Approximate Value Questions in Hindi

(B) हम $(7.995)^{1/3}$ को $(8 - 0.005)^{1/3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रसार $(1 - x)^n \approx 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2$ का उपयोग करते हुए:
$(8 - 0.005)^{1/3} = 8^{1/3} \left(1 - \frac{0.005}{8}\right)^{1/3} = 2 \left(1 - \frac{0.005}{8}\right)^{1/3}$.
प्रसार $(1 - x)^n \approx 1 - nx$ लागू करने पर:
$2 \left(1 - \frac{1}{3} \times \frac{0.005}{8}\right) = 2 \left(1 - \frac{0.005}{24}\right)$.
$2 \left(1 - 0.00020833...\right) = 2(0.99979166...)$.
$= 1.9995833...$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.9996$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ त्रिज्या $r$,$r_1 = 3 \, cm$ से बढ़कर $r_2 = 3.2 \, cm$ हो जाती है।
त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta r = 3.2 - 3 = 0.2 \, cm$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A(r_2) - A(r_1) = \pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
मान रखने पर,$\Delta A = \pi((3.2)^2 - (3)^2)$ प्राप्त होता है।
$\Delta A = \pi(10.24 - 9) = 1.24\pi \, cm^2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया फलन $y = x^3 + 5$ है।
हमें $y$ में अनुमानित परिवर्तन $(dy)$ ज्ञात करना है जब $x$,$3$ से बदलकर $2.99$ हो जाता है।
यहाँ,$x = 3$ और $x$ में परिवर्तन $dx = 2.99 - 3 = -0.01$ है।
$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ है।
अतः,अनुमानित परिवर्तन $dy = (3x^2) \cdot dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = 3$ और $dx = -0.01$ का मान रखने पर:
$dy = 3(3)^2 \cdot (-0.01)$
$dy = 3(9) \cdot (-0.01)$
$dy = 27 \cdot (-0.01)$
$dy = -0.27$.
अतः,$y$ में अनुमानित परिवर्तन $-0.27$ है।

(A) माना $y = x^{1/3}$,जहाँ $x = 125$ और $x + \Delta x = 127$ है।
अतः $\Delta x = 2$.
अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ है।
$x = 125$ के लिए,$y = (125)^{1/3} = 5$ और $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(125)^{2/3}} = \frac{1}{3(25)} = \frac{1}{75}$.
सन्निकटन $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x$ का उपयोग करने पर,$\Delta y \approx \frac{1}{75} \times 2 = \frac{2}{75} = 0.02666... \approx 0.0267$.
इसलिए,$(127)^{1/3} = y + \Delta y = 5 + 0.0267 = 5.0267$.

(A) माना $y = f(x) = \sqrt{x}$.
हम $x = 36$ और $\Delta x = 0.6$ चुनते हैं ताकि $x + \Delta x = 36.6$ हो।
हम जानते हैं कि $dy \approx \Delta y$,जहाँ $dy = f'(x) \Delta x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x = 36$ पर,$f'(36) = \frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{2 \times 6} = \frac{1}{12}$.
अब,अवकल $dy$ की गणना करें:
$dy = f'(36) \Delta x = \frac{1}{12} \times 0.6 = \frac{0.6}{12} = 0.05$.
चूंकि $f(x + \Delta x) \approx f(x) + dy$,इसलिए:
$\sqrt{36.6} \approx \sqrt{36} + 0.05 = 6 + 0.05 = 6.05$.

(B) माना $y = x^{\frac{1}{3}}$ है। माना $x = 27$ और $\Delta x = -2$ है।
तब $\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} = (25)^{\frac{1}{3}} - (27)^{\frac{1}{3}} = (25)^{\frac{1}{3}} - 3$ है।
अतः,$(25)^{\frac{1}{3}} = 3 + \Delta y$ है।
अब,$dy$,$\Delta y$ के सन्निकट है,जो $dy = \left( \frac{dy}{dx} \right) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $y = x^{\frac{1}{3}}$,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$ है।
$x = 27$ और $\Delta x = -2$ रखने पर:
$dy = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} \times (-2) = \frac{-2}{3(3^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{-2}{3(3^2)} = \frac{-2}{27} \approx -0.074$ है।
अतः,सन्निकट मान $3 + (-0.074) = 2.926$ है।

(A) माना $x=3$ और $\Delta x=0.02$ है। तब,सन्निकट मान $f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$x=3$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(3) = 3(3)^{2} + 5(3) + 3 = 3(9) + 15 + 3 = 27 + 15 + 3 = 45$.
इसके बाद,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{2} + 5x + 3) = 6x + 5$.
अब,$x=3$ पर $f'(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f'(3) = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.
सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f(3.02) \approx f(3) + f'(3) \Delta x$
$f(3.02) \approx 45 + (23)(0.02)$
$f(3.02) \approx 45 + 0.46 = 45.46$.
अतः,$f(3.02)$ का सन्निकट मान $45.46$ है।

