Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $pv = 81$ है।
हम $p$ को $v$ के पदों में $p = \frac{81}{v} = 81v^{-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$p$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dp}{dv} = \frac{d}{dv}(81v^{-1}) = 81(-1)v^{-2} = -\frac{81}{v^2}$.
$v = 9$ पर मान ज्ञात करने के लिए,अवकलज में $v = 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dp}{dv} = -\frac{81}{(9)^2} = -\frac{81}{81} = -1$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया वेग समीकरण: $v^2 = 2 - 3x$।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हम चेन रूल का उपयोग करते हैं:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(2 - 3x)$
$2v \frac{dv}{dt} = -3 \frac{dx}{dt}$
चूंकि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ और वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2v \cdot a = -3v$
यदि $v \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $2v$ से विभाजित करने पर:
$a = -\frac{3}{2} \text{ m/s}^2$
चूंकि त्वरण $a$ एक स्थिर मान $(-1.5 \text{ m/s}^2)$ है,इसलिए त्वरण समान (Uniform) है।

(A) दिया गया दूरी का समीकरण: $s = \frac{1}{2}g{t^2}$.
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}g{t^2}) = \frac{1}{2}g(2t) = gt$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(gt) = g$.
चूंकि $g$ (गुरुत्वीय त्वरण) एक स्थिरांक है,इसलिए पत्थर का त्वरण एकसमान है।

(C) त्रिज्या $r$ वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ सूत्र $S = 4\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dS}{dr} = 8\pi r$.
अवकल सन्निकटन का उपयोग करते हुए,पृष्ठीय क्षेत्रफल में त्रुटि $\delta S$ को $\delta S \approx \frac{dS}{dr} \times \delta r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 20 \, cm$ और $\delta r = 0.02 \, cm$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\delta S = 8\pi \times 20 \times 0.02$.
$\delta S = 8\pi \times 0.4 = 3.2\pi$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,हमें $\delta S \approx 3.2 \times 3.14159 = 10.053 \, sq \, cm$ प्राप्त होता है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,त्रुटि $10.05 \, sq \, cm$ है।

(C) दिया गया विस्थापन फलन $s = 2t^2 - 3t + 1$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 - 3t + 1) = 4t - 3$.
त्वरण $a$,समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t - 3) = 4$.
अतः,कण का त्वरण $4$ इकाई है।

(C) कण का वेग विस्थापन $s$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t^2 + 12t + 1) = 6t^2 - 18t + 12$.
कण के क्षण भर के लिए रुकने के लिए,उसका वेग शून्य होना चाहिए:
$6t^2 - 18t + 12 = 0$.
समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 1)(t - 2) = 0$.
अतः,कण $t = 1 \, sec$ और $t = 2 \, sec$ पर रुकता है।

(D) दिया गया गति का समीकरण: $s = t^2 - 2t$ $(i)$
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,इसलिए $v = \frac{ds}{dt} = 2t - 2$ $(ii)$
दिया गया है कि तय की गई दूरी $s = 15 \, km$ है,इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$15 = t^2 - 2t$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 5)(t + 3) = 0$
चूंकि समय $t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 5 \, \text{घंटे}$.
अब,वेग ज्ञात करने के लिए $t = 5$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$v = 2(5) - 2 = 10 - 2 = 8 \, km/h$.
अतः,कार का वेग $8 \, km/h$ है।

(B) माना कि घन की भुजा $a$ है और उसका आयतन $V$ है।
दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{da}{dt} = 5 \, cm/\sec$ है।
घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$.
दिए गए मान $a = 12 \, cm$ और $\frac{da}{dt} = 5 \, cm/\sec$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 3 \times (12)^2 \times 5$
$\frac{dV}{dt} = 3 \times 144 \times 5$
$\frac{dV}{dt} = 432 \times 5 = 2160 \, cm^3/\sec$.
अतः,घन का आयतन $2160 \, cm^3/\sec$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) दिया गया गति का समीकरण: $s = \frac{1}{2}vt$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2s = vt$।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 \frac{ds}{dt} = v + t \frac{dv}{dt}$।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2v = v + t \frac{dv}{dt} \implies v = t \frac{dv}{dt}$।
चूंकि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ है,हमारे पास $v = ta$ है।
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dt} = a + t \frac{da}{dt}$।
$a = \frac{dv}{dt}$ रखने पर:
$a = a + t \frac{da}{dt} \implies t \frac{da}{dt} = 0$।
गति के लिए $t \neq 0$ है,इसलिए $\frac{da}{dt} = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि त्वरण $a$ स्थिर है।

