Continuity Questions in Hindi

(D) $f(x)$ को $\mathbb{R}$ पर सतत होने के लिए,इसे $x=0, x=1,$ और $x=2$ पर सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies \sin(0) = 0^2 + a^2 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$.
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + a^2 = b(1) + 2 \implies 1 + 0 = b + 2 \implies b = -1$.
$x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies b(2) + 2 = 0 \implies 2(-1) + 2 = 0$,जो सुसंगत है।
अतः,$a = 0$ और $b = -1$.
इसलिए,$a+b+ab = 0 + (-1) + (0)(-1) = -1$.

(D) $f(x)$ को $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{p}{|\sin x|}} = \lim_{x \to 0^-} (1-\sin x)^{\frac{p}{-\sin x}}$ (क्योंकि $x < 0$ के लिए $|\sin x| = -\sin x$)।
माना $h = -x$,जैसे $x \to 0^-$,$h \to 0^+$। तब $\sin x = -\sin h$।
$\lim_{h \to 0^+} (1+\sin h)^{\frac{p}{\sin h}} = e^{\lim_{h \to 0^+} \sin h \cdot \frac{p}{\sin h}} = e^p$.
अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}} = e^{2/3}$.
चूँकि $f(0) = q$,सीमाओं की तुलना करने पर:
$e^p = q = e^{2/3}$.
अतः,$p = 2/3$ और $q = e^{2/3}$।
यदि मूल प्रश्न में घात $\frac{p}{\sin x}$ है,तो $LHL$ $= e^{-p}$ होगा,जिससे $p = -2/3$ और $q = e^{2/3}$ प्राप्त होगा।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर संतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = (x+1)^{\cot x}$।
$x \rightarrow 0$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} (x+1)^{\cot x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \cot x \cdot \ln(1+x)}$।
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,घातांक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{\tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{\tan x} \right)$।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,इसलिए घातांक की सीमा $1 \cdot 1 = 1$ है।
अतः,$f(0) = e^1 = e$।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए शर्त $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \left( \beta + \left[ \frac{\sin x - x}{x^3} \right] \right)$.
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$,इसलिए $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-x^3/6 + x^5/120}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120}$.
जैसे $x \to 0^-$,$\frac{\sin x - x}{x^3} \to -\frac{1}{6}$. अतः,$\text{LHL} = \beta + [-1/6] = \beta - 1$.
अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} \left( \alpha + \frac{\sin [x]}{x} \right)$.
$0 < x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $\sin [x] = \sin 0 = 0$.
अतः,$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} (\alpha + 0) = \alpha$.
दिया गया है कि $f(0) = 2$,इसलिए $\beta - 1 = 2 = \alpha$.
अतः,$\beta = 3$ और $\alpha = 2$.
इसलिए,$\beta - \alpha = 3 - 2 = 1$.

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$LHL$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a+2 \cos x}{x^2}$। इस सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए। अतः,$a + 2 \cos(0) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$।
$a = -2$ को सीमा में रखने पर: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2 + 2 \cos x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(1 - \cos x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(2 \sin^2(x/2))}{x^2} = -2 \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2 \times 2} = -2 \times \frac{1}{2} = -1$।
अब,$RHL$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^+} b \tan \frac{\pi}{[x+4]}$। जैसे ही $x \rightarrow 0^+$,$[x+4] = 4$ होता है।
अतः,$RHL = b \tan \frac{\pi}{4} = b(1) = b$।
चूंकि $LHL = RHL$,इसलिए $-1 = b$।
इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान $(-2, -1)$ है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$f(0) = k$.
अब,हम सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - \cos 2 x}{x^2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - (1 - 2 \sin^2 x)}{x^2}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3 x^2 - 1 + 2 \sin^2 x}{x^2}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3 x^2 + 2 \sin^2 x}{x^2}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{3 x^2}{x^2} + 2 \frac{\sin^2 x}{x^2} \right)$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 + 2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \right)$
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$= 3 + 2(1)^2 = 3 + 2 = 5$.
चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$,इसलिए $k = 5$।

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
दिया गया है कि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{2 \sin x - \sin 2x}{2x \cos x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x - 2 \sin x \cos x}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x (1 - \cos x)}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right)$
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x} = \frac{1 - 1}{1} = 0$ है।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1 \cdot 0 = 0$।
चूंकि $f(0) = a$,सांतत्य के लिए $a = 0$ होना चाहिए।