(A) $x$ भुजा वाले घन का आयतन $V = x^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सन्निकट परिवर्तन $dV$ को सूत्र $dV = \left(\frac{dV}{dx}\right) \Delta x$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
सबसे पहले,$V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$.
यहाँ भुजा $x$ में $2 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए भुजा में परिवर्तन $\Delta x = x$ का $2 \% = 0.02x$.
अब,इन मानों को $dV$ के सूत्र में रखने पर:
$dV = (3x^{2}) \times (0.02x) = 0.06x^{3} \, m^{3}$.
अतः,आयतन में सन्निकट परिवर्तन $0.06x^{3} \, m^{3}$ है।

(A) माना $r$ गोले की त्रिज्या है और $\Delta r$ त्रिज्या मापने में हुई त्रुटि है।
दिया है $r = 9 \text{ cm}$ और $\Delta r = 0.03 \text{ cm}$।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $dV = \left( \frac{dV}{dr} \right) \Delta r$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$dV = (4 \pi r^2) \Delta r = 4 \pi (9)^2 (0.03)$।
$dV = 4 \pi (81) (0.03) = 324 \pi (0.03) = 9.72 \pi \text{ cm}^3$।
अतः,आयतन की गणना में अनुमानित त्रुटि $9.72 \pi \text{ cm}^3$ है।

(B) माना $y = \sqrt{x}$.
हम $x = 25$ और $\Delta x = 0.3$ चुनते हैं,ताकि $x + \Delta x = 25.3$ हो।
तब,$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x} = \sqrt{25.3} - \sqrt{25} = \sqrt{25.3} - 5$.
इसका अर्थ है $\sqrt{25.3} = 5 + \Delta y$.
सन्निकटन $dy \approx \Delta y$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ है।
चूंकि $y = x^{1/2}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
मान रखने पर,$dy = \frac{1}{2\sqrt{25}} \times 0.3 = \frac{1}{2 \times 5} \times 0.3 = \frac{0.3}{10} = 0.03$.
अतः,$\sqrt{25.3} \approx 5 + 0.03 = 5.03$.

(B) फलन $y = \sqrt{x}$ पर विचार करें। मान लीजिए $x = 49$ और $\Delta x = 0.5$ है।
तब,$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x} = \sqrt{49.5} - \sqrt{49} = \sqrt{49.5} - 7$।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{49.5} = 7 + \Delta y$।
हम जानते हैं कि $dy$,$\Delta y$ के लगभग बराबर होता है,जहाँ $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ होता है।
चूँकि $y = \sqrt{x}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$dy = \frac{1}{2\sqrt{49}} \times 0.5 = \frac{1}{2 \times 7} \times 0.5 = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \approx 0.0357$।
अतः,$\sqrt{49.5}$ का अनुमानित मान $7 + 0.0357 = 7.0357 \approx 7.036$ है।

(A) माना $f(x) = \sqrt{x}$. हमें $f(0.6)$ का सन्निकट मान ज्ञात करना है।
$x = 0.64$ और $\Delta x = -0.04$ लें,ताकि $x + \Delta x = 0.6$ हो।
सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x = 0.64$ पर,$f(0.64) = \sqrt{0.64} = 0.8$.
$f'(0.64) = \frac{1}{2\sqrt{0.64}} = \frac{1}{2(0.8)} = \frac{1}{1.6} = 0.625$.
अतः,$f(0.6) \approx 0.8 + (0.625)(-0.04)$.
$f(0.6) \approx 0.8 - 0.025 = 0.775$.
सबसे निकटतम विकल्प $0.774$ है।

(A) फलन $y = x^{\frac{1}{3}}$ पर विचार करें।
माना $x = 0.008$ और $\Delta x = 0.001$,ताकि $x + \Delta x = 0.009$ हो।
हम जानते हैं कि $(0.008)^{\frac{1}{3}} = 0.2$ है।
अवकलज सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta y \approx dy = \left( \frac{dy}{dx} \right) \Delta x$।
चूंकि $y = x^{\frac{1}{3}}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$ है।
$x = 0.008$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(0.008)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.2)^2} = \frac{1}{3(0.04)} = \frac{1}{0.12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8.333$।
अब,$dy = \left( \frac{25}{3} \right) \times 0.001 = \frac{0.025}{3} \approx 0.00833$।
अतः,अनुमानित मान $y + dy = 0.2 + 0.00833 = 0.20833$ है।

