Tangent and Normal Questions in Hindi

(A) दिया गया वक्र $x^4 + y^4 = a^4$ है।
माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4x^3 + 4y^3 \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^3}{y^3}$।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{x_1^3}{y_1^3}$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{x_1^3}{y_1^3}(x - x_1)$ है।
इसे सरल करने पर $y y_1^3 - y_1^4 = -x x_1^3 + x_1^4$,या $x x_1^3 + y y_1^3 = x_1^4 + y_1^4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,$x_1^4 + y_1^4 = a^4$,इसलिए समीकरण $x x_1^3 + y y_1^3 = a^4$ है।
$x$-अंतःखंड $p$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखने पर,$p = \frac{a^4}{x_1^3}$ मिलता है।
$y$-अंतःखंड $q$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखने पर,$q = \frac{a^4}{y_1^3}$ मिलता है।
अब,$p^{-4/3} + q^{-4/3} = (\frac{a^4}{x_1^3})^{-4/3} + (\frac{a^4}{y_1^3})^{-4/3}$ की गणना करने पर।
$= a^{-16/3} (x_1^4 + y_1^4) = a^{-16/3} (a^4) = a^{4 - 16/3} = a^{-4/3}$।

(D) माना वक्र पर बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
दिया गया वक्र $ay^2 = x^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2ay \frac{dy}{dx} = 3x^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2ay}$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m = -\frac{1}{(dy/dx)_{(x_1, y_1)}} = -\frac{2ay_1}{3x_1^2}$ है।
चूँकि अभिलंब अक्षों पर समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी प्रवणता $\pm 1$ होनी चाहिए। वक्र की ज्यामिति के अनुसार,समान अंतःखंड के लिए प्रवणता $-1$ लेने पर।
अतः,$-\frac{2ay_1}{3x_1^2} = -1$,जिसका अर्थ है $2ay_1 = 3x_1^2$।
वक्र के समीकरण से,$ay_1^2 = x_1^3$ है। पहले संबंध का वर्ग करने पर: $4a^2y_1^2 = 9x_1^4$।
$ay_1^2 = x_1^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4a(x_1^3) = 9x_1^4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x_1 \neq 0$,इसलिए $4a = 9x_1$,अर्थात $x_1 = \frac{4a}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y = x(2 - x) = 2x - x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2 - 2x$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 0)} = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $(2, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ है।
मान रखने पर,$y - 0 = \frac{1}{2}(x - 2)$ प्राप्त होता है।
$2y = x - 2$,जिसे सरल करने पर $x - 2y = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y = a^{1-n}x^n$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = n a^{1-n} x^{n-1}$.
किसी बिंदु $(x, y)$ पर अधोलंब की लंबाई का सूत्र $L = |y \cdot \frac{dy}{dx}|$ है।
मान रखने पर:
$L = |(a^{1-n}x^n) \cdot (n a^{1-n} x^{n-1})| = |n a^{2(1-n)} x^{2n-1}|$.
अधोलंब की लंबाई स्थिर रहने के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$2n - 1 = 0$,जिसका अर्थ है कि $n = 1/2$.

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta) = a(2 \cos^2 \frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta = 2a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2a \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होती है।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\pi / 4$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $\tan(\pi / 4) = 1$ है।
अतः,$\tan \frac{\theta}{2} = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,यानी $\theta = \frac{\pi}{2}$।
अब,$\theta = \frac{\pi}{2}$ का मान $x$ और $y$ के समीकरणों में रखने पर:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2}) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$
$y = a(1 - \cos \frac{\pi}{2}) = a(1 - 0) = a$
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( a\left( \frac{\pi}{2} + 1 \right), a \right)$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $y = 2 + \sqrt{4x + 1}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2 + \sqrt{4x + 1}) = 0 + \frac{1}{2\sqrt{4x + 1}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$.
हमें दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2}{5}$ है।
अतः,$\frac{2}{\sqrt{4x + 1}} = \frac{2}{5}$.
इसका अर्थ है $\sqrt{4x + 1} = 5$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4x + 1 = 25$.
$4x = 24$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = 6$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$y = 2 + \sqrt{4(6) + 1} = 2 + \sqrt{25} = 2 + 5 = 7$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(6, 7)$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = x^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 3x^2$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल उस बिंदु के $y$-निर्देशांक के बराबर है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y$.
मान रखने पर,$3x^2 = x^3$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x^3 - 3x^2 = 0$,जिसे $x^2(x - 3) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$x = 0$ या $x = 3$ है।
यदि $x = 0$ है,तो $y = 0^3 = 0$। बिंदु $(0, 0)$ है।
यदि $x = 3$ है,तो $y = 3^3 = 27$। बिंदु $(3, 27)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(3, 27)$ सही बिंदु है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$.
यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के लंबवत है,तो ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होनी चाहिए,जो तब होता है जब हर शून्य हो।
अतः,$x = 0$.
मूल समीकरण $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ में $x = 0$ रखने पर:
$\sqrt{0} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \implies \sqrt{y} = \sqrt{a} \implies y = a$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, a)$ है।

