Tangent and Normal Questions in Hindi

(D) वक्र $y_1 = 3^x$ और $y_2 = 7^x$ हैं।
वे वहां प्रतिच्छेद करते हैं जहां $3^x = 7^x$,जिसका अर्थ है $x=0$।
$x=0$ पर,$y=3^0=1$। अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
स्पर्शरेखाओं की ढाल $m_1 = \frac{dy_1}{dx} = 3^x \ln 3$ और $m_2 = \frac{dy_2}{dx} = 7^x \ln 7$ हैं।
$(0, 1)$ पर,$m_1 = \ln 3$ और $m_2 = \ln 7$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |\frac{\ln 7 - \ln 3}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}| = \frac{\ln(7/3)}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}$।
यदि आधार समान है,तो यह व्यंजक $\frac{\log(7/3)}{1 + (\log 3)(\log 7)}$ के बराबर है।

(C) दिया गया वक्र $x^2+2xy-3y^2=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(2,2)$ पर: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$.
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
स्पर्श रेखा की ढाल $m = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -1$ होगी।
बिंदु $(2,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x + y - 4 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|1(0) + 1(0) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ इकाई।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: $(1+x^2)y = 2-x$.
वह बिंदु जहाँ वक्र $X$-अक्ष को काटता है,उसके लिए $y=0$ रखें:
$(1+x^2)(0) = 2-x \implies 2-x = 0 \implies x=2$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(2, 0)$ है।
अब,समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y(2x) = -1$.
ढाल $m$ ज्ञात करने के लिए $x=2$ और $y=0$ रखें:
$(1+2^2) \frac{dy}{dx} + 0(2 \times 2) = -1
(5) \frac{dy}{dx} = -1
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5}$.
बिंदु $(2, 0)$ पर और ढाल $m = -\frac{1}{5}$ वाली स्पर्शरेखा का समीकरण:
$y - 0 = -\frac{1}{5}(x - 2)
5y = -x + 2
x + 5y = 2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = b e^{-x / a}$ है।
वह बिंदु जहाँ वक्र $Y$ अक्ष को काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $x = 0$ रखते हैं।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर,हमें $y = b e^0 = b$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, b)$ है।
अब,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए हम अवकलन $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x / a} \cdot (-1 / a) = -\frac{b}{a} e^{-x / a}$.
बिंदु $(0, b)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, b)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{b}{a}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$y - b = -\frac{b}{a}x$.
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{y}{b} - 1 = -\frac{x}{a}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = \frac{x^3}{9}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{9} = \frac{x^2}{3}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = -\frac{6y_1}{x_1^2}(x - x_1)$ है।
चूंकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए। ज्यामिति के अनुसार,ढाल $-1$ है।
अतः,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$ है।
$y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y_1 = \frac{x_1^2}{6} \implies y_1^2 = \frac{x_1^4}{36}$ प्राप्त होता है।
$y_1^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{x_1^3}{9} = \frac{x_1^4}{36} \implies 4x_1^3 = x_1^4 \implies x_1 = 4$ (क्योंकि $x_1 \neq 0$ है)।
यदि $x_1 = 4$,तो $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$ है।
अतः,बिंदु $(4, \pm \frac{8}{3})$ हैं।

(C) दिया गया वक्र $xy = a^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ है।
$x_1$ से गुणा करने पर,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,जो सरल होकर $x_1 y + y_1 x = 2x_1 y_1$ बनता है।
चूँकि $x_1 y_1 = a^2$,समीकरण $x_1 y + y_1 x = 2a^2$ हो जाता है।
$2a^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{x}{2a^2/y_1} + \frac{y}{2a^2/x_1} = 1$ प्राप्त होता है।
यह रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1$ है,जहाँ x-अंतःखंड $A = \frac{2a^2}{y_1}$ और y-अंतःखंड $B = \frac{2a^2}{x_1}$ है।
अक्षों और स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |A| \times |B| = \frac{1}{2} \times \frac{2a^2}{y_1} \times \frac{2a^2}{x_1} = \frac{2a^4}{x_1 y_1}$ है।
चूँकि $x_1 y_1 = a^2$,क्षेत्रफल $\frac{2a^4}{a^2} = 2a^2$ वर्ग इकाई है।