(A) माना $f(x) = x^{\frac{1}{10}}$.
हमें $f(0.999)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 1$ और $\Delta x = -0.001$,ताकि $x + \Delta x = 0.999$ हो।
सन्निकटन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
यहाँ,$f(x) = x^{\frac{1}{10}}$,इसलिए $f(1) = 1^{\frac{1}{10}} = 1$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{1}{10} x^{\frac{1}{10} - 1} = \frac{1}{10} x^{-\frac{9}{10}} = \frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}}$.
$x = 1$ पर,$f'(1) = \frac{1}{10(1)^{\frac{9}{10}}} = \frac{1}{10} = 0.1$.
अब,$f(0.999) \approx f(1) + f'(1) \Delta x$.
$f(0.999) \approx 1 + (0.1)(-0.001) = 1 - 0.0001 = 0.9999$.

(A) माना $y = x^{\frac{1}{4}}$। हम $(15)^{\frac{1}{4}}$ का सन्निकट मान ज्ञात करना चाहते हैं।
$x = 16$ और $\Delta x = -1$ लें,क्योंकि $16$,$15$ के सबसे निकटतम चतुर्थ घात है।
अतः $y = (16)^{\frac{1}{4}} = 2$।
अवकल $dy$ को $dy = \frac{dy}{dx} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y = x^{\frac{1}{4}}$,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$।
$x = 16$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4 (16)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 \times 8} = \frac{1}{32} = 0.03125$।
अतः,$dy = \frac{dy}{dx} \Delta x = 0.03125 \times (-1) = -0.03125$।
सन्निकट मान $y + dy = 2 + (-0.03125) = 1.96875$ है।

(B) माना $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
हम जानते हैं कि $27^{\frac{1}{3}} = 3$.
माना $x = 27$ और $\Delta x = -1$.
तब $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} = (26)^{\frac{1}{3}}$.
सन्निकट मान $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2}$.
$x = 27$ के लिए,$f'(27) = \frac{1}{3(27^{\frac{1}{3}})^2} = \frac{1}{3(3)^2} = \frac{1}{27}$.
अतः,$(26)^{\frac{1}{3}} \approx 3 + (\frac{1}{27})(-1) = 3 - 0.037037... \approx 2.96296...$
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.9630$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$.
हम जानते हैं कि $256^{\frac{1}{4}} = 4$.
माना $x = 256$ और $\Delta x = -1$.
तब,$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} = (255)^{\frac{1}{4}}$.
सन्निकट मान $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$f'(x) = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$.
$x = 256$ के लिए,$f'(256) = \frac{1}{4 (256)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 (4^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4 \times 4^3} = \frac{1}{4 \times 64} = \frac{1}{256} = 0.00390625$.
अतः,$f(255) \approx f(256) + f'(256) \Delta x = 4 + (0.00390625)(-1) = 4 - 0.00390625 = 3.99609375$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $3.9961$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = x^{\frac{1}{4}}$.
$x = 81$ और $\Delta x = 1$ लें।
तब $y = (81)^{\frac{1}{4}} = 3$.
हम जानते हैं कि $\Delta y \approx dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$.
चूँकि $y = x^{\frac{1}{4}}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$.
मान रखने पर,$dy = \frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} \times 1 = \frac{1}{4(3^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4(3^3)} = \frac{1}{4 \times 27} = \frac{1}{108}$.
मान की गणना करने पर,$dy \approx 0.00926$.
अतः,$(82)^{\frac{1}{4}} = y + \Delta y \approx 3 + 0.00926 = 3.00926$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,सन्निकट मान $3.009$ है।

(A) माना $y = x^{\frac{1}{2}}$.
हम $x = 400$ और $\Delta x = 1$ चुनते हैं ताकि $x + \Delta x = 401$ हो।
तब,$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x} = \sqrt{401} - \sqrt{400} = \sqrt{401} - 20$.
इसका अर्थ है $\sqrt{401} = 20 + \Delta y$.
सन्निकटन $dy \approx \Delta y$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ है।
चूंकि $y = x^{\frac{1}{2}}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
मान रखने पर,$dy = \frac{1}{2\sqrt{400}} \times 1 = \frac{1}{2 \times 20} = \frac{1}{40} = 0.025$.
अतः,$\sqrt{401}$ का सन्निकट मान $20 + 0.025 = 20.025$ है।

(A) माना $y = x^{\frac{1}{2}}$.
हम $x = 0.0036$ और $\Delta x = 0.0001$ चुनते हैं ताकि $x + \Delta x = 0.0037$ हो।
तब $\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = (0.0037)^{\frac{1}{2}} - (0.0036)^{\frac{1}{2}} = (0.0037)^{\frac{1}{2}} - 0.06$.
अतः,$(0.0037)^{\frac{1}{2}} = 0.06 + \Delta y$.
हम जानते हैं कि $dy \approx \Delta y$,जहाँ $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$.
चूँकि $y = x^{\frac{1}{2}}$,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
अतः,$dy = \frac{1}{2\sqrt{0.0036}} \times 0.0001 = \frac{1}{2 \times 0.06} \times 0.0001 = \frac{0.0001}{0.12} = \frac{1}{1200} \approx 0.000833$.
इसलिए,$(0.0037)^{\frac{1}{2}} \approx 0.06 + 0.000833 = 0.060833$.

