Tangent and Normal Questions in Hindi

(A) दिया गया है $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$ प्राप्त करें।
स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र $|y \frac{\sqrt{1 + (dy/dx)^2}}{dy/dx}|$ है,जो $|\frac{y \sec(\theta/2)}{\tan(\theta/2)}| = |\frac{a(1 - \cos \theta)}{\sin(\theta/2)}| = |\frac{2a \sin^2(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}| = 2a \sin(\theta/2)$ है।
उप-स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र $|y / (dy/dx)|$ है,जो $|\frac{a(1 - \cos \theta)}{\tan(\theta/2)}| = |\frac{2a \sin^2(\theta/2)}{\sin(\theta/2) / \cos(\theta/2)}| = |2a \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)| = a \sin \theta$ है।

(A) माना वक्र $9y^2 = x^3$ पर बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{x_1^2}{6y_1}$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।
चूँकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।
स्थिति $1$: $m_n = -1 \implies -\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$।
चूँकि $P$ वक्र पर स्थित है,$9y_1^2 = x_1^3$। $x_1^2 = 6y_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$9y_1^2 = x_1(6y_1) \implies 9y_1^2 = 6x_1y_1$। यदि $y_1 \neq 0$ है,तो $9y_1 = 6x_1 \implies y_1 = \frac{2}{3}x_1$।
$x_1^2 = 6y_1$ में मान रखने पर,$x_1^2 = 6(\frac{2}{3}x_1) = 4x_1 \implies x_1^2 - 4x_1 = 0 \implies x_1 = 0$ या $x_1 = 4$।
यदि $x_1 = 4$,तो $y_1 = \frac{2}{3}(4) = \frac{8}{3}$। बिंदु $(4, 8/3)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $m_n = 1 \implies -\frac{6y_1}{x_1^2} = 1 \implies x_1^2 = -6y_1$।
$9y_1^2 = x_1^3$ में मान रखने पर,$9y_1^2 = x_1(-6y_1) \implies 9y_1 = -6x_1 \implies y_1 = -\frac{2}{3}x_1$।
$x_1^2 = -6y_1$ में मान रखने पर,$x_1^2 = -6(-\frac{2}{3}x_1) = 4x_1 \implies x_1 = 4$ या $x_1 = 0$।
यदि $x_1 = 4$,तो $y_1 = -\frac{2}{3}(4) = -\frac{8}{3}$। बिंदु $(4, -8/3)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 8/3)$ और $(4, -8/3)$ हैं।

(B) दिया गया वक्र $y = x^2 - 5x + 6$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x - 5$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 0)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 0)} = 2(2) - 5 = -1$ है।
बिंदु $(3, 0)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(3, 0)} = 2(3) - 5 = 1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$ है,इसलिए दोनों स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\pi /2$ है।

(B) वक्र का समीकरण $y = ax^3$ है।
किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अधोस्पर्शक की लंबाई का सूत्र $L = |y_1 \cdot \frac{dx}{dy}|$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2$.
इसलिए,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3ax^2}$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अधोस्पर्शक की लंबाई:
$L = |y_1 \cdot \frac{1}{3ax_1^2}|$.
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $y_1 = ax_1^3$ होगा।
$y_1$ का मान सूत्र में रखने पर:
$L = |ax_1^3 \cdot \frac{1}{3ax_1^2}| = |\frac{x_1}{3}|$.
अतः,अधोस्पर्शक की लंबाई $x/3$ है।

(D) वक्र $y = f(x)$ की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखा $2x - 3y = 5$ है,जिसे $3y = 2x - 5$ या $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होना चाहिए। मान लीजिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_2$ है।
$m_1 \times m_2 = -1$
$\frac{2}{3} \times m_2 = -1$
$m_2 = -\frac{3}{2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}$।

(D) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^3 + 3x^2 = 12y$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 12) = -6x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{6x}{12 - 3y^2}$.
जब स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के समांतर होती है,तो ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$12 - 3y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $y = 2$,तो $y^3 + 3x^2 = 12y \implies (2)^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.
स्थिति $2$: यदि $y = -2$,तो $y^3 + 3x^2 = 12y \implies (-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,जिसका $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