(D) दिया गया वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$।
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$।
बिंदु $(4, 4)$ पर,ढाल $m = -\sqrt{\frac{4}{4}} = -1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(4, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 4 = -1(x - 4)$ है,जिसे सरल करने पर $y - 4 = -x + 4$ या $x + y = 8$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,समीकरण को अंतःखंड रूप में लिखने पर: $\frac{x}{8} + \frac{y}{8} = 1$।
$x$-अंतःखंड $8$ है और $y$-अंतःखंड $8$ है।
अतः,अंतःखंडों का योग $8 + 8 = 16$ है।

(C) वक्र का समीकरण $y^n = a^{n-1}x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a^{n-1}$
अतः,किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(x_1, y_1)} = \frac{a^{n-1}}{n y_1^{n-1}}$
अधोलंब की लंबाई का सूत्र:
$L = |y_1 \cdot \frac{dy}{dx}| = |y_1 \cdot \frac{a^{n-1}}{n y_1^{n-1}}| = |\frac{a^{n-1}}{n} y_1^{2-n}|$
अधोलंब की लंबाई स्थिर होने के लिए,यह व्यंजक $y_1$ से स्वतंत्र होना चाहिए। यह तभी संभव है जब $y_1$ का घातांक $0$ हो।
अतः,$2 - n = 0$,जिसका अर्थ है $n = 2$।

(B) दिया गया वक्र $xy = 4$ है,जिसे हम $y = \frac{4}{x}$ लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जिसे $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्शरेखा है,इसलिए वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए:
$-\frac{4}{x^2} = -\frac{a}{b}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{a}{b}$.
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ है और $4 > 0$ है,इसलिए $\frac{a}{b} > 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a$ और $b$ के चिह्न समान होने चाहिए (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक)।

(A) माना वक्र पर बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। चूँकि $P$ वक्र $y = x^2 + 3x$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = x_1^2 + 3x_1$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x + 3$ द्वारा दी जाती है।
अतः,ढाल $m = 2x_1 + 3$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = (2x_1 + 3)(x - x_1)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(0, -9)$ से होकर गुजरती है,हम $x = 0$ और $y = -9$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$-9 - y_1 = (2x_1 + 3)(0 - x_1)$
$-9 - y_1 = -2x_1^2 - 3x_1$
$y_1 = 2x_1^2 + 3x_1 - 9$
$y_1$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$x_1^2 + 3x_1 = 2x_1^2 + 3x_1 - 9$
$x_1^2 = 9$
$x_1 = \pm 3$
यदि $x_1 = 3$ है,तो $y_1 = (3)^2 + 3(3) = 18$। बिंदु $(3, 18)$ है।
यदि $x_1 = -3$ है,तो $y_1 = (-3)^2 + 3(-3) = 0$। बिंदु $(-3, 0)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही बिंदु $(-3, 0)$ है।

(C) यहाँ $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$ और $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta)$ दिया गया है।
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a\theta \sin \theta$.
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta$ है।
बिंदु $\theta$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\cot \theta (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a\theta \cos \theta \sin \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a\theta \sin \theta \cos \theta$.
$x \cos \theta + y \sin \theta = a(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a$.
मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की दूरी $d = \frac{|a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |a|$ है,जो कि स्थिर है।

(D) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^3 + 3x^2 = 12y$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 12) = -6x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{6x}{3y^2 - 12} = -\frac{2x}{y^2 - 4}$।
स्पर्श रेखा के ऊर्ध्वाधर होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होनी चाहिए,जो तब होता है जब हर (denominator) शून्य हो:
$y^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$।
स्थिति $1$: यदि $y = 2$,तो मूल समीकरण में रखने पर:
$(2)^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{3} \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$।
स्थिति $2$: यदि $y = -2$,तो मूल समीकरण में रखने पर:
$(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$।
वास्तविक $x$ के लिए $x^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $y = -2$ के लिए कोई वास्तविक बिंदु नहीं है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = x + \frac{4}{x^{2}}$.
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^{3}}$.
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $0$ होनी चाहिए:
$1 - \frac{8}{x^{3}} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$\frac{8}{x^{3}} = 1 \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$.
अब,मूल वक्र के समीकरण में $x = 2$ रखकर संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = 2 + \frac{4}{2^{2}} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
स्पर्श बिंदु $(2, 3)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = k$ के रूप में होगा। स्पर्श बिंदु का $y$-निर्देशांक रखने पर,हमें $y = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y = \int_{0}^{x} |t| dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = |x|$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $y = 2x$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $2$ होनी चाहिए। अतः,$|x| = 2$,जिससे $x = 2$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ के लिए,$y = \int_{0}^{2} |t| dt = \int_{0}^{2} t dt = [\frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = 2$। बिंदु $(2, 2)$ है।
$(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 2$ है। $y = 0$ रखने पर,$2x = 2$,अतः $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = -2$ के लिए,$y = \int_{0}^{-2} |t| dt = \int_{0}^{-2} (-t) dt = [-\frac{t^2}{2}]_{0}^{-2} = -2$। बिंदु $(-2, -2)$ है।
$(-2, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-2) = 2(x - (-2)) \Rightarrow y + 2 = 2x + 4 \Rightarrow y = 2x + 2$ है। $y = 0$ रखने पर,$2x = -2$,अतः $x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$-अक्ष पर अंतःखंड $\pm 1$ हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}\right)$.
$1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
अवकलज $f'(x) = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -2$ है।
$(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{\pi}{3} = -2(x - \frac{\pi}{6})$ है।
$y - \frac{\pi}{3} = -2x + \frac{\pi}{3} \Rightarrow y = -2x + \frac{2\pi}{3}$.
बिंदुओं की जाँच करने पर,यदि $x = 0$ है,तो $y = \frac{2\pi}{3}$। अतः,यह $(0, \frac{2\pi}{3})$ से होकर गुजरता है।

