Tangent and Normal Questions in Hindi

(D) दिए गए वक्र का समीकरण: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ का मान निकालने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$।
बिंदु $(4, 1)$ पर ढाल $m$:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(4, 1)} = -\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2}$।
अधोस्पर्शक की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ होता है।
मान $y = 1$ और $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$\text{अधोस्पर्शक की लंबाई} = \left| \frac{1}{-1/2} \right| = |-2| = 2$।

(C) मान लीजिए कि वक्र बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श करते हैं।
वक्रों के स्पर्श करने के लिए,स्पर्श बिंदु पर उनका मान और अवकलज समान होना चाहिए।
$1$. फलनों को बराबर करने पर: $\frac{\ln x}{x} = \lambda x^2 \implies \ln x = \lambda x^3$.
$2$. अवकलजों को बराबर करने पर: $\frac{d}{dx}(\frac{\ln x}{x}) = \frac{d}{dx}(\lambda x^2) \implies \frac{1 - \ln x}{x^2} = 2\lambda x \implies 1 - \ln x = 2\lambda x^3$.
अवकलज समीकरण में $\ln x = \lambda x^3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - (\lambda x^3) = 2\lambda x^3 \implies 1 = 3\lambda x^3 \implies \lambda x^3 = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\ln x = \lambda x^3$,इसलिए $\ln x = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $x = e^{1/3}$।
अब,$x^3 = (e^{1/3})^3 = e$ को $\lambda x^3 = \frac{1}{3}$ में रखने पर:
$\lambda e = \frac{1}{3} \implies \lambda = \frac{1}{3e}$.

(B) वक्र $f(x) = x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 + 2$ है। यह एक परवलय है जिसका शीर्ष $(2,2)$ पर है।
बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ की ढाल $m$ मान लीजिए। इसका समीकरण $y - 3 = m(x - 2)$ है।
परवलय के लिए,जो जीवा बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरती है और न्यूनतम क्षेत्रफल काटती है,उसकी ढाल $m = f'(x_0)$ होती है।
यहाँ $f'(x) = 2x - 4$ है। $x = 2$ पर,$f'(2) = 2(2) - 4 = 0$ है।
अतः,रेखा $L$ की ढाल $0$ है। रेखा $L$,$y = 3$ है।
$L$ के समानांतर स्पर्श रेखा (ढाल $0$) शीर्ष $(2,2)$ पर क्षैतिज स्पर्श रेखा है,जो $y = 2$ है।

(D) दिया गया वक्र: $27x^2 = 4y^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $54x = 12y^2 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{9x}{2y^2}$ प्राप्त होता है।
माना वक्र पर बिंदु $(2t^3, 3t^2)$ है।
$t$ पर स्पर्शरेखा की ढाल: $m = \frac{9(2t^3)}{2(3t^2)^2} = \frac{1}{t}$ है।
$t$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण: $y - 3t^2 = \frac{1}{t}(x - 2t^3) \Rightarrow x - ty = -t^3$ .......$(i)$ है।
$t_1$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - 3t_1^2 = -t_1(x - 2t_1^3) \Rightarrow t_1x + y = 3t_1^2 + 2t_1^4$ .......$(ii)$ है।
चूंकि रेखा स्पर्शरेखा और अभिलंब दोनों है,$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर $\frac{1}{t_1} = -t = \frac{-t^3}{3t_1^2 + 2t_1^4}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{t_1} = -t$ से,$t_1 = -\frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।
$-t = \frac{-t^3}{3t_1^2 + 2t_1^4}$ में मान रखने पर: $t = \frac{t^7}{3t^2 + 2}$ प्राप्त होता है।
$3t^2 + 2 = t^6 \Rightarrow t^6 - 3t^2 - 2 = 0$ है। माना $u = t^2$,तो $u^3 - 3u - 2 = 0$ है।
$(u - 2)(u + 1)^2 = 0$ है। चूंकि $u = t^2 > 0$,इसलिए $t^2 = 2$,अतः $t = \pm \sqrt{2}$ है।
स्पर्शरेखा समीकरण $x = t(y - t^2)$ में $t^2 = 2$ रखने पर: $x = \pm \sqrt{2}(y - 2)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y = x \sin x$ है।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$y = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
अब,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \sin x) = x \cos x + \sin x$।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर ढाल $m$ ज्ञात करें:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = \frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}(0) + 1 = 1$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - \frac{\pi}{2} = 1(x - \frac{\pi}{2})$।
$y - \frac{\pi}{2} = x - \frac{\pi}{2}$।
$x - y = 0$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $y^3 + 2xy + x^3 = (x - 1)^3$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 2y + 2x \frac{dy}{dx} + 3x^2 = 3(x - 1)^2$.
बिंदु $(1, -1)$ पर,$x = 1$ और $y = -1$ रखने पर:
$3(-1)^2 \frac{dy}{dx} + 2(-1) + 2(1) \frac{dy}{dx} + 3(1)^2 = 3(1 - 1)^2$.
$3 \frac{dy}{dx} - 2 + 2 \frac{dy}{dx} + 3 = 0$.
$5 \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5}$.
बिंदु $(1, -1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{5}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{m} = 5$ होगी।
बिंदु $(1, -1)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - (-1) = 5(x - 1)$.
$y + 1 = 5x - 5$.
$5x - y = 6$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण $e^y = 1 + x^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^y \frac{dy}{dx} = 2x$
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{e^y} = \frac{2x}{1 + x^2}$
हमें $|m| = \left| \frac{2x}{1 + x^2} \right|$ का परिसर ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$(|x| - 1)^2 \geq 0$ होता है।
$x^2 - 2|x| + 1 \geq 0$
$x^2 + 1 \geq 2|x|$
दोनों पक्षों को $x^2 + 1$ से विभाजित करने पर (जो हमेशा धनात्मक है):
$1 \geq \frac{2|x|}{x^2 + 1}$
इसलिए,$|m| = \left| \frac{2x}{1 + x^2} \right| \leq 1$।