(B) वक्र का दिया गया समीकरण $y(x-2)(x-3)=x+6$ है।
$Y$-अक्ष पर,$x=0$ होता है। समीकरण में $x=0$ रखने पर: $y(0-2)(0-3)=0+6 \Rightarrow y(-2)(-3)=6 \Rightarrow 6y=6 \Rightarrow y=1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
अब,समीकरण को $y = \frac{x+6}{x^2-5x+6}$ के रूप में लिखें।
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-5x+6)(1) - (x+6)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}$।
$x=0$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{(0-0+6)(1) - (0+6)(0-5)}{(0-0+6)^2} = \frac{6 - (-30)}{36} = \frac{36}{36} = 1$।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$।
$(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -1(x - 0)$ है,जो $y = -x + 1$ या $x + y = 1$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ के लिए,$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,अभिलंब $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है।

(D) दिया गया वक्र $y = x \log x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \log x$.
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 1 + \log x$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1 + \log x}$ होती है।
दी गई रेखा $2x - 2y = 3$ है,जिसे $2y = 2x - 3$ या $y = x - \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $1$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{1}{1 + \log x} = 1$.
$-1 = 1 + \log x \implies \log x = -2$.
$x = e^{-2}$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = x \log x = e^{-2} \cdot (-2) = -2e^{-2}$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(e^{-2}, -2e^{-2})$ हैं।

(A) दिया गया वक्र $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{y}{x}}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-y_1)=-\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x-x_1)$ है।
$\sqrt{x_1}$ से गुणा करने पर,$\sqrt{x_1}y - \sqrt{x_1}y_1 = -\sqrt{y_1}x + \sqrt{y_1}x_1$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1}y_1 + \sqrt{y_1}x_1 = \sqrt{x_1y_1}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1})$।
चूंकि $\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}=\sqrt{a}$,समीकरण $\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1y_1a}$ बन जाता है।
$\sqrt{x_1y_1a}$ से विभाजित करने पर,$\frac{x}{\sqrt{x_1a}} + \frac{y}{\sqrt{y_1a}} = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $\sqrt{x_1a}$ है और $y$-अंतःखंड $\sqrt{y_1a}$ है।
अंतःखंडों का योग $\sqrt{a}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}) = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ है।

(B) वक्र का दिया गया समीकरण $y=1-e^{\frac{x}{3}} \dots (i)$ है।
चूंकि वक्र $Y$-अक्ष को काटता है,इसलिए हम $x=0$ रखते हैं।
$(i)$ में $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर,$y=1-e^{0}=1-1=0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} e^{\frac{x}{3}}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, 0)$ पर,ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = -\frac{1}{3} e^{0} = -\frac{1}{3}$ है।
$(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{3}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3y = -x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x + 3y = 0$ मिलता है।

(A) दिया गया वक्र $y(x) = 1 + \sqrt{4x-3}$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-3}}$.
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{2}{3}$ दी गई है,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{4x-3}} = \frac{2}{3}$.
इसका अर्थ है $\sqrt{4x-3} = 3$,इसलिए $4x-3 = 9$,जिससे $4x = 12$ अर्थात $x = 3$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ को वक्र के समीकरण में रखने पर,$y = 1 + \sqrt{4(3)-3} = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ $(3, 4)$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: $m_{normal} = -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$(3, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 3)$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$2y - 8 = -3x + 9$,जो $3x + 2y - 17 = 0$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 7)$ के लिए: $3(1) + 2(7) - 17 = 3 + 14 - 17 = 0$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,अभिलंब $(1, 7)$ से होकर गुजरता है।

