Tangent and Normal Questions in Hindi

(N/A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=7x^3+11$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 21x^2$.
किसी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(x_0, y_0)}$ द्वारा दी जाती है।
$x=2$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल:
$m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 21(2)^2 = 21 \times 4 = 84$.
$x=-2$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल:
$m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=-2} = 21(-2)^2 = 21 \times 4 = 84$.
चूँकि $x=2$ और $x=-2$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल समान $(m_1 = m_2 = 84)$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएँ समांतर हैं।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^{3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ प्राप्त होता है।
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल बिंदु के $y$-निर्देशांक के बराबर है,इसलिए $3x^{2} = y$ है।
चूंकि बिंदु $(x, y)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $y = x^{3}$ है।
$y$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $x^{3} = 3x^{2}$ प्राप्त होता है।
$x^{3} - 3x^{2} = 0$.
$x^{2}(x - 3) = 0$.
इससे $x = 0$ या $x = 3$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$ है,तो $y = (0)^{3} = 0$ है। अतः,बिंदु $(0, 0)$ है।
यदि $x = 3$ है,तो $y = (3)^{3} = 27$ है। अतः,बिंदु $(3, 27)$ है।
इस प्रकार,अभीष्ट बिंदु $(0, 0)$ और $(3, 27)$ हैं।

(A) वक्र का समीकरण $y=4x^{3}-2x^{5}$ है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 12x^{2}-10x^{4}$ द्वारा दी जाती है।
$(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y = (12x^{2}-10x^{4})(X-x)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है,हम $X=0$ और $Y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$-y = (12x^{2}-10x^{4})(-x)$
$y = 12x^{3}-10x^{5}$.
इसे मूल वक्र समीकरण $y=4x^{3}-2x^{5}$ के बराबर रखने पर:
$12x^{3}-10x^{5} = 4x^{3}-2x^{5}$
$8x^{3}-8x^{5} = 0$
$8x^{3}(1-x^{2}) = 0$.
इससे $x=0$ या $x^{2}=1$ प्राप्त होता है,अर्थात $x=0, 1, -1$.
$x=0$ के लिए,$y=4(0)^{3}-2(0)^{5} = 0$.
$x=1$ के लिए,$y=4(1)^{3}-2(1)^{5} = 2$.
$x=-1$ के लिए,$y=4(-1)^{3}-2(-1)^{5} = -2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0,0), (1,2)$ और $(-1,-2)$ हैं।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $a y^{2}=x^{3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 a y \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 a y}$.
बिंदु $(a m^{2}, a m^{3})$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
$m_{t} = \left. \frac{d y}{d x} \right|_{(a m^{2}, a m^{3})} = \frac{3(a m^{2})^{2}}{2 a(a m^{3})} = \frac{3 a^{2} m^{4}}{2 a^{2} m^{3}} = \frac{3 m}{2}$.
बिंदु $(a m^{2}, a m^{3})$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{2}{3 m}$ है।
अतः,अभिलंब का समीकरण:
$y - a m^{3} = -\frac{2}{3 m}(x - a m^{2})$
$3 m y - 3 a m^{4} = -2 x + 2 a m^{2}$
$2 x + 3 m y - a m^{2}(2 + 3 m^{2}) = 0$.

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^{3}+2x+6$ है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}+2$ है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{3x^{2}+2}$ है।
दी गई रेखा का समीकरण $x+14y+4=0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{14}x - \frac{4}{14}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $-\frac{1}{14}$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{1}{3x^{2}+2} = -\frac{1}{14} \Rightarrow 3x^{2}+2 = 14 \Rightarrow 3x^{2} = 12 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x=2$ के लिए,$y = (2)^{3} + 2(2) + 6 = 8 + 4 + 6 = 18$. बिंदु $(2, 18)$ है।
$x=-2$ के लिए,$y = (-2)^{3} + 2(-2) + 6 = -8 - 4 + 6 = -6$. बिंदु $(-2, -6)$ है।
बिंदु $(2, 18)$ और ढाल $-\frac{1}{14}$ वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - 18 = -\frac{1}{14}(x - 2) \Rightarrow 14y - 252 = -x + 2 \Rightarrow x + 14y - 254 = 0$.
बिंदु $(-2, -6)$ और ढाल $-\frac{1}{14}$ वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - (-6) = -\frac{1}{14}(x - (-2)) \Rightarrow y + 6 = -\frac{1}{14}(x + 2) \Rightarrow 14y + 84 = -x - 2 \Rightarrow x + 14y + 86 = 0$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $x+14y-254=0$ और $x+14y+86=0$ हैं।

(N/A) दिए गए वक्रों के समीकरण $x=y^{2}$ और $xy=k$ हैं।
$xy=k$ में $x=y^{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{2} \cdot y = k \Rightarrow y^{3} = k \Rightarrow y = k^{1/3}$.
अतः,$x = (k^{1/3})^{2} = k^{2/3}$.
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ है।
$x=y^{2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर $x=y^{2}$ के स्पर्शरेखा की ढाल $(m_{1})$ $m_{1} = \frac{1}{2k^{1/3}}$ है।
$xy=k$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर $xy=k$ के स्पर्शरेखा की ढाल $(m_{2})$ $m_{2} = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}} = -\frac{1}{k^{1/3}}$ है।
दो वक्र समकोण पर काटते हैं यदि उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ हो:
$m_{1} \cdot m_{2} = -1$
$\left(\frac{1}{2k^{1/3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{k^{1/3}}\right) = -1$
$-\frac{1}{2k^{2/3}} = -1$
$2k^{2/3} = 1$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2k^{2/3})^{3} = 1^{3} \Rightarrow 8k^{2} = 1$.
अतः,वक्र समकोण पर काटते हैं यदि $8k^{2}=1$ है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=\sqrt{3x-2}$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखा का समीकरण $4x-2y+5=0$ है,जिसे $y=2x+\frac{5}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m=2$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$\frac{3}{2\sqrt{3x-2}} = 2$
$\Rightarrow \sqrt{3x-2} = \frac{3}{4}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3x-2 = \frac{9}{16}$ प्राप्त होता है।
$3x = \frac{9}{16} + 2 = \frac{41}{16}$
$x = \frac{41}{48}$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करें: $y = \sqrt{3(\frac{41}{48}) - 2} = \sqrt{\frac{41}{16} - 2} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
स्पर्श बिंदु $(\frac{41}{48}, \frac{3}{4})$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - \frac{3}{4} = 2(x - \frac{41}{48})$ है।
$y - \frac{3}{4} = 2x - \frac{41}{24}$.
$24$ से गुणा करने पर: $24y - 18 = 48x - 41$.
$48x - 24y = 41 - 18 = 23$.
अतः,समीकरण $48x-24y=23$ है।

