एक वक्र समीकरणों x = sec^2 t और y = cot t द्व | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$।चूंकि $\sec^2 t = 1 + 	an^2 t = 1 + \frac{1}{\cot^2 t} = 1 + \frac{1}{y^2}$,हमारे पास $x - 1 = \frac{1

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$5$

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(D) दिया गया है $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$।चूंकि $\sec^2 t = 1 + 	an^2 t = 1 + \frac{1}{\cot^2 t} = 1 + \frac{1}{y^2}$,हमारे पास $x - 1 = \frac{1}{y^2}$ है,जिसका अर्थ है $y^2(x - 1) = 1$।$t = \pi/4$ पर,$x = \sec^2(\pi/4) = 2$ और $y = \cot(\pi/4) = 1$। अतः,$P = (2, 1)$।$y^2(x - 1) = 1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx}(x - 1) + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।$(2, 1)$ पर,$2(1) \frac{dy}{dx}(2 - 1) + 1^2 = 0 \Rightarrow 2 \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -1/2$।$P(2, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow 2y - 2 = -x + 2 \Rightarrow x + 2y = 4$ है।वक्र समीकरण $y^2(x - 1) = 1$ में $y = \frac{4-x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:$\left(\frac{4-x}{2}ight)^2(x - 1) = 1 \Rightarrow (4-x)^2(x - 1) = 4 \Rightarrow (16 - 8x + x^2)(x - 1) = 4$।$16x - 16 - 8x^2 + 8x + x^3 - x^2 = 4 \Rightarrow x^3 - 9x^2 + 24x - 20 = 0$।चूंकि $P(2, 1)$ वक्र पर स्थित है,$(x - 2)^2$ एक गुणनखंड होना चाहिए। $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 2)^2(x - 5) = 0$ प्राप्त होता है।मूल $x = 2$ (दो बार) और $x = 5$ हैं। अतः,$Q$ का $x$-निर्देशांक $5$ है।

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