(A) दिए गए प्राचल समीकरण $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$ हैं।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर बिंदु के निर्देशांक $x = a \cos^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ और $y = a \sin^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ हैं।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -1(x - \frac{a}{2 \sqrt{2}})$.
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -x + \frac{a}{2 \sqrt{2}}$.
$x + y = \frac{a}{2 \sqrt{2}} + \frac{a}{2 \sqrt{2}} = \frac{2a}{2 \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण $y^2 = px^3 + q \dots (i)$ है।
चूंकि बिंदु $(2, 3)$ वक्र पर स्थित है,हम $x=2$ और $y=3$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3^2 = p(2)^3 + q \Rightarrow 9 = 8p + q \dots (ii)$.
$(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$.
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$ है।
दी गई स्पर्शरेखा रेखा $y = 4x - 5$ है,जिसकी ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $2p = 4 \Rightarrow p = 2$.
$p = 2$ को $(ii)$ में रखने पर:
$9 = 8(2) + q \Rightarrow 9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$.
अतः,$p = 2$ और $q = -7$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है।
चूंकि वक्र $X$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,यह $(-2,0)$ से गुजरता है और $x=-2$ पर इसका अवकलज $0$ है।
$(-2,0)$ को समीकरण में रखने पर: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \dots (i)$.
साथ ही,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ है।
$x=-2$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow 3a(4) + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \dots (ii)$.
वक्र $Y$-अक्ष को $Q$ पर काटता है। $x=0$ रखने पर,$y=5$,अतः $Q$ बिंदु $(0,5)$ है।
$Q$ पर प्रवणता $3$ है,इसलिए $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर:
$8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \dots (iii)$.
$12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \dots (iv)$.
$(iv)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$।

(A) दिए गए वक्र $y=10-x^2$ और $y=2+x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों की तुलना करें: $10-x^2 = 2+x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x=2$ के लिए,$y=6$. $x=-2$ के लिए,$y=6$. आइए बिंदु $(2, 6)$ पर विचार करें।
प्रथम वक्र $y=10-x^2$ के लिए,ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = -2x$. $x=2$ पर,$m_1 = -4$.
दूसरे वक्र $y=2+x^2$ के लिए,ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ पर,$m_2 = 4$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)} \right| = \left| \frac{-8}{1 - 16} \right| = \left| \frac{-8}{-15} \right| = \frac{8}{15}$.
अतः,$|\tan \theta| = \frac{8}{15}$.

(B) दिया गया वक्र $y=x \log x$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 + \log x$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{1+\log x}$ है।
दी गई रेखा $2x-2y+3=0$ है,जिसे $y = x + \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की प्रवणता $m = 1$ है।
चूँकि अभिलंब दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी प्रवणताएँ समान होंगी:
$-\frac{1}{1+\log x} = 1$
$\Rightarrow 1+\log x = -1$
$\Rightarrow \log x = -2$
$\Rightarrow x = e^{-2}$।
$x = e^{-2}$ को $(i)$ में रखने पर,$y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2}(-2) = -2e^{-2}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(e^{-2}, -2e^{-2})$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - (-2e^{-2}) = 1(x - e^{-2})$
$y + 2e^{-2} = x - e^{-2}$
$x - y = 3e^{-2}$।

(D) दिया गया वक्र $y=\sqrt{9-2x^2}$ है।
यदि कोटि और भुज समान हैं,तो $y=x$ होगा।
वक्र के समीकरण में $y=x$ रखने पर: $x^2 = 9 - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$।
चूँकि $y = \sqrt{9-2x^2}$,$y$ धनात्मक होना चाहिए। इसलिए $x = \sqrt{3}$ लेने पर $y = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जो शर्त को पूरा करता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।
$y^2 = 9 - 2x^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = -4x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$।
बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ पर ढाल $m = -\frac{2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$।
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3} \Rightarrow 2x + y - 3\sqrt{3} = 0$।

(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $x=2y^2$ हैं।
वक्र $y=2x^2$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 4x$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,ढाल $m_1 = 4(1) = 4$ है।
वक्र $x=2y^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 = 4y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{1}{4(1)} = \frac{1}{4}$ है।
माना दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के लिए सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{4 - 1/4}{1 + 4(1/4)} \right| = \left| \frac{15/4}{1 + 1} \right| = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $xy + ax + by = 0$।
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
अब,समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(x + b) = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
बिंदु $(1, 1)$ पर ढाल $2$ दी गई है:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
अंत में,$3a + b$ का मान:
$3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$.