(A) दिया गया वक्र $y = ax^3 + b$ है और बिंदु $A(2, 3)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए:
$3 = a(2)^3 + b \implies 8a + b = 3$ (समीकरण $1$)।
वक्र के किसी भी बिंदु $x$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = 3ax^2$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ पर,ढाल $m = 3a(2)^2 = 12a$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - 5$ दिया गया है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,इसलिए ढाल $m = 4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $12a = 4 \implies a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$।
$a = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$8(\frac{1}{3}) + b = 3$
$\frac{8}{3} + b = 3$
$b = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9 - 8}{3} = \frac{1}{3}$।
अतः,$b = \frac{1}{3}$।

(C) दिया गया वक्र $x = a(\cos t + \log \tan(t/2))$ और $y = a \sin t$ है।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}) = a(-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}) = a(-\sin t + \frac{1}{\sin t}) = a(\frac{1-\sin^2 t}{\sin t}) = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$.
$\frac{dy}{dt} = a \cos t$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \cos^2 t / \sin t} = \tan t$.
स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \tan t$ है। मान लीजिए झुकाव कोण $\theta$ है,तो $\tan \theta = \tan t$,जिसका अर्थ है कि $\theta = t$ है।
स्पर्शरेखा की लंबाई $PC$ का सूत्र $PC = |y \csc \theta|$ है।
$y = a \sin t$ और $\theta = t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$PC = |a \sin t \cdot \csc t| = |a \sin t \cdot \frac{1}{\sin t}| = |a|$.
अतः,स्पर्शरेखा की लंबाई $a$ है।

(A) बिंदु $(1, 1)$ वक्र $xy + ax + by = 0$ पर स्थित है,इसलिए $1(1) + a(1) + b(1) = 0$,जिससे $a + b = -1$ प्राप्त होता है .......$(1)$
$(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1}(2)) = 2$ है।
समीकरण $xy + ax + by = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
अवकल समीकरण में $x = 1$,$y = 1$ और $\frac{dy}{dx} = 2$ रखने पर:
$1(2) + 1 + a + b(2) = 0$
$3 + a + 2b = 0 \Rightarrow a + 2b = -3$ ........$(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a - 2 = -1 \Rightarrow a = 1$
अंत में,आवश्यक मान की गणना करने पर:
$\frac{a + b}{ab} = \frac{1 + (-2)}{1 \times (-2)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