(D) दिए गए वक्र का समीकरण $y=2x^{2}+3\sin x$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करके वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^{2}+3\sin x) = 4x + 3\cos x$.
$x=0$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 4(0) + 3\cos(0) = 0 + 3(1) = 3$.
अभिलंब की प्रवणता,स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$\text{अभिलंब की प्रवणता} = -\frac{1}{\text{स्पर्श रेखा की प्रवणता}} = -\frac{1}{3}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = \cos(x + y)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y)(1 + \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$ प्राप्त होता है।
रेखा $x + 2y = 0$ की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएं दी गई रेखा के समांतर हैं,इसलिए $\frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y)$,अतः $\sin(x + y) = 1$ है।
इस प्रकार,$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
तब $y = \cos(x + y) = \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$ है।
$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ में $y = 0$ रखने पर,$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ के लिए,$x$ के संभावित मान $x = \frac{\pi}{2}$ ($n=0$ के लिए) और $x = -\frac{3\pi}{2}$ ($n=-1$ के लिए) हैं।
स्पर्श बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ और $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ हैं।
$(\frac{\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y - \pi = 0$ है।
$(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{2}(x + \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y + 3\pi = 0$ है।

(A) दिए गए वक्र के समीकरण: $x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta$ और $y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta$.
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta + a \sin \theta + a \theta \cos \theta = a \theta \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta - a \cos \theta + a \theta \sin \theta = a \theta \sin \theta$
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$.
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण $(Y - y) = -\cot \theta (X - x)$ है:
$Y - (a \sin \theta - a \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (X - (a \cos \theta + a \theta \sin \theta))$
$Y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -X \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$
$X \cos \theta + Y \sin \theta = a(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a$
$X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|0 \cdot \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta - a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{|-a|}{\sqrt{1}} = |a|$.
चूंकि $|a|$ एक अचर है,इसलिए अभिलंब की मूल बिंदु से दूरी अचर है।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण $2y + x^{2} = 3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 \frac{dy}{dx} + 2x = 0$
$\frac{dy}{dx} = -x$
बिंदु $(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,1)} = -1$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_{normal} = \frac{-1}{\text{स्पर्श रेखा की प्रवणता}} = \frac{-1}{-1} = 1$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_{1} = m_{normal}(x - x_{1})$ है:
$y - 1 = 1(x - 1)$
$y - 1 = x - 1$
$x - y = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिए गए वक्र का समीकरण $9y^{2} = x^{3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$9(2y) \frac{dy}{dx} = 3x^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{6y}$.
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(x_{1}, y_{1})}} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}$ है।
$(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_{1} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}(x - x_{1})$ है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में बदलने पर:
$x_{1}^{2}y - x_{1}^{2}y_{1} = -6y_{1}x + 6x_{1}y_{1} \Rightarrow 6y_{1}x + x_{1}^{2}y = y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})$.
चूँकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,अभिलंब की प्रवणता $-1$ होनी चाहिए।
अतः,$-\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}} = -1 \Rightarrow x_{1}^{2} = 6y_{1}$.
$y_{1} = \frac{x_{1}^{2}}{6}$ को वक्र के समीकरण $9y_{1}^{2} = x_{1}^{3}$ में रखने पर:
$9 \left( \frac{x_{1}^{2}}{6} \right)^{2} = x_{1}^{3} \Rightarrow 9 \cdot \frac{x_{1}^{4}}{36} = x_{1}^{3} \Rightarrow \frac{x_{1}^{4}}{4} = x_{1}^{3}$.
चूँकि $x_{1} \neq 0$,इसलिए $x_{1} = 4$.
अतः $y_{1}^{2} = \frac{4^{3}}{9} = \frac{64}{9} \Rightarrow y_{1} = \pm \frac{8}{3}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( 4, \pm \frac{8}{3} \right)$ हैं।

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=x$ और $x^{2}=y$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,$y=x^{2}$ को $y^{2}=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(x^{2})^{2}=x \Rightarrow x^{4}-x=0$ प्राप्त होता है।
$x(x^{3}-1)=0$,इसलिए $x=0$ या $x=1$ है।
$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=1$ के लिए $y=1$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
$y^{2}=x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx}=1$,इसलिए $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}$ प्राप्त होता है।
$x^{2}=y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx}=2x$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0,0)$ पर,$y^{2}=x$ की ढाल अपरिभाषित (ऊर्ध्वाधर) है और $x^{2}=y$ की ढाल $0$ (क्षैतिज) है। अतः,प्रतिच्छेदन कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,$y^{2}=x$ की ढाल $m_{1} = \frac{1}{2(1)}=\frac{1}{2}$ और $x^{2}=y$ की ढाल $m_{2} = 2(1)=2$ है।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{2-1/2}{1+(2)(1/2)}| = |\frac{3/2}{2}| = \frac{3}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$ है।
प्रतिच्छेदन कोण $\frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(\frac{3}{4})$ हैं।

(A) मान लीजिए कि वक्र $(x_{1}, y_{1})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{b^{2}x}{a^{2}y}$।
$(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_{1} = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$ है।
वक्र $xy=c^{2}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $x\frac{dy}{dx}+y=0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
$(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_{2} = -\frac{y_{1}}{x_{1}}$ है।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,$m_{1} \times m_{2} = -1$ होना चाहिए।
ढालों का मान रखने पर,$\left(\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}\right) \times \left(-\frac{y_{1}}{x_{1}}\right) = -1$।
इसे सरल करने पर $-\frac{b^{2}}{a^{2}} = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^{2} = b^{2}$ या $a^{2}-b^{2}=0$।