(B) जीवा $AB$ की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-3)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा जीवा $AB$ के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल भी $2$ होनी चाहिए।
दिए गए वक्र $y = x - \frac{4}{x}$ के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{4}{x^2}$ है।
अवकलज को जीवा की ढाल के बराबर रखने पर: $1 + \frac{4}{x^2} = 2$.
यह सरल होकर $\frac{4}{x^2} = 1$ देता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 4$,इसलिए $x = \pm 2$.
जब $x = 2$ है,तो $y = 2 - \frac{4}{2} = 0$.
जब $x = -2$ है,तो $y = -2 - \frac{4}{-2} = -2 + 2 = 0$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 0)$ और $(-2, 0)$ हैं।

(C) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=2(\cos t+t \sin t)$ और $y=2(\sin t-t \cos t)$ हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 2(-\sin t + \sin t + t \cos t) = 2t \cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2(\cos t - \cos t + t \sin t) = 2t \sin t$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t \sin t}{2t \cos t} = \tan t$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{\tan t} = -\frac{\cos t}{\sin t}$ है।
बिंदु '$t$' पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है:
$y - 2(\sin t - t \cos t) = -\frac{\cos t}{\sin t} [x - 2(\cos t + t \sin t)]$
$\sin t$ से गुणा करने पर:
$y \sin t - 2 \sin^2 t + 2t \sin t \cos t = -x \cos t + 2 \cos^2 t + 2t \sin t \cos t$
$x \cos t + y \sin t = 2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \cos t + y \sin t = 2$
रेखा $Ax + By + C = 0$ की मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी $\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = \cos t$,$B = \sin t$,और $C = -2$ है।
दूरी $= \frac{|-2|}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}} = \frac{2}{1} = 2$ इकाई।

(C) $y^2=px^3+q$ ... $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$
रेखा $y=4x-5$ की ढाल $4$ है।
चूंकि रेखा वक्र को स्पर्श करती है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र $y^2=px^3+q$ पर स्थित है,इसलिए हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$
$p=2$ रखने पर:
$9 = 8(2) + q$
$9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$
अतः,$p-q = 2 - (-7) = 2 + 7 = 9$.

(C) दिया गया वक्र $y = \frac{x}{x^2-3}$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-3)(1) - x(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2-3-2x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{-(x^2+3)}{(x^2-3)^2}$.
रेखा $2x + 6y - 11 = 0$ की ढाल $m = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $-\frac{1}{3}$ होगी।
अतः,$\frac{-(\alpha^2+3)}{(\alpha^2-3)^2} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3(\alpha^2+3) = (\alpha^2-3)^2$.
माना $t = \alpha^2$. तब $3t + 9 = t^2 - 6t + 9 \Rightarrow t^2 - 9t = 0$.
चूंकि $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$,$\alpha^2 \neq 0$,इसलिए $\alpha^2 = 9$,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm 3$.
यदि $\alpha = 3$,तो $\beta = \frac{3}{3^2-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
यदि $\alpha = -3$,तो $\beta = \frac{-3}{(-3)^2-3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
अब,$|6\alpha + 2\beta|$ का मान ज्ञात करते हैं:
बिंदु $(3, 1/2)$ के लिए,$|6(3) + 2(1/2)| = |18 + 1| = 19$.
बिंदु $(-3, -1/2)$ के लिए,$|6(-3) + 2(-1/2)| = |-18 - 1| = |-19| = 19$.
अतः,$|6\alpha + 2\beta| = 19$.

(B) वक्र $y=f(x)$ के किसी बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ है।
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता फलन के अवकलज से $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(x)}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
बिंदु $(3,4)$ पर,$m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ होता है।
अभिलंब की प्रवणता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$
$f^{\prime}(3) = 1$.