(B) रेखा $4x - 2y + 5 = 0$ की ढाल $m = 2$ है। चूंकि स्पर्शरेखा इस रेखा के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $2$ होगी।
वक्र $y = \sqrt{3x - 2}$ के लिए,अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x - 2}} \times 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}}$.
ढाल को $2$ के बराबर रखने पर:
$\frac{3}{2\sqrt{3x - 2}} = 2$
$3 = 4\sqrt{3x - 2}$
$9 = 16(3x - 2)$
$9 = 48x - 32$
$48x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{48}$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = \sqrt{3(\frac{41}{48}) - 2} = \sqrt{\frac{41}{16} - \frac{32}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
स्पर्श बिंदु $(\frac{41}{48}, \frac{3}{4})$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - \frac{3}{4} = 2(x - \frac{41}{48})$
$y - \frac{3}{4} = 2x - \frac{41}{24}$
$y = 2x - \frac{41}{24} + \frac{18}{24}$
$y = 2x - \frac{23}{24}$
$24y = 48x - 23$
$48x - 24y - 23 = 0$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y = a\left( {{e^{\frac{x}{a}}} + {e^{ - \frac{x}{a}}}} \right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a \left( \frac{1}{a} e^{\frac{x}{a}} - \frac{1}{a} e^{-\frac{x}{a}} \right) = e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}$.
चूँकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $0$ है:
$\frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,$e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}} = 0$.
$e^{\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\frac{x}{a} = -\frac{x}{a}$.
$2x = 0$,जिसका अर्थ है $x = 0$.

(C) वक्र का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2y}{25} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{4y}$
स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल $0$ होनी चाहिए,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 0$।
अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$-\frac{25x}{4y} = 0 \implies x = 0$।
$x = 0$ को वक्र के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{0^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1$
$\frac{y^2}{25} = 1$
$y^2 = 25$
$y = \pm 5$।
अतः,वक्र पर वे बिंदु जहाँ स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समांतर हैं,$(0, 5)$ और $(0, -5)$ हैं।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$ और $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta)$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - \cos \theta + \theta \sin \theta) = a\theta \sin \theta$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta$ है।
चूंकि अभिलंब की ढाल $-\cot \theta = \tan(\theta + \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए यह $x$-अक्ष के साथ $(\frac{\pi}{2} + \theta)$ का कोण बनाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया वक्र $y = e^{2x} + x^2$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 2x$.
बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 2e^0 + 2(0) = 2$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ होगी।
$(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ है,जिसे सरल करने पर $x + 2y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$x$-अक्ष के लिए,$y = 0$ रखें: $x + 2(0) - 2 = 0 \implies x = 2$। बिंदु $(2, 0)$ है।
$y$-अक्ष के लिए,$x = 0$ रखें: $0 + 2y - 2 = 0 \implies y = 1$। बिंदु $(0, 1)$ है।
अभिलंब और अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(2, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ वर्ग इकाई।

(A) माना $P(h, k)$ वक्र $y = 4x^3 - 2x^5$ पर एक बिंदु है।
चूंकि $P$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $k = 4h^3 - 2h^5$ ..... $(1)$।
$P(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 10x^4$ द्वारा दी जाती है।
$x = h$ पर,ढाल $m = 12h^2 - 10h^4$ है।
$P(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - k = (12h^2 - 10h^4)(x - h)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,हम $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 - k = (12h^2 - 10h^4)(0 - h)$
$-k = -12h^3 + 10h^5$
$k = 12h^3 - 10h^5$ ..... $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$4h^3 - 2h^5 = 12h^3 - 10h^5$
$8h^5 - 8h^3 = 0$
$8h^3(h^2 - 1) = 0$
इससे $h = 0, h = 1, h = -1$ प्राप्त होता है।
$h = 0$ के लिए,$k = 4(0)^3 - 2(0)^5 = 0$। बिंदु $(0, 0)$ है।
$h = 1$ के लिए,$k = 4(1)^3 - 2(1)^5 = 4 - 2 = 2$। बिंदु $(1, 2)$ है।
$h = -1$ के लिए,$k = 4(-1)^3 - 2(-1)^5 = -4 + 2 = -2$। बिंदु $(-1, -2)$ है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, 0), (1, 2), (-1, -2)$ हैं।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x = a(\cos t + \log \tan(t/2))$ और $y = a \sin t$.
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}) = a(-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}) = a(-\sin t + \frac{1}{\sin t}) = a(\frac{1 - \sin^2 t}{\sin t}) = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$.
$\frac{dy}{dt} = a \cos t$.
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \cos^2 t / \sin t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t$.
स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र $L = |y \frac{\sqrt{1 + (dy/dx)^2}}{dy/dx}|$ है।
मान रखने पर: $L = |a \sin t \cdot \frac{\sqrt{1 + \tan^2 t}}{\tan t}| = |a \sin t \cdot \frac{\sec t}{\tan t}| = |a \sin t \cdot \frac{1}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t}| = |a| = a$ (यह मानते हुए कि $a > 0$ है)।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $y^n = a^{n-1}x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a^{n-1}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}}$.
किसी बिंदु $(x, y)$ पर अधोलंब की लंबाई का सूत्र है:
$L = \left| y \frac{dy}{dx} \right|$.
$\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर:
$L = \left| y \cdot \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}} \right| = \left| \frac{a^{n-1}}{n y^{n-2}} \right|$.
अधोलंब की लंबाई अचर होने के लिए,इसे $y$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
यह तभी संभव है जब $y$ का घातांक $0$ हो।
अतः,$n - 2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $n = 2$.