(B) बिंदु की स्थिति $s(t) = 15t - 2t^2$ द्वारा दी गई है।
अंतराल $[t_1, t_2]$ पर औसत वेग को विस्थापन में परिवर्तन को समय में परिवर्तन से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $v_{avg} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$.
यहाँ $t_1 = 0$ और $t_2 = 3$ दिया गया है:
$s(0) = 15(0) - 2(0)^2 = 0$.
$s(3) = 15(3) - 2(3)^2 = 45 - 18 = 27$.
अतः,औसत वेग $v_{avg} = \frac{27 - 0}{3 - 0} = \frac{27}{3} = 9$ है।

(C) दिया गया दूरी फलन: $s = ae^t + \frac{b}{e^t}$.
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(ae^t + be^{-t}) = ae^t - be^{-t}$.
त्वरण $a_{acc}$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(ae^t - be^{-t}) = ae^t - b(-e^{-t}) = ae^t + be^{-t}$.
इस परिणाम की तुलना मूल $s$ के समीकरण से करने पर,हम पाते हैं कि $a_{acc} = s$.
अतः,त्वरण दूरी $s$ के बराबर है।

(B) वेग के लिए समीकरण दिया गया है: ${v^2} = a + bx$।
त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dt}({v^2}) = \frac{d}{dt}(a + bx)$
चेन नियम का उपयोग करते हुए: $2v \frac{dv}{dt} = b \frac{dx}{dt}$।
चूँकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2v \frac{dv}{dt} = b v$।
यह मानते हुए कि $v \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $2v$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{dv}{dt} = \frac{b}{2}$।
चूँकि $b$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $\frac{dv}{dt} = \frac{b}{2}$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,त्वरण एकसमान (Uniform) है।

(D) दिया गया संबंध $V = 5x - \frac{x^2}{6}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(5x - \frac{x^2}{6}) = 5\frac{dx}{dt} - \frac{2x}{6}\frac{dx}{dt} = (5 - \frac{x}{3})\frac{dx}{dt}$.
यहाँ $\frac{dV}{dt} = 5 \, cm^3/sec$ दिया गया है और हमें $x = 2 \, cm$ पर $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर:
$5 = (5 - \frac{2}{3})\frac{dx}{dt}$
$5 = (\frac{15 - 2}{3})\frac{dx}{dt}$
$5 = \frac{13}{3}\frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 5 \times \frac{3}{13} = \frac{15}{13} \, cm/sec$.
अतः,सही उत्तर $(D)$ है।

(A) गति का समीकरण $s = 10t - 3t^2$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि पत्थर सतह पर कब वापस आएगा,हम विस्थापन $s = 0$ रखते हैं।
$10t - 3t^2 = 0$
$t(10 - 3t) = 0$
चूँकि $t=0$ प्रक्षेपण का समय है,पत्थर सतह पर तब वापस आएगा जब $10 - 3t = 0$ होगा।
$3t = 10$
$t = \frac{10}{3} \text{ sec}$.
अतः,पत्थर $\frac{10}{3} \text{ sec}$ बाद सतह पर वापस आ जाएगा।

