3b)(-1) - 1 = 0 \implies 2 - a + a + 3b - 1 = 0 \implies 1 + 3b = 0 \implies b = -\frac{1}{3}$।
$b = -\frac{1}{3}$ को अंश में रखने पर: $(2-a)x^2 - (a - 1)x - 1$।
इसके गुणनखंड $(x+1)((2-a)x - 1)$ होते हैं।
अतः,$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)((2-a)x - 1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} ((2-a)x - 1) = (2-a)(-1) - 1 = -2 + a - 1 = a - 3$।
चूंकि फलन सतत है,इसलिए $k = a - 3$।

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{5-x}, & x < 3 \\ 5-x, & x \geq 3 \end{cases}$
$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाईं सीमा $(LHL)$ और दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करते हैं।
$LHL$: $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{2}{5-x} = \frac{2}{5-3} = 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{+}} (5-x) = 5-3 = 2$.
साथ ही,$f(3) = 5-3 = 2$.
चूंकि $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = 1$ और $\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = 2$,इसलिए $x = 3$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
विशेष रूप से,बाईं सीमा $x = 3$ पर फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $x = 3$ पर बाईं ओर असंतत है।

(A) फलन को $f(x) = \min \{x, x^2\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x$ और $x^2$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि जब $0 \leq x \leq 1$ होता है तो $x^2 \leq x$ होता है,और अन्यथा $x < x^2$ होता है।
अतः,$f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x, & x > 1 \end{cases}$ है।
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 = 0$ है। चूँकि $f(0) = 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर सतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ है। चूँकि $f(1) = 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत है।
अब,अवकलनीयता की जाँच: $f'(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 2x, & 0 < x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$ है।
$x = 0$ पर: बायाँ अवकलज $1$ है,दायाँ अवकलज $2(0) = 0$ है। चूँकि $1 \neq 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: बायाँ अवकलज $2(1) = 2$ है,दायाँ अवकलज $1$ है। चूँकि $2 \neq 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) = \beta$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (\alpha + 1)x + \tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (\alpha + 1)x}{x} + \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan 2x}{x} = (\alpha + 1) + 2 = \alpha + 3$।
अतः,$\beta = \alpha + 3$।
अब,बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin 3x - \tan 3x}{x^{3}}$। टेलर श्रेणी विस्तार $\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5)$ और $\tan 3x = 3x + \frac{(3x)^3}{3} + O(x^5)$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{(3x - \frac{27x^3}{6}) - (3x + \frac{27x^3}{3})}{x^3} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-\frac{9}{2}x^3 - 9x^3}{x^3} = -\frac{9}{2} - 9 = -\frac{27}{2}$।
इसलिए,$\beta = -\frac{27}{2}$।
$\beta$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $-\frac{27}{2} = \alpha + 3 \implies \alpha = -\frac{27}{2} - 3 = -\frac{33}{2}$।
अंत में,$|\alpha| + |\beta| = |-\frac{33}{2}| + |-\frac{27}{2}| = \frac{33}{2} + \frac{27}{2} = \frac{60}{2} = 30$।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|}$.
चूंकि यह $1^\infty$ रूप है,हम $\lim_{x \rightarrow c} (1 + g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow c} g(x)h(x)}$ सूत्र का उपयोग करेंगे।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = e^{\lim_{x \rightarrow 0} |\sin x| \cdot \frac{a}{|\sin x|}} = e^a$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 3x}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2x}{3x}} = e^{1 \cdot 1 \cdot 2/3} = e^{2/3}$.
चूंकि $f(0) = b$,सीमाओं की तुलना करने पर:
$e^a = b = e^{2/3}$.
अतः,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
हम सीमा (limit) की गणना इस प्रकार करते हैं:
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
इस सीमा का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$
$x=0$ रखने पर:
$f(0) = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$