(C) वक्र का समीकरण $y(x - 2)(x - 3) = x + 6$ है,जिसे $y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y$-अक्ष पर,$x = 0$ होता है। समीकरण में $x = 0$ रखने पर,$y(0 - 2)(0 - 3) = 0 + 6$,जो $y(6) = 6$ हो जाता है,इसलिए $y = 1$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
अब,$y = \frac{x + 6}{x^2 - 5x + 6}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 - 5x + 6)(1) - (x + 6)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 6)^2}$.
बिंदु $(0, 1)$ पर,$x = 0$ और $x^2 - 5x + 6 = 6$ है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(6)(1) - (6)(-5)}{(6)^2} = \frac{6 + 30}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
स्पर्शरेखा की ढाल $1$ है। इसलिए,अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{1} = -1$ होगी।
बिंदु $(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -1(x - 0)$ है,जो $y - 1 = -x$ या $x + y = 1$ हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ समीकरण $x + y = 1$ को संतुष्ट करता है क्योंकि $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: ${y^n} = {a^{n - 1}}x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n{y^{n - 1}}\frac{{dy}}{{dx}} = {a^{n - 1}}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल: $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{{n{y^{n - 1}}}}$ है।
सबनॉर्मल की लंबाई का सूत्र: $\text{Subnormal} = y \left| \frac{{dy}}{{dx}} \right|$ है।
$\frac{{dy}}{{dx}}$ का मान रखने पर: $\text{Subnormal} = y \cdot \frac{{{a^{n - 1}}}}{{n{y^{n - 1}}}} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{n} \cdot y^{1 - (n - 1)} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{n} \cdot y^{2 - n}$ प्राप्त होता है।
सबनॉर्मल को स्थिर रहने के लिए,इसे $y$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $y$ का घातांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $2 - n = 0$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र का समीकरण $x^2 y^2 = a^4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^2 \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 2x = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$
बिंदु $(-a, a)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(-a, a)} = -\frac{a}{-a} = 1$
सबटेंजेंट की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ है।
मान रखने पर:
$\text{Subtangent} = \left| \frac{a}{1} \right| = a$.

(C) दिया गया वक्र $f(x) = x^2 + bx - b$ है। चूँकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $1 = 1^2 + b(1) - b$,जो $1 = 1$ है,यह पुष्टि करता है कि बिंदु किसी भी $b$ के लिए वक्र पर है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x + b$.
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(1) + b = 2 + b$ है।
$(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = (2 + b)(x - 1)$ है।
सरल करने पर,$y - 1 = (2 + b)x - (2 + b)$,जो $(2 + b)x - y = 1 + b$ देता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखने पर $x = \frac{1 + b}{2 + b}$ (बिंदु $A$) और $x = 0$ रखने पर $y = -(1 + b)$ (बिंदु $B$) प्राप्त होता है।
चूँकि त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,अंतःखंड धनात्मक होने चाहिए: $\frac{1 + b}{2 + b} > 0$ और $-(1 + b) > 0$.
इसका अर्थ है $1 + b < 0$ और $2 + b < 0$,अतः $b < -2$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{1 + b}{2 + b} \right| \times |-(1 + b)| = 2$ है।
चूँकि $b < -2$,$1 + b$ ऋणात्मक है और $2 + b$ ऋणात्मक है,इसलिए $\frac{1 + b}{2 + b} > 0$ और $-(1 + b) > 0$.
अतः,$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + b}{2 + b} \cdot (-(1 + b)) = 2$.
$-(1 + b)^2 = 4(2 + b) \Rightarrow -(1 + 2b + b^2) = 8 + 4b \Rightarrow b^2 + 6b + 9 = 0$.
$(b + 3)^2 = 0$,इसलिए $b = -3$. यह $b < -2$ को संतुष्ट करता है।

(A) वक्र $y = \sqrt{x}$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = x$ ($y \ge 0$ के लिए)।
वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2y}$ है।
वक्र पर एक बिंदु $(x_0, y_0)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{(dy/dx)} = -2y_0$ है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(3, 6)$ से गुजरता है,ढाल $m = \frac{y_0 - 6}{x_0 - 3}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-2y_0 = \frac{y_0 - 6}{y_0^2 - 3}$ (क्योंकि $x_0 = y_0^2$)।
$-2y_0(y_0^2 - 3) = y_0 - 6$ $\Rightarrow -2y_0^3 + 6y_0 = y_0 - 6$ $\Rightarrow 2y_0^3 - 5y_0 - 6 = 0$.
$y_0 = 2$ समीकरण को संतुष्ट करता है: $2(8) - 5(2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0$.
$y_0 = 2$ के लिए,वक्र पर बिंदु $(4, 2)$ है और अभिलंब की ढाल $m = -2(2) = -4$ है।
रेखा का समीकरण $y - 6 = -4(x - 3)$ $\Rightarrow y - 6 = -4x + 12$ $\Rightarrow 4x + y - 18 = 0$ है।