(C) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x^2 + 3 x + 2}, & x \in R - \{-1, -2\} \\ -1, & x = -2 \\ 0, & x = -1 \end{cases}$
$x \in R - \{-1, -2\}$ के लिए,$f(x) = \frac{x + 2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 1}$.
अब,हम $x = -2$ और $x = -1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$x = -2$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{-2 + 1} = -1$.
चूँकि $f(-2) = -1$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2)$,अतः $f$ बिंदु $x = -2$ पर सतत है।
$x = -1$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{1}{x + 1} = -\infty$ और $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{x + 1} = \infty$.
चूँकि $x = -1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f$ बिंदु $x = -1$ पर असतत है।
अतः,$f$ समुच्चय $R - \{-1\}$ पर सतत है।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और फलन के मान $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$LHL$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$LHL$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx})(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})}$
$LHL$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx)-(1-kx)}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \frac{2k}{1+1} = k$
$RHL$ = $\lim_{x \to 0^+} (2x^2+3x-2) = 2(0)^2+3(0)-2 = -2$
चूँकि फलन सतत है,$LHL$ = $RHL$,अतः $k = -2$।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x=0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. $x=0$ पर फलन का मान $f(0) = a^2 \cos^2(0) + b^2 \sin^2(0) = a^2(1) + b^2(0) = a^2$ है।
$2$. $x \rightarrow 0^+$ के लिए दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ $\lim_{x \rightarrow 0^+} e^{ax+b} = e^{a(0)+b} = e^b$ है।
$3$. $x \rightarrow 0^-$ के लिए बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ $\lim_{x \rightarrow 0^-} (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x) = a^2(1) + b^2(0) = a^2$ है।
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL = f(0)$,इसलिए $e^b = a^2$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(e^b) = \ln(a^2)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $b = 2 \log |a|$ हो जाता है।

(C) फलन $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जिसे $\{x\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम किसी भी पूर्णांक $n \in Z$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n-h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - [n-h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - (n-1)) = \lim_{h \rightarrow 0} (1-h) = 1$.
दाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \rightarrow n^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n+h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - [n+h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - n) = \lim_{h \rightarrow 0} h = 0$.
$x=n$ पर फलन का मान:
$f(n) = n - [n] = n - n = 0$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow n^+} f(x)$,फलन $f(x)$ प्रत्येक पूर्णांक $n \in Z$ पर असंतत है।
अतः,असंतत बिंदुओं का समुच्चय $Z$ है।

(B) $f(x)$ के लिए: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$,जो $f(0)$ के बराबर है,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$,जिसका अस्तित्व नहीं है। अतः,$(i)$ सत्य है।
$g(x) = x f(x) = x^2 \sin(1/x)$ के लिए $x \neq 0$ और $g(0) = 0$ है।
$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$ है। अतः $g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x \neq 0$ के लिए,$g'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$ है।
जैसे $x \to 0$,$\lim_{x \to 0} g'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \sin(1/x) - \cos(1/x))$,जिसका अस्तित्व नहीं है क्योंकि $\cos(1/x)$ दोलन करता है।
चूंकि $\lim_{x \to 0} g'(x) \neq g'(0)$,इसलिए $g'(x)$,$x = 0$ पर सतत नहीं है। अतः,$(ii)$ सत्य है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1 + 6x - 3x^2, & x \leq 1 \\ x + \log_2(b^2 + 7), & x > 1 \end{cases}$।
$f(1)$ को अधिकतम मान होने के लिए,सभी $x$ के लिए $f(x) \leq f(1)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(1) = 1 + 6(1) - 3(1)^2 = 1 + 6 - 3 = 4$ की गणना करें।
$x > 1$ के लिए,हमें $f(x) \leq 4$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$।
चूंकि यह सभी $x > 1$ के लिए सत्य होना चाहिए,हम $x \to 1^+$ की सीमा लेते हैं,जिससे $1 + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$ प्राप्त होता है।
$\log_2(b^2 + 7) \leq 3$।
$b^2 + 7 \leq 2^3 = 8$।
$b^2 \leq 1$।
अतः,$-1 \leq b \leq 1$,यानी $b \in [-1, 1]$।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(1 - \cos x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{1 - \cos x}{2})}{x^4}$
चूँकि $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$,यह पद इस प्रकार होगा:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^4}$
सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,छोटी $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \theta$ लेने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin^2(\frac{x}{2}))^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^4}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{x^4}{16}}{x^4} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(D) दिया गया अंतराल $x \in (-2 \pi, 0)$ है।
जैसे-जैसे $x$ बाईं ओर से $0$ के करीब पहुंचता है,$x^3$ ऋणात्मक दिशा से $0$ के करीब पहुंचता है।
इसलिए,$\frac{1}{x^3}$ का मान $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है।
चूंकि फलन $f(x) = \sin \left(\frac{1}{x^3}\right)$ अपने तर्क $\frac{1}{x^3}$ के $-\infty$ की ओर जाने पर $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए यह फलन $0$ के किसी भी सामीप्य में $x$-अक्ष को अनंत बार काटेगा।
अतः,फलन अंतराल $(-2 \pi, 0)$ में अनंत बार अपना चिह्न बदलता है।