(A) दिया गया वक्र $y = \cos(x+y)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$।
चूंकि स्पर्श रेखा $x+2y=0$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
अवकलज को ढाल के बराबर रखने पर: $-\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y) \Rightarrow \sin(x+y) = 1$।
चूंकि $\sin(x+y) = 1$,इसलिए $\cos(x+y) = 0$ होगा। $y = \cos(x+y)$ दिया गया है,अतः $y = 0$ प्राप्त होता है।
$y=0$ को मूल समीकरण में रखने पर: $0 = \cos(x+0) \Rightarrow \cos(x) = 0$।
$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ के लिए,हल $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}$ हैं।
$\sin(x+y) = 1$ की जाँच करने पर: $x = \frac{\pi}{2}, y=0$ के लिए,$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (मान्य)। $x = -\frac{3\pi}{2}, y=0$ के लिए,$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ (मान्य)। अन्य बिंदु अमान्य हैं।
स्पर्श बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ और $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ हैं।
$(\frac{\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y - \pi = 0$।
$(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x + \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y + 3\pi = 0$।

(N/A) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं:
$x = 3 \cos \theta - \cos^3 \theta$
$y = 3 \sin \theta - \sin^3 \theta$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -3 \sin \theta + 3 \cos^2 \theta \sin \theta = -3 \sin \theta (1 - \cos^2 \theta) = -3 \sin^3 \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \cos \theta - 3 \sin^2 \theta \cos \theta = 3 \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) = 3 \cos^3 \theta$
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \cos^3 \theta}{-3 \sin^3 \theta} = -\cot^3 \theta$
अभिलंब की ढाल:
$m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}$
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - (3 \sin \theta - \sin^3 \theta) = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta} (x - (3 \cos \theta - \cos^3 \theta))$
$\cos^3 \theta$ से गुणा करने पर:
$y \cos^3 \theta - 3 \sin \theta \cos^3 \theta + \sin^3 \theta \cos^3 \theta = x \sin^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta + \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
सरल करने पर:
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = 3 \sin \theta \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta$
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ और $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = \frac{3}{2} \sin 2\theta \cos 2\theta = \frac{3}{4} \sin 4\theta$
अतः,$4(y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta) = 3 \sin 4\theta$।

(A) वक्र का समीकरण $y = b \cdot e^{-x / a}$ दिया गया है।
जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है,उस बिंदु को ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
वक्र के समीकरण में $x = 0$ रखने पर,हमें $y = b \cdot e^{0} = b \cdot 1 = b$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, b)$ है।
अब,$(0, b)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x / a} \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{b}{a} e^{-x / a}$.
बिंदु $(0, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^{0} = -\frac{b}{a}$ है।
अब,दी गई रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ की ढाल ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण को $y = mx + c$ रूप में लिखने पर,$\frac{y}{b} = -\frac{x}{a} + 1$,जिसका अर्थ है $y = -\frac{b}{a}x + b$।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{b}{a}$ है।
चूँकि वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल और रेखा की ढाल समान है,और बिंदु $(0, b)$ वक्र और रेखा दोनों पर स्थित है,इसलिए रेखा वक्र को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जहाँ वह $y$-अक्ष को काटती है।

(D) वक्र का दिया गया समीकरण $3x^{2}-y^{2}=8$ $(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{2y} = \frac{3x}{y}$।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_{1} = \frac{3x}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{y}{3x}$ $(ii)$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा $x+3y=4$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
रेखा $x+3y=4$ के लिए,$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$,अतः ढाल $m_{3} = -\frac{1}{3}$ है।
$m_{2} = m_{3}$ रखने पर,हमें $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$ $(iii)$ प्राप्त होता है।
$y=x$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3x^{2} - x^{2} = 8 \Rightarrow 2x^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x=2$,तो $y=2$। यदि $x=-2$,तो $y=-2$। बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ हैं।
इन बिंदुओं पर अभिलंब की ढाल $m_{2} = -\frac{y}{3x} = -\frac{2}{3(2)} = -\frac{1}{3}$ है।
$(2, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y = 8$ है।
$(-2, -2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y = -8$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x + 3y = \pm 8$ हैं।

(B) दिया गया वक्र $y(x)=\int_{0}^{x}(2t^{2}-15t+10)dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$x=a$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $y'(a) = 2a^{2}-15a+10$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{y'(a)} = -\frac{1}{2a^{2}-15a+10}$ है।
दी गई रेखा $x+3y=-5$ है,जिसे $y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $-\frac{1}{3}$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होगी:
$-\frac{1}{2a^{2}-15a+10} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2a^{2}-15a+10 = 3$.
$2a^{2}-15a+7 = 0 \Rightarrow (2a-1)(a-7) = 0$.
चूंकि $a>1$,इसलिए $a=7$ होगा।
अब,$b = y(7) = \int_{0}^{7}(2t^{2}-15t+10)dt = [\frac{2}{3}t^{3} - \frac{15}{2}t^{2} + 10t]_{0}^{7}$ की गणना करें।
$b = \frac{2}{3}(343) - \frac{15}{2}(49) + 10(7) = \frac{686}{3} - \frac{735}{2} + 70 = \frac{1372 - 2205 + 420}{6} = -\frac{413}{6}$.
अतः,$6b = -413$.
$|a+6b| = |7 - 413| = |-406| = 406$.