(C) पिंड का वेग $v = 1 + t^2$ सूत्र द्वारा दिया गया है।
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर है,जिसे $a = \frac{dv}{dt}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$v = 1 + t^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a = \frac{d}{dt}(1 + t^2) = 0 + 2t = 2t$.
$3 \text{ s}$ के बाद त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम त्वरण के समीकरण में $t = 3$ रखेंगे:
$a = 2(3) = 6 \text{ cm/s}^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि भुजा की लंबाई में परिवर्तन की दर $\frac{da}{dt} = 4 \, cm/sec$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = a^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(a^2) = 2a \frac{da}{dt}$.
हमें उस दर को ज्ञात करना है जब $a = 2 \, cm$ है।
समीकरण में $a = 2$ और $\frac{da}{dt} = 4$ का मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 2 \times 4 = 16 \, cm^2/sec$.
अतः,शीट का क्षेत्रफल $16 \, cm^2/sec$ की दर से बढ़ रहा है।

(B) गति का दिया गया समीकरण: $10s = 10ut - 49t^2$ है।
$10$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $s = ut - 4.9t^2$।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(ut - 4.9t^2) = u - 9.8t$।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग $v$ शून्य हो जाता है।
यह दिया गया है कि अधिकतम ऊँचाई $t = 5$ सेकंड पर प्राप्त होती है,इसलिए $v = 0$ और $t = 5$ को वेग के समीकरण में रखने पर:
$0 = u - 9.8(5)$।
$u = 9.8 \times 5 = 49$।
अतः,$u$ का मान $49 \, m/sec$ है।

(A) दिया गया गति का समीकरण: $s = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t^2 + 12t) = 6t^2 - 18t + 12$।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 18t + 12) = 12t - 18$।
त्वरण शून्य होने के लिए,हम $a = 0$ रखते हैं: $12t - 18 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $12t = 18$,जिससे $t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \text{ } sec$ प्राप्त होता है।
अतः,कण का त्वरण $3/2 \text{ } sec$ के बाद शून्य होगा।

(B) तीसरी सेकंड में औसत वेग को $t = 2$ सेकंड से $t = 3$ सेकंड के अंतराल के दौरान हुए विस्थापन को समय अंतराल $\Delta t = 1$ सेकंड से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,$t = 3$ सेकंड पर स्थिति की गणना करें:
$s(3) = (3)^2 + 8(3) + 12 = 9 + 24 + 12 = 45 \, m$.
इसके बाद,$t = 2$ सेकंड पर स्थिति की गणना करें:
$s(2) = (2)^2 + 8(2) + 12 = 4 + 16 + 12 = 32 \, m$.
तीसरी सेकंड में विस्थापन है:
$\Delta s = s(3) - s(2) = 45 - 32 = 13 \, m$.
औसत वेग $= \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{13 \, m}{1 \, s} = 13 \, m/s$.

(A) माना $OA = x$ और $OB = y$ है। चूंकि छड़ $AB$ की लंबाई $10 \, cm$ स्थिर है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 10^2 = 100$ होगा।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/sec$ और जब $x = 8 \, cm$ है,तब $y$ का मान $x^2 + y^2 = 100$ से ज्ञात करने पर: $8^2 + y^2 = 100 \Rightarrow 64 + y^2 = 100 \Rightarrow y^2 = 36 \Rightarrow y = 6 \, cm$।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर: $8(2) + 6 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 16 + 6 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 6 \frac{dy}{dt} = -16 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3} \, cm/sec$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दूरी $y$ घट रही है,अर्थात सिरा $B$,$O$ की ओर $\frac{8}{3} \, cm/sec$ की दर से गति कर रहा है।

(B) दिया गया स्थिति फलन $s(t) = at^2 + bt + 6$ है।
वेग $v(t) = \frac{ds}{dt} = 2at + b$ है।
$t = 4 \, s$ पर कण रुक जाता है,इसलिए $v(4) = 0$।
$2a(4) + b = 0 \implies 8a + b = 0 \implies b = -8a$।
$t = 0$ पर,स्थिति $s(0) = 6 \, m$ है।
$t = 4 \, s$ पर,प्रारंभिक स्थिति से दूरी $16 \, m$ है,इसलिए $s(4) = 16 + 6 = 22 \, m$।
$s(4) = a(4)^2 + b(4) + 6 = 22 \implies 16a + 4b = 16 \implies 4a + b = 4$।
$b = -8a$ रखने पर: $4a - 8a = 4 \implies -4a = 4 \implies a = -1$।
त्वरण $2a = -2 \, m/s^2$ है।
यदि $s(4) = 16$ लिया जाए तो $a = -5/8$ प्राप्त होता है,जिससे मंदन $5/4 \, m/s^2$ होता है।