(B) वृत्त का समीकरण दिया गया है: $x^2 + y^2 = R^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy' = 0$,जो सरल होकर $x + yy' = 0$ बनता है,अतः $y' = -\frac{x}{y}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 + (y')^2 + yy'' = 0$.
अतः,$y'' = -\frac{1 + (y')^2}{y}$.
$k$ का सूत्र $k = \frac{y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$ है।
$y''$ का मान रखने पर: $k = \frac{-(1 + (y')^2)}{y(1 + (y')^2)^{3/2}} = -\frac{1}{y\sqrt{1 + (y')^2}}$.
चूंकि $y' = -\frac{x}{y}$,इसलिए $1 + (y')^2 = 1 + \frac{x^2}{y^2} = \frac{y^2 + x^2}{y^2} = \frac{R^2}{y^2}$.
अतः,$\sqrt{1 + (y')^2} = \frac{R}{|y|}$.
इस मान को $k$ में रखने पर: $k = -\frac{1}{y \cdot (R/|y|)} = -\frac{1}{R} \cdot \frac{|y|}{y}$.
यदि हम $y > 0$ लें,तो $k = -\frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।

(B) वक्र $y = K e^{Kx}$ दिया गया है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
$x = 0$ पर,$y = K e^{K(0)} = K$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = K \cdot K e^{Kx} = K^2 e^{Kx}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,ढाल $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = K^2 e^0 = K^2$ है।
माना $\psi$ वह कोण है जो स्पर्शरेखा $x$-अक्ष के साथ बनाती है। तब $\tan \psi = m = K^2$ है।
वक्र $y$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह स्पर्शरेखा द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का पूरक कोण है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2} - \psi$ है।
अतः,$\tan \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \psi) = \cot \psi = \frac{1}{\tan \psi} = \frac{1}{K^2}$ है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{K^2}) = \cot^{-1}(K^2)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \int_{2}^{x} (2t - 5) \, dt$।
समाकलन करने पर: $f(x) = [t^2 - 5t]_{2}^{x} = (x^2 - 5x) - (4 - 10) = x^2 - 5x + 6$।
ग्राफ $x$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $f(x) = 0$ है।
$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0$,अतः $x = 2$ और $x = 3$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 0)$ और $(3, 0)$ हैं।
स्पर्श रेखा की ढाल $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5$ है।
$x = 2$ पर,$m_1 = 2(2) - 5 = -1$।
$x = 3$ पर,$m_2 = 2(3) - 5 = 1$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{-1 - 1}{1 + (-1)(1)} \right| = \left| \frac{-2}{0} \right| = \infty$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $x^2y = c^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{x}$।
बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = -\frac{2y}{x}(X - x)$ है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $a$ ज्ञात करने के लिए,$Y = 0$ रखें: $-y = -\frac{2y}{x}(a - x) \implies x = 2(a - x) \implies 3x = 2a \implies a = \frac{3x}{2}$।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड $b$ ज्ञात करने के लिए,$X = 0$ रखें: $b - y = -\frac{2y}{x}(0 - x) \implies b - y = 2y \implies b = 3y$।
अब,$a^2b$ की गणना करें: $a^2b = (\frac{3x}{2})^2(3y) = \frac{9x^2}{4} \cdot 3y = \frac{27}{4}x^2y$।
चूंकि $x^2y = c^3$ है,इसलिए $a^2b = \frac{27}{4}c^3$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र का समीकरण $xy^n = a^{n+1}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^n + x \cdot n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$x n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = -y^n$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^n}{n x y^{n-1}} = -\frac{y}{nx}$.
सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर:
$|y \cdot (-\frac{y}{nx})| = |-\frac{y^2}{nx}|$.
मूल समीकरण से,$y^n = \frac{a^{n+1}}{x}$,इसलिए $y^2 = (\frac{a^{n+1}}{x})^{2/n} = \frac{a^{2(n+1)/n}}{x^{2/n}}$.
इस मान को सबनॉर्मल के व्यंजक में रखने पर:
$|\frac{y^2}{nx}| = |\frac{a^{2(n+1)/n}}{n x \cdot x^{2/n}}| = |\frac{a^{2(n+1)/n}}{n x^{(n+2)/n}}|$.
सबनॉर्मल को स्थिर होने के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए,इसलिए $\frac{n+2}{n} = 0$,जिसका अर्थ है $n = -2$.
अतः,$n = -2$ के लिए सबनॉर्मल स्थिर है।