(C) दिया गया वक्र $y = be^{-x/a}$ है।
स्पर्श बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम वक्र का अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x/a} \cdot (-\frac{1}{a}) = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$।
दी गई रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $y = -\frac{b}{a}x + b$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = -\frac{b}{a}$ है।
स्पर्श बिंदु पर,वक्र के स्पर्श रेखा की ढाल,रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए:
$-\frac{b}{a} e^{-x/a} = -\frac{b}{a}$।
इसका अर्थ है कि $e^{-x/a} = 1$,इसलिए $-x/a = 0$,जिससे $x = 0$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ को वक्र के समीकरण $y = be^{-x/a}$ में रखने पर,हमें $y = be^0 = b$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, b)$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = e^{2x}$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$।
बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, 1)} = 2e^{2(0)} = 2(1) = 2$ है।
बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 1 = 2(x - 0) \implies y - 1 = 2x \implies 2x - y + 1 = 0$।
यह ज्ञात करने के लिए कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को कहाँ मिलती है,स्पर्श रेखा के समीकरण में $y = 0$ रखें।
$2x - 0 + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$।
अतः,स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $(-1/2, 0)$ बिंदु पर मिलती है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण: $x = a \cos^3 t$ और $y = a \sin^3 t$ हैं।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 3a \cos^2 t (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t (\cos t) = 3a \sin^2 t \cos t$
अब,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$
बिंदु $(a \cos^3 t, a \sin^3 t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:
$y - a \sin^3 t = -\frac{\sin t}{\cos t} (x - a \cos^3 t)$
दोनों पक्षों को $\cos t$ से गुणा करने पर:
$y \cos t - a \sin^3 t \cos t = -x \sin t + a \cos^3 t \sin t$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos^3 t + a \sin^3 t \cos t$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t (\cos^2 t + \sin^2 t)$
चूंकि $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t$
दोनों पक्षों को $\sin t \cos t$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x \sin t}{\sin t \cos t} + \frac{y \cos t}{\sin t \cos t} = \frac{a \sin t \cos t}{\sin t \cos t}$
$x \sec t + y \csc t = a$

(C) दिया गया वक्र $y = x^3$ है।
सबसे पहले,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करें: $\frac{dy}{dx} = 3x^2$।
बिंदु $P(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 3(1)^2 = 3$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n$ स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{3}$।
रेखा के समीकरण के बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1)$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$3(y - 1) = -(x - 1)$।
$3y - 3 = -x + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर अभिलंब का समीकरण प्राप्त होता है:
$x + 3y - 4 = 0$।

(D) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं:
$x = a(1 + \cos \theta)$ और $y = a \sin \theta$.
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$ है।
बिंदु $\theta$ पर अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी:
$m_n = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$.
बिंदु $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$
$y \cos \theta = (x - a) \sin \theta$
यदि हम इस समीकरण में बिंदु $(a, 0)$ रखें:
$0 \cdot \cos \theta = (a - a) \sin \theta$
$0 = 0$.
अतः,अभिलंब हमेशा बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरता है।

(D) दिया गया वक्र $2y^3 = ax^2 + x^3$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$6y^2 \frac{dy}{dx} = 2ax + 3x^2$.
बिंदु $(a, a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(a, a)} = \frac{2a(a) + 3(a)^2}{6(a)^2} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$.
बिंदु $(a, a)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - a = \frac{5}{6}(x - a)$
$6y - 6a = 5x - 5a$
$5x - 6y + a = 0$.
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $p$ और $q$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण को अंतःखंड रूप में लिखने पर:
$5x - 6y = -a$
$\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$.
अतः,$p = -a/5$ और $q = a/6$.
दिया गया है कि $p^2 + q^2 = 61$,इसलिए:
$\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$
$a^2 \left( \frac{36 + 25}{25 \times 36} \right) = 61$
$a^2 \left( \frac{61}{900} \right) = 61$
$a^2 = 900$
$a = \pm 30$.

