वक्र 27x^2 = 4y^3 के स्पर्शरेखा और अभिलंब दोन | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र: $27x^2 = 4y^3$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $54x = 12y^2 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{9x}{2y^2}$ प्राप्त होत

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$x = \pm \sqrt{2}(y - 2)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया वक्र: $27x^2 = 4y^3$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $54x = 12y^2 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{9x}{2y^2}$ प्राप्त होता है।माना वक्र पर बिंदु $(2t^3, 3t^2)$ है।$t$ पर स्पर्शरेखा की ढाल: $m = \frac{9(2t^3)}{2(3t^2)^2} = \frac{1}{t}$ है।$t$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण: $y - 3t^2 = \frac{1}{t}(x - 2t^3) \Rightarrow x - ty = -t^3$  .......$(i)$ है।$t_1$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - 3t_1^2 = -t_1(x - 2t_1^3) \Rightarrow t_1x + y = 3t_1^2 + 2t_1^4$  .......$(ii)$ है।चूंकि रेखा स्पर्शरेखा और अभिलंब दोनों है,$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर $\frac{1}{t_1} = -t = \frac{-t^3}{3t_1^2 + 2t_1^4}$ प्राप्त होता है।$\frac{1}{t_1} = -t$ से,$t_1 = -\frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।$-t = \frac{-t^3}{3t_1^2 + 2t_1^4}$ में मान रखने पर: $t = \frac{t^7}{3t^2 + 2}$ प्राप्त होता है।$3t^2 + 2 = t^6 \Rightarrow t^6 - 3t^2 - 2 = 0$ है। माना $u = t^2$,तो $u^3 - 3u - 2 = 0$ है।$(u - 2)(u + 1)^2 = 0$ है। चूंकि $u = t^2 > 0$,इसलिए $t^2 = 2$,अतः $t = \pm \sqrt{2}$ है।स्पर्शरेखा समीकरण $x = t(y - t^2)$ में $t^2 = 2$ रखने पर: $x = \pm \sqrt{2}(y - 2)$ प्राप्त होता है।

वक्र $27x^2 = 4y^3$ के स्पर्शरेखा और अभिलंब दोनों होने वाली सरल रेखाओं के समीकरण क्या हैं?

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