(B) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $A(a, 0)$ पर और $Y$-अक्ष को $B(0, -2a)$ पर काटती है (क्योंकि $OX$ पर खंड $OY$ पर कटे खंड का आधा है और $B$ ऋणात्मक $Y$-अक्ष पर है)।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{0 - (-2a)}{a - 0} = \frac{2a}{a} = 2$ है।
दिए गए वक्र $y = x^3 - 3x^2 - 7x + 6$ के लिए,किसी भी बिंदु पर ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 7$ है।
ढाल को $2$ के बराबर रखने पर: $3x_1^2 - 6x_1 - 7 = 2 \implies 3x_1^2 - 6x_1 - 9 = 0 \implies x_1^2 - 2x_1 - 3 = 0$।
$x_1$ के लिए हल करने पर: $(x_1 - 3)(x_1 + 1) = 0$,अतः $x_1 = 3$ या $x_1 = -1$।
यदि $x_1 = 3$ है,तो $y_1 = (3)^3 - 3(3)^2 - 7(3) + 6 = 27 - 27 - 21 + 6 = -15$। बिंदु $(3, -15)$ है।
यदि $x_1 = -1$ है,तो $y_1 = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 7(-1) + 6 = -1 - 3 + 7 + 6 = 9$। बिंदु $(-1, 9)$ है।
बिंदु $P(-1, 9)$ के लिए अंतःखंड की शर्त की जाँच करने पर: स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 9 = 2(x + 1) \implies y = 2x + 11$ है। $X$-अंतःखंड $A$ $(-5.5, 0)$ है,और $Y$-अंतःखंड $B$ $(0, 11)$ है। $OX$ पर लंबाई $5.5$ (ऋणात्मक दिशा) है,जो शर्त को पूरा नहीं करती है।
बिंदु $P(3, -15)$ के लिए जाँच करने पर: स्पर्श रेखा का समीकरण $y + 15 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 21$ है। $X$-अंतःखंड $A$ $(10.5, 0)$ है,और $Y$-अंतःखंड $B$ $(0, -21)$ है। $OX$ पर लंबाई $10.5$ है और $OY$ पर लंबाई $21$ है। चूंकि $10.5 = \frac{1}{2}(21)$,यह बिंदु शर्त को पूरा करता है।
अतः,सही बिंदु $(3, -15)$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $\frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} = 1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{2a}{x^3} - \frac{2b}{y^3} \frac{dy}{dx} = 0$.
इससे स्पर्श रेखा की ढाल प्राप्त होती है: $\frac{dy}{dx} = -\frac{ay^3}{bx^3}$.
बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $Y - y = -\frac{ay^3}{bx^3}(X - x)$.
$x-$अंतःखंड के लिए,$Y = 0$ रखने पर:
$-y = -\frac{ay^3}{bx^3}(X - x) \implies X - x = \frac{bx^3}{ay^2} \implies X = x + \frac{bx^3}{ay^2}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $X = x \left( 1 + \frac{bx^2}{ay^2} \right) = x \left( \frac{ay^2 + bx^2}{ay^2} \right)$.
चूंकि $\frac{a}{x^2} + \frac{b}{y^2} = 1$,इसलिए $ay^2 + bx^2 = x^2y^2$.
इस मान को $X$ में प्रतिस्थापित करने पर: $X = x \left( \frac{x^2y^2}{ay^2} \right) = \frac{x^3}{a}$.
अतः,$x-$अंतःखंड भुज $x$ के घन $x^3$ के समानुपाती है।

(D) मूल बिंदु $(0,0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम वक्रों के न्यूनतम घात वाले पदों पर विचार करते हैं।
प्रथम वक्र $y^3 - x^2y + 5y - 2x = 0$ के लिए,न्यूनतम घात वाले पद $5y - 2x = 0$ हैं।
अतः,$5y = 2x$,जिससे $y = \frac{2}{5}x$ प्राप्त होता है। ढाल $m_1 = \frac{2}{5}$ है।
द्वितीय वक्र $x^4 - x^3y^2 + 5x + 2y = 0$ के लिए,न्यूनतम घात वाले पद $5x + 2y = 0$ हैं।
अतः,$2y = -5x$,जिससे $y = -\frac{5}{2}x$ प्राप्त होता है। ढाल $m_2 = -\frac{5}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \cdot m_2 = (\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{5}{2}) = -1$,इसलिए स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया वक्र $9y^2 = x^3$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \frac{x_1^2}{6y_1}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ होगी।
चूंकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $-1$ होनी चाहिए।
अतः,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$।
इस मान को वक्र के समीकरण $9y_1^2 = x_1^3$ में रखने पर: $9(\frac{x_1^2}{6})^2 = x_1^3 \implies 9(\frac{x_1^4}{36}) = x_1^3 \implies \frac{x_1^4}{4} = x_1^3$।
इससे $x_1 = 4$ प्राप्त होता है। अतः $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$।
इस प्रकार,बिंदु $(4, \frac{8}{3})$ और $(4, -\frac{8}{3})$ हैं। विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया वक्र $y = x^n$ है।
बिंदु $P(a, a^n)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = n x^{n-1} = n a^{n-1}$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{n a^{n-1}}$ है।
$(a, a^n)$ से गुजरने वाली अभिलंब रेखा का समीकरण $y - a^n = -\frac{1}{n a^{n-1}}(x - a)$ है।
$y-$ अंतःखंड $b$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x = 0$ रखते हैं:
$b - a^n = -\frac{1}{n a^{n-1}}(0 - a)$
$b - a^n = \frac{a}{n a^{n-1}} = \frac{1}{n a^{n-2}}$
$b = a^n + \frac{1}{n a^{n-2}}$.
अब,हम सीमा $\mathop {Lim}\limits_{a \to 0} b = \mathop {Lim}\limits_{a \to 0} (a^n + \frac{1}{n a^{n-2}})$ का मूल्यांकन करते हैं।
यदि $n=2$ है,तो $b = a^2 + \frac{1}{2 a^0} = a^2 + \frac{1}{2}$ होगा।
जैसे ही $a \to 0$,$b \to 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 2$ दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