(B) दिए गए वक्र $y = 1 - ax^2$ और $y = x^2$ हैं।
पहले वक्र के लिए,$\frac{dy}{dx} = -2ax$ है।
दूसरे वक्र के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$ है।
चूंकि वक्र लंबवत काटते हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ पर उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
अतः,$(-2ax)(2x) = -1 \implies 4ax^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4a}$ है।
अब,प्रतिच्छेदन बिंदु पर दोनों वक्रों के $y$ मानों की तुलना करने पर:
$1 - ax^2 = x^2 \implies 1 = (1 + a)x^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 = \frac{1}{4a}$ को समीकरण में रखने पर:
$1 = (1 + a) \left( \frac{1}{4a} \right)$।
$4a = 1 + a \implies 3a = 1 \implies a = 1/3$।

(B) दिया गया वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x - x_1)$ है।
$\sqrt{x_1}$ से गुणा करने पर,$y\sqrt{x_1} - y_1\sqrt{x_1} = -x\sqrt{y_1} + x_1\sqrt{y_1}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = x_1\sqrt{y_1} + y_1\sqrt{x_1}$.
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{a}$ है।
समीकरण $x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = \sqrt{x_1}\sqrt{y_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$ को $\sqrt{x_1}\sqrt{y_1}$ से विभाजित करने पर,$\frac{x}{\sqrt{x_1}} + \frac{y}{\sqrt{y_1}} = \sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{a}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y = x^2 - 5x + 6$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x - 5$.
बिंदु $(2, 0)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,0)} = 2(2) - 5 = -1$.
बिंदु $(3, 0)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3,0)} = 2(3) - 5 = 1$.
मान लीजिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-1 - 1}{1 + (-1)(1)} \right| = \left| \frac{-2}{0} \right| = \infty$.
चूंकि $\tan \theta = \infty$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) वक्र $y = x^2$ के लिए,ढाल $m_1$ का मान $\frac{dy}{dx} = 2x$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,$m_1 = 2(1) = 2$ है।
वक्र $x = y^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $1 = 2y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,$m_2 = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$ है।
दो वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(C) बिंदु $(3, 4)$ पर वक्र के अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(3\pi / 4) = -1$ है।
बिंदु $(3, 4)$ पर वक्र के स्पर्शरेखा की प्रवणता $m_t = -1 / m_n$ होती है।
$m_n$ का मान रखने पर,हमें $m_t = -1 / (-1) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = 3$ पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $f'(3)$ है,इसलिए $f'(3) = 1$ है।

(C) किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $y = \sqrt{4x - 3} - 1$,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x - 3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 3}}$.
हमें स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2}{3}$ दी गई है।
अवकलज को ढाल के बराबर रखने पर:
$\frac{2}{\sqrt{4x - 3}} = \frac{2}{3}$
$\sqrt{4x - 3} = 3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4x - 3 = 9$
$4x = 12$
$x = 3$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = 3$ को वक्र के मूल समीकरण में रखने पर:
$y = \sqrt{4(3) - 3} - 1$
$y = \sqrt{12 - 3} - 1$
$y = \sqrt{9} - 1$
$y = 3 - 1 = 2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 2)$ है।

(A) दिए गए वक्र $y = e^x$ के लिए,$(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = e^x$ है।
$x = c$ पर,ढाल $m_1 = e^c$ है।
$(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - e^c = e^c(x - c)$ है,जिसे सरल करने पर $y = e^c(x - c + 1)$ प्राप्त होता है।
अब,$(c - 1, e^{c-1})$ और $(c + 1, e^{c+1})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{e^{c+1} - e^{c-1}}{(c+1) - (c-1)} = \frac{e^{c-1}(e^2 - 1)}{2}$ है।
इस छेदक रेखा का समीकरण $y - e^{c-1} = m_2(x - (c - 1))$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के मानों को बराबर करते हैं: $e^c(x - c + 1) = e^{c-1}(x - c + 1) + e^{c-1}$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $c - 1 + \frac{2}{e^2 - 1} \cdot e$ है।
चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $e^2 - 1 \approx 6.389$।
अतः,$x = c - 1 + \frac{2e}{e^2 - 1} < c - 1 + 1 = c$।
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $c$ से कम है।