(D) अंतराल $I$ पर परिभाषित एक सतत फलन $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ जो केवल अपरिमेय मान लेता है,उसे एक अचर फलन होना चाहिए।
यदि $f(x)$ अचर नहीं होता,तो 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,यह उन दो मानों के बीच के सभी मानों को ग्रहण करता जो यह लेता है। चूंकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{R}$ में सघन है,इसलिए कोई भी गैर-अचर सतत फलन परिमेय मान अवश्य लेगा।
दिया गया है कि $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$,और चूंकि $f(x)$ अचर है,इसलिए हमारे पास सभी $x \in [-2,2]$ के लिए $f(x)=\sqrt{2}$ है।
अतः,$f(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}$.

(A) माना $g(x) = x \log_e x + x - 2$.
हम समीकरण $g(x) = 0$ के मूल ज्ञात कर रहे हैं।
अंतराल $(1, 2)$ के अंत बिंदुओं पर $g(x)$ का मान ज्ञात करें:
$g(1) = 1 \cdot \log_e(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$g(2) = 2 \cdot \log_e(2) + 2 - 2 = 2 \log_e(2) \approx 2(0.693) = 1.386$.
चूंकि $g(1) = -1 < 0$ और $g(2) = 2 \log_e(2) > 0$ है,और $g(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक सतत फलन है,इसलिए 'Intermediate Value Theorem' के अनुसार,$(1, 2)$ में कम से कम एक ऐसा मूल $c$ अवश्य होगा जिसके लिए $g(c) = 0$ हो।

(D) फलन $f(x) = x - [x]$ को भिन्नात्मक भाग फलन के रूप में जाना जाता है,जिसे $\{x\}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी भी पूर्णांक $n \in Z$ के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x - [x]) = n - (n - 1) = 1$.
$\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x - [x]) = n - n = 0$.
चूँकि किसी भी पूर्णांक $n$ पर बाएँ पक्ष की सीमा दाएँ पक्ष की सीमा के बराबर नहीं है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर असंतत है।
अतः,असंतत बिंदुओं का समुच्चय $Z$ है।

(C) फलन को $f(x) = \begin{cases} x+1, & -1 \leq x \leq 0 \\ -x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,फलन $x=0$ पर असंतत है।
अब,$[-1, 1]$ पर $f(x)$ के परिसर (range) का विश्लेषण करें:
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$f(x) = x+1$ है। परिसर $[0, 1]$ है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$f(x) = -x$ है। परिसर $[-1, 0)$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,$f(x)$ का परिसर $[-1, 0) \cup [0, 1] = [-1, 1]$ है।
अधिकतम मान $1$ है ($x=0$ पर प्राप्त) और न्यूनतम मान $-1$ है ($x=1$ पर प्राप्त)।
अतः,$f(x)$,$[-1, 1]$ में असंतत है लेकिन फिर भी इसका अधिकतम और न्यूनतम मान है।

(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।
$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,अर्थात $x = \sqrt{n}$ जहाँ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$।
गुणनफल $f(x) = g(x)h(x)$ के किसी बिंदु $x_0$ पर सतत होने के लिए,जहाँ $g(x)$ असतत है,$h(x_0) = 0$ होना आवश्यक है।
यहाँ,$h(x) = \sin(\pi x) = 0$ तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक हो।
यदि $x^2 = n$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) और $x$ भी एक पूर्णांक है,तो $x = \sqrt{n}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n$ एक पूर्ण वर्ग है।
यदि $x^2 = n$ है लेकिन $x$ पूर्णांक नहीं है,तो $\sin(\pi x) \neq 0$ होता है,इसलिए फलन $f(x)$ इन बिंदुओं पर असतत रहता है।
अतः,$f(x)$ केवल उन बिंदुओं पर सतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi x) = 0$ है,जो तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक है।
दिए गए विकल्प सही नहीं हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) फलन के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(a+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+1) + 1 = a+2$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+bx^2} - \sqrt{x}}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx} - 1)}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+bx} - 1}{b}$.
द्विपद प्रसार $(1+bx)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}bx$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \frac{1}{2}bx - 1}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}bx}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{2} = 0$.
चूंकि $f(0) = c$,निरंतरता के लिए $a+2 = 0$ और $c = 0$ आवश्यक है।
अतः,$a = -2$ और $c = 0$। $RHL$ में हर में $b$ होने के कारण,$x > 0$ के लिए फलन को परिभाषित होने के लिए $b \neq 0$ होना चाहिए।
इसलिए,$a = -2, b \in \mathbb{R} - \{0\}, c = 0$।