(D) दिए गए वक्रों के समीकरण $2x = y^2 \dots(i)$ और $2xy = k \dots(ii)$ हैं।
$(ii)$ से,$y = \frac{k}{2x}$। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$2x = (\frac{k}{2x})^2 \Rightarrow 2x = \frac{k^2}{4x^2} \Rightarrow 8x^3 = k^2 \Rightarrow x = \frac{k^{2/3}}{2}$।
अतः $y^2 = 2x = k^{2/3} \Rightarrow y = k^{1/3}$।
प्रतिच्छेद बिंदु $(\frac{k^{2/3}}{2}, k^{1/3})$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$। मान लीजिए $m_1 = \frac{1}{k^{1/3}}$।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y + 2x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
प्रतिच्छेद बिंदु पर,$m_2 = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}/2} = -\frac{2}{k^{1/3}}$।
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \cdot m_2 = -1$।
$\frac{1}{k^{1/3}} \cdot (-\frac{2}{k^{1/3}}) = -1 \Rightarrow -\frac{2}{k^{2/3}} = -1 \Rightarrow k^{2/3} = 2$।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$k^2 = 8$।

(A) दिए गए वक्रों के समीकरण $xy=4 \dots (i)$ और $x^{2}+y^{2}=8 \dots (ii)$ हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. मान लीजिए कि यह ढाल $m_{1} = -\frac{y}{x}$ है।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. मान लीजिए कि यह ढाल $m_{2} = -\frac{x}{y}$ है।
वक्रों के स्पर्श करने के लिए,उन्हें प्रतिच्छेद करना चाहिए और प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी ढाल समान होनी चाहिए। $m_{1} = m_{2}$ रखने पर,$-\frac{y}{x} = -\frac{x}{y} \Rightarrow y^{2} = x^{2}$ प्राप्त होता है।
$x^{2} = y^{2}$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $y^{2} + y^{2} = 8 \Rightarrow 2y^{2} = 8 \Rightarrow y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
यदि $y = 2$,तो $x = \frac{4}{2} = 2$. यदि $y = -2$,तो $x = \frac{4}{-2} = -2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ हैं।
बिंदु $(2, 2)$ पर: $m_{1} = -\frac{2}{2} = -1$ और $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$. चूंकि $m_{1} = m_{2}$,वक्र $(2, 2)$ पर स्पर्श करते हैं।
बिंदु $(-2, -2)$ पर: $m_{1} = -\frac{-2}{-2} = -1$ और $m_{2} = -\frac{-2}{-2} = -1$. चूंकि $m_{1} = m_{2}$,वक्र $(-2, -2)$ पर स्पर्श करते हैं।
अतः,वक्र एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$ $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$
चूंकि स्पर्श रेखा अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए। अतः,$\frac{dy}{dx} = \pm 1$.
स्थिति $1$: $-\sqrt{\frac{y}{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{x}} = -1$ (संभव नहीं है क्योंकि वर्गमूल ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
स्थिति $2$: $-\sqrt{\frac{y}{x}} = -1 \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{x}} = 1 \Rightarrow y = x$.
समीकरण $(i)$ में $y = x$ रखने पर:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} = 4$
$2\sqrt{x} = 4$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4$.
चूंकि $y = x$,इसलिए $y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट निर्देशांक $(4, 4)$ हैं।

(A) दिए गए वक्र $y=4-x^{2} \dots(i)$ और $y=x^{2} \dots(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों की तुलना करें: $x^{2} = 4 - x^{2} \Rightarrow 2x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.
$x = \pm\sqrt{2}$ के लिए,$y = 2$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{2}, 2)$ और $(-\sqrt{2}, 2)$ हैं।
अब,इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें।
वक्र $(i)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = -2x$. $x = \sqrt{2}$ पर,$m_{1} = -2\sqrt{2}$.
वक्र $(ii)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x = \sqrt{2}$ पर,$m_{2} = 2\sqrt{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{1 + (-2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{1 - 8} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{-7} \right| = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{2}}{7}\right)$.

(C) $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ और $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता $m = \frac{2 - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ है।
चूंकि बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा इस रेखा के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की प्रवणता $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(a, b)} = 1$ होगी।
वक्र $y = x + \sin y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 + \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a, b)$ और प्रवणता $1$ रखने पर,$1 = 1 + \cos b \cdot (1)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\cos b = 0$,जिसका मतलब है $\sin b = \pm 1$।
चूंकि $(a, b)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $b = a + \sin b$ होगा।
अतः,$b - a = \sin b$।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|b - a| = |\sin b| = 1$ प्राप्त होता है।

(D) वक्र $y=x^{2}+7x+2$ पर स्थित बिंदु $P$ जो रेखा $y=3x-3$ के सबसे निकट है,वह बिंदु है जहाँ वक्र की स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।
$1$. वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}+7x+2) = 2x+7$
$2$. चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा $y=3x-3$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल रेखा की ढाल के बराबर यानी $3$ होनी चाहिए:
$2x+7 = 3$
$2x = -4$
$x = -2$
$3$. $x=-2$ को वक्र के समीकरण में रखकर $P$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = (-2)^{2} + 7(-2) + 2 = 4 - 14 + 2 = -8$
अतः,बिंदु $P$ $(-2, -8)$ है।
$4$. $P$ पर अभिलंब,स्पर्श रेखा के लंबवत होता है। स्पर्श रेखा की ढाल $3$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{3}$ होगी।
$5$. $P(-2, -8)$ से गुजरने वाले और $-\frac{1}{3}$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - (-8) = -\frac{1}{3}(x - (-2))$
$y + 8 = -\frac{1}{3}(x + 2)$
$3(y + 8) = -(x + 2)$
$3y + 24 = -x - 2$
$x + 3y + 26 = 0$

(B) वक्र $y=e^{x}$ के लिए,बिंदु $(c, e^{c})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = e^{x} \implies m_{t} = e^{c}$ है।
बिंदु $(c, e^{c})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - e^{c} = e^{c}(x - c)$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y=0$ रखने पर: $-e^{c} = e^{c}(x - c) \implies -1 = x - c \implies x = c - 1$।
परवलय $y^{2}=4x$ के लिए,अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2}{2} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_{n} = -\frac{1}{m} = -1$ होगी।
बिंदु $(1,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -1(x - 1) \implies y - 2 = -x + 1 \implies x + y = 3$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y=0$ रखने पर: $x = 3$।
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु समान हैं,इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $c - 1 = 3 \implies c = 4$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $x^{4} e^{y}+2 \sqrt{y+1}=3$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x^{4} e^{y} y^{\prime} + 4x^{3} e^{y} + \frac{2 y^{\prime}}{2 \sqrt{y+1}} = 0$.
बिंदु $P(1,0)$ पर,$x=1$ और $y=0$ रखने पर:
$(1)^{4} e^{0} y^{\prime} + 4(1)^{3} e^{0} + \frac{y^{\prime}}{\sqrt{0+1}} = 0$.
$y^{\prime} + 4 + y^{\prime} = 0$.
$2y^{\prime} = -4$,जिससे $y^{\prime} = -2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(1,0)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण जिसका ढाल $m = -2$ है:
$y - 0 = -2(x - 1)$.
$y = -2x + 2$,या $2x + y = 2$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(-2, 6)$ के लिए,$2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.
अतः,बिंदु $(-2, 6)$ स्पर्शरेखा पर स्थित है।