(B) माना कि दोनों वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्रों के समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $y^3 = 16x$ हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{a^2y}$.
$y^3 = 16x$ के लिए,$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2}$.
माना $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
$m_1 = -\frac{4x_1}{a^2y_1}$ और $m_2 = \frac{16}{3y_1^2}$.
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 m_2 = -1$.
$(-\frac{4x_1}{a^2y_1}) \times (\frac{16}{3y_1^2}) = -1$.
$\frac{64x_1}{3a^2y_1^3} = 1$.
चूंकि $(x_1, y_1)$,$y^3 = 16x$ पर स्थित है,इसलिए $y_1^3 = 16x_1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{64x_1}{3a^2(16x_1)} = 1$.
$\frac{64x_1}{48a^2x_1} = 1 \Rightarrow \frac{4}{3a^2} = 1$.
अतः,$a^2 = 4/3$.

(C) दिया गया वक्र $y = 2 \cos x$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y$ का मान $y = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2}$ है।
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( \frac{\pi}{4}, \sqrt{2} \right)$ है।
अब,अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos x) = -2 \sin x$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x = \pi/4} = -2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\sqrt{2}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,हमें $y - \sqrt{2} = -\sqrt{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना वक्र $y = f(x)$ है। अधोस्पर्श रेखा की लंबाई $|y_1 / (dy/dx)|$ द्वारा और अधोलंब की लंबाई $|y_1 (dy/dx)|$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि अधोस्पर्श रेखा की लंबाई = अधोलंब की लंबाई:
$|y_1 / (dy/dx)| = |y_1 (dy/dx)|$
यदि $y_1 \neq 0$ है,तो $1 / |dy/dx| = |dy/dx|$,जिसका अर्थ है कि $(dy/dx)^2 = 1$,इसलिए $dy/dx = \pm 1$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र $L_t = |y_1| \sqrt{1 + (dx/dy)^2}$ है।
चूंकि $dy/dx = \pm 1$,इसलिए $dx/dy = \pm 1$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$L_t = |y_1| \sqrt{1 + (\pm 1)^2} = |y_1| \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} |y_1|$.
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{2} y_1$ है (मानते हुए कि $y_1 > 0$)।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $y = (x + 1)(x - 3)$।
जहाँ वक्र $x$-अक्ष को काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखें:
$0 = (x + 1)(x - 3)$
इससे $x = -1$ और $x = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 0)$ और $(3, 0)$ हैं।
अब,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालें:
$y = x^2 - 2x - 3$
$\frac{dy}{dx} = 2x - 2$
बिंदु $(-1, 0)$ पर:
ढाल $m_1 = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$।
बिंदु $(3, 0)$ पर:
ढाल $m_2 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$।
अतः,इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं की ढाल $\pm 4$ है।

(A) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण: $2x^2 - 3y^2 = 6$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3y^2) = \frac{d}{dx}(6)$
$4x - 6y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात करने पर:
$6y \cdot \frac{dy}{dx} = 4x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{6y} = \frac{2x}{3y}$
अब,स्पर्श रेखा की ढाल $m$ ज्ञात करने के लिए बिंदु $(3, 2)$ का मान अवकलज में रखने पर:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(3, 2)} = \frac{2(3)}{3(2)} = \frac{6}{6} = 1$
अतः,बिंदु $(3, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $1$ है।

(C) वक्रों $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$\sin x = \cos x$ रखकर।
इससे $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \pi /4$ है।
$x = \pi /4$ पर,$y = \sin(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(\pi /4, 1/\sqrt{2})$ है।
अब,इस बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y = \sin x$ के लिए,$dy/dx = \cos x$ है। $x = \pi /4$ पर,$m_1 = \cos(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$ है।
$y = \cos x$ के लिए,$dy/dx = -\sin x$ है। $x = \pi /4$ पर,$m_2 = -\sin(\pi /4) = -1/\sqrt{2}$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |(1/\sqrt{2} - (-1/\sqrt{2})) / (1 + (1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}))|$
$\tan \theta = |(2/\sqrt{2}) / (1 - 1/2)| = |\sqrt{2} / (1/2)| = 2\sqrt{2}$ है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = 2x^2 + 3x - 2$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 4x + 3$।
बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 4(1) + 3 = 7$ है।
बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = 7(x - 1)$ है,जिसे सरल करने पर $y - 3 = 7x - 7$ या $7x - y = 4$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $7x = 4 \implies x = 4/7$।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $-y = 4 \implies y = -4$।
अतः,निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $4/7$ और $-4$ हैं।