(A, D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & x = 0 \\ 2, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$-1 \leq x \leq 0$ के लिए,$F(x) = \int_{-1}^{x} 0 \, dt = 0$.
$0 < x \leq 1$ के लिए,$F(x) = \int_{-1}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{x} 2 \, dt = 0 + [2t]_{0}^{x} = 2x$.
अतः,$F(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x \leq 0 \\ 2x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:
$\lim_{x \to 0^-} F(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2(0) = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^+} F(x) = F(0) = 0$,इसलिए $F(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच:
बायाँ अवकलज $LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
दायाँ अवकलज $RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(0+h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $x = 0$ पर $F'(x)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,विकल्प $A$ और $D$ सही हैं।

(B) $f(x)$ के संतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर संतत होना चाहिए।
$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:
$LHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$RHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (A \sin x + B) = A \sin(-\frac{\pi}{2}) + B = -A + B$.
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL \implies -A + B = 2$ (समीकरण $i$)।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$LHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (A \sin x + B) = A \sin(\frac{\pi}{2}) + B = A + B$.
$RHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL \implies A + B = 0$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर: $(-A + B) + (A + B) = 2 + 0 \implies 2B = 2 \implies B = 1$.
$B = 1$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $A + 1 = 0 \implies A = -1$.
अतः,$f$,$A = -1$ और $B = 1$ के लिए संतत है।

(C) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
यहाँ $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]}$ दिया गया है।
जैसे-जैसे $x \to 0$,$x^2$ धनात्मक दिशा से $0$ की ओर अग्रसर होता है,इसलिए $-x^2$ ऋणात्मक दिशा से $0$ की ओर अग्रसर होता है (अर्थात $-x^2 \in (-1, 0)$)।
अतः,महत्तम पूर्णांक फलन $[-x^2]$ का मान $x \to 0$ के लिए $-1$ होगा।
इस प्रकार,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]} = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{-\sin(1)}{-1} = \sin(1)$।
चूंकि $f(0) = \alpha$,सांतत्य के लिए $\alpha = \sin(1)$ होना चाहिए।

(A) दिया गया है कि $f(2x - 1) = f(x)$.
किसी भी $x$ के लिए,हम लिख सकते हैं $f(x) = f(2x - 1) = f(2(2x - 1) - 1) = f(4x - 3) = f(2^n x - (2^n - 1))$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,$2^n x - 2^n + 1 = 2^n(x - 1) + 1$ होता है।
यदि $x \neq 1$ है,तो $2^n(x - 1) + 1 \rightarrow \pm \infty$ होता है।
चूंकि $f$,$x = 1$ पर सतत है,हम $x \rightarrow 1$ के रूप में सीमा पर विचार करते हैं। मान लीजिए $x_n$ एक अनुक्रम है जो $x_n \rightarrow 1$ है। तब $f(x_n) = f(2x_n - 1)$ होता है।
संबंध को दोहराने पर,$f(x) = f(1)$ सभी $x$ के लिए प्राप्त होता है क्योंकि अनुक्रम $x_{n+1} = \frac{x_n + 1}{2}$,$1$ की ओर अभिसरित होता है।
चूंकि $f(1) = 1$ है,इसलिए $f(x) = 1$ सभी $x \in R$ के लिए प्राप्त होता है।
अतः,$f(2) = 1$ और $f$ एक अचर फलन है,जो हर जगह सतत है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=2$ पर सतत होने के लिए,$x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(2)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f(2) = 2$ है।
हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-(A+2)x+A}{x-2}$।
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश का मान $x=2$ पर शून्य होना चाहिए क्योंकि हर शून्य है।
अंश में $x=2$ रखने पर: $2^2 - (A+2)(2) + A = 4 - 2A - 4 + A = -A$।
$-A = 0$ रखने पर,हमें $A = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$A=0$ के साथ सीमा की जाँच करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x = 2$।
चूंकि सीमा $2$,$f(2) = 2$ के बराबर है,इसलिए $A=0$ पर फलन $x=2$ पर सतत है।