(C) दी गई रेखा का समीकरण $bx + ay = ab$ है,जिसे $y = -\frac{b}{a}x + b$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = -\frac{b}{a}$ है।
वक्र का समीकरण $y = b \cdot e^{-x/a}$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र के स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x/a} \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$.
चूंकि रेखा वक्र को स्पर्श करती है,इसलिए रेखा की ढाल और स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{b}{a} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$.
दोनों पक्षों को $-\frac{b}{a}$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $a, b \neq 0$):
$1 = e^{-x/a}$.
हम जानते हैं कि $e^0 = 1$,इसलिए $-x/a = 0$,जिसका अर्थ है $x = 0$.
$x = 0$ को वक्र के समीकरण $y = b \cdot e^{-x/a}$ में रखने पर:
$y = b \cdot e^0 = b \cdot 1 = b$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, b)$ है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $2x^2 + y^2 = 12$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4x + 2yy' = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y' = -\frac{2x}{y}$।
बिंदु $(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{2(2)}{2} = -2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $(2, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $2y - 4 = x - 2$ अर्थात $x = 2y - 2$ प्राप्त होता है।
$x = 2y - 2$ को वक्र समीकरण $2x^2 + y^2 = 12$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(2y - 2)^2 + y^2 = 12$
$2(4y^2 - 8y + 4) + y^2 = 12$
$8y^2 - 16y + 8 + y^2 = 12$
$9y^2 - 16y - 4 = 0$
$(9y + 2)(y - 2) = 0$।
अतः,$y = 2$ या $y = -\frac{2}{9}$ प्राप्त होता है।
$y = 2$ के लिए,$x = 2(2) - 2 = 2$ (मूल बिंदु)।
$y = -\frac{2}{9}$ के लिए,$x = 2(-\frac{2}{9}) - 2 = -\frac{4}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{22}{9}$।
इसलिए,अभिलंब वक्र को पुनः $\left( -\frac{22}{9}, -\frac{2}{9} \right)$ पर मिलता है।

(D) सबटेंजेंट की लंबाई $|y / (dy/dx)|$ और सबनॉर्मल की लंबाई $|y \cdot (dy/dx)|$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि सबनॉर्मल की लंबाई सबटेंजेंट की लंबाई के बराबर है,इसलिए $|y \cdot (dy/dx)| = |y / (dy/dx)|$,जिसका अर्थ है $(dy/dx)^2 = 1$,यानी $dy/dx = \pm 1$।
स्थिति $1$: यदि $dy/dx = 1$ है,तो $(3, 4)$ पर स्पर्शक का समीकरण $y - 4 = 1(x - 3)$ यानी $y = x + 1$ है। यह रेखा अक्षों को $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ पर काटती है। चूंकि प्रश्न में धनात्मक निर्देशांक अक्षों का उल्लेख है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: यदि $dy/dx = -1$ है,तो $(3, 4)$ पर स्पर्शक का समीकरण $y - 4 = -1(x - 3)$ यानी $x + y = 7$ है। यह रेखा धनात्मक निर्देशांक अक्षों को $A(7, 0)$ और $B(0, 7)$ पर काटती है।
अतः,$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 7 \times 7 = \frac{49}{2}$ है।

(D) दिया गया है $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$।
चूंकि $\sec^2 t = 1 + \tan^2 t = 1 + \frac{1}{\cot^2 t} = 1 + \frac{1}{y^2}$,हमारे पास $x - 1 = \frac{1}{y^2}$ है,जिसका अर्थ है $y^2(x - 1) = 1$।
$t = \pi/4$ पर,$x = \sec^2(\pi/4) = 2$ और $y = \cot(\pi/4) = 1$। अतः,$P = (2, 1)$।
$y^2(x - 1) = 1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx}(x - 1) + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(2, 1)$ पर,$2(1) \frac{dy}{dx}(2 - 1) + 1^2 = 0 \Rightarrow 2 \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -1/2$।
$P(2, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow 2y - 2 = -x + 2 \Rightarrow x + 2y = 4$ है।
वक्र समीकरण $y^2(x - 1) = 1$ में $y = \frac{4-x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{4-x}{2}\right)^2(x - 1) = 1 \Rightarrow (4-x)^2(x - 1) = 4 \Rightarrow (16 - 8x + x^2)(x - 1) = 4$।
$16x - 16 - 8x^2 + 8x + x^3 - x^2 = 4 \Rightarrow x^3 - 9x^2 + 24x - 20 = 0$।
चूंकि $P(2, 1)$ वक्र पर स्थित है,$(x - 2)^2$ एक गुणनखंड होना चाहिए। $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 2)^2(x - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = 2$ (दो बार) और $x = 5$ हैं। अतः,$Q$ का $x$-निर्देशांक $5$ है।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $x^m y^n = a^{m+n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $m \ln x + n \ln y = \ln(a^{m+n})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{m}{n} \frac{y}{x}$.
सबटेंजेंट की लंबाई का सूत्र है: $LST = \left| \frac{y}{dy/dx} \right|$.
$\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर: $LST = \left| \frac{y}{(-\frac{m}{n} \frac{y}{x})} \right| = \left| -\frac{nx}{m} \right| = \frac{n}{m} |x|$.
चूंकि $\frac{n}{m}$ एक स्थिरांक है,इसलिए सबटेंजेंट की लंबाई भुज $x$ के समानुपाती है.