(B) मान लीजिए स्पर्श रेखा $y = mx + c$ है।
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = x^2 + 8$। $mx + c = x^2 + 8$ रखने पर,हमें $x^2 - mx + (8 - c) = 0$ प्राप्त होता है। स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$,इसलिए $m^2 - 4(8 - c) = 0$,जिसका अर्थ है $m^2 = 32 - 4c$ (समीकरण $1$)।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = -x^2$। $mx + c = -x^2$ रखने पर,हमें $x^2 + mx + c = 0$ प्राप्त होता है। स्पर्श रेखा होने के लिए,$D = 0$,इसलिए $m^2 - 4c = 0$,जिसका अर्थ है $m^2 = 4c$ (समीकरण $2$)।
$m^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $4c = 32 - 4c$,जिससे $8c = 32$ प्राप्त होता है,अतः $c = 4$।
समीकरण $2$ में $c = 4$ रखने पर,$m^2 = 16$,इसलिए $m = \pm 4$। चूंकि स्पर्श रेखा को दोनों शाखाओं को स्पर्श करना चाहिए,हम रेखा $y = 4x + 4$ पर विचार करते हैं।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $0 = 4x + 4$,जिससे $x = -1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ है।
जहाँ $x = a$ है,वहाँ $(\frac{a}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ होगा,जिसका अर्थ है $1 + (\frac{y}{b})^n = 2$,अतः $(\frac{y}{b})^n = 1$।
चूंकि $n \in N$,इसलिए $y = b$ प्राप्त होता है।
अतः स्पर्श बिंदु $(a, b)$ है।
वक्र का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n(\frac{x}{a})^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(\frac{y}{b})^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$।
बिंदु $(a, b)$ पर,$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$।
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$।
$(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ होगा।
$a(y - b) = -b(x - a) \implies ay - ab = -bx + ab$।
$bx + ay = 2ab \implies \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$।

(D) दिए गए वक्र का समीकरण: $\sqrt{xy} = a + x$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$xy = (a + x)^2 = a^2 + x^2 + 2ax$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए हल करने पर,$y = \frac{a^2}{x} + x + 2a$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2} + 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों से समान अंतःखंड काटती है,इसलिए इसकी ढाल $-1$ होनी चाहिए।
अवकलन को $-1$ के बराबर रखने पर: $-\frac{a^2}{x^2} + 1 = -1$।
यह सरल होकर $\frac{a^2}{x^2} = 2$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{a^2}{2}$।
अतः,$x = \pm \frac{a}{\sqrt{2}}$।
चूँकि $a > 0$ है,इसलिए दोनों मान मान्य हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x^2 - 5x + 7$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि अंतःखंड परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $-1$ या $1$ होनी चाहिए।
स्थिति $1$: ढाल $m = -1$।
$x^2 - 5x + 7 = -1 \implies x^2 - 5x + 8 = 0$। विविक्तकर $D = 25 - 32 = -7 < 0$,अतः कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: ढाल $m = 1$।
$x^2 - 5x + 7 = 1 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0$।
अतः,$x = 2$ या $x = 3$।
$x = 2$ के लिए,$f(2) = \frac{8}{3} - 10 + 14 - 4 = \frac{8}{3}$। बिंदु $(2, 8/3)$ है।
$x = 3$ के लिए,$f(3) = 9 - 22.5 + 21 - 4 = 3.5 = 7/2$। बिंदु $(3, 7/2)$ है।
दोनों बिंदु शर्त को पूरा करते हैं। इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = f'(x)(X - x)$ है।
बिंदु $A$ के लिए ($Y=0$ रखने पर),$X = x - \frac{y}{f'(x)}$,अतः $A = (x - \frac{y}{f'(x)}, 0)$।
बिंदु $B$ के लिए ($X=0$ रखने पर),$Y = y - x f'(x)$,अतः $B = (0, y - x f'(x))$।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{f'(x)}$ है। इसका समीकरण $Y - y = -\frac{1}{f'(x)}(X - x)$ है।
बिंदु $C$ के लिए ($X=0$ रखने पर),$Y = y + \frac{x}{f'(x)}$,अतः $C = (0, y + \frac{x}{f'(x)})$।
दिया है $AC = BC$,जिसका अर्थ है $AC^2 = BC^2$। दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x - \frac{y}{f'(x)})^2 + (y + \frac{x}{f'(x)})^2 = (-x f'(x) - \frac{x}{f'(x)})^2$
इस समीकरण को सरल करने पर $f'(x) = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ का समाकलन करने पर $\ln y = -\ln x + \ln c$ प्राप्त होता है,अर्थात $xy = c$।
$f(2) = 3$ रखने पर,$2 \times 3 = c$,अतः $c = 6$।
अतः,वक्र का समीकरण $xy = 6$ या $y = \frac{6}{x}$ है।