(D) वक्र का समीकरण $y = x^{2}-3x+2$ है।
जहाँ वक्र $x$-अक्ष को काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $y = 0$ रखते हैं:
$x^{2}-3x+2 = 0$
$(x-1)(x-2) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 0)$ और $B(2, 0)$ हैं।
वक्र की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $A(1, 0)$ पर,ढाल $m_1 = 2(1) - 3 = -1$ है।
बिंदु $B(2, 0)$ पर,ढाल $m_2 = 2(2) - 3 = 1$ है।
रेखा $x+y=a$ की ढाल $-1$ है। चूँकि यह वक्र को $A(1, 0)$ पर स्पर्श करती है,हम बिंदुओं के निर्देशांक को रेखा के समीकरण में रखते हैं:
$1 + 0 = a \implies a = 1$.
रेखा $x-y=b$ की ढाल $1$ है। चूँकि यह वक्र को $B(2, 0)$ पर स्पर्श करती है,हम बिंदुओं के निर्देशांक को रेखा के समीकरण में रखते हैं:
$2 - 0 = b \implies b = 2$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{1}{2} = 0.50$.

(C) बिंदुओं $(1, 0)$ और $(e, e)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m = \frac{e - 0}{e - 1} = \frac{e}{e - 1}$ है।
फलन $f(x) = x \log_{e} x$ का अवकलज $f'(x) = \log_{e} x + 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखाखंड के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $f'(c) = m$ होनी चाहिए:
$f'(c) = \log_{e} c + 1 = \frac{e}{e - 1}$.
$\log_{e} c$ के लिए हल करने पर:
$\log_{e} c = \frac{e}{e - 1} - 1 = \frac{e - (e - 1)}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$.
अतः,$c = e^{\frac{1}{e - 1}}$।

(A) वक्र $y=x^{3}$ के लिए $P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ है।
$x=t$ पर ढाल $3t^{2}$ है।
$P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$ है।
$y=x^{3}$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x^{3}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$x^{3} - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$.
$(x - t)(x^{2} + xt + t^{2}) = 3t^{2}(x - t)$.
चूंकि बिंदु $Q$ के लिए $x \neq t$,इसलिए $x^{2} + xt + t^{2} = 3t^{2}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^{2} + xt - 2t^{2} = 0$ मिलता है।
गुणनखंड करने पर $(x - t)(x + 2t) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2t$ है।
$Q$ के निर्देशांक $(-2t, -8t^{3})$ हैं।
$PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का कोटि (ordinate) विभाजन सूत्र द्वारा:
$y = \frac{1 \times (-8t^{3}) + 2 \times (t^{3})}{1 + 2} = \frac{-8t^{3} + 2t^{3}}{3} = \frac{-6t^{3}}{3} = -2t^{3}$.

(C) दिया गया वक्र $y = ax^{2} + bx + c$ है।
चूँकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $0 = a(0)^{2} + b(0) + c$,जिससे $c = 0$ प्राप्त होता है।
वक्र का अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा $y = x$ है,जिसकी ढाल $1$ है।
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0,0)} = 2a(0) + b = 1$,जिससे $b = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,समीकरण में $x = 1, y = 2, b = 1, c = 0$ रखने पर: $2 = a(1)^{2} + 1(1) + 0$.
इसे सरल करने पर $2 = a + 1$,अतः $a = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a = 1, b = 1, c = 0$ संभावित मान हैं।

(C) दिए गए वक्र $x=y^{4}$ और $xy=k$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$x=y^{4}$ को $xy=k$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{4} \cdot y = k \Rightarrow y^{5} = k \ldots(1)$.
अब,$x=y^{4}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 = 4y^{3} \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y^{3}}$.
इसके बाद,$xy=k$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
चूंकि $x = \frac{k}{y}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{k/y} = -\frac{y^{2}}{k}$.
चूंकि वक्र समकोण पर काटते हैं,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{1}{4y^{3}}\right) \cdot \left(-\frac{y^{2}}{k}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{1}{4yk} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{4k}$.
$y = \frac{1}{4k}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\left(\frac{1}{4k}\right)^{5} = k$.
$\Rightarrow \frac{1}{(4k)^{5}} = k$.
$\Rightarrow (4k)^{6} = 4$.

(D) दिया गया वक्र $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 6x$ है।
अतः,$(x_{1}, y_{1})$ पर ढाल $m = 3x_{1}^{2} + 6x_{1}$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(x - x_{1})$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए:
$0 - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(0 - x_{1})$
$-y_{1} = -3x_{1}^{3} - 6x_{1}^{2} \implies y_{1} = 3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} \quad (1)$.
चूंकि $(x_{1}, y_{1})$ वक्र $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ पर स्थित है:
$y_{1} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5 \quad (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5$
$2x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} - 5 = 0$.
यहाँ $x_{1} = 1$ एक हल है।
अतः,$y_{1} = 3(1)^{3} + 6(1)^{2} = 9$.
इस प्रकार,बिंदु $(1, 9)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{1}{3} - (9)^{2} = \frac{1}{3} - 81 \neq 2$.
इसलिए,$(1, 9)$ वक्र $\frac{x}{3} - y^{2} = 2$ पर स्थित नहीं है।

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = 12(t + \sin t \cos t)$ और $y = 12(1 + \sin t)^2$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 12(1 + \cos^2 t - \sin^2 t) = 12(1 + \cos 2t) = 12(2 \cos^2 t) = 24 \cos^2 t$.
$\frac{dy}{dt} = 12 \times 2(1 + \sin t) \cos t = 24(1 + \sin t) \cos t$.
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24(1 + \sin t) \cos t}{24 \cos^2 t} = \frac{1 + \sin t}{\cos t}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।
अतः,$\frac{1 + \sin t}{\cos t} = \sqrt{3} \Rightarrow 1 + \sin t = \sqrt{3} \cos t$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2} \sin t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos t = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(t + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 < t < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{3} < t + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ है।
अतः,$t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$.
अब,$y$ के समीकरण में $t = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$y_{0} = 12(1 + \sin(\frac{\pi}{6}))^2 = 12(1 + \frac{1}{2})^2 = 12(\frac{3}{2})^2 = 12 \times \frac{9}{4} = 27$.