(A) माना $y = x^{\frac{1}{3}}$.
$x = 27$ और $\Delta x = -0.43$ लें,ताकि $x + \Delta x = 26.57$ हो।
तब,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} = (26.57)^{\frac{1}{3}} - (27)^{\frac{1}{3}} = (26.57)^{\frac{1}{3}} - 3$।
इसका अर्थ है कि $(26.57)^{\frac{1}{3}} = 3 + \Delta y$।
हम सन्निकटन $dy \approx \Delta y$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ है।
चूँकि $y = x^{\frac{1}{3}}$,हमारे पास $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2}$ है।
$x = 27$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(3)^2} = \frac{1}{27}$ होता है।
अतः,$dy = \left(\frac{1}{27}\right) (-0.43) = -\frac{0.43}{27} \approx -0.0159$।
इसलिए,$(26.57)^{\frac{1}{3}} \approx 3 - 0.0159 = 2.9841$।
अतः,सन्निकट मान $2.984$ है।

(A) माना $y = x^{\frac{1}{4}}$ है। यहाँ $x = 81$ और $\Delta x = 0.5$ लें।
तब,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}} = (81.5)^{\frac{1}{4}} - (81)^{\frac{1}{4}} = (81.5)^{\frac{1}{4}} - 3$ है।
इसका अर्थ है कि $(81.5)^{\frac{1}{4}} = 3 + \Delta y$ है।
हम जानते हैं कि $dy \approx \Delta y$,जहाँ $dy = \left( \frac{dy}{dx} \right) \Delta x$ है।
चूँकि $y = x^{\frac{1}{4}}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}$ है।
मान रखने पर,$dy = \frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} \times 0.5 = \frac{0.5}{4 \times (3^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{0.5}{4 \times 3^3} = \frac{0.5}{4 \times 27} = \frac{0.5}{108} \approx 0.0046$ है।
अतः,अनुमानित मान $3 + 0.0046 = 3.0046$ है।

(A) माना $y = x^{\frac{3}{2}}$.
$x = 4$ और $\Delta x = -0.032$ लीजिए।
तब,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} = (3.968)^{\frac{3}{2}} - (4)^{\frac{3}{2}} = (3.968)^{\frac{3}{2}} - 8$.
अतः,$(3.968)^{\frac{3}{2}} = 8 + \Delta y$.
अब,$dy$,$\Delta y$ के सन्निकट है,जो $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y = x^{\frac{3}{2}}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$ है।
अतः,$dy = \frac{3}{2} (4)^{\frac{1}{2}} (-0.032) = \frac{3}{2} (2) (-0.032) = 3 (-0.032) = -0.096$.
इसलिए,सन्निकट मान $8 + (-0.096) = 7.904$ है।

(A) माना $y = x^{\frac{1}{5}}$.
माना $x = 32$ और $\Delta x = 0.15$.
तब,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{5}} = (32.15)^{\frac{1}{5}} - (32)^{\frac{1}{5}} = (32.15)^{\frac{1}{5}} - 2$.
अतः,$(32.15)^{\frac{1}{5}} = 2 + \Delta y$.
अब,$dy$,$\Delta y$ के लगभग बराबर है,जो $dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y = x^{\frac{1}{5}}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5(x^{\frac{1}{5}})^4}$.
$x = 32$ और $\Delta x = 0.15$ रखने पर:
$dy = \frac{1}{5(32^{\frac{1}{5}})^4} \cdot (0.15) = \frac{1}{5(2)^4} \cdot (0.15) = \frac{0.15}{5 \cdot 16} = \frac{0.15}{80} = 0.001875$.
पांच दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$dy \approx 0.001875$.
अतः,$(32.15)^{\frac{1}{5}} \approx 2 + 0.001875 = 2.001875$.