(D) दिया गया वक्र: $x^2y^2 - 2x = 4 - 4y$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
बिंदु $(2, -2)$ पर:
$2(2)(-2)^2 + 2(2)^2(-2) \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$16 - 16 \frac{dy}{dx} - 2 = -4 \frac{dy}{dx}$.
$14 = 12 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$.
बिंदु $(2, -2)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण:
$y - (-2) = \frac{7}{6}(x - 2)$.
$6(y + 2) = 7(x - 2) \Rightarrow 6y + 12 = 7x - 14 \Rightarrow 7x - 6y = 26$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(-2, -7)$ के लिए: $7(-2) - 6(-7) = -14 + 42 = 28 \neq 26$.
अतः,स्पर्शरेखा $(-2, -7)$ से होकर नहीं गुजरती है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण:
$x = 2\cos t + 2t\sin t$
$y = 2\sin t - 2t\cos t$
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2(\sin t + t\cos t) = 2t\cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2(\cos t - t\sin t) = 2t\sin t$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t\sin t}{2t\cos t} = \tan t$
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
इसलिए,अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{1} = -1$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करें:
$x = 2\cos(\frac{\pi}{4}) + 2(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
$y = 2\sin(\frac{\pi}{4}) - 2(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है:
$y - (\sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}) = -1(x - (\sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}))$
$x + y = 2\sqrt{2}$
रेखा $Ax + By + C = 0$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,$x + y - 2\sqrt{2} = 0$,इसलिए $A=1, B=1, C=-2\sqrt{2}$.
$d = \frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.

(B) दिया गया वक्र $\sin y = x \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right)$ है।
$x = 0$ पर,$\sin y = 0 \implies y = 0$. अतः बिंदु $(0, 0)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right) + x \cos \left( \frac{\pi}{3} + y \right) \frac{dy}{dx}$.
$(0, 0)$ पर:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
$(0, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$ है।
$\sqrt{3}y = -2x \implies 2x + \sqrt{3}y = 0$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण $y = \cos(x + y)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \dots (1)$
स्पर्शरेखा का समीकरण $x + 2y = k$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(1 - \frac{1}{2}\right)$
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(\frac{1}{2}\right)$
$\sin(x + y) = 1$
इसका अर्थ है कि $x + y = \frac{\pi}{2}$ है।
$x + y = \frac{\pi}{2}$ को मूल वक्र समीकरण $y = \cos(x + y)$ में रखने पर:
$y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
चूंकि $y = 0$ और $x + y = \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ को स्पर्शरेखा के समीकरण $x + 2y = k$ में रखने पर:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$.

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखें: $10 - x^2 = 2 + x^2$.
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = 2$ के लिए,$y = 2 + (2)^2 = 6$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 6)$ है।
$(2, 6)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y = 10 - x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = -2x$. $x = 2$ पर,$m_1 = -2(2) = -4$.
$y = 2 + x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x = 2$ पर,$m_2 = 2(2) = 4$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$|\tan \theta | = |\frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)}| = |\frac{-8}{1 - 16}| = |\frac{-8}{-15}| = \frac{8}{15}$.

(B) दिया गया वक्र $y = xe^{x^2}$ है।
सबसे पहले,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot e^{x^2} \cdot (2x) + e^{x^2} \cdot 1 = e^{x^2}(2x^2 + 1)$.
बिंदु $(1, e)$ पर ढाल $m$ का मान:
$m = e^{1^2}(2(1)^2 + 1) = e(2 + 1) = 3e$.
बिंदु $(1, e)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - e = 3e(x - 1)$
$y - e = 3ex - 3e$
$y = 3ex - 2e$.
अब,जाँच करते हैं कि कौन सा बिंदु समीकरण $y = 3ex - 2e$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $B$ $(\frac{4}{3}, 2e)$ के लिए:
$y = 3e(\frac{4}{3}) - 2e = 4e - 2e = 2e$.
चूँकि बिंदु $(\frac{4}{3}, 2e)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,अतः स्पर्श रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है।

(B) दिया गया वक्र $y = x^2 - 5x + 5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x - 5$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखा $2y = 4x + 1$ है,जिसे $y = 2x + \frac{1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होगी: $2x - 5 = 2 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$.
$x = \frac{7}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 5\left( \frac{7}{2} \right) + 5 = \frac{49}{4} - \frac{35}{2} + 5 = \frac{49 - 70 + 20}{4} = -\frac{1}{4}$.
स्पर्श बिंदु $\left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{4} \right)$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = 2$: $y - (-\frac{1}{4}) = 2(x - \frac{7}{2}) \implies y + \frac{1}{4} = 2x - 7 \implies y = 2x - \frac{29}{4}$.
अब,हम जांचते हैं कि कौन सा बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करता है। विकल्प $B$ के लिए: $x = \frac{1}{8}$,$y = 2(\frac{1}{8}) - \frac{29}{4} = \frac{1}{4} - \frac{29}{4} = -\frac{28}{4} = -7$.
अतः,स्पर्श रेखा बिंदु $\left( \frac{1}{8}, -7 \right)$ से होकर गुजरती है।