(D) वक्र का समीकरण दिया गया है: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$n \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$।
बिंदु $(a, b)$ पर,$\frac{x}{a} = 1$ और $\frac{y}{b} = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$।
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है।
$y - b = -\frac{b}{a}x + b \implies \frac{b}{a}x + y = 2b$।
$b$ से भाग देने पर: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$।
यह समीकरण $n$ से स्वतंत्र है और सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
अतः,$S = N$।

(A) वक्र $y=2x^2+x+2$ के किसी भी बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 4x+1$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(h, k)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 4h+1$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब रेखा $\ell$ की ढाल $m_n = -\frac{1}{4h+1}$ है।
बिंदु $P(h, k)$ से गुजरने वाली अभिलंब रेखा $\ell$ का समीकरण $y-k = -\frac{1}{4h+1}(x-h)$ है।
चूंकि $Q(6, 4)$ रेखा $\ell$ पर स्थित है,इसलिए $4-k = -\frac{1}{4h+1}(6-h)$ है।
$k = 2h^2+h+2$ प्रतिस्थापित करने पर,$4-(2h^2+h+2) = -\frac{6-h}{4h+1}$ प्राप्त होता है।
$(2-h-2h^2)(4h+1) = h-6$.
$8h+2-4h^2-h-8h^3-2h^2 = h-6$.
$-8h^3-6h^2+7h+2 = h-6$.
$8h^3+6h^2-6h-8 = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर,$4h^3+3h^2-3h-4 = 0$.
$(h-1)(4h^2+7h+4) = 0$.
चूंकि $4h^2+7h+4$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है (विविक्तकर $D = 49-64 < 0$),इसलिए $h=1$ है।
तब $k = 2(1)^2+1+2 = 5$ है। अतः $P$ बिंदु $(1, 5)$ है।
शीर्षों $O(0, 0)$,$P(1, 5)$,और $Q(6, 4)$ वाले $\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(5-4) + 1(4-0) + 6(0-5)| = \frac{1}{2} |4 - 30| = \frac{1}{2} |-26| = 13$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $4x^{3}-3xy^{2}+6x^{2}-5xy-8y^{2}+9x+14=0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$12x^{2} - 3y^{2} - 6xyy' + 12x - 5y - 5xy' - 16yy' + 9 = 0$.
बिंदु $(-2, 3)$ रखने पर:
$12(-2)^{2} - 3(3)^{2} - 6(-2)(3)y' + 12(-2) - 5(3) - 5(-2)y' - 16(3)y' + 9 = 0$.
$48 - 27 + 36y' - 24 - 15 + 10y' - 48y' + 9 = 0$.
$-9 - 2y' = 0 \implies y' = -\frac{9}{2}$.
स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T} = -\frac{9}{2}$,अभिलंब की ढाल $m_{N} = \frac{2}{9}$.
स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - 3 = -\frac{9}{2}(x + 2) \implies y = -\frac{9}{2}x - 6$. $y=0$ के लिए,$x = -\frac{4}{3}$.
अभिलंब का समीकरण: $y - 3 = \frac{2}{9}(x + 2) \implies y = \frac{2}{9}x + \frac{31}{9}$. $y=0$ के लिए,$x = -\frac{31}{2}$.
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times |x_{T} - x_{N}| \times |y_{P}| = \frac{1}{2} \times |-\frac{4}{3} - (-\frac{31}{2})| \times 3 = \frac{3}{2} \times |-\frac{8}{6} + \frac{93}{6}| = \frac{3}{2} \times \frac{85}{6} = \frac{85}{4}$.
$8A = 8 \times \frac{85}{4} = 170$.

(C) दिया गया है कि $A_{1} = 2A_{2}$ है।
ग्राफ से,$(x, y)$ निर्देशांकों द्वारा निर्मित आयत का कुल क्षेत्रफल $A_{1} + A_{2} = xy - (4 \times 2) = xy - 8$ है।
चूंकि $A_{1} = 2A_{2}$ है,हमारे पास $A_{1} + \frac{1}{2}A_{1} = xy - 8$ है,जिसका अर्थ है $\frac{3}{2}A_{1} = xy - 8$,इसलिए $A_{1} = \frac{2}{3}xy - \frac{16}{3}$।
साथ ही,$A_{1} = \int_{4}^{x} y \, dx$ है। लीबनिज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y = \frac{2}{3}(y + x \frac{dy}{dx}) \implies 3y = 2y + 2x \frac{dy}{dx} \implies y = 2x \frac{dy}{dx}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{2x} \implies \ln y = \frac{1}{2} \ln x + C \implies y^2 = cx$।
चूंकि वक्र $(4, 2)$ से होकर गुजरता है,$2^2 = c(4) \implies c = 1$। अतः,$y^2 = x$।
रेखा $2x - 12y = 15$ है,या $y = \frac{1}{6}x - \frac{15}{12}$। इसका ढाल $m = \frac{1}{6}$ है।
अभिलंब इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसका ढाल $m_n = -6$ है।
$y^2 = x$ के लिए,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{m_n} = \frac{1}{6}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2y} = \frac{1}{6} \implies y = 3$ प्राप्त होता है। चूंकि $y^2 = x$ है,$x = 9$।
स्पर्श बिंदु $(9, 3)$ है। अभिलंब का समीकरण $y - 3 = -6(x - 9) \implies y = -6x + 57$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(10, 4)$ के लिए,$4 = -6(10) + 57 = -3$,जो गलत है। अतः,अभिलंब $(10, 4)$ से होकर नहीं गुजरता है।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^{5}-9xy+2x=0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$5y^{4}\frac{dy}{dx} - 9(y + x\frac{dy}{dx}) + 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx}(5y^{4} - 9x) = 9y - 2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 2}{5y^{4} - 9x}$.
स्पर्शरेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $9y - 2 = 0$,इसलिए $y = \frac{2}{9}$.
मूल समीकरण में $y = \frac{2}{9}$ रखने पर:
$(\frac{2}{9})^{5} - 9x(\frac{2}{9}) + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} - 2x + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} = 0$,जो असंभव है।
अतः,ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं जहाँ स्पर्शरेखा $x$-अक्ष के समानांतर हो,इसलिए $M = 0$.
स्पर्शरेखा के $y$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,हर $5y^{4} - 9x = 0$,इसलिए $x = \frac{5y^{4}}{9}$.
इसे मूल समीकरण में रखने पर:
$y^{5} - 9y(\frac{5y^{4}}{9}) + 2(\frac{5y^{4}}{9}) = 0
\Rightarrow y^{5} - 5y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow -4y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow y^{4}(-4y + \frac{10}{9}) = 0$.
इससे $y = 0$ या $y = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ प्राप्त होता है।
यदि $y = 0$,तो $x = 0$. यदि $y = \frac{5}{18}$,तो $x = \frac{5}{9}(\frac{5}{18})^{4}$.
अतः,$2$ बिंदु हैं जहाँ स्पर्शरेखा $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $N = 2$.
इसलिए,$M + N = 0 + 2 = 2$.