(A) यदि $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,तो $x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा $f(2)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $x \neq 2$ के लिए $f(x) = [x] + [-x]$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$[n] + [-n] = 0$,लेकिन किसी भी गैर-पूर्णांक $x$ के लिए,$[x] + [-x] = -1$ होता है।
जैसे-जैसे $x \to 2$,$x$ का मान $2$ के निकट होता है लेकिन $2$ नहीं होता है। $2$ के पड़ोस में $x$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए $[x] + [-x] = -1$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 2} f(x) = -1$।
चूंकि फलन $x = 2$ पर सतत है,इसलिए $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$\lambda = -1$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x + |x|$ है।
हम मापांक फलन $|x|$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
अतः,फलन $f(x)$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} x + x, & x \geq 0 \\ x - x, & x < 0 \end{cases} = \begin{cases} 2x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$
अब,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (0) = 0$
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x) = 2(0) = 0$
फलन का मान: $f(0) = 2(0) = 0$
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
चूँकि $x > 0$ के लिए $f(x) = 2x$ एक बहुपद फलन है और $x < 0$ के लिए $f(x) = 0$ एक अचर फलन है,इसलिए यह फलन सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए सतत है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = 1$ यदि $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = 0$ यदि $x \notin \mathbb{Q}$ है।
दिया गया है कि $g(x) = 0$ यदि $x \in \mathbb{Q}$ और $g(x) = 1$ यदि $x \notin \mathbb{Q}$ है।
फलन $h(x) = f(x) + g(x)$ पर विचार करें।
किसी भी $x \in [0,1]$ के लिए,यदि $x$ परिमेय है,तो $h(x) = f(x) + g(x) = 1 + 0 = 1$ है।
यदि $x$ अपरिमेय है,तो $h(x) = f(x) + g(x) = 0 + 1 = 1$ है।
अतः,$h(x) = 1$ सभी $x \in [0,1]$ के लिए एक अचर फलन है।
एक अचर फलन अपने डोमेन में हर जगह सतत और अवकलनीय होता है।
इसलिए,$f+g$ बिंदु $x = \frac{2}{3}$ पर सतत है।
चूंकि $f$ और $g$ डिरिचलेट-प्रकार के फलन हैं,वे $[0,1]$ के प्रत्येक बिंदु पर असतत हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) एक फलन $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \\ h(x), & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ बिंदु $x = a$ पर संतत होता है यदि और केवल यदि $g(a) = h(a)$ हो।
यहाँ,$g(x) = \sin |x|$ और $h(x) = 0$ है।
सांतत्य के लिए,हमें $\sin |x| = 0$ की आवश्यकता है।
यह तब होता है जब $|x| = n\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए,जिसका अर्थ है $x = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
किसी भी बिंदु $x = k\pi$ (जहाँ $k \in \mathbb{Z}$) पर,$f(x) = \sin |k\pi| = 0$ होता है।
किसी अन्य बिंदु $x \neq k\pi$ के लिए,$\sin |x| \neq 0$ है,इसलिए फलन असंतत है क्योंकि परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के लिए मान समान नहीं हैं।
अतः,$f$ केवल $x = k\pi$ पर संतत है और बाकी हर जगह असंतत है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है,$f(x)=\frac{\tan \{\pi[x-\frac{\pi}{2}]\}}{2+[x]^{2}}$.
चूँकि $[x-\frac{\pi}{2}]$ सभी $x$ के लिए एक पूर्णांक है,मान लीजिए $[x-\frac{\pi}{2}] = k$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$.
तब अंश $\tan(\pi k)$ हो जाता है,जो सभी पूर्णांक $k$ के लिए $0$ के बराबर है।
चूँकि हर $2+[x]^{2}$ हमेशा $\geq 2$ है और कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए फलन सरल होकर सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = \frac{0}{2+[x]^{2}} = 0$ हो जाता है।
एक अचर फलन $f(x) = 0$ सभी $x$ के मानों के लिए सतत और अवकलनीय होता है।
अतः,फलन $x$ के सभी मानों के लिए सतत है।