(B) माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ वक्र $xy = 100$ पर स्थित है।
चूंकि $P$ वक्र पर है,इसलिए $y_1 = \frac{100}{x_1}$।
$xy = 100$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{y_1}{x_1} = -\frac{100/x_1}{x_1} = -\frac{100}{x_1^2}$ है।
$P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ है।
$y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}x + y_1 \implies \frac{y_1}{x_1}x + y = 2y_1$।
$2y_1$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $A(2x_1, 0)$ है और $y$-अंतःखंड $B(0, 2y_1)$ है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |2x_1| \times |2y_1| = 2|x_1 y_1|$।
चूंकि $x_1 y_1 = 100$,इसलिए क्षेत्रफल $2 \times 100 = 200$ वर्ग इकाई है।

(A) वक्र $y = x^2 + 6x + 10$ के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2x + 6$ है।
बिंदु $(-2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 2(-2) + 6 = 2$ है।
अतः,$(-2, 2)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ है।
वक्र $y = ax^2 + bx + \frac{7}{2}$ के लिए,बिंदु $(1, 2)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $2 = a(1)^2 + b(1) + \frac{7}{2}$,जो सरल होकर $a + b = 2 - \frac{7}{2} = -\frac{3}{2}$ देता है (समीकरण $1$)।
अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ है। $x = 1$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $2a + b$ है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा पहले वक्र के अभिलंब के समांतर है,इसलिए $2a + b = -\frac{1}{2}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(2a + b) - (a + b) = -\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}) \Rightarrow a = 1$।
$a = 1$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $1 + b = -\frac{3}{2} \Rightarrow b = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$।

(A) माना $P(x_1, y_1)$ वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु है।
माना $m = \frac{dy}{dx}$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल है।
उपस्पर्शरेखा की लंबाई $\left| \frac{y_1}{m} \right|$ द्वारा और अभिलंब (subnormal) की लंबाई $|y_1 m|$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि उपस्पर्शरेखा और अभिलंब बराबर हैं,इसलिए:
$\left| \frac{y_1}{m} \right| = |y_1 m|$
$\Rightarrow \frac{1}{|m|} = |m|$
$\Rightarrow m^2 = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.
बिंदु $P$ पर अभिलंब (normal) की लंबाई $|y_1| \sqrt{1 + m^2}$ द्वारा दी जाती है।
$m^2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{अभिलंब की लंबाई} = |y_1| \sqrt{1 + 1} = |y_1| \sqrt{2} = \sqrt{2} \times \text{कोटि}$.

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y_1}{x_1}\right)^{1/3}$.
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - y_1 = -\left(\frac{y_1}{x_1}\right)^{1/3}(x - x_1)$
$\frac{y}{y_1^{1/3}} + \frac{x}{x_1^{1/3}} = \frac{y_1}{y_1^{1/3}} + \frac{x_1}{x_1^{1/3}} = y_1^{2/3} + x_1^{2/3} = a^{2/3}$.
$a^{2/3}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{a^{2/3}x_1^{1/3}} + \frac{y}{a^{2/3}y_1^{1/3}} = 1$.
$x$-अंतःखंड $OA = a^{2/3}x_1^{1/3}$ और $y$-अंतःखंड $OB = a^{2/3}y_1^{1/3}$ है।
अंतःखंडों के वर्गों का योग:
$OA^2 + OB^2 = (a^{2/3}x_1^{1/3})^2 + (a^{2/3}y_1^{1/3})^2$
$= a^{4/3}x_1^{2/3} + a^{4/3}y_1^{2/3}$
$= a^{4/3}(x_1^{2/3} + y_1^{2/3})$
$= a^{4/3}(a^{2/3}) = a^2$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $y^n = a^{n-1}x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a^{n-1}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}}$।
अभिलंब (subnormal) की लंबाई का सूत्र है: $L = |y \frac{dy}{dx}|$।
$\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर:
$L = |y \cdot \frac{a^{n-1}}{n y^{n-1}}| = |\frac{a^{n-1}}{n} \cdot y^{1-(n-1)}| = |\frac{a^{n-1}}{n} \cdot y^{2-n}|$।
अभिलंब की लंबाई अचर होने के लिए,यह व्यंजक $y$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
यह तभी संभव है जब $y$ का घातांक शून्य हो: $2 - n = 0$,जिसका अर्थ है कि $n = 2$।