(C) वक्र का समीकरण $y=5x^{2}+2x-25$ बिंदु $P(2, -1)$ पर है।
सबसे पहले,अवकलन करके $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करें: $y' = 10x + 2$।
$x=2$ पर,ढाल $m = 10(2) + 2 = 22$ है।
बिंदु $P(2, -1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-1) = 22(x - 2)$ है,जो सरल होकर $y = 22x - 45$ हो जाता है।
अब,बिंदु $(a, b)$ पर वक्र $y=x^{3}-x^{2}+x$ पर विचार करें।
$(a, b)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-2x+1$ द्वारा दी जाती है।
$x=a$ पर,ढाल $3a^{2}-2a+1$ है।
चूंकि यह स्पर्शरेखा पहले ज्ञात की गई स्पर्शरेखा के समान है,इसलिए इसकी ढाल $22$ होनी चाहिए: $3a^{2}-2a+1 = 22$।
इससे द्विघात समीकरण $3a^{2}-2a-21 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3a+7)(a-3) = 0$,अतः $a=3$ या $a=-7/3$।
$a=3$ के लिए,बिंदु $(a, b)$ वक्र $y=x^{3}-x^{2}+x$ पर स्थित है,इसलिए $b = 3^{3}-3^{2}+3 = 27-9+3 = 21$।
तब $|2a+9b| = |2(3)+9(21)| = |6+189| = 195$।
$a=-7/3$ के लिए,स्पर्शरेखा रेखा $y=22x-45$ के समानांतर होगी लेकिन समान नहीं होगी,इसलिए इस मान को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,मान $195$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = \frac{x-a}{(x+b)(x-2)}$ है।
चूँकि बिंदु $(1, -3)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $-3 = \frac{1-a}{(1+b)(1-2)}$.
$-3 = \frac{1-a}{-(1+b)} \implies 3(1+b) = 1-a \implies 1-a = 3+3b \implies a+3b = -2$ $(1)$.
अभिलंब का समीकरण $x - 4y = 13$ है,जिसे $y = \frac{1}{4}x - \frac{13}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अभिलंब की ढाल $m_n = \frac{1}{4}$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{m_n} = -4$ होगी।
अब,$y = \frac{x-a}{x^2 + (b-2)x - 2b}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + (b-2)x - 2b)(1) - (x-a)(2x + b-2)}{(x^2 + (b-2)x - 2b)^2}$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = -4 = \frac{(1+b-2-2b) - (1-a)(2+b-2)}{(1+b-2-2b)^2} = \frac{-1-b - (1-a)b}{(-1-b)^2}$.
चूँकि $1-a = 3(1+b)$,मान रखने पर: $-4 = \frac{-(1+b) - 3(1+b)b}{(1+b)^2} = \frac{-(1+b)(1+3b)}{(1+b)^2} = \frac{-(1+3b)}{1+b}$.
$-4(1+b) = -1-3b \implies -4-4b = -1-3b \implies b = -3$.
$b = -3$ को $(1)$ में रखने पर: $a + 3(-3) = -2 \implies a - 9 = -2 \implies a = 7$.
अतः,$a+b = 7 + (-3) = 4$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण $x+90y+2=0$ है,जिसे $y=-\frac{1}{90}x-\frac{2}{90}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m=-\frac{1}{90}$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा इस रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल $(m_N)$ $-\frac{1}{90}$ होनी चाहिए।
स्पर्शरेखा की ढाल $(m_T)$ अभिलंब की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,इसलिए $m_T = -\frac{1}{m_N} = -\frac{1}{-1/90} = 90$।
वक्र $y=54x^5-135x^4-70x^3+180x^2+210x$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210$।
अवकलन को स्पर्शरेखा की ढाल $(90)$ के बराबर रखने पर:
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210 = 90$
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 120 = 0$
$30$ से भाग देने पर:
$9x^4 - 18x^3 - 7x^2 + 12x + 4 = 0$।
इस समीकरण के मूल $x=1, x=2, x=-\frac{2}{3}, x=-\frac{1}{3}$ हैं।
अतः,$x$ के $4$ अलग-अलग मान होने के कारण,वक्र पर ऐसे $4$ बिंदु हैं।

(C) मान लीजिए द्विघात वक्र $f(x) = A(x+1)(x-k)$ है। चूँकि यह $(1, 1)$ पर $y=x$ को स्पर्श करता है,$f(1)=1$ और $f'(1)=1$.
$f(1) = A(2)(1-k) = 1 \Rightarrow 2A(1-k) = 1$.
$f'(x) = A(x-k) + A(x+1) = A(2x+1-k)$.
$f'(1) = A(2+1-k) = A(3-k) = 1$.
$2A(1-k) = 1$ और $A(3-k) = 1$ से,हमें मिलता है $2A(1-k) = A(3-k) \Rightarrow 2-2k = 3-k \Rightarrow k = -1$.
तब $A(3 - (-1)) = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2$.
दिया गया है कि बिंदु $(\alpha, \alpha+1)$ वक्र पर स्थित है: $\alpha+1 = \frac{1}{4}(\alpha+1)^2$.
चूँकि $\alpha > -1$,$\alpha+1 = 4 \Rightarrow \alpha = 3$.
बिंदु $(3, 4)$ है।
$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)$,इसलिए $f'(3) = \frac{1}{2}(3+1) = 2$.
$(3, 4)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -1/2$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 3)$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए,$y=0$ रखें: $-4 = -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow 8 = x - 3 \Rightarrow x = 11$.