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 + ax - b$ है।
चूंकि बिंदु $(1, -5)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए:
$-5 = (1)^3 + a(1) - b$
$-5 = 1 + a - b$
$a - b = -6$ $\dots(i)$
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + a$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, -5)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 3(1)^2 + a = 3 + a$ है।
दी गई रेखा $-x + y + 4 = 0$ है,जिसे $y = x - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(3 + a)(1) = -1$
$3 + a = -1$
$a = -4$.
$a = -4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-4 - b = -6$
$-b = -2$
$b = 2$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = x^3 - 4x - 2$ है।
अब,हम दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:
$(2, -2)$ के लिए: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
चूंकि बिंदु $(2, -2)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह वक्र पर स्थित है।

(D) सबसे पहले,बिंदुओं $(1, f(1))$ और $(-1, f(-1))$ के निर्देशांक ज्ञात करें।
$f(1) = (1)^3 - (1)^2 - 2(1) = 1 - 1 - 2 = -2$.
$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) = -1 - 1 + 2 = 0$.
$(1, -2)$ और $(-1, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 0}{2} = -1$.
वक्र $y = f(x)$ के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - 2x) = 3x^2 - 2x - 2$.
चूंकि स्पर्श रेखा रेखाखंड के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$3x^2 - 2x - 2 = -1$.
$3x^2 - 2x - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 3x + x - 1 = 0$.
$3x(x - 1) + 1(x - 1) = 0$.
$(3x + 1)(x - 1) = 0$.
अतः,$x = 1$ या $x = -\frac{1}{3}$.
इसलिए,$S = \left\{ -\frac{1}{3}, 1 \right\}$.

(B) मान लीजिए बिंदु $P$ $(\alpha, \beta)$ है। चूंकि $P$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $\beta^{2}-3\alpha^{2}+\beta+10=0 \dots(i)$।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2yy' - 6x + y' = 0$,जिसका अर्थ है $y'(2y+1) = 6x$,अतः $y' = \frac{6x}{2y+1}$।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{6\alpha}{2\beta+1} \dots(ii)$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{m} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$ है।
अभिलंब $(0, \frac{3}{2})$ और $(\alpha, \beta)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी ढाल $\frac{\beta - 3/2}{\alpha - 0} = \frac{2\beta-3}{2\alpha}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2\beta-3}{2\alpha} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$।
यदि $\alpha \neq 0$ है,तो $3(2\beta-3) = -(2\beta+1) \Rightarrow 6\beta - 9 = -2\beta - 1 \Rightarrow 8\beta = 8 \Rightarrow \beta = 1$।
$\beta = 1$ को $(i)$ में रखने पर: $1^{2} - 3\alpha^{2} + 1 + 10 = 0 \Rightarrow 3\alpha^{2} = 12 \Rightarrow \alpha^{2} = 4$।
$(ii)$ से,$|m| = |\frac{6\alpha}{2(1)+1}| = |\frac{6\alpha}{3}| = |2\alpha|$।
चूंकि $\alpha^{2} = 4$,इसलिए $|\alpha| = 2$,अतः $|m| = 2 \times 2 = 4$।

(A) वक्र $y = f(x)$ के लिए किसी भी बिंदु $x$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया वक्र $y = x^{3} - x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 1$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज में $x = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^{2} - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$.
अतः,$x = 2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $11$ है।

(B) वक्र $y = \sqrt{4x - 3} - 1$ की स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{4x - 3} - 1) = \frac{1}{2\sqrt{4x - 3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 3}}$.
यह दिया गया है कि ढाल $\frac{2}{3}$ है,इसलिए हम अवकलज को $\frac{2}{3}$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{2}{\sqrt{4x - 3}} = \frac{2}{3}$.
$\sqrt{4x - 3} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4x - 3 = 9$ प्राप्त होता है।
$4x = 12$,जिसका अर्थ है $x = 3$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में $x = 3$ रखें:
$y = \sqrt{4(3) - 3} - 1 = \sqrt{12 - 3} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 2)$ है।