(B, C) फलन $f(x) = \frac{x^3}{4} - \sin(\pi x) + 3$ अंतराल $[-2, 2]$ पर सतत है।
अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(-2) = \frac{(-2)^3}{4} - \sin(-2\pi) + 3 = \frac{-8}{4} - 0 + 3 = -2 + 3 = 1$.
$f(2) = \frac{2^3}{4} - \sin(2\pi) + 3 = \frac{8}{4} - 0 + 3 = 2 + 3 = 5$.
मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,चूँकि $f(x)$ अंतराल $[-2, 2]$ पर सतत है,यह $[f(-2), f(2)]$ अर्थात $[1, 5]$ अंतराल के प्रत्येक मान को प्राप्त करेगा।
चूँकि $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ और $3 \frac{1}{4} = 3.25$ दोनों $[1, 5]$ अंतराल के भीतर स्थित हैं,इसलिए फलन $f(x)$ ये दोनों मान प्राप्त करता है।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ दोनों सही हैं।

(C, D) अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर फलन $f(x) = x^3$ दिया गया है।
$1$. चरम मानों की जाँच: $f'(x) = 3x^2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है। अतः,$x = 0$ पर कोई स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम मान नहीं है। निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = -1$ पर $(f(-1) = -1)$ और निरपेक्ष अधिकतम मान $x = 1$ पर $(f(1) = 1)$ प्राप्त होता है। इसलिए,विकल्प $A$ और $B$ गलत हैं।
$2$. सांतत्य: फलन $f(x) = x^3$ एक बहुपद फलन है,जो सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है,जिसमें $[-1, 1]$ अंतराल भी शामिल है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$3$. परिबद्धता: चूंकि फलन $f(x)$ संवृत अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,इसलिए 'एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम' के अनुसार यह परिबद्ध है। विशेष रूप से,सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $-1 \le f(x) \le 1$ होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
अतः,सही कथन $C$ और $D$ हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2 + x \sin x - \cos x$।
हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2x + (\sin x + x \cos x) + \sin x = 2x + 2 \sin x + x \cos x = x(2 + \cos x) + 2 \sin x$।
$x > 0$ के लिए,$f(0) = -1$ है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$। चूँकि $f(0) = -1 < 0$ है और $f(x)$ सतत है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(0, \infty)$ में कम से कम एक मूल मौजूद है।
इसी प्रकार,जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$। चूँकि $f(0) = -1 < 0$ है,$(-\infty, 0)$ में भी कम से कम एक मूल मौजूद है।
अतः,$f(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल हैं,जिसका अर्थ है कि इसका कम से कम एक वास्तविक मूल है।

(A) दिया गया है $f(x) = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/\theta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/\theta)}(x-1)}$.
स्थिति $1$: $|x| < 1$. जैसे $\theta \rightarrow 0$,$x^{(2/\theta)} \rightarrow 0$. अतः,$f(x) = \cos \pi x$.
स्थिति $2$: $|x| > 1$. जैसे $\theta \rightarrow 0$,$x^{(2/\theta)} \rightarrow \infty$. अंश और हर को $x^{(2/\theta)}$ से विभाजित करने पर,हमें $f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ प्राप्त होता है।
$x=1$ पर: $LHL = \lim_{x \rightarrow 1^-} \cos \pi x = -1$. $RHL = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = -1$. चूँकि $LHL = RHL = f(1) = -1$,$f(x)$,$x=1$ पर संतत है। कथन $(I)$ असत्य है।
$x=-1$ पर: $LHL = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = \frac{-\sin(-2)}{-2} = \frac{-\sin 2}{2}$. $RHL = \lim_{x \rightarrow -1^+} \cos \pi x = \cos(-\pi) = -1$. चूँकि $LHL \neq RHL$,$f(x)$,$x=-1$ पर असंतत है। कथन $(II)$ असत्य है।
अतः,न तो $(I)$ और न ही $(II)$ सत्य है।

(A) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^x + \ln(\sec x + \tan x) - x}{\tan x - x}$.
$x=0$ के निकट टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$e^{\tan x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$.
$\ln(\sec x + \tan x) = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$.
अंश में इन मानों को रखने पर:
$N = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3}) - (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + (x + \frac{x^3}{6}) - x = \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
हर $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ है।
अतः,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^3}{3}}{\frac{x^3}{3}} = 2$.