(A) माना $x=2$ और $\Delta x=0.01$ है। तब,हमारे पास है:
$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$
दिया गया है $f(x) = 4x^{2} + 5x + 2$,अतः अवकलज ज्ञात करने पर:
$f'(x) = 8x + 5$
$x=2$ पर,$f(2) = 4(2)^{2} + 5(2) + 2 = 16 + 10 + 2 = 28$.
$x=2$ पर,$f'(2) = 8(2) + 5 = 16 + 5 = 21$.
अब,इन मानों को सन्निकटन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(2.01) \approx f(2) + f'(2) \Delta x$
$f(2.01) \approx 28 + (21)(0.01)$
$f(2.01) \approx 28 + 0.21$
$f(2.01) \approx 28.21$
अतः,$f(2.01)$ का सन्निकट मान $28.21$ है।

(A) माना $x=5$ और $\Delta x=0.001$ है। तब,हमारे पास है:
$f(5.001) = f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
सबसे पहले,$x=5$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(5) = (5)^{3} - 7(5)^{2} + 15 = 125 - 175 + 15 = -35$.
अगला,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 7x^{2} + 15) = 3x^{2} - 14x$.
$x=5$ पर $f'(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f'(5) = 3(5)^{2} - 14(5) = 3(25) - 70 = 75 - 70 = 5$.
अब,सन्निकटन सूत्र का उपयोग करें:
$f(5.001) \approx f(5) + f'(5) \Delta x$
$f(5.001) \approx -35 + (5)(0.001)$
$f(5.001) \approx -35 + 0.005 = -34.995$.
अतः,$f(5.001)$ का सन्निकट मान $-34.995$ है।

(C) $x$ भुजा वाले घन का आयतन $V = x^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सन्निकट परिवर्तन $dV$ को सूत्र $dV = \left(\frac{dV}{dx}\right) \Delta x$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
सबसे पहले,$V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$.
चूंकि भुजा $x$ में $1 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए भुजा में परिवर्तन $\Delta x = 1 \% \text{ of } x = 0.01x$ है।
अब,इन मानों को $dV$ के सूत्र में रखने पर:
$dV = (3x^{2}) \times (0.01x)$.
$dV = 0.03x^{3}$.
अतः,घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन $0.03 \,x^{3} \, m^{3}$ है।

(B) $x$ भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6x^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $(\Delta S)$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज सूत्र $\Delta S \approx \frac{dS}{dx} \cdot \Delta x$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$S$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dx} = \frac{d}{dx}(6x^{2}) = 12x.$
भुजा में $1 \%$ की कमी होती है,इसलिए भुजा में परिवर्तन $\Delta x = -0.01x$ है।
अब,अनुमानित परिवर्तन की गणना करने पर:
$\Delta S \approx (12x) \cdot (-0.01x) = -0.12x^{2}.$
अतः,घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल में होने वाला अनुमानित परिवर्तन $0.12x^{2} \, m^{2}$ है।

(A) माना $r$ गोले की त्रिज्या है और $\Delta r$ त्रिज्या मापने में हुई त्रुटि है।
दिया है, $r = 7 \text{ m}$ और $\Delta r = 0.02 \text{ m}$।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V$ को $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \cdot \Delta r$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर, $\Delta V \approx (4 \pi r^2) \cdot \Delta r$।
$\Delta V \approx 4 \pi (7)^2 \cdot (0.02) = 4 \pi (49) (0.02) = 196 \pi (0.02) = 3.92 \pi \text{ m}^3$।
अतः, आयतन की गणना में अनुमानित त्रुटि $3.92 \pi \text{ m}^3$ है।

(A) माना $r$ गोले की त्रिज्या है और $\Delta r$ त्रिज्या मापने में हुई त्रुटि है। दिया गया है $r = 9 \text{ m}$ और $\Delta r = 0.03 \text{ m}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$,$S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$ प्राप्त होता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुमानित त्रुटि $dS = \left( \frac{dS}{dr} \right) \Delta r$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$dS = (8 \pi \times 9) \times 0.03$।
$dS = 72 \pi \times 0.03 = 2.16 \pi \text{ m}^2$।
अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना में अनुमानित त्रुटि $2.16 \pi \text{ m}^2$ है।

(D) माना $x=3$ और $\Delta x=0.02$ है। तब,हमारे पास है:
$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$
दिया गया है $f(x) = 3x^{2} + 15x + 5$,इसका अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{2} + 15x + 5) = 6x + 15$
अब,$x=3$ और $\Delta x=0.02$ को सन्निकटन सूत्र में रखने पर:
$f(3.02) \approx f(3) + f'(3)(0.02)$
$f(3)$ की गणना:
$f(3) = 3(3)^{2} + 15(3) + 5 = 3(9) + 45 + 5 = 27 + 45 + 5 = 77$
$f'(3)$ की गणना:
$f'(3) = 6(3) + 15 = 18 + 15 = 33$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f(3.02) \approx 77 + 33(0.02)$
$f(3.02) \approx 77 + 0.66$
$f(3.02) \approx 77.66$
अतः,$f(3.02)$ का सन्निकट मान $77.66$ है।