(A) चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र $y^2=px^3+q$ पर स्थित है,इसलिए हमारे पास है:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$ ...$(i)$
अब,वक्र के समीकरण $y^2=px^3+q$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
स्पर्शरेखा $y=4x-5$ की ढाल $4$ है। इसलिए,$(2,3)$ पर अवकलज का मान $4$ के बराबर होना चाहिए:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = 4$
$\frac{12p}{6} = 4$
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$ ...$(ii)$
$p=2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$8(2) + q = 9$
$16 + q = 9$
$q = 9 - 16 = -7$
अतः,$p=2$ और $q=-7$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=t^2$ और $y=2t$ हैं।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dx}{dt} = 2t$ और $\frac{dy}{dt} = 2$।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ है।
$t=2$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -2$ है।
$t=2$ पर,बिंदु के निर्देशांक $x = (2)^2 = 4$ और $y = 2(2) = 4$ हैं।
$(4, 4)$ बिंदु पर और $m_N = -2$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $(y - y_1) = m_N(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(y - 4) = -2(x - 4)$।
$y - 4 = -2x + 8$।
$2x + y - 12 = 0$।

(A) दिया गया वक्र $y=x^3+ax-b$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2+a$ है।
रेखा $y-x+4=0$ की ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m_2 = -1$।
बिंदु $(1,-5)$ पर,$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2+a = 3+a$।
$3+a = -1$ रखने पर,हमें $a = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(1,-5)$ वक्र पर स्थित है,हम $x=1, y=-5, a=-4$ को समीकरण में रखते हैं:
$-5 = (1)^3 + (-4)(1) - b
-5 = 1 - 4 - b
-5 = -3 - b
b = 2$।
वक्र का समीकरण $y = x^3 - 4x - 2$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(2,-2)$ के लिए: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$।
चूंकि बिंदु $(2,-2)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह वक्र पर स्थित है।

(D) दिया गया वक्र $\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(a, b)$ से गुजरने वाली और $-\frac{b}{a}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण है:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
$ab$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण $y = 4xe^{x}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 4(e^{x} + xe^{x}) = 4e^{x}(1 + x)$.
अब,बिंदु $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ पर ढाल का मान ज्ञात करते हैं:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-1} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
चूंकि स्पर्श रेखा की ढाल $0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है।
बिंदु $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा का समीकरण $y = y_{1}$ होता है,अर्थात $y = -\frac{4}{e}$।

(A) दिया गया वक्र: $y = \sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 = 2\sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m$:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2$.
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = \sqrt{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1$.
स्पर्श बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$:
$(y - 1) = -2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$y - 1 = -2x + \frac{\pi}{2}$
$2x + y - \frac{\pi}{2} - 1 = 0$.

(D) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूँकि यह $X$-अक्ष को $P(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है और इस बिंदु पर प्रवणता $0$ है।
$P(-2,0)$ को समीकरण में रखने पर: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \quad (1)$.
अवकलन $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ है। $P(-2,0)$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0$: $3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \quad (2)$.
वक्र $Y$-अक्ष को $Q(0,k)$ पर काटता है। $Q$ पर,$x=0$ और प्रवणता $3$ है: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 3(a)(0)^2 + 2(b)(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ को $(1)$ और $(2)$ में रखने पर:
$(1): 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \quad (3)$.
$(2): 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \quad (4)$.
$(4)$ में से $(3)$ घटाने पर: $(12a - 8a) = -3 - (-1) \Rightarrow 4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को $(3)$ में रखने पर: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$.