(C) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = a$.
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{\sin x - \frac{1}{2} \sin 2x}{x^3} = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$a = \frac{1}{2}$.
$x < 0$ के लिए,$f(x) = b^2 \sin \left(\frac{\pi}{2} \left[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x\right]\right)$. जब $x \to 0^-$,तब $\cos x \to 1$ और $\sin x \to 0$. महत्तम पूर्णांक फलन के अंदर का मान $\frac{\pi}{2}(1 + 0)(1) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ हो जाता है। अतः,$[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x] = 1$.
इस प्रकार,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = b^2 \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1) = b^2$.
सीमाओं की तुलना करने पर,$b^2 = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$a^2 + b^2 = (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

(C) फलन $g(x) = |x|[x^2]$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है,बशर्ते $|x| \neq 0$ हो।
$[x^2]$ का मान $x^2 \in \mathbb{Z}$ पर असंतत होता है।
$x \in (-2, 2)$ के लिए,$x^2 \in [0, 4)$ है।
$[0, 4)$ में पूर्णांक $0, 1, 2, 3$ हैं।
अतः,$x^2 = 1, 2, 3$ से $x = \pm 1, \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x=0$ पर,$g(x) = |x|[x^2] = 0 \cdot [0] = 0$,और $\lim_{x \to 0} |x|[x^2] = 0$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x=0$ पर संतत है।
अतः,$S = \{-1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$ है।
अब,$f(x) = \min \{\sqrt{2}x, x^2\}$ है।
$f(-1) = \min \{-\sqrt{2}, 1\} = -\sqrt{2}$।
$f(1) = \min \{\sqrt{2}, 1\} = 1$।
$f(-\sqrt{2}) = \min \{-2, 2\} = -2$।
$f(\sqrt{2}) = \min \{2, 2\} = 2$।
$f(-\sqrt{3}) = \min \{-\sqrt{6}, 3\} = -\sqrt{6}$।
$f(\sqrt{3}) = \min \{\sqrt{6}, 3\} = \sqrt{6}$।
इन मानों का योग: $\sum_{x \in S} f(x) = -\sqrt{2} + 1 - 2 + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 1 - \sqrt{2}$।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(x > 0)$ पर विचार करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ax + x^2 - 2\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( a + x - \frac{\sin(2x)}{x} \right) = a + 0 - 2 = a - 2$.
अब,बाईं सीमा $(x < 0)$ पर विचार करें:
माना $x = -h$ जहाँ $h > 0$ है। जैसे $x \to 0^-$,वैसे ही $h \to 0^+$.
$\lim_{h \to 0^+} \frac{a|-h| + (-h)^2 - 2\sin|-h|\cos|-h|}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{ah + h^2 - 2\sin h \cos h}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \left( -a - h + \frac{\sin(2h)}{h} \right) = -a - 0 + 2 = -a + 2$.
सांतत्य के लिए,$a - 2 = -a + 2 = b$.
$a - 2 = -a + 2$ से,$2a = 4$,अतः $a = 2$.
$b = a - 2$ में $a = 2$ रखने पर,$b = 2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a + b = 2 + 0 = 2$.

(B) $f(x)$ को $x = -\frac{3}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to -\frac{3}{2}} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(-\frac{3}{2}) = b$ के बराबर होना चाहिए।
चूंकि हर $(2x-1)(2x+3)$ का मान $x \to -\frac{3}{2}$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश $ax^2 + 2ax + 3$ को भी $0$ होना चाहिए।
$a(-\frac{3}{2})^2 + 2a(-\frac{3}{2}) + 3 = 0$ $\Rightarrow \frac{9a}{4} - 3a + 3 = 0$ $\Rightarrow -\frac{3a}{4} = -3$ $\Rightarrow a = 4$.
$a=4$ रखने पर,$f(x) = \frac{4x^2+8x+3}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{(2x+1)(2x+3)}{(2x-1)(2x+3)} = \frac{2x+1}{2x-1}$ जहाँ $x \neq -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}$.
अब,$f(f(x)) = f\left(\frac{2x+1}{2x-1}\right) = \frac{2(\frac{2x+1}{2x-1}) + 1}{2(\frac{2x+1}{2x-1}) - 1} = \frac{4x+2+2x-1}{4x+2-2x+1} = \frac{6x+1}{2x+3}$.
दिया गया है कि $f(f(x)) = \frac{7}{5}$,इसलिए $\frac{6x+1}{2x+3} = \frac{7}{5}$.
$5(6x+1) = 7(2x+3)$ $\Rightarrow 30x + 5 = 14x + 21$ $\Rightarrow 16x = 16$ $\Rightarrow x = 1$.