(A) $x$ भुजा वाले घन का आयतन $(V) = x^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सन्निकट परिवर्तन $(dV)$ सूत्र $dV = \left(\frac{dV}{dx}\right) \Delta x$ द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dx} = 3x^{2}$।
दिया गया है कि भुजा में $3 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए भुजा में परिवर्तन $\Delta x = 3 \% \text{ of } x = 0.03x$ है।
अब,इन मानों को $dV$ के सूत्र में रखने पर:
$dV = (3x^{2}) \times (0.03x)$
$dV = 0.09x^{3} \text{ m}^{3}$।
अतः,घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन $0.09x^{3} \text{ m}^{3}$ है।

(A) माना $y = x^{\frac{1}{4}}$। यहाँ $x = \frac{16}{81}$ और $\Delta x = \frac{1}{81}$ लें।
तब,$\Delta y = (x + \Delta x)^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}} - \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}} - \frac{2}{3}$।
अतः,$\left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3} + \Delta y$।
अवकलज $dy \approx \Delta y$ का उपयोग करते हुए,$dy = \frac{dy}{dx} \Delta x = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} \Delta x$।
$x = \frac{16}{81}$ और $\Delta x = \frac{1}{81}$ रखने पर:
$dy = \frac{1}{4 \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}} \times \frac{1}{81} = \frac{1}{4 \times \frac{8}{27}} \times \frac{1}{81} = \frac{27}{32} \times \frac{1}{81} = \frac{1}{32 \times 3} = \frac{1}{96} \approx 0.0104$।
अतः,सन्निकट मान $\frac{2}{3} + 0.0104 = 0.6667 + 0.0104 = 0.6771 \approx 0.677$ है।

(B) माना $y = f(x) = x^{-\frac{1}{5}}$.
$x = 32$ और $\Delta x = 1$ लीजिए,ताकि $x + \Delta x = 33$ हो।
हम जानते हैं कि $f(x) = x^{-\frac{1}{5}} = (32)^{-\frac{1}{5}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$.
अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात कीजिए: $f'(x) = -\frac{1}{5} x^{-\frac{6}{5}}$.
$x = 32$ पर,$f'(32) = -\frac{1}{5} (32)^{-\frac{6}{5}} = -\frac{1}{5} (2^5)^{-\frac{6}{5}} = -\frac{1}{5} (2^{-6}) = -\frac{1}{5 \times 64} = -\frac{1}{320}$.
अब,सन्निकट मान की गणना करें: $f(33) \approx 0.5 + (-\frac{1}{320})(1)$.
$f(33) \approx 0.5 - 0.003125 = 0.496875$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.497$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $B$ समकोण है। माना $P$ कर्ण $AC$ पर एक बिंदु है,जहाँ $P$ की $AB$ से दूरी $a$ और $BC$ से दूरी $b$ है।
माना $\angle C = \theta$. तब $\angle A = 90^{\circ} - \theta$.
$P$ से $BC$ पर डाले गए लंब द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$PC = \frac{b}{\sin \theta} = b \csc \theta$ है।
$P$ से $AB$ पर डाले गए लंब द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$AP = \frac{a}{\cos \theta} = a \sec \theta$ है।
कर्ण की लंबाई $L = AC = AP + PC = a \sec \theta + b \csc \theta$ है।
न्यूनतम लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $L$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $a \sec \theta \tan \theta = b \csc \theta \cot \theta$ प्राप्त होता है।
$\frac{a \sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{b \cos \theta}{\sin^2 \theta} \Rightarrow \tan^3 \theta = \frac{b}{a} \Rightarrow \tan \theta = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{3}}$.
इस मान पर,$\sin \theta = \frac{b^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$ और $\cos \theta = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}$ है।
इन मानों को $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = a \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} + b \frac{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$.
$L = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$.
अतः,कर्ण की न्यूनतम लंबाई $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ है।