(A) दिए गए वक्र $y = 4x^2$ और $y = x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4x^2 = x^2$ रखें,जिसका अर्थ है $3x^2 = 0$,इसलिए $x = 0$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
अब,$(0, 0)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y = 4x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 8x$। $x = 0$ पर,$m_1 = 8(0) = 0$।
$y = x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$। $x = 0$ पर,$m_2 = 2(0) = 0$।
चूंकि दोनों ढाल $0$ हैं,इसलिए मूल बिंदु पर स्पर्श रेखाएं क्षैतिज हैं।
प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{0 - 0}{1 + 0}| = 0$ है।
इसलिए,$\theta = 0^\circ$।

(D) दिया गया वक्र $y = \frac{1}{x^2 - 2x + 3}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(x^2 - 2x + 3)^2} \cdot (2x - 2) = \frac{-(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 3)^2}$.
चूंकि स्पर्श रेखा की ढाल $0$ है,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{-(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 3)^2} = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = 1$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = \frac{1}{(1)^2 - 2(1) + 3} = \frac{1}{1 - 2 + 3} = \frac{1}{2}$.
स्पर्श बिंदु $(1, 1/2)$ है।
$(1, 1/2)$ से गुजरने वाली और $0$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - \frac{1}{2} = 0(x - 1) \implies y = \frac{1}{2} \implies 2y - 1 = 0$.

(C) मान लीजिए कि वक्र पर एक बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ है।
अस्पर्शज्या (subtangent) की लंबाई $|\frac{y}{m}| = |y \frac{dx}{dy}|$ द्वारा दी जाती है।
अवलंब (subnormal) की लंबाई $|my| = |y \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है।
अब,व्यंजक $\sqrt{\frac{\text{अवलंब}}{\text{अस्पर्शज्या}}}$ पर विचार करें।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{\frac{|y \frac{dy}{dx}|}{|y \frac{dx}{dy}|}} = \sqrt{|\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dy}{dx}|} = \sqrt{(\frac{dy}{dx})^2} = |\frac{dy}{dx}|$.
इस प्रकार,$\sqrt{\frac{\text{अवलंब}}{\text{अस्पर्शज्या}}} = |\frac{dy}{dx}|$,जो उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल का परिमाण है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $y = \frac{a}{2}(e^{x/a} + e^{-x/a}) = a \cosh(\frac{x}{a})$.
अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = a \cdot \frac{1}{a} \sinh(\frac{x}{a}) = \sinh(\frac{x}{a})$.
अभिलंब की लंबाई का सूत्र $L_n = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ है।
मान रखने पर:
$L_n = y \sqrt{1 + \sinh^2(\frac{x}{a})}$.
सर्वसमिका $1 + \sinh^2(\theta) = \cosh^2(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$L_n = y \sqrt{\cosh^2(\frac{x}{a})} = y \cosh(\frac{x}{a})$.
चूंकि $y = a \cosh(\frac{x}{a})$,इसलिए $\cosh(\frac{x}{a}) = \frac{y}{a}$.
अतः,$L_n = y \cdot (\frac{y}{a}) = \frac{y^2}{a}$.

(C) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4 - x^2 = x^2$ रखें,जिससे $2x^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $x^2 = 2$,$x = \pm \sqrt{2}$.
$x = \pm \sqrt{2}$ के लिए,$y = 2$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{2}, 2)$ और $(-\sqrt{2}, 2)$ हैं।
वक्र $y = 4 - x^2$ के लिए,ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = -2x$.
वक्र $y = x^2$ के लिए,ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = 2x$.
बिंदु $(\sqrt{2}, 2)$ पर,$m_1 = -2\sqrt{2}$ और $m_2 = 2\sqrt{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{-2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{1 + (-2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{1 - 8} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{-7} \right| = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left( \frac{4\sqrt{2}}{7} \right)$.