(B) $f(x)$ के $x=2$ पर संतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ का संतुष्ट होना आवश्यक है।
सबसे पहले,हम अंश $x^3+x^2-16x+20$ का गुणनखंड करते हैं। चूँकि $x=2$ इसका एक शून्यक है (क्योंकि $2^3+2^2-16(2)+20 = 8+4-32+20 = 0$),हम $(x-2)$ से विभाजित करते हैं:
$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)(x^2+3x-10)$.
द्विघात पद का और गुणनखंड करने पर:
$(x^2+3x-10) = (x-2)(x+5)$.
अतः,$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)^2(x+5)$.
$x \neq 2$ के लिए,$f(x) = \frac{(x-2)^2(x+5)}{(x-2)^2} = x+5$.
अब,सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+5) = 2+5 = 7$.
चूँकि फलन $x=2$ पर संतत है,इसलिए $k = 7$ प्राप्त होता है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के बिंदु $x = a$ पर संतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और उस बिंदु पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
यहाँ,$a = \pi$ है।
$LHL$: $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} (kx + 1) = k\pi + 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (\cos x) = \cos(\pi) = -1$.
चूँकि फलन $x = \pi$ पर संतत है,इसलिए $LHL$ = $RHL$ होगा।
अतः,$k\pi + 1 = -1$.
$k\pi = -2$.
$k = -\frac{2}{\pi}$.

(A) सबसे पहले,$x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करें।
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (x^3+8) = 8$.
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (x^2-4) = -4$.
चूँकि $f(0^-) \neq f(0^+)$,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर असंतत है।
अब,संयुक्त फलन $g(f(x))$ पर विचार करें।
$x=0$ पर,बायाँ सीमा $g(f(0^-)) = g(8)$ है। चूँकि $8 \ge 0$,इसलिए $g(8) = (8+4)^{1/2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
दायाँ सीमा $g(f(0^+)) = g(-4)$ है। चूँकि $-4 < 0$,इसलिए $g(-4) = (-4-8)^{1/3} = (-12)^{1/3} = -\sqrt[3]{12}$।
चूँकि $g(f(0^-)) \neq g(f(0^+))$,इसलिए $g(f(x))$,$x=0$ पर असंतत है।
आगे,उन बिंदुओं की जाँच करें जहाँ $f(x)$ ऐसे मान लेता है जो $g(f(x))$ को असंतत बनाते हैं। $g(u)$ अपने डोमेन में सभी $u$ के लिए संतत है।
हम जाँचते हैं कि क्या $f(x)$ सीमा $u=0$ को पार करता है जहाँ $g(u)$ अपनी परिभाषा बदलता है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = x^3+8 = 0 \implies x = -2$। $x=-2$ पर,$f(-2)=0$। $g(f(-2)) = g(0) = (0+4)^{1/2} = 2$। सीमा मौजूद है और यह संतत है।
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = x^2-4 = 0 \implies x = 2$। $x=2$ पर,$f(2)=0$। $g(f(2)) = g(0) = 2$। सीमा मौजूद है और यह संतत है।
अतः,असंततता का एकमात्र बिंदु $x=0$ है। बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(D) माना $g(x) = x^2 - x - 0.5$ है। फलन $f(x) = [g(x)]$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ का मान एक पूर्णांक होता है।
हमें अंतराल $[2, 4]$ में उन बिंदुओं $x$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $g(x) = k$ हो,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
सबसे पहले,अंतराल $[2, 4]$ पर $g(x)$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
$g(2) = 2^2 - 2 - 0.5 = 1.5$.
$g(4) = 4^2 - 4 - 0.5 = 11.5$.
चूँकि $g'(x) = 2x - 1$ है,$x \in [2, 4]$ के लिए $g'(x) > 0$ है,इसलिए $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे-जैसे $x$,$2$ से $4$ तक बदलता है,$g(x)$ अंतराल $[1.5, 11.5]$ के सभी मान ग्रहण करता है।
इस अंतराल में $g(x)$ द्वारा ग्रहण किए जाने वाले पूर्णांक मान $k \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ हैं।
प्रत्येक पूर्णांक $k$ के लिए,अंतराल $[2, 4]$ में ठीक एक $x$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g(x) = k$ है,क्योंकि $g(x)$ निरंतर वर्धमान है।
ऐसे पूर्णांकों की संख्या $11 - 2 + 1 = 10$ है।
अतः,अंतराल $[2, 4]$ में असंततता के बिंदुओं की संख्या $10$ है।