(N/A) माना $s$ शंक्वाकार जल स्तर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $s = \pi r l$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए $r = l \sin(\alpha) = l \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $s = \pi (\frac{l}{\sqrt{2}}) l = \frac{\pi}{\sqrt{2}} l^2$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{ds}{dt} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \cdot 2l \cdot \frac{dl}{dt} = \sqrt{2} \pi l \frac{dl}{dt}$.
चूँकि $\frac{ds}{dt} = -2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ दिया गया है (क्योंकि क्षेत्रफल घट रहा है),इसलिए $-2 = \sqrt{2} \pi l \frac{dl}{dt}$.
जब $l = 4 \text{ cm}$ है,तो $-2 = \sqrt{2} \pi (4) \frac{dl}{dt}$.
$\frac{dl}{dt}$ के लिए हल करने पर: $\frac{dl}{dt} = \frac{-2}{4 \sqrt{2} \pi} = -\frac{1}{2 \sqrt{2} \pi} = -\frac{\sqrt{2}}{4 \pi} \text{ cm/sec}$.
अतः,तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर $\frac{\sqrt{2}}{4 \pi} \text{ cm/sec}$ है।

(A) हम रैखिक सन्निकटन के सूत्र का उपयोग करते हैं: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x \cdot f'(x)$।
मान लीजिए $f(x) = \sqrt{x}$। तब $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$।
हम $x = 0.09$ चुनते हैं क्योंकि $\sqrt{0.09} = 0.3$ एक पूर्ण वर्गमूल है।
तब $\Delta x = 0.082 - 0.09 = -0.008$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0.082) \approx f(0.09) + (-0.008) \cdot f'(0.09)$
$f(0.082) \approx 0.3 + (-0.008) \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot 0.3}\right)$
$f(0.082) \approx 0.3 - \frac{0.008}{0.6}$
$f(0.082) \approx 0.3 - 0.01333...$
$f(0.082) \approx 0.28666... \approx 0.2867$।

(A) दिया गया है $y = x^{4} - 10$.
हमें $y$ में अनुमानित परिवर्तन $(\Delta y)$ ज्ञात करना है जब $x$ का मान $x = 2$ से बदलकर $x = 1.99$ हो जाता है।
यहाँ,$x = 2$ और $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 4x^{3}$ प्राप्त होता है।
अनुमानित परिवर्तन का सूत्र $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta y \approx 4(2)^{3} \times (-0.01)$.
$\Delta y \approx 4(8) \times (-0.01) = 32 \times (-0.01) = -0.32$.
अतः,$y$ में परिवर्तन $-0.32$ है।

(A) माना $y = f(x) = x^{5}$.
हमें $(1.999)^{5}$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 2$ और $\Delta x = -0.001$,ताकि $x + \Delta x = 1.999$ हो।
अतः,$f(x) = x^{5} = 2^{5} = 32$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = 5x^{4}$ प्राप्त होता है।
सन्निकटन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
$f'(2) = 5(2)^{4} = 5 \times 16 = 80$.
इसलिए,$f(1.999) \approx 32 + 80 \times (-0.001)$.
$f(1.999) \approx 32 - 0.080 = 31.920$.

(N/A) माना आंतरिक त्रिज्या $= r = 3 \text{ cm}$ और बाहरी त्रिज्या $= R = 3.0005 \text{ cm}$ है।
खोखले गोलाकार कोश का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ द्वारा दिया जाता है।
माना $f(x) = x^3$ है। तब $R^3 = f(3.0005)$ और $r^3 = f(3) = 3^3 = 27$ है।
अवकल सन्निकटन (differential approximation) का उपयोग करते हुए,$\Delta V \approx dV = \frac{dV}{dR} \Delta R$ है।
यहाँ,$V = \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $\frac{dV}{dR} = 4 \pi R^2$ है।
$R = 3$ और $\Delta R = 0.0005$ दिया गया है,इसलिए:
$dV = 4 \pi (3)^2 \times 0.0005$
$dV = 4 \pi \times 9 \times 0.0005$
$dV = 36 \pi \times 0.0005 = 0.018 \pi \text{ cm}^3$ है।
अतः,धातु का अनुमानित आयतन $0.018 \pi \text{ cm}^3$ है।

(A) माना $f(x) = \cos x$ है। हमें $\cos(59^{\circ} 30^{\prime})$ का मान ज्ञात करना है।
हम $59^{\circ} 30^{\prime}$ को $60^{\circ} - 30^{\prime} = 60^{\circ} - 0.5^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $x = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन और $\Delta x = -0.5^{\circ} = -0.5 \times 0.0175^{c} = -0.00875^{c}$ है।
अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
यहाँ,$f(x) = \cos x$,इसलिए $f'(x) = -\sin x$ है।
$f(60^{\circ} - 0.5^{\circ}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \Delta x$.
दिया गया है कि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$ और $\sin(60^{\circ}) = 0.8660$ है।
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 - (0.8660) \times (-0.00875)$.
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 + 0.0075775 = 0.5075775$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.5076$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = x^{1/3}$ है। हमें $f(64.04)$ का अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $x = 64$ और $\Delta x = 0.04$ है।
तब $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$ होता है।
यहाँ,$f(x) = x^{1/3}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3(x^{1/3})^2}$ है।
$x = 64$ के लिए,$f(64) = 64^{1/3} = 4$ है।
$f'(64) = \frac{1}{3(4)^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$ है।
अब,$f(64.04) \approx 4 + \frac{1}{48} \cdot 0.04$ है।
$f(64.04) \approx 4 + \frac{0.04}{48} = 4 + \frac{4}{4800} = 4 + \frac{1}{1200}$ है।
$f(64.04) \approx 4 + 0.000833...$ है।
अतः,अनुमानित मान $4.00083$ है।