(C) कण की स्थिति $s = 45t + 11t^2 - t^3$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(45t + 11t^2 - t^3) = 45 + 22t - 3t^2$.
जब कण विराम अवस्था में आता है,तो उसका वेग $v = 0$ होना चाहिए:
$45 + 22t - 3t^2 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $3t^2 - 22t - 45 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3t^2 - 27t + 5t - 45 = 0$
$3t(t - 9) + 5(t - 9) = 0$
$(3t + 5)(t - 9) = 0$.
इससे $t = 9$ या $t = -\frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि समय $t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए कण $t = 9 \text{ sec}$ पर विराम अवस्था में आ जाएगा।

(C) गति का समीकरण $s = ut - 4.9t^2$ दिया गया है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,इसलिए $v = \frac{ds}{dt} = u - 9.8t$।
गेंद $6 \, s$ के बाद जमीन पर वापस आती है,जिसका अर्थ है कि यह $t = \frac{6}{2} = 3 \, s$ पर अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग $v = 0$ होता है।
वेग समीकरण में $v = 0$ और $t = 3$ रखने पर:
$0 = u - 9.8(3)$
$u = 29.4 \, m/s$।
अतः,प्रारंभिक वेग $29.4 \, m/s$ है।

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 3 \, cm/s$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$।
दिए गए मान $r = 10 \, cm$ और $\frac{dr}{dt} = 3 \, cm/s$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10) (3) = 60 \pi \, cm^2/s$।
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $60 \pi \, cm^2/s$ है।

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = 13.8t - 4.9t^2$.
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(13.8t - 4.9t^2) = 13.8 - 9.8t$.
$t = 1$ सेकंड पर वेग ज्ञात करने के लिए,वेग समीकरण में $t = 1$ प्रतिस्थापित करें:
$v = 13.8 - 9.8(1) = 4.0 \, m/s$.
अतः,$t = 1$ सेकंड पर वेग $4 \, m/s$ है।

(A) कण का विस्थापन $s(t) = -4t^2 + 2t$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v(t)$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है:
$v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-4t^2 + 2t) = -8t + 2$.
त्वरण $a(t)$,समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-8t + 2) = -8$.
समय $t = \frac{1}{2} \text{ s}$ पर:
वेग $v = -8(\frac{1}{2}) + 2 = -4 + 2 = -2$.
त्वरण $a = -8$.
अतः,वेग और त्वरण क्रमशः $-2$ और $-8$ हैं।

(C) दी गई दूरी $s = 180t - 16t^2$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(180t - 16t^2) = 180 - 32t$.
वेग में परिवर्तन की दर त्वरण $a$ है,जो समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(180 - 32t) = -32$.
अतः,वेग में परिवर्तन की दर $-32 \, unit$ है।

(B) माना व्यक्ति की लैंप पोस्ट से दूरी $y$ है और उसकी परछाई की लंबाई $x$ है।
यह दिया गया है कि व्यक्ति $5 \, m/h$ की गति से लैंप पोस्ट से दूर जा रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 5 \, m/h$ है।
आकृति में दिए गए समरूप त्रिभुजों से,हमें संबंध प्राप्त होता है:
$\frac{x}{2} = \frac{x + y}{6}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$3x = x + y$
$2x = y$
$x = \frac{1}{2}y$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = 5 \, m/h$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2} \, m/h$.
अतः,उसकी परछाई की लंबाई बढ़ने की दर $\frac{5}{2} \, m/h$ है।