(D) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं: $x=4 \sec \theta$ और $y=4 \tan^2 \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 4 \sec \theta \tan \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = 8 \tan \theta \sec^2 \theta$।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{8 \tan \theta \sec^2 \theta}{4 \sec \theta \tan \theta} = 2 \sec \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $2 \sec(\frac{\pi}{4}) = 2 \sqrt{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $= -\frac{1}{\text{स्पर्शरेखा की ढाल}} = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,बिंदु $(x, y) = (4 \sec \frac{\pi}{4}, 4 \tan^2 \frac{\pi}{4}) = (4 \sqrt{2}, 4)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - 4 = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}(x - 4 \sqrt{2})$।
$2 \sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$2 \sqrt{2} y - 8 \sqrt{2} = -x + 4 \sqrt{2}$।
अतः,$x + 2 \sqrt{2} y = 12 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा $6x - y - 4 = 0$ की प्रवणता (slope) $6$ है। चूंकि यह रेखा वक्र $y^{2} = ax^{3} + b$ को बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए इस बिंदु पर अवकलज का मान रेखा की प्रवणता के बराबर होगा।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$.
बिंदु $(1, 2)$ पर प्रवणता $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)} = \frac{3a(1)^{2}}{2(2)} = \frac{3a}{4}$ है।
प्रवणता को $6$ के बराबर रखने पर:
$\frac{3a}{4} = 6 \Rightarrow 3a = 24 \Rightarrow a = 8$.
चूंकि बिंदु $(1, 2)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2)^{2} = a(1)^{3} + b \Rightarrow 4 = 8(1) + b \Rightarrow b = 4 - 8 = -4$.
अतः,$a + b = 8 + (-4) = 4$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $2x^{2} + 3y^{2} - 5 = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{6y} = -\frac{2x}{3y}$.
बिंदु $P(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $(m_{t})$:
$m_{t} = -\frac{2(1)}{3(1)} = -\frac{2}{3}$.
अभिलंब की ढाल $(m_{n})$ स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = 3(x - 1)$
$2y - 2 = 3x - 3$
$3x - 2y - 1 = 0$.

(C) दिया गया वक्र $y = \sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)$ है।
सबसे पहले,स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi x}{4}\right)$.
बिंदु $(2, 1)$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_t$ है:
$m_t = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1)} = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \times 0 = 0$.
चूंकि स्पर्शरेखा की ढाल $0$ है,इसलिए स्पर्शरेखा $X$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है।
इसलिए,अभिलंब,जो स्पर्शरेखा के लंबवत है,एक ऊर्ध्वाधर रेखा होनी चाहिए।
बिंदु $(2, 1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = 2$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया वक्र का समीकरण $2x^{2} + y^{2} = 12$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$।
बिंदु $(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{t} = -\frac{2(2)}{2} = -2$ है।
बिंदु $(2, 2)$ पर अभिलंब की ढाल $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $(2, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_{1} = m_{n}(x - x_{1})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)$।
$2$ से गुणा करने पर,$2y - 4 = x - 2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x - 2y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) रेखा $y=4x-5$ की ढाल $4$ है।
चूंकि रेखा वक्र को बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए इस बिंदु पर वक्र का अवकलज रेखा की ढाल के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $y^{2}=ax^{3}+b$,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^{2}}{2y}$।
बिंदु $(2,3)$ पर,ढाल $\frac{3a(2)^{2}}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ है।
इसे रेखा की ढाल के बराबर रखने पर,$2a = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र $y^{2}=ax^{3}+b$ पर स्थित है,हम समीकरण में $x=2, y=3$ और $a=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$3^{2} = 2(2)^{3} + b$
$9 = 2(8) + b$
$9 = 16 + b$
$b = 9 - 16 = -7$।
अतः,$a=2$ और $b=-7$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = \log_e x$ है।
सबसे पहले,बिंदु $P(1, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालें।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$।
बिंदु $P(1, 0)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 0)} = \frac{1}{1} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 0)$ से गुजरने वाली और $m_n = -1$ ढाल वाली अभिलंब रेखा का समीकरण है:
$y - y_1 = m_n(x - x_1)$
$y - 0 = -1(x - 1)$
$y = -x + 1$
$x + y = 1$।

(A) दिया गया वक्र: $y^2 = ax^3 + b$.
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $3^2 = a(2)^3 + b$,जो $9 = 8a + b$ (समीकरण $1$) में सरल होता है।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ है।
दी गई रेखा $y = 4x - 5$ की ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $2a = 4$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $9 = 8(2) + b \Rightarrow 9 = 16 + b \Rightarrow b = -7$.
अब,$7a + 2b$ का मान ज्ञात करने पर: $7(2) + 2(-7) = 14 - 14 = 0$.