(D) दिया गया वक्र $y = -\frac{2}{x-3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x-3)^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा की ढाल $2$ दी गई है,इसलिए $\frac{2}{(x-3)^2} = 2$ होगा।
इसका अर्थ है $(x-3)^2 = 1$,जिससे $x-3 = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 4$ या $x = 2$ है।
यदि $x = 4$ है,तो $y = -\frac{2}{4-3} = -2$। बिंदु $(4, -2)$ है।
बिंदु $(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-2) = 2(x - 4)$ है,जिसे सरल करने पर $y + 2 = 2x - 8$ या $y - 2x + 10 = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 2$ है,तो $y = -\frac{2}{2-3} = 2$। बिंदु $(2, 2)$ है।
बिंदु $(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = 2(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $y - 2 = 2x - 4$ या $y - 2x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $y - 2x + 2 = 0$ और $y - 2x + 10 = 0$ हैं।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{x}{2} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{4y}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर होती है यदि ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ हो।
ढाल को शून्य रखने पर: $-\frac{25x}{4y} = 0$,जिसका अर्थ है $x = 0$।
$x = 0$ को वक्र के मूल समीकरण में रखने पर:
$\frac{0^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
$\frac{y^{2}}{25} = 1$
$y^{2} = 25$
$y = \pm 5$।
अतः,वे बिंदु जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समांतर हैं,$(0, 5)$ और $(0, -5)$ हैं।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{x}{2} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{4y}$
स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के समांतर होती है यदि ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित हो,जो तब होता है जब हर $y = 0$ हो।
वक्र के समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{0^{2}}{25} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} = 1 \implies x^{2} = 4 \implies x = \pm 2$.
अतः,बिंदु $(2, 0)$ और $(-2, 0)$ हैं।

(A) $x$-अक्ष पर $y = 0$ होता है। वक्र के समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$\frac{x-7}{(x-2)(x-3)} = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 7$ मिलता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(7, 0)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x-7}{x^2 - 5x + 6}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 5x + 6)(1) - (x-7)(2x-5)}{(x^2 - 5x + 6)^2}$.
बिंदु $(7, 0)$ पर,हर $(7^2 - 5(7) + 6)^2 = (20)^2 = 400$ होगा।
अंश $x=7$ पर $(49 - 35 + 6) - (0) = 20$ होगा।
अतः,ढाल $m = \frac{dy}{dx} \Big|_{(7,0)} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20}$ है।
बिंदु $(7, 0)$ और ढाल $m = \frac{1}{20}$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - 0 = \frac{1}{20}(x - 7)$,
$20y = x - 7$,
$20y - x + 7 = 0$.

(A) दिया गया वक्र $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = 0$.
यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}}$ हो जाता है।
बिंदु $(1,1)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\left(\frac{1}{1}\right)^{\frac{1}{3}} = -1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $x + y - 2 = 0$ हो जाता है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y - x = 0$ हो जाता है।

(A) दिया गया वक्र $y=3x^{4}-4x$ है।
किसी बिंदु $x$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^{4}-4x) = 12x^{3}-4$.
$x=4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज में $x=4$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=4} = 12(4)^{3}-4$.
$= 12(64)-4$.
$= 768-4 = 764$.
अतः,$x=4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $764$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = \frac{x-1}{x-2}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)\frac{d}{dx}(x-1) - (x-1)\frac{d}{dx}(x-2)}{(x-2)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)(1) - (x-1)(1)}{(x-2)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x-2-x+1}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$
अब,$x=10$ पर ढाल का मान ज्ञात करते हैं:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=10} = \frac{-1}{(10-2)^2} = \frac{-1}{8^2} = \frac{-1}{64}$.
अतः,$x=10$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{-1}{64}$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = x^{3} - x + 1$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3} - x + 1) = 3x^{2} - 1$.
किसी बिंदु $(x_{0}, y_{0})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल उस बिंदु पर $\frac{dy}{dx}$ का मान होती है।
यहाँ $x$-निर्देशांक $x_{0} = 2$ दिया गया है,इसलिए हम अवकलज में यह मान रखते हैं:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^{2} - 1$.
मान की गणना करने पर:
$3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$.
अतः,$x = 2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $11$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = x^{3} - 3x + 2$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x + 2) = 3x^{2} - 3$.
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
हमें उस बिंदु पर ढाल ज्ञात करनी है जहाँ $x$-निर्देशांक $3$ है।
अवकलज में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=3} = 3(3)^{2} - 3 = 3(9) - 3 = 27 - 3 = 24$.
अतः,$x = 3$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $24$ है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^{3}-3x^{2}-9x+7$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-6x-9$ द्वारा दी जाती है।
यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,तो ढाल शून्य होगी,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 0$।
$3x^{2}-6x-9 = 0 \Rightarrow x^{2}-2x-3 = 0$।
$(x-3)(x+1) = 0$,जिससे $x=3$ या $x=-1$ प्राप्त होता है।
जब $x=3$ है,तब $y = (3)^{3}-3(3)^{2}-9(3)+7 = 27-27-27+7 = -20$।
जब $x=-1$ है,तब $y = (-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+7 = -1-3+9+7 = 12$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, -20)$ और $(-1, 12)$ हैं।