(A) माना कि सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और सीढ़ी के ऊपरी सिरे की जमीन से ऊँचाई $y$ है।
दिया गया है कि सीढ़ी की लंबाई $5 \ m$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ .....$(i)$
समीकरण $(i)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ .....$(ii)$
दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 1.5 \ m/sec$ और उस क्षण जब $x = 4 \ m$ है:
$(i)$ से,$4^2 + y^2 = 25 \Rightarrow 16 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = 3 \ m$.
इन मानों को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(1.5) + 3 \frac{dy}{dt} = 0$
$6 + 3 \frac{dy}{dt} = 0$
$3 \frac{dy}{dt} = -6$
$\frac{dy}{dt} = -2 \ m/sec$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊँचाई घट रही है। अतः,सीढ़ी के ऊपरी सिरे की ऊँचाई $2 \ m/sec$ की दर से घटती है।

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के बढ़ने की दर $\frac{dr}{dt} = 3.5 \, cm/sec$ है और त्रिज्या $r = 10 \, cm$ है।
वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dA}{dt} = 2 \times \left( \frac{22}{7} \right) \times 10 \times 3.5$.
चूंकि $3.5 = \frac{7}{2}$,इसलिए $\frac{dA}{dt} = 2 \times \left( \frac{22}{7} \right) \times 10 \times \left( \frac{7}{2} \right)$.
सरल करने पर: $\frac{dA}{dt} = 22 \times 10 = 220 \, cm^2/sec$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि सीढ़ी एक रेखाखंड है। व्यक्ति $v = 3 \, ft/sec$ की गति से सीढ़ी पर ऊपर चढ़ रहा है।
सीढ़ी और दीवार के बीच का कोण $30^\circ$ है।
क्षैतिज दिशा (दीवार की ओर) में वेग का घटक $v \times \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ दीवार के साथ बना कोण है।
वैकल्पिक रूप से,यदि हम जमीन के साथ कोण पर विचार करें,तो यह $60^\circ$ है। क्षैतिज वेग $v \times \cos(60^\circ)$ है।
दीवार के पास पहुँचने की दर $= 3 \times \cos(60^\circ) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \, ft/sec$.

(B) माना घन की भुजा $a$ है और इसका आयतन $V$ है।
दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{da}{dt} = 60 \, cm/s$ है।
घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $a = 90 \, cm$ और $\frac{da}{dt} = 60 \, cm/s$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 3 \times (90)^2 \times 60$
$\frac{dV}{dt} = 3 \times 8100 \times 60$
$\frac{dV}{dt} = 180 \times 8100 = 1458000 \, cm^3/s$.
अतः,आयतन $1458000 \, cm^3/s$ की दर से बढ़ रहा है।

(D) दिया गया दूरी फलन $s = a \sin t + b \cos 2t$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(a \sin t + b \cos 2t) = a \cos t - 2b \sin 2t$.
त्वरण $a_{acc}$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का द्वितीय अवकलज है:
$a_{acc} = \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{d}{dt}(a \cos t - 2b \sin 2t) = -a \sin t - 4b \cos 2t$.
$t = 0$ पर,त्वरण है:
$a_{acc} = -a \sin(0) - 4b \cos(0) = -a(0) - 4b(1) = -4b$.
अतः,$t = 0$ पर त्वरण $-4b$ है।

(C) दिया गया स्थिति फलन $S = 6 + 48t - t^3$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{dS}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \frac{d}{dt}(6 + 48t - t^3) = 48 - 3t^2$.
गति की दिशा तब बदलती है जब वेग $v$ शून्य हो जाता है।
$v = 0$ रखने पर,हमें $48 - 3t^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$3t^2 = 48 \Rightarrow t^2 = 16 \Rightarrow t = 4$ (चूंकि समय $t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
दिशा बदलने पर तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,$t = 4$ को स्थिति समीकरण $S$ में रखें:
$S(4) = 6 + 48(4) - (4)^3$.
$S(4) = 6 + 192 - 64 = 134$.
अतः,कण $134$ इकाई की दूरी तय करने के बाद अपनी गति की दिशा बदलता है।

(C) गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 900 \ cm^3/sec$ और $r = 15 \ cm$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$900 = 4\pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$900 = 4\pi (225) \frac{dr}{dt}$.
$900 = 900\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{900}{900\pi} = \frac{1}{\pi} \ cm/sec$.
चूंकि $\pi \approx \frac{22}{7}$,इसलिए मान $\frac{7}{22} \ cm/sec$ है।