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $Y - y_1 = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(X - x_1)$.
$Y\sqrt{x_1} - y_1\sqrt{x_1} = -X\sqrt{y_1} + x_1\sqrt{y_1}$.
$X\sqrt{y_1} + Y\sqrt{x_1} = x_1\sqrt{y_1} + y_1\sqrt{x_1} = \sqrt{x_1 y_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$.
चूंकि $\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{a}$,इसलिए $X\sqrt{y_1} + Y\sqrt{x_1} = \sqrt{a}\sqrt{x_1 y_1}$.
$\sqrt{a}\sqrt{x_1 y_1}$ से विभाजित करने पर: $\frac{X}{\sqrt{a}\sqrt{x_1}} + \frac{Y}{\sqrt{a}\sqrt{y_1}} = 1$.
अक्षों पर अंतःखंड $X_{int} = \sqrt{a}\sqrt{x_1}$ और $Y_{int} = \sqrt{a}\sqrt{y_1}$ हैं।
अंतःखंडों का योग $\sqrt{a}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{a}(\sqrt{a}) = a$ है।

(A) दी गई रेखा $2x - 2y + 3 = 0$ है,जिसे $y = x + \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = 1$ है।
चूंकि अभिलंब इस रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = 1$ होगी।
वक्र $y = x \log x$ के स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\log x + 1}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-\frac{1}{\log x + 1} = 1 \implies \log x + 1 = -1 \implies \log x = -2 \implies x = e^{-2}$।
$x = e^{-2}$ के लिए,$y$ का मान $y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2} (-2) = -2e^{-2}$ है।
स्पर्श बिंदु $(e^{-2}, -2e^{-2})$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - (-2e^{-2}) = 1(x - e^{-2})$।
$y + 2e^{-2} = x - e^{-2}$।
$x - y = 3e^{-2}$।

(A) वक्र $y = f(x)$ के लिए किसी भी बिंदु $x$ पर स्पर्शरेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया वक्र समीकरण $y = x^3 - x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x) = 3x^2 - 1$.
$x = 2$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x = 2$ पर अवकलज का मान निकालते हैं:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^2 - 1$.
$= 3(4) - 1$.
$= 12 - 1 = 11$.
अतः,$x = 2$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $11$ है।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $y = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 2x - 3$.
अब,बिंदु $(1, 0)$ पर ढाल का मान ज्ञात करते हैं:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 0)} = 2(1) - 3 = -1$.
स्पर्श रेखा की ढाल $\tan(\psi)$ के बराबर होती है,जहाँ $\psi$ $x$-अक्ष के साथ बना कोण है।
$\tan(\psi) = -1$.
चूँकि $\tan(\psi) = -1$,इसलिए कोण $\psi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ होगा।

(NONE) दिया गया वक्र $y = x^2 - x + 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(1, 4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 4)} = 2(1) - 1 = 1$ है।
$(1, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 4 = 1(x - 1)$ अर्थात $y = x + 3$ है।
$X$-अक्ष पर बिंदु $A$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $0 = x + 3 \implies x = -3$. अतः,$A = (-3, 0)$.
$(1, 4)$ पर अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -1$ है।
$(1, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -1(x - 1)$ अर्थात $y = -x + 5$ है।
$X$-अक्ष पर बिंदु $B$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $0 = -x + 5 \implies x = 5$. अतः,$B = (5, 0)$.
निर्देशांक $P(1, 4)$,$A(-3, 0)$ और $B(5, 0)$ हैं।
$\Delta PAB$ का आधार $AB$,$X$-अक्ष पर स्थित है। लंबाई $AB = |5 - (-3)| = 8$.
$\Delta PAB$ की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $4$ है।
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ वर्ग इकाई।

(A) माना वक्र $y = f(x)$ है।
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,माना $m = \frac{dy}{dx}$ स्पर्शरेखा की ढाल है।
स्पर्शरेखा की लंबाई $L_T = |y| \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} = |y| \frac{\sqrt{1 + m^2}}{|m|}$ द्वारा दी जाती है।
अभिलंब की लंबाई $L_N = |y| \sqrt{1 + m^2}$ द्वारा दी जाती है।
अधोस्पर्शरेखा की लंबाई $S_T = |\frac{y}{m}|$ है।
अधोअभिलंब की लंबाई $S_N = |ym|$ है।
अब,अनुपात $\frac{(L_N)^2}{(L_T)^2} = \frac{y^2(1 + m^2)}{y^2 \frac{1 + m^2}{m^2}} = m^2$ पर विचार करें।
साथ ही,अधोअभिलंब और अधोस्पर्शरेखा का अनुपात $\frac{S_N}{S_T} = \frac{|ym|}{|y/m|} = |m^2| = m^2$ है।
अतः,$\frac{(L_N)^2}{(L_T)^2} = \frac{S_N}{S_T}$।