(A) यदि स्पर्श रेखा बिंदुओं $(2,0)$ और $(4,4)$ को मिलाने वाली जीवा के समांतर है,तो स्पर्श रेखा की ढाल जीवा की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
बिंदुओं $(x_1, y_1) = (2,0)$ और $(x_2, y_2) = (4,4)$ को मिलाने वाली जीवा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4-0}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$ है।
अब,वक्र $y = (x-2)^2$ के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2(x-2)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्पर्श रेखा जीवा के समांतर है,हम ढालों को बराबर करते हैं: $2(x-2) = 2$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $x-2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$.
संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,वक्र के समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करें: $y = (3-2)^2 = 1^2 = 1$.
अतः,वक्र पर अभीष्ट बिंदु $(3,1)$ है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^{3}-11x+5$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y=x-11$ दिया गया है,जो $y=mx+c$ के रूप में है।
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $m=1$ है।
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-11$ द्वारा दी जाती है।
स्पर्श रेखा की ढाल को अवकलज के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x^{2}-11 = 1$
$3x^{2} = 12$
$x^{2} = 4$
$x = \pm 2$.
जब $x=2$ है,तो $y = (2)^{3}-11(2)+5 = 8-22+5 = -9$.
जब $x=-2$ है,तो $y = (-2)^{3}-11(-2)+5 = -8+22+5 = 19$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2,-9)$ और $(-2,19)$ हैं।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=\frac{1}{x-1}, x \neq 1$ है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(x-1)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि स्पर्श रेखा का ढाल $-1$ है,इसलिए हम अवकलज को $-1$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{-1}{(x-1)^2} = -1$
$(x-1)^2 = 1$
$x-1 = \pm 1$
$x = 2$ या $x = 0$ प्राप्त होता है।
जब $x=0$,तो $y = \frac{1}{0-1} = -1$। बिंदु $(0, -1)$ है।
जब $x=2$,तो $y = \frac{1}{2-1} = 1$। बिंदु $(2, 1)$ है।
$m$ ढाल और $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
बिंदु $(0, -1)$ और $m = -1$ के लिए:
$y - (-1) = -1(x - 0) \Rightarrow y + 1 = -x \Rightarrow y + x + 1 = 0$।
बिंदु $(2, 1)$ और $m = -1$ के लिए:
$y - 1 = -1(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -x + 2 \Rightarrow y + x - 3 = 0$।
अतः,अभीष्ट रेखाओं के समीकरण $y+x+1=0$ और $y+x-3=0$ हैं।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y = \frac{1}{x-3}, x \neq 3$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x-3)^{-1} = -1(x-3)^{-2} = \frac{-1}{(x-3)^2}$.
हमें दिया गया है कि स्पर्श रेखा का ढाल $2$ है। इसलिए,हम अवकलज को $2$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{-1}{(x-3)^2} = 2$.
इसका तात्पर्य है $(x-3)^2 = -\frac{1}{2}$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग $(x-3)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए यह $-\frac{1}{2}$ जैसे ऋणात्मक मान के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,$x$ का ऐसा कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए स्पर्श रेखा का ढाल $2$ हो।
इसलिए,दिए गए वक्र के लिए $2$ ढाल वाली कोई स्पर्श रेखा नहीं है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=\frac{1}{x^{2}-2x+3}$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x^{2}-2x+3)^{2}} \cdot (2x-2) = \frac{-2(x-1)}{(x^{2}-2x+3)^{2}}$।
चूंकि स्पर्श रेखा की ढाल $0$ दी गई है,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{-2(x-1)}{(x^{2}-2x+3)^{2}} = 0$।
इसका अर्थ है $-2(x-1) = 0$,इसलिए $x = 1$।
अब,वक्र के समीकरण में $x=1$ रखकर संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = \frac{1}{(1)^{2}-2(1)+3} = \frac{1}{1-2+3} = \frac{1}{2}$।
स्पर्श बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ है।
$(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली और $m=0$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_0 = m(x - x_0)$ होता है।
मान रखने पर,$y - \frac{1}{2} = 0(x - 1)$,जो सरल होकर $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2x}{9} + \frac{2y}{16} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$.
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर होती है यदि स्पर्श रेखा की ढाल $0$ हो,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 0$.
इसका अर्थ है $-\frac{16x}{9y} = 0$,जो केवल $x = 0$ होने पर ही संभव है।
वक्र के समीकरण में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{0^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1
\Rightarrow y^{2} = 16
\Rightarrow y = \pm 4$.
अतः,वक्र पर वे बिंदु जहाँ स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समांतर हैं,$(0, 4)$ और $(0, -4)$ हैं।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{9} + \frac{2y}{16} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$ मिलता है।
स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के समांतर तब होती है जब ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित हो,जो तब होता है जब हर $y = 0$ हो।
वक्र के समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{0^{2}}{16} = 1$
$\Rightarrow x^{2} = 9$
$\Rightarrow x = \pm 3$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ हैं।