(C) दिया गया है कि गतिमान बिंदु के निर्देशांक $x = at$ और $y = b \sin(at)$ हैं।
सबसे पहले,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग के घटक ज्ञात करते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = a$
$v_y = \frac{dy}{dt} = ab \cos(at)$
अब,समय $t$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करके त्वरण के घटक ज्ञात करते हैं:
$a_x = \frac{d^2x}{dt^2} = 0$
$a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = -ab^2 \sin(at)$
चूंकि $y = b \sin(at)$,हम इसे $a_y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$a_y = -a^2(b \sin(at)) = -a^2y$
अतः,त्वरण सदिश $\vec{a} = (0, -a^2y)$ है।
यह दर्शाता है कि त्वरण $y$-अक्ष की दिशा में है और इसका परिमाण $x$-अक्ष से दूरी (जो $y$ का मान है) के अनुसार बदलता है।

(C) माना $P$ परिधि है और $A$ त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल है।
$P = 2\pi r$ और $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}$ और $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण से,$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi} \frac{dP}{dt}$ है।
इस मान को $\frac{dA}{dt}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \left( \frac{1}{2\pi} \frac{dP}{dt} \right) = r \frac{dP}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि परिधि के बढ़ने की दर $\frac{dP}{dt}$ स्थिर है,माना $\frac{dP}{dt} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
अतः $\frac{dA}{dt} = k \cdot r$ है।
इसलिए,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर त्रिज्या $r$ के समानुपाती होती है।

(B) पत्थर का विस्थापन समीकरण $s = 80t - 16t^2$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन $s$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(80t - 16t^2)$
$v = 80 - 32t$
अब,$t = 2$ सेकंड पर वेग की गणना करते हैं:
$v(2) = 80 - 32(2)$
$v(2) = 80 - 64$
$v(2) = 16 \, m/s$.
अतः,$2$ सेकंड बाद वेग $16 \, m/s$ है।

(A) कण द्वारा तय की गई दूरी $s = t + 6t^2 - t^3$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t + 6t^2 - t^3) = 1 + 12t - 3t^2$.
त्वरण $a$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का द्वितीय अवकलज है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 12t - 3t^2) = 12 - 6t$.
वह समय ज्ञात करने के लिए जब त्वरण शून्य हो,$a = 0$ रखें:
$12 - 6t = 0$
$6t = 12$
$t = 2 \text{ सेकंड}$.
अतः,$2$ सेकंड के बाद त्वरण शून्य होगा।

(C) पिंड द्वारा तय की गई दूरी $s = 3t^2 - 8t + 5$ है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$v = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 5) = 6t - 8$.
पिंड तब रुकता है जब उसका वेग शून्य हो जाता है,अर्थात $v = 0$.
$6t - 8 = 0$ रखने पर,हमें $6t = 8$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \, \text{सेकंड}$.
अतः,पिंड $4/3 \, \text{सेकंड}$ बाद रुक जाएगा।

(C) माना $y = \sqrt{x^2 + 16}$ और $z = \frac{x}{x - 1}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $z$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dz}{dx} = \frac{(x - 1)(1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
अब,$z$ के सापेक्ष $y$ के परिवर्तन की दर:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (-(x - 1)^2) = -\frac{x(x - 1)^2}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
$x = 3$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dz}\right)_{x=3} = -\frac{3(3 - 1)^2}{\sqrt{3^2 + 16}} = -\frac{3(4)}{\sqrt{9 + 16}} = -\frac{12}{\sqrt{25}} = -\frac{12}{5}$.