(A) माना $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
हमें $f(2.002)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 2$ और $\Delta x = 0.002$.
तब $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$x = 2$ पर,$f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$.
और $f'(2) = -\frac{2}{2^3} = -\frac{2}{8} = -0.25$.
अब,इन मानों को सन्निकटन सूत्र में रखें:
$f(2.002) \approx 0.25 + (-0.25) \cdot (0.002)$.
$f(2.002) \approx 0.25 - 0.0005 = 0.2495$.
अतः,अनुमानित मान $0.2495$ है।

(B) माना $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
तब,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$.
हम $a = 0.027$ चुनते हैं क्योंकि $\sqrt[3]{0.027} = 0.3$,और $h = -0.001$ ताकि $a + h = 0.026$ हो।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + hf'(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(a) = (0.027)^{\frac{1}{3}} = 0.3$.
$f'(a) = \frac{1}{3(0.027)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.09)} = \frac{1}{0.27}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0.026) \approx 0.3 + (-0.001) \times \frac{1}{0.27}$.
$f(0.026) \approx 0.3 - \frac{0.001}{0.27} \approx 0.3 - 0.0037 = 0.2963$.

(D) माना $f(x) = \cos x$. तब $f^{\prime}(x) = -\sin x$.
हमें $\cos(30^{\circ} 30^{\prime})$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ,$30^{\circ} 30^{\prime} = 30^{\circ} + 30^{\prime} = 30^{\circ} + (0.5)^{\circ}$.
$0.5^{\circ}$ को रेडियन में बदलने पर: $0.5 \times 0.0175 = 0.00875 \text{ rad}$.
माना $a = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ और $h = 0.00875 \text{ rad}$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(a+h) \approx \cos(30^{\circ}) + (0.00875)(-\sin(30^{\circ}))$.
दिया गया है $\cos 30^{\circ} = 0.8660$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.00875 \times 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.004375 = 0.861625$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.8616$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = \tan^{-1} x$ है।
तब $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ होगा।
हम रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 1$ और $h = -0.001$ लें,जिससे $a+h = 0.999$ हो।
$f(a) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
$f'(a) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} = 0.5$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{\pi}{4} + (-0.001)(0.5)$।
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{3.1415}{4} - 0.0005$।
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.785375 - 0.0005$।
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.784875$।
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.7849$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = x^{3/2}$.
तब,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2}$.
हम $3.978$ को $a + h$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $a = 4$ और $h = -0.022$ है।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(4) = 4^{3/2} = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot (4)^{1/2} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
अतः,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066$.
$f(3.978) \approx 7.934$.

(A) माना $f(x) = x^3-2x^2+3x+2$.
हमें $x = 2.01$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $a = 2$ और $h = 0.01$,इसलिए $x = a+h = 2.01$.
अवकलन $f'(x) = 3x^2-4x+3$ है।
$a = 2$ पर $f(a)$ की गणना करने पर:
$f(2) = (2)^3-2(2)^2+3(2)+2 = 8-8+6+2 = 8$.
$a = 2$ पर $f'(a)$ की गणना करने पर:
$f'(2) = 3(2)^2-4(2)+3 = 12-8+3 = 7$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(2.01) \approx 8 + (0.01)(7) = 8 + 0.07 = 8.07$.

(A) माना कि $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$.
तब,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 4$ और $h = -0.022$ है:
$f(4 - 0.022) \approx f(4) + (-0.022) \cdot f'(4)$.
$f(4) = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
अतः,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066 = 7.934$.

(D) माना $f(x) = 3^x$ है।
अतः,अवकलज $f'(x) = 3^x \log 3$ है।
हमें $f(2.001)$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ,$a = 2$ और $h = 0.001$ है।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(2.001) \approx f(2) + (0.001) f'(2)$.
मान रखने पर:
$f(2.001) \approx 3^2 + (0.001)(3^2 \log 3)$.
दिया गया है कि $\log 3 = 1.0986$:
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9 \times 1.0986)$.
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9.8874)$.
$f(2.001) \approx 9 + 0.0098874$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार राउंड ऑफ करने पर,हमें $9.00989$ प्राप्त होता है।