(A) बिंदुओं $(c-1, e^{c-1})$ और $(c+1, e^{c+1})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{(c+1)-(c-1)} = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2}$ है।
चूँकि $e^x$ एक सख्ती से उत्तल (convex) फलन है,किन्हीं दो बिंदुओं के बीच छेदक रेखा (secant line) की ढाल उनके बीच के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल से अधिक होती है। विशेष रूप से,$\frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2} > e^c$ क्योंकि $\frac{e-e^{-1}}{2} > 1$ (चूँकि $e \approx 2.718$,$\frac{2.718-0.368}{2} = 1.175 > 1$)।
चूँकि छेदक रेखा की ढाल $(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल से अधिक है,और फलन उत्तल है,इसलिए स्पर्श रेखा $x > c$ के लिए छेदक रेखा के नीचे और $x < c$ के लिए उसके ऊपर होनी चाहिए। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=c$ के बाईं ओर स्थित होना चाहिए।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $(y-x^5)^2=x(1+x^2)^2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(y-x^5)(\frac{dy}{dx}-5x^4) = (1+x^2)^2 + x \cdot 2(1+x^2)(2x)$
$2(y-x^5)(\frac{dy}{dx}-5x^4) = (1+x^2)^2 + 4x^2(1+x^2)$
बिंदु $(1,3)$ को समीकरण में रखने पर:
$2(3-1^5)(\frac{dy}{dx}-5(1)^4) = (1+1^2)^2 + 4(1)^2(1+1^2)$
$2(3-1)(\frac{dy}{dx}-5) = (2)^2 + 4(2)$
$2(2)(\frac{dy}{dx}-5) = 4 + 8$
$4(\frac{dy}{dx}-5) = 12$
$\frac{dy}{dx}-5 = 3$
$\frac{dy}{dx} = 8$
अतः,बिंदु $(1,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $8$ है।

(A) दिए गए वक्र $xy=6$ $(1)$ और $x^2y=12$ $(2)$ हैं।
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2y}{xy} = \frac{12}{6}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=2$।
$x=2$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $2y=6$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=3$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।
वक्र $(1)$ के लिए,$y = \frac{6}{x}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{x^2}$। बिंदु $(2, 3)$ पर,$m_1 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$।
वक्र $(2)$ के लिए,$y = \frac{12}{x^2}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{24}{x^3}$। बिंदु $(2, 3)$ पर,$m_2 = -\frac{24}{8} = -3$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |\frac{-1.5 - (-3)}{1 + (-1.5)(-3)}| = |\frac{1.5}{1 + 4.5}| = |\frac{1.5}{5.5}| = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{11}$।

(B) दिया गया वक्र $y = \cos(x + y)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx}(1 + \sin(x + y)) = -\sin(x + y)$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$.
स्पर्श रेखा $x + 2y = 0$ के समानांतर है,जिसका ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2} \implies 2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y) \implies \sin(x + y) = 1$.
चूंकि $\sin(x + y) = 1$,इसलिए $x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
मूल समीकरण में मान रखने पर: $y = \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$.
अतः,$x + 0 = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$x \in [-2\pi, 2\pi]$ के लिए,संभावित मान $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = -\frac{3\pi}{2}$ हैं।
$x = \frac{\pi}{2}, y = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \implies 2y = -x + \frac{\pi}{2} \implies 2x + 4y - \pi = 0$ प्राप्त होता है।
यह विकल्प $B$ के समान है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $y = ax^2 - 6x + b$ है।
चूंकि वक्र $(0, 4)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x=0$ और $y=4$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$4 = a(0)^2 - 6(0) + b \implies b = 4$.
अब,वक्र का अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2ax - 6$ है।
स्पर्श रेखा $x = \frac{3}{2}$ पर $x$-अक्ष के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{3}{2}$ पर $\frac{dy}{dx} = 0$ है।
$2a(\frac{3}{2}) - 6 = 0 \implies 3a - 6 = 0 \implies 3a = 6 \implies a = 2$.
अतः,$a = 2$ और $b = 4$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण: $x = 9(1 + \cos \theta)$ और $y = 9 \sin \theta$ हैं।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -9 \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 9 \cos \theta$
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{9 \cos \theta}{-9 \sin \theta} = -\cot \theta$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: $m_n = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$।
बिंदु $(9(1 + \cos \theta), 9 \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 9 \sin \theta = \tan \theta (x - 9(1 + \cos \theta))$
$y - 9 \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 9 - 9 \cos \theta)$
$y \cos \theta - 9 \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta - 9 \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - 9)$
यदि हम बिंदु $(9, 0)$ की जाँच करें:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (9 - 9) \implies 0 = 0$।
अतः,अभिलंब हमेशा निश्चित बिंदु $(9, 0)$ से होकर गुजरता है।

(B) वक्र का समीकरण $xy = 1$ है,जिसे $y = \frac{1}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{x_1^2}$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = x_1^2$ है।
रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जिसे $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $-\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र के अभिलंब है,इसलिए इसकी ढाल अभिलंब की ढाल के बराबर होनी चाहिए: $-\frac{a}{b} = x_1^2$।
सभी $x_1 \neq 0$ के लिए $x_1^2 > 0$ होता है,इसलिए $-\frac{a}{b} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\frac{a}{b} < 0$।
इसका मतलब है कि $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,यदि $a > 0$ है,तो $b < 0$ होगा (विकल्प $B$)।