(A) दिया गया वक्र $y=x^{4}-6 x^{3}+13 x^{2}-10 x+5$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 4x^{3}-18x^{2}+26x-10$.
बिंदु $(0,5)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0,5)} = 4(0)^{3}-18(0)^{2}+26(0)-10 = -10$.
$(0,5)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - 5 = -10(x - 0) \Rightarrow y - 5 = -10x \Rightarrow 10x + y - 5 = 0$.
$(0,5)$ पर अभिलंब की ढाल:
$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-10} = \frac{1}{10}$.
$(0,5)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 5 = \frac{1}{10}(x - 0) \Rightarrow 10y - 50 = x \Rightarrow x - 10y + 50 = 0$.

(A) दिया गया वक्र $y=x^{4}-6 x^{3}+13 x^{2}-10 x+5$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 4x^{3}-18x^{2}+26x-10$.
बिंदु $(1,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,3)} = 4(1)^{3}-18(1)^{2}+26(1)-10 = 4-18+26-10 = 2$.
बिंदु $(1,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y-3 = 2(x-1) \Rightarrow y-3 = 2x-2 \Rightarrow 2x-y+1 = 0$.
बिंदु $(1,3)$ पर अभिलंब की ढाल:
$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}$.
बिंदु $(1,3)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y-3 = -\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow 2y-6 = -x+1 \Rightarrow x+2y-7 = 0$.

(A) वक्र का समीकरण $y=x^{3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
बिंदु $(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)} = 3(1)^{2} = 3$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1 = 3(x-1)$ है,जिसे सरल करने पर $3x-y-2=0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1,1)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\text{स्पर्श रेखा की ढाल}} = -\frac{1}{3}$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-1 = -\frac{1}{3}(x-1)$ है,जिसे सरल करने पर $3y-3 = -x+1$ अर्थात $x+3y-4=0$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र का समीकरण $y=x^{2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 2x$.
बिंदु $(0,0)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0,0)} = 2(0) = 0$ है।
बिंदु $(0,0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = 0(x - 0)$ है,जो सरल होकर $y = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(0,0)$ पर अभिलंब की प्रवणता $\frac{-1}{\text{स्पर्श रेखा की प्रवणता}} = \frac{-1}{0}$ है,जो अपरिभाषित है।
बिंदु $(x_0, y_0) = (0,0)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए,समीकरण $x = x_0$ होता है,इसलिए अभिलंब का समीकरण $x = 0$ है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^{2}-2x+7$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx}=2x-2$.
दी गई रेखा का समीकरण $2x-y+9=0$ है,जिसे $y=2x+9$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $y=mx+c$ के रूप में है,इसलिए रेखा की ढाल $m=2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा $2x-y+9=0$ के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$2x-2=2$,जिससे $2x=4$ प्राप्त होता है,अर्थात $x=2$.
वक्र के समीकरण में $x=2$ रखने पर,हमें $y=(2)^{2}-2(2)+7=4-4+7=7$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(2, 7)$ है।
$(2, 7)$ से गुजरने वाली और $m=2$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ द्वारा दिया जाता है।
$y-7=2(x-2)$
$y-7=2x-4$
$y-2x-3=0$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण $5y-15x=13$ है।
इसे $y=mx+c$ के रूप में लिखने पर: $5y=15x+13 \Rightarrow y=3x+\frac{13}{5}$.
इस रेखा की ढाल $m_1=3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{3}$।
वक्र $y=x^2-2x+7$ की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x-2$ है।
ढाल को $-\frac{1}{3}$ के बराबर रखने पर: $2x-2 = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{6}$।
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं: $y = (\frac{5}{6})^2 - 2(\frac{5}{6}) + 7 = \frac{25}{36} - \frac{10}{6} + 7 = \frac{25-60+252}{36} = \frac{217}{36}$।
स्पर्श बिंदु $(\frac{5}{6}, \frac{217}{36})$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \frac{217}{36} = -\frac{1}{3}(x - \frac{5}{6})$ है।
$36$ से गुणा करने पर: $36y - 217 = -12(x - \frac{5}{6}) \Rightarrow 36y - 217 = -12x + 10$।
अतः,$36y + 12x - 227 = 0$ प्राप्त होता है।