(C) दिया गया वक्र $y = \sqrt{x - 1}$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ है।
रेखा का समीकरण $2x + y - 5 = 0$ है,जिसे $y = -2x + 5$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = -2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
मान रखने पर,$\left(\frac{1}{2\sqrt{x - 1}}\right) \times (-2) = -1$।
इसे सरल करने पर $\frac{-1}{\sqrt{x - 1}} = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x - 1} = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x - 1 = 1$,अतः $x = 2$।
$x = 2$ को वक्र के समीकरण में रखने पर,$y = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 1)$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = c \cdot \frac{1}{c} \cdot \sinh \left(\frac{x}{c}\right) = \sinh \left(\frac{x}{c}\right)$
अभिलंब की लंबाई का सूत्र है:
$L = |y| \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}$
मान रखने पर:
$L = y \sqrt{1 + \sinh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
सर्वसमिका $\cosh^{2} \theta - \sinh^{2} \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$1 + \sinh^{2} \theta = \cosh^{2} \theta$:
$L = y \sqrt{\cosh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
$L = y \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $\cosh \left(\frac{x}{c}\right) = \frac{y}{c}$:
$L = y \cdot \left(\frac{y}{c}\right) = \frac{y^{2}}{c}$
अतः,अभिलंब की लंबाई $\frac{y^{2}}{c}$ है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y^{2} = ax^{2} + b$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax$
$\frac{dy}{dx} = \frac{ax}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{a(2)}{3} = \frac{2a}{3}$ है।
दी गई स्पर्शरेखा का समीकरण $y = 4x - 5$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,अतः ढाल $m = 4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2a}{3} = 4 \Rightarrow 2a = 12 \Rightarrow a = 6$।
चूंकि बिंदु $(2, 3)$ वक्र पर स्थित है,यह वक्र के समीकरण $y^{2} = ax^{2} + b$ को संतुष्ट करेगा:
$(3)^{2} = 6(2)^{2} + b$
$9 = 6(4) + b$
$9 = 24 + b$
$b = 9 - 24 = -15$।
अतः,$a = 6$ और $b = -15$ है।

(B) दिया गया वक्र $y=4 x e^{x}$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = 4e^{x} + 4x e^{x} = 4e^{x}(1+x)$.
अब,बिंदु $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ पर ढाल ज्ञात करें:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -4/e)} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
चूंकि ढाल $0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा एक क्षैतिज रेखा है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है:
$y - (-\frac{4}{e}) = 0(x - (-1))$.
$y + \frac{4}{e} = 0$.
अतः,$y = -\frac{4}{e}$.

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-6x-9$।
चूँकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0$।
अवकलन का मान रखने पर:
$3x^{2}-6x-9 = 0$।
$3$ से भाग देने पर:
$x^{2}-2x-3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-3)(x+1) = 0$।
अतः,$x$ के मान (भुज) $x=3$ और $x=-1$ हैं।

(C) दिए गए वक्र $r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ और $r_2 = 2 \sin \theta$ हैं।
प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,$r_1 = r_2$ रखें:
$\sin \theta + \cos \theta = 2 \sin \theta \Rightarrow \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
$r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ के लिए,$\frac{dr_1}{d\theta} = \cos \theta - \sin \theta$। मान लीजिए $\phi_1$ स्पर्शरेखा और त्रिज्या सदिश के बीच का कोण है,तो $\tan \phi_1 = \frac{r_1}{dr_1/d\theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan \phi_1 = \frac{1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - 1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{0} = \infty \Rightarrow \phi_1 = \frac{\pi}{2}$।
$r_2 = 2 \sin \theta$ के लिए,$\frac{dr_2}{d\theta} = 2 \cos \theta$। तब $\tan \phi_2 = \frac{r_2}{dr_2/d\theta} = \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} = \tan \theta$।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan \phi_2 = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow \phi_2 = \frac{\pi}{4}$।
प्रतिच्छेदन का कोण $\psi = |\phi_1 - \phi_2| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$।

(C) वक्र $y = \sin x$ और $y = \cos x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\sin x = \cos x$ हो,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$। चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर है।
मान लीजिए $x = \frac{\pi}{4}$ पर वक्रों की स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
$y = \sin x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \cos x$। अतः,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$y = \cos x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = -\sin x$। अतः,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$।