(D) माना $P = (t_1, t_1^3 - t_1)$ और $Q = (t_2, t_2^3 - t_2)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$ है,इसलिए $P$ पर,$m = 3t_1^2 - 1$ है।
जीवा $PQ$ की ढाल $\frac{(t_2^3 - t_2) - (t_1^3 - t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{(t_2 - t_1)(t_2^2 + t_1t_2 + t_1^2) - (t_2 - t_1)}{t_2 - t_1} = t_2^2 + t_1t_2 + t_1^2 - 1$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा $Q$ पर काटती है,इसलिए स्पर्शरेखा की ढाल और जीवा की ढाल बराबर होगी:
$3t_1^2 - 1 = t_2^2 + t_1t_2 + t_1^2 - 1$
$2t_1^2 - t_1t_2 - t_2^2 = 0$
$(2t_1 + t_2)(t_1 - t_2) = 0$।
$P$ और $Q$ अलग-अलग हैं,इसलिए $t_1 \neq t_2$,अतः $t_2 = -2t_1$ है।
ढाल $m_{OP} = \frac{t_1^3 - t_1}{t_1} = t_1^2 - 1$ और $m_{OQ} = \frac{t_2^3 - t_2}{t_2} = t_2^2 - 1$ है।
हमें $\frac{m_{OQ} + 1}{m_{OP} + 1} = \frac{(t_2^2 - 1) + 1}{(t_1^2 - 1) + 1} = \frac{t_2^2}{t_1^2}$ की गणना करनी है।
$t_2 = -2t_1$ रखने पर,हमें $\frac{(-2t_1)^2}{t_1^2} = \frac{4t_1^2}{t_1^2} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $C_2: y^3 = 16x$ हैं।
$C_2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = m_1 = \frac{16}{3y^2}$।
$C_1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_2 = -\frac{4x}{a^2y}$।
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$।
$\left(\frac{16}{3y^2}\right) \times \left(-\frac{4x}{a^2y}\right) = -1$।
$\frac{64x}{3a^2y^3} = 1 \implies 64x = 3a^2y^3$।
$y^3 = 16x$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $64x = 3a^2(16x)$।
यदि $x \neq 0$ है,तो $64 = 48a^2$।
$a^2 = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}$।

(B) दिया गया वक्र $y = e^{2x} + x^2$ है।
$x = 0$ पर,$y = e^0 + 0^2 = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 1)$ है।
अब,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 2x$ ज्ञात करें।
$x = 0$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 2e^0 + 2(0) = 2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ है।
$(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ है,जो $y = -\frac{1}{2}x + 1$ या $x + 2y = 2$ में सरल हो जाता है।
अभिलंब $x$-अक्ष को $y = 0$ पर काटता है,इसलिए $x + 2(0) = 2 \implies x = 2$। बिंदु $(2, 0)$ है।
अभिलंब $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटता है,इसलिए $0 + 2y = 2 \implies y = 1$। बिंदु $(0, 1)$ है।
अक्षों और अभिलंब द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ है।

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = 2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\frac{1^{-1/3}}{1^{-1/3}} = -1$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -1(x - 1)$ है,जिसे सरल करने पर $x + y = 2$ प्राप्त होता है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$ है।
अतः $x$-अंतःखंड $2$ है और $y$-अंतःखंड $2$ है।
अंतःखंडों का योग $2 + 2 = 4$ है।

(B) दिया गया वक्र $y = \frac{1}{x}$ है।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^{2}}$.
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $-\frac{1}{x^{2}}$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,जो $x^{2}$ है।
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^{2} > 0$ होता है,इसलिए अभिलंब की ढाल धनात्मक होनी चाहिए।
दी गई रेखा $(\log_{2}(1 + 5a - a^{2}))x - 5y - (a^{2} - 5) = 0$ है,जिसे $y = \frac{\log_{2}(1 + 5a - a^{2})}{5}x - \frac{a^{2} - 5}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,रेखा की ढाल $m = \frac{\log_{2}(1 + 5a - a^{2})}{5}$ है।
चूंकि $m > 0$,इसलिए $\log_{2}(1 + 5a - a^{2}) > 0$.
इसका अर्थ है $1 + 5a - a^{2} > 2^{0} = 1$.
$5a - a^{2} > 0 \Rightarrow a^{2} - 5a < 0$.
$a(a - 5) < 0$,जिससे $a \in (0, 5)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $xy = 4$ है,जिसे हम $y = \frac{4}{x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2,2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{4}{2^2} = -1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ होगी।
बिंदु $(2,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = 1(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $y = x$ प्राप्त होता है।
वह बिंदु जहाँ अभिलंब वक्र को पुनः मिलता है,उसे ज्ञात करने के लिए $y = x$ को वक्र के समीकरण $xy = 4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x) = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$।
चूँकि $x = 2$ मूल बिंदु है,इसलिए दूसरा बिंदु $x = -2$ है।
$x = -2$ को $y = x$ में रखने पर,हमें $y = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिलंब वक्र को पुनः $(-2, -2)$ बिंदु पर मिलता है।

(C) अभिलंब की प्रवणता $m_n$,$\tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
$m_n = \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता और अवकलज $f'(x)$ के बीच संबंध $m_n = -\frac{1}{f'(x)}$ होता है।
बिंदु $(4, 6)$ पर मान रखने पर:
$-\sqrt{3} = -\frac{1}{f'(4)}$.
$f'(4)$ के लिए हल करने पर:
$f'(4) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.