(C) गति का दिया गया समीकरण: $a + b{v^2} = {x^2}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(a + b{v^2}) = \frac{d}{dt}({x^2})$
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलज $0$ होगा। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$0 + b(2v \cdot \frac{dv}{dt}) = 2x \cdot \frac{dx}{dt}$
हम जानते हैं कि त्वरण $A = \frac{dv}{dt}$ और वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2bv \cdot A = 2xv$
यदि $v \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $2v$ से विभाजित करने पर:
$b \cdot A = x$
अतः,त्वरण $A = \frac{x}{b}$ है।

(C) कण की स्थिति $x = at^2 + bt + c$ द्वारा दी गई है।
वेग ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2 + bt + c) = 2at + b$.
त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2at + b) = 2a$.
चूंकि त्वरण $a_{acc} = 2a$ एक नियत मान है (जो समय $t$ पर निर्भर नहीं करता है),इसलिए कण एकसमान त्वरण के साथ गति कर रहा है।

(C) माना कि एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $x$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/sec$ और $x = 10 \, cm$ है।
इन मानों को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10 \sqrt{3} \, cm^2/sec$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $10 \sqrt{3} \, cm^2/sec$ है।

(C) माना गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष पृष्ठीय क्षेत्रफल का अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4\pi r^2) = 4\pi \times 2r \times \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ का मान रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \times 2 = 16\pi r$.
चूंकि $16\pi$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{dS}{dt} \propto r$ प्राप्त होता है।
अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $r$ के समानुपाती है।

(C) बिंदु एक-दूसरे से तब मिलते हैं जब उनके स्थान समान होते हैं:
$10 + 6t = 3 + t^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$t^2 - 6t - 7 = 0$
$(t - 7)(t + 1) = 0$
चूंकि समय $t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 7 \, sec$ है।
अब,समय $t$ के सापेक्ष स्थिति समीकरणों का अवकलन करके दोनों बिंदुओं का वेग ज्ञात करते हैं:
$v_1 = \frac{dx_1}{dt} = \frac{d}{dt}(10 + 6t) = 6 \, cm/sec$
$v_2 = \frac{dx_2}{dt} = \frac{d}{dt}(3 + t^2) = 2t$
$t = 7 \, sec$ पर,दूसरे बिंदु का वेग:
$v_2 = 2 \times 7 = 14 \, cm/sec$
उनके एक-दूसरे से दूर जाने की सापेक्ष गति उनके वेगों का अंतर है:
$|v_2 - v_1| = |14 - 6| = 8 \, cm/sec$.

(A) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 30 \, ft^3/min$ है और त्रिज्या $r = 15 \, ft$ है।
गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $30 = 4 \times \pi \times (15)^2 \times \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{30}{4 \times \pi \times 225} = \frac{30}{900\pi} = \frac{1}{30\pi} \, ft/min$.

(C) दिया गया विस्थापन फलन $s = t^3 - 3t^2$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$.
त्वरण को शून्य के बराबर रखने पर समय $t$ प्राप्त होता है: $6t - 6 = 0 \implies t = 1 \text{ सेकंड}$.
अब,उस क्षण पर वेग ज्ञात करने के लिए वेग समीकरण में $t = 1$ रखने पर:
$v = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \text{ m/s}$.

(A) दिया गया विस्थापन $s = \sqrt{t} = t^{1/2}$ है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{1}{2} t^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$.
इससे,हम $\sqrt{t}$ को $v$ के पदों में लिख सकते हैं:
$\sqrt{t} = \frac{1}{2v}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{1}{4v^2}$.
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} t^{-1/2}) = \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) t^{-3/2} = -\frac{1}{4} t^{-3/2}$.
अब $t = \frac{1}{4v^2}$ को $a$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = -\frac{1}{4} (\frac{1}{4v^2})^{-3/2} = -\frac{1}{4} (4v^2)^{3/2} = -\frac{1}{4} (8v^3) = -2v^3$.
अतः,त्वरण का परिमाण वेग के घन (cube) के समानुपाती है,अर्थात $a \propto v^3$.

(D) माना बर्फ की परत की मोटाई $x$ है। बर्फ सहित गोले की त्रिज्या $r = (10 + x) \, cm$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि बर्फ $50 \, cm^3/min$ की दर से पिघलती है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$ (क्योंकि आयतन घट रहा है)।
$x = 5$ और $\frac{dV}{dt} = -50$ को समीकरण में रखने पर:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
अतः,बर्फ की मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ है।