(D) वक्र $y = f(x)$ के $x = 3$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f'(3)$ है।
बिंदु $(3, 4)$ पर वक्र के अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{f'(3)}$ है।
यह दिया गया है कि अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\theta = 3\pi /4$ का कोण बनाता है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = \tan(3\pi /4)$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(3\pi /4) = -1$ होता है।
अतः,$-\frac{1}{f'(3)} = -1$ है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{1}{f'(3)} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f'(3) = 1$ है।

(C) वक्र $y = x^2$ के लिए,ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = 2x$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,$m_1 = 2(1) = 2$ प्राप्त होता है।
वक्र $6y = 7 - x^3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{2}$ मिलता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,$m_2 = -\frac{1^2}{2} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-1/2) = -1$ है,इसलिए दोनों वक्र एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
अतः,वक्रों के बीच का कोण $\pi /2$ है।

(D) दिया गया वक्र $x^3 - y^2 = 0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3x^2 - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y}$।
बिंदु $(m^2, -m^3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(m^2, -m^3)} = \frac{3(m^2)^2}{2(-m^3)} = \frac{3m^4}{-2m^3} = -\frac{3}{2}m$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-3m/2} = \frac{2}{3m}$ होती है।
बिंदु $(m^2, -m^3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-m^3) = \frac{2}{3m}(x - m^2)$ है।
$y + m^3 = \frac{2}{3m}x - \frac{2m^2}{3m} \Rightarrow y = \frac{2}{3m}x - \frac{2m}{3} - m^3$।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $y = 3mx - 4m^3$ से करने पर,$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$3m = \frac{2}{3m} \Rightarrow 9m^2 = 2 \Rightarrow m^2 = \frac{2}{9}$।
इसी प्रकार,अचर पदों की तुलना करने पर: $-4m^3 = -m^3 - \frac{2m}{3} \Rightarrow 3m^3 = \frac{2m}{3} \Rightarrow 9m^2 = 2 \Rightarrow m^2 = \frac{2}{9}$ ($m \neq 0$ के लिए)।

(D) दिया गया वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(x_1, y_1)} = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}$.
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x - x_1)$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए,$y = 0$ रखें: $-y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x - x_1) \implies x - x_1 = y_1 \sqrt{\frac{x_1}{y_1}} = \sqrt{x_1 y_1}$.
अतः,$x = x_1 + \sqrt{x_1 y_1} = \sqrt{x_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{x_1} \sqrt{a} = \sqrt{ax_1}$.
$y$-अंतःखंड के लिए,$x = 0$ रखें: $y - y_1 = -\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(-x_1) = \sqrt{x_1 y_1}$.
अतः,$y = y_1 + \sqrt{x_1 y_1} = \sqrt{y_1}(\sqrt{y_1} + \sqrt{x_1}) = \sqrt{y_1} \sqrt{a} = \sqrt{ay_1}$.
अंतःखंडों का योग $\sqrt{ax_1} + \sqrt{ay_1} = \sqrt{a}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ है।

(A) माना कि अभीष्ट बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र का समीकरण $9y^2 = x^3$ है।
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $9y_1^2 = x_1^3$ ... $(i)$।
$9y^2 = x^3$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{x_1^2}{6y_1}$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।
चूंकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।
अतः,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = \pm 1$,जिसका अर्थ है $x_1^2 = \mp 6y_1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x_1^4 = 36y_1^2$ प्राप्त होता है। समीकरण $(i)$ से $y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x_1^4 = 36 \left( \frac{x_1^3}{9} \right) = 4x_1^3$ मिलता है।
इससे $x_1^3(x_1 - 4) = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x_1 = 0$ या $x_1 = 4$।
यदि $x_1 = 0$ है,तो $y_1 = 0$ मिलता है। लेकिन $(0,0)$ पर अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाने वाली रेखा के रूप में परिभाषित नहीं है।
यदि $x_1 = 4$ है,तो $9y_1^2 = 4^3 = 64$,इसलिए $y_1^2 = \frac{64}{9}$,जिसका अर्थ है $y_1 = \pm \frac{8}{3}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 8/3)$ और $(4, -8/3)$ हैं।